3, Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:..[r]
(1)Đề thi đề xuất chọn HSG tỉnh năm học 2009-2010 PhÇn I Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan (2 ®iÓm): Câu 1: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cạnh a là: A a B a 3 C a D a C©u 2: Mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x)=cos3x lµ: A F(x)= cos3x 1 B F(x)= sin3x+ 3 1 D F(x)= cos3x+ 3 C F(x)= 3sin3x C©u 3: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè y= 1+ x x lµ; A B C D 1+ C©u 4: Cho mÆt ph¼ng ( ): 2x+4y-z-15=0 x = 1- 2t vµ ®êng th¼ng d: Tìm khẳng định đúng? y=3+t z = -1 A d ( ) B d ( ) C d // ( ) D d ( ) = M (1;3;-1) PhÇn II: Tù luËn: (18 ®iÓm) C©u (5.0 ®iÓm): Cho hµm sè: y= x x 1 (C) 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) 2, Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y= x-2 Câu (2 điểm): Giải phương trình : x + 3 x =1 C©u (3 ®iÓm): 1, TÝnh tÝch ph©n: I = xe x dx 2, T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x khai triÓn cña biÓu thøc: ( x + n ) x (x>0) BiÕt n tháa m·n: Cnn1 2Cnn 48 C©u (6 ®iÓm): Trong kh«ng gian Oxyz cho A(1;0;0), B(0;1;1), C(1;0;1) 1, Chøng minh bèn ®iÓm O,A,B,C t¹o thµnh mét tø diÖn 2, Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa OC và song song với AB Tính khoảng cách OC vµ AB 3, Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC C©u (2.0) ®iÓm): Cho hai sè: x , y vµ x+y=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P(x,y) = x3(y2+1)+y3(x2+1) -Lop6.net (2) Đáp án-thang điểm chấm đề thi đề xuất chọn HSG tỉnh M«n : To¸n-N¨m häc 2009-2010 (gåm trang) PhÇn I Tr¾c nghiÖm kh¸ch quan: (Mçi c©u 0,5 ®iÓm) C©u §¸p ¸n D B C A PhÇn II: Tù luËn: (18 ®iÓm) §¸p ¸n §iÓm 1, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số * TX§: D=R \ 0.25 Sù biÕn thiªn: + ChiÒu biÕn thiªn: y’= 0.25 1 ( x 1) y’< x D Hµm sè nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞;1) vµ (1;+∞) + Cùc trÞ: Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ + TiÖm cËn: lim y 0.25 lim y x 1 x 1 Do đó đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 0.5 lim y lim y 1 x C©u:1 0.5 x Nªn ®êng th¼ng y=-1 lµ tiÖm cËn ngang (5,0 ®) + B¶ng biÕn thiªn: x y’ + - - -1 0.5 + y -1 * §å thÞ: 0.5 §å thÞ (C) c¾t Ox t¹i (2;0) vµ c¾t Oy t¹i (0;-2) Lop6.net (3) x=1 y o -1 x y=-1 -2 0.75 ViÕt PTTT vu«ng gãc víi ®êng th¼ng : y= x-2 Gäi k lµ hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn, TT vu«ng gãc víi nªn k=-1 Ta cã: y’= 1 nên hoành độ tiếp điểm TT và đồ thị (C) là ( x 1) 1 nghiệm phương trình: =-1 x=0 hoÆc x=2 ( x 1) + Với x=0 y=-2 phương trình tiếp tuyến (C) (0;-2) là: y=-x-2 + Với x=2 y=0 Phương trình tiếp tuyến (2;0) là: y=-x+2 Vậy tiếp tuyến vuông góc với đồ thị (C) là: y=-x-2 vµ y=-x+2 Giải phương trình: 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 x + 3 x =1 Đặt u= x , v= 3 x (u 0) Ta hệ phương trình: C©u:2 (2®) u v u v 0.5 Gi¶i hÖ thu ®uîc nghiÖm cña hÖ lµ: (0,1); (1;0); (3;-2) 0.5 +Víi u v x2 0 x2 3 3 x 1 Lop6.net 0.25 (4) u v +Víi : x 1 x3 3 3 x 0.25 x2 3 x 11 3 x 0.25 Vậy phương trình có nghiệm là x=2; x=3; x=11 0.25 u v 2 +Víi: TÝnh tÝch ph©n: u x du dx x x dv e dx v e §Æt: 0.5 I=(-xe-x) 10 - e x dx 0.25 e 0.5 e 0.25 = - - e-x 10 = 1C©u (3®) T×m hÖ sè cña x XÐt: Cnn1 2Cnn 48 (®iÒu kiÖn n N) (n 1)! (n 2)! 2 48 n !(n n)! n !(n n)! 0.25 n2+4n-45=0 n=5 (do n N) 0.25 x Víi n=5 Ta xÐt khai triÓn ( x + )5 cã sè h¹ng tæng qu¸t lµ: Tk 1 = C5k 1 x x k Tk 1 chøa x 5 k = C5k x k 5 0.5 víi k vµ k N k 5 1 k 0.25 Suy hÖ sè cña sè h¹ng chøa x khai triÓn lµ: C 54 =5 0.25 Chøng minh O, A, B, C t¹o thµnh tø diÖn uuur uuur uuur uuur Ta cã: OA =(1;0;0), OB =(0;1;1) [ OA, OB ] = (0;-1;1) 0.75 uuur uuur C©u mp(OAB) qua O và nhận [ OA, OB ] làm VTPT nên có phương trình: -y+z=0 0.5 (6®) Do đó: d(C, (OAB))= 0 0.5 Suy ra: C (OAB) O,A,B,C không đồng phẳng nên bốn điểm O,A,B,C t¹o thµnh mét tø diÖn Lop6.net 0.25 (5) Lập phương trình (P), tính khoảng cách OC và AB uuur uuur uuur uuur OC =(1;0;1), AB =(-1;1;1) [ OC , AB ] = (-1;-2;1) 0.75 mp(P) chøa OC vµ song song víi AB nªn qua O vµ nhËn VTPT lµ: [ uuur uuur OC , AB ] nên có phương trình: -x-2y+z = 0.5 V× (P) chøa OC vµ song song víi AB nªn d(OC, AB) =d(A,(P)) = 1 = 6 0.75 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt V× x , y , x+y=1 nªn: xy C©u (2.0®) x y 2 0.25 vµ P(x,y)=x3y2+x3+y3x2+y3=x2y2(x+y)+(x3+y3)=x2y2-3xy+1 §Æt xy=t ta ®îc: P(x,y)=f(t)=t2-3t+1 víi o t 2 f’(t)=2t-3=0 t= [0; ] Mµ: f(0)=1 , f( )=- 0.75 0.25 0.25 0.25 Suy ra: Max P(x,y) =1, Min P(x,y)=- Lop6.net 0.25 (6)