Giúp các em phương pháp giải các bài tập cơ học gồm Dao động và Sóng cơ học. Dành cho học sinh khá và giỏi các trường PTTH . Dùng cho học sinh các lớp chuyên . Ôn luyện thi vào các trường Đại học và Cao đẳng . Bồi dưỡng học sinh giỏi Trong mỗi phần có tóm tắt lý thuyết, nêu ra các phương pháp giải cơ bản và bài tập tự giải. Trong cuốn sách, có đề cập tới phương pháp năng lượng, tuy là một phương pháp hay, nhưng khó vận dụng trong giao động.
Trang 1
PHƯƠNG PHáP Giải TOGN
DAO DONG — SONG CO HOC
(Tái bản lần thứ hai)
BS a ~ Đừng cho học sinh khó cờ giỏi cớc trường THPT
~ Dùng cho học sinh cóc lớp chuyên
- Ôn luyện thi ào các trường Đại học va Cao đẳng
- Bồi dưỡng học sinh giỏi
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
Trang 3“phdp gidi c¢ loa bà
Trang 5.§t Chủ để 1 mm
_XÁC ĐỊNH PHA BAN DAU CỦA DAO BONG
Pha ban đầu của dao-déng thường phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của bài toán Giả sử đao động có phương trình
“x = Asin(wt + @), ở thời điểm ban đâu, khi t = 0, ta có :
Hđộ x¿=Asino Œ)
vận tốc v,=wAcosp (2)
động năng | Wa — cos”œ (3 Va = 4A cose
hn 1 Dek đế
thế năng Wi =D KAP sinto ®) Ak A KASdV0
Dựa vào một trong các phương trình trên để xác định pha
ban đầu ọ Tuy nhi¿n, các phương trình lượng giác trên thường
có nhiều nghiệm, ta không để sót nghiệm nhưng cũng phải biết cách loại nghiệm Vì thật ra, lúc = 0; vật dao động chỉ có một vị trí, một vận tốc,
Thí dụ I: Tìm pha ban đầu của đao động, biết rằng, tại
thời điểm ban đầu vật m ở vị trí cân bằng Giải Khi t= 0, x= 0 Từ (1), ta có 0= Asino sing = 0 = sinkm Ta có thể cho 9 = 0 hay @=m
Để chọn một nghiệm, ta chọn chiều đương trùng với vận
Trang 9
“biên: 48, né trai quae Baws kì, dao, động để có; -trạng thái ban” * °
ˆ đầu Cdn 15 5 bién dé NgLấi di ic 0 lên Bì sau 'đó:trở về vi tri Huy” : điểm M-: : ỳ Vậy, lí độ là Yx= -Š = -0,01 (ml) Để xác định vận tốc tức thời lúc đó, ta xuất phát từ hai phương trình x= 0, 02 cos(2nt + > ps =x =-U,04xsin(2nt + zi Với x 24 tạ có ~0,01 = 0,02 cos (2mE + = cos (27t + li st Vay sin(@nt+") = ih-= =o 2 2 4° 2 Vẻ =-0 04m (XÃ) Vật đang tiến vê phía 0 nén ta chon v > 0 v = 0,02V8 m (m/s) |
2) Ban đầu vật ở vị trí cân bằng O Theo nhận xét trên, với 1 mét đường đi vật ởi được 12,ð chu kì Phần còn lại 0,01m,
vật di hết = chủ kỳ (xem thí dụ 2)
Vậy khoảng thời gian cần thiết là (12,5 +) chu kỳ
_151 tha —> (s)
Trang 13
mot khoảng cách ahd Ms st peek
thì chit dao động 7, + gối Mục ph ĐH
thi chúng sẽ dao ông ofan eg ane | | trị my điều hồá - i : i Be ag “Timo ? % ere Co APs oe fo PS Giải a — Hai phương trình động lực học a = Ge > P,+Q,)+T +F =m,a, (3-8) >= = > Pi+T, =m, a, — Tại vị trí cần bằng : lồ xo đã dan một đoạn x, hai lực căng T¡ và T; bằng nhau và bằng T, Ta có 2 phương trình chiếu lên Ox là T, -Ka, = P,-T, =0 Rút gọn lại là Ps - Kx, =10 (3-7)
— Chọn chiều dương như hình về, giả sử tại li độ x, lực
Trang 15“Phuong trình -đống lue Pe Fy s re Tai vị trí cân a bling, pnd "` ¬ “` 1)" Tại 1i độ x, c phần: ngầm trong chất lồng là % -+ Sx “ta có + P~gD(V, + 5š} = Mx” 2 (3-18) Từ (3-12), (3-13) ta suy ra : ~ (SDg).x = Mx” (3-14) Trong phuong trình (3-14) hệ số không đổi SDg có vai trò hệ số của lực hồi phục K = SDg Vay T=2n/M =25 (at §4 Chủ đề 4 s
TÌM ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HỆ LÒ XO
Có thể chứng mịnh rằng hệ dao động điều hòa bằng cách coi hệ lò xo tương đương một lò xo Muốn vậy, ta phải tìm độ cứng tương đương của hệ Thông thường ta phải tìm đặc trưng động học và động lực học của a hé lo x6 Ti dé suy ra độ cứng
tương đương
Thí đụ 1: Tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo gồm : a) Tai lò xo nối tiếp có độ cứng Kụ, Kạ
b) Hai lò xo ghép song song, có cùng độ đài tự nhiên, có độ
etmg Ky, Ky
15
www.facebook.com/daykem.quynhon
Trang 19LBS
xà phường trình động lực học chø - :
ba lực đàn hồi của hệ, của lò xo 1;
Ox = Ry tk
(EL 4.4b) oe Ae) của lò xo 2 là : (
F= Kux = on, x, = 2Ky x (4-16)
Rut x, x1, xạ từ (4-16), thay vào (4-16) ta có.:
ow FF
Kig 2K, 3K;
oat Kia Ki Ke - 0-17)
b) Theo cách 2 : Vì hai độ dài luôn bằng MeÙ nên hai lò xo
này ghép song song một cách thuần túy, ta có :
Kia = K, + Ke - (4-18)
Tuy nhiên, bỏ qua khối lượng của thanh cứng AB, điểm treo Œ phải bảo đảm cho thanh này nằm ngang Muốn vậy, giá
Trang 23Đo ee -E, = "hằng š 86; ta ‘dao ba’ 2 về của là phương trình : 0 2 sthge + KG, +3) + vv ee đơn giản x' ta có : 0` =-mg + Kw, + Ấx + mx” _(8-8a) Ti (5-3a) va (5-4a), ta suy ra: mx” + Kx = 0
Đây là phương `trình động lực học đặc trưng của dao động điểu hòa Vậy m đao động điều hòa và tân số dao động vẫn là Thí dụ 3: Dùng phương pháp năng lượng, chứng minh rằng hệ lò xo và vật trong hình (8.3) đao động điều hòa Tìm o (H 5.3) Giải
Chọn mốc tính thế năng trọng lực là độ cao của vật, ta
chỉ còn hai thế năng của lực đàn hồi Ở vị trí cân bằng, ta có :
E, =2-mv2,, + 1K, 2 2 al? + 2K, 2 02? = hang sé
(Giả thiết là hai lò xo lưôn bị căng, Ai, Ai; là độ biến
dạng ở vị trí cân bằng)
Ky Al, = Ke Als, l (5-6)
Tại li độ x, từ hình (5.3) lò xo 1 bị căng một đoạn Ah+x lò xo 2 bị căng một đoạn ‘Aly - xX
Co nang toan phan la :
EB =F mv +5 (Al + xy? +5 Ko (Al -x
Trang 27ông hỗ sẽ cha _ Mỗi: ngày: chạy chậm, đi tôm oe => n= =a mở AE Fea ee a (An) aa ~ 2 G2) Ket hop (6-1).va (6-2), mỗi ngay đồng hỗ tiên cao chạy chậm ởi là : AT T, T; h #8 C9 set 2n -8 (An) = n, T + T lop (6-3) Nếu h << R thì ta lấy gần đúng : h An) = no — 6-4 (An) = n, R (6-4)
3) Bài toán 2 : Ảnh hưởng của nhiệt độ vào chu kì dao động
của con lắc đơn R
Thi du : a) Con lắc đơn có chu kì T¡ ở nhiệt độ tị, hỏi ở nhiệt d6 te > t, thì chu kì tăng hay giảm bao nhiêu ? ?
b) Coi đồng hỗ quả lắc là con lắc-đơn thì khi nhiệt
Trang 28“Gong thite (6-5).ch
Trang 29> : ` z ‘ el 3 P là trọng-lượng biểu kiến: Sau đây là các thí dụ điển hình Thí dụ 1 : Trên trần xe chuyển động theo phương ngang với ˆ 5
gia tốc không đổi a, người ta treo một con lắc đơn có chiều dài
1, khối lượng m Con lắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng
3, >
chứa veciơ a
a) Xác định vị trí cân bằng của con lắc
b) Xác định chu kì đao động bé của con lắc Giải > Fy=ma > Ế * (H 6.1a) Œ 6.1b)
Ta-có hai phương pháp giải sau đây i
1) Phương phắp sơ cấp : Xem hình (6:1a)
Trang 31b) Xuống chậm dân đều : -
“?@) Tiên nhanh đẩn đều _ a Lên chậm dân: đậu ee vị
_.H?nh 6 2) Yẽ con lắc aig a ig yen a
~ $0 véi thang may ởvị trí cân bing ` Chỉ có bai lực; tổng hợp của chứng ] là lực sinh gia tốc - = Q+P=ma L > >
chia cho m : g=g.-a
Trang 32_ một, : Trên trân tạ,
Trang 33'a) Do xe “trượt” tự do khong ma, sát nên ä eo sinœ Trong tam: op py e _Biác 06.3 cạnh là ma ; Py P bên shu iia œ: Ta đón
Pra Prices mm” TP“ 3P.ma: COSY _do cosy:= sing `
fen PPL Pre Pin? œ- 9P:mg, sina Sind a = P? — P’sin? « = P’cos* a P’ = Pcosa Vậy g =geosơ; chuki T’ =2z lề Ve T? <2n.j ! = T >T Vgcosa cosa 7 > b) Giải tương tu, ti tam gidc thuéng cla 3 vecto luce P, - - i id ae TT v
m a và P, gọi y là góc đối của P' KHE NON Dạ
PẺ°= P? + m”a?— 2P.ma.cosy ; vì cosy = -sinœ nên ta có P”= P? + mêa? + 2P.ma.sino
chia cho m > gˆ= g” + a2 + 2ag.sinơ Chu kì dao động : T =2n 1 2 2 ae = gˆ.+a“ +2agsinœ Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu xe đi xuống nhanh dân đầu thì T =2n ia B8 ï 8ø“ ta“ -3agsinœ
Thứ dụ 4: Con lắc có chiều dài ¡, khối lượng m, tích điện
Trang 35T?=2r |_—— <T xem hình (6.4c) = c) Goi o 1A góc giữa vectơ lực điện F và vecto trong lực Từ hình (6.4d) ta có : P® = P2 + g?Eˆ + 2P |qEÌ.eosœ 2x2 g =.g?+Š ` + 2g|qE|cos a \ ữ 7 m py aonb “Ve §7 Chủ đề 7
HAI ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Nội dụng 1 : Vận dụng định luật bảo toàn cơ năng đối với con lắc đơn để xác định được vận tốc tức thời, lực căng sợi đây và tổng hợp lực tác dụng lên vật m
Nội dung 2 : Vận dụng được hai định luật bảo toàn, bảo toàn năng lượng và bảo toàn động lượng để giải quyết bài toán
va chạm xuyên tâm giữa hai vật
Sau day là các thí dụ:
35
Trang 36Thí đụ 1: Con lắc đơn có
m = 100g, ¡ = 1 mét Ban đầu nâng lên một góc lệch œ„ rồi thả cho dao động
1) Cho am = 60° Tim van
tốc của vật và lực căng sợi day khi góc lệch œ = 30”, và khi = qua vi tri cân bằng Lay g = 10 m/s” "` PO
2) Cho dụ = 10 (rad) Tim gia tri cue dai va cue tiểu của
lực tác dụng lên vật m và lên điểm treo O
Giải
1) Nếu bỏ qua các lực ma sát, áp dụng định luật bảo toàn cơ ˆ năng cho điểm khởi đầu A và điểm bất kì B E, = Eg chọn mốc ở điểm ï : mv? mgh, = mgh + trong d6 h, = TH, = /(1 — cos@w) h = IH = (1 - cosa) mv2 mgi(1 — cosa) = mgi(1 — cosa) + 2 megl(cosa — cosoy) = —
v = ,/2gi(cosa — cos om) (7-1)
Công thức (7-1) dùng để tính vận tốc tức thời tại vị trí bất
ki
Thay a = 30° suy ra vị = V2geos30° ~ cos60`)
vị = vgiJ3 - U = 10/3 ~1) (m5)
Trang 37ERE a ee _ ve : a ‘ am *
Me 7 ahaa _¬€os60”).= = val = = 10° (zn/s) ;
“BS qua duc can, chỉ có hai lực tác dụng lên m là trọng lực và" lực căng sợi đây Trong đó, lực hướng tâm ` là, FyeT—Peosa 3 P ft = ` š T =F, + Pcosa >> +T =m mv? = h + mE£cosœ Thay v từ (7-1) ta có : Công thức (7-3) cho ta lực căng tại góc lệch œ bất kì, thay œ = 800 Ta có, tại B T; = mg(3cos30° — 2cos60°) T, = 1,6 (N) - Thay œ = 0° ch› vị trí cân bằng, ta có : Tạ = mg(Scos0° — 2c0s60°) = 2mg T, = 2(N)
2a) Lực tác dụng lên điểm O bằng lực căng sợi dây Ta vẫn
sử dụng công thức (7-2), nhưng phải làm quen với các công thức
Trang 38Ta, = mg(3 - 2cosay) = 1,00010 (N) “Vậy giá trị của lực tác dụng lên điểm treo O, biến thiên trong khoảng 0,99995 (N) <-T < 1,00010 (N) 2b) Lực tác dụng lên m Tại điểm A, vận tốc bằng 0, nên lực tổng hợp tác dụng lên m là F, = KA = mgsinơuw ~mgữw Fa *10°()
Tại vị trí cân bằng, tổng hợp của lực căng sợi dây và trọng lực vừa bằng lực hướng tâm : Fạ=Tạ-P = 1,00010 — 1 = 0,00010 (Ñ) Vậy lực tác dụng lên m biến thiên trong khoảng 0,0001 (N) < E <0,0100 Ñ) 10!) <F <10 ” @)
Thí dụ 3: Con lắc lò xo gồm lò xo có dé dai ty nhién /, = 20cm,
độ cứng K = 480 N/m gắn vào vật có khéi-lugng m = 300g trên
rnặt bàn nhấn nằm ngang Vật thứ hai có khối lượng mị = 100g chuyển động đều với vận tốc vị = 0,8 m/s dọc theo trực lò xo đến
va chạm xuyên tâm với rm
D Va chạm hoàn toàn đàn hỏi -
Trang 39
*¿-3): Va chạm không àn: hỗ tsau.va,cbam h 'vật:cùng van vệ
_ tốc) al fe - :
a) Mô tả chuyển động hai vật sau va chạm ;
b) Tìm biên độ, tần số ø của dào động.” ï< ˆ”-
c) Tim chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo sau va
chạm?
Giải
la) Va chạm đàn bồi nên ta viết hai định luật bảo toàn
Do va chạm xuyên tâm, các vận tốc cùng phương, chọn chiêu đương như hình vẽ, định luật bảo toàn động lượng cho tả:
1V; = tị vị + vnvạ (7-8)
Trang 40— Vật m do liên kết với lò xo nên dao động với vận tốc cực
dai Vmax = vệ = 0,4 m/s
m ®
._ Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, chiểu dương như hình
vẽ, gốc thời gian là ngay sau va chạm, ta có phương trình
chuyển động của con lắc :
.x= 0;01.sin40t
2a) Vì va chạm không đàn hôi, xuyên tâm, sau va chạm 2 vật có cùng vận tốc v, ta có định luật bảo toàn động lượng my, =(m¡ + m)v m Y ‹V _=YI fe = 0,2 m/s my,+m 4 Ban đầu hai vật dính vào nhau dạo động như con lắc có độ cứng K, có khối lượng M = mị +m
Sau ; chu, ki, ching 'vé vi tri can bang thi tach ra m,
- chuyển động thẳng đều ra vô cùng, m thi tiếp tục dao động với
, chu kì và biên độ mới -
Trang 41
22) “Trong chủ kì đầu của-đao đông 2 vật, lò xơ bị đếm” :
một đoạn AI với Mi =o Kar
Thí dụ 3: Vật mẹ có
khối lượng 600 gam dang
đứng yên trên mép bàn, ở
độ cao h = 1,25 m Con lắc
đơn có chiều dài J = 5m,
khối lượng mị = 400 gam, đao động có vị trí cân bằng
ở điểm đặt của mạ Thả mị từ biên độ gốc œ„, đến va
chạm xuyên tâm với mạ
AI chính là biên độ dao động À mà ta đã tính ở trên 1 ~2
Al =—~ 10° (m) ~ 0,577 em
v3
Ld xo 06 d6 dai cực tiểu là
lin = 1, — Al = 19,423 (em) / {a)
~ Sau đó, khi đao động với vật m thì l-A <0 <14+48 19:5(em) < 2 < 20,5(em) (b) Tổng kết toàn bộ quá trình thì từ (a) và (b) ta có : 19,423 (cm) < 1 < 20,5 (cm)
1) Va chạm hoàn toàn đàn bồi, sau va chạm mị dao động
điều hòa với biên độ A = õV2em Hỏi m, được thả từ biên độ
góc nào ? Lay g = 10 mis”
41
i
Trang 43
Từ hai biểu thức, suy ra :
og ek = OBS Ag ol 508 V2 aay
2) Dao động của m; sau va chạm :
Chọn chiều vận tốc sau va chạm làm chiều dương, gốc
thời gian là thời điểm ngay sau va chạm, ta có @ = Ú, ® = v2,
A =52 em Vậy phương trình là x= 5y2%sin/2t (cm,s) Tầm xa của m; : ‘ mn; thực hiện chuyển động ném ngang từ độ cao h =1,25m 3 fe 2m,Vv ‘ với vận téc dau v, = V2 = go ỐỢ 0,8v; = 0,4 m/s mị +ma = ở & 2h "Thời gian chuyển động t = Ệ , tâm xa 8 = vạ Ve § gs 8=0,4, 25 = 0,2 (m) 10 8) Nếu va chạm là xuyên tâm không đàn hồi thì hai vật có m cùng vận tốc vìị = vì = VÌ = t .y, = 0,4v, = 0,2 m/s m, +m, So với lúc va chạm đàn hồi :
a) Van tốc cực đại của con lắc mị tăng từ 0,1m/s lên 0,2m/s, o không đổi nên biên độ dao động tặng hai lân
b) Vận tốc ban đầu của rn; giảm tir 0,4 m/s dén 0,2 m/s
nên tầm xa giảm hai lẫn
Thí dụ 4: Lò xo có chiều dài tự nhiên /¿ = 12cm, có khối
lượng không đáng kể, độ cứng K = 50 N⁄m, đĩa cân có khối
lượng M = 100 gam Vật m có khối lượng m = 50 gam thả từ độ
43