giao điểm đó là tâm của đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác + Trong một tam giác cân, đường phân giác kẻ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.. + Đường trung [r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN A-PHẦN ĐẠI SỐ I-PHẦN THỐNG KÊ 1-Lý thuyết Bảng thống kê số liệu -Khi quan tâm đến vấn đề , người ta quan sát , đo đạc, ghi chép lại các số liệu đối tượng quan tâm để lập nên các bảng số liệu thống kê Dấu hiệu , đơn vị điều tra - Vấn đề mà người điều tra nghiên cứu , quan tâm gọi là dấu hiệu điều tra - Mỗi đơn vị quan sát đo đạc là đơn vị điều tra - Mỗi đơn vị điều tra cho tương ứng số liệu là giá trị dấu hiệu - Tập hợp các đơn vị điều tra cho tương ứng dãy giá trị dấu hiệu Tần số giá trị , bảng tần số - Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu là tần số giá trị đó -Bảng kê các giá trị khác dãy và các tần số tương ứng là bảng tần số Số trung bình cộng , mốt dấu hiệu - Là giá trị trung bình dấu hiệu - Mốt dấu hiệu là giá trị có tần số lớn bảng tần số 2/ Baøi taäp: Bài 1: Tổng số điểm môn thi các học sinh phòng thi cho bảng đây 32 35 30 30 19 30 22 28 31 30 22 28 30 30 35 22 39 30 31 32 22 35 30 28 a/ Dấu hiệu đây là gì? Số tất các giá trị là bao nhiêu? , số GT khác dấu hiệu ? b/ Lập bảng tần số , rút nhận xét c/ Tính trung bình cộng dấu hiệu , và tìm mốt Bài 2: Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai Số tiền góp bạn thống kê bảng ( đơn vị là nghìn đồng) 2 10 5 3 3 5 2 a/ Dấu hiệu đây là gì? b/ Lập bảng “tần số” , tính trung bình cộng Bài 3: Số bàn thắng trận đấu vòng đấu bảng vòng chung kết World Cup 2002 ghi bảng 2 4 2 2 4 2 2 a/ Dấu hiệu đây là gì? Có bao nhiêu trận đấu vòng đầu bảng Lop7.net 2 (2) b/ lập bảng “tần số” và rút vài nhận xét vòng đấu bảng Bài : Thời gian làm bài tập các hs lớp tính phút đươc thống kê bảng sau: 7 6 10 8 8 10 11 9 7 8 a- Dấu hiệu đây là gì? Số các giá trị là bao nhiêu? b- Lập bảng tần số? Tìm mốt dấu hiệu?Tính số trung bình cộng? c- Vẽ biểu đồ đoạn thẳng? Bài 5: Số bão hàng năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm cuối cùng kỷ XX ghi lại bảng sau: 3 6 4 2 a/ Dấu hiệu đây là gì? b/ Lập bảng “tần số” và tính xem vòng 20 năm, năm trung bình có bao nhiêu bão đổ vào nước ta ? Tìm mốt c/ Biểu diễn biểu đồ đoạn thẳng bảng tần số nói trên Bài 6: Chiều cao 40 học sinh lớp 7C ghi bảng (đơn vị đo : cm) 140 143 135 152 136 144 146 133 142 144 145 136 144 139 141 135 149 152 154 136 131 152 134 148 143 136 144 139 155 134 137 144 142 152 135 147 139 133 136 144 Ta nhận thấy dấu hiệu X lấy nhiều giá trị khác các giá trị này lại khá gần đó ta nhóm các giá trị này thành lớp Hãy lập bảng “ tần số ghép lớp” theo các cột sau: Cột 1: Chiều cao (theo các lớp sau: Trên 130cm - 135cm; trên 135cm - 140cm; trên 140 cm - 145cm; trên 145cm - 150 cm; trên 150cm - 155cm) Cột 2: Giá trị trung tâm lớp (là trung bình cộng hai giá trị xác định lớp) Cột 3: Tần số lớp Cột 4: Tần suất tương ứng Lop7.net (3) II-ĐA THỨC 1-Lý thuyết + Để tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước các biến,ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức thực các phép tính + Đơn thức là biểu thức đại số gồm tích số với các biến, mà biến đã nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến viết lần) + Bậc đơn thức có hệ số khác là tổng số mũ tất các biến có đơn thức đó Muốn xác định bậc đơn thức, trước hết ta thu gọn đơn thức đó + Số là đơn thức không có bậc Mỗi số thực coi là đơn thức + Đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác và có cùng phần biến Mọi số thực là các đơn thức đồng dạng với + Để cộng (trừ ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) các hệ số với và giữ nguyên phần biến + Đa thức là số đơn thức tổng (hiệu) hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi là hạng tử đa thức đó + Bậc đa thức là bậc hạng tử có bậc cao hạng tử dạng thu gọn + Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử hai đa thức cùng với dấu chúng thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có) + Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử đa thức thứ cùng với dấu chúng viết tiếp các hạng tử đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng hai đa thức (nếu có) + Đa thức biến là tổng các đơn thức cùng biến Do đó số coi là đa thức cùng biến + Bậc đa thức biến khác đa thức không (sau đã thu gọn) là số mũ lớn biến có đa thức đó + Hệ số cao đa thức là hệ số cùng phần biến có số mũ lớn Hêï số tự là số hạng không chứa biến + Người ta thường dùng các chữ cái in hoa kèm theo cặp dấu ngoặc (trong đó có biến) để đặt tên cho đa thức biến Ví dụ: A(x) = 3x3 + 5x + Do đó giá trị đa thức x = -2 là A(-2) + Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị thì ta nói a (hoặc x = a) là nghiệm đa thức đó Đa thức bậc n có không quá n nghiệm 2/ Baøi taäp: Bài 1: Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đa thức: 4x y + 2xy 2 3x ; 5x -4xy; 18; -9xy + 3y ; ; 0; -2 y +5 Bài 2: Thu gọn các đa thức sau và xác định bậc đa thức kết quả: M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + – y9 Bài 3: Nhân đơn thức và tìm bậc đa thức thu được: a) m 24 n mn ; b) (5a)(a2b2).(-2b)(-3a) Bài : Tính giá trị các đa thức : a) 5x2y – 5xy2 + xy taïi x = -2 ; y = -1 Lop7.net (4) 2 xy + x y – xy + xy2 - x2y + 2xy Taïi x = 0,5 ; y = 3 Baøi : Tính toång cuûa 3x2y – x3 – 2xy2 + vaø 2x3 -3xy2 – x2y + xy + Bài : Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - x2y + 2xy + x2y + xy + a) Thu gọn xác định bậc đa thức kết b) Tìm đa thức B cho A + B = c) Tìm đa thức C cho A + C = -2xy + b) Bài Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2+ x − và Q(x) = x4 − x3 + x2 + a Tính M (x) = P(x) + Q(x) b Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc đa thức N(x) Bài : Cho đa thức : A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B ; B – A Bài : Tìm đa thức M,N biết : a M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2 b (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2 Bài 10 : Cho đa thức A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); Bài 11: Cho các đa thức : A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4 B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4 C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1.Tính A+B-C Bài 12: Cho đa thức f(x) = 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + a) Thu gọn và xác định bậc đa thức trên b) Xắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần biến c) Tính f(1); f(-1) Baøi 13: Cho A(x) = 3x5 + 2x4 – 4x3 + x2 – 2x + vaø B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + – 3x4 a) Thực thu gọn (nếu có) các đa thức trên b) Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x) Bài 14 Cho đa thức M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + và đa thức N=x −5x3− 2x2−8x4+ 4x3−x+5 a Thu gọn và xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần biến; b Tính M + N, M − N ; Bài 15 Cho đa thức P(x) = 5x − a Tính : P(1) , P(− ) 10 b Tìm nghiệm đa thức trên Bài 16: Thu gọn tìm nghiệm các đa thức sau: a/ f(x) = x(1-2x) + (2x2 -x + 4) b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x c/ h(x) = x (x -1) + Lop7.net (5) B-PHAÀN HÌNH HOÏC I-CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC + ABC =A’B’C’ AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’; Aˆ Aˆ ' ; Bˆ Bˆ ' ; Cˆ Cˆ ' + Neáu ABC vaø MNP coù : AB = MN; AC = MP; BC = NP thì ABC =MNP (c-c-c) + Neáu ABC vaø MNP coù : AB = MN; Bˆ Nˆ ; BC = NP thì ABC =MNP (c-g-c) + Neáu ABC vaø MNP coù : Aˆ Mˆ ; AB = MN ; Bˆ Nˆ thì ABC =MNP (g-c-g) TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG * Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông này, hai cạnh góc vuông tam giác vuông thì hai tam giác vuông đó theo trường hợp c-g-c Neáu ABC vaø MNP coù Aˆ Mˆ =900; AB=MN; AC = MP Thì ABC = MNP (c-g-c) * Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh tam giác vuoâng naøy, baèng moät caïnh goùc vuoâng vaø moät goùc nhoïn keà caïnh aáy cuûa tam giaùc vuoâng thì hai tam giác vuông đó theo trường hợp g-c-g Neáu ABC vaø MNP coù Aˆ Mˆ =900; AC = MP; Cˆ Pˆ Thì ABC = MNP (g-c-g) * Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền và góc nhọn tam giác vuông này, cạnh huyền và góc nhọn tam giác vuông thì hai tam giác vuông đó theo trường hợp g-c-g Neáu ABC vaø MNP coù Aˆ Mˆ =900; BC = NP; Cˆ Pˆ Thì ABC = MNP (g-c-g) * Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông tam giác vuông này, caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng thì hai tam giaùc vuoâng đó theo trường hợp c-c-c Neáu ABC vaø MNP coù Aˆ Mˆ =900; BC = NP; AB = MN Thì ABC = MNP (c-c-c) II-TAM GIÁC CÂN ,TAM GIÁC ĐỀU VÀ ĐỊNH LÝ PITAGO + Tam giaùc caân laø tam giaùc coù hai caïnh baèng nhau, hai caïnh baèng goïi laø hai caïnh bên, cạnh còn lại gọi là cạnh đáy ABC coù AB = AC ABC caân taïi A + Trong tam giác cân, hai góc đáy ABC caân taïi A Bˆ C + Muốn chứng minh tam giác là tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác đó có hai cạnh hai góc + Tam giác là tam giác có ba cạnh + Trong tam giác đều, ba góc và 600 ABC có AB = AC=BC ABC là tam giác ABC là tam giác Aˆ Bˆ C 60 + Muốn chứng minh tam giác là tam giác đều, ta cần chứng minh: Tam giaùc coù ba caïnh baèng Lop7.net (6) Hoặc chứng minh tam giác có ba góc Hoặc chứng minh tam giác cân có góc 600 (một số phương pháp khác nghiên cứu sau) + Định lí Pitago thuận: Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền toång bình phöông cuûa hai caïnh goùc vuoâng ABC vuoâng taïi A BC2 = AC2 + AB2 + Định lí Pitago đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông Nếu ABC có BC2 = AC2 + AB2 AC2 = BC2 + AB2 AB2 = AC2 + BC2 thì ABC vuông III-QUAN HỆ GIỮA CÁC CẠNH VAØ CÁC GÓC TRONG MỘT TAM GIÁC + Trong tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn là góc lớn Cạnh đối diện với góc lớn là cạnh lớn Hai góc thì hai cạnh đối diện và ngược lại hai cạnh thì hai góc đối diện + Trong các đường xiên, đường vuông góc kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn Đường xiên nào có hình chiếu lớn thì lớn hơn, đường xiên nào lớn thì hình chiếu lớn hơn, hai đường xiên thì hai hình chiếu và ngược lại hai hình chiếu thì hai đường xiên + Trong tam giác, bất kì cạnh nào lớn hiệu và nhỏ tổng hai cạnh coøn laïi ABC luoân coù: AB – AC < BC < AB + AC AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC + BC IV-TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƯỜNG PHÂN GIÁC, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC + Đường trung tuyến là đường xuất phát từ đỉnh và qua trung điểm cạnh đối diện tam giaùc AM laø trung tuyeán cuûa ABC MB = MC + Một tam giác có đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Điểm đó cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh đó GA GB GC = = = AM BN CP + Giao điểm ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác + Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyeàn + Đường phân giác tam giác là đường thẳng xuất phát từ đỉnh và chia góc có đỉnh đó hai phần + Một tam giác có ba đường phân giác Ba đường phân giác tam giác cùng qua điểm Điểm đó cách ba cạnh tam giác (giao điểm đó là tâm đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác) + Trong tam giác cân, đường phân giác kẻ từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy + Đường trung trực đoạn thẳng là đường vuông góc trung điểm đoạn thẳng đó Lop7.net (7) BÀI TẬP Baøi 1: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, bieát C 47 Tính goùc A vaø goùc B Bài 2: Cho tam giác ABC cân A, gọi E, F là trung điểm các cạnh AC và AB Chứng minh BE = CF Baøi 3: Cho tam giaùc ABC caân taïi A vaø coù Bˆ Aˆ phaân giaùc cuûa goùc B caét AC taïi D a) Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ABC b) Chứng minh DA = DB c) Chứng minh DA = BC Bài : Cho ABC cân A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? Bài 5: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24 Tính BC Baøi 6: Cho ABC caân taïi A ( Aˆ 90 ), veõ BD AC vaø CE AB Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE a) Chứng minh : ABD = ACE b) Chứng minh AED cân c) Chứng minh AH là đường trung trực ED Baøi : Cho goùc nhoïn xOy Treân tia Ox laáy ñieåm A, treân tia Oy laáy ñieåm B, treân tia phaân giác góc xOy lấy điểm M cho OA = OB = OM Chứng minh tam giác AMB caân Baøi 8: Cho tam giaùc MNP coù M̂ =900 bieát NP = 13cm; MP = 5cm Tính MN Baøi 9: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn Keû AH BC (H BC) Bieát AB = 7cm; BH = 2cm; BC = 13 cm Tính AH, A Bài 10 : Cho ABC cân A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH? b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ba điểm A,G,H thẳng haøng? c) Chứng minh: ABˆ G ACˆ G ? Baøi 11: Cho ABC caân taïi A Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC a) Chứng minh : ABM = ACM b) Từ M vẽ MH AB và MK AC Chứng minh BH = CK c) Từ B vẽ BP AC, BP cắt MH I Chứng minh IBM cân Bài 12 : Cho ABC vuông A Từ điểm K thuộc cạnh BC vẽ KH AC Trên tia đối tia HK lấy điểm I cho HI = HK Chứng minh : a) AB // HK b) AKI caân c) BAˆ K AIˆK d) AIC = AKC Baøi 13: Cho ABC caân taïi A ( Â < 900), veõ BD AC vaø CE AB Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE a) Chứng minh : ABD = ACE b) Chứng minh AED cân c) Chứng minh AH là đường trung trực ED d) Trên tia đối tia DB lấy điểm K cho DK = DB Chứng minh ECˆ B DKˆ C Lop7.net (8) Bài 14 : Cho ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D, trên tia đối tia CA lấy điểm E cho BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh : a) HB = CK b) AHˆ B AKˆ C c) HK // DE d) AHE = AKD e) Gọi I là giao điểm DK và EH Chứng minh AI DE Bài 15: Cho ABC có góc A 600 Tia phân giác góc B cắt AC M, tia phân giác góc C cắt AB N Các tia phân giác cắt I Chứng minh a) BN + CM = BC b) IM = IN Bài 16: Cho ABC vuông A, M là trung điểm AC Trên tia đối tia MB lấy điểm K cho MK = MB Chứng minh a) KC AC b) AK // BC Bài 17 Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Trên tia đối tia BD, lấy điểm H cho BH = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK = AB Chứng minh rằngAH = AK Bài 18: Cho ABC coù AB = AC Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E cho AD = AE Gọi K là giao điểm BE và CD Chứng minh rằng: a) BE = CD b) KBD = KCE Bài 19: Cho ABC Gäi D là trung điểm AC, N D là trung điểm AB Trên tia đối tia MB lấy điểm E cho ME = MB, Trên tia đối tia NC lấy điểmF cho NF = NC Chứng minh rằng: a) MAE = MCB b) AE = AF c) A,E,F thẳng hàng Bài 20: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm AB Kẻ Dx vuông góc với AB Trên Dx lấy hai điểm M và N (M nằm D và N) CHứng minh a) NAD = NBD b) MNA = MNB c) ND là phân giác góc ANB d) Góc AMB lớn góc ANB Lop7.net (9)