Sự xác định đa thức vi phân các hàm phân hình qua nghịch ảnh của tập điểm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ NA SỰ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VI PHÂN CÁC HÀM PHÂN HÌNH QUA NGHỊCH ẢNH CỦA TẬP ĐIỂM Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Sự xác định đa thức vi phân hàm phân hình qua nghịch ảnh tập điểm" cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học GSTSKH Hà Huy Khoái Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa cơng bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi sử dụng số kết quả, nhận xét tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ NA XÁC NHẬN XÁC NHẬN CỦA KHOA CHUYÊN MÔN CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN GS-TSKH HÀ HUY KHOÁI i Lời cảm ơn Để hồn thành đề tài luận văn kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Ngun tạo điều kiện cho tơi có môi trường học tập tốt suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS-TSKH Hà Huy Khoái giúp đỡ tơi suốt q trình nghiên cứu trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành đề tài luận văn tốt nghiệp Đồng thời, tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy Khoa Tốn, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt q trình học tập hồn thiện luận văn tốt nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ NA ii i Mục lục Lời mở đầu Giả thuyết Bruck 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Bài toán xác định đa thức vi phân 13 1.3 Quan hệ số khuyết 19 1.4 Các hàm chia sẻ giá trị 21 1.5 Sự xác định có tham gia đạo hàm 22 1.6 Các hàm chia sẻ tập hợp 23 1.7 Một số kết giả thuyết Bruck 25 Tập xác định số khuyết 33 2.1 Tập xác định hàm 33 2.2 Tập xác định đa thức vi phân 40 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 iii ii Lời mở đầu Lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình cột mốc quan trọng giải tích phức kỉ trước Lý thuyết phát triển mạnh nhà toán học Rolf Nevanlinna năm 1920 Trong phạm vi tầm ảnh hưởng mình, phép tính xấp xỉ ơng ta vượt trội so với kết trước ngày tên ông dùng để gọi lý thuyết phân bố giá trị hàm phân hình Nền tảng lý thuyết định lý thứ định lý thứ hai Trong định lý thứ nghiên cứu hàm đặc trưng hàm phân hình cịn định lý thứ hai nghiên cứu sâu số khuyết hàm phân hình Lý thuyết Nevanlinna có nhiều ứng dụng Một ứng dụng lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu xác định hàm phân hình Kết đẹp Nevanlinna lý thuyết định lý Năm điểm Kế thừa thành tựu trước Li, Yang, Rubel,Mues-Steinmets Năm 1996 Bruck đề xuất giả thuyết tiếng xét mối quan hệ hàm chỉnh hình nguyên đạo hàm chia sẻ giá trị CM Sau Liu-Yang, Zhang,Lu,Li-Yang mở rộng kết liên quan đến giả thuyết Bruck tới hàm phân hình, hàm nhỏ, tới đơn thức đa thức vi phân Nội dung luận văn gồm hai chương Chương Giả thuyết Bruck Chương bao gồm số kiến thức chuẩn bị, mô tả số kết lý thuyết Nevanlinna, khái niệm tập xác định xét nghịch ảnh tập điểm số kết giả thuyết Bruck Chương Tập xác định số khuyết Ở tìm hiểu tập xác định hàm tập xác định đa thức vi phân Luận văn sử dụng phương pháp kĩ thuật lý thuyết Nevanlinna Giải tích phức với số phép biến đổi đa thức biến Luận văn có mục tiêu trình bày số kết gần hướng nghiên cứu xác định đa thức vi phân hàm phân hình thơng qua nghịch ảnh tập điểm vấn đề quan tâm Giải tích phức, đề tài có ý nghĩa khoa học ngành Giải tích phức hẹp lý thuyết phân bố giá trị,là đề tài có tính thời Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019 Tác giả NGUYỄN THỊ NA Chương Giả thuyết Bruck 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục đích chương mô tả số kết lý thuyết Nevanlinna Chứng minh khơng trình bày đầy đủ Tham khảo cho phần tài liệu Hayman ([27]) Có thể xem tổng quan ngắn lý thuyết Nevanlinna qua báo ([14]) Cho C mặt phẳng phức Hàm f gọi giải tích miền D ⊂ C f (z) tồn hữu hạn điểm D Hàm f gọi giải tích điểm z = z0 tồn lân cận điểm z0 f giải tích Điểm z = z0 ∈ C gọi điểm khơng kì dị hàm f f giải tích z0 Điểm z0 gọi điểm kì dị f nếuf khơng giải tích z0 , lân cận z0 chứa điểm mà f giải tích Điểm kỳ dị z0 f gọi kì dị lập f f xác định giải tích lân cận z0 , trừ điểm Nếu ngược lại, z0 gọi điểm kì dị khơng lập f Giả sử z = α điểm kì dị lập hàm giải tích f Khi đó, lân cận z = α, trừ điểm đó, f khai triển dạng sau: ∞ ∞ bn (z − α)−n n an (z − α) + f (z) = n=0 n=1 Chuỗi khai triển f theo lũy thừa âm không âm z − α gọi khai triển Laurent f Nếu đặc biệt, f giải tích z = α bn = với n = 1, 2, 3, khai triển tương ứng gọi khai triển Taylor hàm f ∞ Trong khai triển Laurent phần ∞ an (z − α)n gọi phần phần n=0 bn (z − α)−n gọi phần Phần có ba khả xảy ra: n=1 i) Nếu tất hệ số bn = ta gọi z = α điểm kì dị khử f , làm cho f chỉnh hình z = α cách định nghĩa phù hợp giá trị z = α ii) Nếu phần f α chứa hữu hạn hệ số khác f gọi có cực điểm z = α Nếu bm (m ≥ 1) hệ số không triệt tiêu phần α gọi cực điểm f với cấp m iii) Nếu phần f α chứa vơ hạn hệ số khác khơng f gọi điểm kì dị cốt yếu z = α Nếu f giải tích z = α a0 = a1 = = ak−1 = ak = khai ∞ triển Taylor f quanh α khai triển có dạng f (z) = an (z − α)n n=k Trong trường hợp này, z = α gọi không điểm f với bội k Hàm f : C → C gọi hàm ngun giải tích toàn mặt phẳng phức Ngoài f gọi hàm phân hình C f giải tích C, trừ điểm kì dị lập, điểm số cực điểm Mỗi hàm phân hình mặt phẳng phức có vơ số cực điểm khơng điểm, a-điểm, có hữu hạn điểm nói miền xác định hữu hạn Nếu ngược lại, tồn điểm giới hạn cực điểm, không điểm, a-điểm mặt phẳng hữu hạn Nếu điểm giới hạn khơng điểm a-điểm, hàm đồng số (theo định lý xác định nhất) Nếu là điểm giới hạn cực điểm điểm điểm kì dị cốt yếu Đối với điểm vơ hạn, có hai trường hợp: i) Điểm vơ hạn điểm quy cực điểm Khi hàm có hữu hạn cực điểm khơng điểm Trong trường hợp hàm gọi hàm phân hình hữu tỷ ii) Điểm vơ hạn kì dị cốt yếu Khi hàm có vơ số cực điểm không điểm, a- điểm hội tụ đến điểm vô Trong trường hợp hàm gọi hàm phân hình siêu việt Bây phát biểu cơng thức Poisson-Jensen ([2]) cho hàm phân hình f đĩa |z| ≤ R(0 < R < ∞), điểm khởi đầu lý thuyết Nevanlinna Định lý 1.1.1 Giả sử f (z) hàm phân hình |z| ≤ R, (0 < R < ∞), aµ (µ = 1, 2, , m) bν (ν = 1, 2, , n) tương ứng không điểm cực điểm f (z) đĩa |z| ≤ R Nếu f (z) giải tích khắp nơi bên biên đĩa, z = reiθ (0 ≤ r < R) điểm |z| ≤ R f (z) = 0, ∞ 2π log |f (reiθ )| = 2π R2 − r log |f (Reiφ )|dφ 2 R − 2rRcos(θ − φ) + r n m R2 − ¯bν reiθ R2 − a ¯µ reiθ + qν log − , pµ log iθ − b ) iθ − a ) R(re R(re ν µ ν=1 µ=1 pµ cấp aà v q l cp ca b ã đếm cực điểm không điểm theo bội chúng, b pà v q biu thc trờn ã Cụng thức suy từ giả thiết khơng có cực điểm bν khơng điểm aµ biên |z| = R Định lí cho trường hợp có khơng điểm cực điểm |z| = R Hệ 1.1.1 (Công thức Possion) Giả sử f (z) khơng có khơng điểm cực điểm |z| ≤ R Khi z = reiθ (0 ≤ r < R) 2π log |f (reiθ )| = 2π R2 − r log |f (Reiφ )|dφ 2 R − 2rRcos(θ − φ) + r Định lý 1.1.2 (Định lý Jensen) Giả sử f (z) hàm phân hình |z| ≤ R(0 < R < ∞) có aµ (µ = 1, 2, , m) bν (ν = 1, 2, , n) tương ứng không điểm cực điểm đĩa |z| ≤ R Nếu f (z) giải tích khắp nơi bên biên đĩa, f (0) = 0, ∞ 2π log |f (0)| = 2π m n |aµ | |bν | log |f (Re )|dφ + log − log R R µ=1 ν=1 iφ Nhận xét 1.1.1 Đối với trường hợp f (z) có khơng điểm bậc λ cực điểm bậc −λ z = khai triển Laurent f (z) gốc tọa độ f (z) = cλ z λ + cλ+1 z λ+1 + , (cλ = 0), cơng thức Jensen có dạng 2π log |cλ | + λ log R = 2π m n aµ bν log |f (Re )|dφ + − log log R R µ=1 ν=1 iφ Đây dạng tổng quát công thức Jensen Lý thuyết hàm phân hình phụ thuộc phần lớn vào công thức Rolf Nevanlinna phát triển nghiên cứu có hệ thống lý thuyết phân bố giá trị, định lý thứ thứ hai ông Cho f (z) hàm phân hình khác mặt phẳng phức Kí hiệu n(r, a; f ) hàm đếm a-điểm f (z) đĩa |z| < r với a ∈ C ∪ {∞}, a-điểm tính theo bậc Đặt r N (r, a; f ) = n(t, a; f ) − n(0, a; f ) dt + n(0, a; f ) log r, t n(0, a; f ) kí hiệu bội a-điểm f (z) gốc tọa độ Rõ ràng n(0, a; f ) = f (0) = a Nếu a = ∞ đặt N (r, ∞; f ) = N (r, f ) Sử dụng Bổ đề 2.1.3, 2.1.2 ta có (2 N (r, 0; G| ≥ 2)+2N G≥m+1 (r, 1; G|F = 1) + 2N L (r, 1; G) + N E (r, 1; G) ≤N (r, 0; G |G = 0) + N (r, 0; G ) + S(r, f ) ≤2N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N2 (r, 0; G) + S(r, f ), (2.5) Và N (r, 0; F | ≥ 2) + N F ≥m+1 (r, 1; F |G = 1) + 2N L (r, 1; F ) + N (r, 0; F ) ≤N (r, 0; F |F = 0) + N (r, 0; F ) + S(r, f ) (2.6) Áp dụng (2.5) (2.6) (2.4), ta có T (r, G) ≤4N (r, ∞; F ) + 2N (r, 0; G) + N2 (r, 0; G) + N (r, 0; F ) +N (r, 0; F |F = 0) + S(r, f ) Điều phải chứng minh Bổ đề 2.1.9 Nếu H ≡ 0, điều kiện sau thoả mãn: i) T (r, G) = N2 (r, 0; G) + S(r, G), ii) iii) F −1− C G≡− với số C ∈ C\{0}, C G−1 ≡ C với số C ∈ C\{0} F −1 Chứng minh Giả sử H ≡ Từ (2.1) ta có C ≡ + D, F −1 G−1 (2.7) C, D số C = Từ (2.7) rõ ràng F G chia sẻ CM Tiếp theo ta xét hai trường hợp sau Trường hợp Nếu D = 0, từ (2.7), ta thu N (r, ∞; f ) = S(r, f ), 37 (2.8) D G−1+ ≡ F −1 G−1 C D (2.9) Rõ ràng từ (2.9), ta có N r, − C ; G = N (r, ∞; F ) = N (r, ∞; G) = N (r, ∞; f ) = S(r, f ) D (2.10) Nếu C D = 1, Định lý thứ hai, Bổ đề 2.1.7 (2.10) cho T (r, G) ≤N (r, ∞; G) + N (r, 0; G) + N r, − C ; G + S(r, G) D ≤N (r, 0; G) + S(r, f ) ≤ N2 (r, 0; G) + S(r, f ) ≤T (r, G) + S(r, f ), Suy (i); nghĩa T (r, G) = N2 (r, 0; G) + S(r, G) Nếu C D = 1, từ (2.10) ta (ii) ; nghĩa F − − C G ≡ − C1 Trường hợp Nếu D = 0, từ (2.7), ta nhận (iii) ; nghĩa G−1 ≡ C F −1 Bổ đề chứng minh 1 G ≡ − với C số C C phức bất kì, F G định nghĩa trước Bổ đề 2.1.10 Nếu n ≥ 1, F −1− Chứng minh Nếu có thể, giả sử số phức C khác không đó, F −1− C G≡− , C (2.11) Từ (2.11), N (r, ∞; f ) = S(r, f ) N (r, 0; f | ≥ k + 1) ≤ N (r, 0; P [f ]) ≤ N (r, 0; G) ≤ N (r, 0; a) = S(r, f ) (2.12) 38 Từ (2.11) ta thấy ¯ ) n f d(P (f C P [f ] ≡ − d(P a f¯ ) − (1 + 1/C)a) Áp dụng Định lí thứ (2.12), Bổ đề 2.1.4, 2.1.5 2.1.6 ta ¯ ))T (r, f ) =T (n + d(P ¯ r, f d(P ) f n − + C   =T  r, a ¯ ) f d(P fn − + C a P [f ] + S(r, f ) ¯ ) f d(P P [f ] P [f ] + N r, ≤m r, d(P ¯ ) f¯ ) f d(P =T + S(r, f )    + S(r, f )  r, + S(r, f ) ¯ ) − d(P ))T (r, f ) + (d(P ¯ ) − d(P ))N (r, 0; f | ≤ k) ≤(d(P ¯ )N (r, 0; f | ≤ k) + QN ¯ (r, 0; f | ≥ k + 1) + S(r, f ) +d(P ¯ ) − d(P ))T (r, f ) + d(P )N (r, 0; f | ≤ k) + S(r, f ) ≤(d(P ¯ )T (r, f ) + S(r, f ), (vô lý) ≤d(P Điều phải chứng minh Chứng minh Định lý 1.7.11 fn − a P [f ] − a Ta có F − = G − = Từ E m) (a, f n ) = a a E m) (a, P ]f ]) suy E m) (1, F ) = E m) (1, G) ngoại trừ không điểm cực điểm a(z) Đầu tiên giả sử H ≡ Khi theo Bổ đề 2.1.8, ta có T (r, P [f ]) ≤4N (r, ∞; f ) + 2N (r, 0; P [f ]) + N2 (r, 0; P [f ]) + N (r, 0; (f /a) ) +N (r, 0; (f n /a) |(f n /a) = 0) + S(r, f ), Mâu thuẫn với (1.10) 39 Do H ≡ Bây áp dụng Bổ đề 2.1.10 điều kiện (1.10) Bổ đề 2.1.9, ta nhận P [f ] − a G−1 = C, nghĩa , n = C F −1 f −a Điều phải chứng minh 2.2 Tập xác định đa thức vi phân Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Câu hỏi 2.2.1 Có thể nhận hay khơng kết luận kiểu giả thuyết Bruck hai đa thức vi phân chia sẻ hàm nhỏ IM, khái niệm chia sẻ yếu hơn? Nội dung chương hướng tới trả lời câu hỏi theo cách mở rộng Định lý 1.7.11 Từ trở đi, bj (j = 1, 2, , t) ci (i = 1, 2, , l) dùng để t ký hiệu hàm nhỏ f ta giả sử P [f ] = bj Mj [f ] j=1 l Q[f ] = ci Mi [f ] hai đa thức vi phân sinh f i=1 Kết Định lý 2.2.1 Giả sử f hàm phân hình khác hằng, m(≥ 1) số nguyên dương vô a ≡ a(z)(≡ 0, ∞) hàm nhỏ f Giả sử P [f ] Q[f ] hai đa thức vi phân sinh f cho Q[f ] chứa đạo hàm Giả sử E m) (a; P [f ]) = E m) (a; Q[f ]) Nếu 4N (r, ∞; f ) + N2 (r, 0; Q[f ]) + 2N (r, 0, Q[f ]) + N (r, 0; (P [f ]/a) ) + N (r, 0; (P [f ]/a) |(P [f ]/a) = 0) < (λ + o(1))T (r, Q[f ]), với r ∈ I , < λ < 40 (2.13) Q[f ] − a = c, với số số c ∈ C\{0}, P [f ] − a P [f ]Q[f ] − aQ[f ](1 + d) ≡ −da2 với a số khác không d ∈ C Đặc biệt, i) P [f ] = b1 f n + b2 f n−1 + b3 f n−2 + bt−1 f , ¯ ) − d(P ) đơn thức Q[f ] chứa số hạng lũy ii) d(Q) > 2d(P thừa f , kết luận (2) khơng Nhận xét 2.2.1 Như đặt m = ∞ Định lý 2.2.1 P [f ] − a Q[f ] − a chia sẻ IM, P [f ] = b1 f n + b2 f n−1 + b3 f n−2 + bt−1 f ta nhận dạng mở rộng tổng quát Định lý 1.7.11 theo hướng Câu hỏi 2.2.1 Ví dụ sau cho thấy điều kiện (2.13) Định lý 2.2.1 không cần thiết ez , P [f ] = f − f , Q[f ] = f − 3f f + z e +1 + f f f Khi rõ ràng P [f ] Q[f ] chia sẻ CM Ví dụ 2.2.1 Giả sử f (z) = f 3f − f f f Q[f ] − = 1, điều kiện (2.13) không thỏa mãn Ở lưu P [f ] − ¯ ) − d(P ) = ý = d(Q) > 2d(P , P [f ] = f , Q[f ] = f f − f f Khi z e +1 2z Q[f ] − z1 e rõ ràng P [f ] = Q[f ] = z chia sẻ z CM = 1, điều (e + 1)4 P [f ] − z1 kiện (2.13) khơng thỏa mãn Ví dụ 2.2.2 Giả sử f (z) = Hai ví dụ cho ta thấy hai điều kiện nêu (ii) cần thiết để có kết luận (1) Định lý 2.2.1 P [f ] đa thức vi phân 41 Ví dụ 2.2.3 Giả sử f (z) = sin z P [f ] = 3f + f − 2if f , Q[f ] = (f )2 − 2if f − f Khi rõ ràng P [f ] = − e2iz Q[f ] = e−2iz chia sẻ Q[f ] − = e−2iz , không CM Ở điều kiện 2.13 thỏa mãn, P [f ] − phải P [f ]Q[f ] − 2Q[f ] + = Ví dụ 2.2.4 Giả sử f (z) = cos z P [f ] = −f − if + (1 + i)f + (1 + i)f , Q[f ] = if − f Rõ ràng P [f ] = + i − e−iz Q[f ] = ieiz chia Q[f ] − i sẻ i CM Ở điều kiện 2.13 thỏa mãn, = ieiz , P [f ] − i P [f ]Q[f ] − (1 + i)Q[f ] + i = Chúng ta lưu ý ¯ ¯ ) − d(P ) d(Q) = d(P ) d(P ) > 2d(P Hai ví dụ sau cho thấy để có kết luận (1) (2) Định lý 2.2.1 điều kiện (2.13) cần thiết Ví dụ 2.2.5 Giả sử f (z) = sin z P [f ] = if + f , Q[f ] = 2f − (f + f ) Khi P [f ] = eiz Q[f ] = eiz + e−iz − chia sẻ IM Ở kết luận Định lý 2.2.1 không thỏa mãn điều kiện (2.13) không thỏa mãn Q[f ] − eiz − Chúng ta lưu ý = P [f ]Q[f ] − λQ[f ] hàm P [f ] − eiz khác với λ ∈ C Ví dụ 2.2.6 Giả sử f (z) = cos z P [f ] = f − if , Q[f ] = 2f − (f + f ) Khi P [f ] = eiz Q[f ] = eiz + e−iz − chia sẻ IM Ở kết luận Định lý 2.2.1 không thỏa mãn điều kiện (2.13) không thỏa mãn Chúng Q[f ] − (eiz − 1) = P [f ]Q[f ] − λQ[f ] hàm khác ta lưu ý P [f ] − eiz với λ ∈ C Các bổ đề P [f ] Q[f ] ,G = H a a định nghĩa đẳng thức (2.1) Bây trình bày số bổ đề Xuyên suốt chương này, lấy F = cần thiết sau 42 Bổ đề 2.2.1 Nếu E m) (1; F ) = E m) (1; G) trừ không điểm cực điểm a(z) H ≡ 0, T (r, G) ≤4N (r, ∞; F ) + 2N (r, 0; G) + N2 (r, 0; G) (2.14) +N (r, 0; F ) + N (r, 0; F |F = 0) + S(r, f ) Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh Bổ đề 2.1.8 Bổ đề 2.2.2 Giả sử f hàm phân hình khác hằng, P [f ], Q[f ] hai đa thức vi phân Khi N (r, 0; P [f ]) ≤ ¯ ) − d(P ) d(P m r, d(Q) Q[f ] ¯ ))N (r, ∞; f ) + (ΓP − d(P ¯ ) − d(P ))N (r, 0; f | ≥ k + 1) + µN (r, 0; f | ≥ k + 1) +(d(P ¯ )N (r, 0; f | ≤ k) + d(P ¯ )N (r, 0; f ) + S(r, f ) +d(P Chứng minh Với giá trị cố định r, giả sử E1 = {θ ∈ [0, 2π] : |f (reiθ )| ≤ 1} E2 phần bù Vì định nghĩa, k nij ≥ d(Q), i=0 với j = 1, 2, , l nên suy E1 Q[f ] ≤ f d(Q) l k |cj (z)| j=1 i=1 f (i) f nij k |f |i=0 nij −d(Q) f d(Q) ≤ = Q[f ] f d(Q) Q[f ] 43 k |cj (z)| j=1 Ta ý l i=1 f (i) f nij Vì E2 , < 1, ta có |f (z)| d(Q)m r, f = 2π log + E1 ≤ + 2π dθ + d(Q) 2π |f (reiθ )|  l j=1 log + E2 d(Q) |f (reiθ )| k (i) log + |cj (z)| dθ +  2π log + i=1 E E1 f f dθ  nij dθ log + dθ Q[f (reiθ )] log + 1 dθ + S(r, f ) = m r, iθ Q[f (re )] Q[f ] E1 2π ≤ 2π + S(r, f ) Vì vậy, áp dụng Bổ đề 2.1.5, 2.1.6 Định lý thứ ta nhận ¯ N (r, 0; P [f ]) ≤N f d(P ) r, ∞; P [f ] ≤m r, P [f ] ¯ ) f d(P ¯ )N (r, 0; f ) + d(P + N r, ∞; ¯ ) − d(P ))m r, ≤(d(P f P [f ] ¯ ) f d(P ¯ )N (r, 0; f ) + S(r, f ) + d(P ¯ ))N (r, ∞; f ) + (ΓP − d(P ¯ ) − d(P ))N (r, 0; f | ≥ k + 1) + µN (r, 0; f | ≥ k + 1) +(d(P ¯ )N (r, 0; f | ≤ k) + d(P ¯ )N (r, 0; f ) + S(r, f ) +d(P ¯ ) − d(P ) d(P ¯ ))N (r, ∞; f ) m r, + (ΓP − d(P ≤ d(Q) Q[f ] ¯ ) − d(P ))N (r, 0; f | ≥ k + 1) + µN (r, 0; f | ≥ k + 1) +(d(P ¯ )N (r, 0; f | ≤ k) + d(P ¯ )N (r, 0; f ) + S(r, f ) +d(P Điều phải chứng minh Chứng minh bổ đề sau lặp lại dịng chứng minh Bổ đề 2.1.9 Vì bỏ qua chi tiết Bổ đề 2.2.3 Nếu H ≡ 0, điều kiện sau thoả mãn: 44 i) T (r, G) = N2 (r, 0; G) + S(r, G), ii) (F − − iii) 1 )G ≡ − với số C ∈ C\{0} đó, C C G−1 ≡ C với số C ∈ C\{0} F −1 Chứng minh Định lý 2.2.1 Vì E m) (a; P [f ]) = E m) (a; Q[f ]), suy E m) (1; F ) = E m) (1; G) trừ không điểm cực điểm a(z) Nếu H ≡ 0, Bổ đề 2.2.1, ta có T (r, Q[f ]) ≤4N (r, ∞; f ) + 2N (r, 0; Q[f ]) + N2 (r, 0; Q[f ]) +N (r, 0; (P [f ]/a) ) + N (r, 0; (P [f ]/a) |(P [f ]/a) = 0) + S(r, f ), mâu thuẫn với (2.13) Do H ≡ Khi cách áp dụng điều kiện cho (2.13) vào Bổ đề 2.2.3, ta có hai trường hợp sau: Trường hợp (F − − 1 )G ≡ − C C (2.15) Tức P [f ]Q[f ] − aQ(1 + d) ≡ −da2 , với số khác không d = Trường hợp (2.16) ∈ C C G−1 = C F −1 Tức Q[f ] − a = C P [f ] − a Tiếp ta cần i) P [f ] = b1 f n + b2 f n−1 + b3 f n−2 + + bt−1 f , 45 (2.17) ¯ ) − d(P ) đơn thức Q[f ] chứa số hạng có lũy ii) d(Q) > 2d(P thừa f , kết luận trường hợp khơng cịn Nếu P [f ] = b1 f n + b2 f n−1 + b3 f n−2 + + bt−1 f , lập luận Bổ đề 2.1.10, ta nhận mâu thuẫn n ≥ Tiếp theo giả sử P [f ] đa thức vi phân thỏa mãn d(Q) > ¯ ) − d(P ) đơn thức Q[f ] chứa số hạng có lũy thừa 2d(P f Trong tình này, ta xét hai trường hợp sau: Đầu tiên ta giả sử C = −1 Khi từ (2.15), ta nhận F G ≡ 1, nghĩa P [f ]Q[f ] ≡ a2 Rõ ràng N (r, ∞; P [f ]) = N (r, ∞; Q[f ]) = S(r, f ) Cũng vậy, N (r, 0; f ) = S(r, f ), đơn thức Q[f ] chứa số hạng có lũy thừa f Do từ Định lý cơ thứ nhất, Bổ đề 2.1.5 ý m r, f ≤ 1 m r, , d(Q) Q[f ] ta có T (r, Q[f ]) ≤T (r, P [f ]) + S(r, f ) P [f ] ¯ )m(r, f ) + S(r, f ) ≤m r, d(P + d(P f¯ ) ¯ ) − d(P ))m r, + d(P ¯ )m(r, f ) + S(r, f ) ≤(d(P f ¯ ) − d(P )) (d(P ¯ ) m r, + N (r, 0; f ) ≤ m r, + d(P d(Q) Q[f ] f +S(r, f ) ¯ ) − d(P )) ¯ ) (d(P d(P ≤ m r, + m r, + S(r, f ), d(Q) Q[f ] d(Q) Q[f ] ¯ ) − d(P ) Điều mâu thuẫn với d(Q) > 2d(P Tiếp theo giả sử C = −1 Khi từ (2.15) ta có N r, + ;F C = N (r, ∞; G) = S(r, f ) 46 Một lần lại nhận xét đơn thức Q[f ] chứa số hạng có lũy thừa f , từ Định lý thứ hai Bổ đề 2.2.2, ta có T (r, P [f ]) ≤N (r, ∞; F ) + N (r, 0; F ) + N r, + ;F C + S(r, f ) ≤N (r, 0; P [f ]) + S(r, f ) ¯ ) − d(P ) d(P ≤ T (r, P [f ]) + S(r, f ), d(Q) Nghĩa ¯ ) d(Q) + d(P ) − d(P T (r, P [f ]) ≤ S(r, f ) d(Q) (2.18) ¯ ) − d(P ) > d(P ¯ ) − d(P ) nên bất đẳng thức Vì theo giả thiết d(Q) > 2d(P (2.18) dẫn đến mâu thuẫn Định lý chứng minh 47 Kết luận Trong luận văn thu kết sau - Trình bày số kết lý thuyết Nevanlinna thiết lập định lý thứ ,định lý thứ hai Đặc biệt kết liên quan đến vấn đề tập xác định hàm phân hình đa thức vi phân - Trình bày Giả thuyết Bruck số kết gần theo hướng nghiên cứu giả thuyết Bruck mở rộng - Kết luận văn chứng minh định lý 1.7.11 định lý nghiên cứu sâu giả thuyết Bruck với đa thức vi phân 48 Tài liệu tham khảo [1] A Z Mokhon’ko (1971), On the Nevanlinna characteristics of some meromorphic functions, Theo Funct Funct Anal Appl, Izd-vo Khar’kovsk, Un-ta, 14 , 83-87 [2] C C Yang and H X Yi (2003), Uniqueness theory of meromorphic functions, Kluwer Academic Publishers [3] C T Chuang (1987), On differential polynomials, Analysis of one complex variable (Laramie, Wyo., 1985), 12-32; World Sci Publishing Singapore [4] E Mues and N Steinmetz (1979), Meromorphe funktionen die unit ihrer ableitung werteteilen, Manuscripta Math., 29, 195-206 [5] F Gross (1977), Factorization of meromorphic functions and some open problems, “Complex analysis, Kentucky, (1976)”; Lecture Notes in Math., Springer, 599, 51-69 [6] G Frank and M Reinders(1998), A unique range set for meromorphic functions with 11 elements, Complex Var Theory Appl., 37(1), 185-193 [7] H H Khoai (2001), On uniqueness polynomials and Bi-URS for p-adic meromorphic functions, J Number Theory, 87, 211-221 [8] H X Yi (1991), On characteristic function of a meromorphic function and its derivative, Indian J Math., 33(2), 119-133 49 [9] I Lahiri and A Banerjee (2004), Uniqueness of meromorphic functions with deficient poles, Kyungpook Math J., 44, 575-584 [10] I Lahiri and A Sarkar (2004), Uniqueness of meromorphic function and its derivative, J.Inequal Pure Appl Math., 5(1), Art 20 [11] I Lahiri and S Dewan (2003), Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative, Kodai Math J., 26(1), 95-100 [12] I Lahiri (2001), Weighted value sharing and uniqueness of meromorphic functions, Complex Var Theory Appl., 46, 241-253 [13] K Liu and L Z Yang (2006), Meromorphic functions that share one value with their derivatives, J Inequal Pure Appl Math., 7(3), Art 93 [14] K S Charak (2009), Value distribution theory of meromorphic functions, Mathematics Newsletter, 18(4), 1-20 [15] K Yamanoi (2004), The second main theorem for small functios and related problems, Acta Math., 192(2), 225-299 [16] L A Rubel and C C Yang (1977), Values shared by an entire function and its derivative, “Complex analysis, Kentucky, (1976)”; Lecture Notes in Math., Springer, 599,101-103 [17] L Liu (2010), Uniqueness of meromorphic functions that share one small function with their derivatives, J Math Sci.: Adv Appl., 6(2) , 241-255 [18] L Z Yang (1999), Solution of a differential equation and its applications, Kodai Math J.,22, 458-464 [19] N Li and L Z Yang (2010), Meromorphic function that shares one small function with its differential polynomial, Kyungpook Math J., 50, 447-454 50 [20] P Li (1995), Uniqueness and value sharing of meromorphic functions, Kodai Math J., 18, 437-450 [21] P Li and C C Yang (1995), Some further results on the unique range sets of meromorphic functions, Kodai Math J., 18, 437-450 [22] Q C Zhang (1998), The uniqueness of meromorphic functions with their derivatives, Kodai Math J., 21, 179-184 [23] Q C Zhang (2005), Meromorphic function that shares one small function with its derivative,J Inequal Pure Appl Math., 6(4), Art.116 [24] R Bruck (1996), On entire functions which share one value CM with their first derivative,Results Math., 30, 21-24 [25] T D Zhang and W R Lă u (2008), Notes on meromorphic function sharing one small function with its derivative, Complex Var Theory Appl., 53(9), 857-867 [26] W Doeringer (1982), Exceptional values of differential polynomials, Pacific J Math., 98(1), 55-62 [27] W K Hayman (1964), Meromorphic functions, The Clarendon Press, Oxford [28] Y H Li and Q C Zhang (2001), A remark on n-small functions theorem of Steinmetz, Northeast Math J., 17(3), 353-357 51 ... rộng đạo hàm đa thức vi phân, nên thú vị nghiên cứu mối quan hệ hàm phân hình đa thức vi phân chúng chia sẻ giá trị đó, hàm nhỏ 1.6 Các hàm chia sẻ tập hợp Khi nghiên cứu phân tích hàm phân hình, ... kiến thức chuẩn bị, mô tả số kết lý thuyết Nevanlinna, khái niệm tập xác định xét nghịch ảnh tập điểm số kết giả thuyết Bruck Chương Tập xác định số khuyết Ở tìm hiểu tập xác định hàm tập xác định. .. xin cam đoan luận văn "Sự xác định đa thức vi phân hàm phân hình qua nghịch ảnh tập điểm" cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng hướng dẫn khoa học GSTSKH Hà Huy Khoái Các nội dung nghiên