Xác định hàm số y = fx, biết rằng đồ thị của nó là một đường thẳng song song với đường thẳng y 3x và cắt trục tung tại điểm A có tung độ bằng 2.. b Xác định hàm số y = fx rồi khảo sá[r]
(1)ĐỀ SỐ Câu 1(3 điểm) Cho hai mệnh đề chứa biến P(n): “n là số chính phương” và Q(n): “n + không chia hết cho 4” với n là số tự nhiên a) Xác định tính đúng – sai các mệnh đề P(16) và Q(2003) b) Phát biểu lời định lí “ n A , P(n) Q(n) ” c) Phát biểu mệnh đề đảo định lí trên Mệnh đề đảo đó có đúng không? Câu 2(4 điểm) a) Cho A = { n A | n là ước 12} ; B = { n A | n là ước 18} Xác định A B và A B Hãy viết các tập đó hai cách b) Xác định các tập A B , A B và biểu diễn các tập đó trên trục số trường hợp sau: i) A {x A | x 1} ; B {x A | x 3} ii) A (1;5); B [0;6) iii) A [1;3]; B (2; ) Câu (2 điểm) Cho A = {0 ; ; ; ; ; ; ; 9}, B = {0 ; ; ; ; ; 9} và C = {3 ; ; ; ; 7} a) Tìm A B và B \ C b) So sánh hai tập A (B \ C) và (A B) \ C Câu 4(1 điểm) Trong thí nghiệm, số C xác định là 2,43265 với cận trên sai số tuyệt đối d = 0,00312 Hỏi C có chữ số chắc? Đáp án Câu a) P(16) đúng, Q(2003) sai b) Với số tự nhiên n, n là số chính phương thì n + không chia hết cho c) Mệnh đề đảo là “Với số tự nhiên n, n + không chia hết cho thì n là số chính phương” Mệnh đề đảo sai, chẳng hạn, với n = thì n + = không chia hết cho không là số chính phương Câu a) A B {1 ; ; ; ; ; ; 12 ; 18} {n A | n là ước 36 và nhỏ 36} A B {1 ; ; ; 6} = { n A | n là ước 6} b) i) A B (1;3) , AB A ; A B (1;6) ; ii) A B [0 ; 5), A B [1 ; +) iii) A B (2 ; 3], Lop10.com (2) Câu a) A B {0 ; ; ; ; 9} , B \ C {0 ; ; ; 9} ; b) A (B \ C) (A B) \ C {0 ; ; 9} Câu Vì 0,0005 < 0,00312 < 0,005 nên chữ số hàng phần trăm là chữ số và chữ số hàng phần nghìn không Do đó, C có ba chữ số ĐỀ SỐ Câu (2 điểm) a) Cho mệnh đề P: “ Với số thực x, x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ ” Dùng kí hiệu lôgic và tập hợp để diễn đạt mệnh đề trên và xác định tính đúng – sai nó c) Phát biểu mệnh đề đảo P và chứng tỏ mệnh đề đó đúng Sử dụng thuật ngữ “Khi và khi” phát biểu gộp hai mệnh đề thuận và đảo Câu 2(4 điểm) a) Trong các tập sau đây, hãy cho biết tập nào là tập tập nào: A = {1 ; ; 3]; B = { nA | n < } C = ( 0; ); D = { x A | 2x 7x } b) Tìm tất các tập X thỏa mãn bao hàm thức sau: {1 ; 2} X {1 ; ; ; ; 5} d) Cho tập A = {1 ; 2} và B {1 ; ; ; 4} Tìm tất các tập C thỏa mãn điều kiện AC B Câu (2 điểm) Xác định tính đúng – sai các mệnh đề sau: a) x A , x 2 x 4; b) x A , x x 4; c) x A , x x ; d) x A , x x Câu (2 điểm) Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43 m 0,5 m và chiều dài y = 63 m 0,5 m Chứng minh chu vi P miếng đất là P = 212 m 2 m Đáp án Câu a) Mệnh đề P: “ x A , x A 2x A ” Mệnh đề đúng b) Mệnh đề đảo P là : “Với số thực x, 2x là số hữu tỉ thì x là số hữu tỉ” Phát biểu gộp hai mệnh đề thuận và đảo: “Với số thực x, x A và 2x A ” Dùng kí hiệu lôgic: “ x A , x A 2x A ” Lop10.com (3) Câu a) A B, A C, D C b) {1 ; 2}, {1 ; ; 3}, {1 ; ; 4}, {1 ; ; 5}, {1 ; ; ; 4}, {1 ; ; ; 5}, {1 ; ; ; 5}, {1 ; ; ; ; 5} c) {3 ; 4}, {1 ; ; 4}, {2 ; ; 4}, {1 ; ; 3; 4} Câu a) Sai ; b) Đúng ; c) Sai; d) Đúng Câu Giả sử x = 43 + u , y = 63 + v Ta có P = 2x + 2y = 2(43 + 63) + 2u + 2v = 212 + 2(u + v) Theo giả thiết 0,5 u 0,5 và 0,5 u 0,5 nên 2 2(u v) Do đó, P = 212 m m ĐỀ SỐ Câu (2 điểm) Vẽ đồ thị hàm số sau lập bảng biến thiên nó: y 2 x Câu 2(3 điểm) Cho parabol (P) và đường thẳng (d) song song với trục hoành Một hai giao điểm (d) và (P) là M(- ; 3) Tìm tọa độ giao điểm thứ hai (d) và (P), biết đỉnh parabol (P) có hoành độ Câu 3(5 điểm) Cho hàm số y 0,5x mx 2,5 a) Tìm m cho đồ thị hàm số nói trên là parabol nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng b) Với giá trị tìm m, hãy khảo sát biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Tìm giá trị nhỏ hàm số đó c) Đường thẳng y = 2,5 cắt parabol vừa vẽ hai điểm Tính khoảng cách hai điểm Đáp án Câu Đồ thị (h.2.13) Bảng biến thiên: x 2 y 2 x Lop10.com (4) Câu Gọi N (x ; y) là giao điểm thứ hai đường thẳng (d) và parabol (P), ta cần tính x và y - N thuộc đường thẳng (d) (song song với Ox và qua M( 2;3 )) Do đó, tung độ N là 3, tức là N có tọa độ (x ; 3) - Vì đỉnh parabol (P) có hoành độ nên parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = - Do tính đối xứng parabol, N(x ; 3) và M( 2;3 ) đối xứng với qua đường thẳng x = Từ đó suy 2 x 1 x Kết luận: Tọa độ N là (4 ; 3) Câu a) Parabol y 0,5x mx 2,5 có trục đối xứng là đường thẳng x = m Do đó, để trục đối xứng là đường thẳng x 3 , ta phải có m 3 , tức là m = b) Khi đó, ta có hàm số y 0,5x 3x 2,5 Đồ thị hình 2.14 Suy ra: - Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 3) và đồng biến trên khoảng (3; ) - Bảng biến thiên: 3 x y 0,5x 3x 2,5 2 Giá trị nhỏ hàm số là 2 x 3 c) Hoành độ các giao điểm parabol với đường thẳng x = 2,5 là các nghiệm phương trình y 0,5x 3x 2,5 = 2,5 hay y 0,5x 3x Phương trình này có hai nghiệm là x1 và x 6 Do hai giao điểm nằm trên đường thẳng song song với trục hoành nên khoảng cách hai giao điểm là x1 x ĐỀ SỐ Câu (3 điểm) Vẽ đồ thị hàm số sau lập bảng biến thiên nó: y x 2x Câu (2 điểm) Lop10.com (5) Xác định hàm số y = f(x), biết đồ thị nó là đường thẳng song song với đường thẳng y 3x và cắt trục tung điểm A có tung độ Câu (5 điểm) Biết hàm số bậc hai y = f(x), đó f (x) x px q có đồ thị là parabol (P) với đỉnh là điểm I( 2; 3 ) a) Cần phải tịnh tiến parabol y x nào để có parabol (P) b) Xác định hàm số y = f(x) khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị nó c) Nếu tịnh tiến parabol (P) sang phải đơn vị thì ta đồ thị hàm số nào? Đáp án Câu - Đồ thị hình 2.15 - Bảng biến thiên: x y x 2x 1 Câu Vì hàm số có đồ thị là đường thẳng (d) nên hàm số đó có dạng y = ax + b Ta cần tính a và b - Vì (d) song song với đường thẳng y 3x nên a - Vì (d) cắt trục tung A(0 ; 2) nên b = Vậy hàm số cần tìm là y 3x Câu a) Parabol (P) có là tịnh tiến parabol ( P1 ): y = x2 Khi tịnh tiến, đỉnh (0 ; 0) ( P1 ) dịch chuyển đến vị trí đỉnh (P), tức là điểm I(2 ; 3) Do đó, ta phải tịnh tiến parabol ( P1 ) sang phải đơn vị xuống đơn vị b) Từ câu a) ta suy (P) là đồ thị hàm số y = (x – )2 – hay y = x2 – 4x + Đồ thị hình 2.16 Sự biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) và đồng biến trên khoảng (2; ) c) Đặt f(x) = x2 – 4x + 1, đồ thị nó là parabol (P) Nếu tịnh tiến (P) sang phải đơn vị thì ta đồ thị hàm số f(x – ) = (x – )2 – 4(x – ) + = x2 – 6x + ĐỀ SỐ Câu (5 điểm) Lop10.com (6) Giải các hệ phương trình sau: 6 x y a) ; 1 x y xy 4x 4y 23 b) 2 x xy y 19 Câu (5 điểm) Cho phương trình (m 1)x 2x m a) Chứng minh với m , phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu b) Với giá trị nào m thì hai nghiệm phương trình 2 ? Khi đó hãy tìm nghiệm kia? c) Với giá trị nào m thì tổng bình phương hai nghiệm phương trình 6? Đáp án Câu a) Trong hệ phương trình đã cho, đặt u và v , ta có hệ phương trình ẩn u và v là y x 2u v u 2v 1 Ta giải hệ phương trình này phương pháp Từ phương trình thứ hai ta có u = 2v – (1) Trong phương trình đầu, thay u 2v – , ta 2(2v – ) + v = 5v = v = Từ đó và (1) suy u = Do đó, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình 3 x 2 y Hệ phương trình đã cho có nghiệm (x ; y) = (3 ; 2) b) Đặt s = x + y và p = xy, ta có x y s 2p Thế vào hệ phương trình đã cho, ta hệ phương trình ẩn s và p: p 4s 23 s 19 4s 23 2 s p 19 p s 19 s 4s s 2 p 15 p s 19 x y 2 xy 15 Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ x y 2 x xy 15 y 5 Ta có Lop10.com (7) x 5 y Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (3 ; - )và (- ; 3) Câu a) Khi m , ta có a nên phương trình đã cho là phương trình bậc hai Hơn nữa, phương trình này có ac (m 1) nên phương trình luon có hai nghiệm trái dấu b) Kí hiệu vế trái phương trình là f(x) Phương trình có nghiệm x 2 và f (2) , nghĩa là: (m – )4 – – m + = 3m m Khi đó, tích hai nghiệm c 1 nên nghiệm thứ hai phương trình là a c) Trên đây, ta đã viết: với m , phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu Gọi hai nghiệm là x1 và x Theo Vi-ét ta có: ; x1x 1 m 1 6 (m 1) m m (m 1) x1 x Do đó, x12 x 2 Trả lời m = 0, m = ĐỀ SỐ Câu (5 điểm) Giải và biện luận hệ phương trình sau(a là tham số) ax - 4y = - x + ay = a - Câu (5 điểm) Cho phương trình x2 – (k – )x – k + = (1) a) Khi k = - , hãy tìm nghiệm gần đúng (1) (chính xác đến hàng phần chục) b) Tùy theo k, hãy biện luận số giao điểm parabol y = x2 – (k – )x – k + với đường thẳng y = - k x + c) Với giá trị nào k thì phương trình (1) có nghiệm dương? Đáp án Câu Ta có: D a 4 a (a 2)(a 2) ; D = a 2 1 a Lop10.com (8) 4 2a 4(a 3) 6(a 2) a 3 a a Dy a 3a (a 1)(a 2) 1 a Dx Từ đó suy ra: - Nếu a 2 thì D và hệ phương trình có nghiệm (x ; y), đó: x Dy a 1 Dx ;y D a2 D a2 2x 4y x 2y 1 và có vô số nghiệm có dạng tổng quát là (2y + ; y) với y A - Nếu a = - thì D = , D x nên hệ vô nghiệm - Nếu a = thì D D x D y = 0, hệ trở thành Kết luận: x a - Khi a 2 , hệ có nghiệm y a 1 a2 x 2y - Khi a = 2, hệ có vô số nghiệm (x ; y): y A - Khi a = - 2, hệ vô nghiệm Câu a) Với k = - 5, ta có phương trình bậc hai x2 + 8x + 11 = Phương trình này có biệt thức ' nên có hai nghiệm phân biệt: x1 4 6, và x 4 1,8 b) Số giao điểm parabol với đường thẳng đã cho số nghiệm phương trình x2 – (k – )x – k + = - kx + (2) Ta có (2) x 3x k Phương trình bậc hai này có biệt thức 4(k 2) 4k Do đó: - Nếu k thì , phương trình (2) vô nghiệm nên parabol và đường thẳng không có điểm chung - Nếu k thì , phương trình (2) có nghiệm nên parabol và đường thẳng có điểm chung - Nếu k thì , phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt nên parabol và đường thẳng có hai điểm chung c) Xét các trường hợp sau: * Phương trình (1) có nghiệm kép, nghĩa là (k 3) 4(k 6) k 2k 15 k 3 k Lop10.com (9) - Nếu k = - thì (1) trở thành x2 + 6x + = 0, có nghiệm âm x = - (không thỏa mãn yêu cầu) - Nếu k = thì (1) trở thành x2 -2x + = 0, có nghiệm dương x = (thỏa mãn yêu cầu) * Phương trình (1) có nghiệm x = 0, nghĩa là k = Lúc này, phương trình trở thành x2 – 3x = 0, ngoài nghiệm x = còn có nghiệm dương x = (thỏa mãn yêu cầu) * Phương trình (1) có nghiệm âm và nghiệm dương, tức là hai nghiệm trái dấu Điều đó xảy k hay k Tóm lại, các giá trị cần tìm k là k = và k ĐỀ SỐ Với câu 1, , đây, các phương án đã cho có phương án đúng Hãy lựa chọn phương án đúng đó Câu 1(1 điểm) Tam thức bậc hai f (x) (1 2)x (3 2)x (A) Âm với x A ; (B) Dương với x A ; (C) Âm với x ( 2;1 2) ; (D) Âm với x 3; 3 Câu (1 điểm)Tập nghiệm bất phương trình x (1 3)x là (B) 1 3; ; (A) [ 3;1+ 3] ; (C) 3; ; 3 (D) 1 3; Câu (1 điểm) Tập nghiệm bất phương trình (A) 7; ; (C) 4; x x là 13 17 13 17 ; ; 2 13 17 (D) ; (B) Câu (3 điểm)Chứng minh 2a b c 2a(b c) với a, b, c A Khi nào có đẳng thức? Câu (4 điểm) Tìm các giá trị m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm: x x x 2mx 2m Lop10.com (10) Đáp án Câu (C); Câu Ta có Câu (B); Câu (D) a b 2ab a c 2ac Với a, b, c A (1) (2) Cộng vế hai bất đẳng thức (cùng chiều) trên, ta 2a b c 2ab 2ac hay 2a b c 2a(b c) (3) (3) là đẳng thức và (1) và (2) là đẳng thức, tức là a = b = c Câu Dễ thấy tập nghiệm bất phương trình đầu hệ đã cho là 2; Tam thứuc vế trái bất phương trình thứ hai hệ có nghiệm là x1 1, x 2m Tập nghiệm bất phương trình thứ hai là đoạn có hai đầu mút là x1 và x Hệ có nghiệm và x hay 2m , tức là m ĐỀ SỐ Với câu 1, 2, đây, các phương án đã cho có phương án đúng Hãy lựa chọn phương án đúng đó Câu (1 điểm)Tập nghiệm bất phương trình x 2( 1)x 3(5 5) là (A) 3 5, ; 1 (C) ; ; 2 1 (B) 3 5; ; 2 (D) 3 5; Câu (1 điểm)Tập xác định hàm số f (x) x x 12 2 là (A) 5; 4; (B) ; 5 4; ; (C) ;1 4; (D) ; 5 1; Câu (1 điểm)Phương trình (m 4)x 2(m 2)x Lop10.com (11) Vô nghiệm và (A) m 4 m (C) m 4 m ; (B) m 4 m ; (D) m 4 m Câu (3 điểm) Chứng minh ab a b2 với a, b A 2 Câu (4 điểm)Giải bất phương trình x 10x 25 x Đáp án Câu (A); Câu (B); Câu (C) Câu Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp a và b là số không âm Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (a b) a b a 2ab b 2(a b ) 2 a 2ab b (a b) Bất đẳng thức cuối cùng đúng Do đó, a và b là hai số không âm, ta có a b2 a b 2 Với a, b tùy ý, từ kết trên ta có a b2 2 a b 2 ab ab Câu Vì x2 – 10x + 25 = (x – )2 nên bất phương trình đã cho tương ứng với bất phương trình x x2 Bất phương trình trên tương đương với x (I) x (II) 2 x x 5 x x x x (I) x A x x x (1) x x 1 37 (II) 1 37 x x x x x 1 1 37 x 2 Lop10.com (2) (12) Từ (1) và (2) suy tập nghiệm bất phương trình đã cho là 37 1 ; 5; 1 37 1 37 ; ; 2 ĐỀ SỐ Tiến hành thăm dò số tự học học sinh lớp 10 nhà tuần, người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 và đề nghị các em cho biết số giừo tự học nhà 10 ngày Mẫu số liệu trình bày dạng bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây (đơn vị là giờ) Lớp Tần số [0 ; 9] [10 ; 19] [20 ; 29] 15 [30 ; 39] 10 [40 ; 49] [50 ; 59] N = 50 a) (2 điểm) Dấu hiệu là gì? Đơn vị điều tra là gì? b) (1 điểm) Đây là điều tra mẫu hay điều tra toàn bộ? c) (2 điểm) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp d) (3 điểm) Vẽ biểu đồ tần số hình cột và biểu đồ tần suất hình quạt e) (2 điểm) Tính số trung bình Đáp án a) Dấu hiệu: Số tự học tuần Đơn vị điều tra: Một học sinh lớp 10 b) Điều tra mẫu c) Bổ sung cột tần suất, ta có bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp: Lớp [0 ; 9] [10 ; 19] [20 ; 29] [30 ; 39] [40 ; 49] [50 ; 59] Tần số 15 10 N = 50 d) Biểu đồ tần số hình cột (h 5.10) Lop10.com Tần suất (%) 10 18 30 20 18 (13) Trước hết, ta tính góc tâm tương ứng với tần suất các lớp (xem bảng sau) Từ đó vẽ biểu đồ tần suất hình quạt (h.5.11) Lớp [0 ; 9] [10 ; 19] [20 ; 29] [30 ; 39] [40 ; 49] [50 ; 59] e) Ta có bảng sau: Lớp [0 ; 9] [10 ; 19] [20 ; 29] [30 ; 39] [40 ; 49] [50 ; 59] Góc tâm 36 64,8 108 72 64,8 14,4 Giá trị đại diện 4,5 14,5 24,5 34,5 44,5 54,5 Tần số 15 10 N = 50 Từ đó tính số trung bình xấp xỉ là 27,5 ĐỀ SỐ 10 Để khảo sát kết thi môn Toán kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua trường A, người điều tra chọn mẫu gồm 100 học sinh tham gia kí thi tuyển sinh đó Điểm môn Toán (thang điểm 10) các học sinh này cho bảng phân bố tần số sau đây Điểm 10 Tần số 1 13 19 24 14 10 N = 100 a) (2 điểm) Tìm mốt b) (3 điểm) Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm) c) (2 điểm) Tìm số trung vị d) (3 điểm) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn(chính xác đến hàng phần nghìn) Đáp án a) M b) x 6, 23 c) Số liệu đứng thứ năm mươi là 6, thứ năm mươi mốt là Vậy M e 6,5 d) s 3,957.s 1,989 Lop10.com (14) ĐỀ SỐ 11 Câu (3 điểm) Cho góc lượng giác ( Ou, Ov ) có số đo 1955 a) Tìm góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho và có số đo là số dương nhỏ b) Tìm số đo góc hình học uOv Câu (3 điểm) Chứng minh với , ta có: 2 2 cos cos + cos Câu (4 điểm) Chứng minh rằng: sin 5 11 sin sin sin 24 24 24 24 16 Đáp án Câu a) Do 1955 6.360 205, 0 205 360 nên 205 là số đo góc lượng giác (Ou, Ov) cần tìm b) Có thể viết 1955 5.360 155, 0 155 180 nên góc hình học uOv có số đo 155 Câu 2 2 cos cos + cos 2 2 2 2 cos coscos sin sin coscos sin sin 3 3 2 3 cos cos sin cos sin 2 3 1 cos cos sin (cos sin ) 4 2 Câu Cách sin 5 11 5 5 sin sin sin sin sin sin sin 24 24 24 24 24 24 24 24 5 5 1 1 5 sin cos cos sin sin 24 24 24 24 12 12 sin sin sin cos sin 12 12 12 12 16 sin Lop10.com (15) Cách sin 11 10 12 5 sin cos cos cos ; 24 24 24 24 12 sin 5 7 2 12 sin cos cos cos 24 24 24 24 12 Vậy: 5 11 5 sin sin sin cos cos 24 24 24 24 12 12 1 4 6 cos cos cos 8 12 12 16 sin ĐỀ SỐ 12 Câu (5 điểm)Cho góc lượng giác , Giả sử đã biết tan cot m , hãy tính sin 2, cos2 theo m Câu (3 điểm) Chứng minh tam giác ABC, luôn có tan A B B C C A tan tan tan tan tan 2 2 2 Câu (2 điểm)Tính sin 5 11 13 2 sin sin sin sin sin 18 18 Đáp án Câu sin cos sin cos m m cos sin sin cos m sin 2 m sin (để ý , tan , cot dương nên m > 0) m2 Ta có cos 2 Từ dó: m m2 m2 thì 2 nên cos2 = (để ý thêm tan , cot m dương mà tan .cot nên tan cot m ) - Khi Lop10.com (16) - Khi m2 thì 2 , cos2 nên cos2 m 2 Câu C A B A B C , , là các góc nhọn và nên 2 2 2 A B tan tan C A B 2 tan cot 2 tan A B tan A tan B 2 2 Vì Từ đó: C A B A B tan tan tan tan , 2 2 2 A B B C C A tức là tan tan tan tan tan tan 2 2 2 tan Câu Dễ thấy sin 11 13 2 cos ,sin cos 18 18 Nên tổng đã cho Lop10.com (17)