Phương trình cơ bản. Cấp số cộng. Cấp số nhân. Công thức lượng giác. Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số. Cực trị hàm số. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đường tiệm cận. Đồ thị hàm số. Tịnh tiế[r]
(1)NGUYỄN THÁI HOÀNG
NGUYỄN THÁI HOÀNG
1 2 3 5 6 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
DỰ ÁN LATEX TÀI LIỆU ÔN THI
DỰ ÁN LATEX TÀI LIỆU ÔN THI
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM KIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂMKIẾN THỨC TRỌNG TÂM
KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12
MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12
MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12
MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12 MƠN TỐN 12
MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12MƠN TỐN 12
FULL CƠNG THỨC VÀ DẠNG TỐNFULL CƠNG THỨC VÀ DẠNG TỐNFULL CƠNG THỨC VÀ DẠNG TỐN
π π π π
(2)MỤC LỤC
I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 1
A Lớp 10
| Dạng Xét dấu
| Dạng Phương trình bản
B Lớp 11
| Dạng Cấp số cộng
| Dạng Cấp số nhân
| Dạng Đạo hàm
| Dạng Công thức lượng giác
C Lớp 12
| Dạng Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
| Dạng Cực trị hàm số
| Dạng Cực trị hàm bậc - Trùng phương
| Dạng 10 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
| Dạng 11 Đường tiệm cận
| Dạng 12 Đồ thị hàm số
| Dạng 13 Tịnh tiến đồ thị phép suy đồ thị 11
| Dạng 14 Sự tương giao 11
| Dạng 15 Lũy thừa (a>0) 11
| Dạng 16 Lôgarit (0<a6=1,0<b6=1) 12
| Dạng 17 Hàm số lũy thừa y=xα,α∈R 12
| Dạng 18 Hàm số mũ y=ax (a>0) 12
| Dạng 19 Hàm số Lôgarit y=logax 12
| Dạng 20 Phương trình, bất phương trình mũ 13
| Dạng 21 Phương trình bất phương trình logarit 13
| Dạng 22 Lãi suất ngân hàng 13
| Dạng 23 Nguyên hàm 14
| Dạng 24 Tích phân 14
| Dạng 25 Diện tích hình phẳng 15
| Dạng 26 Thể tích khối trịn xoay 15
| Dạng 27 Thể tích vật thể 16
| Dạng 28 Số phức 16
(3)| Dạng 31 Góc hai mặt phẳng 19
| Dạng 32 Khoảng cách từ chân đường vng góc đến mặt bên 20
| Dạng 33 Khối đa diện đều 21
| Dạng 34 Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp 21
| Dạng 35 Hình học phẳng 22
| Dạng 36 Diện tích đa giác 22
| Dạng 37 Thể tích khối đa diện 23
| Dạng 38 Hình chóp đều 23
| Dạng 39 Tỉ số thể tích khối chóp 24
| Dạng 40 Tỉ số thể tích khối lăng trụ 24
| Dạng 41 Khối tròn xoay 25
| Dạng 42 Thiết diện khối nón trụ 26
| Dạng 43 Thiết diện không qua trục 26
| Dạng 44 Bán kính đường trịn ngoại tiếp 27
| Dạng 45 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 27
| Dạng 46 Mặt cầu nội tiếp 28
| Dạng 47 Tọa độ không gian 28
| Dạng 48 Ứng dụng tích có hướng hai vec-tơ 30
| Dạng 49 Phương trình mặt cầu 30
| Dạng 50 Một số yếu tố tam giác 30
| Dạng 51 Phương trình tổng quát mặt phẳng 31
| Dạng 52 Phương trình đường thẳng 31
| Dạng 53 Góc 32
| Dạng 54 Khoảng cách 32
| Dạng 55 Vị trí tương đối 33
(4)I
(5)Xét dấu
1 Dấu nhị thức bậc nhất
• Dạng f(x)=ax+b (a6=0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax+b=0
• Bảng xét dấu nhị thức bậc f(x)=ax+b (a6=0): x
ax+b
−∞ −b
a +∞
trái dấu với a dấu với a 2 Dấu tam thức bậc hai
• Dạng f(x)=ax2+bx+c (a6=0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax2+bx+c=0
• Tính∆=b2−4ac
• Nếu∆<0thì phương trình f(x)=0vơ nghiệm x
ax2+bx+c
−∞ +∞
cùng dấu với a
• Nếu∆=0thì phương trình f(x)=0có nghiệm kép x= − b
2a x
ax2+bx+c
−∞ − b
2a +∞
cùng dấu với a dấu với a • Nếu∆=0 f(x)=0 có nghiệmx1,x2 (x1<x2)và
x ax2+bx+c
−∞ x1 x2 +∞
cùng dấu với a trái dấu với a dấu với a
Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆0theo hệ số b chẵn.
3 Dấu nghiệm phương trình bậc hai Cho phương trình: ax2+bx+c=0 (∗) ¡
∆=b2−4ac¢
(6)• Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x1 < x2 < 0)
a6=0
∆>0
P= c a>0 S= −b
a<0
• Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0<x1 <x2)
a6=0
∆>0
P= c a>0 S= −b
a>0
4 Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a6=0)
f(x)≥0,∀x∈R⇔
"
a>0
∆≤0
• f(x)≤0,∀x∈R⇔
"
a<0
∆≤0
•
Phương trình bản
1 Điều kiện xác định
a) Điều kiện để biểu thứcp
f(x)có nghĩa f(x)≥0; b) Điều kiện để biểu thức
f(x) có nghĩa f(x)6=0; c) Điều kiện để biểu thức p1
f(x) có nghĩa
f(x)>0 2 Phương trình chứa ẩn dấu căn
p
A=pB⇔
(
B≥0 A=B
a) pA=B⇔
(
B≥0 A=B2 b)
3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Với f(x), g(x)là hàm số Khi
|f(x)| =g(x)⇔
g(x)≥0
"
f(x)=g(x) f(x)= −g(x) |f(x)| = |g(x)| ⇔
"
f(x)=g(x) f(x)= −g(x)
(7)Cấp số cộng
• (un)là cấp số cộng⇔un+1=un+d
• Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng khia+c=2b
• Số hạng TQ:un=u1+(n−1)d
• Tổng nsố hạng đầu CSC: Sn=n(u1+un)
2 =nu1+
n(n−1)
2 d
Cấp số nhân
• (un)là cấp số nhân⇔n≥2,un=un−1·q
• Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành cấp số cộng khia·c=b2
• Số hạng TQ:un=u1·qn−1,n≥2
• Tổng nsố hạng đầu CSN:Sn=u1·1−q
n
1−q =
u1−un+1
1−q
! Tổng cấp số nhân lùi vô hạnSn=
u1
1−q
Đạo hàm
1 Các quy tắcGiả sửu=u(x), v=v(x), w=w(x)là hàm số có đạo hàm, đó:
! • (u+v−w)
0=u0+v0−w0
• (uv)0=u0v+v0u
• (ku)0=ku0
• ³u
v
´0
=u
0vv0u
v2
ã
à1
v
¶0
= −v
0
v2 2 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản
Đạo hàm hàm số sơ cấp bản Đạo hàm hàm số hợp
(C)0=0
(xn)0=n.xn−1(n∈R,x>0) (un)0=n.un−1(n∈R,u>0)
¡p
x¢0
=
2px (x>0)
¡p
u¢0
= u
0
2pu (u>0)
(8)(sinx)0=cosx (sinu)0=u0.cosu
(cosx)0= −sinx (cosu)0= −u0.sinu
(tanx)0=
cos2x
³
x6=π
2+kπ
´
,k∈Z (tanu)0= u
0
cos2u
³
u6=π
2+kπ
´
,k∈Z
(cotx)0= −
sin2x (x6=kπ),k∈Z (tanu)
0= − u0
sin2u (u6=kπ),k∈Z
¡
logax
¢0
= x.lna
¡
logau
¢0
= u
0
u.lna
(lna)0=1
x (lnu)
0=u0
u
(ax)0=ax.lna (au)0=u0.aulna
3 Phương trình tiếp tuyến
! • Hệ số góc tiếp tuyến điểmM(x0;y0)thuộc đồ thị hàm số y=f(x)là f0(x0) • Phương trình tiếp tuyến tạiM(x0,y0)có dạng y−y0=f0(x0)(x−x0)
Cơng thức lượng giác
1 Cơng thức lượng giác bản
• sin2x+cos2x=1
• tanx=sinx
cosx, x6=
π
2+kπ • cotx=cosx
sinx, x6=kπ
• tanx.cotx=1
• 1+tan2x=
cos2x, x6=
π
2+kπ • 1+cot2x= −
sin2x, x6= +kπ
! cos−đối,sin−bù, phụ - chéo, kémπtan cot, π
2 chéosin
2 Cơng thức cộng
• sin(a+b)=sina.cosb+sinb.cosa
• sin(a−b)=sina.cosb−sinb.cosa
• cos(a+b)=cosa.cosb−sina.sinb
• cos(a−b)=cosa.cosb+sina.sinb
• tan(a+b)= tana+tanb
1−tana.tanb
• tan(a−b)= tana−tanb
(9)• cos2a = cos2a−sin2a = 2cos2a−1 =
1−2sin2a
• sin2a=2sina.cosa
• tan2a= 2tana
1−tan2a
• sin3a=3sina−4sin3a
• cos3a=3cos3a−3cosa
• sin2a=1−cos2a
2 • cos2a=1+cos2a
2 • tan2a=1−cos2a
1+cos2a 4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosacosb=1
2[cos(a+b)+cos(a−b)] sinasinb= −1
2[cos(a+b)−cos(a−b)] sinacosb=1
2[sin(a+b)+sin(a−b)]
5 Cơng thức biến tổng thành tích
cosa+cosb=2cosa+b
2 cos
a−b
2 cosa−cosb= −2sina+b
2 sin
a−b
2 sina+sinb=2sina+b
2 cos
a−b
2 sina−sinb=2cosa+b
2 sin
a−b
2
6 Phương trình lượng giác bản sinx=avàcosx=aTrường hợp|a| >1 phương trình vơ nghiệm
Trường hợp|a| <1,
sinx=a cosx=a
Đặc biệt
sinx=0⇔x=kπ
sinx=1⇔x=π
2+k2π sinx= −1⇔x= −π
2+k2π
cosx=0⇔x=π
2+kπ cosx=1⇔x=k2π
cosx= −1⇔x=π+k2π
∃ asao chosinx=a ∃asao chocosx=a
Nếu a
(chẵn số) sin
x=sina⇔
"
x=a+k2π
x=π−a+k2π cosx=cosa⇔
"
x=a+k2π
(10)Nếu a (lẻ
số) sin
x = a ⇔
"
x=arcsin(a)+k2π
x=π−arcsin(a)+k2π
cosx=a⇔
"
x=arccos(a)+k2π
x= −arccos(a)+k2π
Nếu a
(theo đơn vị độ)
sinx = sinao ⇔
"
x=ao+k360o x=π−ao+k360o
cosx=cosao⇔
"
x=ao+k360o x= −ao+k360o
7 Phương trình lượng giác bảntanx=avàcotx=a
tanx=a (x6=π
2+kπ) cotx=a (x6=kπ)
Đặc biệt
tanx=0⇔x=kπ
tanx=1⇔x=π
4+kπ tanx= −1⇔x= −π
4+kπ
cotx=0⇔x=π
2+kπ cotx=1⇔x=π
4+kπ cotx= −1⇔x= −π
4+kπ
∃asao chotanx=a ∃asao chocotx=a Nếua(chẵn số) tanx=tana⇔x=a+kπ cotx=cota⇔x=a+π
Nếua(lẻ số) tanx=a⇔x=arctan(a)+kπ cotx=a⇔x=arccot(a)+kπ
Nếu a ( theo đơn vị độ) tan
x=tanao⇔x=ao+k180o cotx=cotao⇔x=ao+k180o
C LỚP 12
Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
• Nếu f0(x)≥0và f0(x)=0 số hữu hạn điểm củaK HSĐB trênK
(11)! Hàm y=ax+b
cx+d khơng xét dấu Quy tắc:
a) Tìm tập xác định
b) Tính đạo hàm f0(x) Tìm nghiệm f0(x)=0 xi∈Rhoặc f0(x)=0không xác định c) Lập BBT
d) Kết luận
Cực trị hàm số
Hàm số y=f(x)có đạo hàm tạix0và đạt cực trị x0 f0(x0)=0 Quy tắc • Tìm tập xác định
• TÍnh f0(x) Tìm điểm f0(x)bằng khơng xác định
• Lập bảng biến thiên
• Từ bảng biến thiên suy cực trị Nếu f0(x) đổi dấu qua xi hàm số đạt cực trị tạixi
Quy tắc • Tìm tập xác định
• Tính f0(x) Giải phương trình f0(x)=0 kí hiệu xi (i=1,2,3, ,n)là
các nghiệm
• Tính f00(x)và f00(x
i),(i=1,2,3, ,n)
• Dựa vào dấu f00(xi)suy tính chất cực trị điểm xi
+o Nếu f00(xi)>0thìxi điểm cực tiểu
+o Nếu f00(xi)<0thìxi điểm cực đại
Cực trị hàm bậc - Trùng phương
• Hàm số bậc có cực trị khi:∆y0>0 Khơng có cực trị khi:∆y0≤0
• Hàm số trùng phương có cực trị khi:ab<0 Có cực trị khi:ab≥0
+o điểm cực trị hàm trùng phương tạo thành tam giác cân +o cosB AC=
b3+8a b3−8a
+o S4ABC=
s
− b
5
(12)Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Quy tắc
1 Tìm điểm x1;x2; ;xntrên khoảng(a;b)tại f0(x)=0hoặc f0(x)KXĐ Tính f(a);f(x1);f(x2); ;f(xn);f(b)
3 Tìm số lớn M số nhỏ m số Sử dụng máy tính FX-580VNX
Bước 1. w 8(TABLE) Bước 2. NHẬP F(X)=
Bước 3. START=a, END =b, STEP= b−a
29 Chú ý:−∞ = −10,+∞ =10
Đường tiệm cận
• lim
x→+∞f(x)=y0; limx→−∞f(x)=y0 (y0=const)⇒TCN: y=y0
• TCĐ: x=x0 x0=constlà nghiệm mẫu không nghiệm tử
• Giao điểm TCĐ TCN tâm đối xứng đồ thị
Đồ thị hàm số
1 Đồ thị hàm số y=ax3+bx2+cx+d
a>0 a<0
∆y0>0
x y
O x
y
O
∆y0=0
x y
O x
y
(13)∆y0<0
x y
O x
y
O
2 Đồ thị hàm số y=ax4+bx2+c.
a>0 a<0
a·b<0
x y
O x
y
O
a·b≥0
x y
O x
y
O
2 Đồ thị hàm số y=ax+b cx+d.
ad−bc<0 ad−bc>0
x y
O
x y
(14)Tịnh tiến đồ thị phép suy đồ thị
Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Cho (C) đồ thị hàm số y=f(x)và p>0, ta có:
• Tịnh tiến (C) lên p đơn vị tì đồ thị y=f(x)+p
• Tịnh tiến (C) xuống p đơn vị tì đồ thị y=f(x)−p
• Tịnh tiến (C) sang trái p đơn vị tì đồ thị y=f(x+p)
• Tịnh tiến (C) sang phải p đơn vị tì đồ thị y=f(x−p) Dạng 1:Từ đồ thị (C): y=f(x)suy đồ thị (C’): y=f(|x|)
Ta có: y=f(|x|)làhàm chẵnnên đồ thị (C’) nhậnO ylàm trục đối xứng Cách vẽ (C’) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục Oy đồ thị (C): y=f(x)
• Bỏ phần đồ thị bên trái trục Oy (C), lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy
Dạng 2:Từ đồ thị (C): y=f(x)suy đồ thị (C’): y= |f(x)| Cách vẽ (C’) từ (C):
• Giữ nguyên phần đồ thị bên trục Ox đồ thị (C): y=f(x)
• Bỏ phần đồ thị bên trục Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox
Sự tương giao
Cho hai hàm số y=f(x)và y=g(x)có đồ thị là(C1)và(C2)
•Khi đósố giao điểmcủa hai đồ thị(C1)và(C2)chính bằngsố nghiệm phương trình f(x)=g(x)và hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình
! Phương trình f(x)=0là phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị(C1)với trục hoànhOx
!
• Cơ lậpm:
• Nếu g(m)≤f(x)thì g(m)≤minf(x)
• Nếu g(m)≥f(x)thì g(m)≥maxf(x)
Lũy thừa (a>0)
• am·an=am+n
• (a·b)n=an·bn
• pak=ak2
• am
an =a m−n
• ³a
b
´n
=abnn
• pn
ak=a
k n
• (am)n=am·n
• a−n= an
• mppn
(15)• loga1=0
• loga(xÃy)=logax+logay
ã logaa=1
ã loga
àx
y
ả
=logaxlogay
ã logaa=
ã logaxα=αlogax
• logxa=
1 logax
• logamx=
mlogax
• logax=logab·logbx
• logax=
logbx
logba
Hàm số lũy thừa y=xα,α∈R
Tập xác định
a) D=Rkhiαnguyên dương
b) D=R\ {0}khiα nguyên âm
c) D=(0;+∞)khiα không nguyên
O x
y α>1
α=1
0<α<1 α=0 α<0
1
Hàm số mũ y=ax (a>0)
• Tập xác địnhD=R
• y0=axlna,∀x∈R
• HSĐB R a>1, HSNB trênRkhi khia<1
• TCN: y=0
x y
O
1
a>1
x y
O
1 0<a<1
Hàm số Lơgarit y=logax
• Tập xác địnhD=(0;+∞)
• y0=
xlna,∀x∈(0;+∞)
• HSĐB (0;+∞) a> 1, HSNB trên(0;+∞)khi khi0<a<1
• TCĐ: x=0
x y
O
1
x y
O
(16)Phương trình, bất phương trình mũ
ax=b⇔x=logab af(x)=ag(x)⇔f(x)=g(x)
a>1 0<a<1
af(x)>ag(x)⇔ f(x)>g(x) af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)
Phương trình bất phương trình logarit
Khi giải phương trình bất phương trình logarit: Đặt điều kiện
logax=b⇔x=ab logaf(x)=logag(x)⇔ f(x)=g(x)
a>1 0<a<1
logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x) logaf(x)>logag(x)⇔ f(x)<g(x)
Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến rút tiền
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơnr%/ kỳ hạn số tiền khách nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn(n∈N∗)là
! Sn=A+n·A·r=A(1+nr)
2 Lãi kép: Lãi kép tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau nkì hạn n∈N∗là
(17)1 Kí hiệuZ f(x)dx=F(x)+C 2 Tính chất
• Z f0(x)dx=f(x)+C
• Z k f(x)dx=k
Z
f(x)dx vớik6=0
• Z [f(x)±g(x)]dx=
Z
f(x)dx±
Z
g(x)dx
Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp
Nguyên hàm Nguyên hàm mở rộng
1 Z 0dx=C
Z
kdx=k·x+C Z xαdx= x
α+1
α+1+C,α6= −1
Z
(ax+b)αdx=1 a·
(ax+b)α+1
α+1 +C,α6= −1
3 Z
x2dx= −
1
x+C
Z dx
(ax+b)2 = −
1
a
1
ax+b+C Z axdx= a
x
lna+C
Z
amx+ndx= m·
amx+n
lna +C Z exdx=ex+C
Z
eax+bdx= ae
ax+b
+C Z
xdx=ln|x| +C
Z
ax+bdx=
1
a.ln|ax+b| +C Z cosxdx=sinx+C
Z
cos(ax+b)dx=1
a·sin(ax+b)+C Z sinxdx= −cosx+C
Z
sin(ax+b)dx= −1
acos(ax+b)+C Z cos12
xdx=tanx+C
Z
cos2(ax+b)dx=
1
atan(ax+b)+C 10 Z
sin2xdx= −cotx+C
Z
sin2(ax+b)dx= −
1
acot(ax+b)+C
! Lưu ý sau đổi biến tính nguyên hàm xong cần phải trả lại biến cũ ban đầu
Tích phân
1 Kí hiêu
b
Z
a
f(x)dx=F(x)
¯ ¯ ¯
b a=
F(b)−F(a) 2 Tính chất
•
a
Z
f(x)dx=0 •
b
Z
f(x)dx= −
a
Z
(18)•
b
Z
a
k f(x)dx=k
b
Z
a
f(x)dx(k∈R)
•
b
Z
a
f(x)dx=
c
Z
a
f(x)dx+
b
Z
c
f(x)dx(a<c<b)
•
b
Z
a
[f(x)±g(x)]dx=
b
Z
a
f(x)dx±
b
Z
a
g(x)dx
• Nếu y=f(x)là hàm lẻ, liên tục đoạn[−a;a]thì
a
Z
−a
f(x)dx=0
• Nếu y=f(x)là hàm chẵn, liên tục đoạn[−a;a]thì
a
Z
−a
f(x)dx=2
a
Z
0
f(x)dx
Diện tích hình phẳng
(H)=
y=f(x) y=0 x=a x=b
⇒S=
b
Z
a
|f(x)|dx (H)=
y=f(x) y=g(x) x=a x=b
⇒S=
b
Z
a
|f(x)−g(x)|dx
Thể tích khối trịn xoay
• Loại 1
Vật thể trịn xoay sinh quanh quanh trục Oxhình phẳng giới hạn đường y=f(x),y=0,x=a,x=b với
f(x)liên tục đoạn[a;b] Áp dụng công thức: V=π
b
Z
a
f2(x)dx x
y
O a b
y=f(x)
(19)Vật thể trịn xoay sinh quanh quanh trục Oxhình phẳng giới hạn đường y= f(x),y=g(x),x=a,x=b với f(x),g(x) liên tục đoạn [a;b]
0≤g(x)≤f(x)∀x∈[a;b] Áp dụng công thức:
V=π
b
Z
a
Ê
f2(x)g2(x)Ô
dx
x y
O a b
y=f(x)
y=g(x)
!
• Nhiều tập chưa cho x=a,x=bthì ta GPT f(x)=g(x)để tìma,b
• Nếu xác định vị trí hàm số f(x)và g(x)thì ta mở giấu GTTĐ sau:
+o ĐTHS f(x)nằm ĐTHS g(x)trên[a,b]thì f(x)>g(x),∀x∈[a,b]
+o ĐTHS f(x)nằm ĐTHS g(x)trên[a,b]thì f(x)<g(x),∀x∈[a,b]
Thể tích vật thể
Cắt vật thể V hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x=a,x=b(a<b) Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc vớiOx điểm x,(a≤x≤b) cắtV theo thiết diện có diện tíchS(x) VớiS(x)liên tục đoạn[a;b]
x
a x b
Thể tích vật thểV giới hạn hai mặt phẳng(P)và(Q)tính cơng thức
V=
b
Z
a
S(x)dx
Số phức
(20)+o Phần thực:a
+o Phần ảo:b
• Cho z=a+bi z0=a0+b0ithì
+o z+z0=(a+a0)+(b+b0)i
+o z−z0=(a−a0)+(b−b0)i
+o z·z0=(aa0−bb0)+(ab0+a0b)i
+o z
z0=
aa0+bb0 a02+b02 +
a0b−a−b0 a02+b02
2 Số phức liên hợp
• Cho z=a+bi thìz=a−bi số phức liên hơp z
• Tính chất:
+o z·z=a2+b2; z1+z2=z1+z2; z1·z2=z1·z2
+o
µz
1
z2
¶
=z1
z2; z+z=2a; z−z=2bi 3 Mơđun số phức
• Cho a=z+bi thì|z| =pa2+b2
• |z| = |z|; |z1·z2| = |z1| · |z2|
•
¯ ¯ ¯ ¯
z1 z2
¯ ¯ ¯ ¯=
|z1|
|z2|; |z1+z2| ≤ |z1| + |z2|; |z1−z2| ≥ |z1| − |z2| 4 Biểu diễn hình học số phức
• z=a+bi⇒M(a;b)
• |z| =OM
O x
y
b
a M
5 Phương trình bậc hai
• ax2+bx+c=0,(a6=0),∆=b2−4ac
• ∆>0 phương trình có hai nghiệm thực:x1,2=−b± p
∆
2a
• ∆<0 Phương trình có hai nghiệm phức:x1,2=−b± p
|∆|i
(21)II
(22)Một số cơng thức cần nhớ
Để tính góc hai đường thẳng không gian cần nhớ cơng thức sau:
• Định lý hàm số cơ-sin tam giác4ABC:
•BC2=AB2+AC2−2AB·AC·B AC
•cosB AC=
AB2+AC2−BC2
2·AB·AC •# »AB·# »AC=AB·AC·cosB AC=
1
2(AB2+AC2−BC2)
A B
C
• Tính góc hai đường thẳng ABvà CD ta tính góc hai véc-tơ # »ABvà CD# » dựa vào công thức
cos³AB# »;CD# »´=
# »
AB·CD# »
¯ ¯ ¯
# »
AB¯¯ ¯·
¯ ¯ ¯
# »
CD¯¯ ¯
⇒cos(AB;CD)=
¯ ¯ ¯
# »
AB·CD# »
¯ ¯ ¯ ¯
¯ ¯
# »
AB¯¯ ¯·
¯ ¯ ¯
# »
CD¯¯ ¯
từ suy góc hai đường thẳng ABvà CD
Góc đường thẳng mặt phẳng
• Xác định giao điểmO củad và(α)
• Lấy điểm Atùy ý d khác vớiO
• Xác định hình chiếu H A lên mp(α)
• ϕlà góc d và(α)thìϕ=AOH α
H O A
d
d0
Góc hai mặt phẳng
• Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng(α)và (β)
• Dựng hai đường thẳng a, b nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến ctại điểm c Khi đó:³(àα),(β)
´
=³ad,b ´
• Hay ta xác định mặt phẳng phụ(γ)vng góc với giao
tuyến c mà(α)∩(γ)=a, (β)∩(γ)=b Suy ³(àα),(β) ´
=
³ d
a,b´
α
β
c a
(23)Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có S A⊥(ABC) Xác định khoảng cách từ chân đường cao A đến mặt bên(SBC)
Dựng
(
AK⊥BC, (K∈BC) AH⊥SK, (H∈SK) Ta có:
(
BC⊥AK
BC⊥S A (do S A⊥(ABCD))⇒BC⊥(S AK) ⇒BC⊥AH
Do đó, ta có
(
AH⊥BC
AH⊥SK ⇒AH⊥(SBC) ⇒d(A,(SBC))=AH
B K
C H
S
A
Các phương pháp đưa khoảng cách từ chân đường vng góc
a) Sử dụng song song đường thẳng mặt phẳng
Đường thẳngdquaM, qua chân đường vng gócAvàd∥(P) Khi d(M,(P))=
d(A,(P))
H A M
I d∥(P)
P
b) Sử dụng tỷ số khoảng cách
O
A M
H K d
P
K
A
H
M O
P
Nếu H hình chiếu vng góc A trên(P), đường thẳng d qua hai điểm M, A cắt(P)tạiO
Khi đó: d(M,(P))=OM
(24)Khối đa diện đều
Khối đa
diện Hình Sốđỉnh Sốcạnh Sốmặt Loại V R
Tứ diện
đều (6) A
B
C M G S
4 {3;3} V=p2a3
12 R=
ap6
4
Khối lập phương (9)
B A
C D A0
B0
C0
D0
8 12 {4;3} V=a3 R=a p
3
Bát diện
đều (9) A
B
D C M
N
6 12 {3;4} V=p2a3
3 R=
ap2
2
Mười hai mặt
(15) 20 30 12 {5;3} 15
+7p5
4 a3 R=
p
3+p15
4 a
Hai mươi mặt
(15) 12 30 20 {3;5} 15
+5p5
12 a3 R=
p
10+p20
4 a
Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp
• Hình hộp chữ nhật có kích thức khác nhau: có3 mặt phẳng đối xứng
• Hình lăng trụ tam giác đều: có4 mặt phẳng đối xứng
(25)! Khối chóp khơng cótâm đối xứng
Hình học phẳng
• 4ABC vng A:BC2=AB2+AC2
•
AH2=
1
AB2+
1
AC2
• Diện tíchS4ABC=1
2AB·AC • 4ABC vuông cân A
+o S4ABC=BC
2
4
+o BC=ABp2 A C
B
H
Định lý Thales
M N∥BC⇒ AM AB =
AN AC =
M N BC =k S∆AM N
S∆ABC =
µAM
AB
¶2
=k2
C B
A
M N
Diện tích đa giác
Diện tích tam giác
Đối với tam giác thường ta sử dụng cơng thức tính diện tích sau đây:
! S∆ABC=1
2a·ha=
1
2a·b·sinC=
abc
4R =pr=
p
p(p−a)(p−b)(p−c)
!
• Tam giác ABC vng A: S∆ABC=1
2AB·AC • Tam giác ABC cạnha:S∆ABC=a
2p3
4 • Tam giác cạnh có đường cao a
p
3
(26)Diện tích tứ giác
Các tứ giác đặc biệt mà ta thường gặp toán: a) Hình vng ABCD cạnh a: SABCD=a2=1
2AC·BD
b) Hình chữ nhật ABCD:SABCD=AB·AD c) Hình thoi:SABCD=1
2AC·BD=AB·AD·sinA
d) Hình bình hành ABCD:SABCD=AB·AD·sinA e) Hình thang ABCD:SABCD=(a+b)·h
2
Thể tích khối đa diện
• Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáyB chiều cao hlà V=B·h
• Thể tích khối chóp có diện tích đáy Bvà chiều cao hlà V=1
3·B·h
• Nếu(H)là khối lập phương có cạnh bằngathìV(H)=a3
• Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kích thước a·b·c
• Nếu hai khối đa diện(H1)và(H2)bằng thìV(H1)=V(H2)
• Nếu khối đa diện (H)được phân chia thành hai khối đa diện(H1)và(H2)thì: V(H)=V(H1)+V(H2)
Hình chóp đều
a) Đáy đa giác (hình chóp tam giác có đáy tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy hình vng)
b) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (hình chóp tam giác có chân đường cao trùng với trọng tâm G, hình chóp tứ giác có chân đường cao trùng với tâm O hình vng)
c) Các mặt bên tam giác cân d) Góc cạnh bên mặt đáy
(27)A B C M G S Góc giữa mặt bên và mặt đá y Góc giữa cạnh bên vàmặt đáy B A C D O S M Góc giữa mặt bên vàmặt đáy Góc giữa cạnh bên vàmặt đá y
! Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác
Tỉ số thể tích khối chóp
Các kết thường dùng
Kết 1: Cho tam giácO AB, cạnhO A chọn A0, cạnhOBchọnB0 Khi đó: SO A0B0
SO AB = O A0
O A · OB0
OB
Kết 2: Cho hình chóp S.ABC, cạnh S A chọn A0, cạnh SB chọnB0 cạnhSC chọnC0
Khi đó: VS.A0B0C0
VS.ABC = S A0
S A · SB0
SB · SC0
SC Kết 3:
Cho hình chóp S.ABCD, cạnh S A chọn A0, cạnh SB chọnB0 cạnh SC chọnC0trên cạnhSD chọnD0
Khi đó:
! VS.A0B0C0
VS.ABC =
a+b+c+d
4·abcd Trong đó:
a= S A S A0,b=
SB SB0,c=
SC SC0,d=
SD SD0
B A C D O S
A0 D0 C0
B0
Tỉ số thể tích khối lăng trụ
(28)! VA0B0C0.M N P
VA0B0C0.ABC =
a+b+c
3
Trong đó: a= A
0M
A A0,b=
B0N BB0,c=
C0P CC0
A C B A0 B0 C0 M N P
Kết 2:
! VABCD.M N PQ VABCD.A0B0C0D0 =
a+b+c+d
4
Trong đó: a= AM
A A0,b=
BN BB0,c=
CP CC0,d=
DQ DD0
B A C D A0 B0 C0 D0 M Q N P
Khối tròn xoay
CẦU TRỤ NĨN
KHỐI TRỊN XOAY M O H P r R d
d2+r2=R2
A B C D O O0 r h l
h=`
A B C I α l h r
r2+h2=`2 DIỆN
TÍCH *S=4πR2
*Sxq=2πrh *St p=Sxq+2Sđáy
=2πrl+2πr2
*Sxq=πrl
( lđường sinh, rbkính) *St p=Sxq+Sđáy
=πrl+πr2 THẾ
TÍCH V=43πR3 V=πr
2h V=1
3πr2h
(29)! Đường thẳngd(I;∆)=R ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I có bán kính R Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I có bán kính R
d(I;(P))=R
Thiết diện khối nón trụ
•
Thiết diện qua trục OO0 hình trụ ln hình chữ nhật A0B0B A
+o Chiều rộng: AB=2R
+o Chiều dài: A A0=h=`
+o Diện tích:SA0B0B A=AB.A A0=2·R·`
A O B
A0 O0 B0
•
Thiết diện qua trục hình nón đỉnh S ln tam giác cân đỉnhS
+o Cạnh bên:S A=SB=`
+o Chiều dài: AB=2R
+o Diện tích:SS AB=R·h
O S
A
B
Thiết diện không qua trục
1 Khối nónGọiH trung điểm AB
• Tam giác SAB tam giác cân
• d(O,(S AB))=OK
• (S ABá),(đáy)=SHO
• (SOá),(SAB)=OSH
• R2=OH2+AH2
! Hlà trung điểm AB A
B H
S
(30)1 Khối trụ
• ABCD hình chữ nhật
• d(O,(ABCD))=OH
• R2=OH2+HD2
! H trung điểm AD
O0
B
O D H
C
A
Bán kính đường trịn ngoại tiếp
Hình Tính bán kính ngoại tiếp đáy Tam giác cạnha Rđáy=
p
3 a
Tam giác vng Rđáy=1
2·cạnh huyển
Hình vuông cạnh a Rđáy=
p
2 a
Hình chữ nhật cạnha,b Rđáy=1
2
p
a2+b2
Hình thang nửa lục giác Rđáy=1
2·đáy lớn
Tam giác thường cạnha,b,c Rđáy= abc
4Sđáy
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
• Khối đa diện có cạnh bên vng góc mặt đáy R=
s
R2
d+
àh
2
ả2
+o Hình hộp chữ nhật + Hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vng
R= p
a2+b2+c2
(31)+o Hình lập phươngR=a p
3
• Chóp có mặt bên vng góc mặt đáyR=
s
R2
b+R2d−
d2
4
• Hình chóp đều: Gọihlà độ cao hình chóp klà chiều dài cạnh bên Khi R= k
2
2h
• Gọi d độ dài đoạn thẳng mà tất đỉnh cịn lại nhìn góc vng Khi đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp làR= d
2
Mặt cầu nội tiếp
GọiV thể tích khối đa diện St p diện tích tồn phần đa diện Khi đó, bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện r= 3V
St p
Tọa độ không gian
1 Tọa độ véctơ
• Vec-tơ đơn vị: #»i =(1;0;0), #»j =(0;1;0), #»k(0;0;1)
• Vec-tơ #»a=a1←−i +a2#»j +a3#»k ⇒#»a=(a1;a2;a3)
• Tính chất:Cho hai véc tơ #»a =(a1;a2a3), #»b =(b1;b2;b3)
+o Tổng hiệu: #»a±#»b =(a1±b1;a2±b2;a3±b3)
+o Tích số với vec tơ:k#»a =(ka1;ka2;ka3)
+o Độ dài vec tơ:|#»a| =
q
a21+a22+a23
+o Hai vec tơ nhau: #»a =#»b ⇒
a1=b1 a2=b2 a3=b3
+o Hai vec tơ phương: #»a =k#»b ⇒ a1 b1=
a2 b2 =
a3 b3 =k
+o Tích vơ hướng hai vec tơ: #»a·#»b =a1·b1+a2·b2+a3·b3
(32)+o Tích có hướng hai vec tơ:h#»a,#»bi=
µ¯ ¯ ¯ ¯
a2 a3 b2 b3
¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ ¯
a3 a1 b3 b1
¯ ¯ ¯ ¯; ¯ ¯ ¯ ¯
a1 a2 b1 b2
¯ ¯ ¯ ¯ ¶
=(a2b3−a3b2;a3b1−a1b3;a1b2−a2b1)
+o Góc hai vec tơ:0◦≤α≤180◦
cosα=cos
³#»
a,#»b´= a1b1+a2b2+a3b3
q
a21+a22+a23·qb21+b22+b23 2 Tọa độ điểm
• A(x;y;z)⇔O A# »=x·#»i +y·#»j +z·#»k
• Cho M(x;y;z)khi
+o Hình chiếu củaM lênOxlà M1(x;0;0)
+o Hình chiếu củaM lênO y làM2(0;y;0)
+o Hình chiếu củaM lênOz làM3(0;0;z)
+o Hình chiếu củaM lênOx ylàM4(x;y;0)
+o Hình chiếu củaM lênOxz M5(x;0;z)
+o Hình chiếu củaM lênO yz làM6(0;y;z)
• Tính chất
Cho điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB),C(xC;yC;zC)
+o Độ dài đoạn thẳng AB: AB=
q
(xB−xA)2+(yB−yA)2+(zB−zA)2
+o Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB
xI=xA+xB
2
yI= yA+yB
2
zI=
zA+zB
2
+o Điểm chia đoạn thẳng ABtheo tỉ sốk:M A# »=k·MB# » xM=xA−k·xB
1−k ; yM=
yA−k·yB
1−k ; zM=
zA−k·zB
1−k
+o Tọa độ trọng tâmG tam giác ABC
xG= xA+xb+xc
3
yG= yA+yb+yc
3
zG= zA+zb+zc
3
(33)• #»a #»b phương: h#»a,#»bi=#»0
• #»a, #»b, #»c đồng phẳng:
h#»
a,#»b
i
·#»c =#»0
• Diện tích4ABC S4ABC=1
2
¯ ¯ ¯
h# »
AB,AC# »i¯¯ ¯
• Diện tích tình bình hành ABCD: SABCD=
¯ ¯ ¯
h# »
AB,AC# »i¯¯ ¯
• Thể tích tứ diện ABCD:VABCD=1
6
¯ ¯ ¯
h# »
AB,# »ACi·AD# »
¯ ¯ ¯
• Thể tích hình hộp: ABCD.A0B0C0D0:VABCD.A0B0C0D0=
¯ ¯ ¯
h# »
AB,# »ACi·A A# »0
¯ ¯ ¯
! • Ba điểm A,B,C ba đỉnh tam giác khi←→ABkhông phương ←→AC
• Bốn điểm A,B,C,D đỉnh tứ diện [AB# »;AC# »]·←→AD6=←→0
Phương trình mặt cầu
Trong khơng gianOx yz, phương trình mặt cầu(S)có tâmI(a;b;c)bán kínhR là:
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2 Phương trình:
x2+y2+z2−2ax−2b y−2cz+d=0
với điều kiện a2+b2+c2−d>0 phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c), có bán kính R=pa2+b2+c2−d
Một số yếu tố tam giác
Xét tam giác ABC, ta có:
• Hlà chân đường cao hạ từ A của∆ABC⇔
(# »
AH⊥BC# »
# »
BH=kBC# »
• AD đường phân giác của∆ABC⇔DB# »= −AB AC
# »
DC
• AE đường phân giác ngồi của∆ABC⇔EB# »= AB AC
# »
EC
• Hlà trực tâm của∆ABC⇔
# »
AH⊥BC# »
# »
BH⊥# »AC
h# »
AB,AC# »
i
(34)• I tâm đường tròn ngoại tiếp∆ABC⇔
¯ ¯ ¯
# »
I A¯¯ ¯=
¯ ¯ ¯
# »
IB¯¯ ¯ ¯
¯ ¯
# »
I A
¯ ¯ ¯=
¯ ¯ ¯
# »
IC
¯ ¯ ¯ h# »
AB,# »ACi.A I# »=0
Phương trình tổng quát mặt phẳng ! #»n6=0 là VTPT giá của #»n vng góc với(P)
• PTTQ(P): Ax+B y+C z+D=0 có vec-tơ pháp tuyến #»n=(A;B;C)
• Mặt phẳng(P) :
(Đi qua
M(x0,y0,z0) V T P T#»n=[#»a,#»b] A(x−x0)+B y−y0+C(z−z0)=0
• Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng ABđi qua trung điểm ABvà có vectơ pháp tuyến #»n =AB# »
• Mặt phẳng(P)có cặp vec-to phương←→a và←→b VTPT (P) #»n=[#»a,#»b]
• Nếu(p)∥(Q)thìn# »P=n# »Q
• Mặt phẳng qua A,B,C phân biệt khơng thẳng hàng có VTPT #»n=hAB# »,AC# »i
• Mặt phẳng(α)vng góc với đường thẳng ABcó #»n=# »AB
• Cho mặt cầu(S)có tâm I
Khi mặt phẳng (α)tiếp xúc với mặt cầu(S)tại điểm H có #»n=I H# »
!
+o Mặt phẳng(P)cắt ba trục tọa độ A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ⇒(P): x
a+ y b+
z c =1
+o Các mặt phẳng đặc biệt
* (O yz) :x=0 * (Oxz) :y=0 * (O yz) :z=0
+o Nếu phương trình (α) khơng chứa ẩn mặt phẳng (α)
song song chứa trục tương ứng Chứa D=0
Phương trình đường thẳng
! #»u6=0 là VTCP giá của #»u song song trùng vớid
• Đường thẳng ∆ qua điểm M(x0;y0;z0) có véc-tơ phương #»u =
(35)+o Phương trình tham số∆:
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
(t∈R)
+o Phương trình tắc∆: x−x0
a = y−y0
b = z−z0
c nếu(abc6=0)
• Đường thẳng∆đi qua hai điểm A vàB #»u=# »ABhoặc #»u =B A# »
• Nếu #»u véc-tơ phương của∆thìk#»u(k6=0)cũng véc-tơ phương của∆, đường thẳng có vơ số véc-tơ phương
• Nếu #»a,#»b cặp véc-tơ khơng phương #»u=h#»a,#»bi
Góc
• Góc hai mặt phẳng
(P)có véc-tơ pháp tuyến #»n1, (Q)có véc-tơ pháp tuyến #»n2 Gọiϕlà góc hai mặt phẳng(P)và(Q) Ta có: cosϕ=
¯
¯#»n1·#»n2 ¯ ¯ ¯
¯#»n1 ¯ ¯·
¯ ¯#»n2
¯ ¯
• Góc hai đường thẳng
∆1 có véc-tơ phương #»a1,∆2 có véc-tơ phương #»a2 Gọiϕlà góc hai đường thẳng∆1 và∆2 Ta có: cosϕ=
¯
¯#»a1·#»a2 ¯ ¯ ¯
¯#»a1 ¯ ¯·
¯ ¯#»a2
¯ ¯
• Góc đường thẳng mặt phẳng
∆có véc-tơ phương #»a∆, (α)có véc-tơ pháp tuyến #»nα Gọiϕlà góc hai đường thẳng∆và (α) Ta có sinϕ=
¯
¯#»a∆·#»nα ¯ ¯ ¯
¯#»a∆ ¯ ¯·
¯ ¯#»nα
¯ ¯
Khoảng cách
• Khoảng cách từ A(x0;y0;z0)đến(P): Ax+b y+C z+D=0: d(A,(P))=|Axp0+B y0+C z0+D|
A2+B2+C2
• Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng∆ ∆đi qua điểm M0 có véc-tơ phương #»a∆
d(M,∆)=
¯ ¯ ¯
h#»
a∆,M# »0Mi¯¯ ¯ ¯
¯#»a∆ ¯ ¯
• Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau
∆1 qua điểm M có véc-tơ phương #»a1,∆2 qua điểm N có véc-tơ
(36)d(∆1,∆2)=
Ê#ằ
a1,#ằa2Ô
ÃM N# »
¯ ¯ ¯ ¯
¯ £#»
a1,#ằa2Ô
V trớ tng i
ã Vị trí tương đối hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng(P1) A1x+B1y+C1z+D1=0và(P2) A2x+B2y+C2z+D2=0 Khi ta có ba trường hợp
1 (P1)≡(P2)⇔ A1 A2 =
B1 B2 =
C1 C2 =
D1 D2· (P1)∥(P2)⇔ A1
A2 = B1 B2=
C1 C26=
D1 D2· (P1)cắt(P2)⇔A1:B1:C16=A2:B2:C2 Lưu ý: A1.A2+B1.B2+C1.C2=0⇔(P1)⊥(P2)
• Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng
Cho(∆) :
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
và(P) :Ax+B y+C z+D=0
Thế(∆)vào (P)ta được: A(x0+at)+B(y0+bt)+C(z+ct)+D=0⇔A0t+B0=0 (1)
+o Nếu (1) có nghiệm t=t0 thì(∆)cắt(P)tại điểm M0(x0+at0;y0+bt0;z0+zt0)
+o Nếu (1) vơ nghiệm thì(∆)∥(P)
+o Nếu (1) vơ số nghiệm thì(∆)∈(P)
• Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Cho mặt cầu(S)=(I;R)và mặt phẳng(P)
+o Nếud(I,(P))=R thì(P)tiếp xúc(S)
+o Nếud(I,(P))>R thì(P)khơng cắt(S)
+o Nếud(I,(P))<R thì(P)cắt(S)theo đường trịn(C)=(O;r) Khi đód2+r2=R2
• Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho(∆) :
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
và(S) : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=0
Thế(∆)vào (S)ta phương trình bậc hai: A0t2+B0t+C0=0 (2)
+o Nếu∆>0thìd cắt(S)tại hai điểm phân biệt
+o Nếu∆=0thìd tiếp xúc với (S)và d(I,(∆)=R)
(37)• Vị trí tương đối hai đường thẳng
Chod1:
(
đi quaM
V TCP=u# »1 d2:
(
đi quaN V TCP=u# »2
+o [u# »1,u# »2]=#»0 thìd1 song song trùng d2 Lấy M∈d1
* NếuM∈d2 thìd1trùng d2
* NếuM∉d2 thìd1song song d2
+o [u# »1,u# »2]6=#»0 thìd1 cắt chéo d2 Khi
* [u# »1,u# »2]·M N# »=#»0 thìd1cắt d2
* [u# »1,u# »2]·M N# »6=#»0 thìd1chéo d2
• Vị trí tương đối điểm mặt cầu Cho điểm Avà mặt cầu(S)=(I;R)khi
+o I A>R Anằm ngồi(S)
+o I A=R Anằm trên(S)
+o I A<R Anằm trong(S)
Tọa độ hình chiếu đối xứng điểm qua mặt phẳng
Cho điểm M(x0;y0;z0)và mặt phẳng(P): Ax+B y+C z+D=0 Xét T= Ax0+B y0+C z0+D
A2+B2+C2 Khi
• Tọa độ hình chiếu M lên(P)làH:
x=x0−AT y=y0−BT z=z0−CT
• Tọa độ điểm đối xứng M qua(P)là M0: