Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ.. Trừ vế với vế ha[r]
(1)Chuyên đề : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I Heä phöông trình baäc nhaát nhieàu aån Heä phöông trình baäc nhaát hai aån ⎧a1 x + b1 y = c1 ⎨ ⎩a2 x + b2 y = c2 a Daïng : (1) Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng b Giaûi vaø bieän luaän phöông trình : Quy trình giaûi vaø bieän luaän Bước 1: Tính các định thức : a1 b1 = a1b2 − a b1 • D= (gọi là định thức hệ) a b2 • Dx = c1 c2 b1 = c1b2 − c b1 b2 (gọi là định thức x) • Dy = a1 a2 c1 = a1c − a c1 c2 (gọi là định thức y) Bước 2: Biện luận • Dx ⎧ ⎪⎪ x = D Neáu D ≠ thì heä coù nghieäm nhaát ⎨ ⎪ y = Dy ⎪⎩ D Nếu D = và D x ≠ D y ≠ thì hệ vô nghiệm • Nếu D = Dx = Dy = thì hệ có vô số nghiệm vô nghiệm • YÙ nghóa hình hoïc: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: Heä (I) coù nghieäm nhaát ⇔ (d1) vaø (d2) caét ⇔ (d1) và (d2) song song với Heä (I) voâ nghieäm Heä (I) coù voâ soá nghieäm ⇔ (d1) vaø (d2) truøng AÙp duïng: ⎧5 x − y = −9 Ví duï1: Giaûi heä phöông trình: ⎨ ⎩4 x + y = ⎧mx + y = m + Ví duï 2: Giaûi vaø bieän luaän heä phöông trình : ⎨ ⎩ x + my = ⎧mx + y = Ví duï 3: Cho heä phöông trình : ⎨ ⎩ x + my = Lop10.com (2) Xác định tất các giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa x >1 và y > ( − < m < 0) ⎧mx + y = m + Ví dụ 4: Với giá trị nguyên nào tham số m hệ phương trình ⎨ coù nghieäm nhaát ⎩ x + my = m (x;y) với x, y là các số nguyên II Heä phöông trình baäc hai hai aån: Heä goàm moät phöông trình baäc nhaát vaø moät phöông trình baäc hai hai aån: ⎧x + y = Ví duï : Giaûi heä: ⎨ 2 ⎩ x + y − xy = ( m = −1 ∨ m = −3 ) Caùch giaûi: Giaûi baèng pheùp theá Hệ phương trình đối xứng : Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho thì hệ phương trình không thay đổi b.Caùch giaûi: Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với S ≥ P ta đưa hệ hệ chứa hai ẩn S,P Bước 2: Giải hệ tìm S,P Chọn S,P thoả mãn S ≥ P Bước 3: Với S,P tìm thì x,y là nghiệm phương trình : X − SX + P = ( định lý Viét đảo ) Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên (x0;y0) là nghiệm hệ thì (y0;x0) là nghiệm hệ AÙp duïng: Ví du 1ï: Giaûi caùc heä phöông trình sau : ⎧ x + y = 13 ⎧ x + xy + y = ⎧ xy + x + y = 11 ⎧ x + y + xy = −7 1) ⎨ 2) ⎨ 3) 4) ⎨ ⎨ 2 ⎩ x + y − x − 3y = 16 ⎩ xy + x + y = ⎩ x y + xy = 30 ⎩3( x + y ) + xy + = ⎧⎪ x + y = ⎧ x + y = 34 7) ⎨ 8) ⎨ ⎪⎩ x + y − xy = ⎩x + y = 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 2) (2; −3),(−3;2),(1 + 10;1 − 10),(1 − 10;1 + 10) ⎧⎪ x y + xy = 30 5) ⎨ ⎪⎩ x + y = 35 1) (0;2); (2;0) ⎧⎪ x y + y x = 6) ⎨ ⎪⎩ x y + xy = 20 10 10 10 10 ; −2 − ),(−2 − ; −2 + ) 2 2 8) (1 − 2;1 + ),(1 + 2;1 − ) 4) (3; −2),(−2;3),(−2 + 7) (4;4) 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) ⎧⎪ x + y = Ví dụ2 : Với giá trị nào m thì hệ phương trình sau có nghiệm: ⎨ ⎪⎩ x x + y y = − 3m 10 Lop10.com (3) Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà ta thay đổi vai trò x,y cho thì phương trình nầy trở thành phương trình hệ b Caùch giaûi: • • Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi dạng phương trình tích số Kết hợp phương trình tích số với phương trình hệ để suy nghiệm hệ AÙp duïng: Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: ⎧⎪2 x + y = 3y − 1) ⎨ 2 ⎪⎩2 y + x = x − ⎧ ⎪⎪3 x + y = 4) ⎨ ⎪3y + x = ⎪⎩ x2 y2 ⎧⎪2 x + xy = x 2) ⎨ ⎪⎩2 y + xy = y ⎧ y2 + = y ⎪ x2 ⎪ 5) ⎨ ⎪3x = x + ⎪⎩ y2 ⎧⎪ y = x − x + x 3) ⎨ ⎪⎩ x = y − 3y + y III Heä phöông trình ñaúng caáp baäc hai: a Daïng : ⎧⎪a1 x + b1 xy + c1 y = d1 ⎨ 2 ⎪⎩a2 x + b2 xy + c2 y = d2 b Caùch giaûi: x x y = t = t Giả sử ta chọn cách đặt = t y y x Khi đó ta có thể tiến hành cách giải sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm hệ hay không ? Bước 2: Với y ≠ ta đặt x = ty Thay vào hệ ta hệ chứa ẩn t,y Từ phương trình ta khử y để phương trình chứa t Bước 3: Giải phương trình tìm t suy x,y Ñaët aån phuï AÙp duïng: Ví duï: Giaûi caùc heä phöông trình sau: 2 ⎪⎧3 x + xy + y = 11 1) ⎨ 2 ⎪⎩ x + xy + 5y = 25 ⎧⎪6 x − xy − y = 56 2) ⎨ ⎪⎩5 x − xy − y = 49 IV Caùc heä phöông trình khaùc: Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: a Ñaët aån phuï: Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình : ⎧ x + y − x − y = 12 ⎧ xy − x + y = −3 1) ⎨ 2) ⎨ ⎩ x + y − x + y + xy = ⎩ x( x − 1) y ( y − 1) = 36 11 Lop10.com ⎪⎧2 x + x y = 3) ⎨ ⎪⎩ y + xy = 2 ⎪⎧ x − y + x − y = 3) ⎨ 2 ⎪⎩ x − x y − xy + y = (4) b Sử dụng phép cộng và phép thế: 2 ⎪⎧x + y − 10x = Ví duï: Giaûi heä phöông trình : ⎨ 2 ⎪⎩x + y + 4x − 2y − 20 = c Biến đổi tích số: Ví duï : Giaûi caùc heä phöông trình sau: ⎧⎪ x + x = y + y 1) ⎨ ⎪⎩ x + y = 3( x + y ) ⎧⎪ x + x = y + y 2) ⎨ ⎪⎩ x + y = x + y + 1 ⎧ ⎪x − x = y − y 3) ⎨ ⎪2 y = x + ⎩ Heát 12 Lop10.com (5)