Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị của biểu thức đại số gồm các bước sau - Thực hiện thu gọn các biểu thức đã cho phân tích thành nhân tử hoặc đưa về dạng hằng đẳn[r]
(1)Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số CHỦ ĐỀ NHÂN CHIA ĐA THỨC Kiến thức Với A, B, C, … là các đơn thức tùy ý Ta có: A(B C ) AB AC (A B )(C D ) AC AD BC BD (A B C ) : D A : D B : D C : D Với A, B là các đa thức biến thì luôn tồn hai đa thức Q và R cho A B Q R ( bậc R nhỏ bậc B ) Nếu R thì A chia hết cho B Nếu R thì A không chia hết cho B Nâng cao a Định lý Bê – zu Số dư phép chia đa thức f (x ) cho đa thức x a đúng f (a) b Hệ định lý Bê – zu Nếu a là nghiệm đa thức f (x ) thì f (x ) chia hết cho x a * Đặc biệt: Nếu tổng các hệ số đa thức f (x ) thì là nghiệm f (x ) và f (x ) chia hết cho x Nếu f (x ) có tổng các hệ số bậc chẳn tổng các hệ số bậc lẻ thì 1 là nghiệm f (x ) và f (x ) chia hết cho x Các ví dụ minh họa VD Thực phép tính (a) 2xy(x 2y y 1) , (b) x 2y(2xy y 1) , (c) (x y )(x xy y ) , (d) (x xy 3)(x 2y ), 2 (e) (12x y 6x y 3x y ) : 3xy , (f) (2x x 3x 4) : (x 1) Lời giải (a) 2xy(x 2y y 1) 2xy.x 2y 2xy.y 2xy.1 2x 3y 2xy 2xy 1 1 (b) x 2y(2xy y 1) x 2y.2xy x 2y.y x 2y.1 2 2 3 x y x y x y 2 2 2 (c)(x y )(x xy y ) x.x x.xy x.y y.x y.xy y.y x x 2y xy x 2y xy y x y GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (2) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 1 (d) (x xy 3)(x 2y ) x 2.x x 2.2y xy.x xy.2y 3.x 3.2y 2 x 2x 2y x 2y xy 3x 6y 3 x x y xy 3x 6y (e) (12x 4y 6x 2y 3x 2y ) : 3xy 12x 4y : 3xy 6x 2y : 3xy 3x 2y : 3xy 4x 3y 2xy x (f) (2x x 3x 4) : (x 1) - 2x x 3x 2x 2x - x 1 2x x x 3x x2 x - 2x 2x Vậy: (2x x 3x 4) : (x 1) 2x x Bài tập tự luyện Bài Thực phép tính (a) 3x( 2x 3x ), (b) x 2(3x x ), 3 2 (c) (5xy x 2y ) x y, (d) (2x - xy x )(- xy ) Bài Thực phép tính (a) (2x 1)(2x 1), (b)(5x 2y )(x xy 1), (c) ( x 1)(2x 3) (d) (x 1)(x 1)(x 2), (e) (x 2x x 2) : (x 1) ( f )(y 8) : (y 2) Bài Tính giá trị các biểu thức sau (a) x(x 2) (x 2)(x 2) x 2 , (b) x(x y ) y(x y ) x 1, và y 10 GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (3) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số Hướng dẫn: Rút gọn các biểu thức thay các giá trị x, y vào Bài Tìm x , biết: (a) x(x 2) x , (b) 2x(x 5) x(3 2x ) 26 , (c)(x 3)(2x 1) (x 3)(x 2) Hướng dẫn: Nhân các đa thức với rút gọn các số hạng đồng dạng Bài Xác định a để đa thức x 2x 3x a chia hết cho đa thức x Hướng dẫn: Thực chia đa thức x 2x 3x a cho x dư là R , cho R suy giá trị a cần tìm sử dụng định lý Bê – zu, tính f (1) và cho f (1) suy giá trị a GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (4) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số CHỦ ĐỀ HẰNG ĐẲNG THỨC, PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I HẰNG ĐẲNG THỨC (5 tiết) A Kiến thức A 2AB B 2) A B A 2AB B 3) A – B A B A – B 4) A B A 3A B 3AB B 5) A B A 3A B 3AB B 6) A B A B A AB B 7) A B A B A AB B 1) A B 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 3 2 2 * Lưu ý: (A B )2 (B A)2 B Các ví dụ minh họa VD1: Tính (a) (2x 1)2, (b) (x 3y )2, (d) (x 3)3, (e)(5 2y )3, Lời giải (a) (2x 1)2 (2x )2 2.2x.1 12 (c) x 16, ( f ) x 4x 4x (b) (x 3y )2 x 2.x.3y (3y )2 x 6xy 9y (c) x 16 x 42 (x 4)(x 4) (d) (x 3)3 x 3.x 2.3 3.x.32 33 x 9x 27x 27 (e) (5 2y )3 53 3.52.2y 3.5.(2y )2 (2y )3 125 150y 60y 8y ( f ) x x 23 (x 2)(x xy 22 ) (x 2)(x xy 4) VD2 Đưa các biểu thức sau dạng các đẳng thức (a) x 2x 1, (b) 16 8y y 2, (d) 8x 12x 6x 1, Lời giải (e) (2x 3y )(4x 6xy 9y ) GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (c) (2x 3)(2x 3), (5) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số (a) x 2x x 2.x.1 12 (x 1)2 (b) 16 8y y 42 2.4.y y (4 y )2 (c) (2x 3)(2x 3) (2x )2 33 4x (d) 8x 12x 6x (2x )3 3.(2x )2.1 3.2x.12 13 (2x 1)3 (e) (2x 3y )(4x 6xy 9y ) (2x 3y ) (2x )2 2x.3y (3y )2 (2x )3 (3y )3 8x 27y VD3 Tính giá trị các biểu thức sau (a) x 10x 25 x 15 , (b) 3x 3x x x 9, (c) 8x 12x 2y 6xy y x 6, y 2 Hướng dẫn: Phương pháp chung để giải bài toán tìm giá trị biểu thức đại số gồm các bước sau - Thực thu gọn các biểu thức đã cho (phân tích thành nhân tử đưa dạng đẳng thức) - Thay biến giá trị đã cho, lưu ý với các giá trị biến đã cho là số âm, ta cần đặt dấu ngoặc - Thực các phép tính (lũy thừa, nhân, chia, cộng và trừ) Lời giải (a) Ta có x 10x 25 x 2.x.5 52 (x 5)2 Thay x 15 vào (x 5)2 Ta được: (15 5)2 102 100 Vậy giá trị các biểu thức x 10x 25 x 15 là 100 (b) Ta có 3x 3x x 13 3.12.x 3.1.x x (1 x )3 Thay x 9 vào (1 x )3 Ta được: (1 9)3 103 1000 Vậy giá trị các biểu thức 3x 3x x x 9 là 1000 (c) Ta có 8x 12x 2y 6xy y (2x )3 3.(2x )2.y 3.2x.y y (2x y )3 Thay x 6, y 2 vào (2x 3y )3 Ta được: (2.6 2)3 103 1000 Vậy giá trị các biểu thức 8x 12x 2y 6xy y x 6, y 2 là 1000 C Bài tập tự luyện GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (6) Bài giảng chủ đề tự chọn Bài Tính nhanh (a) 132 26.3 32, (c) 75.65, Bài Tính Đại số (b) 252 52 50.5, (c) 96.104 1 (b) (x )2, (c) (3x y )2, 2 (d) 27x 1, (e) 125y 8, ( f ) (3x y )3 Bài Đưa các biểu thức sau dạng các đẳng thức (a) x 4x 4, (b) x 10x 25, (c) (x 5y )(x 5y ), (a) (x 3y )2, (d) y 3y 3y 1, (e) (x 1)(x x 1), Bài Tìm x , biết: (a) x 0, ( f ) (3 2y )(9 6y 4y ) (b) x 2x, (c) 2x x x 3x II PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (4 tiết) A Kiến thức * Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành tích đa thức ta có thể viết công thức sau: f (x ) f1(x ).f2(x ) fn (x ) * Cách giải : Để giải các bài toán dạng này ta dùng các phương pháp sau: Đặt nhân tử chung, Dùng đẳng thức, Nhóm hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp Ngoài bốn phương pháp trên ta có thể sử dụng các phương pháp sau Tách hạng tử, Thêm bớt cùng hạng tử, Biến đổi, Phương pháp đồng hệ số( hay còn gọi là phương pháp hệ số bất định) B Các ví dụ minh họa VD Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (a) 6xy 3y, (b) x 2y x 2y 2xy, 2 (c) x(x y ) xy(x y ), (d) 3x(x 1) 9(1 x ), (e) x 64, ( f ) 64x Lời giải GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (7) Bài giảng chủ đề tự chọn (a) 6xy 3y 3y.2x 3y.1 3y(2x 1) x y x 2y 2xy xy x xy.xy xy.2 2 xy( x xy 2) 2 (c) x(x y ) xy(x y ) x(x y ) x(x y ).y 3 x(x y )( y ) (d) 3x(x 1) 9(1 x ) 3x(x 1) 9(x 1) (b) 3(x 1)(x 9) (e) x 64 x 82 (x 8)(x 8) ( f ) 64x (4x )3 13 (4x 1) (4x )2 4x.1 12 (4x 1)(16x 4x 1) C Bài tập tự luyện Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (a) 5xy 10y, (b) x 2y 3x 6xy, 7 (c) x(x 1) xy(x 1), (d) 6x(x y ) 3y(y x ), 3 (e) x 4x 4, ( f ) x 16, (g) 27x , (h) x 12x 2y 48xy 64y 3, 27 (i ) x 2x y 2, (k ) x xy x y, (l ) 5x 5xy 7x 7y, (m) x 2xy y z2, (n ) x 4x 2y 4xy xz2, (u) y 4y Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau (a) x(x 10) y(10 x ) x 2010 và y 2009 , (b) x y 2xy x 10 và y 1, 1 x 0, 25 , (c) x x 16 (d) y z2 2z y 2003 và z Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử (a) x 2x 3, (b) x 7x 6, (c) x x 6, (d) y GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net Đại số (8) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số Hướng dẫn: Ở câu (a), (b) và (c) dùng phương pháp tách và nhóm hạng tử, riêng câu (d) dùng phương pháp thêm bớt hạng tử (4y ) vào đa thức Bài 13 Tìm x , biết (a) x 5x 0, (b) x (x 1)2 (c) x x 0, (d) 5x(x 1) x 1, (e) x 4x 0, ( f ) x 10x 25 Bài 14 Tính giá trị nhỏ (hoặc lớn nhất) các đa thức sau (a) A x 6x 11, (b) B 2x 10x 1, (c) C 5x x Hương dẫn: Ở bài toán dạng này ta biến đổi các biểu thức dạng f (x ) (x a)2 b f (x ) (x a)2 b , ta có hai trường hợp: TH1: Nếu ta biến đổi biểu thức dạng f (x ) (x a)2 b f (x ) b nên: GTNN f (x ) b hay ( max f (x ) b ) x b TH2: Nếu ta biến đổi biểu thức dạng f (x ) (x a)2 b f (x ) b nên: GTLN f (x ) b hay ( f (x ) b ) x b GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (9) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số CHỦ ĐỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức Định nghĩa Phân thức đại số là biểu thức có dạng A , với A, B là đa thức và B khác B đa thức * Đặc biệt: Mỗi đa thức coi là phân thức với mẫu thức là Hai phân thức nhau: A C A.D B C B D Tính chất phân thức A A.M (M là đa thức khác 0) (a) B B M A A:N ( N là nhân tử chung A và B) (b) B B :N A A * Đặc biệt : (quy tắc đổi dấu) B B Rút gọn phân thức - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung, - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có) Quy đồng mẫu nhiều phân thức - Phân tích các mẫu thành nhân tử tìm mẫu thức chung, - Tìm nhân tử phụ phân thức, - Nhân tử và mẫu phân thức cho nhân tử phụ tương ứng B Bổ sung Phân số a A là trường hợp đặc biệt phân thức A, B là đa b B thức bậc Vì tính chất phân số là trường hợp đặc biệt tính chất phân thức đại số C Các ví dụ minh họa VD1: Dùng định nghĩa hai phân thức chứng tỏ rằng: 2y 6xy 5x(y 3) 5x (a) , (b) 9xy 7(y 3) Lời giải 2y 6xy (a) 9xy 2y.9xy 18xy 2y 6xy Ta có : 3.6xy 18xy 9xy GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (10) Bài giảng chủ đề tự chọn (b) 10 Đại số 5x(y 3) 5x 7(y 3) 5x(y 3).7 35xy 105x 5x(y 3) 5x 7(y y ).5x 35xy 105x 7( y y ) VD2: Rút gọn các phân thức sau 14x 3y 9xy 3(x y ) (a) , ( b ) , 7xy 6xy(x y ) 3x x x x 2y x y (c) , (d) 3x x x 2y x y Lời giải Ta có : (a) 14x 3y 7xy 2.2x 2x 7xy 7xy 2.y y (b) Ta thấy 9xy và 6xy có nhân tử chung là 3xy x y và x y có nhân tử chung là x y Do đó bài này giải sau 9xy 3(x y ) 3xy.y 2(x y ) 3xy.(x y ).y y2 6xy(x y ) 3xy.2(x y )(x y ) 3xy.(x y ).2(x y ) 2(x y ) (c) Ta có 3x x x(3x 1) mà mẫu thức là 3x không có nhân tử chung Để làm xuất nhân tử chung bài này ta dùng quy tắc đổi dấu A A Ta giải sau: B B 3x x (3x x ) x(3x 1) x 3x (1 3x ) 3x (d) Ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử chung, cụ thể ta phân tích sau Tử thức ta nhóm hạng tử thứ với thứ hai, hạng tử thứ ba với thứ tư (lưu ý dấu) Mẫu thức ta nhóm tương tự Do đó ta có lời giải sau: x x 2y x y (x x 2y) (x y) x x 2y x y (x x 2y) (x y) x 2(x y) (x y) (x y)(x 1) (x y) x (x y) (x y) (x y)(x 1) (x y) VD3 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (11) Bài giảng chủ đề tự chọn (a) và Đại số 11 và , 3x x 4 x 5 x (d) và 3x x 4x (b) , 3x y 2xy 10 (c) và , x 2 3x Lời giải (a) v à 3x 2y 2xy Đây là bài đơn giản mẫu thức hai phân thức là đơn thức đó quy đồng ta cần chú ý phần biến và phần hệ số Phần hệ số ta tìm bội chung nhỏ nhất, Biến số lấy biến có lũy thừa cao xuất đơn thức Ta có lời giải sau MTC: 6x 2y 3x y 2xy 3x y 2xy 14 6x y 3xy 15xy 3xy 6x 2y 3 và 3x x 4 Ta thấy mẫu thức hai phân thức là đơn thức giải bài này ta cần phân tích mẫu thức thành nhân tử 3x 3(x 2) (b) x (x 2)(x 2) Từ đó ta có mẫu thức chung là 3(x 2)(x 2) 2 (x 2) 2(x 2) 3x 3(x 2) (x 2) 3(x 2)(x 2) 3 x (x 2)(x 3) 3(x 2)(x 3) 10 và x 2 3x Từ 3x 3(2 x ) ta nhận thấy x x , ta quy đồng mẫu (c) nào? (dùng quy tắc đổi dấu A A B B 1 1 ) 3x (6 3x ) 3x GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net biến đổi phân thức thứ hai (12) Bài giảng chủ đề tự chọn 12 Đại số Ta có lời giải sau MTC: 3(x 2) 10 10 30 x x 3(x 2) 1 1 1 3x (6 3x ) 3x 3(x 2) (d) x 5 x và 3x x 4x Dùng đẳng thức a 2ab b2 (a b)2 để phân tích x 4x thành nhân tử Ta có: x 4x x 2.x.2 22 (x 2)2 đó bài tập này ta giải sau MTC: 3(x 2)2 x 5 x 5 x 3(x 5) x 4x (x 2)2 (x 2)2 3(x 2)2 x x x (x 2) x(x 2) 3(x 2) 3(x 2) (x 2) 3(x 2)2 3x D Bài tập tự luyện Bài 15 Dùng định nghĩa hai phân thức chứng minh các đẳng thức sau: 3x 9x 2y x 2y 7x 3y (a) , (b) , 35xy 2y 6xy x 2(x 2) x x x 6x (c) , ( d ) 3x x(x 2)2 x x2 Bài 16 Dùng định nghĩa hai phân thức hãy đa thức A đẳng thức sau: A x2 x 3x 6x 3x (a) , (b) , x 1 x 1 A 4x x 2x A x 2x x 2x (c) , (d) x 1 2x A 2x 3x Bài 17 Rút gọn các phân thức 15x 3y x(x 25) x 4x (a) , (b) , (c) , 2xy(x 5) 3x y x(x 4) x2 14xy 5(2x 3y ) 8xy(2x 1)3 (d) , (e) , (f ) , 2 3x(x 3) 21x y(2x 3y ) 12x 3(1 2x ) 20x 45 5x 10xy (x 5)2 (g) , (h) , (i ) (2x 3)2 2(2y x )3 x 4x GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net (13) Bài giảng chủ đề tự chọn Đại số 13 Bài 18 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (a) và , 3x y 12xy 3x y 2 (c) và , 12xy 9x y 4x x 3 (e) và , 2x(x 3) 3x(x 1) GV: Lữ Ngọc Triệu(Trương THCS Thanh Sơn) Lop8.net 11 và , 102x y 34xy x 1 x 1 (d) và , 9x y 4xy 2x x 2 (f ) v à (x 2)2 2x(x )2 (b) (14)