Trong phần 1.2, chúng ta đã thảo luận về Định lí 5 điểm của Nevanlinna.
Gần 50 năm sau, năm 1977 Rubel-Yang ([16]) lần đầu tiên cho thấy đối với trường hợp đặc biệt khi g là đạo hàm của f, chỉ cần chia sẻ hai giá trị CM đối với tính xác định duy nhất.
Định lý 1.7.1. ([16]) Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng. Nếu f và f0 chia sẻ 2 giá trị phân biệt a, b CM thì f0 ≡ f.
Hai năm sau, Mues-Steinmetz ([16]) đã chứng minh rằng, thực ra trong trường hợp trên không cần thiết phải xét đến bội.
Định lý 1.7.2. ([4]) Giả sử f là hàm chỉnh hình khác hằng. Nếu f và f0 chia sẻ 2 giá trị phân biệt a, b IM thì f0 ≡ f.
Nhận xét 1.7.1. Số 2 trong định lí trên là chặt. Ví dụ ta lấy f(z) = eez
z
R
0
e−et(1−et)dt thì f và f0 chia sẻ 1 IM, nhưng f0 −1 =ez(f −1). Câu hỏi tự nhiên đặt ra là sẽ xét mối quan hệ giữa hàm chỉnh hình nguyên và đạo hàm khi chia sẻ một giá trị CM. Năm 1996, theo hướng này giả thuyết nổi tiếng sau đây được đề xuất bởi Bruck ([24]):
Giả thuyết: Giả sử f là hàm nguyên khác hằng, sao cho siêu bậc ρ2(f) của f không phải là số nguyên dương hoặc vô cùng. Nếu f và f0 chia sẻ giá trị hữu hạn a CM thì f0 −a
f −a = c, trong đó c là hằng số khác 0.
Bản thân Bruck đã chứng minh giả thuyết với a = 0. Với a 6= 0, Bruck ([24]) chỉ ra rằng, dưới giả thiết N(r,0;f0) = S(r, f), giả thuyết là đúng mà không cần bất kì điều kiện cấp tăng nào khi a = 1.
Định lý 1.7.3. ([24]) Giả sử f là một hàm nguyên khác hằng. Nếu f và f0 chia sẻ giá trị 1 CM, và nếu N(r,0;f0) = S(r, f), thì f0−1
f −1 là hằng số khác không.
Giả sử a = a(z) là một hàm nhỏ. Khi đó ta nói f và g chia sẻ a CM (tương ứng, IM) nếu f −a và g−a chia sẻ 0 CM (tương ứng, IM). Bây giờ ví dụ sau đây cho thấy thực tế không thể đơn giản là thay thế giá trị 1 bằng một hàm nhỏ a(z)(6≡ 0,∞) trong định lý 1.7.3.
Ví dụ 1.7.1. Giả sử f(z) = 1 +eez và a = a(z) = 1 1−e−z.
Khi đó bổ đề 2.6 của ([27]) chỉ ra rằng a(z) là một hàm nhỏ của f(z). Ngoài ra, có thể dễ dàng thấy rằngf vàf0chia sẻa(z)CM vàN(r,0;f0) = 0,
nhưng f −a 6= c(f0−a), với mọi hằng số c 6= 0. Trong trường hợp này các giả thuyết bổ sung là bắt buộc.
Tuy nhiên với hàm nguyên có bậc hữu hạn, năm 1999, Yang ([18]) đã loại bỏ được giả thiết N(r,0;f0) = 0 và thu được kết quả sau.
Định lý 1.7.4. ([18]) Giả sử f là một hàm nguyên khác hằng có bậc hữu hạn, và giả sử a(6= 0) là một hằng số hữu hạn. Nếu f, f(k) chia sẻ giá trị a CM thì f(k)−a
f −a là một hằng số khác không, trong đó k(≥ 1) là một số nguyên.
Định lý trên có thể được coi là một lời giải cho giả thuyết Bruck. Tiếp theo chúng ta xét ví dụ sau đây cho thấy rằng trong Định lý 1.7.3, người ta không thể thay thế đồng thời “CM” bằng “IM” và “hàm chỉnh hình” bằng
“hàm phân hình ”.
Ví dụ 1.7.2. Giả sử f(z) = 2 1−e−2z.
Khi đó f(z) và f0(z) chia sẻ 1 IM và N(r,0;f0) = 0, nhưng (f0 − 1) = (f −1)2. Do đó kết luận của Định lí 1.7.3 không còn đúng.
Như vậy câu hỏi sau đây là rất tự nhiên.
Câu hỏi 1.7.1. Kết luận của Định lí 1.7.3 đúng hay không cho hàm phân hình khác hằng chia sẻ một hàm nhỏ IM cùng với đạo hàm cấp k của nó?
Bây giờ chúng ta nhắc lại hai định lý sau đây của Liu-Yang ([13]) theo hướng chia sẻ IM liên quan đến Định lý 1.7.3. Để thuận lợi, ký hiệu I là tập hợp tuỳ ý các giá trị r ∈ (0,∞) có độ đo tuyến tính vô hạn, không nhất thiết phải giống nhau ở mỗi lần xuất hiện.
Định lý 1.7.5. ([13]) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. Nếu f và f0 chia sẻ 1 IM và nếu
N(r,∞;f) +N(r,0;f0) < (λ+o(1))T(r, f0), (1.4)
đối với r ∈ I, trong đó 0 < λ < 1
4, thì f0 −1
f −1 ≡ c với hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Định lý 1.7.6. ([13]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và k là một số nguyên dương. Nếu f và f(k) chia sẻ 1 IM và
(3k + 6)N(r,∞;f) + 5N(r,0;f) < (λ+o(1))T(r, f(k)), (1.5) đối với r ∈ I, trong đó 0 < λ < 1 thì f(k)−1
f −1 ≡ c với hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Zhang ([22]) nghiên cứu định lý 1.7.3 cho hàm phân hình và cũng nghiên cứu vấn đề chia sẻ giá trị CM của hàm phân hình với đạo hàm thứ k của nó.
Năm 2005, Zhang ([23]) tiếp tục mở rộng kết quả của mình liên quan đến giả thuyết Bruck tới hàm nhỏ, và chứng minh kết quả sau đây với chia sẻ IM. Để nhắc đến kết quả Zhang, chúng ta cần hai định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.7.1. ([10]) Giả sửplà một số nguyên dương, vàa ∈ C∪{∞}. i) N(r, a;f| ≥ p) (tương ứng,N(r, a;f| ≥p) ký hiệu hàm đếm (tương ứng,
. hàm đếm thu gọn) của các a−điểm của f có bội không nhỏ hơn p. ii) N(r, a;f| ≤ p) (tương ứng, N(r, a;f| ≤ p) ký hiệu hàm đếm (tương
ứng. hàm đếm thu gọn) của các a−điểm của f có bội không nhỏ hơn p.
Định nghĩa 1.7.2. ([8]) Với a ∈ C∪ {∞}và p∈ N ta kí hiệu Np(r, a;f) là tổngN(r, a;f)+N(r, a;f| ≥2)+...+N(r, a;f| ≥ p). Rõ ràngN1(r, a;f) = N(r, a;f).
Định lý 1.7.7. ([23]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và k(≥ 1) là số nguyên. Ngoài ra giả sử a ≡ a(z)(6≡ 0,∞) là một hàm phân hình nhỏ.
Giả sử f −a và f(k)−a chia sẻ 0-IM. Nếu
4N(r,∞;f) + 3N2(r,0;f(k)) + 2N(r,0; (f /a)0) < (λ+o(1))T(r, f(k)) (1.6) với r ∈ I trong đó 0 < λ < 1, thì f(k)−a
f −a = c với một hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Năm 2008, Zhang-Lu ([25]) hoàn thiện hơn nữa kết quả của Zhang ([23]) liên quan đến giả thuyết Bruck với lũy thừa bậc ncủa một hàm phân hình chia sẻ một hàm nhỏ với đạo hàm thứ k và thu được định lý sau đây.
Định lý 1.7.8. ([25]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và k(≥ 1) và n(≥ 1) là số nguyên. Ngoài ra giả sử a ≡a(z)(6≡0,∞) là một hàm phân hình nhỏ. Giả sử fn −a và f(k)−a chia sẻ 0-IM. Nếu
4N(r,∞;f) + N(r,0;f(k))+2N2(r,0;f(k)) + 2N(r,0; (fn/a)0)
<(λ+ o(1))T(r, f(k)),
(1.7)
với r ∈ I trong đó 0 < λ < 1, thì f(k)−a
fn −a = c với một hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Ở cuối bài báo này ([25]), Zhang-Lu ([25]) nêu ra câu hỏi sau đây.
Câu hỏi 1.7.2. Điều gì sẽ xảy ra nếu fn và [f(k)]m chia sẻ một hàm nhỏ?
Để trả lời câu hỏi trên, Liu([17]) thu được kết quả sau.
Định lý 1.7.9. ([17]) Giả sửf là một hàm phân hình khác hằng và k(≥ 1), n(≥ 1) và m(≥ 2) là số nguyên. Ngoài ra giả sử a ≡ a(z)(6≡ 0,∞) là một
hàm phân hình nhỏ. Giả sử fn −a và (f(k))m−a chia sẻ 0-IM. Nếu 4
nN(r,∞;f) + 5
mN(r,0;f(k)) + 2
mN(r,0; (fn/a)0) < (λ+o(1))T(r, f(k)), (1.8) với r ∈ I trong đó 0 < λ < 1, thì (f(k))m−a
fn −a = c với một hằng số c ∈ C/{0} nào đó.
Do (f(k))m là một dạng đơn giản của đơn thức vi phân của f, sẽ rất thú vị để nghiên cứu xem Định lý 1.7.7- 1.7.9 có thể được mở rộng đến đa thức vi phân hay không. Theo hướng này, Li-Yang ([19]) đã cải thiện định lý 1.7.7 như sau.
Định lý 1.7.10. ([19]) Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và P[f] là một đa thức vi phân sinh bởi f. Ngoài ra giả sử a ≡ a(z)(6≡ 0,∞) là một hàm phân hình nhỏ. Giả sử f − a và P[f] − a chia sẻ 0-IM và (t−1) ¯d(P) ≤
t
P
j=1
d(Mj). Nếu
4N(r,∞;f) + 3N2(r,0;P[f]) + 2N(r,0; (f /a)0) < (λ+o(1))T(r, P[f]), (1.9) với r ∈ I trong đó 0< λ < 1 thì P[f]−a
f −a = c với một hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Chúng ta thấy rằng Định lý 1.7.10 luôn đúng đối với một đơn thức vi phân mà không có bất kì điều kiện nào về bậc của nó. Nhưng với đa thức vi phân tổng quát thì không thể loại bỏ giả thiết trong Định lý 1.7.10. Vì vậy các câu hỏi sau đây sẽ được đặt ra:
i) Trong Định lý 1.7.10, điều kiện đặt lên bậc có thể loại bỏ hay không?
ii) Khái niệm chia sẻ có thể làm yếu thêm?
iii) Bất đẳng thức (1.9) có thể tiếp tục làm yếu hơn?
Mục đích chính của chương này là trình bày một số kết quả đã có theo hướng trên.
Định lý 1.7.11. Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng và n(≥ 1) là số nguyên. Giả sử m(≥ 1) là số nguyên dương hoặc vô cùng và a ≡ a(z)(6≡ 0,∞) là một hàm nhỏ đối với f. Giả sử P[f] là một đa thức vi phân sinh bởi f, sao cho P[f] chứa ít nhất một đạo hàm. Hơn nữa, giả sử Em)(a;fn) =Em)(a;P[f]). Nếu
4N(r,∞;f)+N2(r,0;P[f]) + 2N(r,0;P[f]) +N(r,0; (fn/a)0) +N(r,0; (fn/a)0|(fn/a) 6= 0) < (λ+ o(1))T(r, P[f]),
(1.10)
với r ∈ I trong đó 0< λ < 1 thì P[f]−a
fn −a = c với một hằng số c ∈ C/{0}
nào đó.
Nhận xét 1.7.2. Như vậy, nếu chúng ta đặt m = ∞ trong Định lý 1.7.11 thì ta nhận thấy rằng fn −a và P[f]−a chia sẻ 0-IM, và do đó chúng ta thu được phiên bản tốt hơn, mở rộng của định lý 1.7.1 theo hướng của câu hỏi trên.
Bây giờ, ta đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu cần dùng trong phần tiếp theo.
Định nghĩa 1.7.3. Với k ∈ N ∪ {∞} và a ∈ C\{0}, giả sử Ek)(a;f) = Ek)(a;g). Nếu z0 là một không điểm của f(z)−a với bội p và một không điểm của g(z)−a với bội q thì
i) QuaNL(r, a;f)(tương ứng,NL(r, a;g)), ta ký hiệu hàm đếm cáca-điểm của f và g mà tại đó p > q ≥1 (tương ứng. q > p ≥ 1),
ii) Qua N1)E(r, a;f), ta ký hiệu hàm đếm các a- điểm của f và g, tại đó p = q = 1,
iii) Qua N(2E(r, a;f), ta ký hiệu hàm đếm các a-điểm của f và g, tại đó p = q ≥ 2, mỗi điểm trong hàm đếm này chỉ được tính một lần,
iv) Qua Nf >s(r, a;g) (tương ứng, Ng>s(r, a;f)), ký hiệu hàm đếm các a- điểm của f và g, tại đó p > q = s (tương ứng, q > p = s) và
v) Qua Nf≥k+1(r, a;f|g 6= a) (tương ứng, Ng≥k+1(r, a;g|f 6= a)), ký hiệu hàm đếm thu gọn của a- điểm của f và g, tại đó p ≥ k + 1 và q = 0 (tương ứng, q ≥k + 1 và p = 0).
Rõ ràng NE1)(r, a;f) =NE1)(r, a;g) và N(2E(r, a;f) = N(2E(r, a;g).
Định nghĩa 1.7.4. ([9]) Giả sử a, b ∈ C∪ {∞}, ta kí hiệu N(r, a;f|g 6= b) là hàm đếm các a- điểm của f tính cả bội, mà không phải là b- điểm của g. Định nghĩa 1.7.5. ([12]) Giả sử f, g chia sẻ giá trị a IM. Ta kí hiệu N∗(r, a;f, g) là hàm đếm thu gọn các a- điểm của f với bội khác với bội của điểm a-điểm của g. Rõ ràng
N∗(r, a;f, g) ≡ N∗(r, a;g, f) và N∗(r, a;f, g) =NL(r, a;f) +NL(r, a;g).
Chương 2
Tập xác định duy nhất và số khuyết