tài liệu ôn thi đại học môn toán phần tích phân

tổng hợp kiến thức về tích phân ôn thi đại học biến đổi về tổng hiệu tích phân cơ bản,tính tích phân bằng phương pháp biến đổ biến số,tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần,tích phân bằng phương pháp phối hợp ,các đề thi đại học tích phân,ứng dụng tích phân

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – TÍCH PHÂN  Chuyên đề 4:  Vấn đề 1: BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ba tích chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu tích phân b b a 1/ a  k.f(x)dx  k  f(x)dx b c a b b b a a a   f(x)  g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx b a 2/ c 3/  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp (u = u(x))  dx  x  c;  x dx    kdx  kx  c x1  c, (  1)  1 dx  ln x  c x  ex dx  ex  c  ax dx  ax  c (0  a  1) ln a  u u'dx  u1  c ; (  1)  1 u'  u dx  ln u  c  eu u'dx  eu  c  au u'dx  au  c (0  a  1) ln a  u'cos udx  sin u  c  cosxdx  sin x  c  u'sin udx   cos u  c  sin xdx   cosx  c  cos2 udx  tan u  c  sin2 u dx   cot u  c dx  cos2 x  tan x  c dx  sin2 x   cot x  c 10  tan xdx   ln cosx  c 11  cot xdx  ln sin x  c 124 u' u'  u'tan udx   ln cos u  c 10  u'cot udx  ln sin u  c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Đặc biệt: u(x) = ax + b;  f(x)dx  F(x)  c   (ax  b) dx  dx (ax  b)1 c a  1  ax  b  a ln ax  b  c dx  cos2 (ax  b)  a tan(ax  b)  c 8.  eax  b dx  eax  b a  axdx  ln x    c   cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  c a  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  c a  f(ax  b)dx  a F(ax  b)  c dx   cot(ax  b)  c a sin (ax  b) 1 ln cos(ax  b)  c a 10. cot(ax  b)dx  ln sin(ax  b)  c a dx xa 11   ln c 2a x  a x a 9. tan(ax  b)dx  B – ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Tính tích phân I   2x  dx x(x  1) Giaûi I= (x  1)  x  x(x  1) dx =  1   x   x dx =  ln x(x  1)1  ln  ln3   Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 2x  dx x 1 Tính tích phân: I   Giải 1 2x    dx =     dx =  2x  3ln x   = – 3ln2 x 1 x 1 0 I Bài 3: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính tích phân sau: I   x4  x3  3x2  2x  x2  x dx Giải Chia tử cho mẫu, ta được: 125 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4  x3  3x2  2x   x2   x x 2  I    x2     dx  x 1 x  1 x2 x x = x2    x 1 x  x3    3x  ln x   ln x  3 1   16  ln I= Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – CÔNG NGHIỆP TPHCM NĂM 2007 Tính tích phân: I(x)   x dt , với x > Từ tìm lim I(x) x t(t  1) Giaûi I(x) = x x x dt  t 1  t  t  1    t  t   dt =  ln t  ln  t  1   ln t  1  1 = ln  x x  ln x 1 x 1  lim I  x   lim ln  ln   ln x x  x  2 Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005    tan x  e Tính tích phân: sin x  cos x dx Giaûi        ln  e I   tan x  esin x cos x dx   tan xdx    sin x  'esin x dx  =   ln cosx  +  e sin x  2 1 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I   dx x  x3 Giaûi I 126 dx x  x3  1 x x x(1  x2 ) dx   1  1 2x  x  x  dx  1  x  2 dx  x  1  x  1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN      ln x  ln(x2  1)  ln x  ln x2    1    1 x  ln 1 x  ln  ln 2  ln Bài 7: Tính tích phaân : I = x  x dx Giaûi 0     Tính I   x2  x dx   x2  x dx   x2  x dx Do : x 1 x x  + 21  22  I    x  x    x  x   0  1  Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ a Cho hàm số: f(x) =  x  1  bxex Tìm a b biết f’(0) =  22  f(x)dx  Giải Ta có: f(x)   f (x)    a (x  1)3 3a (x  1)  bx.ex  bex (x  1)  f (0)  3a  b  22 (1) 1  a 3a x x   f(x)dx   a(x  1) dx  b xe   2(x  1)2  b(xe  e )   b  (2)  0 0 3 x 3a  b  22 a   (1) (2) ta có hệ:  3a  b   b5  127 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI I b  a Sử dụng công thức:   f[u(x)].u(x)dx   f(u)du b Phương pháp: Xét tích phân I   f(x)du a - Đặt t = u(x)  dt = u'(x)dx Đổi cận u(a) = t1 ; u(b) = t2 Suy ra: I  t2 t2  g(t)dt  g(t) t t1 (g(t)  f[u(x)].u(x)) Thường đặt ẩn phụ t  thức, mũ e, mẫu số, biểu thức ngoặc dx  có sinxdx  đặt t = cosx, có cosxdx  đặt t = sinx, có đặt t = lnx x ĐỔI BIẾN SỐ LOẠI II  b  a /  f((t)) (t)dt   f(x)dx ; x  (t); ()  a, ()  b  Công thức: b  Tính: I   f(x)dx a Đặt x  (t)  dx  (t)dt Đổi cận: x  (t); ()  a, ()  b b  Khi đó: I   f((t)).(t)dt   f(x)dx a  Các dạng thường gặp: b  a2  x2 dx đặ t x  asin t a b  a dx a2  x2 đặ t x  asin t b dx  a2  x2 a B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 128 đặ t x  a tan t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  Tính tích phân : I   xsin x   x  1 cos x xsin x  cos x dx Giaûi   xsin x  cos x  x cos x x cos x   dx      dx xsin x  cos x x sin x  cos x   0 Ta coù: I    x0   x cos x  x cos x dx    dx xsin x  cos x xsin x  cos x  Đặt t = xsinx + cosx  dt = xcosxdx Khi x = t = 1, x =  Suy ra: I    2  t =   1 4  2    1 4   dt    ln t t 2    1 4    2   ln   1 4  Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Tính tích phân: I   4x  2x   dx Giải Đặt: t  2x    2x   t   2x   t  4t  t  4t   dx = (t – 2)dt x =  t = 3, x =  t = x  54 Suy ra: I   = t  4t  1  t   dt = t 5   2t2  8t  5 t   dt t 2t  12t  21t  10 10   dt =   2t  12t  21   dt  t t  3  2t =  6t  21t  10 ln t    34  10 ln  =  3 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 129 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tính tích phân: I = e ln x  x(2  ln x)2 dx Giải Đặt u  ln x  du  dx , x =  u = 0, x = e  u = x 1  2  du   ln  u  du         u   u 2  2 u0    u 0  I u 2  3   ln3     ln  1  ln    3  2 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 dx 1e x Tính tích phân: I   1 Giải dt Đặt t = ex  dx = ; x =  t = e; x =  t = e3 t I e3  e e3 dt 1 e3      dt  ln t   ln t e t  t  1 e  t  t  e3 e  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008  tan x dx cos2x Tính tích phân: I   Giải Cách 1:  Đặt t = tanx  dt = (1 + tan2x)dx  cos2x   t2  t2  Đổi cận: x =  t = 0; x   Khi đó: I  3 3    t dt    t  130 t  t 1   dt  t2    ln e2  e   dt  t2  dx TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  t3 1 t     t  ln 1 t    3  10    ln 1 0  Caùch 2:    tan x tan x tan x dx   dx   dx 2 2 cos2x 0 cos x  sin x cos x(1  tan x) Ta coù: I   Đặt: t = tanx  dt  dx cos2 x Đổi cận: x =  t = 0; x  Khi đó: I  3 t4  t   t dt  ln 1 1  10 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NAÊM 2008   sin  x   dx 4  Tính tích phân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x)  Giaûi   sin  x   dx 4  Tính tích phân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x)    Đặt t = sinx + cosx  dt  (cosx  sin x)dx   sin  x   dx 4   Đổi cận: x =  t = 1; x   t  2 Ta coù: t = sin x + cos x + 2sinxcosx = + sin2x  sin2x = t2 – Khi đó: I    2  dt t   2(1  t)  2 dt  (t  1)2 2 1 43 2    t 1  1    Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI B NĂM 2007 Tính tích phân: I   x  x 1 dx 131 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giaûi 1  I = dx 1 x    2  Đặt x  3     tan t, t    ;   dx   tan2 t dt 2  2   I=       tan t  dt  3  tan2 t   Bài 6: CAO ĐẲNG XÂY DỰNG SỐ NĂM 2007 Tính tích phân: I = e dx 1 x  ln x Giải Đặt: t   ln x  lnx = t3 – 1, dx  3t dt x Đổi cận: x =  t = 1; x = e  t   I 32 3tdt  3t 33   2 Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM NĂM 2007 Tính tích phân: x 1 0 x2  dx Giaûi 1 xdx dx I   I1  I2 ; I1  ln(x2  1)  ln x  0 x2  2 dt   Ñaët x = tant, t   0,  , dx   4 cos2 t  I2   dt    Vaäy I  ln  4 Baøi 8: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007  sin x dx cos2x  cos x  Tính tích phaân: I   132 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt t = cosx  dt = sinxdx   x t I= dt  2t  t  1 2 2   dt dt       2t  t  0  t  2t    1  I =  ln t   ln 2t     ln 3 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính tích phân: I = dx  2x   4x  Giải Đặt t  4x   x  t 1  dx  tdt t 5 dt  t   dt     I 2  t   (t  1)2  dt   t    t (t  1) 3 5    ln t    ln  t  1 12   Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Tính tích phân: I = 10 dx  x2 x 1 Giaûi  Ñaët t = x   t  x   dx  2tdt vaø x = t2 + x 10  Đổi cận t Khi đó: I = 3 1   2   t  2t   t    t  12  dt  2  2tdt   =  ln t     ln  t 1  133 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Tính tích phân x4 ln x dx; dv = x3dx  v  x Đặt u = ln2x  du  Ta coù: I  e x4 dx , dv = x3dx, choïn v  Ta có x Đặt u = lnx  du  e e x4 e e4 ln x   x ln xdx   x ln xdx 21 2 e e x4 e4 x ln xdx  ln x   x3dx   x  41 16 Vaäy I  e  3e4  16 5e4  32 Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Tính tích phân: I   (x  2)e2x dx Giải Tính tích phân u  x   I   (x  2)e2x dx Đặt   du  dx, chọ n v = e2x 2x dv  e dx  I  (x  2)e2x 1  2x e2 2x  e dx =    e 20 Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006  Tính tích phân: I =  (x  1)sin 2x dx Giaûi u  x  1 Đặt   du  dx, choï n v   cos2x dv  sin 2xdx I  x 1  cos2x    cos2xdx   2 Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 142   3e2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Tính tích phân: I =  (x  2)ln xdx Giaûi  u  ln x x2  Đặt   du  dx, chọ n v   2x x dv   x   dx  2  x2  x  I=   2x  ln x      dx  2 ln    2    1 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005  Tính tích phân: I    2x  1 cos2 xdx Giaûi   I   (2x  1)cos2 x.dx   (2x  1)    1  (2x  1)dx   (2x  1)cos2x.dx 20    cos2x dx  Tính I1   (2x  1)dx   x2  x   2     Tính I2   (2x  1)cos2x.dx u  2x  1 Đặt   du  2dx chọ n v  sin2x dv  cos2xdx    1 I2  (2x  1)sin 2x   sin 2xdx  cos2x  1 2 0 1 2  I  I1  I2    2 143 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 9:   Tính tích phaân: I   ln x2  x dx Giaûi   I   ln x2  x dx  3  2 Ta coù I =  ln x  x dx   lnx  x  1 dx   lnx  ln  x  1 dx   dx   u  lnx  du = Đặt  x dv  dx chọn v = x  3 3 I1   lnxdx  xlnx   dx   xlnx  x   3ln3    2ln2   2 2  3ln3  2ln2  2 I2   ln  x  1 dx   lnudu   ulnu  u1  2ln2    Vaäy I   ln x2  x dx  I1  I2  3ln3  2ln2   2ln2   I  3ln3  2 Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ  x dx  cos2x Tính tích phân: I   Giaûi   u  x du  dx x xdx  I dx   Đặt  du    cos2x cos x  choï n v  tan x dv  cos2 x     1  I  x tan x   tan xdx  x tan x  ln cos x    ln  0 20 Baøi 11: CĐ KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I ln x Tính tích phân: I   dx (x  1)2 144 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giải Đặt u = lnx du   dx x dv = (x + 1)-2dx, choï n v   I x 1 3 ln x 3 (x  1)  x 1   dx   ln3     dx  x x 1 x  1 x(x  1)   x  =  ln3   ln   ln3  ln x  1   Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI Tính tích phân: I   ln 2x  (2x  1)3 dx Giải Đặt u = ln  2x  , dv= (2x  1)  dx  du = (2x 1)1dx, choïn v =  (2x  1) 2 ln 2x    ln3  3 Bài 13: CAO ĐẲNG KINH TẾ TP HCM   I = (2x  1)  Tính tích phân : I   x sin 2xdx Giaûi  du  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx, choïn v     x cos2x Vaäy: I =    2  s in2x     cos2xdx     20  0    Vaán đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHỐI HP A.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Tính tích phân : I   x2 (1  2ex )  ex  2ex dx 145 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giaûi I x2 (1  2ex )  ex x3 I1   x dx  I2   e x  2e Vaäy I = x  dx =  2e ex dx   x2 dx    2ex x dx 1   2e  d(1  2ex ) = ln(1  2ex ) = ln       2ex 0 1   2e   ln     Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 e 3  Tính tích phân: I    2x   ln xdx x 1 Giaûi e e e 3  I    2x   ln xdx 2 x ln xdx 3 ln x dx x x 1 1 e Xét I1   x ln xdx Đặt u  ln x  du  x2 dx ; dv  xdx  v  x e e e  x2  e2  x  e2  Do I1   ln x    xdx        2   1  1 e Xeùt I2 =  ln x dx x Đặt t = lnx  dt  dx Với x =  t = 0; x = e  t = x 1  t2  e2  Do I2   tdt     Vaäy I  2  0 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009    Tính tích phân I   cos3 x  cos2 xdx 146 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi   0 I   cos5 xdx   cos2 xdx   t 1 Đặt t = sinx  dt = cosxdx; x =  t = 0, x    0  I1   cos5 xdx    sin2 x    cos xdx    t  1   dt   t  t  t    15    1 2  I2   cos xdx   1  cos2x  dx   x  sin 2x   20 2 0 Vaäy I  I1  I2    Baøi 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009   Tính tích phân I   e2x  x ex dx Giaûi 1 0 Ta coù I   e x dx   xex dx  I1   e x dx  e x 1 e  I2   xex dx Đặ t u  x  du  dx; đặ t dv  ex dx, choï n v  ex Suy I2  xex 1   ex dx  Vaäy I  I1  I2   e Bài 5: ĐẠI HỌC SÀI GÒN KHỐI A NĂM 2007 Tính: I   2x  x  x 1 dx Giaûi I = 2x  1  x2  x  dx  2 x2  x  dx 0 147 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – I1 = 2x   x2  x  dx  ln x  x 1 Đặt x + I2 =    I  ln3 ; I2 =  dx 1 x    2  3  tan t  dx =  tan2 t dt 2        tan2 t dt 2   tan2 t = ln3  2 Bài 6: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Tính tích phân : J  2  sin xdx Giải Đặt t =  x dx = 2tdt  J   2t sin tdt u  2t du  2dt Choïn :   dv  sin tdt  choï n v   cost     3 J =  2t cos t    cos tdt   2t cos t 0  2sin t =    3 Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005    Tính tích phaân I   esin x  cos x cos xdx Giaûi    cos2x dx  2esin x I   esin x d  sin x    148   1    x  sin 2x  2  e  1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I  2  x sin xdx Giaûi I 2 x  t2 = x  2tdt = dx x sin xdx Đặt t = Đổi cận x 2 t  u  t  du  2tdt    I  2 t sin tdt Đặt  dv  sin tdt v   cos t    I  2(t cost)  4 t costdt  22  4I1 0   Tính I1   t costdt u  t du  dt Đặt    dv  cos tdt  choï n v  sin t I1  t sin t      sin tdt  cost  2 Vaäy I = 22 – 0 Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ 1 Tính tích phân: I   x3ex dx Giải 2 Tính I   x3ex dx   x2 ex xdx 0 Ñaët t = x2  dt = 2xdx  I x dt  xdx Đổi cận: t 1 1  1 1 1 tet dt   tet   et dt   tet  et    2 2 0 2  0   Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ Tính tích phân: I   x e 1 2x   x  dx 149 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải  x e Tính I  2x  2x  x  dx   x.e dx  1  Tính I1  1 x x  1dx 1 du  dx u  x   xe2x dx Đặt   2x  2x dv  e dx  choï n v  e  1  0 x  vdu  x.e 1 I1  uv 1   Tính I2  x 1 0   2x 2x  2x  e dx   x.e  e   4e2  1   1 x  1dx 1 Đặt t  x   t3  x   3t 2dt  dx Đổi cận: I2    1  t7 t4  t  t.3t dt  3 t  t dt       7 4 28  0  3 Vaäy I = I1 + I2 = 4e       28 4e2 Bài 11: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG   Tính tích phân:  sin 2x cos2 x dx Giaûi I =    sin 2x cos x  tan x  dx =   sin 2x  cos2 x dx   cos2 x dx   d(cos2 x) cos2 x dx   = tan x  ln(cos2 x) = + ln2 0 150 x 1 t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  Vấn đề 5: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH DIỆN TÍCH Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b laø: y b b a a y = f(x) S   f(x)dx   f(x) dx Từ toán suy f(x) không dương đoạn [a, b] b y x=a b a x=a x=b a S   f(x)dx   f(x) dx x=b S y = f(x) Bài toán 2: (Tổng quát) Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục đoạn [a, b] có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) hai đường x = a, b x = b xác định công thức: S   f(x)  g(x) dx (*) a * Phương pháp giải (*):  Giải phương trình: f(x) = g(x) (1) b  Nếu (1) vô nghiệm thì: S   (f(x)  g(x))dx a  Nếu (1) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử , (  )   b a S    (f(x)  g(x) dx   (f(x)  g(x)dx   (f(x)  g(x)dx Baøi toaùn 3: Cho (C1 ) : x1  f(y), (C2 ) : x2  g(y), f(y), g(y) liên tục đoạn [a, b] Diện tích hình phẳng S giới hạn (C1); (C2) hai đường thẳng y = a, y = b xác định công thức: b S   f(y)  g(y) dy a 151 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – THỂ TÍCH CÁC VẬT THỂ I CÔNG THỨC THỂ TÍCH Giả sử vật thể T xác định mặt phẳng () () song song với Ta chọn trục Ox cho vuông góc với mặt phẳng ( () Ta có Ox  () = A, Ox  () = B Giả sử mặt phaúng ( ()  Ox, ()  Ox  C, () cắt vật thể T y S(x) O có thiết diện S(x) a A  x  C b y Khi V   S(x)dx a y II BÀI TOÁN Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b vaø y = quay quanh Ox O b x a y V   y2 dx a Bài toán 2: Thể tích hình phẳng: x = g(y), x = 0, b y = f(x) b x S(x) Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x)  y2 y = a, y = b quay quanh truïc Oy: x b B  x = g(y) V   x dy b x a x O a Bài toán 3: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox: y1  f(x), y2  g(x) y f(x) = y1 y2  y1  x  [a, b] g(x) = y2 b V   (y2  y1 )dx O a b x a Bài toán 4: Tính thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox y1  f(x),y2  g(x) y1  y2  x  [a,b] b V   a 152 (y1  y2 )dx y O a b x f(x) = y1 g(x) = y2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN B ĐỀ THI Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P): x = x2 + 4x đường thẳng d: y = x Giải Phương trình hoành độ giao điểm (P) d: x2  4x  x  x  hay x  3  x3 3x2  S   x3  3x dx   (x3  3x)dx       (ñvdt)  0   0 Baøi 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x Giải Phương trình hoành độ giao điểm hai đường cho là: (e + 1)x = (1 + ex)x  (ex  e)x =  x = hoaëc x = 1 1 0 Diện tích hình phẳng cần tìm là: S   xex  ex dx  e xdx   xex dx Ta có: e xdx  Vậy S  ex2 e  , x x  xe dx  xe 1   ex dx  e  ex 1 e  (đvdt) Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường: y = xlnx, y = 0, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình (H) quanh trục Ox Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường y = xlnx vaø y = laø: xlnx =  x = Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục hoành là: e e 1 V   y2 dx   (x ln x)2 dx Đặt u = ln2x, dv = x2dx  du  e e ln x x3 dx, v  Ta coù: x e e x3 2 e3 2 (x ln x) dx  ln x   x2 ln xdx   x ln xdx  31 3 1 153 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Đặt u = lnx, dv = x2dx  du  e e dx x3 , choï n v  Ta coù: x e x3 e3 x3 x ln xdx  ln x   x2 dx    31 Vaäy V  e  2e3  (5e  2) (đvtt) 27 Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Tính diện tích hình phẳng giới hạn paraol y = x2 – x + đường thẳng d: y = 2x + Giải Phương trình hoành độ giao điểm parabol d: x2 – x + = 2x +  x2 – 3x + =  x =  x = 2 Ta coù S   (x2  x  3)  (2x  1)dx   x2  3x  dx 1  x 2 3x2   (x2  3x  2)dx      2x   (ñvdt)  1   Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn trục Ox đường y = x sinx (0  x  ) Giaûi         V =   f  x  dx   x.sin2 xdx   x 1  cos2x  dx =   xdx   x.cos2xdx    20 0  0    x2 Tính : I1 =  xdx    2  Tính : I2 =  x cos2xdx du  dx u  x  Đặt   dv  cos2xdx  chọ n v  sin 2x     I2 = V= 154 x 1 x  sin 2x   sin 2xdx   sin 2x  cos2x   2 0  3   2 (ñvtt)   0  2    TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x2  4x  y = x + Giải    y  S    x  3  x2  4x   dx    x2  4x  dx       S   x  5x dx  2 x2  4x  dx 3  x  x 3 5x  S     2x2  3x    2  0  1     109 (ñvdt) S y=x+3 1 1 O x Baøi 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y   x2 x2 y = 4 Giải Ta có y   x2  y2   Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x2 x2 y2   y2     (E) 4 16 4 x2 x2  4   x2 x  32  x4  8x2  128   x2   x2  16 (loaïi)  x =  2 2 2  2  2    x  x  dx     x dx   x dx  Neân S =    4 2 4  2     2 Tính I1  2  4 x2 dx y Đặt x = 4sint  dx = 4costdt   x  2 t= Đổi cận     x  t  2 4 y= x y= O 4 x2 x 155 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –      I1   8cos2 tdt   1  cos2t  dt   t  sin 2t      0 0 I2  2  x2 dx  x3 2  12 4  Vaäy S   2    đvdt  3  Bài 8: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường (P1): y = x2  2x (P2) : y = x2 + 4x Giải Phương trình hoành độ giao điểm (P1) (P2) là: x2  2x =  x2 + 4x  2x2 + 6x =  2x(x  3) =  x =  x = Diện tích cần tìm: 3 0 S   ((x2  4x)  (x2  2x))dx   (2x  6x)dx  2 3 =  x3  3x2  = (đvdt)  0 Bài 9: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = – 2x2, y = x2 + Giải Phương trình hoành độ giao điểm – 2x2 = x2 –  3x2 =  x = hoaëc x = 1 Diện tích S cần tìm 1 1 1 S   (7  2x2  x2  4)dx   (3  3x2 )dx  (ñvdt) 156 ... TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI b  u(x).v(x)dx  u(x).v(x) Công thức: b a a b b a  udv  uv Viết gọn: a b   v(x).u(x)dx a b   vdu a B ĐỀ THI Bài 1:... a2  x2 đặ t x  asin t b dx  a2  x2 a B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 128 đặ t x  a tan t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  Tính tích phân : I   xsin x   x  1 cos x xsin x ... tích phân: I   Giải    cos2x d 1  sin 2x  1 dx    ln 1  sin 2x   ln2  sin 2x  sin 2x 2 0 Ta có I   Bài 24: ĐỀ DỰ BỊ 138 ln3 ex dx Tính tích phân: I   e  1  x TT Luyện Thi