Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)

Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (tt)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-NĂM 2017 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Vũ Hoài An GS.TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Vào hồi ngày tháng năm 2017 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: - Thư viện Quốc gia - Trung tâm học liệu - Đại học Thái nguyên - Thư viện Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái nguyên Mở đầu Lí chọn đề tài Vấn đề phân bố giá trị hàm phân hình tốn trung tâm giải tích phức Trong lĩnh vực đó, kết phân bố giá trị hàm đạo hàm có vai trò quan trọng Năm 1967, Hayman đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman Nếu hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = với n số nguyên dương với z ∈ C, f Hayman đặt câu hỏi tương tự cho hàm phân hình Vấn đề thu hút ý nhiều nhà toán học Năm 2006, Giả thuyết Hayman X.C.Nevo - Sh.Pang - L.Zalcman giải cho hàm phân hình Giả thuyết Hayman làm nảy sinh vấn đề nhận giá trị đạo hàm bậc cao hàm nguyên, hàm phân hình Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna xây dựng vấn đề xác định cho hàm phân hình khác qua điều kiện ảnh ngược điểm phân biệt (4 điểm) mà gọi Định lý điểm (Định lý điểm) Nevanlinna Năm 1977, F.Gross đưa ý tưởng xét ảnh ngược tập hợp điểm C ∪ {∞} Ông đưa hai câu hỏi sau: i) Tồn hay không tập S C ∪ {∞} để với hàm phân hình khác f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn hay không hai tập Si , i = 1, C ∪ {∞} để với hàm phân hình khác f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, ta có f = g? Năm 1982 F Gross C.C Yang chứng tỏ tập S = {z ∈ C |z + ez = 0} tập U RSE Năm 1998, G.Frank M.Reinders chứng minh định lí sau: Định lí C Với số nguyên n ≥ 11, c = 0, c = tập hợp SF R = z ∈ C| (n − 1)(n − 2) n n(n − 2) n−2 z − n(n − 2)z n−1 + z +c=0 2 URS cho hàm phân hình Năm 2000, H.Fujimoto tổng qt hóa Định lí C cho hàm ngun, hàm phân hình trường hợp tính bội, khơng tính bội tập U RS Năm 2009, X Bai, Q Han A Chen cải tiến kết H.Fujimoto Năm 1995, P Li C.C Yang đưa giả thuyết λM = 6, λE = 4, Hà Huy Khoái đưa giả thuyết λM = 7, kí hiệu λM = inf #(S)|S U RSM , λE = inf #(S)|S U RSE Ở #(S) lực lượng tập S Cho đến số phần tử U RSM thiết lập 11 Đối với đạo hàm hàm phân hình, Giả thuyết Hayman vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân nảy sinh vấn đề xác định M.L Fang X.H.Hua, C.C Yang X.H.Hua giải hàm nguyên, S.S.Bhoosnurmath – R.S.Dyavanal giải hàm phân hình Định lí G Cho f, g hai hàm phân hình khác C n, k số nguyên dương với n > 3k + Nếu (f n )(k) (g n )(k) nhận 1CM f = c1 ecz , g = c2 e−cz , c1 , c2 c ba số thỏa mãn (−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = f = tg, với t số cho tn = Trong năm gần đây, Giả thuyết Hayman đặt nghiên cứu cho hàm phân hình p-adic Năm 2008, J Ojeda nhận kết sau: Định lí H Cho f hàm phân hình K, n > số nguyên a ∈ K− {0} Khi f n (z) f (z) = a với z ∈ K f Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An tổng quát hóa kết J.Ojeda cho đa thức vi phân kiểu f n ((f )(k) )m Vũ Hoài An- Lê Thị Hoài Thu xét vấn đề trường hợp p-adic nhiều biến A.Escassut J.Ojeda xem xét Định lí H trường hợp n = Nhằm góp phần hồn thiện Giả thuyết Hayman trường p−adic vấn đề nhận giá trị Lý thuyết Nevanlinna, chọn tên luận án :"Về xác định đa thức vi phân hàm phân hình" Luận án đặt vấn đề nghiên cứu sau đây: Vấn đề 1: Thiết lập tương tự Giả thuyết Hayman cho đa thức vi phân trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.) Vấn đề 2: Thiết lập định lý đa thức vi phân p− adic Vấn đề 3: Thiết lập lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11 Mục tiêu luận án 2.1 Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân p-adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fecmart-Waring 2.2 Thiết lập định lý xác định đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) , đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu Fermat-Waring 2.3 Chỉ lớp hàm phân hình mà tập xác định có số phần tử bé 11; xây dựng tập xác định với phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic; đưa công thức cho đa thức mạnh bậc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu Giả thuyết Hayman, Định lí Nevanlinna p-adic tương tự nó, hàm phân hình, đa thức vi phân p−adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) Phương pháp công cụ nghiên cứu Công cụ để giải ba vấn đề nêu kiểu định lý thứ hai lý thuyết Nevanlinna tương tự p−adic (Bổ đề 1.2.7) để đưa ước lượng hàm đặc trưng, hàm đếm hàm phân hình, kiểu Bổ đề Borel p−adic cho đa thức vi phân nhiều biến hàm nguyên (Bổ đề 2.2.5) Ý nghĩa khoa học luận án Luận án góp phần hồn thiện làm sâu sắc, phong phú thêm Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna, Giả thuyết Hayman đạo hàm bậc cao hàm phân hình, đa thức vi phân nhiều biến ứng dụng vào toán tập xác định hàm nguyên, hàm phân hình trường khơng Acsimet Cấu trúc kết luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương : Chương 1: Chúng tơi trình bày kết nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề Kết hai định lí 1.2.9, 1.3.7 Kết đăng báo xuất 2012, Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp Chương 2: Chúng nghiên cứu Vấn đề 1, Vấn đề cho đa thức vi phân nhiều biến trường không Acsimet Kết Định lý 2.2.12, Định lý 2.3.3, Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5 Đây ví dụ đa thức nhất, khác với đa thức xây dựng H.X.Yi, G.Frank-M.Reinder H.Fujimoto Các kết đăng báo xuất năm 2017, Complex Variables and Elliptic Equations Chương 3: Trong chương chúng tơi trình bày kết nghiên cứu Vấn đề Chúng lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11, xây dựng tập xác định có phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic, đưa công thức cho đa thức mạnh bậc Nội dung chương viết báo(đang chờ nhận đăng) Kết Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6 Các kết góp phần trả lời chưa chọn vẹn giả thuyết Hà Huy Khối là: số phần tử tập xác định thiết lập 4 Chương Vấn đề nhận giá trị với tác động bội không điểm cực điểm đa thức vi phân dạng (f n)(k) Trong chương nghiên cứu vấn đề Giả thuyết Hayman cho hàm phân hình p−adic Nội dung chương viết báo: Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp, xuất 2012, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, xuất 2017 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Định nghĩa 1.1.1 Hàm chỉnh hình f K gọi hàm nguyên Hàm f K, gọi hàm phân hình f = ff12 , với f1 f2 hàm nguyên K khơng có khơng điểm chung Định nghĩa 1.1.2 Cho f hàm nguyên K a ∈ K, ta gọi hàm đếm không điểm f − a (hay hàm đếm không điểm hàm f a) tính bội đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r} hàm, xác định r 1 N (r, )= f −a ln ρ n(x, f −a ) x dx, n(r, f −a ) số nghiệm phương trình f (z) = a, tính bội, đĩa Dx = {z ∈ K : |z| ≤ x} Với l số nguyên dương, cố định số thực ρ0 với < ρ0 ≤ r, đặt r 1 Nl (r, ) = f ln ρ x ρ0 nl (r, f −a )= |z|≤r nl (x, f −a ) µaf (z), l dx, Giả sử k số nguyên dương Định nghĩa hàm µf,k) từ K vào N xác định µf,k) (z) = nk) (r, nl,k) (r, µ0f (z) > k µ0f (z) µ0f (z) ≤ k, )= f −a )= f −a µf −a,k) (z), |z|≤r µf −a,k) (z), l |z|≤r Định nghĩa r 1 Nk) (r, )= f −a ln p ) nk) (x, f −a x dx ρ ) = Nk) (r, f1 ) Nếu a = 0, đặt Nk) (r, f −a Với với < ρ0 < ρ ≤ r, đặt Nl,k) (r, 1 )= f −a ln p r ρ0 ) f −a dx, x nl,k) (r, Tương tự ta định nghĩa: N(k (r, 1 ), Nl,(k (r, ) f −a f −a Định nghĩa 1.1.3 Cho f hàm phân hình a ∈ K, ta gọi hàm đếm khơng điểm f − a, tính bội, đĩa Dr = {z ∈ K : |z| ≤ r}, xác định N (r, 1 ) = N (r, ) đặt N (r, f ) = N (r, ) f −a f1 − af2 f2 Tương tự hàm phân hình khác K ta định nghĩa Nl (r, 1 1 ), Nk) (r, ), Nl,k) (r, ), N(k (r, ), Nl,(k (r, ) f −a f −a f −a f −a f −a Định nghĩa 1.1.4 Ta gọi hàm xấp xỉ f, xác định công thức m(r, f ) = max 0, log |f |r Định nghĩa 1.1.5 Ta gọi hàm đặc trưng hàm f, xác định công thức T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) 6 1.2 Giả thuyết Hayman hàm phân hình trường không Acsimet Trong phần nghiên cứu vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p−adic dạng (f n )(k) Trong mục thiết lập bổ đề sau: Bổ đề 1.2.4 Cho f hàm phân hình khác K n, k số nguyên dương, n > k giả sử a cực điểm f Khi (f n )(k) (z) = ϕk (z) , (z − a)np+k ϕk (z) hàm phân hình lân cận a, p = µ∞ f (a), ϕk (a) = Bổ đề 1.2.5 Giả sử f hàm phân hình khác K n, k số nguyên dương, n > k a, b cực điểm khơng điểm f, tương ứng Khi hk (z) (f n )(k) (z) = , p = µ∞ f (a), hk (a) = 0; f n−k (z) (z − a)pk+k (f n )(k) (z) = (z − b)(m−1)k Sk (z), m = µ0f (b), Sk (b) = n−k f (z) Bổ đề 1.2.6 Giả sử f hàm phân hình khác K n, k số nguyên dương, n ≥ k + Khi T (r, f ) ≤ T (r, (f n )(k) ) + O(1), trường hợp đặc biệt (f n )(k) khác Bổ đề 1.2.7 Cho f hàm phân hình khác K n, k số nguyên dương, n ≥ k + 2, a ∈ K, a = Khi n−k−2 T (r, f ) ≤ N1 (r, n (k) ) − log r + O(1) n+k (f ) − a Bổ đề 1.2.8 Cho f hàm phân hình khác K a ∈ K, a = Giả sử khơng điểm (tương ứng, cực điểm) f có bội s (tương ứng, l) Khi 1 n − ( + ) T (r, f ) ≤ N1 (r, n ) − log r + O(1) s l f −a Từ bổ đề ta nhận định lý sau tương tự Giả thuyết Hayman hàm phân hình p−adic Định lý 1.2.9 Cho f hàm phân hình K, thoả mãn điều kiện (f n )(k) (z) = 1, với z ∈ K n số nguyên dương, k số nguyên không âm Nếu n ≥ k + 2, f hàm 7 Hệ 1.2.10 Cho f hàm phân hình K, thoả mãn điều kiện (f n ) (z) = với z ∈ K với số nguyên dương n Khi f hàm hàm hằng, n ≥ 1.3 Vấn đề hàm phân hình trường khơng Acsimet Trong phần nghiên cứu vấn đề cho hàm phân hình p−adic dạng (f n )(k) Kết thu Định lý 1.3.7 Trước hết ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.3.1 Giả sử f g hai hàm phân hình khác K Nếu Ef (1) = Eg (1), có ba hệ thức sau xảy ra: 1 T (r, f ) ≤N1 (r, f ) + N1,(2 (r, f ) + N1 (r, ) + N1,(2 (r, ) + N1 (r, g) + N1,(2 (r, g) f f 1 + N1 (r, ) + N1,(2 (r, ) − log r + O(1), g g tương tự bất đẳng thức T (r, g); f ≡ g; f g ≡ Bổ đề 1.3.2 Cho f g hàm phân hình khác K Nếu E f (1) = E g (1) ba trường hợp sau 1 1 T (r, f ) ≤ N2 (r, f ) + N2 (r, ) + N2 (r, g) + N2 (r, ) + 2(N1 (r, f ) + N1 (r, )) f g f + N1 (r, g) + N1 (r, ) − 2log r + O(1), g Bất đẳng thức tương tự cho T (r, g); f g = 1; f ≡ g Bổ đề 1.3.3 Cho f hàm phân hình khác K n, k số nguyên dương, n > 2k Khi (n − 2k)T (r, f ) + kN (r, f ) + N (r, n1 (k) ) ≤ T (r, (f n )(k) ) + O(1); (f ) f n−k N (r, n1 (k) ) ≤ kT (r, f ) + kN1 (r, f ) + O(1) (f ) f n−k Từ bổ đề trên, ta có tương tự Định lý Yang C.C- Hua X.H Định lý 1.3.4 Cho f g hai hàm phân hình khác K Giả sử không điểm (tương ứng, cực điểm) f, g có bội l (tương ứng, s) n số nguyên dương, k số nguyên không âm thỏa mãn n ≥ 3k + 4( 1s + 1l ) E(f n )(k) (1) = E(gn )(k) (1) Khi f = αg với αn = 1, α ∈ K 8 Định lý sau mở rộng Định lý 2.6 Hà Huy Khoái Vũ Hoài An(trong "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann Fac Sc Toulouse, Vol XX, Special Issue, pp 135-149, (2011) ) cho đạo hàm cấp cao hàm phân hình p−adic Định lý 1.3.5 Cho f, g hai hàm phân hình khác K Giả sử không điểm (tương ứng, cực điểm) f, g có bội s(tương ứng, l), n số nguyên dương, k số nguyên không âm, n ≥ 9k + 7( 1s + 1l ) E (f n )(k) (1) = E (gn )(k) (1) Khi f = αg với αn = 1, α ∈ K Định lý 1.3.6 Cho f, g hai hàm phân hình khác K Giả sử không điểm (tương ứng, cực điểm) f, g có bội s (tương ứng, l) α f = βg, với Nếu n > 4( 1s + 1l ), Ef n (1) = Egn (1) f = g αn = β n = α Nếu n > 7( 1s + 1l ), E f n (1) = E gn (1) f = f = βg, với g αn = β n = Định lý 1.3.7 Cho f, g hai hàm phân hình khác K Giả sử không điểm (tương ứng, cực điểm) f, g có bội s (tương ứng l), n số nguyên dương, k số ngun khơng âm Khi f = cg, với cn = 1, c ∈ K hai điều kiện sau thỏa mãn (i) E(f n )(k) (1) = E(gn )(k) (1), n ≥ 3k + 4( 1s + 1l ), k > 0; (ii) E (f n )(k) (1) = E (gn )(k) (1), n ≥ 9k + 7( 1s + 1l ), k ≥ c f = cg f = với cn = 1, c ∈ K hai điều kiện sau g thỏa mãn (i) Ef n (1) = Egn (1) n ≥ 4( 1s + 1l ); (ii) E f n (1) = E gn (1) n ≥ 7( 1s + 1l ) Kết luận Chương Chúng đưa chứng minh số định lý vấn đề nhận giá trị hàm phân hình p−adic dạng (f n )(k) , (g n )(k) Các kết tương tự Giả thuyết Hayman Định lý C.C.Yang - X.H.Hua cho đạo hàm cấp cao hàm phân hình Chúng thu Định lý 1.2.9, Hệ 1.2.10 Định lý 1.3.7 Cụ thể là: Chứng minh Vấn đề nhận giá trị hàm phân hình siêu việt trường p− adic dạng (f n )(k) Chứng minh Vấn đề xác định đa thức vi phân dạng n (f )(k) theo bội không điểm cực điểm f để tìm điều kiện n k Chương Vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân nhiều biến trường không Acsimet Trong chương nghiên cứu vấn đề 1, vấn đề Nội dung chương viết báo: Complex Variables and Elliptic Equations, xuất năm 2017 Kết chương Định lí 2.2.12, Định lí 2.3.3, Bổ đề 2.2.5 Định lí 2.2.12 cho ta tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân nhiều biến Định lí 2.3.3 kết Vấn đề đa thức vi phân nhiều biến 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Trong chương này, ta ký hiệu K trường đóng đại số đặc số 0, đầy đủ với chuẩn không tầm thường, không Acsimet ký hiệu | | Pn (K) không gian xạ ảnh n chiều K Định nghĩa 2.1.1 Đường cong chỉnh hình từ K vào Pn (K) ánh xạ f : K → Pn (K) z → (f1 (z) : · · · : fn+1 (z)), fj , K Ta gọi j n + 1, hàm nguyên khơng điểm chung (f1 , , fn+1 ) : K → Kn+1 \{0} biểu diễn rút gọn f, ký hiệu f˜ = (f1 , , fn+1 ) Định nghĩa 2.1.2 Cho đường cong chỉnh hình f từ K đến Pn (K) với biểu diễn rút gọn f˜ = (f1 , , fn+1 ) Ta gọi f không suy biến tuyến tính ảnh f khơng chứa siêu phẳng Pn (K), nghĩa không tồn dạng tuyến tính L biến z1 , , zn+1 cho L(f˜) = 10 Định nghĩa 2.1.3 Cho q, n số nguyên dương với q ≥ n + Ta nói siêu mặt H1 , , Hq Pn (K) nằm vị trí tổng quát n+1 i=1 Hji = ∅, với tập {j1 , , jn+1 } ⊂ {1, , q} Định nghĩa 2.1.4 Ta gọi q đa thức n + biến (q ≥ 1) đa thức vị trí tổng quát n + đa thức khơng có khơng điểm chung Kn+1 − {0} Bây xét q dạng tuyến tính n + biến vị trí tổng quát: Li = Li (z1 , , zn+1 ) = αi,1 z1 + αi,2 z2 + · · · + αi,n+1 zn+1 , i = 1, 2, , q Giả sử d, k, m, s ∈ N, m < s, giả sử , bi ∈ K, , bi = Định nghĩa q − đa thức bậc s: s−m m Pi (z1 , , zn+1 ) = Lsi+1 − Li+1 L1 + bi Ls1 , i = 1, , q − Cho hàm nguyên f1 , , fn+1 , đặt d P (f1 , , fn+1 ) = P1d (f1 , , fn+1 ) + P2d (f1 , , fn+1 ) + · · · + Pq−1 (f1 , , fn+1 ) (2.1) n Cho H siêu mặt P (K), xác định phương trình F = Giả sử ảnh f không chứa H Ta định nghĩa hàm đặc trưng f xác định Tf (r) = log ||f ||r , ||f ||r = max |fi |r , 1≤i≤n+1 với hàm nguyên f, ký hiệu |f |r lớn |f (z)| {|z| ≤ r} Tập 1 Nf (H, r) = N (r, ), Nk,f (H, r) = Nk (r, ) F (f˜) F (f˜) Cho f g hai hàm phân hình khác K a ∈ K ∪ ∞, ta nói f g nhận giá trị a IM (khơng tính bội) f g nhận giá trị a điểm Nếu f g nhận giá trị a điểm có bội, ta nói f g nhận a CM (tính bội) 2.2 Vấn đề nhận giá trị tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân nhiều biến hàm nguyên không Acsimet Trong mục này, nghiên cứu vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân hàm nguyên trường không Acsimet Kết thu Định lí 2.2.12 Chúng tơi thiết lập bổ đề kiểu Borel đây: Bổ đề 2.2.5 Cho d, n, k ∈ N∗ , qi ∈ N cho zid−qi Di (z1 , z2 , , zn+1 ) đa thức bậc d vị trí tổng quát, ≤ i ≤ n+1 cho fid−qi Di (f1 , , fn+1 ) ≡ Giả sử n+1 fid−qi Di (f1 , , fn+1 )](k) = [ i=1 11 Khi có khẳng định đây: d−qi Nếu n+1 Di (f1 , , fn+1 ) ≡ 0, d ≥ n2 + n + k − + i=1 fi n+1 i=1 qi , d−q f1d−q1 D1 (f1 , , fn+1 ), , fn+1n+1 Dn+1 (f1 , , fn+1 ) phụ thuộc tuyến tính K d−qi Nếu n+1 Di (f1 , , fn+1 ) ≡ d ≥ n2 − + i=1 fi n+1 i=1 qi , n > 1, f1d−q1 D1 (f1 , , fn+1 ), , fnd−qn Dn (f1 , , fn+1 ) phụ thuộc tuyến tính K Tiếp theo đưa bổ đề sau: Bổ đề 2.2.6 Cho d, n, k ∈ N∗ thoả mãn d ≥ n2 +n+k −1 Giả sử ∈ K, i = 1, , n + số khác không f1 , , fn+1 hàm nguyên khác d ](k) = Khi có K thoả mãn [a1 f1d + a2 f2d + · · · + an+1 fn+1 phân tích số {1, , n + 1} = ∪Iv cho i Mỗi Iv chứa số; ii Với j, i ∈ Iv ; fi = cij fj , cij số khác khơng Bổ đề 2.2.7 Cho n, n1 , n2 , , nq , q ∈ N∗ , a1 , , aq , c ∈ K, c = q ≥ 2+ qi=1 nni Khi có phương trình hàm (f −a1 )n1 (f −a2 )n2 (f −aq )nq = cg n vơ nghiệm hàm phân hình khác (f, g) Bổ đề 2.2.8 Cho s, m ∈ N∗ , s ≥ 2m + Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 hàm nguyên K, không đồng không, thoả mãn điều kiện f1s − af1s−m f2m + bf2s = c f1 số khác không f2 Bổ đề 2.2.9 Cho s, m ∈ N∗ , thoả mãn s ≥ 2m + giả sử a1 , b1 , a2 , b2 , c ∈ K, số khác không Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 hàm nguyên K, f1 g1 cho hàm phân hình khác hằng, thoả mãn điều kiện f2 g2 a, b, c ∈ K số khác không Khi f1s + a1 f1s−m f2m + b1 f2s = c(g1s + a2 g1s−m g2m + b2 g2s ) (2.8) Khi có khẳng định đây: b1 cb2 Nếu m ≥ 3, m = s số lẻ, g1 = lf1 , g2 = hf2 , b1 s−m m a1 l s = , hs = ,l h = c cb2 ca2 Định lý 2.2.10 Cho P (f1 , , fn+1 ) xác định (2.1), f1 , , fn+1 độc lập tuyến tính K Giả sử d ≥ q − 3q + k + 2, s ≥ 2m + 8, m ≥ 3, m = s số lẻ Khi P (k) (f1 , , fn+1 ) nhận giá trị a ∈ K Nếu m ≥ 2, g2 = hf2 , hs = 12 Định lý 2.2.11 Cho P (f1 , , fn+1 ) xác định (2.1), f1 , , fn+1 độc lập tuyến tính K Giả sử d ≥ q − 2q, s ≥ 2m + 8, m ≥ 3, m = s số lẻ Khi P (f1 , , fn+1 ) nhận giá trị a ∈ K Định lý 2.2.12 Cho P (f1 , , fn+1 ) xác định (2.1) , f1 , , fn+1 độc lập tuyến tính K Giả sử s ≥ 2m + m ≥ 3, m = 2, s số lẻ Khi P (k) (f1 , , fn+1 ) nhận giá trị a ∈ K hai điều kiện sau thỏa mãn: k > d ≥ q − 3q + k + 2; k = d ≥ q − 2q Sau đưa tương tự Giả thuyết Hayman cho họ hàm nguyên K Hệ 2.2.13 Cho P (f1 , , fn+1 ) xác định (2.1), f1 , , fn+1 hàm nguyên K Giả sử s ≥ 2m + m ≥ 3, m = s số lẻ, k số nguyên không âm hai điều kiện sau thỏa mãn: k > d ≥ q − 3q + k + 2; k = d ≥ q − 2q Giả thiết thêm P (k) (f1 , , fn+1 ) không nhận giá trị a = K Khi f1 , , fn+1 phụ thuộc tuyến tính K 2.3 Vấn đề đa thức vi phân nhiều biến kiểu FermatWaring Trong phần nghiên cứu Vấn đề đa thức vi phân hàm nguyên kiểu Fermat-Waring Từ bổ đề phần 2.2 Định lý 2.2.10, ta nhận định lý sau Định lý 2.3.1 Cho P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) xác định (2.1), (f1 , , fn+1 ), (g1 , , gn+1 ) hai hệ (n+1) hàm nguyên độc d d lập tuyến tính Giả sử k số nguyên dương, s ≥ 2m + 8, b2d i = bj bl với i = j i = l, i, j, l ∈ {1, , q − 1} m = 2, s số lẻ q ≥ n + 1, m ≥ 3, q ≥ n + Khi Tồn số khác không α ∈ K, cho gi = αfi , i = 1, , n + 1, (k) P (f1 , , fn+1 ) P (k) (g1 , , gn+1 ) nhận CM d ≥ 4q − 10q + k + Tồn số khác không α ∈ K, cho gi = αfi , i = 1, , n + 1, sd α = 1, P (k) (f1 , , fn+1 ) P (k) (g1 , , gn+1 ) nhận CM d ≥ 4q − 10q + k + Định lý 2.3.2 Cho P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) xác định (2.1), (f1 , , fn+1 ), (g1 , , gn+1 ) hai hệ (n+1) hàm nguyên độc 13 d d lập tuyến tính Giả sử s ≥ 2m + 8, b2d i = bj bl với i = j i = l, i, j, l ∈ {1, , q − 1} m = 2, s số lẻ q ≥ n + 1, m ≥ 3, q ≥ n + Khi Tồn số khác không α ∈ K, cho gi = αfi , i = 1, , n + 1, P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) nhận CM, d ≥ 4q − 12q + Tồn số khác không α ∈ K, cho αsd = 1, gi = αfi , i = 1, , n + 1, P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) nhận CM , d ≥ 4q − 10q + Định lý 2.3.3 Cho P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) xác định (2.1), (f1 , , fn+1 ), (g1 , , gn+1 ) hai hệ (n+1) hàm nguyên độc d d lập tuyến tính Giả sử k số nguyên không âm, s ≥ 2m + 8, b2d i = bj bl với i = j i = l, i, j, l ∈ {1, , q − 1} m = 2, s số lẻ q ≥ n + 1, m ≥ q ≥ n + Khi gi = αfi , i = 1, · · · , n + 1, với α ∈ K, α = hai điều kiện sau thỏa mãn: (i) Nếu P (k) (f1 , , fn+1 ) P (k) (g1 , , gn+1 ) nhận CM, k > d ≥ 4q − 10q + k + 5; (i) Nếu P (f1 , , fn+1 ) P (g1 , , gn+1 ) nhận CM, d ≥ 4q − 12q + gi = αfi , i = 1, · · · , n + 1, với αsd = 1, α ∈ K, P (k) (f1 , , fn+1 ) P (k) (g1 , , gn+1 ) nhận CM , d ≥ 4q − 10q + k + Ví dụ 2.3.4 Lấy D1 (z1 , z2 ) = (z213 − z211 z12 + z113 )8 + ((z1 + z2 )13 − (z1 + z2 )11 z12 + 2z113 )8 , Q1 (z) = (z 13 − z 11 + 1)8 + ((z + 1)13 − (z + 1)11 + 2)8 Khi D1 (z1 , z2 ) thỏa mãn giả thiết Định lí 2.3.3 Q1 (z) đa thức mạnh M(K) Ví dụ 2.3.5 Lấy D2 (z1 , z2 ) = (z214 − z211 z13 + z114 )8 + ((z1 + z2 )14 − (z1 + z2 )11 z13 + 2z114 )8 , Q2 (z) = (z 14 − z 11 + 1)8 + ((z + 1)14 − (z + 1)11 + 2)8 Khi D2 (z1 , z2 ) thỏa mãn giả thiết Định lí 2.3.3 Q2 (z) đa thức mạnh M(K) Kết luận Chương Chúng nghiên cứu Vấn đề nhận giá trị cho đa thức vi phân nhiều biến hàm nguyên trường đóng đại số, đặc số 0, đầy đủ, không 14 Acsimet Kết thiết lập chứng minh định lý nhận giá trị tương tự Giả thuyết Hayman cho đa thức vi phân nhiều biến, định lý cho đa thức vi phân kiểu Fermat-Waring Đó Định lý 2.2.12, Định lý 2.3.3 Ví dụ 2.3.4, Ví dụ 2.3.5 đa thức mạnh 15 Chương Tác động bội không điểm, cực điểm lên lực lượng tập xác định hàm phân hình phức Trong chương chúng tơi nghiên cứu Vấn đề Chúng thiết lập tập xác định với số phần tử bé 11 hàm phân hình có bội khơng điểm, cực điểm lớn Nội dung chương viết báo (đang chờ nhận đăng) Kết chương Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6, Định lí 3.3.8 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ Định nghĩa 3.1.1 Hàm chỉnh hình f tồn mặt phẳng phức C gọi hàm nguyên Hàm f gọi hàm phân hình C f = ff21 , với f1 f2 hàm ngun C khơng có khơng điểm chung Giả sử f hàm phân hình khác C Với a ∈ C, ta định nghĩa hàm νfa : C → N xác định f (z) = a f (z) = a với bội d, d νfa (z) = đặt νf∞ = ν 01 , định nghĩa hàm ν af : C → N xác định ν af (z) = f νfa (z), , tập ν ∞ f = ν Thì f r N (r, )= f −a ( νfa (z) − νfa (0)) |z|≤t N (r, f ) = N (r, ) f dx − νfa (0) log r; x 16 r N (r, )= f −a ν af (z) − ν af (0)) ( |z|≤t dx − ν af (0) log r; x N (r, f ) = N (r, ) f a Giả sử m số nguyên dương Với a ∈ C ∪ {∞} , ta định nghĩa hàm νf,m) từ C ∪ {∞}đến N xác định νfa (z) a νf,m) (z) = νfa (z) > m νfa (z) ≤ m, ∞ Và đặt νf,m) = ν 01 m) , định nghĩa hàm ν af,m) : C ∪ {∞} → N xác định f, ν af,m) (z) a = νf,m) (z), , tập ν ∞ f,m) = ν m) f, Ta định nghĩa hàm đếm Nm) (r, 1 f −a ), Nm) (r, f ), N m) (r, f ), N m) (r, f −a ) xác định r )= Nm) (r, f −a a a νf,m) (z) − νf,m) (0)) ( |z|≤t dx a − νf,m) (0) log r; x Nm) (r, f ) = Nm) (r, ) f r N m) (r, )= f −a ν af,m) (z) − ν af,m) (0)) ( |z|≤t dx − ν af,m) (0) log r; x N m) (r, f ) = N m) (r, ) f a Tương tự ta định nghĩa νf,(m , ν af,(m xác định a νf,(m (z) = νfa (z) νfa (z) < m νfa (z) ≥ m, ∞ Và đặt νf,(m = ν 01 ,(m , định nghĩa hàm ν af,(m : C ∪ {∞} → N xác định f ν af,(m (z) = ν af,(m (z), , tập ν ∞ f,(m = ν ,(m f Ta định nghĩa tương tự hàm đếm N(m (r, 1 ), N(m (r, f ), N (m (r, f ), N (m (r, ) f −a f −a 17 3.2 Tác động bội không điểm, cực điểm lên lực lượng tập xác định hàm phân hình phức Trong mục chúng tơi nghiên cứu tác động bội không điểm, cực điểm cho hàm phân hình phức Kết thu Định lý 3.2.9 Định nghĩa 3.2.1 Một đa thức khác P (z) ∈ C[z] gọi đa thức cho hàm phân hình C với cặp hàm phân hình f, g khác C thỏa mãn P (f ) = P (g), ta có f = g Tương tự, ta định nghĩa đa thức khác P (z) ∈ C[z] gọi đa thức mạnh cho hàm phân hình, với cặp f, g hàm phân hình khác C số c = thỏa mãn P (f ) = cP (g), ta có f = g Đa thức (tương ứng, mạnh) hàm phân hình viết tắt U P M (tương ứng, SU P M ) Ký hiệu M(C) trường hàm phân hình C, với f ∈ M(C) S ⊂ C {∞}, ta định nghĩa (z, νfa (z)) : z ∈ C Ef (S) = a∈S Trong trường hợp ν af (khơng tính bội) ta kí hiệu E f (S)(ảnh ngược S ) Giả sử m số nguyên dương ∞, ta định nghĩa a (z, νf,m) (z)) : z ∈ C Ef,m) (S) = a∈S Chú ý rằng, m = ∞ Ef,∞) (S) = Ef (S) m = 1, Ef,1) (S) ⊂ E f (S) Giả sử F tập khác rỗng M(C) Hai hàm f, g F nói nhận S, tính bội, (nhận S CM ), Ef (S) = Eg (S) nhận S, khơng tính bội, (nhận S IM), E f (S) = E g (S) Cho tập S ⊂ C ∪ {∞} f, g hai hàm phân hình khác (hàm nguyên) Nếu Ef (S) = Eg (S) kéo theo f = g với hai hàm phân hình (hàm nguyên) khác f, g S gọi tập xác định hàm phân hình (hàm nguyên) viết tắt U RSM (U RSE ) Một tập S ⊂ C ∪ {∞} gọi tập xác định hàm phân hình(hàm nguyên) khơng tính bội (U RSM − IM ) (U RSE − IM ), E f (S) = E g (S) kéo theo f = g Một tập S ⊂ C ∪ {∞} gọi U RSMm) (U RSEm) ) với hai hàm phân hình (hàm nguyên) f, g thoả mãn điều kiện Ef,m) (S) = Eg,m) (S) kéo theo f = g Cho tập S = {a1 , a2 , · · · , aq } ⊂ C giá trị phân biệt, ta xét đa thức tổng quát dạng R(z) = (z − a1 )(z − a2 ) (z − aq ) (3.1) 18 Giả sử đạo hàm R(z) có k khơng điểm phân biệt d1 , d2 , , dk với bội q1 , q2 , , qk tương ứng Giả sử R(di ) = R(dj ), ≤ i < j ≤ q (3.2) Bổ đề 3.2.4 Cho R(z) đa thức dạng (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.2) Khi R(z) đa thức k ql qm > 1≤l 2k − + + ( tương ứng, q > 2k − + ) m ≥ ∞; s l s 4 q > 2k − + + (tương ứng, q > 2k − + ) m = 2; s 2l s q > 2k + + (tương ứng, q > 2k + ) m = s l s Khi f = g 3.3 Tập xác định với số phần tử bé 11 hàm phân hình có bội khơng điểm, cực điểm lớn Chúng đưa lớp đa thức (tương tự kiểu đa thức Banerjee) Cho n, p số nguyên dương giả sử a, b ∈ C số khác không Ta đặt p P (z) = (n + p + 1) i=0 (−1)i p z n+p+1−i bi (i ) n+p+1−i Ở p Q(z) = (n + p + 1) i=0 + a = Q(z) + a (3.20) (−1)i p (i ) z n+p+1−i bi n+p+1−i Giả sử p i=0 p (−1)i i n+p+1−i bn+p+1 = −2 (3.21) Nhận xét 3.3.1 Ta có đa thức P (z) = (n + p + 1)z n (z − b)p , có không điểm bội n Bổ đề 3.3.2 số nguyên (−1)i p p i=0 i n+p+1−i không số nguyên, n ≥ 3, p ≥ Định lý 3.3.3 Giả sử f g hai hàm phân hình khác (tương ứng, hàm nguyên) P (z) đa thức dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) Giả sử P (f ) = cP (g), c = không điểm (tương ứng, cực 20 điểm) f g có bội s (tương ứng, l) np > p + n Khi f = g , điều kiện thỏa mãn: n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) a = n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > p + 1s ) p > + 1l Từ định lý này, ta có hệ sau tồn đa thức mạnh bậc có số đạo hàm Hệ 3.3.4 Đa thức P (z) dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) đa thức mạnh bậc Định lý 3.3.5 Giả sử f g hai hàm phân hình khác (tương ứng, hàm nguyên) C P (z) đa thức có dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) m số nguyên dương, ∞ Giả sử Ef,m) (S) = Eg,m) (S) không điểm (tương ứng, cực điểm) f g có bội s (tương ứng, l ) p > + 1l , np > p + n Khi f = g , điều kiện hệ (I) điều kiện hệ (II) thỏa mãn (I) n + p > 2k − + 4s + 4l ( tương ứng, n + p > 2k − + 4s ) m ≥ ∞; n + p > 2k − 25 + 4s + 2l9 (tương ứng, n + p > 2k − 52 + 4s ) m = 2; n + p > 2k − + 4s + 6l (tương ứng, n + p > 2k − + 4s ) m = (II) n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) a = 1; n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > m + 1s ) a = Kí hiệu Fs,l lớp hàm phân hình có khơng điểm cực điểm với bội tương ứng s, l Khi ta nhận định lý đây: Định lý 3.3.6 Cho P(z) đa thức thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S Khi S tập xác định cho Fs,l , điều kiện sau thỏa mãn: #(S) = 1s + 1l ≥ 34 #(S) = 1s + 1l ≥ 54 #(S) = 1s + 1l ≥ 32 #(S) = 10 1s + 1l ≥ 74 #(S) = 11 1s + 1l ≥ Hệ 3.3.7 Cho P (z) đa thức bậc thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S Khi S tập xác định cho lớp hàm phân hình Weiestrass elliptic Từ định lý ta nhận kết sau: 21 Định lý 3.3.8 Cho P (z) đa thức bậc thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S , d số nguyên d ≥ 2, Ef d (S) = Egd (S) Khi f = ξg, ξ d = Từ Định lý 3.3.5 ta rút nhận xét sau Nhận xét 3.3.9 Theo Định lý 3.3.5, 3.5.6 lấy m = ∞, s = l = 1, k = 2, ta có tập hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) với 11 (tương ứng, 7) phần tử Đây lớp tập U RS dạng khác H.Fujimoto Kết luận chương Chúng thiết lập tập xác định với phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic, lớp đa thức mạnh có bậc Tìm lớp hàm phân hình có tập xác định có số phần tử 11 tập phần tử với bội không điểm cực điểm 2, kết tương tự Fujimoto Cụ thể là: Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Hệ 3.3.4, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6, Hệ 3.3.7, Định lí 3.3.8 Nhận xét 3.3.9 22 Kết luận kiến nghị Luận án nghiên cứu vấn đề xác định số lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11, có tác động bội khơng điểm, cực điểm hàm phân hình, định lí đa thức vi phân p−adic Mục tiêu luận án thiết lập số tập xác định lớp đa thức mạnh trường hợp Các kết luận án Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân p−adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân p−adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fermat-Waring Thiết lập định lý xác định đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) , đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu Fermat-Waring Chỉ lớp hàm phân hình mà tập xác định có số phần tử bé 11; xây dựng tập xác định với phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic; đưa công thức cho đa thức mạnh bậc Các kết mở rộng Định lý điểm, Định lý điểm Nevanlinna theo hướng trả lời câu hỏi F.Gross 23 Danh mục Cơng trình tác giả công bố liên quan đến luận án Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "A uniqueness theorem for linearly non-degenerate p -adic holomorphic curves", Interactions between real and complex analysis, International Advisory Board of the 20th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, pp 142-151 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 38 , pp 71-92 Nguyễn Xuân Lai (2017), "Vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân hàm phân hình p−adic", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, tập 12, số 1, tr 1-5 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Value -sharing and uniqueness problems non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai, "Strong Uniqueness for polynomials of degeree and Unique range sets for powers of meromorphic functions", Preprint  ... thuyết Hayman cho đa thức vi phân trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.) Vấn đề 2: Thiết lập định lý đa thức vi phân p− adic Vấn đề 3: Thiết lập lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử... Hayman đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân p-adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fecmart-Waring 2.2 Thiết lập định lý xác định đa thức vi phân. .. n )(k) đa thức vi phân p−adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fermat-Waring Thiết lập định lý xác định đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) , đa thức vi phân p-adic