Luận án Cảng và Công Trình Thềm Lục Địa
Trang 1Chương 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ĐỘNG LỰC HỌC
Phương trình cân bằng đáp ứng động học :
)
(t
F KU U C U
Với :
FE(t) : Lực đàn hồi , FE(t) = KU Để giải phương trình trên có nhiều phương pháp khác nhau
I – Phương pháp sai phân trung tâm :
Vận tốc và gia tốc tại thời điểm t được tính như sau :
) 2
(
1 2
t t t t t
t
∆
=
) (
2
t
∆
=
Giải phương trình tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t bằng cách giải phương trình (4.1)
ở thời điểm t
t t t
t C U KU R U
t t t
t t
t
M t U
M t K R U
C t
M
t
∆
∆
−
∆
−
∆
−
−
=
∆
+
1 1
2 2
1 1
2 2
thời điểm t và phương trình (4.5) Do đó quá trình sai phân trung tâm là phương pháp hiện , quá trình sai phân không đòi hỏi các hệ số ảnh hưởng của ma trận độ cứng trong mỗi bước giải kế tiếp
Trình tự các bươc như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
Bước 3 :
Chọn bước thời gian ∆t sao cho ∆t< ∆tcr = Tn/π ,tính toán các hệ số tích phân Chu kỳ Tn được chọn với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do
t
a
∆
∆
= 2
1
2 3
1
a
a = Bước 4 : Tính
0 3 0
U
Bước 5 : Tính ma trận khối lượng ảnh hưởng
Trang 2C a M a
Mˆ = 0 + 1
Bước 6 : Tính tải trọng ảnh hưởng ở thời gian t
t t t
t
t R K a M U a M a C U
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
R U
Mˆ t ∆t = ˆ
Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t
) 2
( 0
t t t t t
t a U U U
) (
t a U U
II - Phương pháp Houbolt :
Phương pháp sai phân Houbolt liên quan thành phần chuyển vị của phương pháp sai phân trung tâm Biểu thức của vân tốc và gia tốc :
t
t
∆
1
t
t
∆
6
1
Để có được lời giải tại t+∆t, chúng ta xem xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+∆t
t t t t t
t t
t C U KU R
U
Thế (9.14),(9.15) vào (9.16) ta được :
t t t
t
t t
t t t
U C t
M t U
C t
M
t
U C t
M t R
U K C t
M
t
∆
−
∆
∆
∆
∆
+
∆ +
∆
+
∆
−
∆
+
∆ +
=
∆
+
∆
2 2
2
2 2
3
1 1
2
3 4
3 5
6
11 2
(4.10)
Ut-2 ∆ t
Phương pháp Houbolt là phương pháp sai phân ẩn , xét phương trình cân bằng tại thời điểm t+∆t Để giải phương trình sai phân (4.1 ) dựa vào điều kiện biên và kết quả của phương pháp sai phân trung tâm ở thời điểm ∆t và 2∆t
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
Bước 2 :
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hệ số tích phân, chu kỳ Tn được chọn với giá trị nhỏ nhất của hệ có n bậc tự do
2
0
1
t
a
∆
=
t
a
∆
= 6
11
5
t
a
∆
=
t
a
∆
Trang 33
5
a
=
2
0 6
a
a =
9
3 7
a
Bước 4 :
Bước 5 : Tính toán ma trận độ cứng Kˆ
C a M a K
Kˆ = + 0 + 1
Bước 6 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t :
) (
) (
7 5
3
2 4
'
t t t
t t
t t â t t t
a t
t t
t R M a U a U a U C a U a U a U
Bước 7 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
t t t
t R U
Kˆ ∆ = ˆ ∆
Bước 8 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
t t t t t
t t
t t
t a U a U a U a U
6 4
2
t t t
t t
t t
t a U a U a U a U
7 5
3 1
III – Phương pháp Wilson :
Phương pháp Wilson chủ yếu là sự mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính ,trong dao động tuyến tính của gia tốc từ thời điểm t đến thời điểm t+∆t
Hình 4.1 – Tuyến tính hoá gia tốc phương pháp θ của Wilson
Phương pháp Wilson giả thiết gia tốc tuyến tính trong khoảng thời gian t đến t+θ∆t Trong đó θ ≥1.0 , khi θ = 1 0 sẽ làm giảm gia tốc tuyến tính Điều kiện ổn định θ ≥ 1.37, thường dùng θ = 1.40
τ lấy trong khoảng 0 ≤ τ ≤ θ∆t , từ t đến t+θ∆t ta có :
)
τ τ
θ
t U
∆ +
+
(4.11) )
( 2
τ θ τ
τ τ
θ
τ
t U
U
∆ + +
+
(4.12) )
( 6 2
τ τ
τ τ
θ
τ τ
t U
U U
∆ + +
+
Từ (4.12) và (4.13), tại thời điểm t+θ∆t :
t t
U ∆
t
U
t t
U + ∆
Trang 4) (
2
τ θ τ
U
) 2 (
6
2 2
τ θ
τ τ
U t U
τ τ τ
θ θ
θ
Ut t 26 2 ( t t ) 6 −2
∆
−
−
∆
∆ +
(4.16)
τ τ
τ θ
t U
U U
t
2 2
) (
∆
∆
Để tính chuyển vị,vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t ta xét phương trình (4.1) tại thời điểm t+θ∆t :
t t t t t
t t
U
t
t
U +θ∆
Trình tự các bước giải như sau :
Bước 1 :
- Xác định ma trận độ cứng K , ma trận khối lượng M và ma trận cản C
Bước 2 :
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t,tính toán các hằng số tích phân ,chọn θ = 1.4
2 0
) (
6
t
a
∆
=
3
2 3
t
a = θ∆
θ0 4
a
a =
θ3
5
a
a = −
θ
3 1
a
2 7
t
a = ∆
6
2 8
t
a = ∆
Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng Kˆ
C a M a K
Kˆ = + 0 + 1
Bước 5 : Tính toán tải trọng ở thời điểm t+∆t :
) 2
( ) 2 (
) (
ˆ
3 1
2 '
t t
t t
t t
a t
t t t
t
t R R R M a U a U U C a U U a U
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
t t t
t R U
Kˆ +θ∆ = ˆ +θ∆
Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
t t
t t t t
t a U U a U a U
U ∆ = 4( + θ ∆ − )+ 5 + 6
) (
t t
U ∆ = + ∆ +
) 2 (
8
t t t t
t t
t U t U a U U
IV – Phương pháp Newmark :
Phương pháp sai phân cũng được xem là mở rộng của phương pháp gia tốc tuyến tính Chuyển vị và vận tốc tại thời điểm t+∆t được tính như sau :
[ U U ] t U
Trang 52 )
2
1
U t U
Ở đây α vàδ là các hệ số có thể được xác định để sai phân chính xác và ổn định Ban đầu Newmark đề nghị không có điều kiện ổn định và phương pháp gia tốc trung bình với δ = 0.5 và α = 0.25
Hình 4.2 – Gia tốc trung bình của Newmark
Trình tự các bước như sau :
Bước 1 :
Bước 2 :
Bước 3 : Chọn bước thời gian ∆t ,tính toán các hằng số tích phân
2
0
1
t
a
∆
=
δ 1
t
a
∆
2
1
α
α
δ
a
−
∆
2
δ
t
Bước 4 : Tính toán ma trận độ cứng Kˆ
C a M a K
Kˆ = + 0 + 1
Bước 5 : Tính toán tải trọng ảnh hưởng ở thời điểm t+∆t :
) (
) 2 (
ˆ
5 4
1 2
'
t t
t t
t t
a t
t
t
t R M a U a U U C a U a U a U
Bước 6 : Giải phương trình để tìm chuyển vị tại thời điểm t+∆t :
t t t
t R
U
Kˆ ∆ = ˆ ∆
Bước 7 : Giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm t+∆t :
t t
t t t t
t a U U a U a U
U ∆ = 0( ∆ − )− 2 − 3
) 7 6
t t t
t t
t U a U a U
U ∆ = + + ∆
t
) (
2
1 Ut +Ut+∆t