Sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài: Tỷ lệ thức

ChÝnh v× vËy sau khi häc xong kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7B lớp tội trực tiếp giảng dạy ra đề bài một số dạng toán[r]

Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp - Tù - H¹nh phóc - - -  - - - S¸ng kiÕn kinh nghiÖm đề tài: tỷ lệ thức * * * Gi¸o viªn: lª thÞ kim anh Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân A PhÇn më ®Çu: 1- lý chọn đề tài: To¸n häc kh«ng nh÷ng lµ m«n khoa häc cã mÆt hÇu hÕt mäi lÜnh vùc đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng phát triển chủ thể xã hội đó là người chÝnh v× vËy m«n to¸n kh«ng thÓ thiÕu ®­îc: “ to¸n häc lµ m«n thÓ thao cña trÝ tuÖ giúp chúng ta nhiều việc rèn luyện phương pháp học tập, phương pháp giảI vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo” Là giáo viên dạy toán nhiều năm chương trình trình cũ và chương trình đổi thay sách Tôi nhận tháy đa phần học sinh lớp (kể học sinh có lực) từ việ tiếp thu kiến thức lý thuyết định nghĩa, tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập và tỉ lệ thức học sinh còn lúng túng nhiều Từ việc tìm hướng giải đến việc thực các bước giải, kể bài tương đối bình thường đến bài toán khó H¬n n÷a b¶n th©n t«i nhËn thÊy kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt d·y tØ sè bàng khá quan trọng việc tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh tam giác, các tam giác đồng dạng (ở lớp 8-9) vv ChÝnh v× vËy sau häc xong kiÕn thøc vÒ tØ lÖ thøc, tÝnh chÊt cña d·y tØ sè nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7B (lớp tội trực tiếp giảng dạy) đề bài số dạng toán kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bµng vµ thÊy kÕt qu¶ nh­ sau: Líp 7B Sè HS Sè häc sinh gi¶i ®­îc ®­îc kh¶o s¸t SL % 38 5.0 Sè HS biÕt hướng nh­ng kh«ng gi¶i ®­îc SL % 21.0 Sè HS kh«ng thÓ gi¶i ®­îc SL 28 % 74.0 §©y lµ mét kÐt qu¶ mµ t«i kh«ng thÓ kh«ng suy nghÜ, tr¨n trë vµ b¨n kho¨n chÝnh vì nên tôi đã đisâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giảI bài tập tỷ lệ thøc - Giới hạn đề tài: Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số chương trình toán học lớp THCS Vì điều kiện thời gian trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi vào số vấn đề sau: 2.1- Lý thuyÕt: + §Þnh nghÜa vÒ tû lÖ thøc + TÝnh chÊt cña tû lÖ thøc -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân + TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng + C¸c kiÕn thøc liªn quan 2.2- C¸c d¹ng to¸n: a, liÖt kª c¸c tû lÖ thøc tõ c¸c ph©n tö (NÕu cã thÓ) b, Cho mét tû lÖ thøc, hay suy c¸c tû lÖ thøc kh¸c c, Tìm các số chưa biết cho biết tỷ lệ thức các đẳng thức d, Các bài toán thực tế đời sống người liên quan đến tỷ lệ thức Phương pháp nghiên cứu: - §äc c¸c tµi liÖu tham kh¶o - Học hỏi kinh nghiệm các đồng nghiệp Thêi gian nghiªn cøu: Từ tháng năm 2010 đến hết tháng năm 2011 B Néi dung: Lý thuyÕt: 1.1- §Þnh nghÜa vÒ tû lÖ thøc: Tỷ lệ thức là đẳng thức hai tỷ số a c  hoÆc a : b = c : d b d Trong đó các số: a,b,c,d gọi là các số hạng tỷ lệ thức Các số a và d gọi là ngo¹i tû, b vµ c gäi lµ trung tû 1.2- TÝnh chÊt cña tû lÖ thøc + TÝnh chÊt 1: méi tû lÖ thøc, tÝch trung tû th× b»ng ngo¹i tû NÕu a c  th× a.d = b.c b d + TÝnh chÊt 2: Nõu tÝch cña thõa sè khac b»ng tÝch cña thõa sè kh¸c th× ta cã thÓ lËp ®­îc tû lÖ thøc: NÕu cã: a.d = b.c (a,c,d ≠ 0) th× cã: a c b d  ;  ; b d a c a b c d  vµ  c d a b 1.3- TÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau: -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân a, a c ac ac  =  (b ≠  d ) b d bd bd b, a c m acm acm  =   (C¸c mÉu sè kh¸c 0) b d n bd n bd n 1.4- C¸c kiÕn thøc cã liªn quan a, tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè: NÕu ta nh©n c¶ tö sè vµ mÉu sè víi cïng mét sè kh¸c th× ta ®­îc mét ph©n sè míi phân số đã cho a a.m  ( b ≠ 0, m ≠ 0) b b.m NÕu ta chia c¶ tö sè vµ mÉu sè víi cïng mét sè kh¸c th× ta ®­îc mét ph©n sè míi phân số đã cho a a:m  ( b ≠ 0, n ≠ 0) b b:m    b, Tæng gãc mét tam gi¸c b»ng 1800: A + B + C = 1800 c, Quãng đường chuyển động tích vận tốc với thời gian hết quãng đường đó: S = V.T - C¸c d¹ng to¸n, c¸ch gi¶i vµ bµi tËp ¸p dông 2.1 - D¹ng 1: Cho tËp hîp c¸c phÇn tö, h·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè hạng khác là các phần tử đã cho: a, C¸ch gi¶i: sö dông tÝnh chÊt tû lÖ thøc: NÕu a c  th× a.d = b.c b d b, VÝ dô: Cho tËp hîp sè A= 4,8,16,32, 64 H·y liÖt kª tÊt c¶ c¸c tû lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c lµ c¸c phÇn tö cña A Gi¶i: Mét tû lÖ thøc a c  cã c¸c sè h¹ng kh¸c nÕu: a ≠ b, a ≠ c, d ≠ ab, b ≠ c, b d b ≠ d, c ≠ d, vµ a.d ≠ b.c XÐt c¸c nhãm phÇn tö cña A, xÕp theo thø tù: Hưỡng dẫn học sinh xét tích số này tích số ta có: + Víi nhãm: 4,8,16,32 th× x 32 = x 16 vµ ta cã tØ lÖ thøc nh­ sau: 16 32 16 32    ;  ; ; 32 16 16 32 + Víi nhãm: 4,8,32, 64 th× ta cã: x 64 = x 32, ta cã tØ lÖ thøc sau: 32 64 16   ;  ; ; 64 32 32 64 32 64  + Víi nhãm: 8,16,32, 64 th× ta cã: x 64 = 16 x 32, ta cã tØ lÖ thøc sau: -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 32 16 64 16    ; ; ; 16 64 32 32 64 Trường THCS Nghi Ân 32 64  16 Nh­ vËy ta cã 12 tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng kh¸c thuéc tËp hîp A Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu bài toán này ta không đòi hỏi các số h¹ng kh¸c th× ngoµi 12 tØ lÖ thøc trªn ta cßn cã c¸c tØ lÖ thøc kh¸c n÷a: VÝ dô: 8 16 16 16 64 16 16 32 16 32 32 64      ;  ; ;  ; ;  ; ; 16 16 64 16 16 32 16 32 64 16 32 c, bµi tËp vËn dông: * Bµi 1: Cho tËp hîp A= 2,8,32,128,512 H·y liÖt kª mäi tØ lÖ thøc cã c¸c sè h¹ng lµ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A Với bài tập này số lượng học sinh hiểu và nắm bắt cách giải từ việc vận dụng ví dụ mà giáo viên đã có tăng từ 10 em  15 em thời gian 15 phút đã làm xong và có kết (có giúp đỡ máy tính bỏ túi) Số học sinh còn lại lËp ®­îc mét sè tû lÖ thøc Gi¶i: tõ c¸c phÇn tö cña tËp hîp A ta cã c¸c hÖ thøc: + x = x tõ hÖ thøc nµy cã c¸c tû lÖ thøc : + x 128 = 32 x 32 Suy c¸c tØ lÖ thøc sau: + 32 x 512 = 128 x 128 ta cã hÖ thøc sau: + x 512 = 32 x 32 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 8  vµ  32 32 32 32 128   vµ 32 128 32 32 128 128 512   vµ 128 512 32 128 32 32 512   vµ 32 512 32 + x 128 = x 32 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 128 32 32 128  ;  ;   vµ 32 128 32 128 + x 512 = 32 x 128 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 128 512 32 512 32  ;    vµ 32 512 32 128 512 128 + x 512 = x 128 ta cã c¸c tØ lÖ thøc sau: 128 512 128 512  ;  ;   vµ 512 128 128 512 Nh­ vËy tõ c¸c phÇn tö tËp hîp A cã thÓ lËp ®­îc 20 tû lÖ thøc kh¸c * Bµi 2: T×m x biÕt: a, x 60  15 x b, 2  x  x Víi bµi tËp nµy häc sinh muèn t×m gi¸ trÞ cña x ph¶i sö dông tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc x 60  15 x  x.x = (-15).(-60)  x2 = 900  x= 30 Tương tự b, Học sinh tìm : x2 = 16  x=  25 d, Bµi tËp tù gi¶i: -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân * cã thÓ lËp ®­îc tye lÖ thøc c¸c sè sau ®©y kh«ng? nÕu lËp ®­îc h·y viÕt tØ lÖ thøc đó: 2,2 ; 4,6 ; 3,3 và 6,7 * lập tất các tỉ lệ thức có thể từ các đẳng thức sau: a, 7.(-28) = (-49).4 b, 0,36 x 4,25 = 0,9x 1,7 2.2 - D¹ng 2: cho tØ lÖ thøc, h·y suy tØ lÖ thøc kh¸c: a, VÝ dô: Cho tØ lÖ thøc: a c  ; b d h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau: a c  ( gi¶ sö a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ ) a b c d b, C¸c c¸ch gi¶i: * C¸ch 1: §Ó chøng minh a c  ta xét tường tích a.(c-d) và c.(a-b) a b c d Ta cã: a.(c-d) = ac - ad (1) c.(a-b) = ac - cb (2) a c   a.d = b.c (3) b d Ta l¹i cã: Tõ (1), (2), (3)  a(c-d) = c(a-b) Do đó: a c  a b c d * Cách 2: Dùng phương pháp đặt a c  = K th× a = bK ; c = dK b d Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè: a c  theo K ta cã: a b c d a bK bK K    a  b bK  b b( K  1) K  (1) c dK dK K    c  d dK  d d ( K  1) K  (2) Tõ (1) vµ (2)  a c  a b c d * C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña tû lÖ thøc: a c a b  ta ®­îc  b d c d ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta ®­îc: a b a b   c d cd -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña Trường THCS Nghi Ân a a b a c   ta ®­îc c cd a b c d * C¸ch 4: tõ a c b d b d a b c d a c        1  1  b d a c a c a c a b c d Từ cách trên ta đến nhận xét Để chứng minh tỷ lệ thức a c  thường ta dùng b d phương pháp chính : Phương pháp 1: chứng tỏ ad=bc Phương pháp 2: Chứng tỏ tỷ số a c vµ cã cïng mét gi¸ trÞ b d Nếu đề tài đã cho trước tỷ lệ thức khác thì ta đặt các giá trị mội tỷ số tỷ lệ thức đã cho K, tính giá trị tỷ số tỷ lệ thức phải chøng minh theo K (c¸ch 2) Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc hoán vị các số hạng tính chất dãy tỷ số Tính chất đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã tỷ lệ thức phải chứng minh (cách và 4) c, Bµi tËp vËn dông: Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau a c  b d Hãy chứng minh các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức có nghĩa) a, 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d b, ad a  b  cd c  d 2 ab a  b2 c,   c2  d  c  d  Từ cách giải ví dụ mà giáo viên đã ra, Học sinh có thể giải theo cách, Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách và hưỡng dẫn học sinh cùng thực Gi¶i: §Æt a, a c  = K th× a = bK vµ c = dK b d 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) K     (1) 2a  3b 2bK  3b b(2 K  3) K  2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) K     2c  3d 2dK  3d d (2 K  3) K  Tõ (1) vµ (2)  (2) 2a  3b 2c  3d  2a  3b 2c  3d C©u: (b, c) häc sinh tù gi¶i -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân d, bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ Tõ tû lÖ thøc a c ab cd  h·y suy tØ lÖ thøc  b d a c  a ac  b bd  ab a  b  cd c  d * bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: a  b ab a c    2 c d cd b d * Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: ab ca   HÖ thøc a2 = bc a b c a 2.3 - D¹ng III: T×m c¸c sè ch­a biÕt biÕt c¸c tû lÖ thøc a, C¸ch gi¶i: * ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng a c ac ac     b d bd bd * VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè a c am cK a : n     b d bm dK b : n * Đặt tỷ lệ thức đã cho K tìm mối quan hệ ẩn số qua K b, VÝ dô: + VÝ dô 1: T×m sè x, y biÕt: x y  vµ x + y = 21 BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16 Gi¶i: Tõ x y  ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng ta cã: x y x  y 21     Do đó: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 5 Tõ 7x = 3y   x= 3  4 1     y x x  y 16 3.4 7.4  12 ; y =  28 1 1 -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân VÝ dô 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng x y y z  ;  vµ 2x + 3y – z = 186 Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy y y vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè ( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20 VËy: x y x y  hay  3.5 4.5 15 20 (1) y z y z    20 28 (2) Tương tự: Gi¶i: Tõ gi¶i thiÕt: x y y z   ; 15 20 20 28 Theo tÝnh chÊt b»ng cña tØ lÖ thøc: x y z x y x  y  z 186         x  45; y  60; z  84 15 20 28 30 60 30  60  28 62 c, Bµi tËp vËn dông: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: x  z  y  z 1 x  y     y x z x yz Gi¶i: ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng ta cã: x  z  y  z 1 x  y  ( x  z  2)  ( y  z  1)  ( x  y  3)     = y x z x yz x yz = 2( x  y  z )  v× ( x + y + y ≠ ) x yz Do đó: x + y + z = 0,5  x + y = 0,5 – z Tương tự tìm x + z và y + z; thay kết này vào đề bài ta được: 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 x y z Tøc lµ: 1,5 0,5  y 2,5  z   2 x y z VËy: x  ; y  ; z  5 d, Bµi tËp tù gi¶i: Bµi 1: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: a, a b c   vµ a + 2b - 3c = -20 -Trang Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân b, a b b c  ;  vµ a – b + c = -49 c, a b c   vµ a  b  2c  108 Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng: a, x y z   vµ 5x + y - 2z = 28 10 21 b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32 c, x y y z  ;  vµ 2x – 3y + z = d, 2x 3y 4z   vµ x + y +z = 49 e, x 1 y  z    vµ 2x + 3y – z = 50 g, x y z   vµ xyz = 810 2.4 - D¹ng IV: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống người, vào hình học … a, VÝ dô 1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tû lÖ víi 2, 3, Gi¶i:    Số đo các góc ABC là A ; B ; C Giả sử theo thứ tự này, các góc đó tỉ lệ với    2, vµ nghÜa lµ A : B : C = : : hay       A B C A  B  C 1800      200 23    Do đó: A  400 ; B  600 ; C  800 b, VÝ dô 2: Một người A  B đã tính với vận tốc là 6km/h thì từ B lúc 11h45’ Vì người đó quãng đường với vận tốc định trước và quãng đường còn lại với vận tốc 4,5km/h nên ddén B lúc 12h Hỏi người khởi hµnh lóc mÊy giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ? Gi¶i: Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h theo đề bài ta có: A B -Trang 10 Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân AB, Giải sử để quãng đường CB với vận tốc 6km/h cần thời gianlà t1 giêi Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian t2 giê Ta cã: CB = t1 - t2 = 12h – 11h45 = (h) vµ t1 = 4,5 t2 h t2 t1 t2  t1      h Từ đó  t2 = 1h; t1 = h 4,5  4,5 1,5 Qu·ng ®­êng Ab lµ : 4,5 = 22,5km Qu·ng ®­êng Cb lµ : = 4,5km Thời gian để từ A  B là t1 + t2 = 3h + 1h = 4h Thời gian khởi hành để là 12 - = 8h c, Bµi tËp tù gi¶i: * Bµi 1: Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 000® ; 000® vµ 10 000® TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trên Hỏi loại có tờ ? * Bài 2: Trên công trường xây dựng có đội coong nhân làm việc Biết số công nhân đội I số công nhân đội II số công nhân đội III Biết 11 số công nhân đội I ít tổng số công nhân đội I và đội II là 18 người Tính số công nhân đôi B KÕt luËn Với nỗ lực không ngừng giáo viên và học sinh Cô trò tôi đã thu kết đáng mừng Điều trước tiên tôi thấy là học sinh hăng say học tập các lên lớp còng nh­ c¸c giê «n luyÖn häc sinh kh¸, giái Víi häc sinh líp 7B mµ t«i gi¶ng dạy các dạng bài toán liên quan đến tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại Với đề tài này trước hết tôi đã phần lý thuyết phần có kèm theo ví dụ mà t«I cho lµ ®iÓn h×nh C¬ b¶n nh»m gióp c¸c em còng cè vµ n¾m v÷ng h¬n vÒ lý thuyết Sau các em đã nắm vững lý thuyết thì tôi đã phần bài tập vận dụng lý thuyết và hiểu biết đã học để làm Mặc dù quá trình làm bài tập số em còn vướng mắc với gợi ý tôi hầu hết các em tìm hướng giải và làm hết bài tập mà tôi đã Trong đó số em có tiến rõ rệt Ngoài bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đến tỷ lệ thức các sách nâng cao để làm Sù tiÕn bé vµ sù ®am mª cña c¸c em lu«n lµ nguån søc m¹nh tiÕp thªm cho t«i c«ng t¸c gi¶ng d¹y vµ nghiªn cøu cña m×nh Nh÷ng thµnh tùu mµ c« trß t«i -Trang 11 Lop7.net S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Trường THCS Nghi Ân đạt làm tôi liên tưởng đến lời bác dạy “ Không có việc gì khó, sợ lòng không bền, đào núi và lấp biển trí làm nên” Để làn khẳng định lại kết mà cô trò tôi đã đạt và khép lại phần tỷ lệ thưc là lúc kết thúc đề tài Tôi đã tiến hành khảo sát lại và kết thật đáng mừng sau: Líp Sè HS Sè häc sinh Sè HS biÕt Sè HS kh«ng thÓ ®­îc gi¶i ®­îc hướng nh­ng gi¶i ®­îc kh¶o s¸t kh«ng gi¶i ®­îc SL % SL % SL % 7B 38 28 KÕt qu¶ trªn lµ sù cè g¾ng kh«ng ngõng cña c¶ c« lÉn trß chóng t«i Víi nh÷ng kiến thức mà các em đã thu cùng với nỗ lực vươn lên các em T«I hy väng r»ng kh¶ n¨ng häc to¸n n¾m vøng trÝ thøc sau mçi phÇn, mçi lÜnh vùc kiÕn thøc sù ham mª häc to¸n cña c¸c em ngµy mét t¨ng lªn Do điều kiện thời gian và trình độ có hạn tôi nên đề tài không thể tránh khái nh÷ng thiÕu sãt Vậy tôi mong các đồng nghiệp và hội đồng thẩm định các cấp góp ý kiến chân tình để đề tài tôi hoàn thiện T«i ch©n thµnh xin c¶m ¬n ! Ngµy 30 th¸ng n¨m 2011 Người thực hiện: Lê Thị Kim Anh -Trang 12 Lop7.net