Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)

Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)Về sự xác định duy nhất của đa thức vi phân đối với hàm phân hình (LA tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Hồi An GS.TSKH Hà Huy Khối THÁI NGUYÊN - NĂM 2017 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn GS TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hồi An Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Thái Nguyên, tháng 11 năm 2017 Tác giả Nguyễn Xuân Lai ii Lời cảm ơn Luận án thực hoàn thành hướng dẫn tận tình GS.TSKH Hà Huy Khối TS Vũ Hồi An Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tồn thể giảng viên khoa, Bộ mơn Giải tích Tốn ứng dụng tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Hải Dương, giảng viên Khoa Giáo dục Tiểu học tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu luận án Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TSKH Trần Văn Tấn, PGS.TSKH Tạ Thị Hoài An hai cán phản biện nhà khoa học Hội đồng đánh giá luận án cấp sở đọc góp ý, sửa chữa luận án hoàn thiện tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô, bạn bè Seminar Bộ mơn Giải tích Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm -ĐHTN, Trường Đại học Thăng Long Trường Cao đẳng Hải Dương giúp đỡ, động viên tác giả nghiên cứu khoa học Tác giả bày tỏ lòng biết ơn tới người thân gia đình bố, mẹ, vợ hai trai người chịu nhiều vất vả dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, để tác giả hoàn thành luận án Tác giả Nguyễn Xuân Lai iii Mục lục Mở đầu Chương Vấn đề nhận giá trị với tác động bội không điểm cực điểm đa thức vi phân dạng (f n )(k) 12 1.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 13 1.2 Giả thuyết Hayman hàm phân hình trường không Acsimet 15 1.3 Vấn đề hàm phân hình trường khơng Acsimet 23 Chương Vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân nhiều biến trường không Acsimet 40 2.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 41 2.2 Vấn đề nhận giá trị tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân nhiều biến hàm nguyên không Acsimet 42 2.3 Vấn đề đa thức vi phân nhiều biến kiểu FermatWaring 55 Chương Tác động bội không điểm, cực điểm lên lực lượng tập xác định hàm phân hình phức 63 3.1 Một số khái niệm kết bổ trợ 64 3.2 Tác động bội không điểm, cực điểm lên lực lượng tập xác định hàm phân hình phức 66 3.3 Tập xác định với số phần tử bé 11 hàm phân hình có bội khơng điểm, cực điểm lớn 79 Mở đầu Lí chọn đề tài Vấn đề phân bố giá trị hàm phân hình tốn trung tâm giải tích phức Trong lĩnh vực đó, kết phân bố giá trị hàm đạo hàm có vai trò quan trọng Người khởi xướng hướng nghiên cứu Hayman Năm 1967, ông đưa giả thuyết sau đây: Giả thuyết Hayman[42] Nếu hàm nguyên f thỏa mãn f n (z) f (z) = với n số nguyên dương với z ∈ C, f Giả thuyết Hayman Hayman kiểm tra hàm nguyên siêu việt n > 1, J.Clunie[17] kiểm tra n = Hayman đặt câu hỏi tương tự cho hàm phân hình Giả thuyết có mối liên hệ phân bố giá trị hàm phân hình đạo hàm Vấn đề thu hút ý nhiều nhà toán học, mở rộng theo nhiều hướng khác Năm 2006, Giả thuyết Hayman X.C.Nevo - Sh.Pang L.Zalcman[51] giải cho hàm phân hình Liên quan đến Giả thuyết Hayman vấn đề nhận giá trị đa thức vi (f n+1 ) Khi đó, Giả thuyết Hayman làm phân Chú ý rằng, f n f = n+1 nảy sinh vấn đề vấn đề nhận giá trị đạo hàm bậc cao hàm nguyên, hàm phân hình ([30], [31]) W.Hennekemper[44], H.H.Chen[16] Y.F.Wang([65], [66]) chứng minh định lí sau: Định lí A.Cho f hàm nguyên siêu việt C n, k số nguyên dương với n ≥ k + Khi (f n )(k) nhận giá trị phức khác vơ hạn lần Năm 2007, S.S.Bhoosnurmath-R.S.Dyavanal[14] đưa định lí sau đây: Định lí B [14] Cho f hàm phân hình siêu việt C n, k số nguyên dương với n ≥ k + Khi (f n )(k) nhận giá trị phức khác vơ hạn lần Vào thập niên đầu kỷ XX, Nevanlinna giải vấn đề phân bố giá trị hàm phân hình thơng qua lý thuyết phân bố giá trị ông xây dựng Một ứng dụng sâu sắc lý thuyết phân bố giá trị vấn đề xác định cho hàm phân hình khác qua điều kiện ảnh ngược điểm phân biệt (4 điểm) mà gọi Định lý điểm (Định lý điểm) Nevanlinna Và ta nói vấn đề kiểu thứ Năm 1977, F.Gross đưa ý tưởng xét ảnh ngược tập hợp điểm C ∪ {∞} Ông đưa hai câu hỏi sau: i) Tồn hay không tập S C ∪ {∞} để với hàm phân hình khác f, g thỏa mãn điều kiện Ef (S) = Eg (S) ta có f = g? ii) Tồn hay không hai tập Si , i = 1, C ∪ {∞} để với hàm phân hình khác f, g thỏa mãn điều kiện Ef (Si ) = Eg (Si ), i = 1, ta có f = g? Ta nói vấn đề xác định theo ý tưởng F.Gross vấn đề kiểu thứ hai Nhiều tác giả nghiên cứu vấn đề dựa hai hướng chính: Hướng thứ tìm tập xác định với số phần tử bé có Hướng thứ hai tìm đặc trưng tập xác định Năm 1982 F Gross C.C Yang chứng tỏ tập S = {z ∈ C |z + ez = 0} tập U RSE ; gần U RSE U RSM với hữu hạn phần tử tìm thấy H.X.Yi[63], P Li C.C Yang[49], E.Mues M.Reinders[50], G.Frank M.Reinders[23], H.Fujimoto[24] Theo hướng thứ H.X.Yi dùng ước lượng hàm Nevanlinna để chứng minh tập SY = {z ∈ C |z n + az m + b = 0} với điều kiện khác n, m, a, b U RS Năm 1998, G.Frank M.Reinders[23] chứng minh định lí sau: Định lí C Với số nguyên n ≥ 11, c = 0, c = tập hợp n(n − 2) n−2 (n − 1)(n − 2) n z − n(n − 2)z n−1 + z +c=0 SF R = z ∈ C | 2 URS cho hàm phân hình Năm 2000, H.Fujimoto[24] tổng qt hóa Định lí C sau: Giả PF (z) đa thức bậc q khơng có nghiệm bội với tập nghiệm SF Ta viết PF = q(z − d1 )q1 (z − dk )qk , với k số đạo hàm P (z) q1 + + qk = q − Đa thức khác không P (z) gọi thỏa mãn điều kiện (H) P (dl ) = P (dm ), với ≤ l < m ≤ k Đa thức khác không P (z) gọi thỏa mãn điều kiện (G) P (d1 ) + + P (dk ) = Định lí D Giả sử k ≥ k = min(q1 , q2 ) ≥ PF (z) đa thức mạnh bậc q thỏa mãn điều kiện (H) (i) Nếu q ≥ 2k + SF tập xác định cho hàm phân hình (ii) Nếu q ≥ 2k + 12 SF tập xác định cho hàm phân hình khơng tính bội (iii) Nếu q ≥ 2k + SF tập xác định cho hàm nguyên (iv) Nếu q ≥ 2k + SF tập xác định cho hàm ngun khơng tính bội Năm 2009, X Bai, Q Han A Chen[8] cải tiến kết H.Fujimoto[24] Năm 1995, P Li C.C Yang[49] đưa ký hiệu λM = inf #(S)|S U RSM , λE = inf #(S)|S U RSE Ở #(S) lực lượng tập S Và hai ông đưa giả thuyết λM = 6, λE = Hà Huy Khoái[36] đưa giả thuyết λM = Cho đến số phần tử U RSM thiết lập 11 Các phương pháp dùng báo bao gồm đánh giá hàm đặc trưng Nevanlinna Cũng trong[23] tác giả ý theo phương pháp họ không nhận U RSM với số phần tử bé 11 Từ đó, vấn đề xác định theo hai kiểu nói mở rộng, nghiên cứu liên tục mạnh mẽ với kết H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy Khoái, Đỗ Đức Thái, Trần Văn Tấn, Tạ Thị Hoài An, Sĩ Đức Quang, A.Escassut, Phạm Việt Đức, Hà Trần Phương, F.Gross C.C.Yang, H.X.Yi, B.Shiffman, C.C.Yang-X.H.Hua, E.Mues- M.Reinders, P.Li, An.T.T.H, Wang.J.T-Y,Wong.P-M., Đối với đạo hàm hàm phân hình, Giả thuyết Hayman vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân nảy sinh vấn đề xác định Người khởi xướng hướng nghiên cứu M.L Fang X.H.Hua[21], C.C Yang X.H.Hua[58] Họ chứng minh định lí sau: Định lí E([21], [58]) Cho f, g hai hàm nguyên khác C n ≥ số nguyên dương Nếu f n f g n g nhận 1CM f = c1 ecz , g = c2 e−cz , c1 , c2 c ba số thỏa mãn (c1 c2 )n+1 c2 = −1 f = tg, với t số cho tn+1 = Từ đó, hướng nghiên cứu phát triển với kết sâu sắc I.Lahiri, Q.Han – H.X.Yi, W.Bergweiler, J.K.Langley, K.Liu, L.Z.Yang, L.C.Hong, M.L.Fang, B.Q.Li, P.C.Hu - C.C.Yang, A.Eremenko, G.Frank - X.Hua – R.Vaillancourt, S.S.Bhoosnurmath – R.S.Dyavanal, C.C.Yang X.H.Hua, Chú ý định lí nhận giá trị hàm nhận định lí Chẳng hạn, hai định lí sau định lí tương ứng với Định lí A, Định lí B Định lí F[22] Cho f, g hai hàm nguyên khác C n, k số nguyên dương với n > 2k + Nếu (f n )(k) (g n )(k) nhận 1CM f = c1 ecz , g = c2 e−cz , c1 , c2 c ba số thỏa mãn (−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = f = tg, với t số cho tn = Định lí G[14] Cho f, g hai hàm phân hình khác C n, k số nguyên dương với n > 3k + Nếu (f n )(k) (g n )(k) nhận 1CM f = c1 ecz , g = c2 e−cz , c1 , c2 c ba số thỏa mãn (−1)k (c1 c2 )n (nc)2k = f = tg, với t số cho tn = Trong năm gần đây, Giả thuyết Hayman đặt cho hàm phân hình p-adic Năm 2008, J Ojeda[54] nhận kết sau: Định lí H[54] Cho f hàm phân hình K, n > số nguyên a ∈ K− {0} Khi f n (z) f (z) = a với z ∈ K f Năm 2011, Hà Huy Khối Vũ Hồi An[30] tổng quát hóa kết J.Ojeda[54] cho đa thức vi phân kiểu f n ((f )(k) )m Vũ Hoài An- Lê Thị Hoài Thu[5] xét vấn đề trường hợp p-adic nhiều biến Năm 2014, A.Escassut J.Ojeda[19] xem xét Định lí H trường hợp n = Gần đây, K Boussaf - A.Ecassut – J.Ojeda[13] bắt đầu nghiên cứu Vấn đề hàm phân hình p-adic: f P (f ), g P (g) nhận hàm nhỏ Quan sát Định lí A, B, E, G ta thấy từ số mũ n hàm suy rằng: bội không điểm, bội cực điểm f n Có nhiều lớp hàm quan tâm nghiên cứu có cực điểm với bội d ≥ Chẳng hạn lớp hàm Weiestrass elliptic(xem[67]) sau đây: ℘(z; w1 , w2 ) = + z2 m2 +n2 =0 1 − (z + mw1 + nw2 )2 (mw1 + nw2 )2 có cực điểm 2, hàm ℘n (z; w1 , w2 ), với n số ngun dương, có khơng điểm với bội n cực điểm với bội 2n Nhằm góp phần hồn thiện Giả thuyết Hayman trường p−adic, vấn đề nhận giá trị Lý thuyết Nevanlinna, chọn tên luận án:" Về xác định đa thức vi phân hàm phân hình" Đây vấn đề có tính thời giải tích phức số học Luận án đặt vấn đề nghiên cứu sau đây: Vấn đề 1: Thiết lập tương tự Giả thuyết Hayman cho đa thức vi phân trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.) Vấn đề 2: Thiết lập định lý đa thức vi phân p− adic Vấn đề 3: Tìm lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11 Mục tiêu luận án 2.1 Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman cho đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân nhiều biến p−adic hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fecmart-Waring 2.2 Thiết lập định lí xác định đa thức vi phân p− adic dạng (f n )(k) , với điều kiện xét gồm n, k bội không điểm, cực điểm hàm phân hình f ; đa thức vi phân nhiều biến p−adic kiểu Fecmart-Waring 2.3 Chỉ lớp hàm phân hình có tập xác định S với số phần tử bé 11, có tác động bội khơng điểm cực điểm lên lực lượng S ; xây dựng tập xác định có phần tử cho lớp hàm hàm Weiestrass elliptic, đưa công thức cho đa thức mạnh bậc 81 Từ bổ đề trên, ta có định lý sau: Định lý 3.3.3 Giả sử f g hai hàm phân hình khác (tương ứng, hàm nguyên) P (z) đa thức dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) Giả sử P (f ) = cP (g), c = không điểm (tương ứng, cực điểm) f g có bội s (tương ứng, l) np > p + n Khi f = g , điều kiện thỏa mãn: n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) a = n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > p + 1s ) p > + 1l i (−1) không số nguyên, Chứng minh Theo Bổ đề 3.3.2 ta thấy p0 pi n+p+1−i n ≥ 3, p ≥ số nguyên (−1)i Đặt B = pi=0 pi n+p+1−i , ta có P (0) = Q(0)+a = a, P (b) = Q(b)+a = Bbn+m+1 +a Do B = 0, b = 0, ta có P (b) = P (0) Đặt F = R(f ), G = R(g), c = 0, kéo theo F = cG, T (r, f ) = T (r, g) + S(r, g); S(r, f ) = S(r, g) (3.22) Bây ta xét trường hợp đây: Trường hợp c = Trường hợp 1.1 c = P (b) Khi P (b) = c = F −P (b) = P (b)(G−1) Ta có P (0) = a Giả sử a = Khi P (z) = có không điểm 0, b P (0) − = 0, P (b) − = Nó không điểm P (z) − đơn, giả sử chúng bi , i = 1, 2, , n + p + Rõ ràng, P (z) − P (b) có không điểm b bậc p + Giả sử lại khơng điểm phân biệt P (z) − P (b) ci , i = 1, 2, , n Khi N (r, )+ f −b n i=1 N (r, )= f − ci n+p+1 N (r, i=1 ) f − bi (3.23) Áp dụng Định lý thứ hai cho hàm f giá trị b1 , b2 , , bn+p+1 , ∞ 82 theo (3.22), (3.23) ta có n+p+1 (n + p)T (r, g) ≤ N (r, g) + N (r, i=1 ) + S(r, g) g − bi n 1 )+ ≤ T (r, g) + N (r, N (r, ) + S(r, g) l f −b f − c i i=1 ≤ T (r, g) + (n + 1)T (r, f ) + S(r, g) l ≤ (n + + )T (r, g) + S(r, g) l Vậy ta có (p − − )T (r, g) ≤ S(r, g) l Đây điều mâu thuẫn với giả thiết p > + 1l Tiếp theo giả sử a = P (0) = Khi từ (3.22) ta có F − = P (b)(G = ) P (b) (3.24) Ta xem xét P (z) − P 1(b) Do P (0) = a = P (b) = c = 1, ta nhận P (0) − P 1(b) = Hơn P (b) = Bbn+p+1 + a = Bbn+p+1 + = −1 Bởi vậy, P (z) − P 1(b) có khơng điểm đơn Giả sử chúng bi , i = 1, 2, , n + p + Ta giả sử ci , i = 1, 2, , p không điểm đơn phân biệt P (z) − P (0) = P (z) − a = P (z) − Áp dụng Định lý thứ hai cho hàm g giá trị b1 , b2 , , bn+p+1 , ∞, (3.22), (3.24) ta n+p+1 (n + p)T (r, g) ≤ N (r, g) + N (r, i=1 ) + S(r, g) g − bi n 1 ≤ T (r, g) + N (r, ) + N (r, ) + S(r, g) l f f − c i i=1 1 ≤ T (r, g) + T (r, f ) + pT (r, f ) + S(r, f ) l s 1 ≤ (p + + )T (r, g) + S(r, g) l s 83 Vậy ta có 1 − )T (r, g) ≤ S(r, g) l s Đây điều mâu thuẫn với giả thiết n > 1l + 1s Trường hợp 1.2 c = P (b) Giả sử a = Khi từ (3.22) ta có (n − F − ac = c(g − a) (3.25) Xét P (z) − ac Do c = ta có ac = a Do P (0) − ac = a − ac = Giả sử ac = P (b) Khi P (z) − ac có khơng điểm đơn Giả sử chúng ei , i = 1, 2, , n + p + Rõ ràng, P (z) − P (0) có khơng điểm bậc n + Giả sử lại khơng điểm phân biệt P (z) − P (0) ei , i = 1, 2, , p Áp dụng Định lý thứ hai cho hàm f giá trị ei , i = 1, 2, , n+ p + 1, ∞, (3.22), (3.25) ta n+p+1 (n + p)T (r, f ) ≤ N (r, f ) + N (r, i=1 ) + S(r, f ) f − ei p 1 ≤ T (r, f ) + N (r, ) + N (r, ) + S(r, f ) l g g − e i i=1 1 ≤ T (r, g) + T (r, f ) + pT (r, f ) + S(r, f ) l s 1 ≤ (p + + )T (r, g) + S(r, f ) l s Vậy ta có 1 − )T (r, g) ≤ S(r, g) l s Đây điều mâu thuẫn với giả thiết n > 1l + 1s Giả sử ac = P (b) Khi P (z)−P (b) có khơng điểm b bậc p+1 Giả sử khơng điểm phân biệt lại P (z) − P (b) ci , i = 1, 2, , n Áp dụng Định lý thứ hai cho hàm f giá trị b, ci , i = 1, 2, , n Ta (n − 84 có nT (r, f ) ≤ N (r, f ) + N (r, )+ f −b n N (r, i=1 ) + S(r, f ) f − ci p 1 N (r, ) ≤ T (r, f ) + N (r, ) + l g g − e i i=1 1 ≤ T (r, f ) + T (r, g) + pT (r, f ) + S(r, f ); l s Do ta có 1 − )T (r, f ) ≤ S(r, f ) s l 1 Điều trái với điều giả sử n > p + + s l Giả sử a = Khi từ (3.22) ta có (n − p − F − c = c(G − 1) (3.26) Ta xét P (z) − c Do P (0) = a = c = ta có P (0) − c = − c = Hơn c = P (b) Như P (z) − c có khơng điểm đơn Bây ta xét P (z) − Do a = ta thấy P (0) = 1, P (z) − P (0) có khơng điểm bậc n + Từ n > 1s + 1l , tương tự ac = c = P (b) ta dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp c = Khi P (f ) = P (g) (3.27) Áp dụng Bổ đề 3.2.4 cho (3.27) ta nhận f = g Từ định lý này, ta có hệ sau tồn đa thức mạnh bậc có số đạo hàm Hệ 3.3.4 Đa thức P (z) dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) đa thức mạnh bậc Thật vậy, Định lý 3.3.3 với a = 1, s = l = 1, p = 2, n = ta nhận đa thức P (z) có bậc Kết Banerjee[10] nói tập SU P M có bậc 7, Fujimoto[24] thiết lập đa thức mạnh bậc 5, số đạo hàm Từ Định lý 3.2.9 Định lý 3.3.3 với thay q = n + p + ta thu định lý 85 Định lý 3.3.5 Giả sử f g hai hàm phân hình khác (tương ứng, hàm nguyên) C P (z) đa thức có dạng (3.20) thỏa mãn điều kiện (3.21) m số nguyên dương, ∞ Giả sử Ef,m) (S) = Eg,m) (S) không điểm (tương ứng, cực điểm) f g có bội s (tương ứng, l ) p > + 1l , np > p + n Khi f = g , điều kiện hệ (I) điều kiện hệ (II) thỏa mãn (I) n + p > 2k − + 4s + 4l ( tương ứng, n + p > 2k − + 4s ) m ≥ ∞; n + p > 2k − 52 + 4s + 2l9 (tương ứng, n + p > 2k − 25 + 4s ) m = 2; n + p > 2k − + 4s + 6l (tương ứng, n + p > 2k − + 4s ) m = (II) n > 1s + 1l (tương ứng, n > 1s ) a = 1; n > p + 1s + 1l (tương ứng, n > m + 1s ) a = Chứng minh Thật vậy, giả sử f, g hai hàm phân hình khác (hàm nguyên) Nếu điều kiện hệ (I) thỏa mãn, theo Định lý 3.3.3 ta có P (f ) = cP (g), c = Khi đó, điều kiện hệ (II) thỏa mãn, theo Định lý 3.2.9 ta có f = g Năm 1997, C.C.Yang-X.H.Hua [58] có đưa giả thuyết tập nhỏ U RSM Năm 2005, Hà Huy Khoái[36] đưa giả thuyết : Tồn tập xác định cho hàm phân hình với số phần tử bé Hiện giả thuyết chưa có câu trả lời Ở chúng tơi góp phần giải giả thuyết hàm phân hình có bội khơng điểm, cực điểm lớn Kí hiệu Fs,l lớp hàm phân hình có khơng điểm cực điểm với bội tương ứng s, l Khi ta nhận định lý đây: Định lý 3.3.6 Cho P(z) đa thức thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S Khi S tập xác định cho Fs,l , điều kiện sau thỏa mãn: #(S) = 1s + 1l ≥ 43 #(S) = 1s + 1l ≥ 45 #(S) = 1s + 1l ≥ 23 #(S) = 10 1s + 1l ≥ 74 86 #(S) = 11 s + l ≥ Chú ý lớp hàm Weiestrass elliptic có bội cực điểm Từ Định lý 3.3.6 ta có hệ sau Hệ 3.3.7 Cho P (z) đa thức bậc thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S Khi S tập xác định cho lớp hàm phân hình Weiestrass elliptic Chứng minh Áp dụng Định lí 3.3.6 với s = 1, l = Từ định lý ta nhận kết sau: Định lý 3.3.8 Cho P (z) đa thức bậc thỏa mãn điều kiện (3.21) với tập nghiệm S , d số nguyên d ≥ 2, Ef d (S) = Egd (S) Khi f = ξg, ξ d = Chứng minh Áp dụng Định lí 3.3.6 với s = l = 2, ta có f d , g d thuộc vào F2,2 f d = g d Do f = ξg, ξ d = Từ Định lý 3.3.5 ta rút nhận xét sau Nhận xét 3.3.9 Theo Định lý 3.3.5, 3.5.6 lấy m = ∞, s = l = 1, k = 2, ta có tập hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) với 11 (tương ứng, 7) phần tử Đây lớp tập U RS dạng khác H.Fujimoto [24] Đặc biệt, trường hợp f g hàm nguyên ta áp dụng kết trường hợp f g hàm phân hình lấy l = ∞ Kết luận Chương Chúng thiết lập tập xác định với phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic, lớp đa thức mạnh có bậc Tìm lớp hàm phân hình có tập xác định có số phần tử 11 tập phần tử với bội khơng điểm cực điểm 2, kết tương tự Fujimoto Cụ thể là: Định lý 3.2.9, Định lí 3.3.3, Hệ 3.3.4, Định lý 3.3.5, Định lý 3.3.6, Hệ 3.3.7, Định lí 3.3.8 Nhận xét 3.3.9 87 Kết luận kiến nghị Luận án nghiên cứu vấn đề xác định số lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11, có tác động bội không điểm, cực điểm hàm phân hình, định lí đa thức vi phân p−adic Mục tiêu luận án thiết lập số tập xác định lớp đa thức mạnh trường hợp Các kết luận án Chứng minh tương tự Giả thuyết Hayman đa thức vi phân p−adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân p−adic nhiều biến hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fermat-Waring Thiết lập định lý xác định đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) , đa thức vi phân p-adic nhiều biến kiểu FermatWaring Chỉ lớp hàm phân hình mà tập xác định có số phần tử bé 11; xây dựng tập xác định với phần tử cho lớp hàm Weiestrass elliptic; đưa công thức cho đa thức mạnh bậc Các kết mở rộng Định lý điểm, Định lý điểm Nevanlinna theo hướng trả lời câu hỏi F.Gross 88 Danh mục Cơng trình tác giả công bố liên quan đến luận án [3] Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "A uniqueness theorem for linearly non-degenerate p -adic holomorphic curves", Interactions between real and complex analysis, International Advisory Board of the 20th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, pp 142-151 [32] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp 38 , pp 71-92 [1] Nguyễn Xuân Lai (2017), "Vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân hàm phân hình p−adic", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, tập 12, số 1, tr 1-5 [33] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Value -sharing and uniqueness problems non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 [34] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai, "Strong Uniqueness for polynomials of degeree and Unique range sets for powers of meromorphic functions", Preprint 89 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Lai (2017), "Vấn đề nhận giá trị đa thức vi phân hàm phân hình p−adic", Tạp chí Khoa học Công nghệ Việt Nam, tập 12, số 1, tr 1-5 Tiếng Anh n [2] Alotaibi A (2004), "On the Zeros of af (f (k) ) for n ≥ 2", Computational Methods and Function Theory, Vol 4, No.1, pp 227-235 [3] Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "A uniqueness theorem for linearly non-degenerate p -adic holomorphic curves", Interactions between real and complex analysis, International Advisory Board of the 20th International Conference on Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications, pp 142-151 [4] Vu Hoai An and Tran Dinh Duc (2011), "Uniqueness theorems and uniqueness polynomials for holomorphic curves", Complex Variables and Elliptic Equations, Vol.56, Nos 1-4, January-April , pp 253-262 [5] Vu Hoai An and Le Thi Hoai Thu (2012), "Hayman Conjecture for p-adic meromorphic functions in several variables", p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, Vol.4, No.3, pp 231-243 [6] Vu Hoai An, Pham Ngoc Hoa and Ha Huy Khoai (2017), "Value Sharing Problems for Differential and Difference Polynomials of Meromorphic Functions in a non-Archimedean Field ", p-adic Numbers Ultrametric Analysis and Applications, Vol.9, No.1, pp 1-14 90 [7] An,T.T.H., Wang, J.T.-Y., Wong, P.-M (2004), "Strong uniqueness polynomial: the complex case", Complex Var Theory Appl Vol.49, no.1, pp 25-54 [8] Bai X., Han Q., and Chen A.(2009), "On a result of H Fujimoto ", J Math Kyoto Univ 49:3, pp 631-643 [9] Banerjee A and Lahir I (2012), "A uniqueness polynomial generating a unique range set and vise versa", Comput Methods Funct Theory 12:2, pp 527-539 [10] Banerjee A (2015), "A new class of strong uniqueness polynomial satisfying Fujimoto’s conditions", Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica, Volumen 40, pp 465-474 [11] Boutabaa A (1990), " Théorie de Nevanlinna p-adique", Manuscripta Math., 67, pp 251-269 [12] Boutabaa A and Escassut A (2001), "Urs and Ursim for p-adic meromorphic functions inside a disk ", Proc Edinburgh Math Soc., 44, pp 485-504 [13] Boussaf K., Escassut A and Ojeda J.(2012), "p-adic meromorphic functions (f )( ) P (f ),(g)( ) P (g) sharing a small function", Bull Sci.math., 136, pp 172-200 [14] Boosnurmath S.S., Dyavanal R.S.(2007), "Uniqueness and valueshanring of meromorphic function", Comput.Math.Appl., 53 pp 11911205 [15] Chen H H and Fang M L (1995), "On the value distribution of f n f ", Sci China Ser A, 38, pp 789-798 [16] Chen H.H (1986), "Ysohida functions and Picard values of integral functions and their derivatives", Bull.Austral.Math.Soc., 54, pp 373381 [17] Clunie J (1967), "On aresult of Hayman", J.London Math.Soc, 42, pp 389-392 91 [18] Escassut A (1995), "Analytic Elements in P -adic Analysis", World Scientific Publishing [19] Escassut A and Ojeda J (2014), "The p-adic Hayman Conjecture when n=2", Complex Variable and Elliptic Equations, 59, n.10, pp 1451-1456 [20] Escassut A., Ojeda J , and Yang C C (2009), "Functional equations in a p-adic context", J Math Anal Appl, 351, No 1, pp 350-359 [21] Fang M.l and Hua X.H (1986), "Entire function that Share on value", J.of Univ.Mathematical Biquaterly, 13(1), pp 44-38 [22] Fang M.L (2002), "Uniqueness and value-sharing of entire functions", Comput Math Appl, 44, pp 823-831 [23] Frank G., Reinders M (1988), "A unique range set for meromorphic functions with 11 elements", Complex Var Theory Appl, 37:1, pp 185-193 [24] Fujimoto H (2000), "On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets", Amer J Math, 122, pp 1175-1203 [25] Fujimoto H (2003), "On uniqueness polynomials for meromorphic functions", Nagoya Math J, 170, pp 33-46 [26] Gross F., Yang C.C (1982), "On preimage and range sets of meromorphic functions", Proc Japan Acad, 58, pp 17-20 [27] Ha Huy Khoai (1983), "On p-adic meromorphic functions", Duke Math J., 50, pp 695-711 [28] Ha Huy Khoai (1993), "Height of p-adic holomorphic functions and applications", International Symposium “Holomorphic Mappings, Diophantine Geometry and Related Topics” (Kyoto, 1992) Surikaisekikenkyusho Kokyuroku No 819, pp 96-105 [29] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2003), "Value distribution for p-adic hypersurfaces", Taiwanese J Math., Vol 7, No.1, pp 51-67 92 [30] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2011), "Value distribution problem for p-adic meromorphic functions and their derivatives", Ann Fac Sc Toulouse, Vol XX, Special Issue, pp 135-149 [31] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An (2012), "Value sharing problem for p-adic meromorphic functions and their difference operators and difference polynomials", Ukranian Math J., Vol 64, N.2, pp 147-164 [32] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2012), "Value sharing problem and Uniqueness for p-adic meromorphic functions", Annales Univ Sci Budapest., Sect Comp., 38, pp 71-92 [33] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai (2017), "Value -sharing and uniqueness problems non-Archimedean differential polynomials in several variables", Complex Variables and Elliptic Equations, pp 1-17 [34] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai, "Strong Uniqueness for polynomials of degeree and Unique range sets for powers of meromorphic functions", Preprint [35] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), "On uniqueness polynomials and bi-URS for p-adic meromorphic functions", J Number Theory, 87, pp 211-221 [36] Ha Huy Khoai (2005), "Some remarks on the genericity of unique range sets for meromorphic functions", Sci China Ser., A 48, pp 262-267 [37] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), "p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem", Internat J Math., 6, pp 719-731 [38] Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), "On p-adic Nevanlinna theory", Lecture Notes in Math., 1351, pp 146-158, [39] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Le Quang Ninh (2014), "Uniqueness Theorems for Holomorphic Curves with Hypersurfaces of FermatWaring Type", Complex Analysis and Operator Theory, Volume 8, Issue 8, pp 1747- 1759 93 [40] Khoai Ha Huy and Yang C C (2004), "On the functional equation P (f ) = Q(g)", Value Distribution Theory and Related Topics, Advanced Complex Analysis and Application, Vol 3, Kluwer Academic, Boston, MA, pp 201-208 [41] Hayman W.K (1959), "Picard values of meromorphic functions and their derivatives", Ann Math., (2)70, pp 9-42 [42] Hayman W.K (1967), Research Problems in Function Theory, The Athlone Press University of London, London [43] Hayman W.K (1964), Meromorphic Functions, Clarendon, Oxford [44] Hennekemper W (1981), "Uber die Werteveteilung von (f k+1 )(k) ", Math.Z 177, pp 375-380 [45] Hu P.C and Yang C.C (2000), "Meromorphic functions over NonArchimedean fields", Kluwer Academic Publishers [46] Nguyen Xuan Lai (2011), "Nevanlinna five-value theorem for p-adic meromorphic functions and their derivative", Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Đại học Thái Nguyên, tập 81, số 05, pp 91-95 [47] Lahiri I and Dewan S (2003), "Value distribution of the product of a meromorphic function and its derivative", Kodai Math J., 26, pp 95-100 [48] Laine I and Yang C.C (2007), "Value distribution of difference polynomials", Proc Japan Acad Ser A, 83 (8), pp 148-151 [49] Li P., and Yang C.C (1995), "Some further results on the unique range sets of meromorphic functions", Kodai Math J , 18, pp 437-450 [50] Mues E., Reinders M (1995), "Meromorphic functions sharing one value and unique range sets", Kodai Math.J, 18: pp 515-522 [51] Nevo Sh., Pang X C., and Zalcman L (March 31, 2006), "PicardHayman behavior of derivatives of meromorphic functions with multiple zeros", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Volume 12, pp 37-43 94 [52] Nguyen Thanh Quang and Phan Duc Tuan (2004), "Sui-Yeung’s lemma in the p-adic case", Vietnam Journal of Mathematics, 32: 2, pp 227- 234 [53] Ojeda J (2008), "Hayman’s conjecture in a p-adic field", Taiwanese J Math., 12, N.9, pp 2295-2313 [54] Ojeda J (2008), "Zeros of ultrametric meromorphic functions f f n (f − a)k − α", Asian-European Journal of mathematics Vol.1, n.3, pp 415429 [55] Ojeda J (2010), "Applications of the p-adic Nevanlinna theory to problems of uniqueness, Advances in p-adic and Non-Archimedean analysis", Contemporary Mathematics, 508, pp 161-179 [56] Ojeda J (2011), "Uniqueness for ultrametric analytic functions" Bull Math Soc Sci Math Roumanie Tome, 54(102) N0.2, pp 153-165 [57] Pang X.C., Nevo Sh., and Zalcman L (2005), "Quasinormal families of meromorphic functions", Rev Mat Iberoamericana, 21, pp 249-262 [58] Yang C.C and Hua X.H (1997), "Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions", Ann.Acad.Sci.Fenn.Math., 22, 395-406 [59] Yang C.C and Hua X.H (1997), "Unique polynomials of entire and meromorphic functions", Matematicheskaia Fizika Analys Geometriye, (3), pp 391-398 [60] Yi H.X (1994), "On a problem of Gross", Sci China Ser., A 24, pp 1137-1144 [61] Yi H.X , Yang C.C (1995), Uniqueness Theory of Meromorphic Function, Science Press, Beijing [62] Yi H.X (1997), "The reduced unique range sets for entire or meromorphic functions", Complex Var Theory Appl., 32, pp 191-198 [63] Yi H.X (1990), "A question of C.C Yang on the of entire functions", Codai Math J 13, pp 39-46 [64] Van der Waerden, B.L (1991), Algebra, Vol 2, 7-th ed., SpringerVerlag, New York 95 [65] Wang Y.F (1993), "On Mues conjecture and Picard value", Scien in Chiana, 36(1), pp 28-35 [66] Wang Y.F., Fang M.L (1998), "Picard values and normal families of meromorphic functions with multiple zero", Acta Math Sinica, New series, 14(1), pp 17- 26 [67] Jamie Snape (1992), Application of Elliptic Function in Classical and Algebraic, Collingwood college, University of Durham ... Hayman cho đa thức vi phân p-adic dạng (f n )(k) đa thức vi phân nhiều biến p−adic hàm nguyên dạng (P n (f ))(k) , P (f ) đa thức kiểu Fecmart-Waring 2.2 Thiết lập định lí xác định đa thức vi phân. .. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN NGUYỄN XUÂN LAI VỀ SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CỦA ĐA THỨC VI PHÂN ĐỐI VỚI HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... đa thức vi phân trường hợp p-adic (đa thức vi phân p−adic.) Vấn đề 2: Thiết lập định lý đa thức vi phân p− adic Vấn đề 3: Tìm lớp hàm phân hình có tập xác định với số phần tử bé 11 Mục tiêu luận