GIÁO ÁN DẠY THÊM ĐẠI SỐ 10

sđ AM = . Hệ thức này xác định một và chỉ một điểm M trên đường tròn lượng giác. Vậy N là trung điểm của cung hình học nhỏ AB.. a) Tính góc (theo độ và radian) mà bánh xe quay được tr[r]

(1)

PHẦN ĐẠI SỐ

§1 Mệnh đề mệnh đề chứa biến 1 Mệnh đề mệnh đề chứa biến

a) Mệnh đề

Mệnh đề lôgic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề vừa vừa sai.

Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai

Ví dụ 1:

a) Góc vng có số đo 800 (là mệnh đề sai) b) Số số nguyên tố (là mệnh đúng) c) Hôm trời đẹp q ! (khơng mệnh đề) d) Bạn có khỏe khơng ? (khơng mệnh đề)

Ví dụ 2: Trong câu sau đậy câu mệnh đề? Nếu mệnh đề xác định xem mệnh đề hay sai

a) Khơng lối này! b) Bây giờ?

c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư

f) 2003 không số nguyên tố e) √5 số vô tỉ

 Chú ý:

+ Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh mệnh đề + Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa

Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12”

+ Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, vừa vừa sai mệnh đề

Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề b) Mệnh đề chứa biến

Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến được gọi nhữngmệnh đề chứa biến

Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x số thực Khi đó: P(2) mệnh đề sai, P(1/2) mệnh đề 2 Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Mệnh đề P P sai P sai P đúng.

 Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Ví dụ: P: “ √5 số vơ tỉ” Khi mệnh đề

P phát biểu : “ √5 khơng phải số vô tỉ” “ √5 số hữu tỉ” 3 Mệnh đề kéo theo

+Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” mệnh đề kéo theo +Kí hiệu PQ

+ Mệnh đề kéo theo sai P Q sai. * PQ phát biểu “P kéo theo Q”,

“P suy Q” hay “Vì P nên Q”

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P : “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật “ Q : “ Tứ giác ABCD hình bình hành “

(2)

P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x)

điều kiện cần để có P(x) Q(x) 4 Mệnh đề đảo-Mệnh đề tương đương

a) Mệnh đề đảo:

Cho mệnh đề PQ Mệnh đề QP gọi mệnh đề đảo PQ

b) Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương,

+ Kí hiệu PQ

+Mệnh đề PQ PQ QP sai trường hợp còn

lại.

( hay PQ hai P Q sai)

Các cách đọc khác: P tương đương Q

P điều kiện cần đủ để có Q

Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Ví dụ 1: Xét mệnh đề

A: “36 chia hết cho chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12”

Khi đó: A đúng; B

AB: “36 chia hết cho chia hết cho 36 chia hết 12” Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC tam giác có ba góc tam

giác có ba cạnh nhau” mệnh đề gì? Mệnh đề hay sai? Giải thích Xét P:” Tam giác ABC tam giác có ba góc nhau”

Q:” Tam giác có ba cạnh nhau” Khi P Q đúng; QP Vậy PQ

6 Các kí hiệu  

Kí hiệu (với mọi): "xX,P(x)” “xX :P(x)”

Kí hiệu  (tồn tại) : “xX,P(x)” “ xX :P(x)”

Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x)”

Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, ”

Ví dụ: Các biết tính đúng/sai mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định. a) n  *, n2-1 bội

b) x , x2-x+1>0 c) x  x1567., x2=3

d)  n  , 2n + số nguyên tố e) n  , 2n ≥ n+2

* Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ

P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x)

(3)

* Mệnh đề tương đương

+ Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu PQ

+Mệnh đề PQ PQ QP sai trường hợp còn

lại ( hay PQ hai P Q sai)

Các cách đọc khác: P tương đương Q

P điều kiện cần đủ để có Q

Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x). Bổ sung:

Trong lơgic tốn, phân ngành lơgic học, sở ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ mệnh đề lôgic khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa

Chú ý:(mệnh đề)

1 Trong thực tế có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai

Ví dụ: Sáng bạn An học Trời mưa

Học sinh tiểu học nghỉ hè

2 Ta thừa nhận luật sau lôgic mệnh đề:

Luật trùng: Mỗi mệnh đề phải đúng, sai; khơng có mệnh đề không không sai

Luật mâu thuẫn: Khơng có mệnh đề vừa lại vừa sai

3 Có mệnh đề mà ta khơng biết (hoặc chưa biết) sai biết "chắc chắc" nhận giá trị

Ví dụ: Trên Hỏa có sống Chú ý:(mệnh đề kéo theo)

1 Trong lơgic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta không quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề a, b Khơng phân biệt trường hợp a có phải ngun nhân để có b hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng

Ví dụ:

"Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm Châu Âu" ← mệnh đề Vì hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" b = "Việt Nam nằm Châu Âu" sai

"Nếu tháng 12 có 31 ngày năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai Chú ý:(mệnh đề tương đương)

Hai mệnh đề a, b tương đương với hoàn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai)

Ví dụ:

"Tháng 12 có 31 ngày trái đất quay quanh mặt trời" mệnh đề "12 trưa hơm Tuấn có mặt Hà Nội vào anh thành phố Hồ Chí Minh" mệnh đề sai

(4)

Giải toán suy luận

Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđơnêxia Trước thi đấu vịng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán sau:

Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì

Kết quả, bạn dự đốn đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy? Giải: Kí hiệu mệnh đề:

d1, d2 hai dự đoán Dụng q1, q2 hai dự đoán Quang t1, t2 hai dự đốn Trung

Vì Dung có dự đốn dự đốn sai, nên có hai khả năng:

Nếu G(d1) = G(t1) = Suy G(t2) = Điều vơ lí hai đội Singapor Inđơnêxia đạt giải nhì

Nếu G(d1) = G(d2) = Suy G(q2) = G(q1) = Suy G(t2) = G(t1) = Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba cịn Inđơnêxia đạt giải tư

1 Số vơ tỉ

Trong tốn học, số vô tỉ số thực số hữu tỷ, nghĩa biểu diễn dạng tỉ số a/b , với a, b số ngun

Ví dụ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209

Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536

Nếu số hữu tỉ có biểu diễn thập phân hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1/2=0,5) vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909 ) số vơ tỉ có biểu biễn thập phân vơ hạn khơng tuần hồn.

Căn bậc hai tất số nguyên

Ta chứng minh căn bậc hai số nguyên phải hoặc số nguyên số vô tỉ.

Lấy số nguyên r Thí dụ, r = Trong hệ nhị phân, = 102

Vậy, trên, = m/n thì, hệ nhị phân: m2 = 102 n2 m, n số nguyên

Trường hợp n = khơng thể xảy ra, ta biết số nguyên

Lập luận trên, vế trái có số chẵn số (trong hệ nhị phân) cuối, vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy giả thiết số hữu tỉ phải sai

Với số nguyên r bất kỳ, chứng minh hệ r-phân: m2 = 10r n2 m, n số nguyên

Nếu n = m2 = 10r = r, là số nguyên.

Còn n ≠ thì, trên, số bình phương hệ r-phân phải có số chẵn số (trong hệ r-phân) cuối Do đẳng thức vế trái có số chẵn số cuối vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy số hữu tỉ

Số phương

Số phương hay cịn gọi số hình vng số ngun có bậc số nguyên, hay nói cách khác, số phương bình phương (lũy thừa bậc 2) số nguyên khác

Ví dụ:4 = 2²; = 3²; 1.000.000 = 1.000²

(5)

§1 MỆNH ĐỀ

1.1 Xét xem câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến?

a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x<3

d)

2

73.63/;73/;74.77;8.65/e

xkmhMkmhsskmh  

có phải số ngun khơng? e) x kmhM kmhs s kmh   70.7/; 71/; 38.21; 6.18/e +4 số vơ tỉ 1.2 Tìm giá trị x để mệnh đúng, mệnh đề sai

a) P(x):”3x2+2x

1=0” b) Q(x):” 4x+3<2x1”

1.3 Cho tam giác ABC Lập mệnh đề PQ mệnh đề đảo nó, xét tính sai, với: a) P: “ Góc A 900” Q: “ BC2=AB2+AC2”

b) P: “s253 ;71.s733.” Q: “ Tam giác ABC cân”

1.4 Phát biểu lới mệnh đề sau Xét tính đúng/sai lập mệnh đề phủ định chúng a)  x x;37.17s12.3: x2=1 b)  x  Me17:x2+x+2≠0

1.5 Xét tính sai mệnh đề sau phát biểu mệnh đề phủ định

a) M0 17,M0 18 b) x

c) x số hữu tỉ

d) x=2 nghiệm phương trình x

1.6 Tìm giá trị m để mệnh đề đúng, mệnh đề sai

a) P(m): “ m< m” b) Q(m): “m< x ” c) R(m): “ m=7m” 1.7 Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai chúng

a) P: “ 15 không chia hết cho 3” b) Q: “ x ”

1.8 Lập mệnh đề PQ xét tính sai nó, với: a) P: “2<3” Q: “4<6”

b) P: “10=1” Q: “100=0”

1.9 Cho số thực x Xét mệnh đề P: “ x số hữu tỉ”, Q: “x2 số hữu tỉ” a) Phát biểu mệnh đề PQ xét tính sai

b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề c) Chỉ giá trị     0;4,5;9,10,14,15,19 mà mệnh đề đảo sai.

1.10 Cho số thực 630;635 Xét mệnh đề P: “635;6402=1”, Q: “640;645=1”

a) Phát biểu mệnh đề PQ

b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề xét tính sai c) Chỉ giá trị 645;650 mà mệnh đề PQ sai.

1.11 Cho số thực 650;655 Xét mệnh đề P: “A số nguyên”, Q: “N100+2 số nguyên”

a) Phát biểu mệnh đề PQ b) Phát biểu mệnh đề QP

c) Xét tính sai PQ, QP

1.12 Cho tam giác ABC Xét mệnh đề P: “AB=AC”, Q: “Tam giác ABC cân” a) Phát biểu PQ, cho biết tính sai

b) Phát biểu mệnh đề đảo QP

1.13 Cho tam giác ABC Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề sau: a) Nếu AB=BC=CA tam giác ABC đều;

b) Nếu AB>BC 0;9 ;

(6)

1.14 Dùng kí hiệu   để viết mệnh đề sau: a) Có số ngun khơng chia hết cho nó; b) Mọi số thức cộng với nó; c) Có số hữu tỉ nhỏ nghịch đảo nó; d) Mọi số tự nhiên lớn số đối

1.15 Phát biểu lời mệnh đề sau xét tính sai chúng a)  10;19  9: x2≤ b)  20;29 15: x2≤0

c)  30;39 10:  40;49 d)  50;59: 2 e)  N50 

-+ A

: + A '(-1; 0)

B'( 0; -1 ) B(0 ; 1) OA (1; 0)2

++1>0 f) 180



 180 : 2++1>0 1.16.Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai

a)   

:



.1=6



b) 





 :



 =1 c)  n  : n<n2

1.17 Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau chó biết tính saicủa chúng a) Mọi hình vng hình thoi;

b) Có tam giác cân tam giác đều;

1.18 Xét xem mệnh đề sau hay sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề: a) x 2, 4x2-1= 0.

b)  k2x , n2+1 chia hết cho 4. c) 2kx , (x-1)2 25

4



x-1

1.19 Các mệnh đề sau hay sai? Nếu sai, sửa lại cho đúng: a) 11

2



x , x > x2

b) R

180

 

x B' B A'OA

M3 M1 M2

A A'

B' B O M

, |x| <  x< c) y

x

A A'

B' B O M

x5 11

N, n2+1 không chia hết cho 3. d) a 60

5 22

680 

, a2=2.

1.20 Các mệnh đề sau hay sai? Nếu sai, sửa lại cho đúng: A: ” 15 số nguyên tố”

B: ” a  , 3a=7” C: “ a  , a2≠3”

1.21 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc đường thẳng thứ ba hai đường thẳng song song

b) Nếu hai tam giác chúng có diện tích c) Nếu số tự nhiên tận chữ số chia hết cho d) Nếu a+b > hai số a b phải dương

1.22 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Nếu hai tam giác chúngcó góc tươmg ứmg b) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho

d) Nếu a=b a2=b2 .

1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần đủ”

“Tam giác ABC tam giác tam giác ABC tam giác cân có góc 600”

1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) mệnh đề sau để mệnh đề đúng:

a) Để tứ giác T hình vng, điều kiện cần đủ có bốn cạnh b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần đủ số chia hết cho

7

c) Để ab>0, điều kiện cần hai số a b điều dương

(7)

1.25 Các mệnh đề sau hay sai? Giải thích.

a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng

c) Một tam giác tam giác vuông có góc(trong) tổng hai góc cịn lại

d) Một tam giác tam giác có hai trung tuyến có góc 600.

BÀI TẬP THÊM Xét (sai)của mệnh đề sau :

a/ Hình thoi hình bình hành

b/ Số khơng nghiệm phương trình : x2 5x + = 0

c/ ( > )  (3 < ) d/ ( > )  (42 < 0)

e/ (5.12 > 4.6)  (2 < 10) f) (1< )  số nguyên tố

2 Phủ định mệnh đề sau :

a/ < x < b/ x 2 hay x 

c/ Có ABC vng cân

d/ Mọi số tự nhiên không chia hết cho e/ Có học sinh lớp 10A học yếu hay f/ x< hay x=3

g/ x  hay x>1

h/ Pt x2 + = vô nghiệm pt x+3 =0 có nghiệm

3 Xét (sai)mênh đề phủ định mệnh đề sau : a/ x  R , x2 + > b/ x  R , x2 3x + =

c/ n  N , n2 + chia hết cho d/ n  Q, 2n + 

e/ a  Q , a2 > a f) x  R , x2 +x chia hết cho

4.Dùng bảng (sai)để chứng minh: a) A B = 360

320 360 400

 

 k

b) 

c) OK d) OH

B SUY LUẬN TOÁN HỌC

5 Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác chúng đồng dạng

b/ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với c/ Nếu a + b > a > hay b >

d/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận số chia hết cho e/ Nếu a + b < hai số phải âm

6 Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện cần" a/ Hình chữ nhật có hai đường chéo

b/ Nếu hai tam giác có góc tương ứng c/ Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho

(8)

a/ Nếu n2 số chẵn n số chẵn.

b/ Nếu n2 số chẵn n số chẵn.

c/ Nếu x2 + y2 = x = y = 0

d/ Nếu x = hay y =   cos sin

x + 2y  2xy  =

d/ Nếu x  

 cos sin

y  

 sin cos

x + y + 2xy  

 sin cos

e/ Nếu x.y chia hết cho x hay y chia hết cho f) Nếu d1// d2 d1// d3 d2 // d3

8 Chứng minh vơi số nguyên dương n, ta có: a) + + + + + (2n – 1) = n2 b) + + + + + (2n) = n(n +1) c) + + + + + n = 

a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 

b) 

c) 

d) 12 + 22 + 32 + + n2 = 2



e) 13 + 23 + 33 + + n3 = 2 f) 1 + 22 + 23 + + 2 n = 2(2 n – 1) g) 31 + 32 + 33 + + 3 n = 3( 3 n – ) h) n3 +2n chia hết cho

i) n3 +11n chia hết cho

j) n3 +5n chia hết cho 6

k) 2n + 63 hết 72

l) 32n + 1 + 2 n + 2 chia hết cho 7

m) 62n + 3n + 2 + 3n chia hết cho 11

n) 32n – 2 n chia hết cho 7

o) 4n + 15.n – chia hết cho 9

§1 MỆNH ĐỀ

1.3 a) PQ: “ Nếu góc A 900 BC2=AB2+AC2”

QP: “ Nếu BC2=AB2+AC2 góc A 900 ”

b) PQ: “ tam giác ABC cân”

Q P:” “Nếu tam giác ABC cân ” sai (vì

1.4 a)  x  3: x2=1; “ Có số thực mà bình phương 1” sai  x  3: x2≠1; “ Với số thực, bình phương khác 1”

b)  x  3:x2+x+2≠0; “ Với số thực có x2+x+2≠0”   x 

y x S H K

A B' B O M

:x2+x+2=0

1.5 a) Đúng

y

x

t

K H A A'

B' B O M

(9)

b) Sai BS: ) ( cot ) ( sin cot 1 ) ( cos 1 2 2              k g tg k g k tg         

c) Đúng cos

sin cos

3    

       tg tg tg

=27 số hữu tỉ     g g tg tg cot cot 2 

 : “



là số vô tỉ”

d) Sai 

:” x=2 khơnglà nghiệm phương trình

x gx x x tgx cos cot sin

sin   ”

1.8 Lập mệnh đề PQ xét tính sai nó, với:

a) Nếu 2<3 4<6  Sai

b) Nếu 10=1 100=0  Đúng

1.9 a) Nếu xtg x x 2 21 sin sin    

số hữu tỉ xx xtg xg

x x 22

2 2 cos sin cot sin cos    2

số hữu tỉ  Đúng

b) Nếu cot1 cot     gx gx

tgx số hữu tỉ cos4sinxx24sin4cos24xx số hữu tỉ

c) Khi 2)cos1(xx221(cos4sin4)sin222xx

=cos1(x22sin1()2xcos1|)22xx2|sin1||mệnh đề đảo sai 1.10 b) mệnh đề đảo

c) 2

=1 PQ sai

1.11 a) PQ

b) QP

1.12 a) Nếu AB=AC tam giác ABC cân đúng

b) Nếu tam giác ABC cân AB=AC , AB=BC≠AC  mđ sai

1.13 a) Nếu tam giác ABC AB=BC=CA cả hai

b) Nếu AB>BC ;  mđ đảo

c) Nếu 55/=900 ABC tam giác vuông  mđ đảo sai (vuông B C)

1.14 a)  n  55/: n không chia hết cho n b)  /110  :

+0=0

c)   : 17  <     

2 d)  n  )

2 cos() sin() 5sin()

sin(2xxxx: n>

n

1.15 Phát biểu lời mệnh đề sau xét tính sai chúng a) Bình phương số thực nhỏ 1 sai

b) Có số thực mà bình phương nhỏ 0đúng

c) Với số thực , cho

) 3( cot ) 2 3 () 2 3 sin( )

5cos(x xtgx gx

 Sai

d) Có số thực, cho 2

B

A 

 Đúng

e) Với số thực C

, cho B A 2

+2 C

+1>0

f) Có số thực , cho 2++1>0 đúng

1.16 a) 4  2sin4

1 sin

2

 : sin0.1≠    2 tan2 sin sin 1  

 sai

b) sin1 : sin 4cos cos 4sin4 4 4     

2sin cos 3cos sin   6 4     

≠1

c)  n  25 cos 25

sin : n≥n2 đúng

1.17 a) “Có nhất hình vng khơng phải hình thoi” sai

b) “Mọi tam giác cân tam giác đều” sai

1.18 Xét xem mệnh đề sau hay sai lập mệnh đề phủ định mệnh đề: a) 

     25

x 

3

sin  2cos, 4x2-1=

sai; mđ phủ “ tan 7  42

, 4x2-1≠0”

b) sincosmnsin3cos3 sin cos sin 2sincos cos        2 2, n2+1 chia hết cho 4Sai

Nếu n số tự nhiên chẳn : n =2k (k 1tgatgb tgb tga )b a(tg     N) 12 13

n2+1 = 4k2+1 không chia hết cho 4

Nếu n số tự nhiên le : n = 2k+1 (k14

7 N) tga tga )a (tg     

n2+1 = 4(k2+k)+2 không chia hết cho 4

Mđ phủ định “  n  1tga tga )a (tg     

, n2+1 không chia hết cho 4”

c) 0 15 15 tg tg  

x1tga tga

2

 13tga

a tg tga 3  

, (x-1)2 sina2 1a cos asin4 4 

x-1  Sai acosasin asin acos a2sin a2 cos     =0

mđ phủ định “ a2 cos a cos2

 a2 cos a sin2 

 ,(x-1)2 =x-1”

1.19 a) đúng, ví dụ 1cosa2

(10)

2 y x sin 2

y x cos 2 y sin x sin

2 y x cos 2

y x sin 2 y sin x sin

  



 

  Sửa lại : “

a 

2

 , |

a sin

a cos

 

|<3

<3” c) đúng (giải thích)

d) sai Sửa lại “a2

2

, a2≠2”

1.20. tương tự 1.19

1.21 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện đủ":

a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc đường thẳng thứ ba là điều kiện đủ để hai đường thẳng song song

b) Hai tam giác là điều kiện đủ để chúng có diện tích c) Số tự nhiên tận chữ số là điều kiện đủ để số chia hết cho d) a+b > là điều kiện đủ để hai số a b dương

1.22. Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần":

a) Điều kiện cần để hai tam giác chúng có góc tươmg ứmg

b) Điều kiện cần để tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc

c) Điều kiện cần để số tự nhiên chia hết cho chia hết cho

d) Điều kiện cần để a=b a2=b2 .

1.23. Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần đủ”

“Tam giác ABC tam giác điều kiện cần đủ để tam giác ABC tam giác cân có góc 600”

1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) mệnh đề sau để mệnh đề đúng:

a) Sai “Tứ giác T hình vng điều kiện đủ để có bốn cạnh nhau” b) Sai “Tổng hai số tự nhiên chia hết cho điều kiện cần để số chia hết cho c) Sai “ ab>0 điều kiện cần để hai số a b dương”

d) Đúng

1.25. Các mệnh đề sau hay sai? Giải thích

a) Sai. Vì diện tích cần cạnh đường cao ứng với cạnh b) Sai

c) Đúng Vì Nếu ABC vng A

Ngược lại 24sin24 sin B 12 sin 12 cos

A     

2 y x sin

y x sin y cos x

cos

2 y x cos

y x cos y cos x

cos

 

  

 

 

d) Đúng Vì ABC trung tuyến

Ngược lại, BM=CN Lấy Q đối xứng C qua N, P đối tan tansin( ) cos cos x y x y

x y

  

ứng B qua M Khi AQBC APCB hai hình bình hành

(11)

§2 TẬP HỢP

1.Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa

- Tập hợp thường kí hiệu chữ in hoa như: A, B, C, D, phần tử của tập hợp đặt cặp dấu { }.

- Để phần tử a thuộc tập hợp A ta viết a A, ngược lại ta viết a  A.

- Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng Khí hiệu 

2 Cách xác định tập hợp: có 2cách

- Liệt kê phần tử : phần tử liệt kê lần, phần tử có dấu phẩy dấu chấm phẩy ngăn cách Nếu số lượng phần tử nhiều dùng dấu ba chấm

VD : A = 1; 3; 5; 7

B =  ; 1; 2; ;100 

C={1;3;5; ;15;17}

- Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp, tính chất viết sau dấu gạch đứng

VD : A = x N | x lẻ x <9 ; B= {x  ) x sin( x cos x sin ) x cos( x sin x cos ) x sin( ) x cos( x sin x cos               

| 2x2-5x+3=0}

3.Tập con : Nếu tập A B, kí hiệu: A4 3B B 3A

Khi A B  x( xA  xB)

Ví dụ: A={1;3;5;7;9}, B={1;2;3; ;10}

Cho A ≠  có tập  A.

Tính chất: A  A , A với A

Nếu A  B B  C A  C

4 Tập hợp nhau:

A=B  A  B B  A hay A=B x (x  A  x  B)

Ví dụ : C={x1tga.tgb tgb tga

 

R | 2x2-5x+2=0}, D={1tgAtgB

tgB tgA 



,2 } 21 A tg C tg C tg B tg B tg A tg

 C=D - Biểu đồ Ven

Ta có

B tg A tg B tg A tg1 ) B A (tg ) B A (gcot )] B A ( [tg C tg          

* sin16cos.16cos.8

  

2sin8       xcos.x sin xcos xsin xsin xcos VT

BÀI TẬP §2 2.1 Viết tập sau cách liệt kê phần tử

A= { x2gcot2

x2tg xtg1 tgx2 xtg1 tgx tgx xtg1 tgx tgx VT 2          xtg cos2x cos2x-1 ; tgx x2cos x2sin   

 | 2x25x+2=0}

B= {n  tgx x cos2 xcos xsin VT2

| n bội 12 không vượt 100} C = {x8

3

R | (2x-x2)(2x2-3x-2) = 0} D = {x8

5

Z | 2x3-3x2-5x = 0} E = {x4

3

Z | |x| < } F = {x | x=3k với k ]

2 a4 cos [ 1

Z -4 < x < 12 }

G= {Các số phương khơng vượt 100} H= {n 

b a cos b a

sin  | n(n+1)≤ 20} I={

b a cos2

| a cos2

ước nguyên dương 12} J={ a cos a sin |

4

bội nguyên dương 15} K= {n  xsinxsin

4 )xsin21 (xsin ] x2[cosxsin

1 23

| n ước chung 14} L= { n 

1

| n bội 8}

2.2 Viết tập sau theo cách tính chất đặc trưng

A={2;3;5;7} B= {1;2}

C={2;4;6;8; ;88;90} D={4;9;16;25} 2.3 Trong tập sau tập tập rỗng?

A = {x xcos

4 x3cos) 1xsin2(x cos ] x2[cosxcos

12 [cos]x6cosx2x2cos.x4cos

2 ]x8cosx6 [cos ]x8cosx2 [cos  

 | x2-x+1=0 }

B = {x cos cos cos 20)

1 21( cos) cos21( cos) cos cos2( cos) cos (cos

cos

| x2-4x+2= 0} C = {x VT0.20sin140[cos00]120cos10.20sin40[cos01 ]101[20sin20sin021]

(12)

2.4 Trong tập sau, tập tập nào? A = {1,2,3} B = { x

BA sin)] BA ( cos[ C cos    

 N | x<4 }

C = (0;+ C sin B sin A sin

4 ) D = { x ]2

C sin BA [cos C sin21 C sin21 BA cos C sin2 C sin21 BA cos BA cos2 VT 2

         

R | 2x2-7x+3= 0} 2.5 Tìm tất tập tập sau:

a) A = {1;2} b) B= {1;2;3;4}

c) C=  d) D= {}

2.6 Tìm tất tập X cho: {1,2} 2sinC.2cos A.cosB4cosAcosBcosC

)]BAcos( )BA[cos(C sin2Ccos Csin2)B Acos()BA sin(2VT        

X xtg x sin x sin x cos x cos x cos x sin 4 2 2      {1,2,3,4,5}

2.7 Tập A = {1,2,3,4,5,6} có tập gồm hai phần tử ? Để giải toán , liệt kê tất tập A gồm hai phần tử đếm số tập Hãy thử tìm cách giải khác

2.8 Liệt kê tất phần tử tập sau: R={3k-1| k  xtg

)xsin 1( )xcos 1( xsin xsin2 xcos xcos2 VT 22 22 4        

 , -5≤ k ≤5}

S={x  xtg

x2cos.x cos x2cos.x sin xcos )1x cos2(x sin x2cos.x cos x)-sin(2x xcosxsinx cosx sin2 x2cos.x

cossinxx2cos.x cos.x2 sin ) xcos xsin x2)(sin xcos xsin x2cos x2sin (VT 2 2         

| 3<|x|≤ 1cosx4 x4 cos2   } T= {13(2x4cos)x4cos

2 x4cos1)x4cos 1(4 x2 sin x2sin2 x2sin x2sin 11 xcos.xsin xcosxsin 21 xcos xsin xcos xsin VT 2 2 22 2 22 44           x2cos ) cos( x2cos x2cos cos x2cos )]x2 cos( )x2 [cos( 2 x2cos                

| 2x2

5x+2=0}

BÀI TẬP THÊM 1. Liệt kê phần tử tập hợp sau :

a/ A = {x  N / x < 6}

b/ B = {x  N / < x  5}

c/ C = {x  Z , /x /  3}

d/ D = {x  Z / x2 = 0}

e/ E = {x  R / (x  1)(x2 + 6x + 5) = 0}

f/ F = {x  R / x2 x + = 0}

g/ G = {x  N / (2x  1)(x2 5x + 6) = 0}

h/ H = {x / x = 2k với k  Z 3 < x < 13}

i/ I = {x  Z / x2 > /x/ < 10}

j/ J = {x / x = 3k với k  Z 1 < k < 5}

k/ K = {x  R / x2 = x2 4x + = 0}

l/ L = {x  Q / 2x  = hay x2 = 0}

2. Xác định tập hợp cách nêu tính chất :

a/ A = {1, 3, 5, 7, 9} b/ B = {0, 2, 4}

c/ C = {0, 3, 9, 27, 81} d/ D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}

e/ E ={2, 4, 9, 16, 25, 36} f/ F = {sin )tg1(cos)gcot1(

22



 , cosbasin(bcosa)basin(), acosbcos

2 ba sin ba sin2 ba cos ba cos2 ba cos ba sin ba cos ba sin4 B 









, a4sin a2sin a4cos a2cos  

}

3. Tìm tất tập tập hợp sau : a/ A = {a, b} b/ B = {a, b, c} c/ C = {a, b, c, d} d) A = {1, 2, 3, 4}

4. Cho A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 3} ; C = {2, 3} ; D = {2, 3, 5} a/ Liệt kê tất tập có quan hệ 

b/ Tìm tất tập X cho C  X  B

c/ Tìm tất tập Y cho C  Y  A

5. Cho A = {x / x ước nguyên dương 12} ; B = {x  N / x < 5} ; C = {1, 2, 3} ;

D = {x  N / (x + 1)(x  2)(x  4) = 0}

a/ Liệt kê tất tập có quan hệ 

b/ Tìm tất tập X cho D  X  A

(13)

§3 CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP

1.Phép giao 2 Phép hợp 3 Hiệu tập hợp

AB = x|xA vaø xB x A B 

¿

x∈A x∈B

¿{

¿

Tính chất A  A=A A  =  A  B=B  A

AB = x| xA xB x A B 

x∈A

¿

x∈B

¿ ¿ ¿ ¿

Tính chất A  A=A A =A A  B= B  A

A\ B = x| xA vaø xB x A\B  acos cosa3 cosa5

a5 sin a3 sin asin     Tính chất A\  =A A\A=  A\B≠B\A

4 Phép lấy phần bù: Nếu A  E CEA = E\A = x ,xE xA

Ví dụ 1: Cho A= {1;2;3;4}, B= {1;3;5;7;9} , C= {4;5;6;7}

Tính A B, (A B) C, A C, (A B) C, A\ B, A\ C BÀI TẬP §3

3.1 Cho tập A = {0 ; 1; 2; 3}, B = {0 ; 2; 4; 6}, C = {0 ; 3; 4; 5} Tính A  B, B  C, C\A, (A  B)\ (B  C)

3.2 Cho A = {xN | x < 7} B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8}

a) Xác định A  B ; AB ; A\B ; B\ A

b) CMR : (A  B)\ (AB) = (A\B) (B\ A)

3.3 Cho R={3k-1| k  a3tg

)acos21( a3cos )a2cos1( a3sin a3cosa cos.a3cos a3sina cos.a3sin2 D       

, -5≤ k ≤5}, S={x 

| 3<|x|≤ 8x8sin x4cos.x4sin x4cos.x2cos.x2sin VT  

}, T= { 16

1 6cos 96sin 16 6cos 48cos.48sin 6cos 48cos 24 cos12cos 6cos.6sin 6cos2 )12 90 sin() 2490sin().48 90sin(.6cos.6sin2 A 0 0 0 00 00 0 000 00 000        

 81

7 sin8 )7sin( sin 7.8sin sin cos cos.7cos 7sin 4cos 2cos 7cosB cos )7 cos( cos 4cos )7 cos( 3cos                             

| 2x2

4x+2=0} Tính R  S, S  T, R\S 3.4 Cho A={0;2;4;6;8}, B={0;1;2;3;4}, C={0;3;6;9} Tính

a) (A  B)  C A  (B  C) Có n hận xét hai kết quả? b) (A  B)  C

d) (A  B)  C e) (A \ B)  C

3.5 Cho A={0;2;4;6;8;10}, B={0;1;2;3;4;5;6}, C={4;5;6;7;8;9;10} Tính a) B  C, A  B, B  C, A\B, C\B b) A  (B  C)

c) (A  B)  C d) A  (B  C)

e) (A  B)  C f) (A\B)  (C\B)

3.6 Cho E = { x2 a

|  x < 7} A= { xtgasina

a sin tga

 

| (x2-9)(x2 – 5x – 6) = } B = { x 22

2 m a tg a cos2 a sin2 acos acos )acos 1(tga )acos 1(tga asin tga asin tga           

| x số nguyên tố  5} a) Chứng minh B  E

b) Tìm CEB ; CE(AB)

(14)

§4 CÁC TẬP HỢP SỐ 1 Các tập số học

, m m2

*, m m2



, 2, 

2 Các tập thường dùng 

Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn

Tập số thực (-;+)

Đoạn [a ; b] xR, a  x  b

Khoảng (a ; b ) Khoảng (- ; a)

Khoảng(a ; + )

xR, a < x < b xR, x < a xR, a< x 

Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ; a]

Nửa khoảng [a ;  )

xR, a  x < b xR, a < x  b xR, x  a xR, a  x 

[a ; b]= xR, a  x  b, R+=[0;+), R=(;0]

Chú ý 1: Có hai cách biểu diễn khoảng, nửa khoảng, đoạn trục số: Hoặc gạch bỏ phần không thuộc khoảng hay đoạn đó, hoặc tơ đậm phần trục số thuộc khoảng hay đoạn

Ví dụ: Biểu diễn khoảng, nửa khoảng, đoạn sau trục số theo hai cách (2;5), [3;1], ([1;4]

Chú ý 2:

-Tìm giao khoảng ta biểu diễn khoảng trục số Phần cịn lại sau gạch bỏ giao hai tập hợp

-Tìm hợp khoảng ta viết khoảng trục số,sau tiến hành tô đậm khoảng Hợp khoảng tất tô đậm trục số.

-Tìm hiệu hai khoảng (a;b)\(c,d) ta tơ đậm khoảng (a;b) gạch bỏ khoảng (c;d), phần tơ đậm cịn lại kết cần tìm

Ví dụ: Tính

a) (1;2]  [1;3) = [1;2] b) [3;

       1m acos.a sin ma cosa sin

)  (1;+ ) =[1; m2

) c) ( )m2

2  ;2)

 (1;4) =( 2;4) d) ( 2;2]\(1;4) =( 2;1]

BÀI TẬP §4-C1

4.1 Viết lại tập sau kí hiệu khoảng, đoạn, nửa khoảng Biểu diễn chúng trục số A={  2| 2≥ 3}

B={  300 02

20 03 30 33 45 cosb2 +30 sina2 +) 90cos a25( )0sin ab12( +45 gcot b+ 60 cosa

| 2 3 )2/2 (b2+ )2/1( a2+ )0.a 25( )0.ab 12(+ b+ )2/1( a8 <8}

C={ sin(110 -)

1 + cos650

1

0  390 -sin()20 -

1 +

)720+

90 - 20 cos( 0 0 |

1< 320sin20cos sin20 - 20cos = 20cos - 20sin < 10} D={ 340sin

0) cos60.sin2 - s20 4(sin60.co = 40sin )20sin - 20 cos (2

 3sin40 40 sin

| 6 < ≤ 8} E={ cos.80cos20cos.40

2 = 2 70sin 50sin 30sin 10sin

6  240sin80cos.40cos

1 20sin 2 =80cos.40 cos.20cos.20 sin 20sin 2 6 | 96 6 2 =20sin 20sin 2 =160sin 20sin 2 =80cos.80sin 20sin 2 ≤2

≤ cos10

1

} F={

1  cos10

1 |

1 1<0}

4.2 Viết khoảng, đoạn sau dạng kí tập hợp

E=(1;+) F=(;6]

(15)

G=(2;3] H=[2

1

;1] 4.3 Xác định A2

1

B, A2

B, A\B, B\A biểu diễn kết tên trục số a) A = {

1

4

2

|

4

1 } B ={4

2

4

| 38

3 } b) A = { 4+

54sin.18sin

sin18) - 54(sin2

= sin54 - 30sin + 18sin = 7cos27.sin2 - 15sin.15cos + 9sin.9cos 8=4 + 54 sin 18 sin 18 sin 36 cos π6 cos+ π4 cos+ π2 cos |

π sin π6 cos2+ π sin π4 cos2+ π sin π2 cos2 π sin2 π5

sin - πsin

+ π3 sin - π5 sin+ π sin - π3 [sin π sin2

1 } B ={ 48 π cos + 48 π sin6

) 48 π cos+ 48 π (sin 48 π cos 48 π 3sin -) 48 π cos+ 48 π

(sin222 3222

12 π cos + =) 12 π cos - 1( - 1= 24 π sin - 12

|

6+2 = π sin π sin - π cos π cos=) π - π cos(= 12 π

cos 20(+23+32)633 }

c) A = [1;3] B = (2;+ )

2 +26(cos - )94cos+146 (cos

- = 47)]+

cos(73 - 47) - 73 [cos(

2

1

-

2

cos94 -

+

2

cos146 -

) d) A = (-1;5) B = [ 0;6) 4.4 Cho A={43cos120.cos - - 2621cos26 -

9 π tg27 + π 33tg - π tg64 | tg(=> 3tga) - a- a(3tg =3a.tg1)

3a3tg -

a tg- tga

3

=a3tg32222

2

3

2≥0 }, B={tg(π933tg - π93(3tg -) 22π922tg3(=1) - π3222π3.tg1) - 93(3tg - π922 0=1)- 0

0 150 g cot 200 tg 300 cos 100 sin

| cotgx

sinx - x sin tgx 5>0} Tính A  B, A  B, A\B, B\A

4.5 Xác định tập sau biểu diễn chúng trục số a) (5;3)  (0;7) b) (1;5)  (3;7) c) cosx

x sin - = x sin cosx sinx x sin x cos x sin

\(0;+) d) (;;3)  (2;+) 4.6 Xác định A\B , A  B, A  B biểu diễn chúng trục số

a) A=(3;3) B=(0;5) b) A=(5;5) B=(3;3) c) A=sinx+cosx

x cos + x sin3

B=[0;1] d) A=(2;3) B=(3;3) 4.7 Xác định tập hợp C  D, biết

a) C=[1;5] D=(3;2)  (3;7) b) C=(5;0)  (3;5) D=(1;2)  (4;6) 4.8 Xác định tập sau

a) (3;5]  cos+x(sinsinx)(sinxxcos+xsinx.cosx - xcos+sinx.cosx - 1=

2

b) (1;2)  cotg-x tgx x sin - x cos 2 2

c) [3;5]  =sinxcos.x x cos x sin - x sin x cos x sin x

cos 22 2 2 2

4.9 Xác định tập sau

a) xcos+cosx - 1\((0;1) (2;3)) b) 1cos - 2|=x |xsin

\((3;5) (4;6)) c) (2;7)\[1;3] d) ((1;2) (3;5))\(1;4) 4.10 Xác định tập sau

a) (; )2

π

- tg(x - )

2

π5

- x(tg - )

2 π3 +x(tg+)x+ π (tg

)  ( x)]-

π tg[-(- )π2 - π

-tg(x- )π+x+

2 π

(tg

;+) b) ( 2cotgx+ )

π - tg(x- )x + π (

;7)  (2;

x)+ x).tg(90- cotg(90 - x)-(90 sin-1 )x+(90 cos -1 0 0

02

02 ) c) (0;12)\[5;+) d) -cosx

x sin 2

\[1;1)

BÀI TẬP THÊM

1 Cho tập hợp : A = {1, 2, 3, 4} ; B = {2, 4, 6} ; C = {4, 6}

a/ Tìm A  B , A  C , B  C b/ Tìm A  B , A  C , B  C

c/ Tìm A \ B , A \ C , C \ B

d/ Tìm A  (B  C) (A  B)  (A  C) Có nhận xét hai tập hợp ?

2 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; B = {2, 4, 6} ; C = {1, 3, 4, 5} Tìm (A  B)  C (A  C)  (B  C) Nhận xét ?

3 Cho tập hợp A = {a, b, c, d} ; B = {b, c, d} ; C = {a, b} a/ CMR : A  (B \ C} = (A  B) \ (A  C)

b/ CMR : A \ (B  C) = (A \ B)  (A \ C)

4 Tìm A  B ; A  B ; A \ B ; B \ A , biết :

a/ A = (2, + ) ; B = [1, 3] b/ A = (, 4] ; B = (1, +)

c/ A = (1, 2] ; B = (2, 3] d/ A = (1, 2] ; B = [2, +)

e/ A = [0, 4] ; B = (, 2] e) A = (2 , 10) ; B = ( 4, )

5 Cho A = {a, b} ; B = {a, b, c, d} Xác định tập X cho A  X = B

6 A= {x  N / 0< x < 10} ; A, B  X ;

A  B = {9, 4, 6}

A {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ;

B { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(16)

§5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ

1 Số gần

Trong nhiều trường hợp ta biết giá trị đại lượng mà ta biết số gần

Ví dụ: giá trị gần π 3,14 hay 3,14159; √2 1,41 hay 1,414;… Như có sai lệch giá trị xác đại lượng giá trị gần Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa khái niệm sai số tuyệt đối

2 Sai số tuyệt đối:

a) Sai số tuyệt đối số gần đúng

Nếu a số gần a a=| a a| gọi sai số tuyệt đối số gần đúng a.

b) Độ xác số gần đúng

Trong thực tế, nhiều ta a nên ta khơng tính a Tuy nhiên ta có thể đánh giá a khơng vượt q số dương d đó.

Nếu a ≤ d ad≤ a ≤ a+d, ta viết a =a ± d d gọi độ xác số gần đúng.

Ví dụ: Giả sử a = √2 giá trị gần a = 1,41.Ta có : (1,41)2 = 1,9881 < 2

⇒ 1,41 < √2⇒√2 - 1,41 > (1,42)2 = 2,0164 > 2

⇒ 1,42 > √2⇒√2 -1,41 < |1,42-1,41|=0,01

Do : Δa=|a− a|=|√2−1,41|<0,01 Vậy sai số tuyệt đối 1,41 không vượt

quaù 0,01

*Sai số tương đối δa

¿a∨¿

δa=Δa

¿

, δa ¿ad∨¿

¿

Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm (nhân với 100%) Nếu ¿ad∨¿

¿

càng nhỏ chất lượng phép đo đạc hay tính toán càng cao

* Sai số tuyệt đối khơng nói lên chất lượng xắp xỉ mà chất lượng phản ánh qua sai số tương đối Sai số tương đối nhỏ độ xác lớn

Quy tròn số gần đúng

* Nguyên tắc quy tròn số sau:

- Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải

- Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hay ta thay chữ số các chữ số bên phải cộng thêm đơn vị vào số hàng vi tròn.

Ví dụ 1: Quy trịn số 7216,4 đến hàng chục 7220(vì chữ số hàng quy trịn chữ số sau 6)

Ví dụ 2: Quy trịn số 2,654 đến hàng phần trăm 2,65(vì chữ số hàng qui tròn 1 chữ số sau 4)

Ví dụ 3: Quy trịn số 2,649 đến hàng phần chục 2,6(vì chữ số hàng qui trịn chữ số sau 4)

Chú ý: Khi thay số số quy trịn sai số tuyệt đối nhỏ nửa đơn vị hàng quy tròn

Ở vd1 ta có a=|7216,4-7220|=3,6<5 (hàng quy trịn hàng chục)

(17)

Cho số gần a với độ xác d Khi u cầu quy trịn a mà khơng nói rõ quy trịn đến hàng ta quy tròn a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng

d Hàng quy trịn

Hàng trăm Hàng nghìn

Hàng chục Hàng trăm

Hàng phần trăm Hàng phần chục

……… ………

Ví dụ 1: Cho a =1,236±0,002 số quy trịn 1,236 1,24 (vì 0,002<0,01) Ví dụ 2: Cho a =37975421±150 số quy trịn 37975421 37975000

Ví dụ 3: Cho số gần a=173,4592 có sai số tuyệt đối khơng vượt q 0,01 (d=0,01). Khi số quy trịn a 173,5

* Chú ý:

- Kí hiệu viết gần

- Khi thực quy trịn sai số tuyệt đối tăng lên - Hàng phần chục, phần trăm,… số sau đấu phẩy

- Hàng vị, hàng chục, hàng trăm,… số trước dấu phẩy 4 Chữ số chắn (đáng tin) (Ban CB đến số 3)

Trong số gần a, chữ số gọi chữ số chắn d không vượt ( ≤ )nửa đơn vị hàng có chữ số (nếu d > nửa đơn vị hàng có chữ số chữ số khơng chắc)

Tất chữ số đứng bên trái chữ số chắn chắn Những chữ số đứng bên phải chữ số không không chắc.

Ví dụ 1: Cho a =1379425±300, xác định chữ số chắn Ta có 1002 =50<d<500=1000

2 nên chữ số hàng trăm không chắc, chữ số hàng nghìn chắn=> 1,3,7,9 chữ số chắn

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có diện tích S = 180,57 cm2

x cos -1

x sin -

2

0,06 cm2 Tìm chữ số S

Ta có 0,12 =0,05<d=0,06<1

2=0,5 nên chữ số hàng phần chục không chắc, chữ số hàng đơn vị chắn=> 1,8,0 chữ số chắn

5 Dạng chuẩn số gần đúng

- Nếu số gần số thập phân khơng ngun dạng chuẩn dạng mà chữ số chữ chắn

- Nếu số gần số ngun dạng chuẩn A.10k A số nguyên , k hàng thấp có chữ số (k sinx

1 =1 + x sin

x cos

2 2

N) (suy chữ số A chữ số chắn) Khi độ xác d=0,5.10k

Ví dụ: Giá trị gần √5 viết dạng chuẩn 2,236 Nên độ xác d=0,5.10-3=0,0005, 2,236-0,0005≤

√5 ≤2,236+0,0005 6 Kí hiệu khoa học số

Mọi số thập phân khác viết dạng .10n, 1≤||<10, n  Z (ta có 10−m=

10m )

(18)

BÀI TẬP §5

5.1 Cho √3 =1,7320508…Viết số gần √3 theo quy tắc tròn đến hai, ba, bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt đối trường hợp

HD: Ta có 1,73< √3 <1,74| √3 -1,73|<|1,73-1,74|=0,01 sai số tuyệt đối trương hợp (làm tròn chữ số thập phân) không vượt 0,001

5.2 Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 79715675 người Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ 10000 Hãy viết quy tròn số

Kq: 79720000

5.3 Đo độ cao núi h=1372,5m±0,1m Hãy viết số quy tròn số 1372,5 Kq: 1373

5.4 Đo độ cao h=347,13m±0,2m Hãy viết số quy tròn số 347,13 Kq: 347

5.5 Chiều dài cầu d=1745,25m±0,01m Hãy viết số quy tròn 1745 Kq : 1745,3

5.6 Cho giá trị gần  a=3,141592653589 với độ xác 10-10 Hãy viết số quy tròn a

Kq : 3,141592654

5.7 Một hình lập phương tích V=180,57cm3±0,05 cm3 Xác định chữ số chắn V

Kq : 0,01/2<0,05≤0,1/2 1,8,0,5 chữ số chắn

5.8 Trong thí nghiệm, số C xác định 2,43265 với cận sai số tuyệt đối d=0,00312 Tìm chữ số chắn C

(19)

(20)

(21)

Chương II

HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1 HÀM SỐ

I Ôn tập hàm số Hàm số:

Cho D sin4asin2a - cos4a - a cos

Hàm số f xác định D quy tắc ứng với xD chỉ

một số y  cosasin.a3=a3tg -a) sin3a.sin( - = 2a - 4a sin 2a+ 4a 2.cos

4a - a

2 sin 4a+ 2a 2.sin

-, kí hiệu y= f(x) Khi đó:

+ x gọi biến số (hay đối số) hàm số y gọi hàm số x; + D gọi tập xác định (hay miền xác định);

+ f(asinacos = cos2a - sin2a.cosaasincos2a.sina -=asina) - a2sin(1=) giá trị hàm số x. Cách cho hàm số

+ Hàm số cho bảng + Hàm số cho biểu đồ

+ Hàm số cho công thức: y=f(3 π )

Chú ý: Khi hàm số cho công thức mà không rõ tập xác định : “ Tập xác định của hàm số y=f((tg 3+aπ2)) tập hợp tất số thực + 1tga3

3 - tga

+ tga3 - 3+ tga +tga = π2 tga.tg - π2 tg+ tga + π tga.tg - π tg+ tga

cho biểu thức f( 3tg - 1a 8tga +

tga 2) có nghĩa”

Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số a) y=f( 3=a3tg

3tg2a - a) tg- tga3 (33

)= +cosa cosa -1 a sin a cosa).tg + (1 2 b) y= 1=a cos+ asin =a cos+ a tg asin a tg =a cos+ a cos2 a sin2 asin a tg =a cos+ cosa+ cosa - asin a tg 2 2 2 2 2 2 2

c) y= cotga - tga tga + cotga

Ví dụ 2: Cho 1- tg a

a tg + = tga -tga tga + tga 2

a) Tìm tập xác định hàm số b) Tính f(1), f(1), f(0)

Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số y=f( cosa2 = a cos a sin - a cos a cos 2 2

) xác định D tập hợp điểm M(x;f(x)) mặt phẳng tọa độ với acoscos++a3cosa5

a5 sin+ a3 sin+ asin

D. II Sự biến thiên hàm số

Cho f(x) xác định khoảng K Khi đó:

f đồng biến ( tăng) K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: bảng tổng kết chiều biến thiên hàm số (xem SGK) III Tính chẵn lẻ hàm số

+ f gọi chẵn D xD x D f(x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

+ f gọi lẻ D xD x D f(x) =  f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng.

(Ban CB đến III)

* Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Oxy

Cho (G) đồ thị y = f(x) p;q > 0; ta có

Tịnh tiến (G) lên q đơn vị đồ thị y = f(x) + q Tịnh tiến (G) xuống q đơn vị đồ thị y = f(x) – q Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị đồ thị y = f(x+ p) Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị đồ thị y = f(x – p) Đối xứng qua trục hồnh x không đổi y’= -y

Đối xứng qua trục tung y khơng đổi x’= - a3tg=

)a2cos+1(a3 cos )a2cos+1(a3 sin = a3cos+a2cosa 3cos2 a3sin+a2cosa 3sin2 = a3cos+a5cos+ acos a3sin+a5sin+ asin

* Tịnh tiến điểm A(x;y) song song với trục tọa độ Oxy : + Lên q đơn vị A1(x ; y+q)

(22)

CÁC DẠNG BÀI TẬP

I Tìm tập xác định hàm số *Phương pháp

+ Để tìm tập xác định D hàm số y = f(x) ta tìm điều kiện để f(x) có nghĩa,tức là: D = {x αtgcot+αg

αtg +1 = α cotg α cotg+

αtg +1 αtg

2

4 2 2

| f(x) +=)1αtg αg cot

1 ( αtg +1

αtg

2 2

}

+ Cho u(x), v(x) đa thức theo x , ta xét số trường hợp sau :

a) Miền xác định hàm số dạng đẳng thức : y=u(x) ; y = u(x)+v(x) ; y=| u(x) | ; y = ¿u(x)∨¿

√¿ … D =

xcos.xsin)

xcos

xsin

+

xsin

xcos

+2(=xcos.x

sin).gxcot.tgx

+tgx+gxcot

+1(

(không chứa bậc chẵn, khơng có phân số, có bậc lẻ,…) b) Miền xác định hàm số y = u(x)

v(x) D = { x sinx

cosx - = x cos +1

x sin

| v(x) 0 } c) Miền xác định hàm số y = √u(x) D = { x tg=a3tga

a 2a.tg a a2 tg

2

| u(x) } d) Miền xác định hàm số y = u(x)

√v(x) D = { x atga2tg+

1

tga- tg2a

tg2a.tga-

1

tga+a2 tg = tg2a.tga) +1 tg2a.tga)(

- (1

tga)- tg2a )(tga+a2 tg(

| u(x) > } e) Miền xác định hàm số y = √u(x)+√v(x)

D= {x tg2a-a2cos = asin +a cos

sina - acos

| u(x) } {x a2cos

1

=

cos2a sin2a -

=

asin - a

cos

a2.cosa.sin

-

=

sina) - sina)(cosa

+(cosa

sina) - (cosa

2

| v(x) } tức nghiệm hệ

¿

u(x)≥0

v(x)≥0

¿{

¿

VÍ DỤ : Tìm tập xác định hàm số sau

II Xét biến thiên hàm số * Phương pháp

+ Tìm tập xác định D hàm số y = f(x)

+ Viết D dạng hợp nhiều khoảng xác định ( có )

+ Xét biến thiên hàm số khoảng xác định K= (a;b) sau: Giả sử x1,x2 K, x1 < x2

Tính f(x2) - f(x1)

Lập tỉ số T = f(xx2)− f(x1)

2− x1

Nếu T > hàm số y = f(x) đồng biến (a;b) Nếu T < hàm số y = f(x) nghịch biến (a;b)

VÍ DỤ:

III Xét tính chẵn lẻ hàm số * Phương pháp

+ Tìm tập xác định D hàm số y =f(x)

+ Chứng minh D tập đối xứng, tức : ∀ x D ⇒− x¿ ∈

¿ D

+ Tính f(-x), đó

Nếu f(-x) = f(x) với ∀ x D y =f(x) hàm số chẵn Nếu f(-x) = -f(x) với ∀ x D y = f(x) hàm số lẻ

Nếu có x0 D f(-x0) f(x0) & f(-x0) -f(x0) hàm số y = f(x) khơng chẵn khơng lẻ

VÍ DỤ:

IV Tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ

Cho (G) đồ thị y = f(x) p;q > 0; ta có

(23)

(24)

BÀI TẬP §1-C2 1.1 Tìm tập xác định hàm số sau

a) y= 3x3  ) π - a( gcot = sin2a - a2sin +1 +2 b) )a -4 π ( ctog ) π +a (tg = )a -4 π sin( ) π +a cos( )a -4 π cos( ) π +a sin( = sin2a - π sin a2 sin + π sin

c) y= )

4 π - a( g cot =)] π - cotg(a -).[ π - a + π (tg

d) y=

c sin b cos a cos

e) y=

c cos c sin2+

b - a cos c sin2= c cos c sin2+

b - a cos

b+a sin2

f) y=

b cos a cos c sin4 =) b+a cos+

b - a (cos c sin

g) y=sin2x

h) sinx2

2 = x cos x sin 2 = x cos x sin = x cos x sin + x sin x cos

1.2 Cho hàm số y= sin 2x

1

Tính giá trị hàm số x2sin

1

=

x2sin.xsin

)x - x2sin(

=

x2sin.xsin

cos2x.sinx - x cos.x2sin = sin2x cos2x - xsin xcos

=3; + x4 cos

=0; 2)

2 x2cos +1 (+) cos2x - ( =1

1.3 Cho hàm số y=

x4 cos 4 1 + 4 3 = 2 x4 cos+ 1 . 2 1 + 2 1 =x2 cos 2 1 + 2 1 2

Tính giá trị hàm số + x4 cos

=5;

5 +x4cos =

cos4x -

- 1=x2 sin

- 12

=2; 43sin4x=

1.4 Cho hàm số y=g(2

) 4

1

Tính giá trị g(3); g(0); g(1); g(2); g(9)

1.5 Xét biến thiên hàm số sau khoảng a) y=f(4

3

)= 2x27 khoảng (4;0) khoảng (3;10) b) y=f(cos2x5cos2x3sin+2x7sin2xcos=xcos.x2)=

)] x + x7 cos( - ) x - x7 [cos( +)] 3x + x5 cos(+) 3x - x5 [cos(

khoảng (;7) khoảng (7;+) 1.6 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau

a) y=f(12(cos+)x4cos+x21(cos=)x4cos - x312x3cos+x(cosxcos.x2cos=))= 4sinx3 =) x+ π x).sin( - π sin( x sin

b) y=f( 18 π13 sin 18 π7 sin 18 π sin )= ) 2 1 +x 2sin - 1(x sin 2 1 =] 3 π2 cos - x2.[cos 2 1 sinx.= x)- 3 π sin()x+ 3 π sin(.xsin c) y=f(414sin - 3(2x).sinx

)=x3

 d) y=3

1.7 Tìm tập xác định hàm số sau

a) y=

1

b) y=

1

c) y= 

1 = π sin = 18 π 3sin = 18 π13 sin 18 π7 sin 18 π

sin 5+7sin42b+asin2c+bsin2a+c3 d) y=

a+ c cos c+ b cos b+ a cos

e) y= cotgx

sinx.cosx + x g cot x cos -x cotg 2

f) y= sinα.cosα α g cot )α cotg - (1 2 2

g) y=sin4 +xcos42 +x cos4 +xsin42x h) y= sinα.sin β - cotg α.cotgβ β

sin α

cos 2 2

2

1.8 Tìm tập xác định hàm số sau a) y = 2x −3

x2− x

+1 b) y =

x2+2x

x c) y = x+3

x2−3x

+2 d) y =

2 (x+2)√x+1 e) y = sin(180α - ).sin(90 )α -

1 - ) 90 - α( g cot )]α + (90 cotg - 1[ 2 2

f) y = 3) cos(+x) π -x cos( +x

(25)

1.9 Xét biến thiên hàm số khoảng chi a) y= 2cos2 -(x 3πcos + )2cos +x 2+(x3π)

+3 ) π2 +x( sin+x sin+) π2

-x (

sin2 22 b) y= x2+10

α tg - α g cot α tg + αg cot

+9 (5;+)

c) y= sinα - 2cosα

α cos + α sin

(3;2) (2;3)

1.10 Xét biến thiên hàm số khoảng chi a) y = x2+4x-2 ; (--1 5;2) , (-2;+

α cotg + α tg

α cos α sin

2 )

b) y = -2x2+4x+1 ; (- 2;1) , (1;+ 22) c) y = 2 4/ ; (-1;+ 2+ 3)

d) y = 2+ 3 ; (2;+ -2 - )

1.11 Xét tính chẵn lẻ hàm số sau

a) y= 4 b) y= 3x21

c) y=  12 π cos ; 12 π

nsi 4+3tg12π;cotg12π2 d) y=

2 +6 = cos ;

- = sin

1.12 Xét tính chẵn lẻ số sau

a) y = x4-x2+2 b) y= -2x3+3x

c) y = | x+2| - |x-2| d) y = |2x+1| + |2x-1| e) y = (x-1)2 f) y = x2+2

1.13 Cho hàm số y= f(x) =tg2x+sin2x sin2x -tg2x

, với giá trị a hàm số đồng biến (tăng), nghịch biến khoảng xác định

1.14 Cho hàm số

¿

−2(x −2)neáu -1≤ x<1

√x2−1 neáu x≥1 ¿f(x)={

¿

a) Tìm tập xác định hàm số f b) Tính f(-1), f(0,5), f( √2

2 ), f(1), f(2)

BÀI TẬP THÊM 1 Bài tập 1: Tìm tập xác định hàm số sau :

a) y= 3x+5

2x+1 D= 72\{2 a

} b) y=

3x+5

x2− x

+1 D= 7+2 ±

c) y= x −2

x2−3x

+2 D=+1sin2cos2x - x

x2 cos +x sin +1

\{1;2} d) y=√x −1

x −2 D=[1;+)\

{2}

e) y= x

2−2

(x+2)√x+1 D=(1;+) f) y= 3x+1

x2−9 D=2

1

\{3;3} g) y= x

1− x2−√− x D=(;0]\{1} h) y=

x −3√2− x

√x+2 D=(2;2] i) y=√

x −1+√4− x

(x −2)(x −3) D=[1;4]\{2;3} j) y= √2x+1−√3− x D=[2

1

(26)

2 1

Bài tập : Cho hàm số

¿

−2(x −2)neáu -1≤ x<1

√x2−1 neáu x≥1 ¿f(x)={

¿

a) Tìm tập xác định hàm số f D=[1;) b) Tính f(-1), f(0,5), f( √2

(27)

Bài tập 3: Trong điểm sau M(-1;6), N(1;1), P(0;1), điểm thuộc đồ thị hàm số y=3x2-2x+1.

Bài tập 4: Trong điểm A(-2;8), B(4;12), C(2;8), D(5;25+ √2 ), điểm thuộc đồ thị hàm số f(x)= x2+

√x −3

Bài tập 5: Khảo sát biến thiên hàm số sau lập bảng biến thiên nó: a) y= x2+2x-2 khoảng

(-;-1) (-1;+) T= x2+x1+2 x  1 +

y=x2+2x-2 + +

3 b) y= -2x2+4x+1 khoảng

(-;1) (1;+) T=2(x1+x22)

x  +

y=-2x2+4x+1

 

c) y=

x −3 khoảng (-;3) (3;+) T= 2 1

x  +

y= x −23 +



d) y= x −12 khoảng (-;2) (2;+)

T= 2

1

e) y= x2-6x+5 khoảng

(-;3) (3;+) T= x2+x16

f) y= x2005+1 khoảng

(-;+)

x1<x2 => x12005 < x22005 => f(x1)= x12005 +1< x22005 +1=f(x2) đồng biến

Bài tập : Dựa vào đồ thị hàm số, lập bảng biến thiên

(A)

x  2 + y=-2x2+4x+1 +

1  (B)

x  +

y=2

1 +

 (C)

x  +

y=f(x)  

Bài tập 7: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau :

(A) (B)

(28)

c) y= |x+2| - |x-2| lẻ d) y=|2x+1|+|2x-1| chẵn

e) y= |x| chẵn f) y=(x+2)2

g) y=x3+x lẻ h) y=x2+x+1

i) y=x|x| lẻ j) y= √1+x+√1− x D=[1;1] chẵn

k) y= √1+x −√1− x D=[1;1] lẻ

Bài 8 : Cho đường thẳng y=0,5x Hỏi ta đồ thị hàm số tịnh tiến (d):

a) Lên đơn vị b) Xuống đơn vị c) Sang phải đơn vị d) Sang trái đơn vị

Bài 9: Gọi (d) đường thẳng y= 2x=f(x) (d’) đường thẳng y= 2x-3 Ta coi (d’) có

do tịnh tiến (d):

a) Lên hay xuống đơn vị? (d’): y=2x3= f(x)3

b) Sang trái hay sang phải đơn vị? (d’): y=2x3= 2(x4

1

)

Bài 10: Cho đồ thị (H) hàm số y= −2

x

a) Tịnh tiến (H) lên đơn vị, ta đồ thị hàm số nào? b) Tịnh tiến (H) sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số nào?

c) Tịnh tiến (H) lên đơn vị, sau tịnh tiến đồ thị nhận sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số nào?

Bài 11: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(-1;3), B(2;-5), C(a;b) Hãy tính tọa độ điểm có

được tịnh tiến điểm cho: a) Lên đơn vị

b) Xuống đơn vị c) Sang phải đơn vị d) Sang trái đơn vị

BÀI TẬP THÊM 2 1 Tìm tập xác định hàm số

a) y = |x+2| - | 3x2-4x-3| D=

a

b)y = ¿x2+x −4∨¿

√¿ D=

a

c) y=√¿5x+6∨+1

5 D=

a

d)y = x2

+1 D=

a

e) y = ¿2x −3∨x2+¿x+6

¿

D= a3 sin+ a7 sin+ a sin - a11 sin

f) y=

x2−3x D=2

π

\{0;3} g)y = √1− x+

x√1+x D=(1;1]\{0} h) √x∨x −4∨¿

y=2x −1

¿

D=(0;+)\{4} i) y = √3− x+

x2−1 D=(;3]\{1;1}

j) y = 4)

π + a sin( ). 4 π - a2 sin( 2

D=2 a

a

(29)

k)y = √6− x+2x√2x+1 D=[ acos

a cos a5 cos4

;6] l) y = x 2x+1

(¿x∨−1) D=\{1;0;1} m) y = x

2

+1

√2− x+x√1+x D=[1;2)

n) y =

x2+3x+3+(x+2)√x+3 D=[3;+)

2 3 3

x  x ≠0  x

o) y =

√x2

+3x+5

+¿x+1∨√x2− x+6 D=

vì

2 3 5 ( 3)2 11

2

x  x  x 

>0  x

2 6 ( 1)2 23

2

x  x  x 

>0  x p) y =

¿x −2∨+¿x2+2x∨¿ ¿x∨¿

¿ ¿

D=

vì khơng có giá trị x để |x2|+|x2+2x|=0 Thật vậy: x2=0 x=2 x2+2x≠

q) y =

√3x+5

x2−1 D=\{1;1}

r) y = x22x 1 x D=[3;+)

s) y = x2 2x 1 x 3 - √x −4+1 D=[4;+) t) y = ¿x

2−3x

+2∨+¿x2−1∨¿

1

¿

D=\{1}

vì x=1 mẫu (tương tự câu p) u) y =

x2−∨x∨ ¿

x2−2∨x∨+1

¿x∨−1

x2−1 −¿

D=\{1;1}

2

2 ,

2 | |

2 ,

x x khi x

x x

x x khi x

   

   

   



v) y = 1−∨x∨¿

√¿ D=[1;1]

w) y = √¿x

2

−1∨¿

1

¿

D=\{1;1}

x) y = f(x)=

¿

1-x neáu -2≤ x ≤0 x neáu 0≤ x ≤2

¿{

¿

D=[2;2]

2 Xét biến thiên hàm số khoảng ra a) y =

2x

2x −3 (

2;+∞) T=

6

(2x 3)(2x 3)



(30)

b) y = 3x2-4x+1

(-2 ;

3



) T=3x2 + 3x14

c) y =

−3x+1

x −1 (1;+ ∞ ) T=

2

(x  1)(x  1)

d) y = x+3

x −2 (2; + ∞ ) T=

5

(x 2)(x 2)



 

e) y = | x+2| - | x-2 | (-2;2)  x  (2;2) 2< x <2

x+2>0; x2<0  y= x+2 [(x2)]=2x  T=2  hàm số đống biến

4 Với giá trị a hàm số sau đồng biến,nghịch biến khoảng xác định

a) y = f(x) = a

x −2 T=( 2)( 2)

a

x x



 

b) y = f(x) = a+1

x T=

(a 1)

x x

 

5 Xét tính chẵn , lẻ hàm số sau a) y =

¿x∨¿

2x2−1

¿

D=\{0}; chẵn

b) y = x(|x|-2) D=; lẻ

c) y = x2-2|x| D=; chẵn d) y = | x+3 | - | x-3 | D=; lẻ

e) y = 2x+ | x+3 | + | x-1 | D=; không chẵn, không lẻ

f) y = x7- x

5

− x

√¿x∨+x2 D=\{0} |x|+x 2 ≥

 x, dấu “=” x=0 g) y = √x2−4x+4 + | x+2 | D= ; chẵn x2  4x4 (x 2)2  |x |

h) y =

¿x+1∨−∨x −1∨¿ ¿x+1∨+¿x −1∨¿

¿ ¿

D=\{0}; lẻ

i) y = √1+x D=[1;+)  x  D x D j) y = x∨x∨x3¿−1

¿

D=\{1} x  D x D (khi x=1)

k) Định m để hàm số y = f(x) = x2 + mx +m2 ,x R ,là hàm chẵn f(-x) = x2

mx+m2 để f(x) chẵn m=m = m=0

6 Gọi (G) đồ thị hàm số y=2|x|, ta đồ thị hàm số tịnh tiến (G): a) lên đơn vị;

b) sang trái đơn vị;

c) sang phải đơn vị xuống đơn vị BÀI TẬP THÊM 3 1/ Tìm tập xác định hàm số sau :

a/ y = x

3 x

 

b/ y = x

1 x

2

(31)

c/ y = x

1

2

 d/ y = x 2x

1 x   

e/ y = x x

2

  

f/ y = x g/ y = x

x

 

h/ y = x

1

 + x

3



i/ y = x3 + x

1

 j/ y = (x 3) 2x

1 x

 



k/ y = x2 4x5 l/ y x2  4.

m) y =

3

2 

 x

x o) y = 3 2

2 2     x x ) x )( x (

p)y = (3x4)(3 x) q) y =

2

  ) x x

( r) y =

1

2 

 | x |

x

- 33x 5 s) y = x + 1 x 2 Tìm m để tập xác định hàm số (0 , +  )

a) y = x m  2x m b) y =  

    m x m x m x

ĐS: a) m > b) m > 4/3

3. Định m để hàm số xác định với x dương a/y x m  1 4x m b/

x m

y x m

x m 

   



4 Xét biến thiên hàm số khoảng : a/ y = x2 4x (-, 2) ; (2, +)

b/ y = 2x2 + 4x + (-, 1) ; (1, +)

c/ y = x

4

 (1, +)

d/ y = x

2

 

(3, +)

e/ y = x

x

 (, 1)

f/ y = x1

6. Xác định tính chẵn, lẻ hàm số :

a/ y = 4x3 + 3x b/ y = x4 3x2 1

c/ y = x

1

2

 d/ y = 13x2 e/ y = |1  x| + /1 + x| f/ y = |x + 2|  |x  2|

g/ y = |x + 1|  |x  1| h/ y = 1 x + 1x

i/ y = | x|5.x3 k/

x x

2+x x

y             

l/ y =             1 1 1 2 x ; x x ; x ; x

(32)

y

x O

D C B

A

4

4 y

x O

§2 HÀM SỐ y= ax + b

1 Hàm số bậc nhất

Hàm số dạng y = ax + b , a;b a≠ Hệ số góc a

Tập xác định: D =

Chiều biến thiên: a > hàm số đồng biến a < hàm số nghịch biến Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: đường thẳng Đồ thị không song song trùng với trục tọa độ, cắt trục tung điểm (0;b) cắt trục hoành (-b/a;0).

2

* Cho hai đường thẳng (d):y= ax+b (d’)= a’x+b’, ta có: (d) song song (d’) a=a’ b≠b’

(d) trùng (d’) a=a’ b=b’ (d) cắt (d’)  a≠a’

(d)(d’) a.a’= 1 2 Hàm số y=b

Đường thẳng y= b đường thẳng song song trùng trục Ox cắt Oy điểm có tọa độ (0;b).

Đường thẳng x= a đường thẳng song song trùng trục Oy cắt Ox điểm có tọa độ (a;0)

3 Hàm số bậc khoảng, hàm số y= |ax+b| Muốn vẽ đồ thị hàm số y=|ax+b| ta làm sau: + Vẽ hai đường thẳng y = ax + b, y = - ax – b

+ Xóa hai phần đường thẳng nằm phía trục hồnh Ví dụ 1: Khảo sát vè vẻ đồ thị hàm số y= |x| (Xem SGK tr.42)

Ví dụ 2: Xét hàm số y=f(x)=

¿

x+1 neáu 0≤ x<2

−1

2x+4 neáu 2≤ x ≤4 2x −6 neáu 4<x ≤5

¿{ { ¿ Đồ thị (hình)

Ví dụ : Xét hàm số y=|2x-4|

Hàm số cho viết lại sau :

y=

¿

2x −4 neáu x≥2 −2x+4 neáu x<2

¿{

¿

Đồ thị (hình)

Ví dụ 4: Tìm hàm số bậc y=f(x) biết đồ thị qua điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).Vẽ đồ thị lập bảng biến thiên hàm số y g x ( ) f x( )

(33)

Hàm số bậc có dạng y ax b a  , 0

Đồ thị hàm số qua điểm A , B

4 2

2 4

b a

a b b

 

 

   

  

 

Vẽ đồ thị hàm g x( ) 2x4 , ta vẽ đồ thị hai hàm số

 

  

  

 

2 x neáu

4

x x y

hệ trục tọa độ, bỏ phần phía trục Ox

Vẽ đồ thị hàm g x( ) 2x4 Bảng biến thiên

BÀI TẬP §2-C2

2.1 Vẽ đồ thị hàm số sau

a) y= 2x+1 b) y= c) y= 

2

3x

e) y= x −23 f) y= 5− x3

2.2 Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y=|x|+2x b) y= |3x2|

c)

2

1

với x>2 với x

x y 



 d)

2 1

1

với x với x<1

x y

x

 

  

  

e) g) y= |x|2

2.3 Xác định a, b để đồ thị hàm số y= ax+b, biết: a) Đi qua M(1;3) N(1;2);

b) Đi qua M(2;3) song song y=3x2 ;

c) Đi qua A(

2

3;2) B(0;1);

d) Đi qua C(1;2) D(99;2); e) Đi qua P(4;2) Q(1;1)

2.4 Viết phương trình đường thẳng ứng với hình sau:

a) b)

0

-2 x

y

0 x

2

(34)

2.5 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y= |2x3| b) y= | −34 x+1| c) y= |2x|2x 2.6 Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng sau:

a) y = 3x -2 x =

5

b) y =-3x+2 y = 4(x-3)

2.7 Tìm a để ba đường thẳng sau đồng qui: y = 2x; y = -x-3 ; y = ax+5 ;

2.8 xác định a b cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết a) qua hai diểm (-1;-20) (3;8)

b) qua (4;-3) song song với đường thẳng y=

2x



+1 2.9 vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = f(x) =  

 

0 x neáu

0 x neáu 2x,

, x

- b) y = f(x) = 



  

0 x neáu 2x,

(35)

1

+

2

-

y= -x2+4x-3

x

-

1

2

y

x O

y= -x2+4x-3

A

§3 HÀM SỐ BẬC HAI

1 Hàm số bậc hai hàm số cho công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c

 R a ≠

+ Tập xác định D=

+ Đỉnh I (

b a 

; 4a  

) với  = b24ac + Trục đối xứng đường x =

b a  Sự biến thiên

a > 0 a < 0

 Hàm số nghịch biến khoảng ( -;

b a 

) đồng biến khoảng (

2

b a 

; +)

 Bảng biến thiên x

-  b

a 

+

y +

+

4a  

 Hàm số nghịch biến khoảng (-;

b a 

) đồng biến khoảng (

2

b a 

; +)

 Bảng biến thiên x

-  b

a 

+ y

4a  

- -

3 Cách vẽ đồ thị

-Xác định đỉnh : I   



 

 

a 2a

b

4 ;

;  b2  4ac(khơng có ')

( Sau tính xI =

b a 

 yI =

2 I I

ax bx c Khi I(x

I ; yI )

-Vẽ trục đối xứng

b x

a 

- Xác định điểm đặc biệt (thường giao điểm parabol với trục tọa độ các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng)

- Căn vào tính đối xứng , bề lõm hình dáng parabol để nối điểm lại (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng parapol)

Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số : y = -x2+4x-3

Tập xác định : R Đỉnh :I(2;1)

Trục đối xứng :x = Bảng biến thiên : Điểm đặc biệt :

x =  y = -3

(36)

Ví dụ 2: dựa vào ví vẽ đồ thị hàm số y = |-x2+4x-3|

Cách vẽ : vẽ y= -x2+4x-3 sau lấy đối xứng phần âm qua trục Ox

2

-2

5

Ví dụ 3: Xác định hàm số bậc hai y 2x2 bx c biết đồ thị 1) Có trục đối xứng x=1 cắt trục tung điểm có tung độ 2) Có đỉnh (-1;-2)

3) Có hoành độ đỉnh qua điểm (1;-2) Giải

1) Trục đối xứng 1 2 4 4

b b

x b

a

 

    

Cắt trục tung (0;4)  4y(0)c

2) Đỉnh

2

1 4

2 4

4 16 8

2 0

4 8

b b

x b

a

b ac c

y c

a

 



    

  

 

     

 

3) Hoành độ đỉnh 2 4 2 8

b b

x b

a

 

    

Đồ thị qua điểm (1;-2)  2y(1)6 c c4 Tìm tọa độ giao điểm

Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm (C1) (C2) ngiệm

của hệ phương trình    

 

) (

x g y

x f y

Phương trình f(x) = g(x) (*) gọi phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (C2) Ta có:

+ Nếu (*) vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có giao điểm + Nếu (*) có n nghiệm (C1) (C2) có n giao điểm.

(37)

BÀI TẬP §3-C2

3.1 Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau

a) y= x2 + 2x2 b) y= 2x2 + 6x+3 c) y = x22x d) y = x2+2x+3 e) y = x2+2x2 f) y = 2

1

x2+2x-2 3.2 Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó:

a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung điểm (0;4); Đáp số: b= 4, c=

4

b) Có đỉnh I(1;2); Đáp số: b= 4, c= 0

c) Đi qua hai điểm A(0;1) B(4;0); Đáp số: b= 31/4, c=1 d) Có hồnh độ đỉnh qua điểm M(1;2) Đáp số: b= 8, c= 4 3.3 Xác định parapol y=ax2

4x+c, biết nó:

a) Đi qua hai điểm A(1;2) B(2;3); Đáp số: a= 3, c= 1 b) Có đỉnh I(2;1); Đáp số: a= 1, c= 5 c) Có hồnh độ đỉnh 3 qua điểm P(2;1); Đáp số: a= 2/3, c= 13/3 d) Có trục đối xứng đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành điểm M(3;0) ĐS a=1 3.4 Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết parapol đó:

a) qua hai điểm M(1;5) N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1 b) qua điểm A(3;-4) có trục đối xứng x=

3



Đáp số: a=

4

9, b=

2

c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4

d) qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ 4

1

Đáp số: a=16, b=12 a=1, b=3

3.5 Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó:

a) Đi qua ba điểm A(0;1), B(1;1), C(1;1); Đáp số: a=1, b=1, c= 1 b) Đi qua điểm D(3;0) có đỉnh I(1;4) Đáp số: a=1, b=2, c=3 c) Đi qua A(8;0) có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=3, b=36, c=96 d) Đạt cực tiểu x=2 qua A(0;6) Đáp số: a=1/2, b=2, c=6 3.6 Viết phương trình y=ax2+bx+c ứng với hình sau:

-2

-4

-5 -3 O

2

-2 -5

-1 -1

-3 O

3.7 Tìm toạ độ giao điểm hàm số cho sau Trong trường hợp vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ:

a) y = x-1 y = x2-2x-1 b) y = -x+3 y = -x2-4x+1 c) y = 2x-5 y = x2-4x+4

3.8 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm số đạt cực tiểu x=2 đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;6)

3.9 Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết hàm số đạt cực đại x=2 đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;1)

a)

(38)

3.10 Vẽ đồ thị hàm số y=

2

3x  3x

3.11 Vẽ đồ thị hàm số y=x2

(39)

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG 1.Tìm tập xác định hàm số :

a/ y = 2 x  x

4

 b/ y = x

x x

1  

c/ y = x x x

x x

2

  



d/ y = x

3 x

x2

 

 

e/ y = x

x x

   

f/ y = xx

1 x

 

2 Xét biến thiên hàm số a/ y = x2 + 4x  (; 2)

b/ y = x

1 x

 

trên (1; +)

c/ y = x

1

 d/ y = 3 2x e/ y = x



3 Xét tính chẵn, lẻ hàm số : a/ y = x

2 x x

2

  

b/ y = x c/ y = 3x 3 x d/ y = x(x2 + 2|x|)

e/ y = x x

1 x x

  

  

f/ y =x

x x

2



4.Cho hàm số y = x

1



a/ Tìm tập xác định hàm số b/ CMR hàm số giảm tập xác định 5.Cho hàm số : y = x x2

a/ Khảo sát tính chẵn lẻ b/ Khảo sát tính đơn điệu c/ Vẽ đồ thị hàm số

6.Cho hàm số y = 5x  5 x

a/ Tìm tập xác định hàm số b/ Khảo sát tính chẵn lẻ

7.Cho Parabol (P) : y = ax2 + bx + c

a/ Xác định a, b, c biết (P) qua A(0; 2) có đỉnh S(1; 1) b/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) với a, b, c tìm

c/ Gọi (d) đường thẳng có phương trình : y = 2x + m Định m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm

8.Cho y = x(|x| 1)

a/ Xác định tính chẵn lẻ b/ Vẽ đồ thị hàm số

9.Cho hàm số y = x2  4xm

Định m để hàm số xác định toàn trục số

10.Cho (P) : y = x2 3x  (d) : y = 2x + m Định m để (P) (d) : Có điểm chung phân biệt, tiếp

(40)

(41)

(42)

Chương III

PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 Đại cương phương trình

I Khái niệm phương trình

1 Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) y = g(x) có tập xác định Df

Dg Đặt D = Df Dg , mệnh đề chứa biến x D có dạng : f(x) = g(x) gọi

là phương trình ẩn , x gọi ẩn số phương trình  D : tập xác định phương trình

 Nếu tồn x0 D cho f(x0) = g(x0) x0 gọi nghiệm phương trình

 Tập hợp x0 gọi tập nghiệm phương trình  Giải phương trình tìm tập nghiệm

 Nếu tập nghiệm tập rỗng, ta nói phương trình vơ nghiệm

Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = √x g(x)= √− x Khi : Df={x ≥0∨x∈R}

{ | }

g

D  x x R và √x = √− x được gọi phương trình theo ẩn số x.

2 Điều kiện phương trình là: điều kiện xác định phương trình Ví dụ: Tìm điều kiện phương trình

a)

3

2

x x

x

 

 b)

1

3

1 x

x    c) x2= x

3 Phương trình nhiều ẩn

Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z =

Đối với phương nhiều ẩn khái niệm tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả,… tương đương với phương trình ẩn.

4 Phương trình chứa tham số

Phương trình f(x) = g(x) có chứa chữ ngồi ẩn gọi phương trình chứa tham số

Ví dụ : (m+1)x + = chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a

Việc tìm tập nghiệm phương trình chứa tham số gọi giải biện luận phương trình đó.

II Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương 1 Phương trình tương đương

Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương tập nghiệm chúng nhau (có thể rỗng) Nếu tập xác định D gọi tương đương D

Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết : f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x).

Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 3x 152 =0 tương đương có nghiệm x= 52

Ví dụ 2: với x>0 hai phương trình x2=1 x=1 tương đương nhau.

Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi phương trình xác định D thành một phương trình tương đương gọi phép biến đổi tương đương D

(43)

* Các phép biến đổi tương đương phương trình:

Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D h(x) xác định D

thì phương trình:

f(x)=g(x)⇔f(x)+h(x)=g(x)+h(x)

f(x)=g(x)⇔f(x)h(x)=g(x)h(x)nếu h(x)≠0 với x∈D

Hệ : Nếu chuyển biểu thức từ vế phương trình sang vế đổi dấu ta phương trình tương đương với phương trình cho

* Chú ý: Nếu vế phương trình ln dấu bình phương hai vế nó, ta được phương trình tương đương.

Ví dụ 1:

3 Phương trình hệ quả

a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi phương trình hệ phương trình f(x)=g(x) nếu tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f(x)=g(x) Khi ta viết: f(x)=g(x)

f1(x)=g1(x)

b) Phép biến đổi cho phương trình hệ :

Khi bình phương hai vế phương trình ta đến phương trình hệ

* Chú ý: Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi ta phải thử lại nghiệm để loại bỏ nghiệm ngoại lai

Ví dụ 1: Giải phương trình

2

x x x

  

 

   (1)

Điều kiện pt(1) x≠2 x≠2 (1)  (x+2)2+(x2)2= 3x+7

Hoặc:Với điều kiện x≠2 x≠2 (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2:

a) |x2|=x+1  (x2)2=(x+1)2 b) x1=x  x1= x2.

Ví dụ 3: Giải phương trình x 2 x (3) Giải

Điều kiện x≥ Bình phương hai vế phương trình (3)  x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phương trình (3') có nghiệm x=1 x=4

Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 khơng phải nghiệm (3) x=4 nghiệm Vậy pt(3) có ngiệm x=4

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Tìm điều kiện phương trình

a)

2

3

x

x    b)

4

x

x x



 



c)

1

2x

x  

d)

2

3

2

x

x x

x 

  



e)

2

1

x

x  x f)

2

1

x

x x



 



Đáp số

a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Khơng có giá trị x thỏa c) x≥1/2 x≠0 d)  x  Re) x>1

(44)

a)

3

x

x x



 

  b) x 4 x 3 4 x

3) Giải phương trình sau

a) x   1 x x1 b) x 5 x 2 x

c)

2

3

x x

 



  d)

2

1

x

x  x

ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2

4) Giải phương trình sau

a) x  1 x x 1 b) x 3 x  x 3

c) x2  2 x  3 x d) x2  x 4   x1

e)

3

1

x

x x

 

  f)

2 3 4

4

x x

 

 



g)

3

x x

 

 

 h)

2

4

2

1

x x



  

 

Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2

e) VNo f) x=0 x=2 g) x=4/3 h) x=2 5) Cho phương trình (x+1)2 =0 (1) ax2

(2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tương đương (2)

HD

Giả sử (1)(2) x= 1 (1) nghiệm Thế x=1 (2) ta tìm a=1/4

Khi a=1/4 vào (2)  (x+1)2=0

Vậy (1)  (2)

6) Tìm m để cặp pt sau tương đương a) x+2=0 3

mx m

x   

b) x2

9=0 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 (m+3)xm+4

d) x+2=0 m(x2+3x+2)+ m2x+2=0

Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1 BÀI TẬP (Đại cương phương trình)

1/ Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nĩ

) )3 2

3

) )

3

a x x b x x x

x

c x x d x x x

x

      



      



2/ Giải phương trình sau

) ) 0,5

3

) )

2 5 5

a x x x b x x x

x x

c d

x x x x

         

 

   

3/ Giải phương trình sau

1 1 )

    

x x x

x a

2 2 )

    

x x x

x b

0 ) (

) x2 x x 

(45)

4/ Giải phương trình sau cch bình phương hai vế | | ) | | ) ) )             x x d x x c x x b x x a

5/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau cách xét điều kiện a) 4 x - = x - x b) 3 x2 = 2 x + 2 6/ Giải phương trình sau :

a/ x1 = 1 x b/ x + x 3 = + x

c/ x 4 + = 4 x d/ x + x = x  2 e/ x

2 x

 

= x

1

 f/ x

3

 = x

2 x

 

g/ x

1 x

 

= x

2



7/ Giải phương trình sau : a/ x + x

1

 = x

1 x

 

b/ x 1(x2 x  6) = 0

c/ x

2 x x2   

= d/ + x

1

 = x

x

 

e/ x

9

x2

 

= x

3 x

 

8/ Giải phương trình :

a/ |x  1| = x + b/ |x + 2| = x  c/ |x  3| = x +

d/ |x  3| = 3x  e/ x

x

1

= x

x

1

f/ x

x

 = x

x



g/ x

1

x

= x

1

x

h/ x

2 x

 

= x

x

 

Bài 1: Giải phương trình sau a) x =  x

b) x = 3 x +1 c) x+ x = 2+ x-2 d) x+ x = 1+ x

e)

3

1  

 x

x x

f)

1

1  

 x

x x

Bài 2: giải phương trình sau

a) 1 1      x x x x b) 2      x x x x

c) x 3(x2-3x+2) =

d) x1(x2-x-2) =

e) 2

1

2    

 x x

x x

f) 1

3        x x x x x Bài 3: Giải phương trình sau

(46)

c) 2x 1x2 d) x 2x

e) x 3 2 x f) x1 x Bài 4: Giải phương trình sau

a)   x1 x x

x

b)

2

    

x x x

x

c) x

x x

x

 



2

d)

1

    

x x x

x

(47)

§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

I Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai 1 Phương trình bậc

Giải biện luận phương trình dạng ax+b =

 a ≠ 0: Phương trình có nghiệm x=  b a  a = b ≠ 0: Phương trình vơ nghiệm

 a = b=0: Phương trình nghiệm với x (vô số nghiệm)

* Chú ý:

+ Trước giải biện luận phương trình bậc ta phải đưa phương trình dạng ax+b =

+ biện luận a=0 thay giá trị m vừa tìm vào b

+ Khi a0 phương trình ax+b = gọi phương trình bậc nhất ẩn

Ví dụ Giải biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - (1) Giải

Phương trình (1)  (m - 1)x = m2 + m – (1a) Ta xét trường hợp sau :

+ Khi (m-1) ≠  m ≠ nên phương trình (1a) có nghiệm

x =

2 2

1

m m

m

 

 = m – ;nên pt(1) có nghiệm nhất

+) Khi (m – 1) =  m = phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm

đúng với x  R; nên pt(1) với x  R

Kết luận : m ≠ : nghiệm x= m-2 (Tập nghiệm S = {m - 2})

m = :  x R (Tập nghiệm S = R)

Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải

Ta có (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận:

+ m-20 m2 (2a) có nghiệm

1

  

m m x

+ m-2= 0 m = (2a) trở thành 0x=3; pt vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm

Kết luận:

m2 (2) có nghiệm

1

  

m m x m=2 (2) vơ nghiệm

Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3) Giải

Ta có: (3) m2x-x = 2m-2

 (m2-1)x = 2(m-1) (3a) Biện luận:

+ Nếu m2-10

 m1 (3a) có nghiệm

1

) (

2

    

m m

m x

(48)

- với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) với xR (phương trình có vơ số nghiệm), nên (3) có vơ số nghiệm

- với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vơ nghiệm, nên (3) vơ nghiệm Kết luận:

+ m≠1 m≠ -1 (3) có nghiệm

 

m x + m =1 (3) có vơ số nghiệm

+ m= -1 (3) vơ nghiệm

Ví dụ 4: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m :

(*) 1

3

 

  x

m mx

Giải

Với x-1 (*)  mx-m-3 = x+1  (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x-1

+ Nếu m 1 (**) có nghiệm

3

1

         

 m

m m m

m x + Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận :

m1 m

3



(*) có nghiệm x=

  m m

     

2

m

(*) vơ nghiệm

Ví dụ 5:giải biện luận phương trình theo tham số m:

3   

 x m

mx (1)

Giải

Ta có (1)  

 



   

(3) m 3x mx

(2)

1 x m

mx

+ giải biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3

m3 (2) có nghịêm x=1

m=3 (2)0x = =>(2) có vơ số nghiệm + giải biện luận (3)

(3)(m-3)x=-m+3

m-3 (3) có nghiệm x=

1

  

m m

m = -3 (3) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận:

- với m3 m-3 : (1) có hai nghiệm x1=1 x2 =

1

  

m m

- với m=3: (1) có vơ số nghiệm

- với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) ) 2 Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai)

Giải biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0

a= :Trở giải biện luận phương trình bx + c =  a ≠ Lập = b2 4ac (hoặc ’=b’2-ac)

(49)

x = b

a

  

v x = b

a   

Nếu  = : phương trình có nghiệm kép : x = 2

b a  Nếu  < : phương trình vơ nghiệm

Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 =

Giải

Phương trình cho có dạng phương trình học Biện luận:

Nếu m = ( thay m = vào phương trình ta -2x+1= => x=12 Nếu m0 , tính ' = m+1, :

+ '<  m < -1  pt vô nghiệm

+ '=  m = -1  pt trình có nghiệm kép x1=x2 =

+ ' >  m > -1  pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = m m m1 1

* Kết luận:

Ví dụ 2: Định m để phương trình

mx2-2(m-2)x+m-3 = có nghiệm

3 Định lí Viét

Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = (a0) có hai nghiệm x

1, x2 tổng (S) tích (P) hai nghiệm là:

S = x1+x2 = a b 

P = x1.x1 = a c

Ngược lại, hai số u, vcó S=u+v; P=u.v u, v nghiệm phương trình x2 -Sx+P = 0

Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải

Hai số cần tìm nghiệm phương trình bậc hai x2-19x+84 = ,pt có hai nghiệm

 

 

12

2 x x

hoặc 

 

12

2 x x

hai số cần tìm 12

* Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm S24P Đây điều kiện để tồn hai số có tổng S, tích P

* Ứng dụng

x1+x2¿2−2x1x2=S2−2P

x12+x22=¿

x1

1

+

x2

=S

P

x1+x2¿3−3x1x2(x1+x2)=S3−3 PS

x13+x23=¿

4

x x  

2

2 2 2 2

x x  x x

=(S2

2P)22P2 Ví dụ 1: Cho phương trình x2

4x+m1= Xác định m để phương trình có hai nghiệm x12x22=10

Điều kiện pt có nghiệm '≥0  5m≥0  m≤5  S22P = 10  m =4

(50)

Giải

Phương trình có nghiệm    ' m5 Theo giả thiết 23 40

3

1 x 

x S3-3PS=40  64-12(m-1)=40  m= (nhận)

* Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:

x1< < x2 P < (hai nghiệm trái dấu)

x1 x2 <  ¿

P>0

Δ≥0 S<0

¿{ {

¿

( hai âm)

< x1 x2 ¿

P>0

Δ≥0 S>0

¿{ {

¿

(hai dương)

Ví dụ: cho phương trình x2+5x+3m-1 = (1)

a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Giải

a) pt(1) coù hai nghệm trái dấu

 P <  ca<0⇔3m−1<0  m <

b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt 

¿

P>0

Δ>0

S<0

¿{ {

¿



¿

3m−1>0 25−12m+4>0

−5<0

¿{ {

¿



¿

m>1 m<29

12

¿{

¿

 2912<m<1

3 29 12<m<

1

3 pt(1) có hai nghiệm âm phân biệt

II Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai 1 Phương trình trùng phương

Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải:

+ đặt t=x2, đk: t≥

+ Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện  x

Ví dụ: Giải phương trình x4

8x29 =

Đặt y = x2 , y Khi đó:

(*) y2-8y-9 =



y=-1 (loại)

¿

y=9

¿ ¿ ¿ ¿

với y =  x2 =

(51)

Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = Định m để :

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có nghiệm

(52)

2 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách giải: Sử dụng định nghĩa bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối.

Các dạng bản

Dạng 1: |f(x)| = c (với c  R)

Nếu c<0 phương trình vơ nghiệm

Nếu v≥0 |f(x)| = c 

( ) ( )

f x c

 

 



Ví dụ: a)3x 3 b)  x

Dạng : |f(x)|= |g(x)| Sử dụng phép biến đổi tương đương

Cách 1: |f(x)|= |g(x)|

( ) ( )

f x g x

 

 



Cách 2: |f(x)|= |g(x)| [f(x)]2 = [g(x)]2 (bình phương hai vế)

Ví dụ: Giải phương trình |2x+5|=|3x2|

Giải

Cách 1: |2x+5|=|3x2| 

7

2

3

2 (3 2)

5

x

x x

x x x

 

  

 



     



Vậy pt cho có hai nghiệm x=7 x= 3/5 Dạng : |f(x)|= g(x)

Cách : : dùng phép biến đổi tương đương

|f(x)|= g(x) 

2

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

g x g x

f x g x

f x g x f x g x

 



 

  

 



  

Cách 2: Dùng định nghĩa để bỏ giá trị tuyệt đối + Nếu f(x)≥0 phương trình trở thành f(x)=g(x) + Nếu f(x)<0 phương trình trở thành f(x)=g(x) Ví dụ 1: Giải phương trình |x3|= 2x+1

|x3|= 2x+1

2

1

4 (loai)

3

( 3) (2 1) 3 2 1

(nhan)

x

x x

x x x

   

 

    



      

    

 

 

Vậy nghiệm phương trình x=

2

Ví dụ 2: Giải pt x2-5 | x-1| -1 = (1) Giải

* Nếu x-1  x : (1)  x2-5x+5-1 = 0

 

 

(nhaän) x

(I) * Nếu x-1 < 0 x < thì:

(1) x2+5x-6 =  

 

(nhaän) -6 x

(loại) x

(II) S = (I) (II) = { -6;1;4 }

(53)

3 Phương trình chứa ẩn dấu (phương trình vơ tỉ) Cách giải:

- Bình phương hai vế + đặt điều kiện  để làm - Đặt ẩn phụ

Các dạng bản

Dạng 1: f x( ) g x( ), ta sử dụng phép biến đổi tương đương

( )

( ) ( )

f x

f x g x

 

  



 (có thể chọn điều kiện g(x)≥0) Ví dụ:

Dạng 2: f x( )g x( ), ta sử dụng phép biến đổi tương đương

( )

( ) ( )

g x

f x g x

 

  

 

Ví dụ: Giải phương trình 2x7 x  2x7 x

 



     

 

  

 

0 10 )

4 (

0

2

2 x x

x x

        

 -x

(loại)

1

x x

nghiệm phương trình x =

Dạng 3: f x( )c ( c  )

Nếu c<0 phương trình vơ nghiệm Nếu c≥0 f x( ) c f(x) = c2 Ví dụ: Giải phương trình 3x 3 Dạng 4: f x( ) g x( ) 0  f x( )g x( ) 0

* Chú ý: Biến đổi phương trình cho dạng (nếu được)

BÀI TẬP ÁP DỤNG §2 C3

1/ Giải phương trình a/ x4

 4x2 + = b/ x4 + 10x2 = c/ x4

 3x2 = d/ x4 x2 12 = e/ x4

 x2 + = f/ (1  x2)(1 + x2) + = 2/ Giải biện luận phương trình sau

a) (m+2)(x-2) + = m2

b) (x+2)(m+3) + = m2

c) (1-m3)x+1+ m + m2 = 0

d) (m+1)x + m2-2m + = (1-m2)x -x

e) x+(m-1)2 -2mx= (1-m)2 + mx

f) x +m2x+2 = m + 4

3/ Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = , định m để : a) Phương trình có nghiệm

b) Phương có nghiệm x = c) Phương trình vơ nghiệm

(54)

4/ Cho phương trình (-x+m)m + 2m +1 = (m+1)2 - m2x ,định m để : a) Phương trình có nghiệm

b) Phương trình có vơ số nghiệm c) Phương trình vơ nghiệm

5/ Cho phương trình mx+m2+1 = (x+2)m ,định m để : a) Phương trình vơ nghiệm

b) Phương trình có nghiệm c) Phương trình có vơ số nghiệm 6/ Tìm hai số có:

a) Tổng 19, tích 84 b) Tổng 5, tích -24 c) Tổng -10, tích 16

7/ Cho phương trình x2+(2m

3)x+m22m=0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm tích chúng 8? Tìm nghiệm trường hợp

Đáp số: a) m<9/4; b) m=2; 1,2

7

2

x  

8/ Cho phương trình mx2+(m2

3)x+m =

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1

13

x x 

Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=4; m=3/4 (câu b tìm m xong vào  kiểm tra lại) 9/ Cho phương trình x2+(2m-3)x+m2-2m = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phương trình vơ nghiệm

c) Xác định m để phương trình kép

d) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm tích chúng 8? Tìm nghiệm trường hợp

Đáp số: a) m< 94 b) m> 94 c) m= 49 d) m= -2; x1,2=7±√17 10/ Cho phương trình mx2+(m2-3)x+m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép tìm nghiệm kép b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

x1+x2=

14

Đáp số: a) m=1 m= -3 x= 1; m= -1 m=3 x= -1

11/ Cho pt: x2 – 2(m – 1)x + m2 -3m + = (x2 – 2(m – 1)x - 4m + = 0) a Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt

b Tìm m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép c Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: i) x1 + x2 = ii) x1 x2 = Tính nghiệm trường hợp 12/ Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 =

a CMR pt ln có hai nghiệm phân biệt với m b Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu

c Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt

13/ Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = ( m tham số) a Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt

(55)

c Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2 (ĐS: m = 1)

14/ a Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + = ( m tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: 22 10

2

1 x 

x (ĐS: m = -3)

b Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = ( m tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: x12x22 x x1 4 (ĐS: m = v m = ¼) c Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = ( m tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 x2 cho: x13x32 9 (ĐS: m = 4)

15/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm x1 x2 thỏa: x1 = 3x2 : a x2 - 2(m –2)x + 4m + = (ĐS: m = 10 v m = -2/3) b mx2 - 2(m + 3)x + m - = (ĐS: m = -1 v m = 27) 16/ Giải phương trình sau

a) |2x3|= x5 b) |2x+5| = |3x2| c) |4x+1| = x2 + 2x4 d) |x3|=|2x1| e) |3x+2|=x+1 f) |3x5|= 2x2+x3 g)*

| 1|

| 3|

2

x

x x



 

 h)*

| |

3

x

x x



  

Đáp số:a) Vô nghiệm b) x=7; x=3/5 c)) x 1 6;x 3 d) x=2; 4/3 e) x= 1/2;3/4 f) x= 1

g) x= 5; x=1; x=2 1 h) x 2 6; 3  17 17/ Giải phương trình sau

a)  3x - 4 = x + b) x + 3 = x2 – 4x +3 c)  5x + 1 = 2x - 3 d) x2 - 4x - 5 = 2x2 – 3x -5 e) x2 + 2

 x - = f) x2 -3 x - 2 + =

g)

16

2 

 

 x x

x

h)

1

2 

 

 x x

x

k) x x x

x

1

3 



 l) x x x x

x x

     

2

1 1

m)  x + 1 + x - 2 = 18/ Giải phương trình sau

a) 2x 4x 5 b) x2 7x10 3 x1 c) 2x 3 x d) 3x 4 x e) 1 x2  2x 3 2x f) 2x23x7  x g) 3x2  4x 4 2x5

Đáp số: a)

6

2

x 

b) x=1 c) Vô nghiệm

d) x=(9 29) / e) (1 7) / f) Vô nghiệm g) x= 1;

19/ Giải phương trình sau :

a/ |3x + 4| = |x  2| b/ |3x2 2| = |6  x2|

c/ |3x  1| = |2x + 3| d/ |x2 2x| = |2x2 x  2|

e/ |x2 2x| = |x2 5x + 6| f/ |x + 3| = 2x +

g/ |x  2| = 3x2 x  h/ |x2 5x + 4| = x +

i/ |2x2 3x  5| = 5x + j/ |x2 4x + 5| = 4x  17

(56)

c/ 3x = 2x  d/ 2x7 = x 

e/ x2 3x 1 = 2x  7 f/ 2 1 x2 = x  2

g/ 4 6x x2 = x + 4 h/ 2x8 = 3x + 4

i/ 1 4x  = 3x j/ x  2x 5 = 4 21/ Giải phương trình sau

a) 3x13x1 b 5x108 x

c) x 2x 54 d 2x24x 5x 2 e) 2x25x6x4 f) 3x2  4x 4 2x5 g) x3 x85 h) 3x12 5x6 2

k) x2 x 3 x2 x90 l) 2x2 8x12x2  4x 22/ Giải phương trình :

a/ x2 3x2 = x2 3x  b/ x2 6x + = 4 x2  6x6 c/ x27x1 = x2 + 7x + d/ x2 + x +  x2 x 1 = 4

e/ x2 + x2 x  = x + f/ 6x212x7 = x2 2x

g/ x2 + 11 = 7 x21

h/ x2 4x  = 2x2 8x12 i/ (x + 1)(x + 4) = x2 5x2 j/ x2 3x  13 = x2  3x7

23/ Giải biện luận phương trình sau

a) |4x-3m|=2x+m b) |3x-m| = |2x+m+1|

c) (m+3)x+2(3m+1)

x+1 =(2m−1)x+2 d) |3x+2m| = x-m

e) |2x+m| = |x-2m+2| f) mx2+(2m-1)x+m-2 = 0 g) √4x −2

2x −1 =m−1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ẨN

1/ Giải biện luận phương trình sau theo tham số m :

a/ 2mx + = m  x b/ (m  1)(x + 2) + = m2

c/ (m2 1)x = m3 + 1 d/ (m2 + m)x = m2 1

e/ m2x + 3mx + = m2 2x f/ m2(x + 1) = x + m

g/ (2m2 + 3)x  4m = x + 1 h/ m2(1  x) = x + 3m

i/ m2(x  1) + 3mx = (m2 + 3)x  1

j/ (m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2

2/ Giải biện luận phương trình sau theo tham số a, b : a/ (a  2)(x  1) = a2 b/ a(x + 2) = a(a + x + 1)

c/ ax + b3 = bx + a3d/ a(ax + 2b2)  a2 = b2(x + a)

7. Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : a/ x

1 m mx

  

= b/ (m  2)  x

) m (

 

= c/ x

2

 = m d/ x

m

 = x

m

(57)

e/ x

m x

 

+ x m

1 x

 

= f/ x

m x

 

+ x

3

x

= g/ x

m x

 

= x

2 x

 

h/ x m

2 m mx

  

= i/ x

m x

 

= x

3 x

 

j/ x

m x

 

+ x

3

x

=

3/ Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : a/ |x + m| = |x  m + 2| b/ |x  m| = |x + 1|

c/ |mx + 1| = |x  1| d/ |1  mx| = |x + m|

4/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm a/ m(2x  1) + + x =

b/ m2x  2m2x = m5 + 3m4 + 8mx

c/ x m

2 x

 

= x

1 x

 

5/ Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm a/ m2(x  1) + 2mx = 3(m + x)  4

b/ (m2 m)x = 12(x + 2) + m2 10

c/ (m + 1)2x +  m = (7m  5)x

d/ x

m x

 

+ x

2

x

=

6/ Tìm m để phương trình sau có tập hợp nghiệm R a/ m2(x  1)  4mx = 5m + 4

b/ 3m2(x  1)  2mx = 5x  11m + 10

c/ m2x = 9x + m2 4m + 3

d/ m3x = mx + m2 m

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Giải biện luận phương trình bậc :

a/ x2 (2m + 1)x + m = 0

b/ mx2 2(m + 3)x + m + = 0

c/ (m  1)x2 + (2  m)x  =

d/ (m  2)x2 2mx + m + =

e/ (m  3)x2 2mx + m  =

f/ (m  2)x2  2(m + 1)x + m  =

g/ (4m  1)x2 4mx + m  =

h/ (m2 1)x2 2(m  2)x + = 0

2. Định m để phương trình có nghiệm phân biệt a/ x2 2mx + m2 2m + = 0

b/ x2 2(m  3)x + m + = 0

c/ mx2 (2m + 1)x + m  = 0

d/ (m  3)x2 + 2(3  m)x + m + =

e/ (m + 1)x2 2mx + m  = 0

f/ (m + 1)x2 2(m  1)x + m  = 0

g/ (m  2)x2 2mx + m + =

h/ (3  m)x2 2mx +  m =

3. Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép a/ x2 (2m + 3)x + m2 = 0

b/ (m  1)x2 2mx + m  =

c/ (2  m)x2 2(m + 1)x +  m =

d/ mx2 2(m  1)x + m + = 0

e/ x2 2(m + 1)x + m + = 0

f/ (m  1)x2 3(m  1)x + 2m =

(58)

a/ x2 (m + 2)x + m + = 0

b/ x2 + 2(m + 1)x + m2 4m + = 0

c/ (2  m)x2 + (m  2)x + m + =

d/ (m + 1)x2 2(m  3)x + m + = 0

5. Định m để phương trình có nghiệm a/ x2 (m  1)x + = 0

b/ x2 2(m  1)x + m2 3m + = 0

c/ (3  m)x2 + 2(m + 1)x +  m =

d/ (m + 2)x2 (4 + m)x + 6m + = 0

B ĐỊNH LÝ VIÉT

1. Định m để phương trình có nghiệm cho trước Tính nghiệm cịn lại a/ 2x2 (m + 3)x + m  = 0 ; x

1 =

b/ mx2 (m + 2)x + m  = 0 ; x =

c/ (m + 3)x2 + 2(3m + 1)x + m + = 0 ; x =

d/ (4  m)x2 + mx +  m = ; x1 =

e/ (2m  1)x2 4x + 4m  = ; x1 = 1

f/ (m  4)x2 + x + m2 4m + = ; x1 = 1

g/ (m + 1)x2 2(m  1)x + m  = 0 ; x =

h/ x2 2(m  1)x + m2 3m = 0 ; x =

2. Định m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện : a/ x2 + (m  1)x + m + = 0 đk : x

12 + x22 = 10

b/ (m + 1)x2 2(m  1)x + m  = 0 đk : x

12 + x22 =

c/ (m + 1)x2 2(m  1)x + m  = 0 đk : 4(x

1 + x2) = 7x1x2

d/ x2 2(m  1)x + m2 3m + = 0 đk : x

12 + x22 = 20

e/ x2 (m  2)x + m(m  3) = 0 đk : x

1 + 2x2 =

f/ x2 (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 đk : x = 2x2

g/ 2x2 (m + 3)x + m  = 0 đk : x1

1

+ x2

1

= h/ x2 4x + m + = 0 đk : x

1 x2 =

3. Tìm hệ thức độc lập m : a/ mx2 (2m  1)x + m + = 0

b/ (m + 2)x2 2(4m  1)x  2m + = 0

c/ (m + 2)x2 (2m + 1)x +

m

= d/ 3(m  1)x2 4mx  2m + =

e/ mx2 + (m + 4)x + m  = 0

f/ (m  1)x2 + 2(m + 2)x + m  =

C DẤU CÁC NGHIỆM SỐ

1. Định m để phương trình có nghiệm trái dấu a/ x2 + 5x + 3m  = 0

b/ mx2 2(m  2)x + m  = 0

c/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = 0

d/ (m + 2)x2 2(m  1)x + m  = 0

e/ (m + 1)x2 2(m  1)x + m  = 0

2. Định m để phương trình có nghiệm phân biệt âm a/ x2 2(m + 1)x + m + = 0

b/ x2 + 5x + 3m  = 0

c/ mx2 + 2(m + 3)x + m = 0

d/ (m  2)x2 2(m + 1)x + m =

e/ x2 + 2x + m + = 0

3. Định m để phương trình có nghiệm phân biệt dương a/ mx2 2(m  2)x + m  = 0 b/ x2 6x + m  = 0

c/ x2 2x + m  = 0 d/ 3x2 10x  3m + = 0

(59)

4. Định m để phương trình có nghiệm phân biệt dấu a/ (m  1)x2 + 2(m + 1)x + m =

b/ (m  1)x2 + 2(m + 2)x + m  =

c/ mx2 + 2(m + 3)x + m =

d/ (m + 1)x2 2mx + m  = 0

e/ (m + 1)x2 + 2(m + 4)x + m + = 0

Bài toán lập phương trình:

Tìm tuổi học sinh, biết sau năm nửa tuổi em bình phương sồ tuổi em cách năm (ĐS: tuổi)

Tuổi anh gấp đôi tuổi em, biết sau 48 năm tuổi anh bình phương số tuổi em Hỏi tuổi em nay? (ĐS: tuổi)

Tìm độ dài ba cạnh tam giác vuông biết cạnh dài cạnh thứ hai 2m cạnh thứ hai cạnh ngắn 23m (ĐS: 12m ; 35m ; 37m)

Chu vi hình thoi 34cm , hiệu hai đường chéo 7cm Tính độ dài hai đường chéo? (ĐS: 8cm ; 15cm)

Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Nếu tăng chiều rộng thêm 3m chiều dài tăng 4m diện tích miếng đất tăng gấp đơi Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu? (ĐS: 6m ; 12m)

Một miếng đất hình vng Nếu tăng cạnh thêm 30m miếng đất hình chữ nhật có diện tích gấp lần diện tích lúc đầu Hỏi cạnh miếng đất lúc đầu? (ĐS: 15m)

Tìm độ dài ba cạnh tam giác vng có chu vi 30m, biết hai cạnh góc vng 7m? (ĐS: 5m ; 12m ; 13m)

(60)

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

1/ Phương trình bậc hai ẩn Dạng : axby c

+ Trong x, y gọi ẩn số ; a, b, c R a b hệ số a2+b20; c gọi số phương trình

+ Nếu tồn cặp số thực x0, y0 cho ax0 + by0 = c (x0, y0) gọi nghiệm phương trình

*Giải biện luận phương trình axby c a,b khơng đồng thời khơng nên có trường hợp:

a) a0 b 0 :

Ta có : b

ax c y  

(x  R) a

by c x  

(y  R)

Vậy nghiệm phương trình :    

 

 b

ax c y

R x

   

  

R

y a

by c x

b) a = b 0 : phương trình có dạng 0.xbyc

 

b c y

R x

c) a 0 b = : phương trình có dạng : ax0.yc

 

R

y a

c x

Vậy phương trình ax+by=c có vơ số nghiệm

* Chú ý:

Nếu a = b = phương trình có dạng 0x+0y = c, đó: + c0 phương trình vơ nghiệm.

+ c = phương trình có vơ số nghiệm

2 Hệ phương trình bậc hai ẩn (CB không giải biện luận)

Định nghĩa: Hệ phương trình bậc hai ẩn số có dạng :

 

    

 

(6) (5)

c y b x a

c by ax

Trong : x , y gọi ẩn số a b ; a/ b/ khôngđồng thời

Nếu tồn cặp số thực (x0 , y0) nghiệm đồng thời hai phương trình hệ (x0 , y0)

gọi nghiệm hệ phương trình

Giải phương trình tìm tập nghiệm phương trình

Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ tương tự phương trình

* Giải biện luận hệ phương trình bậc hai ẩn số :

Cho hệ phương trình :  

    

 

c y b x a

c by ax

với a b ; a/ b/ không đồng thời 0

Lập biểu thức : D = a b

b a

 

= ab/ - a/b D

x = c b

b c

 

= cb/ - c/b D

y = a c

c a

 

= ac/ - a/c

Nếu D 0 : Hệ phương trình có nghiệm (x , y) với :

D

D x x

và D

D y y

Nếu D = :

+ Nếu Dx 0 Dy 0 hệ phương trình vơ nghiệm

+ Nếu Dx = Dy = tập nghiệm hệ phương trình nghiệm phương trình bậc ax + by = c

* Chú ý : Các biểu thức để tìm D ; Dx ; Dy gọi cơng thức Cramer

* Chú ý : Trường hợp = a/ = b = b/ =

Hệ phương trình có dạng :  

  

 

c y x

0

(61)

+ Nếu c = c/ = hệ phương trình có nghiệm với x , y tùy ý

+ Nếu c 0 c/ 0 hệ phương trình vơ nghiệm

* Chú ý 1:

(5) cắt (6) D≠0

(5) //(6)  D=0 Dx≠0 (hoặc Dy≠0) (5) trùng (6)  D=Dx =Dy=0

* Chú ý 2: Nếu a=b=0 a'=b'=0 ta có hệ phương trình đặc biệt :                      '

0x y c

c 0y 0x V c' 0y 0x c by ax V c' y b' x a' c 0y 0x Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

     13 y x y x Giải Ta có 29 ) 21 (       D 58 13   Dx 87 13    Dy

hệ có nghiệm nhất:                29 87 29 58 D Dy y D Dx x

Ví dụ 2: giải biện luận hệ phương trình sau:        my x m y mx Giải

Ta tính: D, Dx, D

) )( ( m 1 m 2     

 m m m

D ) )( ( m m 2       

 m m m m

Dx 1 m m     m Dy Biện luận:

+ Nếu D0  m-1 m1 Hệ có nghiệm với:

                     1 ) )( ( 1 ) )( ( ) )( ( m m m m y m m m m m m x + Nếu D=  m=-1 m=1

với m=-1 => Dx=-20 => hệ vô nghiệm

với m=1 => Dx=Dy = => hệ có vơ số nghiệm với

x y x       

hoặc y x y       

Kết luận: + Với m 1 hệ có nghiệm

(62)

+ Với m=1 hệ có vơ số nghiệm, tính theo cơng thức x

y x

  

  

(63)

3 Hệ phương trình bậc ẩn

* Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax+by+cz=d, x, y, z ẩn; a, b, c, d hệ số a, b, c khơng đồng thời

* Hệ phương trình bậc ẩn

1 1 2 2 3 3

a x+b y+c =d a x+b y+c =d a x+b y+c =d

    

Mỗi (x0;y0;z0) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ

Ví dụ: Giải hệ phương trình

a)

2

3

4 15

x y z

x y z

            

 Đáp án: x=2; y=3; z=1

b)

2

4 3

6 4

x y z

x y z

            

 Đáp án: x=1; y=2; z=2

BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1/ Giải hệ phương trình sau:

a       18 19 y x y x b           22 3 y x y x

c           13 ) ( ) ( 11 ) ( ) ( 2 2 y y x x y y x x

d               2 1 y x y x

e          14 y x y x f.           11 2 2 y x y x

g             12 5 y x y x

h/ {

8x2+3y2=7

2x2+y2=3

ĐS: a (3;-2) b (-6;12) c (1; 1),(-3; 1) d       ;

e (1; 1),(-3; 1) f VN g (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0) 2/ Giải hệ phương trình sau:

a              22 17 z y x z y x z y x

b              z y x z y x z y x

c               3 3 z y x z y x z y x

d              3 2 z y x z y x z y x

(64)

4/ Giải biện luận hệ phương trình sau :

a/        m y mx m my x

b/          m my x ) m ( m my x ) m (

c/         m y mx 2 my x ) m (

d/ 







my)1m(x3

2y)1m(x)1m(

e/        m y x m y mx

f/        m y mx m y mx

g/          m y ) m ( mx m y x ) m (

h/         m my x m y mx

i/         my x y mx

j/        m my mx my x

5/ Giải biện luận hệ phương trình

a/         b ay bx a by ax

b/        ab ay bx b a by

ax 2

c/        2 b y bx a y ax

d/         b y b bx b a by ax 2

7/ Định m để hệ phương trình có nghiệm

a/        my x m y mx

b/            m my mx m y ) m ( mx

c/          m y ) m ( mx m y x ) m (

d/         my x ) m ( y ) m ( mx

8/ Định m để hệ phương trình vơ nghiệm

a/          y ) y x ( m y ) m ( x m 2

b/           m y ) m ( x ) m ( m my x ) m (

c/        y x ) m ( m y mx

d/        my x ) m ( my x

9/ Định m để hệ phương trình có vơ số nghiệm

a/       my x m y mx

b/           m y x ) m ( m my x

c/       y mx my x

d/          m my x ) m ( m my x

10/ Định m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên

a/          m m y x m m y x ) m ( 2

(65)

c/          m y x ) m ( m y mx 2

d/       m y mx y x

11/ Định m để hệ

2

(2 3

x y m

x y m

  

 

  

 có nghiệm (x, y) thoả x2 +y2 nhỏ nhất

Bài tốn lập hệ phương trình:

Tìm hai số biết tổng chúng 188 lấy số lớn chia cho số nhỏ ta thương số dư

Số công nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với Nếu số cơng nhân xí nghiệp I tăng 80 người số cơng nhân xí nghiệp II tăng 40 người số cơng nhân hai xí nghiệp tỉ lệ với Hỏi số công nhân lúc đầu xí nghiệp?

Tìm số gồm hai chữ số biết: đem số chia cho tổng số hai chữ số ta thương 6; đem cộng tích hai chữ số với 25 ta số đảo lại

Hai công nhân phải làm số dụng cụ thời gian Người I làm tăng dụng cụ nên cơng việc hồn thành trước Người II làm tăng dụng cụ nên công việc hồn thành trước cịn làm thêm dụng cụ Tính số dụng cụ cơng nhân phải làm thời gian phải hồn thành cơng việc?

Bài : Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m Khi hệ có nghiệm (x;y),

tìm hệ thức x y độc lập với m.

a)           2 my x y mx

DD := m21;Dx := m2;Dy := 2m1

b) 

        m my x y m

mx ( 2)

DD := m2 m 2;Dx := m2;Dy := m22

c) 

        2 4 m y mx my x

DD := 16m2;Dx := 16 2m23m ;Dy := 4m12

d)             ) ( 2 ) ( m y m mx my x m :=

DD 3m22m1

;Dx := 2 m2 ;Dy := m22m1

{x2 (m1), }



3m y

 m



3m

e)          my x y mx :=

DD m24

;Dx := 3m6;Dy := 6m12;

{y6 , }



m x



m

f)              ) ( 4 m y x m m my x :=

DD 2m26m

;Dx := 2m 4 2m2

Dy := 10m 28 2m2;

{xm1, }



m y

 m  m  

(66)

h)            y my m x y

mx

:=

DD m2 m

;Dx := m1;Dy := m21;

{x , }



m y



m



m

i)           ) ( 2 ) (

2x m y

m

y m mx

:=

DD 7m23m2m3

;Dx := 3m;Dy := 3m4m

2

{y  3 4m , }

7m3 2m2 x

3

7m3 2m2 j) 

           ) ( 4 ) ( y m y x y x y x m :=

DD 7m2m222

;Dx := 26 9 m2m2;Dy := m2 4m 12;

{x2m13, }



2m 11 y



m



2m 11

k)             ) ( 2 ) ( m y m mx my x m :=

DD 3m22m1

;Dx := 2 m2;Dy := m22m1

{x2 (m1), }



3m y



m



3m

l)            ) ( ) ( y m x m y x m :=

DD m2

;Dx := 3mm2;Dy := 3m

{x m3, }

m y

3

m

m)            ) ( ) ( ) ( m y m mx my x m :=

DD 5m2 3m

;Dx := m4 3m2;Dy := 6m3m23

{x 3m4, }



5m y

3 (m1)



5m

n)          m my x y m mx 2 ) ( :=

DD m24m4

;Dx := 4m2m2;Dy := m24

{ym2, }



m x 2m



m

o)            ) ( ) ( m my x m y m mx :=

DD 2m1

;Dx := (2m3 () m1);Dy := m (2m3) p)

2 (2 ) 4

(2 1)

m x m y m

mx m y m

    

 

   



 DD := 2m32m;Dx := 3m3m2;Dy := m33m24m

{ym4 , } (m1) x

3 (m1)

q)           2 ) ( ) ( 2 y y x m y m x m :=

DD 2m37m23m

;Dx := 3m ;Dy := 4m 

2 3m

{y 4m3 , }

 

2m2 7m 3 x

3

 

(67)

r)    

  

 



2 )

1 (

3 ) (

my x m

y m mx

:=

DD 5m23m2

;Dx := m4;Dy := 9m3 Bài : Cho hệ phương trình 

  

  

1 )

(

2 ) (

y y x m

y m x m

:=

DD m32m

;Dx := m;Dy := m 

2 2m

a) Định m để hệ phương trình có ngiệm b) Định m để hệ phương trình có vơ số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vơ nghiệm

HD: + Hệ có nghiệm  D0

+ Hệ vô nghiệm  D=0 Dx0 (hoặc Dy0)

+ Hệ vô số nghiệm  D=Dx=Dy =0

Bài : Cho hệ phương trình 

  

    

    

y m y m mx

m y

m mx

) (

2 ) (

:=

DD

;Dx := m  

2 3m 2

;Dy := m 

2 2m a) Định m để hệ phương trình có nghiệm

b) Định m để hệ phương trình có vơ số nghiệm c) Định m để hệ phương trình vơ nghiệm

Bài : Cho hệ phương trình 

  

   

  

2

8 ) (

my x

y m x

:=

DD m2

;Dx := 6m2;Dy := 10

(68)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN (Nâng cao) 1/ Dạng 

 hai pt bậc : (2) pt bậc : (1)

*Cách giải : từ phương trình bậc ta rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình bậc hai

Ví dụ: Giải hệ       (2) (1) 2 y x y x Giải

Từ pt(2) => x = 4-2y vào pt(1) ta (4-2y)2+4y2 = 8 16-16y+4y2+4y2=

 8y2-16y+8 =  y2-2y+1 =

 y = => x = nghiệm hệ (2;1)

2/ Hệ pt bậc hai đối xứng x y

*Định nghĩa: hệ phương trình bậc hai đối xứng với x y hệ mà phương trình khơng thay đổi ta thay x = y ngược lại

Ví dụ :        2 xy y x y xy x

*Cách giải: để giải hệ phương trình dạng ta thực hiện: - dùng phép thay ẩn S = x+y ; P = x.y

- sau tìm S,P x,y nghiệm phương trình x2-Sx+P = Ví dụ 1: giải hệ 

    28 2 y x y x (I) Giải

(I)       28 ) ( xy y x y x (II)

Đặt S = x+y ; P = x.y thay vào hệ (II) ta hệ      28 P S P         P -6 S P S

+ Với S = ; P = x, y nghiệm phương trình x2-6x+4 = 0

        5 x x

 nghiệm hệ         ) ; ( ) ; (

+ Với S =-6 ; P = x,y nghiệm phương trình x2+6x+4 =

          5 x x

 hệ có hai cặp nghiệm Vậy hệ cho có cặp nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ             31 ) ( 11

2 y xy x y x

y xy x

HD: hệ VN

Ví dụ 3:

Giải hệ       164 2 y x y x

(69)

Giải hệ      90 y x y x

HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15) BÀI TẬP

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

2 2

8 x -xy 24

) b)

2 2x-3y

3 ( ) 49

) )

2 3 84

x y

a

x y

x xy y x y x y

c d

x y x y

                             

Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15) Bài 2: Giải hệ phương trình sau

2 2

11

) )

2( ) 31 13

4

) )

28

x xy y x y

a b

x y xy x y x xy y

xy xy x y

c d

x y x y x y

                                  

Đáp số: a) VNo b) (1;3); (3;1) c) (3 5;3 5);( 3  5; 3  5) d) (1;2); (2;1)

Bài 3: Giải hệ phương trình sau

2

2 2

9 x y 164

) b)

90 x-y

3

) )

6 ( 1) ( 1)

x y a

xy

xy x y x y x y

c d

x y x y xy x x y y y

                                  

Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d) ( 2; 2);(1; 2);( 2; 1) 

Bài 4. Giải hệ phương trình :

a/       24 xy x y x 2

b/        18 ) y )( x ( 36 y x c/

2

6

x y

xy x y

 

 

   

 d/ 

      y x x y x2

e/        y xy x y x 2

f/        y x y

x2

Bài 5. Giải hệ phương trình :

a/       53 y x y x 2

b/      26 y x xy 2

c/       61 y x y x 3

d/          y x 13 y xy

x2

e/         xy y x xy y x 2

f/         y x ) xy ( y

x2

Bài 6. Giải hệ phương trình

(70)

c/

2

6

x y

xy x y

 

 

   

 d/ 



   

   

1 y x xy

2 y x y

(71)

(72)

(73)

Chương IV

BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC

1 Định nghĩa 1

Số thực a gọi lớn hơn b, kí hiệu a > b ab > Khi ta kí hiệu b<a (b nhỏ a)

a > b  a-b > (ba<0) a  b  a-b  0 (ba≤0) 2 Định nghĩa 2:

Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" gọi bất đẳng thức + a gọi vế trái, b gọi vế phải bất đẳng thức;

+ a>b c>d (hoặc a<b c<d) hai bất đẳng thức chiều; + a>b c<d hai bất đẳng thức trái chiều;

+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" "c>d" Nếu "a>b  c>d" "c>d" hệ quả "a>b" "a>b  c>d" "c>d" tương đương "a>b"

3 Các tính chất

a,b,c,dR ta có :

1) a > b  a+c > b+c (cộng vế bất đẳng thức số) a > b+ c  ac > b (chuyển vế)

3) a > b 

ac bc  

 

 



neáu c

ac bc neáu c (nhân hai vế số)

4)

d b c a d c

b a

    

 

 

5)

bd ac d

c b a

  

 

 

0

6) Với n nguyên dương: a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n 7) Nếu b>0

a>b  a  b; a>b 3 a  3b

8)

c a c b

b a

  

 

 

(bắc cầu)

9) a > b     

 

 

 

0 ab neáu b a

0 ab neáu a

b

1

10) a > b >  an > bn ( n 

N ) 11) a > b >  n a n b ( n 

N )

(74)

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung:

Một số đảng thức: (ab)2= a2 2ab +b2

(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3  3a2b+3ab2 b3 a2

b2 = (ab)(a+b) a3

b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3

b3= (a+b)(a2ab +b2) Ví dụ: Chứng minh rằng

a) Nếu a,b0 a+b2 ab

b) Chứng minh a2+b2-ab  Khi đẳng thức xảy ra. Giải

a) Cách 1: ta có a+b2 ab  a+b-2 ab 0

 ( a  b )2 0 với a,b0 Dấu '=' xảy a = b Cách 2: ta biết

( a b )2 0 a,b0

 a+b-2 ab 0  a+b2 ab  đpcm. b) Ta có: a2+b2-ab =a  b  b  ab

2 2

4

= (a-2

)

b

+ a,b R

3

   b

dấu '=' xảy 

  

   

     

  

0 0

4

0

2 b

a b

b a

 đpcm

4 Bất đẳng thức Côsi

a/ Định lý: Nếu a0, b0 ab b

a  

2 hay a+b 2 ab Dấu '=' xảy  a=b

b/ Các hệ quả:

b.1 Nế a0,b0 có a+b=const (hằng số) a.b max  a = b

b.2 Nếu a0,b0 có a.b = const a + b  a = b b.3 Nếu a1, a2, a3,… ,an 0 thì:

n

n n a a a a n

a a

a

3 2

(75)

b.4

1

a a

 

, a > * Ý nghĩa hình học:

+ Trong tất hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vng có diện tích lớn nhất + Trong tất hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vng có chu vi nhỏ nhất c Ví dụ:

Ví dụ 1: cho hai số a, b> Chứng minh a 2 b b a

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,a 0 b b a

,ta có:

 2 2 a 2 b b a a

b b a a

b b a

=> đpcm Ví dụ 2: Chứng minh với a,b>0

(a+b)(ab+1) 4ab Giải

Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b2 ab (1)

Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + 2 ab (2)

Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) 4ab => đpcm 5 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: |x| = 

 

0 x neáu x

-0 x neáu x

; a,bR ta có

b a b

a   , dấu '=' xảy

 a.b 0

b a b

a  

, dấu '=' xảy a.b0

b a b

a  

 a.b0

b a b

a  

 a.b0

Ví dụ: chứng minh | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z||x-y+y-z|=|x-z| => đpcm

6 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho số thực a, b, c, d thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  abcd  (a2 c2)(b2 d2) Chứng minh:

Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  a2b2+c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd 0

(76)

(1.x+1.y)2(12+12)(x2+y2)  (x+y)22

  xy => đpcm

Ví dụ 2: Cho x+2y = , chứng minh x2+y25

4

Giải

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y

BÀI TẬP ÁP DỤNG

1/Với số thực x, y, z Chứng minh rằng: 2xyz x 2y2 2z HD: Đưa đẳng thức

2/ Chứng minh rằng:

1

1 , a

a a

a      

Giải

 

2

1

1 1

( 1) ( 1) a a Vì nên

1

4(a 1)

a

a a a a

a a

a a a a

a a a

a a

 

          

 

            

 

      

 

Vậy

1

1 , a

a a

a        đpcm

3/ Tìm Giá trị nhỏ hàm số y=

1

x  x với 0<x<1

Vì

1

x>0, 

1 x>0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được:

y=

1 x + 

1 x

 

 

1 1

2

1 (1 )

x x x x

mà

 

   

  

(1 ) (1 ) 1

2 (1 ) (1 )

2

x x x x

vậy y=

1 x+ 

1 x

   

   

1 1

2 2

1 (1 ) (1 )

2

x x x x x x

 y=

1 x + 

1

1 x Dấu "=" xảy  

 

 

    

1 1

1 2

(0;1) x

x x

x

Vậy giá trị nhỏ hàm số y=

1 x + 

1

1 x x =

BÀI TẬP

1/ Cho a, b, c, d số dương; x, y, z số thực tùy ý Chứng minh rằng: a) x4y4 x y x3  y3

(77)

4 3

3 3

2

2 2

( ) ( ) y ( )

( ) y ( ) ( )( y )

3

( ) ( y ) ( ) ú

2

a x x y y y x x x y y x

x x y x y x y x

y y

x y x xy x y x ng

         

        

  

            

 

 

 

ñ

Vậy x4y4 x y x3  y3 đpcm

b) x2 4y23z214 2 x12y6z

Giải

2 2

( ) 4y 2.2 3 3

( 1) (2 3) ( 3)

b x x y z z

x y z

          

       

Vậy x24y23z2 14 2 x12y6z  đpcm

c)*

a b

b  a  

Giải

  3 3

2

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

a b

a a b b

c a b a b

b a b a

a b a a b b b a a b

a b a a b b b a

a b a a b b a b a b

 

     

     

      

     

        

 đpcm

d)

1

a b a b

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a b 2 ab (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương

1 1 1

, :

a b a b  ab (2)

Lấy (1) nhân (2) ta được:

1 1

(a b)( )

a b a b a b

     

  đpcm

e)*

4

a b c d

abcd   



(bđt Cô-si cho số)

Giải

4

2

2( ) 2.2

2

a b ab

a b c d ab cd ab cd abcd

c d cd

a b c d

abcd 

  

       



  

  

 

f)

1 1 16

a b c d a b c d  

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c, d ta được:

4

a b c d    abcd (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho số dương

1 1 , , ,

(78)

4

1 1 1

4

a b cd  abcd (2)

Nhân (1) với (2) ta được:

1 1

(a b c d)( ) 16

a b c d

      

Vậy

1 1 16

abcd a b c d  

g)

2

a b 2a

b

 

Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a2b, 1/b

h) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

Áp dụng bđt Cô-si cho a, b b, c c, a i)  

2

2 2( )

a  b  a b ab

Khai triển đẳng thức áp dụng bđt Cô-si cho (a b )và ab j)

1 1

abca b c 

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho số dương a, b, c ta được:

3

a b c   abcd (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho số dương

1 1 , ,

a b c ta được;

3

1 1

3

a b c  abc (2)

Nhân (1) với (2) ta được:

1 1

(a b c)( )

a b c

    

Vậy

1 1

a b c a b c 

2/ Chứng minh bất đẳng thức sau a) Với x>3 Chứng minh

4

x x

  

HD: x 4 x3Áp dụng bđt Cô-si cho x+3

b) Với

2 y2

1

4

x

 

Chứng minh |x.y|≤3 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho

2

4

x ,

2

y

c)* Với a, b, c0 a+b+c=1 Chứng minh: b+c  16abc

HD: b+c  bc  (b+c)2 4bc (1)

a+(b+c) 2 a b c(  )  1 4a(b+c) (2)

lấy (1)x(2) ta được đpcm

d) Cho a, b, c, d  Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc 2; bc 2; a d; d e) Cho a,b,c >0 CMR : (1 )(1 )(1a)8

c c b b a

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,

a b c

b c a

(79)

HD:

g) Cho a,b,c > CMR : b

ca ab

c

 

HD:

h) Cho a,b,c > CMR : (a+b+c)(a b c

1 1

 

)  9 HD:

k) Cho a,b > CMR : (a+b)(

1

a b)  4 HD:

l) Cho a,b,c > CMR :

4

2

a bc

ab c

 

HD:

4

2

2 2

a bc a

ab bc ab

c c



   

m) Cho a,b,c > a+b+c =1 CMR : ) 64

1 )( 1 )( 1

(    

c b a HD:

n) Cho a > CMR : a

a 

HD: bình phươn vế o) Cho a,b,c >0 CMR :

1 1 1

abc  ab  bc  ac 3/ Chứng minh bất đẳng thức

a) Chứng minh a > b >

1

b a

b) a2b2 c2 ab bc ca  , a,b,c   Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? c) a2b2 ab 0, a b,   Khi dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?

d) (a+b+c)2 3(a2+b2+c2) với a,b,c 

e) a2b+ab2a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ?

4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 3x5 Xác định x cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?

5/ Tìm già trị nhỏ hàm số sau a) f(x)= xvớix

3

x 

b) f(x)=

1

 

x x

với x >

2*/ Tìm giá trị nhỏ nhất hàm số y=

4

1

x  x với 0<x<1

Giải

4 4( ) 9( )

1

4(1 ) 4(1 )

13 25

1

25 , x (0;1)

x x x x

y

x x x x

y

   

   

 

      

 

   

Đẳng thức xảy

4(1 )

6

1

2 (0;1)

x x

x

x x

x  

 



 

 

(80)

Giải

12

27

2 12

0

x x

x x

y x

x x

x   

 



    

 



(81)

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

I CMR

1 a2 – 3a + > ,

aR a2 + b2

 2ab , a, bR a2 +3a +3 > aR a2 + b2 +

 ab + 2(a +b) , a, bR a2+ b2 + c2 + d2 + e2

 a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR

2

1

a

a R

a   ,  Suy

2

4 1 1

a b

a  b   , a, bR

6

2 2 2 2

3

a b c  a b c

 



 

  , a, b, cR a3 + b3

 ab(a+b) , a, b  a3b + ab3

 a4 + b4 , a, bR a4 + 16

 2a3 + 8a , aR

10 (a b c d )(  ) ac bd , a, b, c, d > 11

a b

b  a   , a, b >

12

2

a ab b  a b

, a, bR 13

1

a a

a     , a  1

14

2 2

a b c

a b c

b  c  a    , a, b, c > 15 a4 + 2a3 +3a2 -12a +19 > ,

aR

16 x8 – x5 + x2 – x + > ,

xR Hd: BĐT

5

2

( 1) ( 1)

(1 ) (1 )

x x x x

x x x

      

 

   



neáu x x neáu x <

II.CMR

1 a/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR: i Nếu

a a c

b b c



 

 a

b ii Nếu

a a c

b b c



 

 a

b

b/ Cho a > 0, b > 0, c > CMR:

a b c

a b b c c a

   

  

2 Cho a , b , c độ dài ba cạnh tam giác CMR: a a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca)

b abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > Cho a + b = CMR: a2 + b2

1



4 Cho x + y + z = CMR:

2 2

3

x y z 

5 CMR: a x2  x 7 , xR b x 1 y2  x y  6 , x, yR III.CMR

1

4

a b c d

abcd   



(82)

3

1 1

a b c  a b c  (a, b , c > 0)

1 1

a b c

bc ca ab   a b c (a, b , c > 0)

ab bc ca

a b c

c  a  b    (a, b , c > 0)

6

2 1 2( )

x y x y

x y

    

(x , y > 0) (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0)

8 1

a b c

b c a

     

   

     

      (a, b , c > 0) (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0)

10 (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = a, b, c 

11

1

x y

 

   

 

    với x+y =1 x , y > 0. 12 (a + 2) (b + 8)  36 với ab = a, b > 13.a b1b a1ab a, b  1

14 4a 1 4b 1 4c 1 5 với a + b + c = a, b, c 

-1

IV.CMR: (ab +by)2

 (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR Dấu xảy nào? 2x3y  13 với x2 + y2 = 1

3x 2y 2 với 9x2 + 4y2 = 1 2x3y  35 với 2x2 + 3y2 = 7

2

4

8

x  y 

biết 4x + 6y = Dấu xảy nào?

2

4

7

x  y 

biết 4x - 3y = Dấu xảy nào? V.Tìm GTLN hàm số sau:

y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  (maxy = 36 x = 1) y = (2x - 3)(10 – 3x) với

3 10

2 x

y =

4

x x 

với x  (maxy =

1

8 x = 8)

y = x + 8 x2 (maxy = x =  2) VI.Tìm GTNN hàm số sau:

y =

5

2

x

x 



 với x > -5 (miny = x = -1) y =

9

x x 

 với x > (miny = x = 5) y =

2

9

x x 

với x  (miny = x =  3) y =

4

1

x x



(83)

y =

(4 x)(1 x)

x

 

với x > (miny = x = 2) y = x  x (miny = < x < 4)

(84)

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

Dùng định nghĩa:Chứng minh bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d >

a) a < b < b) a > b >

c) < < d) < <

2/ Cho < b,d > 0, Chứng minh < < 3/ Chứng minh  a , b ,c

a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + ≥ 6a

c) a2 + > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ e) 2abc  a2 + b2c2 f) (a + b)2 ≥ 4ab

g) a2 + ab + b2 ≥ h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 i) 4ab(a – b)2

 (a2 – b2)2 j) a2 + 2b2 + 2ab + b + > k) ≥ l) + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b)

m)  n) ( )2 o) ≥ ( )2 p) + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc q) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1)

r) a4 + b4 + c2 + ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac

t) a2 + ab + b2 ≥ (a + b)2

u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b + 2a v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

4/ Cho a ,b  [– 1;1] Chứng minh : |a + b|  |1 + ab| a)Chứng minh rằng: x ≥ y ≥ ≥

b)Chứng minh rằng: với hai số a b tùy ý ta có ≤ + 5/ Cho a ≥ , b ≥ Chứng minh : ab ≥ a + b

6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – + x – + > 0

7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh : a + b + c – ab – bc – ca  8/ Cho < a  b  c Chứng minh : b() + (a + c)  ()(a + c)

9/ Cho a > b > c ≥ Chứng minh ≥ 10/ Cho a + b + c  Chứng minh : ≥ 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh : + + 

12/ Cho số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Chứng minh :

a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh : ≥

b) Cho a ≥ 1, b ≥ Chứng minh : ≥

c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh : ≥

14/  a,b,c,d chứng minh a) ≥

b) < <

15/ Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác ,chứng minh : a) <

b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *e) (a + b + c)2

 9bc với a  b  c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc

(85)

a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc

b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0

18*/ Cho a ,b ,c độ dài cạnh tam giác,với a  b  c Chứng minh : (a + b + c)2

 9bc 19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh : ≥

20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] Chứng minh : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  21/ Chứng minh : + + + …+ <  n  N

22/ Chứng minh : + + + …+ <  n  N n ≥

23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = Chứng minh :  a + b + c 

24/ Cho số a, b, c thoả mãn a + b + c = Chứng minh : a) a2 + b2 + c2 ≥ 3

b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3

Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)

1/ Cho hai số a ≥ , b ≥ Chứng minh :

a) ≥ a , b > b) a2b + ≥ 2a b > c) ≥ d) a3 + b3 ≥ ab(a + b)

e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h)



i) ≥ j) + ≥ + +

j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + )2 h) ≥ k) ≥ 3a2b3 – 16 l) ≥ m) ≥

2/ Cho a > , chứng minh : (1 + a)2≥ 16 3/ Cho số a ,b ,c > tùy ý Chứng minh rằng:

a) a2b + ≥ 2a

b) a + b + c ≤ ( a2b + b2c + c2a + + + ) 4/ Cho < a < b , chứng minh rằng: a < < <

5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ , chứng minh : a + b  ab 6/ Cho số a,b,c ≥ Chứng minh :

a) ab + ≥ (b  0) b) a + b + c ≥

c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( + )2 ≥

e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac f) a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c)2

g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + ≥ ab + a + b

i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 +

√abc )3 7/ Chứng minh x (0; /2) ta có:

cosx + sinx + tgx + cotgx + + >

8/ Cho số a ,b ,c thoả a + b + c = Chứng minh : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho số a,b,c không âm,Chứng minh :

a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc b) ≥ a + b + c

c)()( )() ≥ d) ()()( ) ≥

(86)

g) ≥ h) ≥

i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2

j) 3a + 2b + 4c ≥ + + k) ≥ + +

10/ Cho số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh : a) (ab + cd)( + ) ≥

b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) c) + ≥

d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 e) ≥

√abcd f) + + ≥ g) + + + ≥

h) ≥ 3a2b3 – 16

i) (abc + 1)( + + )( + + ) ≥ a + b + c +

11/ Cho hai số dương a b Chứng minh rằng: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n+1 n  N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh :

a) ab  b)a2 + b2 ≥ b) c)a4 + b4 ≥ d)a3 + b3 ≥

13/*.Cho a > b ab = ,chứng minh : ≥ 14/* Chứng minh –  

15/ a) Chứng minh b > , c > : ≥

b)Sử dụng kết chứng minh a ,b ,c ba số khơng âm có tổng a + b + c = b + c ≥ 16abc

16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: ()() ≥

17/ Cho a,b,c > a + b + c = Chứng minh : a) ()()( ) ≥ 64

b) (a + b)(b + c)(c + a)abc 

18*.Cho số a ,b ,c ,d > thoả mãn + + + ≥ Chứng minh abcd 

19/ Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác ,chứng minh : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) c) (p – a)(p – b)(p – c) 

d) ≥ 2( ) e) < + + <

20/.Cho số a ,b ,c ≥ ,thoả mãn a.b.c =

Chứng minh : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥

21/ Cho số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = Chứng minh rằng – ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ +

23/ Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an Chứng minh a) ≥ n

b) (a1 + a2 + … + an)() ≥ n2

c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2)

25/ Cho a > b > , chứng minh : a + ≥ Khi xảy dấu = 26/ Cho hai số a ≥ ; b ≥ Chứng minh :

a) + 3≥ b) 5√5a+1212√b ≥1717√ab c) ≥ 3a2b3 – 16

27/ Chứng minh 1.3.5….(2n – 1) < nn

(87)

a + b + c ≥ m+n+k

√ambnck+m+n+√kanbkcm+m+n+√kakbmcn

29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an b1 ,b2 ,….,bn Chứng minh : 

30/ Chứng minh : ≤

 a ≥ – , b ≥ – , c ≥ ,d > 31/*  n  N chứng minh :

a) . <

(n2+1) n(n+1)

2 b) 1.22.33.44…nn <

(2n+1 )

n(n+1)

2

32/*.Cho m,n  N ;m > n Chứng minh : ( + )m > ( + )n 33/*.Cho x1,x2,…xn > x1 + x2 + ….+ xn = Chứng minh ()()…( ) ≥ (n + 1)n

34/*.Cho số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2

35/*.Cho số a ,b ,c  (0;1) Chứng minh bất đẳng thức sau phải có bất đẳng thức sai:

a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho số a,b,c > Chứng minh :

+ + 

37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên)

38/*.Cho a , b , c > Chứng minh : a) 

b) ≥

39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh : a) ≥

b) ≥ c) ≥

d) ≥ ab + bc + ca

e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc f) ≥ a + b + c

g) ≥ ≥

40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý Chứng minh :

a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc 41/ Cho a ,b ,c > thoả : Chứng minh : ≥ 42/ Cho số a, b, c thoả a + b + c ≤ Chứng minh :

a) + + ≥ b) + + ≥

43/ Cho a ,b ,c > thoả a + b + c  k Chứng minh : ) ≥

44/ Cho ba số a ,b ,c  Chứng minh : ≥ 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh :

a) + hb + hc ≥ 9r b) < Dùng tam thức bậc hai

1/  x , y  R Chứng minh : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + > 0 a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + ≥ 0 c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + ≥ 0 d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + ≥ (x + y)

(88)

(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd)

3/ Chứng minh : (1 + 2x + 3x)2 < + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ , x,y > Chứng minh : ab ≥ 1/4

5*/ Cho –  x  – < y < ,chứng minh : x2 + 3xy + > 6**/ Cho a3 > 36 abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc +

a) Chứng minh : f(x) > x

b) Chứng minh rằng: + b2 + c2 > ab + bc + ca

7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y Chứng minh x3 – 3x  y3 – 3y + Tìm Giá trị nhỏ hàm số :

a) y = x2 +

b) y = x + + với x > – c) y = x + với x > d) y = với x > – e) y = với x > f) y = + với x  (0;1)

8/ Tìm giá trị lớn hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x 

y = (2x – 3)(5 – 2x)  x  y = (3x – 2)(1 – x)  x  y = (2x – 1)(4 – 3x)  x  y = 4x3 – x4 với x

 [0;4]

11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên tia Ox Oy lấy điểm A B thay đổi cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường trịn tâm O bán kính R = Xác định tọa độ A B để đoạn AB có độ dài nhỏ

12/*.Cho a ≥ ; b ≥ ; c ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức A =

(89)

§2 Bất phương trình bậc nhất

I Khái niệm bất phương trình ẩn 1 Định nghĩa

Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg Đặt Df Dg=D, mệnh đề chứa biến x D

dạng f(x)>g(x) gọi bất phương trình ẩn

Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x5x+3

2 Tập hợp nghiệm

Tập hợp nghiệm bất phương trình f(x) > g(x) tập hợp tất giá trị x0

) ( ) (

: f x0 g x0

D 



3 Điều kiện bất phương trình

Là điều kiện ẩn x cho f(x) g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện bất phương trình 3 x x 1 x2

3x0 x+10

4 Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa chữ khác ngồi ẩn Ví dụ: mx+2>5 (tham số m)

5 Hệ bất phương trình ẩn

Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc ẩn

Để giải hệ bất phương trình ta giải bất phương trình lấy giao tập nghiệm

Ví dụ: Giải hệ

3

1

x x

 

 

  

III Bất phương trình tương đương

1 Định nghĩa: hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm

2 Định lý

2.1 Định lý (phép cộng, trừ):

Cho f(x) > g(x) xácđịnh D Nếu h(x) xác định D thì: f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển biểu thức từ vế sang vế phương trình đổi dấu ta bất phương trình tương đương với phương trình cho

2.2 Định lý (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định D

+ Nếu h(x) xác định D h(x)>0 với xD bất phương trình:

f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x)

+ Nếu h(x) xác định D h(x)<0 với xD bất phương trình:

f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x)

2.3 Định lí (bình phương): Nếu f(x)  0, g(x)

f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x)

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước biến đổi bất phương trình

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ý xem biểu thức âm hay dương, biểu thức mang hai giá trị âm dương

+ Khi qui đồng mẫu số bất phương trình: biết chắn mẫu dương khơng đổi dấu + Nếu f(x)<0, g(x)<0 f(x) <g(x) f(x) > g(x) Khi ta bình phương vế

* Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau

a) 2x+3 > x+7

 x > => tập nghiệm T=(4;) b) 2x-10  3x-2

 -x8  x8 => T=( ;8]

(90)

b)

2

1

2

x x x x

x x

  



  Đáp án: x<1

c) x22x2 x2  2x3 Đáp án: x> ¼

* Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau

a)

5 3

1

4

x  x x   x

  

Đáp án: 1/3<x≤3 b)

1 1

x  Đáp án: 1<x≤2

c)

2 17

4

x  x

Đáp án: x<4

Chú ý: Các dạng bất phương trình thức:

√A<√B⇔

A ≥0

A<B

¿{

;

√A ≤√B⇔

A ≥0

A ≤ B

¿{

√A<B⇔

A ≥0 B>0

A<B2

¿{ {

;

√A ≤ B⇔ A ≥0 B ≥0 A ≤ B2

¿{ {

√A>B⇔

¿A ≥0

B<0

¿ ¿ ¿

B ≥0

¿ ¿

A>B2

¿ ¿ ¿

;

√A ≥ B⇔

¿A ≥0

B ≤0

¿ ¿ ¿

B ≥0

¿ ¿

A ≥ B2

¿ ¿ ¿

√A<√3B⇔A<B

IV Bất phương trình ax+b > 0

Từ bất phương trình ax+b >  ax > -b (1) Biện luận:

+ Nếu a = => (1)  0x > -b b > => bpt VSN b < => bpt VN b = => bpt VN

+ Nếu a > => bpt có nghiệm x > a b 

+ Nếu a < => bpt có nghiệm x < a b 

Ví dụ : giải biện luận bất phương trình

(m-1)x -2+3m > (1) Giải

(1) (m-1)x > 2-3m (2)

Nếu m-1=  m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN

Nếu m-1>  m > => bpt có nghiệm x >

3

  m

(91)

Nếu m-1 <  m < => bpt có nghiệm x <

3

  m

m Kết luận:

m =1 bpt VN

m > bpt có nghiệm x >

3

  m

m

m < bpt có nghiệm x <

3

  m

(92)

BÀI TẬP

1/ Giải bất phương trình sau

a) x x (2 x3)( x1) b) ( 1 x 3)(2 1 x  5) 1 x

c) (x 4) (2 x1) 0 d) (x2) (2 x 3) 0 e) 2(x1)+x >

3 3

x 

f) (x 2)2 (x 2)2 2 g) x(7x)+6(x1)<x(2x) h)

2

3

2

x x x x

   

k) (x2) x3 x4 0 l) (x2) x3 x4 0 m) (x 1) (2 x 2) 0 n) 2x 8 4x 21 0

Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4)  (4;+) d) S= (3;+) e) S=(9/4;+); f) S=(; / 4); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2] l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2) 2/ Giải hệ bất phương trình sau:

a)

3

4

x x x x        

 b)

4

2 12

x x x x        

 c)

5

x x x x          d)

2

5

x x x x          e)

8 15

8

2

x x x x x x               f) 2

2

4

x x x

x x              g)

6

3 x x x x          

 h)

3 3(2 7)

2

5

1 5(3 1)

2 x x x x               i)

3

2

3

5

x x x x

x x                  

Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27] 3/ Tìm điều kiện bất phương trình sau:

a 2

1

4 ( 1)

x x

 



  b 3

2 3 x x x x     

4/ CMR bất phương trình sau vơ nghiệm:

a/x2 x1 1 b/ 2 x x 2 c/

4

8 ( 1)( 3)

x x

x x x

 



   d/

1 x x     5/Giải bất phương trình sau:

a

( 3)

5 x x x   

 b x2 > x c x4 x2 d

1

x 6/ Giải biện luận bất phương trình sau:

a mx + > 2x – m b m(x-1) ≤ x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương:

a/ 3x + > x – 4x + k > 2x – b/ 2x +3 ≤ x + 5x – ≤ 3x +

8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm:

2

(1 )

x x

m x m

  

 

 

 (ĐS: m<1) 9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:

a

4

3

x m x x       

 b

2

(93)

10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm :

5

3

x m x

x x m

  

 

  

 (ĐS: m=

1

(94)

§3Dấu nhị thức bậc nhất

1 Định nghĩa:

Nhị thức bậc biểu thức biến đổi dạng f(x) = ax+b (a 0) 2 Định lý :

Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số dấu với a

x  ba 

f(x) trái dấu a dấu a

* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải

Đặt f(x)=0  2x+3=  x =

3



x  32 

f(x) +

3/ Xét dấu biểu thức quy tích thương nhị thức bậc nhất

Phương pháp: ta xét dấu nhị thức bậc bảng xét dấu,sau tổng hợp dấu lại ta dấu biểu thức

* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải

Đặt x-2=0 x= 5-3x= 0

5

 x

lập bảng xét dấu:

x  53 

x-2 - - + 53x + A +

Vậy A <  3) (2; )

5 ;

(  

 x

; A >  3;2)

5 (

 x

; A=  x=2; 5/3 * Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B = 17

) )( (

  

x

x x

4/ Giải bất phương trình (có ẩn mẫu số) quy tích, thương nhị thứ bậc nhất Để giải phương trình dạng ta xét dấu biểu thức dạng tích thương nhị thức bậc Sau kết hợp với chiều củ bất phương trình ta tìm tập nghiệm củ bất phương trình ( phần khơng lấy gạch bỏ)

Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau a)

4

 

 x

x

b) x   x 

2 3

4

Giải

a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình cho

4

 

 x

x



2 2

4

 

    



x x x

x

đặt 2x-2 =  x=1

x   

2x-2 - + + x-2 - - + f(x) + - // +

(95)

xét dấu biểu thức f(x)=

2

  x

x

S=(;1)(2;)

b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình cho x   x



2 3

4



3

4

    

x

x  (3 1)(2 )

11

  

 

x x

x

x  

5 11



3

 

-5x-11 + - - - 3x+1 - - + + 2-x + + + - f(x) - + // - // +

Xét dấu biểu thức f(x)= (3 1)(2 )

11

x x

x  

 

Đặt -5x-11 =  x =

11



2

3

1

   

    

x x

Vậy S = 3;2)

1 ( ) 15 11 ;

(   

5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối

Định nghĩa: phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối biến x phương trình Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức bảng, sau vào bảng xét dấu để giải

* Chú ý 1: Các dạng bpt chứa trị tuyệt đối

| ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) )

( ) ( )

|f(x)| g(x)

( ) ( )

f(x)> g(x)

|f(x) | g(x)

f(x) g(x)

f x g x f

f x g x

    

 

  

  



  

  

Ví dụ

3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = (1) Giải

Ta xét dấu biểu thức x-1;2x-4

x  

x-1 - + + 2x-4 - - +

nhìn vào bảng xét dấu ta có:

* x (;1) (1) -(x-1)-(2x-4)=3

(96)

* x [1;2) (1) x-1-(2x-4) = 3  x = [1;2)(loại) * x[2;) (1) x-1+2x-4 =  3x=8 x =3

8

(nhận)

Vậy S =     

3 ;

3.2 Ví dụ 2: giải bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x

Tóm tắt lý thuyết

1 Giải biện luận phương trình bậc dạng ax + b >0ax > -b (1) Biện luận:

+ Nếu a = (1) 0.x > -b

- b > bất phương trình có vơ số nghiệm - b bất phương trình vơ nghiệm + Nếu a > bpt có nghiệm x > a

b 

+ Nếu a < bpt có nghiệm x a

b  

Kết luận

Xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax+b (a0)

x - -b/a + f(x) Trái dấu a Cùng dấu a

* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích thương nhị thức bậc ( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); ( )( )

) ) (

)( (

m kx h gx

f ex d cx b ax

 



…) ta xét dấu tất nhị thứ bậc bảng xét dấu

* Các bước xét dấu biểu thức :

B1 : Đưa biểu thức cho dạng ax+b dạng tích thương nhị thức bậc

B2 : Tìm nghiệm nhị thức bậc

B3 : Xét dấu tất nhị thức bảng xét dấu B4 : Tổng hợp => kết luận

Giải bất phương trình bậc

B1 : Đưa bất phương trình dạng f(x)>0 f(x)<0 f(x) 0 f(x)  B2 : Xét dấu biểu thức f(x)

B3 : Kết hợp với chiều bất phương trình => tập nghiệm Giải hệ gồm bất phương trình bậc dạng

   

(2) pt Baát

(1) pt Baát

(I)

B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1

B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2

B3 : Tập nghiệm S hệ (I) S = S1S2

(97)

a) f(x)= (2x1)(x+3) b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) c) f(x)=

4

3x x

 

  d) f(x)= 4x2

1 2/ Giải bất phương trình sau

2

2 1

) b)

1 1 ( 1)

1 3

) d)

4

a

x x x x

x x

c

x x x x

 

   

 

  

  

Đáp số: a) S=(1/2;1) [3;+) b) S= (;1)  (0;1)  (1;3) c) S= (12;4)  (3;0) d) S= (;5)  (1;1)  (1;+) 3/ Giải bất phương trình

a) |5x4| b)

5 10

2

x x

 

 

c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2

Đáp số: a) S= (;2/5)  [2;+) b) S= (;5)  (1;1)  (1;+) c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +)

4/ Xét dấu biểu thức sau

a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)=

2

( 1)( 2)

x

x x



 

c) f(x)=

3

2x1 x2 d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7)

5/ Giải bất phương trình sau a)

3

2 x  b)

2

3

x x

x  

  c)

1 1

1 2

x  x  x d) |x3| > 1

e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1

Đáp số: a) S= (;1)  (2;+) b) S= (2;1]  (2;+) c) S= (2;0)  (1;2)  (4;+) d) S= R

e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm

6*/ Lập bảng xét dấu biểu thức sau

2

4

B=1 ( 2) (3 )

2

( 3)

D= F= 2x (2 3)

( 5)(1 )

x x

A C x x x

x x

x x

E x x x

x x

 

    

 



     

 

G=(3x1)(x+2) H=

2

5

x x



 K= (x+1)(x+2)(3x+1) L=

2

3

x x

 

 M= 9x2

1 N= x3+7x6 O= x3+x2

5x+3 P=x2x2 Q=

1

3 x 3x

R= 2

6

8

x x

 

  S=

2

4

2

x x

 

 T=

| 1|

1

x

x x

 

(98)

(3 )( 2)

) b)

1

) | 2 | | | d) | ( 3) |

x x a

x x x

c x x x x

 

 

  

        

e) ( 2x+2)(x+1)(2x3)>0 f)

4

3

x x

 

 

Đáp số: a) S=(1;2]  [3;+) b) S=(;1/2)  [2/11;1)

c) S= (;1) d) [52 6 3 2;5+2 6 3 2] e) S=(;1) ( 2;3/2) f) S=[4/5;1/3)

8/ Giải biện luận bất phương trình

a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1

 x+4m2 d) x(m2

1) < m41 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1) 9/ Giải bất phương trình sau

3

) ( 2)( 1)(4 5) b)

(3 1)( 4)

3 2

) d)

2

x

a x x x

x x

x x x

c

x x x



     

 

   

 

  

Đáp số: a) S=(;1)  (2 3/3;5/4) b) S=(1/3;3/2) hop (4;+) c) S= [3;1/2) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+) 10/ Giải hệ bất phương trình

2

( 3)( )

) 4 3 b)

3 | | 1

2

x x

a x x x

x x

    



 

 

  

 

  



Đáp số: a) S= ( 2;3) b) S=(1;1/2) 11/ Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình

5

6 15 2

7

) b)

8 3 14

2 25 2( 4)

2

x x x x

a

x x

 

     

 

 

 

     

 

 

Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1} 12/ Giải phương trình bất phương trình sau

a) |x+1|+|x1|=4 b)

| 1|

( 1)( 2)

x

x x





  c) |5+x|+|x3|=8

d) |x2

5x+6|=x25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5 g) |3x5|<2 h)

2

x x

 

 k) |x2|>2x3

l) |x+1|≤ |x|x+2

Đáp số: a) S={2;2}b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3]

d) S= x≤2 x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1]

13 Giải bất phương trình (chứa giá trị tuyệt đối) :

a/|x2−1|−2x<0;b/|2x+5|≥|7−4x|; c/|5−4x|>2x −1;

d/4− x+|3x2−6x|<2x −6; e/| x

2−4x

x2

+3x+2|≥1

14 Giải bất phương trình (chứa thức) :

a/√x+18<2− x ;b/x ≥√24−5x ; c/1−√13−3x2>2x ;

(99)

15/* Giải biện luận phương trình

a) (2x 2)(xm)>0 b)

3

0

2

x

x m

 

 

16/* Giải biện luận hệ phương trình

a)

( 5)( )

0

x x

x m

   

 

 



 b)

2

1

0

x x

x m 

 

 



  

(100)

BÀI TẬP 2

Bài 1: Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m) x-1

b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4

Bài 2: Giải bất phương trình sau: a)

4    x x

b)

5     x x

c)

5    x

x d) x   x

 3

Đáp số: a) S=(;1)  (2;+) b) S=(2;3]

c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải bất phương trình sau:

a) | 2x-5 |  x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 |  x+1

Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R

Bài 4: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m

b) | x-1 | =x+m

Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải hệ bất phương trình sau

a)              ) ( 2 15 x x x

b)              3 x x x x Đáp số: a) Vô nghiệm b) S=(26/3;28/5)

Bài 7: Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:

a)              25 2 7 x x x x

b)              14 ) ( 2 15 x x x x

Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1} Bài 8: Tìm số nguyên lớn thoả mãn hệ bất phương trình:

                   12 18 3 ) ( x x x x x x

(101)

BÀI TẬP 3

1/ Giải biện luận bất phương trình sau

a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m 0

c) (m+1)x  2m(x+1)+2+x d) m2x-1 > x+m

e) m 1

1 mx 1 -m 1 mx    

m1 f) m 1 (m 2)x

1 x 1 m 1 -x

x  

    

m-1 2/ Giải bất phương trình

a) 2x2 - 5x + > b) (x-2)2(x-4) < 0 c) -4 + x2  0

d) 25(x+10)(-x+1)  0 e) 16x2 + 40x + 25 < f) ( 1)

10

  x x

g)

1 2       x x x

x h)

1 18      x x k) ) )( ( 25       x x

l)

2 1    x x m) 2    

 x x

n)     x x x

o)

1

2   



x x

3/ Giải hệ bất phương trình sau

a)           19 x x x x

b) 

             ) )( ( 1 x x x x x

c) 

            2

2 x x

x x x d)           

2 ( 23)

) 19 ( 2 x x x x

e) 

                2 3 x x x x x x x x

f) 

               ) )( )( ( ) )( )( ( x x x x x x x

g) 

              ) )( ( ) )( ( 2 x x x x x x x

h) 

                ) ( 1 1 x x x x x x x x i)               ) ( 2 ) 25 )( ( 2 x x x x x x

Đáp số: a) S= [6 ; 8) b) S =(-; -4](1;2] c) S = (-;-1] (-2

1

;+) d) S = (-1;2) e) S = (- 4; -2

5

) f) S = (-2;- 3) [-1; 2) [2

3

;+)

(102)

h) S = (-1 ; -

1

) (0;1) i) S = (- ; -3 ] [0 ; 5

3

) 4/ Giải hệ bất phương trình sau

a)           ) ( ) ( 2 x x x x

b)          ) )( ( ) ( x x x

c) 

               2 1 2 x x x x x x x x

d) 

                2 3 2 x x x x x x x x

e) 

                   ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 x x x x x x x x x

f) 

            x x x x g)                 2 4 2 x x x x x x x x h) 4 2     x x x

i) 

             ) )( ( 1 x x x x x

Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S = (-2;-2

1

)(1;2

5

) d) S = (-3

1

;0)(2

1

;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1) g) Vô nghiệm h) S = [0;5

8

][2

5

(103)

§4Bất phương trình bậc hai ẩn

I/ Bất phương trình bậc hai ẩn

Định nghĩa: bất phương trình có dạng ax+by+c > ; ax+by+c < ,trong a,b,c R

 , a2+b20.

Cách giải : để giải bpt ax+by+c > ta vẽ đồ thị đường thẳng ax+by+c = Khi đó: + Nếu đường thẳng khơng qua gốc toạ độ ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm

+ Nếu đường thẳng qua góc toạ độ ta lấy điểm mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm

* Ví dụ: Giải bất phưng trình sau: a) x-3y < -3  x-3y+3 < (1)

Vẽ đường thẳng x-3y+3=

x

y

x-3y+3=0

-3

Thay O(0;0) vào (1) 3<0  O(0;0) không thỏa (1)  ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ Miền không gạch miền nghiệm

b) x-2y >

vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = , thay (0;1) vào vế trái ta VT= -2 > (!) => miền chứa (0;1) miền nghiệm

x y

0 1/2

II Hệ bất phương trình bậc hai ẩn

Định nghĩa: hệ có từ hai bất phương trình bậc hai ẩn trở lên

Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc hai ẩn ta giải bất phương trình hệ biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ, miền trống miền nghiệm hệ bất phương trình

Ví dụ 1: giải hệ    

 

  

 

(3)

(2) 3

(1)

y x

Giải Ta vẽ đường thẳng

(104)

I

x (d3)

(d1)

(d2) -3 5

5

0 1

Miền I miền nghiệm

Ví dụ 2: Giải hệ

0

x y x y

 

 

    

Giải

Vẽ đường thẳng :

(d1): x= (d2): y= (d3): x+y=

x y

-1

(105)

BÀI TẬP Bài 1: Giải bất phương trình bậc hai ẩn

a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9

c) 2x-y≤ d) 3+2y >0

e) 2x-1<0 f) x-5y <

g) 2x+y> h) -3x+y+2 ≤

k) 2x-3y+5 ≥

Bài 2: Giải hệ bất phương trình hai ẩn

a)    

 

  

 

5 3

0

y x

b)         



  

  

0

4 ) (

0

x

y x

d)       

  

 

 

6

3

y

x y

y x

e) 

3

2

y

x y

 

  

Bài 3: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:

      

  

 

   

0

2

x y x

y x

Tìm điểm S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ Bài 4: Gọi S tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:

2

x y x y x y

   



  



   

(106)

§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI

I/ Tam thức bậc hai

1 Định nghĩa: Tam thức bậc hai biểu thức có dạng f(x) = ax2+bx+c (a0) 2 Định lý (về dấu tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a0) = b2-4ac + Nếu < f(x) dấu với hệ số a với x + Nếu  = f(x) dấu với hệ số a với a

b

2

  

+ Nếu  > f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :

x

0 Cùng dấu

hệ số a

- x1 x2 +

Dấu f(x)

Cùng dấu hệ số a Trái dấu

hệ soá a0

* Chú ý : ta thay bởi ' Ví dụ 1: xét dấu tam thức sau

a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 c) f(x) = x2-4x-5 Giải

a) cho f(x) =  3x2-2x+1 = tính ' = -2 < 0 f(x) > x.

b) cho f(x) =  -4x2+12x-9 = tính '= f(x) <

3

 x

c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = tính '= 9 => x1=-1 ;x2 =

x

0 +

- -1 +

f(x) _ +

f(x) > x(;1)(5;) f(x) < x(1;5)

f(x) = x= -1 , x = Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức sau

a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) b) B =

2

3 10

x x

  

Giải

a) Đặt 2x2+9x+7 = 

   

 

2

2 x x

x2+x-6 = 

   

3

2 x x

+ - + - + A

x2+9x+7 + - - + +

x

0 -

-2

-3 -1 +

0

0 0

(107)

II/ Bất phương trình bậc hai

Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai bất phương trình có dạng sau: ax2+bx+c > ; ax2+bx+c < ; ax2+bx+c  ax2+bx+c  ( a0).

Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai , kết hợp với chiều bất phương trình ta tìm nghiệm bất phương trình

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > 0 S=R b) -2x2+3x+5> S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 <

S=(-;1) (4/3;+) d) 4x2-3x+1<0 Vô nghiệm

e) 9x2-24x+16 < S=R\{4/3} Ví dụ Giải bất phương trình sau

a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) > b) B =

2

3 10

x x

  

   < 0

Ví dụ Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm HD: '=m2+6m+5

  m≤5 m1

* Chú ý: Bài tốn tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0,

0, ≤0) R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)

+ Nếu a0 thì:

0

( ) 0, ; ( ) 0,

0

a a

f x   x R   f x   x R  

   

 

III/ Hệ bất phương trình bậc hai (10NC)

1 Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên Cách giải:

- Giải bất phương trình (1) tìm S1 - Giải bất phương trình (2) tìm S2 - - Giải bất phương trình (n) tìm Sn

Khi tập nghiệm hệ là: S = S1 S2…Sn Ví dụ 1 Giải hệ bất phương trình sau

a)    

  

  

0

2

x x

Giải Giải bpt(1) S1 = 2) ( 1; )

7 ;

(    

; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2) Vậy nghiệm hệ S = S1S2= (-1;2)

b)    

  

  

0 18 11

0

2

x x

Ví dụ 2 Tìm m bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < (*) vơ nghiệm Giải

+ với a = 0 m=



 (*) 

1

2

   

 x

x

m =



không thoả + với a0  m

1



phương trình cho vô nghiệm



  

 

a 0 2m   

  

S m

(108)

* Chú ý: Bài tốn tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0,

0, ≤0) R

+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) + Nếu a0 thì:

0

( ) 0,

0 ( ) 0,

0

a

f x x R

a

f x x R

 

   

 

 

   

  

 



* Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2  P < (hai nghiệm trái dấu)

x1 x2 < 

¿

P>0

Δ≥0 S<0

¿{ {

¿

( hai âm)

< x1 x2 

¿

P>0

Δ≥0 S>0

¿{ {

¿

(hai dương)

BÀI TẬP 1 1/ Xét dấu tam thức bậc hai sau

a) 2x2 +5x+2 b) 4x2

3x1 c) 3x2 +5x+1d) 3x2 +x+5 2/ Giải bất phương trình sau

a) x2

2x+3>0b) x2 +9>6x c) 6x2x20d)

1

3x2 +3x+6<0 e)

2

9 14

0

9 14

x x

 



  f)

2

1

3 10

x

x x

 

  g)

10

2

x x 

  h)

1

2

x x

 

 

 i)

1

x  x  x

Đáp số: a)

e) S=(;7)(2;2][7;+) 3/ Cho phương trình mx2

2(m1)x+4m1=0 Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt

b) Hai nghiệm trái dấu c) Hai nghiệm dương d) Hai nghiệm âm

HD: ' =12m24m4=0 

1 13

3

m 

4/ Tìm m để phương trình sau nghiệm với x

a) mx24(m1)x+m5≤ 0 = 12m212m16

b) 5x2

x+m> = 20m+1

c) mx2

10x5<0 = 5m+25

d)

2

3

x mx

x x

 

 

(109)

= m26m7

e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m216m

Đáp số: a) khơng có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 m0 5/ Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm

a) 5x2

x+m ≤0 mx210x50

6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) (m2+m+1)x2+(2m

3)x+m5=0

b) x2

6mx+22m+9m2=0

Đáp số: a) khơng có m b) 0<m<1

BÀI TẬP 2 Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai

a) 3x2-2x+1 b) -x2+4x+5 c) -4x2+12x-9 d) 3x2-2x-8 Bài 2: Giải bất phương trình sau

a) 2x2-5x+2 < b) -5x2+4x+12 < c) 16x2+40x+25 > d) -2x2+3x-7 > e) 3x2-4x+4  f) x2-x-6  Bài 3: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm a) (m-5)x2-4mx+m-2 =

b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0 c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 =

Bài 4: Xác định m để tam thức sau dương với x

a) 3x2+2(m-1)x+m+4 =4m220m44

=0 m=

,



5

69 

5

69

b) x2+(m+1)x+2m+7 =m26m27

=0 m=9;3

c) 2x2+(m-2)x-m+4 =m  

2 4m 28

=0m= 2 2,  2

Bài 5: Giải bất phương trình sau a)

1

2 x 2x  ; Kq2:

2<x<2

b)

3

1

x  x  ; Kq2:

1≤x≤2

Bài 6: Tìm m để

a) (m+2)x2

2(m1)x+m2<0,  x  R

= 8m+20

b) (m2

m6)x2+2(m+2)x+1>0,  x  R

= 20m+40

Bài : Giải phương trình sau :

a) x2 - x 1 10 ; x = ; -2 b) | -3x2 + 4x + | = | -x2 | ; x = -1; ;

c) | -2x + 3| - |-4x + | = - | 2x + | ; x = x  3/2 d) | x-1 | + | x - | = ; x = ;

e) | 3|x-2| - | = ; x = ; ; f) | 3x - | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2 g) | x | - | x - | = ; x 2

(110)

j) 2x363x ; x = k) x2 2x4  2 x ; x = -1 ; -2 l) 42x x2 x ; x = m) 15 x 3 x 6 ; x = -1. n) 3x12 5x6 2 ; x = -1 o) x4 4 x  2x16 ; x = -4 ; p) 2x6 x4  x ; x = q) 3x1 x4 1 ; x = r) 11 x x12 ; x = Bài : Giải bất phương trình sau :

a) | - x2 |  (1+x)2 ; x = -1 x0 b) | x2 - x +1 |  | 3x - - x2 |; x  3/2

c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + | ; x <

d) | x2 + 6x -7 | < x + ; S = ( 2

77 ;

53

7  



) e) | x+1 | > x + ; x < -2 x >

f) | x2 + x | - < 0 ; S =( 2

21 ;

21

1  



)

g) x2 - | 5x + | > 0 ; S= 2 ; )

57

( )

57

;

(    

h) x2 + 4 | 3x + | - 7x ; S = (;5 19][2 2;)

i)

| |

 

  x

x x

; S = (-5 ; -2 ) (-1 ; +) j) | x +1 | + | x - | > ; x < -2 x >

k) x2 6x2  x1 ; x < 1/8

l) x2x 12x1 ; S = (-169/25 ; -1][0;+) m) x2 x 12 7 x ; x  -3 < x < 61/13 n) x2 3x10 x ; S = R

o) 1 x2  x2 ;  1x4/5 < x  p) 1 4x  2x1 ; < x < 1/4

q) x2 2x  2x ; x >

r) x1 x 1 x ; S = (  

;

7 2

) s) 7 x  3 2x  2 x ; x < -2

t) x 5 9 x 1 ;

7 14

  

x

(111)

b) 3x2 2x15 3x2 2x87 ; x = ; -1/3 c) x2 x7 x2 x2  3x23x19 ; x = -2;1. d) (x + 1)(x + 4) - x25x2= 6 ; x = -7 ; 2. e) x2 + 2 x2  3x113x4 ; x[1;2]

(112)

Chương V: THỐNG KÊ

§ BẢNG PHÂN BỐ TẦN SUẤT VÀ TẦN SỐ

1/ Số liệu thống kê

Khi thực điều tra thông kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra thu thập số liệu

Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra 15' lớp 10CB sau

5 6 4 3 4 6 6 7

2/ Tần số-Tần suất

Giả sử dãy n số liệu thống kê cho có k giá trị khác ( k≤ n) Gọi xi giá trị

bất kì k giá trị đó, ta có:

* Tần số: số lần xuất giá trị xi dãy số liệu cho gọi là tần số giá trị đó, kí hiệu ni

Ví dụ: Trong bảng số liệu ta thấy có giá trị khác x1= 2, x2= 3, x3= 4, x4= 5, x5= 6, x6= 7, x7=

x1=2 xuất lần  n1= (tần số x1 2)

* Tần suất: Số

ni fi n

gọi tần suất giá tri xi (tỉ lệ ni, tỉ lệ phần trăm)

Ví dụ: x1 có tần số 2, đó:

2 40

f 

hay f1= 5% * Bảng phân bố tần suất tần số

Tên liệu Tần số Tần suất (%) x1

x2 xk

n1 n2 nk

f1 f2 fk Cộng n1+…+nk 100 %

Ví dụ: Bảng phân bố tần số tần suất điểm kiểm tra 15’ mơn tốn 10CB Điểm15’ tốn Tần số Tần suất ( %)

2

2 10

7 10

15 25 17,5 25 10 2,5

Cộng 40 100%

* Chú ý: Nếu bỏ cột tầng số ta bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất ta bảng phân bố tần số

3/ Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp

Giả sử n dãy số liệu thông kê cho phân vào k lớp (k < n) Xét lớp thứ i k lớp đó, ta có:

+ Số ni số liệu thông kê thuộc lớp thứ i tần số lớp đó + Số

ni fi n

(113)

Ví dụ: Theo bảng thơng kê ta phân thành lớp [2;5), [5;7), [7;8] Lớp điểm 15’

toán Tần số Tần suất ( %) [2;5)

[5;7) [7;8]

18 17

45,0 42,5 12,5

Cộng 40 100%

* Bảng gọi bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp Nếu bỏ cột tần số ta bảng phân bố tần suất ghép lớp; Nếu bỏ cột tần suất ta bảng phân bố tần số ghép lớp.

Ví dụ: Cho số liệu thống kê ghi theo bảng sau ( thành tích chạy 50m học sinh lớp 10A, đơn vị tính bằng: giây)

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 7,2 8,3 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 7,5 7,6 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với lớp:

[6,0;6,5); [6,5;7,0);[7,0;7,5);[7,5;8,0);[8,0;8,5);[8,5;9,0]

b) Trong lớp 10A số học sinh chạy 50m hết từ giây đến 8,5 giây chiếm phần trăm?

Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 4,0

4,5 5,0 5,5 6,0 6.5 7,0 13,0

1

(114)

§2 BIỂU ĐỒ I/ Biểu đồ tần suất hình cột đường gấp khúc tần suất Cách vẽ biểu đồ tần suất, tần số hình cột

Để mô tả bảng phấn bố tần suất ghép lớp trình bày số liệu thống kê, vẽ biễu đồ tần suất hình cột sau:

+ Chọn hệ trục Oxf với đơn vị trục hoành Ox đơn vị dấu hiệu X nghiên cứu; đơn vị trục tung Of 1%

+ Để đồ thị cân đối, phải cất bỏ đoạn náo trục hồnh (hoặc trục tung), dùng dấu "…" để biểu diễn phần bị cắt bỏ

+ Trên trục hành, đặt khoảng có mút biểu diễn cho mút lớp bảng phân bố tần suất ( độ dái khoảng bề rộng lớp) Ta gọi khoảng lớp tương ứng Lấy khoảng làm cạnh đáy, vẽ hình chữ nhật có độ dài đường cao tần suất lớp tương ứng nằm phía chiều dương trục tung

Ví dụ: xem SGK

* Cách vẽ biểu đồ tần số hình cột: tương tự, thay trục tần suất cột tần số Cách vẽ đường gấp khúc tần suất, tần số

+ Trong bảng phân bố ghép lớp ta lấy giá trị trung bình cộng hai mút lớp thứ i làm giá trị đại diện lớp đó, kí hiệu ci

+ Trên mặt phẳng tọa độ Oxf, xác định điểm (ci;fi), i=1;2;3; ;k + Vẽ đoạn thẳng nối điểm (ci;fi) với điểm (ci+1;fi+1)

Ví dụ: xem SGK II Biểu đồ hình quạt

+ Tồn hình trịn biểu diễn cho 100%

+ Mỗi hình quạt biểu diễn số phần trăm bảng cấu

(115)

§3 SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT

Để thu thông tin quan trọng từ số liệu thống kê, người ta sử dụng số đặc trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn Các số đạc trưng phản ánh khía cạnh khác dấu hiệu điều tra

1/ Số trung bình cộng (x)

* Bảng phân bố tần suất tần số

Tên liệu Tần số Tần suất (%) x1

x2 xk

n1 n2 nk

f1 f2 fk Cộng n=n1+…+nk 100 %

Trung bình cộng số liệu thống kê tính theo công thức;

1( )

1 2 1 2

x n x n x n xk k f x f x f xk k n

       

* Trường hợp Bảng phân bố tần suất tần số ghép lớp

1( )

1 2 1 2

x n c n c n ck k f c f c f ck k n

       

ci , fi , ni giá trị đại diện lớp thứ i

Ý nghĩa so trung bình:

Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó số đặc trưng quan trọng mẫu số liệu.

Ví dụ 1:

Một nhà thực vật học đo chiều dài 74 thu số liệu sau ( đơn vị mm)

Lớp Giá trị đạidiện Tần số

[5,45 ; 5,85) [5,85 ; 6,25) [6,25 ; 6,65) [6,65 ; 7,05) [7,05 ; 7,45) [7,45 ; 7,85) [7,85 ; 8,25)

5,65 6,05 6,45 6,85 7,25 7,65 8,05

5 15 19 16 N = 74

Khi chiều dài trung bình 74 :

x 74

05 , 65 , 05 , 65 ,

5    



6,80 (mm)

Ví dụ : Một nhóm 11 học sinh tham gia kì thi Số điểm thi 11 học sinh xếp từ

thấp đến cao sau: (thang điểm 100): ; ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89 Điểm trung bình là:

x= 

    

11

89 85 63 0

61,09

(116)

2/ Số trung vị (Me)

Khi số liệu mẫu có chênh lệnh lớn số trung bình khó đại diện cho số liệu mẫu Có số khác thích hợp trường hợp Đó số trung vị

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc khơng tăng) Khi đó, số trung vị (của số liệu thống kê cho) kí hiệu Me :

+ số đứng dãy số phần tử n lẻ ; (= n+21 )

+ trung bình cộng hai số đứng dãy số phần tử n chẵn (=trung bình cộng số hạng thứ

n

 )

Ví dụ 1: Điểm thi toán học sinh sau: 1; 1; 3; 6; 7; 8; 8; 9; 10 Ta có Me=

Ví dụ 2: Số điểm thi tốn học sinh sau: 1; 2,5; 8; 9,5 Ta có Me=

2,5

5, 25

 

3/ Mốt (MO)

Mốt bảng phân bố tần số giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất kí hiệu MO Chú ý: Có hai giá trị tần số lớn tần số giá trị khác ta nói trường hợp có hai Mốt, kí hiệu

(1), (2)

MO MO

Ví dụ : Một cửa hàng bán loại quạt với giá tiền 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn

đồng) Số quạt cửa hàng bán mùa hè vừa qua thống kê bảng tần số sau:

Giá tiền 100 150 300 350 400 500

Số quạt bán được 256 353 534 300 534 175

Nhận xét tìm mốt ?

4/ Chọn đại diện cho số liệu thống kê:

a) Trường hợp số liệu thông kê loại số lượng thống kê đủ lớn (n  30) ta ưu tiên chọn số trung bình làm đại diện cho số liệu thống kê ( quy mô độ lớn) b) Trường hợp khơng tính giá trị trung bình ta chọn số trung vị mốt làm đại

diện cho số liệu thống kê ( quy mô độ lớn)

c) Khơng nên dùng số trung bình để đại diện cho số liệu thống kê trường hợp sau (có thể dùng số trung vị mốt):

+ Số số liệu thống kê (n ≤ 10)

+ Giữa số liệu thống kê có chênh lệc lớn

(117)

§4 PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I PHƯƠNG SAI:

Phương sai, kí hiệu sx2

+ Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

x k k

s n x x n x x n x x

n 

      

 

f x1( 1 x)2f x2( 2 x)2 f xk( k x) + Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

2 2

1 2

1

( ) ( ) ( )

x k k

s n c x n c x n c x

n 

        

f c1( 1 x)2 f c2( 2 x)2  f ck( k x) + Có thể tính theo cơng thức sau:  

2 2 x

s x  x

Trong x2=

2 2 2

1 2 1 2

1

k k k k

n x n x n x f x f x f x

n        

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất) x2=

2 2 2

1 2 1 2

1

k k k k

n c n c n c f c f c f c

n        

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp) *Ý nghĩa phương sai

+ Phương sai sử dụng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình).

+ Khi hai dãy số liệu thống kê có đơn vị đo có số trung bình xấp xỉ nhau, dãy có phương sai nhỏ mức độ phân tán (so với số trung bình) các số liệu thống kê bé

II ĐỘ LỆCH CHUẨN:

Khi ý đơn vị đo ta thấy phương sai sx2 có đơn vị đo bình phương đơn vị đo nghiên cứu ( đơn vị đo nghiên cứu cm sx2 cm2), để tránh tình trạng ta dùng bậc hai phương sai gọi độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn, kí hiệu sx

2

x x

s  s

* Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn dùng đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình) Khi cần ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá độ lệch chuẩn có đơn vị với dấu hiệu X nghiên cứu

Ví dụ 1 :Sản lượng lúa (đơn vị tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng tần số sau đây:

Sản lượng (x) 20 21 22 23 24

Tần số (n) 11 10 N = 40

a) Tìm sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tính phương sai độ lệnh chuẩn

Giải: a) Sản lượng trung bình 40 ruộng 40

884

 x

= 22,1 (tạ) b) s2 =

2

40 884 40

19598

      

(118)

Ví dụ 2:

Điểm trung bình mơn học hai học sinh An Bình năm học vừa qua sau:

Môn Điểm TBcủa An Điểm TB Bình

Tốn Vật lí Hóa học Sinh học Văn học Lịch sử Địa lí Anh văn Thể dục Công nghệ GDCD

8 7,5 7,8 8,3 8,2

9 8,3

9

8,5 9,5 9,5 8,5 5,5

6 9 8,5

10 a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn An , Bình

b) Nêu nhận xét

a) Từ số liệu cột điểm An ta có SA2= 11

91 , 725

-2

11 , 89

     

 0,3091 ;SA 0,556 Từ số liệu cột điểm Bình ta có

2 B S = 11

5 , 705

-2

11 89

     

 2,764; SB 1,663

(119)

THỰC HÀNH GIẢI TOÁN THỐNG KÊ LỚP 10

BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY CASIO

- -1 Sử dụng máy Casio fx - 570 ES (Stat MODE )

(120)

3 Sử dụng máy Casio fx - 570 ES.lus

4 Sử dụng máy Casio fx - 570 MS MODE MODE (SD)

5 Sử dụng máy Casio fx - 500 MS

a) Tính số trung bình cộng x

(121)

BÀI TẬP

Bài 1/ Cho số liệu thống kê ghi theo bảng sau (thời gian hoàn thành giản phẩm nhóm cơng nhân, đơn vị tính: phút)

42 45 45 54 48 42 45 45 54 48 42 45 45 50 48 42 45 45 50 48 44 45 45 50 48 44 45 45 50 48 44 45 45 48 50 44 45 45 48 50 44 45 45 48 50 45 45 54 48 50 a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất

b) Trong 50 công nhân khảo sát, cơng nhân có thời gian hồn thành sản phẩm từ 45 phút đến 50 phút chiếm phần trăm

Bài 2/ Cho số liệu thống kê chiều cao 120 học sinh lớp 11, đơn vị tính : cm Như sau

Nam Nữ 175 176 176 177 176 170 170 170 165 166 175 175 176 176 175 163 162 161 165 169 144 143 142 141 144 156 157 160 164 163 146 147 149 148 152 168 167 166 174 173 161 162 158 159 160 150 151 152 153 155 160 160 160 161 162 172 171 170 170 170 172 172 172 175 175 170 170 170 170 170 175 176 176 175 176 141 142 142 150 154 150 152 152 160 160 160 161 162 164 165 155 156 157 158 159 144 144 143 143 140 145 146 147 148 149 150 154 152 152 153 160 165 159 165 159 168 159 168 159 168 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp cho nam nữ với lớp:

[135;145); [145;155); [155;165); [165;175); [175;185]

b) Trong số học sinh chiều cao chưa đến 155cm (của 120 hs khảo sát), học sinh nam đông hay học sinh nữ đông hơn?

Bài 3/ Cho số liệu thống kê thời gian từ nhà đến trường bạn A 35 ngày (thời gian tính: phút) sau:

21 22 22 21 23 22 19 20 20 21 24 23 24 23 26 19 20 21 22 21 23 23 24 23 24 26 27 28 29 28 25 26 25 26 25

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: [19;21),[21;23),[23;25),[25;27),[27;29] b) Thời gian đến trường từ 21 phút đến 25 phút chiếm phần trăm? Bài 4/ Cho bảng phân bố ghép lớp ( kết đo 55 hs, đo tổng góc tứ

giác lồi)

Lớp số đo (độ) Tần số [535;537) [537;539) [539;541) [541;543) [543;545] 10 25 Cộng 55

(122)

Bài 5/ Cho số liệu thông kê nhiệt độ trung bình (0C) tháng địa phươ A thừ 1961 đến 1990 sau:

27,1 28,1 26,8

26,9 27,4 26,7

28,5 27,4 29,0

27,4 26,5 28,4

29,1 27,8 28,3

27,0 28,2 27,4

27,1 27,6 27,0

27,4 28,7 27,0

28,0 27,3 28,3

28,6 26,8 25,9 a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp

[25;26), [26;27), [27;28); [28;29), [29;30]

b) Trong 30 năm khảo sát, năm có nhiệt độ trung bình tháng (ở địa phương A) từ 280C đến 300C chiếm phần trăm?

Bài / a) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp lập tập số cách vẽ biểu đồ tần số hình cột, vẽ đường gấp khúc tần số

b) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập tập số cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột, vẽ đường gấp khúc tần suất

c) Dựa vào biểu đồ tần suất hình cột vẽ câu b) nêu nhận xét thời gian bạn A từ nhà tới trường 35 ngày khảo sát

Bài / a) Trong hệ trục tọa độ vẽ:

Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập tập số theo chiều cao học sinh nam;

Đường gấp khúc tần suất mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập tập số theo chiều cao học sinh nữ;

b) Dựa vào đường gấp khúc tần suất vẽ câu a) so sánh phân bố theo chiều cao học sinh nam nữ

Bài 8/ Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:

Tình hình tham gia hoạt động ngồi lên lớp 73 học sinh lớp 10 trương THPT B ( thời gian tháng)

Bài 9/ Cho biểu đồ hình quạt

Cơ cầu chi tiêu người dân Việt Nam, phân theo khoản chi (%)

Dựa vào biểu đồ hình quạt cho, lập bảng trình bày cấu chi

tiêu nhân dân Việt Nam

trong năm 1975 1989 1975

(123)

Bài 10/

a) Bằng hai cách khác nhau, tính số trung bình dãy số liệu chiều cao học sinh nam nữ cho bảng tập

b) So sánh chiều cao học sinh nam nữ nhóm học sinh khảo sát c) Tính chiều cao trung bình tất học sinh khảo sát

Bài 11/

a) Tính số trung bình số liệu thống kê cho tập 3,4,5 b) Nêu ý nghĩa số trung bình tính

Bài 12/ Cho bảng phân bố tần số

Mức thu nhập năm 2000 31 gia đình vùng núi cao

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt số liệu thống kê cho b) Chọn giá trị đại diện cho số liệu thống kê cho

Bài 13/ Cho bảng xếp loại lao động học sinh lớp 10A năm học 2000-2001.

Loại lao động Tần số

A B C D

10 16 16

Cộng 49

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt bảng tính

b) Chọn giá trị đại diện cho giá trị thống kê cho quy mơ độ lớn Bài 14/Tính

a) Tính phương sai độ lệch chuẩn dãy số liệu chiều cao học sinh nam học sinh nữ cho tập

b) Giả sử trường THPT M cịn có nhóm học sinh nam lớp 10 chun Tốn (kí hiệu nhóm T) có chiều cao trung bình 163cm, có độ lệch chuẩn sx=13 So sánh chiều cao ba nhóm học sinh cho (nhóm nam, nữ nhóm T)

Mức thu nhập (triệu đồng) Tần số 4,0

4,5 5,0 5,5 6,0 6.5 7,0 13,0

1

(124)

Bài 15/ Hai xạ thủ tập bắn, người bắn 30 viên đạn vào bia Kết ghi lại bảng sau:

Điểm số A:

8 10 9

10 8

10 10

10

10 9

9 8

Điểm số B:

9 10

10 8

9 10 10

8 10 10

9 10 7

9 8

a) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn số liệu thống kê cho bảng

b) Xét xem lần tập bắn này, xạ thủ bắm chụm

Bài 16/ Người ta điều tra sản phẩm hai tổ đóng gói túi đường (có khối lượng quy định 2kg) Kết điều tra cho số liệu thống kê ghi bảng sau:

Khối lượng 40 túi đường đóng gói tổ A (đơn vị kg)

1.95 2.09 1.91 1.99 1.93 2.07 5.15 1.96 1.93 1.94

1.94 2.05 2.02 1.97 1.91 1.95 2.05 2.04 2.03 2.00

2.02 1.94 1.92 1.97 2.00 2.02 2.04 2.05 2.02 2.02

1.94 2.01 1.99 1.95 2.03 2.06 1.91 2.14 1.90 2.25

Khối lượng 40 túi đường đóng gói tổ B (đơn vị kg)

1.77 1.79 1.80 1.69 1.76 1.69 1.69 1.93 1.94 1.98

2.07 1.98 1.96 1.97 2.06 1.96 1.96 1.91 1.93 2.06

1.97 2.07 2.06 2.08 1.91 1.95 2.05 1.93 1.94 2.02

2.22 2.31 1.80 2.30 2.30 2.23 2.31 2.25 2.24 2.23

a) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp theo sản phẩm tổ A với lớp: [1.90;1.98);[1.98;2.06);[2.06;2.14);[2.14;2.22);[2.22;2.30)

b) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp theo sản phẩm tổ B với lớp: [1.5;1.7);[1.7;1.9);[1.9;2.1);[2.1;2.3);[2.3;2.5)

c) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn số liệu thống kê cho bảng bảng Từ xét xem lần điều tra này, sản phẩm tổ có khối lượng đồng

Bài 17: Số liệu sau cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng cửa hàng năm 2005. Đơn vị triệu đồng

T 10 11 12

L 12 15 18 13 13 16 18 14 15 17 20 17

(125)

Đáp số: a) x15.67triệu đồng; Me 15.5triệu đồng

b) s2 5.39;s2.32 triệu đồng

Bài 18 Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán 23 ngày cuối năm 2005 Kết sau: 47 ; 54 ; 43 ; 50 ; 61 ; 36 ; 65 ; 54 ; 50 ; 43 ; 62 ; 59 ; 36 ;

45 ; 45 ; 33 ; 53 ; 67 ; 21 ; 45 ; 50 ; 36 ; 58 a) Tìm số trung bình, số trung vị

b) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

Đáp số: a)x48.39;Me50; b)s2 121.98; s11.04

Bài 19 Số lượng khách đến tham quan điểm du lịch tháng thống kê như sau

T 10 11 12

SK 430 560 450 550 760 430 525 110 635 450 800 950

a)Tìm số trung bình, số trung vị b) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

Đáp số: a) x554.17; Me 537.5 b)s2 43061.81; s207.51

Bài 20 Trên hai đuờng A B, trạm kiểm soát ghi lại tốc độ (km/h) 30 ô tô đường sau:

Con đường A : 60 ; 65 ; 70 ; 68 ; 62 ; 75 ; 80 ; 83 ; 82 ; 69 ; 73 ; 75 ; 85 ; 72 ; 67 ; 88 ; 90 ;

85 ; 72 ; 63 ; 75 ; 76 ; 85 ; 84 ; 70 ; 61 ; 60 ; 65 ; 73 ; 76

Con đường B: 76 ; 64 ; 58 ; 82 ; 72 ; 70 ; 68 ; 75 ; 63 ; 67 ; 74 ; 70 ; 79 ; 80 ; 73 ; 75 ; 71 ; 68 ; 72 ; 73 ; 79 ; 80 ; 63 ; 62 ; 71 ; 70 ; 74 ; 69 ; 60 ; 63

a)Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai độ lệch chuẩn tốc độ ô tô b) Theo em lái xe đường an tồn ?

Đáp số: a) Trên đường A : x73.63km h M/ ; e73km h s/ ; 74.77;s8.65km h/ Trên đường B: x70.7km h M/ ; e 71km h s/ ; 38.21;s6.18km h/

b) Lái xe đường B an toàn đường A vận tốc trung bình ô tô đường B nhỏ đường A độ lệch chuẩn ô tô đường B nhỏ đường A

Bài 21: 400 trứng phân thành năm lớp khối lượng (đơn vị gam) chúng Ta có bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây:

Lớp Tần số

[27,5 ; 32,5) [32,5 ; 37,5) [37,5 ; 42,5) [42,5 ; 47,5) [47,5 ; 52,5)

18 76 200 100 N = 400

a) Tính số trung bình

b) Tính phương sai , độ lệch chuẩn

Đáp số: a) x ≈40g b) s2≈17; s ≈4 12g

Bài 22 Một người lái xe thường xuyên lại hai địa điểm A B.Thời gian (tính phút) ghi lại bảng phân bố tần số ghép lớp sau:

[40 ; 44] [45 ; 49] [50 ; 54] [55 ; 59] [60 ; 64] [65 ; 69]

9 15 30 17 17 12

+ A'(-1; 0)

B'(0; -1) B(0; 1)

O

(126)

b) Tính phương sai độ lệch chuẩn

Đáp số: a) Thời gian trung bình mà người từ A đến B xấp xỉ 54.7 phút

b) s2 53.71;s7.33phút

Bài 23 Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi 30 bệnh nhân mắc bệnh đau mắt hột Kết thu sau: 21; 17; 22; 18; 20; 17; 15; 13; 15; 20; 15; 12; 18; 17; 25; 17; 21; 15; 12; 18; 16;

23; 14; 18; 19; 13; 16; 19; 18; 17 a) Lập bảng phân bố tần số

b) Tính số trung bình độ lệch chuẩn c) Tính số trung vị mốt

Đáp số: a) Lập bảng với hàng : tuổi tần số

b) x17.37;s3.12

c) Me 17có mốt M0 17,M0 18

Bài 24 Người ta tiến hành vấn số người phim chiếu truyền hình

Người điều tra yêu cầu cho điểm phim (thang điểm là100) Kết trình bày bảng phân bố tần số sau đây:

[50 ; 64) [60 ; 70) [70 ; 80) [80 ; 90) [90 ; 100)

2 10

8 N = 30 a) Tính số trung bình

b) Tính phương sai độ lệch chuẩn

(127)

Bài tập Thêm

Bài 1: Số học sinh giỏi trường THPT gồm 30 lớp cho bảng sau:

0 0 0 1 5

1 3 0 6

a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất

Bài 2: Nhiệt độ 24 tỉnh, thành phố Việt Nam vào ngày tháng sau (đơn vị: độ)

36 30 31 32 31 40 37 29

41 37 35 34 34 35 32 33

35 33 33 31 34 34 35 32

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất

Bài 3: Kết điều tra số gia đình 45 hộ xã miền núi ghi sau:

4 2 1

0 3 3 4

4 1 1 2 3

b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn

Bài 4: Một trạm kiểm soát giao thong ghi tốc độ 30 xe môtô qua trạm sau:

40 58 60 75 45 70 60 49 60 75

52 41 70 65 60 42 80 65 58 55

65 75 40 55 68 70 52 55 60 70

Tìm số trung bình, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn

Bài 5: Hai lớp 10A 10B trường THPT đồng thời làm thi môn Văn theo đề thi Kết sau:

Lớp 10A:

Điểm thi 10 Cộng

Tần số 12 14 40

Lớp 10B:

Điểm thi Cộng

Tần số 18 10 40

a) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn bảng số liệu b) Nhận xét xem lớp học

Bài 6: Điều tra tiền lương hàng tháng 30 công nhân xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau:

Tiền lương 300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tần số 6 30

a) Lập bảng phân bố tần suất

b) Tính số trung bình, trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn bảng số liệu c) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số - tần suất

Bài 7: Điểm thi toán 60 học sinh lớp 10 cho bảng sau:

1

2 10 10

4 10 3

2 5

4 6

M3 M1

M2

A A'

B' B

O M

y

x A

A'

B' B

(128)

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với lớp sau: [0;2), [2; 4), …, [8;10] b) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn

c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột

d) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc tần số, tần suất e) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt

Bài 8: Số điện tiêu thụ khu dân cư tháng sau (đơn vị: KW):

50 47 30 65 63 70 38 34 48 53

55 50 61 37 37 43 35 65 60 31

33 41 45 55 59 33 39 32 40 50

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với lớp sau: [30;35), [35; 40), …, [65;70]

b) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột

Bài 9: Trong điều tra 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư với câu hỏi: “Tháng trước anh (chị) sử dụng hết cuộn phim?” thu mẫu số liệu sau:

5 3 4

4 10 11

15 13 7

3 8 10 14 16 17 6 12

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với lớp sau: [0;2], [3; 5], …, [15;17] b) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn

c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột

Bài 10: Quyên góp tiền ủng hộ từ thiện trường học sau (đơn vị: nghìn đồng)

95 98 102 95 97 110 115 120 112 96

98 125 uplo

ad.1 23d oc.n et

120 98 100 105 121 uplo

ad.1 23d oc.n et

99

105 115 97 99 96 99 105 124 125 125

a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp với lớp sau: [95;100), [100;105), …, [125;130]

b) Tính số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn c) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột

Bài 11: Điểm trung bình 10 học sinh lớp 10A thống kê theo bảng sau:

Học sinh 10

Điểm 9,0 5,0 6,0 7,0 7,5 8,0 6,0 8,0 4,0 3,0 a) Tính Me x bảng thống kê điểm số

(129)

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG V: THỐNG KÊ

1. Chobảng số liệu thống kê:

Năngsuất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 31 tỉnh từ Nghệ An trở vào

30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 35 25 45

30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40

40 35 35 35 35

a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất

b) Dựa vào kết câu a), đưa nhận xét số liệu thống kê c) Tính số trung bình cộng x

d) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

2. Chobảng số liệu thống kê:

Thời gian (phút) hồn thành tập tốn học sinh lớp 10A.

20,8 20,7 23,1 20,7 20,9 20,9 23,9 21,6 25,3 21,5 23,8 20,7 23,3 19,8 20,9 20,1 21,3 24,2 22,0 23,8 24,1 21,1 22,8 19,5 19,7 21,9 21,2 24,2 24,3 22,2 23,5 23,9 22,8 22,5 19,9 23,8 25,0 22,9 22,8 22,7 a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp sau:

[19,5 ; 20,5) [20,5 ; 21,5) [21,5 ; 22,5)

[22,5 ; 23,5) [23,5 ; 24,5) [24,5 ; 25,5]

b) Dựa vào kết câu a), đưa nhận xét số liệu thống kê cho c) Tính số trung bình cộng x

3 Chobảng số liệu thống kê:

Sản lượng thuỷ sản nuôi trồng năm 2000 (đơn vị: tấn) 30 tỉnh từ Thừa Thiên - Huế trở ra: 775 51 522 40 280 1245 1942 557 86 131 834 391 433 20 89 33 312 872 1763 303 200 554 1902 27 626 94 74 1165 419 164 a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất:

[20 ; 320) [320 ; 620) [620 ; 920)

[920 ; 1220)

[1220 ; 1520) [1520 ; 1820) [1820 ; 2120] b) Dựa vào kết câu a), nêu nhận xét số liệu thống kê cho

c) Tính số trung bình cộng x

4 Chobảng số liệu thống kê:

Giá trị thành phẩm quy tiền (đơn vị: nghìn đồng) 30 ngày sản xuất phân xưởng hoá chất

180 186 190 204 192 200 201 203 191 202 212 205 211 240 216 208 209 222 221 220 225 206 228 231 220 239 210 213 202 203

a) ) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp, với lớp sau:

[180 ; 192) [192 ; 204) [204 ; 216) [216 ; 228) [228 ; 240]

b) Biết định mức lao động phân xưởng “mỗi ngày phải sản xuất tối thiểu 204 nghìn đồng” xác định xem số ngày mà phân xưởng hoàn thành định mức lao động chiếm tỉ lệ phần trăm (trong 30 ngày khảo sát)

c) Tính số trung bình cộng x d) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

5. Với tỉnh, người ta ghi lại số phần trăm trẻ em sinh có trọng lượng 2500 g Sau kết khảo sát 43 tỉnh (đơn vị : %)

5,1 5,2 5,2 5,8 6,4 7,3 6,5 6,9 6,6 7,6 8,6 6,5 6,8 5,2 5,1 6,0 4,6 6,9 7,4 7,7 7,0 6,7 6,4 7,4 6,9 5,4 7,0 7,9 8,6 8,1 7,6 7,1 7,9 8,0 8,7 5,9 5,2 6,8 7,7 7,1 6,2 5,4 7,4

a) Hãy lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp gồm lớp Lớp thứ nửa khoảng [4,5 ; 5,5), lớp thứ hai [5,5 ; 6,5),………(Độ dài nửa khoảng 1)

b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt

(130)

6. Kết kì thi mơn Tiếng Anh 32 học sinh cho mẫu số liệu sau (thang điểm 100) 68 52 49 56 69 74 41 59

79 61 42 57 60 88 87 47 65 55 68 65 50 78 61 90 86 65 66 72 63 95 72 74

a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp, sử dụng sáu lớp : [40 ; 50) ; [50 ; 60) ; … ; [90 ; 100)

b) Vẽ biểu đồ tần số hình cột c) Vẽ đường gấp khúc tần số

d) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt e) Tính số trung bình mẫu số liệu

trên

f) Tìm số trung vị mốt g) Tìm phương sai độ lệch

chuẩn

7 Điểm trung bình kiểm tra 02 nhóm học sinh lớp 10

Nhóm : học sinh Nhóm : 11 học sinh

1, 2, 3, 5, 6, 6, 7, 8, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 10

a) Hãy lập bảng phân bố tần số tuần suất ghép lớp với lớp [1, 5); [5, 6]; [7, 8]; [9, 10] nhóm

b) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn bảng phân bố c) Nêu nhận xét kết làm hai nhóm

d) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột nhóm

8. Số tiết tự học nhà tuần (tiết/tuần) 20 học sinh lớp 10X trường MC ghi nhận sau : 15 11 12 16 12 10 14 14 15

16 13 16 11 10 12 18 18 a) Lập bảng phân phối rời rạc theo tần số cho dãy số liệu

b) Vẽ biểu đồ đường gấp khúc theo tần số biểu diễn bảng phân phối c) Tính số trung bình cộng phương sai giá trị

9 Năng suất lúa (tạ/ha) 30 hộ nông dân xã A, huyện B, tỉnh X vào năm 2008 sau: 24 30 30 35 26 45 40 34 37 52

33 48 34 47 51 28 36 44 48 55 29 35 47 54 39 43 32 29 46 51 a) Lập bảng phân bố tần số – tần suất ghép lớp theo lớp:

Lớp (năng suất thấp) = [20 ; 30) Lớp (năng suất TB) = [30 ; 40) Lớp (năng suất khá) = [40 ; 50) Lớp (năng suất cao) = [50 ; 60)

b) Vẽ biểu đồ hình cột đường gấp khúc (theo tần số) từ bảng phân bố Nêu nhận xét kết vụ thu hoạch

c) Tính suất trung bình xã A tìm số trung vị Giữa số trung bình số trung vị số làm đại diện tốt

d) Tính phương sai độ lệch chuẩn

10 Chiều cao 45 học sinh lớp ( tính cm ) ghi lại sau : 102 102 113 138 111 109 98 114 101

103 127 upload.123doc.net 111 130 124 115 122 126 107 134 108 upload.123doc.net 122 99 109 106 109 104 122 133 124 108 102 130 107 114

147 104 141 103 108 upload.123doc.net 113 138 112 a) Lập bảng phân phối tần số – tần suất ghép lớp (98 - 102); (103 - 107); …… ; (143 - 147)

b) Vẽ đường gấp khúc tần số c) Vẽ biểu đồ tần suất hình quạt

d) Tìm số trung bình cộng số trung vị e) Tính phương sai độ lệch chuẩn

11. Xem bảng tiền lương 30 công nhân xưởng may (trong tháng)

Tiền lương xi (nghìn đồng) 300 500 700 800 900 1000 Cộng

Tần số ni 5 30

Tính số trung bình cộng xcủa bảng thống kê tìm mốt M0 bảng phân phối thực nghiệm

12. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần suất ghép lớp Hãy tính số trung bình cộng, phương

sai độ lệch chuẩn bảng phân phối thực nghiệm

Các lớp giá trị X [10 ; 14) [14 ; 18) [18 ; 22] Cộng

Tần suất fi(%) 65 10 25 100%

13. Cho bảng phân phối thực nghiệm tần số ghép lớp:

Năng suất lúa năm 1985 31 ruộng địa phương A

Các lớp giá trị X (tạ/ha) Tần số ni

y

x S

H K

A

B' B

O M

a) Tính số trung bình cộng x

(131)

[15,50 ; 20,50) [20,50 ; 25,50) [25,50 ; 30,50) [30,50 ; 35,50]

3 10 11

Cộng 31

14. Sản lượng lúa (đơn vị: tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng phân phối thực nghiệm tần số sau đây:

Sản lượng xi 20 21 22 23 24 Cộng

Tần số ni 11 10 40

a) Tìm sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tìm số trung vị mốt

c) Tìm phương sai độ lệch chuẩn

15.

Bài tập

Bài 1: Điểm kiểm tra mơn Tốn học sinh lớp 10A trường X cho bảng sau

Điểm 10

Tần số 10

Tìm số trung bình, số trung vị mốt.phương sai độ lệch chuẩn

Bài 2: Bạn Lan ghi lại số điện thoại nhận ngày tuần

10 15 12 13 16 16 10 a Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn b Lâp bảng phân bố tần số ghép lớp với lớp sau:

0;4 , 5;9 , 10,14 , 15,19      

Bài 3: : Số liệu sau ghi lại mức thu nhập hàng tháng làm theo sản phẩm 20 công nhân tổ sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Thu nhập

(X) 10 12 15 18 20

Tần số(n) 1

Tính số trung bình , số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn (chính xác đến 0,01) Bài 4: Cho bảng phân bố tần số

Điểm kiểm tra toán

1 Cộng

Tần số 19 11 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn tìm mốt bảng cho

Bài 5: Số liệu sau ghi lại mức thu nhập hàng tháng 400 công nhân sở sản xuất (đơn vị tính : trăm ngàn đồng )

Nhóm Khoảng Tần số Giá tri đại diện

Tần suất

2

[8;10) [10;12) [12;14) [14;16)

60 134 130 70

………… ………… ………… …………

(132)

N=400

(133)

Bài Chiều cao 30 học sinh lớp 10 liệt kê bảng sau (đơn vị cm): 145 158 161 152 152 167

150 160 165 155 155 164 147 170 173 159 162 156 148 148 158 155 149 152 152 150 160 150 163 171

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp với lớp là: [145; 155); [155; 165); [165; 175]

b) Vẽ biểu đồ tần số, tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất c) Phương sai độ lệch chuẩn

Bài 7: Cho bảng phân bố tần số tiền thưởng (triệu đồng) cho cán nhân viên công ty

Tiền

thưởng Cộng

Tần số 15 10 43

Tính phương sai, độ lệch chuẩn, tìm mốt số trung vị phân bố tần số cho Bài 8: Cho số liệu thống kê ghi bảng sau đây:

645 650 645 644 650 635 650 654 650 650 650 643 650 630 647 650 645 650 645 642 652 635 647 652

a Lập bảng phân bố tần số, tần suất lớp ghép với lớp là: 630;635,635;640,640;645,

645;650, 650;655 b Tính phương sai bảng số liệu c Vẽ biểu đồ hình cột tần số, tần suất

Bài : Chiều cao 40 vận động viên bóng chuyền

Lớp chiều cao

( cm ) Tầnsố [ 168 ; 172 )

[ 172 ; 176 ) [ 176 ; 180 ) [ 180 ; 184 ) [ 184 ; 188 ) [ 188 ; 192 ]

4 14

8

Cộng 40

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp ?

b) Nêu nhận xét chiều cao 40 vận động viên bóng chuyền kể ?

c) Tính số trung bình cộng , phương sai , độ lệch chuẩn ?

d) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp lập câu Bài 10: Khảo sát dân số địa phương ta có bảng kết sau:

Dưới 20

tuổi Từ 20 đến 60tuổi Trên 60tuổi Tổngcộng

11 800 23 800 500 40 100

(134)

Bài 11. Để khảo sát kết thi mơn Tốn kỳ thi tuyển sinh đại học năm vừa qua trường A,

người điều tra chọn mẫu gồm 100 học sinh tham gia kỳ thi tuyển sinh Điểm mơn Toán (thang điểm 10) học sinh cho bảng phân bố tần số sau

Điểm 10

Tần

số 1 13 19 24 14 10 N100

1 Tìm mốt Tìm số trung bình (chính xác đến hàng phần trăm)

2 Tìm số trung vị Tìm phương sai độ lệch chuẩn (chính xác đến hàng phần trăm) Vẽ biểu đồ tần số tần suất hình cột

Bài 12. Tiến hành thăm dò số tự học học sinh lớp 10 nhà tuần,

người điều tra chọn ngẫu nhiên 50 học sinh lớp 10 đề nghị em cho biết số tự học nhà 10 ngày Mẫu số liệu trình bày dạng phân bố tần số ghép lớp sau (đơn vị giờ)

0;9

10;19

20;29 15

30;39 10

40;49

50;59

50

N

a) Bổ sung cột tần suất để hình thành bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp b) Tính số trung bình cộng, phương sai độ lệch chuẩn

(135)

Chương IV

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I Khái niệm cung góc lượng giác:

Đường trịn định hướng cung lượng giác:

Đường tròn định hướng đường trịn chọn chiều di động gọi chiều dương, chiều ngược lại chiều âm.Ta qui ước chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương

-+

A

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A, B Điểm M di động đường tròn theo chiều (âm dương) từ A đến B tạo thành cung đgl cung lượng giác

Kí hiệu : AB cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B Với điểm A, B có vơ số cung lượng giác

2 Góc lượng giác:

Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD điểm M di động đường tròn từ C đến D Tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD Khi tia OM tạo góc lượng giác có tia đầu OC tia cuối OD.

Kí hiệu: (OC,OD) 3-Đường trịn lượng giác :

Đường tròn lượng giác: đường tròn định hướng tâm O bán kính R=1và cắt Ox A(1; 0) A’(-1; 0); cắt Oy B(0; 1) B’(0; -1)

II Số đo cung góc LG: Độ radian

Trên đường tròn tùy ý cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad 1800 =  rad

10 = 180 

rad rad=(

180

 )0 với  3,14; 100,01745rad

Chú ý: Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vị radian, ta thường khơng viết chữ rad sau số Ví dụ:

 ;

 *Bảng chuyển đổi thông dụng:

Độ 300 450 600 900 1800 3600 rad

6



 2 *Độ dài cung lượng giác

Độ dài cung có số đo  rad đường trịn bán kính R : l = R

+ A'(-1; 0)

B'(0; -1) B(0; 1)

O

(136)

2 Số đo cung lượng giác: VD: Xem hình 44

Kết luận: số đo cung lượng giác AM (A ≠M) số thực dương hay âm Kí hiệu: số đo cung AM là: sđAM

Ghi nhớ:Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội 2 Và viết là:

sđAM = k2 , (kZ)

Trong  số đo cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu A điểm cuối M MA  sđAA =k2, (kZ)

k =  sđAA =

* Ta có cơng thức tổng quát số đo độ cung lượng giác AM là: SđAM = a0 + k3600, (kZ)

3 Số đo góc lượng giác:

Số đo góc lượng giác (OA,OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Chú ý: Từ sau nói cung điều cho góc ngược lại. 4.Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác:

Để biểu diễn cung lượng giác có số đo  đường tròn lượng giác ta lấy điểm A làm điểm gốc ,điểm cuối M xác định theo hệ thức sau :

sđ AM =  Hệ thức xác định điểm M đường trịn lượng giác Ví dụ 1: Biểu diễn đường trịn lượng giác cung lượng giác có số đo

25



; -7650 Giải: SGK tr139

Ví dụ 2: Biểu diễn đường tròn lượng giác cung sau a)

11



; b) 4050 Giải

a) 11/2 = -/2 + 6 Điểm M cung 11/2 xác định hệ thức : sđ AM = -/2 + 6 hay sđ AM = -/2 Vậy M điểm B’(0;-1)

b) Ta có 4050 = 450 + 3600 Điểm N cung 4050 xác định hệ thức: sđAN = 450 + 3600 hay sđ AN = 450

Vậy N trung điểm cung hình học nhỏ AB Ví dụ : Biểu diễn đường trịn lượng giác cung có số đo

 = /2 + k , kZ

Giải kZ nên k số chẵn số lẻ :

+ Nếu k chẵn k = 2n, nZ Khi  = /2 + n2 , nZ Vậy điểm  B(0;1)

(137)

BÀI TẬP

1) Đổi số đo góc sau radian a) 22030’ = 220 +(1/2)0

/8 b) 71052’ =710 + (52/60)0  539/1350 2) Đổi số đo cung sau độ ,phút, giây

a) 3/16 =33045’ b) 3/4 = 42058’19”

3) Cho đường trịn có bán kính cm Tìm độ dài cung trịn đường trịn có số đo a) b) 1,5 c) 370 ( =R.

 ,  = .a/180)

4) Cho đường trịn có bán kính cm Tìm số đo độ cung có độ dài

a) cm b) cm c) 16 cm ( =/R  a=180./ = R

180





) 5) Trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung có số đo

3/4 ; -600 ; -3150 ; -5/4 ; 11/3

Trong điểm cung ,có điểm trùng nhau,hãy giải thích HD :

3/4 = /2+/4 5/4 = 3/4  2

11/3 = /3 +12/3 =/3 +4 600 = /3

3150 = 2700450

Các cung có điểm 3/4 và5/4;11/3 600

6) Trên đường tròn lượng giác,cho điểm M xác định sđ AM =  ( 0<</2) Gọi M1, M2 ,M3 điểm đối xứng M qua trục Ox,Oy gốc tọa độ Tìm số đo cung AM1 ; AM2 ; AM3

HD : Sđ AM1 =  +k2

Sđ AM2 =  + k2

Sđ AM3 = + +k2.

7) Trên đường tròn lượng giác,xác định điểm M khác biết cung AM có số đo : a) k b) k/2 c) k2 /5 ( k  Z)

HD :

a) Các điểm khác A,A’ b) Các điểm khác A,B,A’,B’.

c)  =2/5  a = 720 điểm đỉnh ngũ giác điều

8) Bánh xe người xe đạp quay 11 vòng giây

a) Tính góc (theo độ radian) mà bánh xe quay giây

b) Tính độ dài quãng đường mà người xe phút biết đường kính bánh xe đạp 680 mm

HD : a)  =

11

.2=22/5  a = 750

b) = 60 22

680 

 282 m

B' B

A' O A

M3 M1

M2

A A'

B' B

O M

y

x A

A'

B' B

(138)

BÀI TẬP LÀM THÊM 1) a) Đổi radian góc có số đo sau : 180;

250;37015’;127030’;4800;18500

180= /10; 250= 5/36; 37015’= 149/120; 127030’= 17/24 4800= 8/3; 18450= 123/12

b) Đổi độ cung có số đo radian sau: /18; 5/12; 7/15 ;2; 5,2 ; 21,16

/18= 180; 5/12= 750; 7/15=840 ; 2rad114035’30”

5,2 rad 297056’17” ; 21,6 rad  1237035’20”

2) Một đường trịn có bán kính 20 cm Tính chiều dài cung AB đường tròn biết : sđ AB = 300 ; 3

/6 ; 2400 ; 3/5

10,5 cm ; 31,4 cm ;  83,8 cm; 37,7 cm

3) Cho góc lượng giác  = 400 + k3600 Xác định góc  cho : a) || 3600

3600 400 +k36003600 360

320 360

400

 

 k

 k=1;0

b) ||  9800

(139)

§ 2GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I Các giá trị lượng giác cung 

1) Định nghĩa :

Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ AM =  Khi :

+ Khi tung độ y=OK điểm M gọi sin  kí hiệu sin  sin = y

+ Khi hoảnh độ x=OH điểm M gọi cơsin  kí hiệu cos  cos = x

+ Nếu cos  0, tỉ số 



cos sin

gọi tang của  kí hiệu tan (hoặc tg ) tan= 



cos sin

+ Nếu sin   0, tỉ số 



sin cos

gọi cơtang của  kí hiệu cot (hoặc cotg ) cot = 



sin cos

Các giá trị sin , cos, tan , cot gọi giá trị lượng giác cung  Trục

tung gọi trục sin, trục hồnh cịn gọi trục cosin

* Chú ý :

- Các định nghĩa áp dụng cho góc lượng giác

- Nếu 00   1800 giá trị lượng giác  tỉ số lượng giác của

góc  SGK HH10

2) Các hệ :

a) sin cos xác định  R Ta có: sin( + k2) = sin

cos( + k2) = cos 1  sin  ,cos  

b)  m  R, 1≤m≤ tồn   cho sin = m sin =m c) tan xác định 



+ k  , k  Z cot  xác định   k  , k  Z c) Dấu giá trị lượng giác

Góc phần tư

Góc lượng giác I II III IV

sin + +  

cos +   +

tan +  + 

cot +  + 

B' B

A' O A

M (x;y)



(140)

3) Bảng giá trị lượng giác số cung hay góc đặc biệt : Góc

Giá trị

lượng giác 0(0

0)

/6(300) /4(450) /3(600) /2(900)

Sin 1/2 2/2 3/2

Cos 3/2 2/2 1/2

Tg 3/3 ||

Cotg || 3/3

|| : không xác định II) Ý nghĩa hình học tan  cot 

+ tan biễu diễn độ dài đại số véctơ AT trục t’At,trục gọi trục tang + cot biểu diễn độ dài đại số véctơ BStrên trục s’Bs,trục gọi trục cotang

Từ ý nghĩa hình học tan  cot ta có : tan(+k  ) = tan

cot(+k  ) = cot ( k  Z ) III Quan hệ giá trị lượng giác

1/ Các đẳng thức lượng giác Với k  Z ta có :

sin2

 + cos2 =

) (

cot

) (

sin

1 cot

1

) ( cos

1

2

  



  



   



k g

tg

k g

k tg

 



  



Ví dụ 1 : Cho sin  = 3/5 với 0<  </2 Tính cos  ?

Ví dụ 2 : Cho tg  =2/3 với 3 /2 <<2 Tính sin  cos  ?

Ví dụ : Cho /2+k  , k  Z Chứng minh :

1 cos

sin

cos

3    



  

tg tg

tg

Ví dụ : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào 

A = 

 



g g tg

tg

cot cot

2

 

y

x t

K

H A

A'

B' B

O M

T

y

x S

H K

A

B' B

(141)

2) Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt a) Cung đối :   

sin() = sin  cos() =  cos  tan() = tan  cot() = cot 

b) Cung bù :   sin() = sin

cos() = cos tan()= tan cot()= cot 

c) Cung  :   +  sin(+) = sin

cos(+) = cos

tan(+) = tan

cot(+) =cot 

d) Cung phụ :  

 sin(/2) = cos

cos(/2)= sin tan(/2) = cot cot(/2) = tan

e) Cung /2 :  

+ (Xem) sin(/2+) = cos 

cos(/2+) = sin  tan(/2+) = cot  cot(/2+)= tan 

Ví dụ : Tính

a) cos(11/4) = cos (11/4) = cos(3/4 + 2) = cos3/4=cos(/4)=cos(/4) b) tg(21/4)=tg(/4+5)=tg /4 =

(142)

BÀI TẬP SGK 1) Tính sin  cà cos  biết :

a)  = 6750 = 4507200 b)  = 3900 = 300 + 3600

c)  =17/3 = /3 18/3 d)  = 17/2 = /2 +16/2

2) Biểu thị theo tg  biểu thức sau,trong k  Z :

a) tg(k +) =tg  b) tg(k )=tg()=tg  c) cotg(+k ) =cotg  = 1/tg

3) Cho <  < /2 Xét dấu biểu thức sau :

a) cos(+) < b) tg() >

c) sin(+2/5) > d) cos(3/8) >

4) Tính  biết :

a) cos  =  =k2 b) cos  =1  = + k2

c) cos  =  =/2 +k  d) sin  =  = /2 +k2

e) sin  =1  =/2 +k2 f) sin  =  = k 

5) Chứng minh đẳng thức sau :

a) tg2x  sin2x = tg2x.sin2x b)

x gx

x x

tgx

cos cot

sin

sin  

c)

x tg x

x

2

2 sin

1 sin

  



d)

x x

x tg x g

x

x 2

2

cos sin

cot

sin cos

 

 6) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :

a) A = 2cos4xsin4x+sin2xcos2x+3sin2x

Biến đổi theo cos (hoặc theo sin ) ta có : sin2x = 1cos2x ;sin4x =(1cos2x)2

Thay tính A = b) B = (cotgx+tgx)2(cotgxtgx)2

Khai triển đẳng thức ta tính B = c) C = cot

1 cot

  

 gx

gx tgx

Biến đổi tg = 1/cotg vào tính C =1

d) D = sin4x4cos2x cos4x4sin2x

= (1 cos2x)24cos2x (1 sin2x)24sin2x

= (1cos2 x)2  (1sin2 x)2 |1cos2 x||1sin2 x| = ( 1+cos2x,1+sin2x > 0,  x )

7) Tính giá trị lượng giác cung  biết :

a) sin  = 1/3  cos  = 

2

b) cos  =2/ /2 <  <  sin  =  5/5

c) tg  = 2 /2 <  <  cos  =  5/5

d) cotg  =  <  < 3/2  sin  = 1/ 10

e) sin = 5

4

cos  <  cos α = − f) cos  = 17

8



 

  

2  sin α ¿

15 17

8) Rút gọn biểu thức sau :

a) A = cos(/2 + x) + cos(2x) + cos(3  + x) = sinx

b) B = 2cosx3cos(x) + 5sin(7/2x) + cotg(3/2x) = tgx

c) C = ) cos(2 )

3 sin( ) sin( ) sin(

2  x    x   x   x

(143)

d) D = ) cot (3 )

( ) sin( )

cos(   x   x tg   x  g   x

=

9) Chứng minh tam giác ABC ta có :

a) sin(A+B) = sinC b) cos(A+B) =  cosC

c) sin B A

=cos C

d) cos B A

=sin C

10 Chứng minh đẳng thức sau

a) cos4 -sin4 =2cos2 -1

HD: cos α - sin4 α = (cos2

α −sin2α) (cos2α+sin2α) = cos2α −(1−cos2α) = cos2α −1

b) – cot4 = 2 sin4

1 sin

2



(nếu sin 0)

HD: 1−cot4α=(1+cot2α) (1−cot2α) = (1+cos

2α

sin2α )(1−

cos2α

sin2α )

= (sin

2

α+cos2α sin2α )(

sin2α −cos2α

sin2α ) = ( sin2α )[

sin2α −(1−sin2α)

sin2α ]

= sin

2α −1

sin4α = sin2α −

1 sin4α

c)  



2

tan sin

1 sin

  



(nếu sin 1)

HD: VT = sin

2α

+cos2α+sin2α

cos2α =

2 sin2α

+cos2α

cos2α = tan2α+1

11 CM biểu thức không phụ thuộc 

a) A = sin44 cos4  cos44sin4

HD: A= √sin4α+4(1−sin2α) + √cos4α+4(1−cos2α) =

2−sin2α

¿ ¿

√¿

+ √(2−cos2α)2 = 2−sin2

α + 2−cos2α =3 b) B = sin 6cos6 cos 4sin4

HD: B= (sin2α)3+(cos2α)3 +(cos2 α )2 + (sin2 α )2

B1 = (sin2α+cos2α) (sin4α −sin2αcos2α+cos4α) = (sin2 α +cos2 α )2 - 3sin2 α cos2 α

= – 3sin2 α cos2 α ⇒2B

1=¿ – sin2 α cos2 α

B2 = (cos2 α )2 +2sin2 α cos2 α + (sin2 α )2 –2sin2 α cos2 α =(cos2 α + sin2 α )2–2 sin2 α cos2 α

= – sin2 α cos2 α ⇒−3B

2=¿ –3 + sin2 α cos2 α

 B = – sin2 α cos2 α – + sin2 α cos2 α = – 12 Tính

a) A =

25 cos

25

sin   

+ tan   

  

4

25

Đáp số: A=

b) Biết  

1

sin  

Tính : B1 = cos2  ;Tính B2 = tan  7 Đáp số: B1 ¿±√89=±

2√2

3 ; B2 = tan

2

 

m

cos

(144)

sin cos2 sin2 2sin cos  cos2

    = - 2 sinαcosα

 sinαcosα=1−(sinα −cosα)

2

2 ¿

1−m2

2 (1)P = m (1+

1− m2

2 )=m ( 3− m2

(145)

§ 3CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

I) Công thức cộng

Với số thực a , b ta có : cos(a  b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb  sina.sinb sin(a  b) = sina.cosb  cosa.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tgatgb

tgb tga ) b a ( tg

   

(a /2 + k ;b /2 + k ;a+b  /2 + k  ;ab /2 + k  )

Ví dụ1 : Tính a) cos 12

13

b) sin750 c) tg14

7

Ví dụ 2 : Chứng minh

a) tga

tga ) a ( tg

   



b) tga

tga ) a ( tg

   



Áp dụng tính A =

0

15

tg tg

 

 tg150 = ?

II) Công thức nhân

1) Công thức nhân đôi sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a

 sin2a = 2cos2a

 =  2sin2a

tg2a = tg a

tga

2

 ( a  /2 + k  , a /4 + k /2 ) * Công thức nhân ba

sin3a = 3sina  4sin3a cos3a = 4cos3a

 3cosa

tg3a = 3tg a

a tg tga

2

 

Ví dụ :

a) Chứng minh 2sin 2a

1 a cos a

sin4   

b) Chứng minh cosa sina

a sin a cos a sin

a cos

   

2) Công thức hạ bậc

2 a cos a

cos2  

2 a cos a

sin2  

a cos

(146)

Ví dụ : Tính a ) cos /8 b)sin /8 c) tg /8 3) Cơng thức tính sina, cosa, tga theo t = tg2

a

(không học)

Giả sử a  + k  ,đặt t = tg2

a

,ta có :

2

2 1 t

t tga ; t t a cos ; t t a sin       

Ví dụ1 : Biết tg

a

=

2 

, tính 5sina

a cos   III) Công thức biến đổi tích thành tổng

cosa.cosb =

[cos(a+b) + cos(ab)] sina.sinb = 2

1

[cos(a+b)  cos(ab)] sina.cosb =

1

[sin(a+b) + sin(ab)] cosa.sinb =2

1

[sin(a+b)  sin(ab)]

Ví dụ 1 : Tính biểu thức sau :

24 sin 24 sin B 12 sin 12 cos

A     

Ví dụ 2 : Biến đổi thành tổng biểu thức sau

C = cos5x.cos3x

D = 4sinx.sin2x.sin3x = sin2x(2sin3x.sinx) = 2sin2xcos2x 2sin2xcos4x = sin4x sin6x + sin2x

IV) Cơng thức biến đổi tích thành tổng

2 y x sin y x sin y cos x cos y x cos y x cos y cos x cos          y x sin y x cos y sin x sin y x cos y x sin y sin x sin         sin( ) tan tan cos cos x y x y x y   

Ví dụ1 : Biến đổi biểu thức cosx + sinx thành tích

Khi ta có cơng thức : sinx cosx 2sin(x 4)

) x cos( x sin x cos ) x sin( ) x cos( x sin x cos               

Ví dụ 2 : Biến đổi biểu thức sau thành tích

(147)

BÀI TẬP Áp dụng

Bài 1 : Tính giá trị lượng giác cung có số đo

a) 150 = 450300 b) 5/12 = /4 +/6

Bài 2 :

a) Biết sin  =3/5 /2 <  <  Tính tg(+/3) HD : Tính cos  = 4/5

 tính sin(+/3) = …=(34 3)/10 ; cos(+/3)=(43 3)/10 tg(+/3) =cos( /3)

) / sin(

 

 

b) Biết sina=4/5 00 < a < 900, sinb = 8/17 (900 < b < 1800)

Tính cos(a+b), sin(ab)

HD : tính cos a = 3/5, cosb=15/17  cos(a+b)= , sin(ab) =

c) Cho hai góc nhọn a b với tga = ½,tgb = 1/3 Tình a + b

HD : tính tg(a+b) = tga.tgb

tgb tga

 

=  a+b = /4

d) Biết tg(+/4) = m với m 1 Tính tg 

HD : tg(+/4)=(1+tga)/(1tga) = m  (m+1)tga = m1  tga = (m1)/(m+1)

Bài 3 : Chứng minh :

a) sin(a+b).sin(ab) = sin2asin2b = cos2bcos2a

HD : VT = (sina.cosb+cosa.sinb)(sina.cosbcosa.sinb)=(sina.cosb)2(cosa.sinb)2

= sin2a.cos2acos2a.sin2a  biến cos2a = 1sin2a sin2a = 1 cos2a …

b) cos(a+b).cos(ab) = cos2asin2b = cos2bsin2a HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos2b  sin2asin2b

Bài 4 :

a) Cho ab = /3 Tính giá trị biểu thức sau :

A = (cosa+cosb)2 + (sina+sinb)2

HD : khai triển đẳng thức  A = 2+2(cosa.cosb+sina.sinb) =2+2cos(ab) B = (cosa+sinb)2+ (cosbsina)2

HD : B = 22sin(ab)

b) Cho cosa = 1/3 cosb = ¼ Tính cos(a+b)cos(ab) HD : cos(a+b).cos(ab) = cos2acos2b  sin2asin2b

Bài 5 : Chứng minh tam giác ABC ta có

a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC

(với điều kiện tam gíc ABC khơng phải tam giác vng )

Ta có : tgC = tg[(A+B)] = tg(A+B) = tgA.tgB

tgB tgA

 

 tgCtgAtgBtgC = tgA+tgB

b)

A tg C tg C tg B tg B tg A

tg   

Ta có :

B tg A tg

2 B tg A tg ) B A ( tg

1 )

2 B A ( g cot )] B A ( [ tg C tg

      

 

 

 …  đpcm

Bài 6 : Tính cos2 ,sin2 ,tg2 biết ;

a) cos  = 5/13  <  <3/2 HD : cos2 = 2cos2  = 119/169

sin2 = 1 cos2  sin  = 12/13  sin2 =2sin cos

b) tg  = HD : sin2a = 2tga/(1+tg2a) , cos2a = (1tg2a)/(1+tg2a) ,tg2a = sin2a/cos2a

Bài 7 : Cho sin2a = 4/5 /2 < a < 3/2 Tính sina cosa

HD : /2 < a < 3/2 < 2a < 3 ,vì sin2a = 4/5 <  < 2a <   cos2a = 3/5 cos2a = 3/5

(148)

a) A = sin16.cos16.cos8  



HD : A = 2sin

1 

.cos  b) B = sin100.sin500.sin700

HD : Nhân thêm 2cos100 biến đổi sin700 = cos200

Bài 9 : Chứng minh

a) cotgx + tgx = 2/sin2x

HD :   sinx.cosx 

1 x cos x sin x sin x cos VT

b) cotgx  tgx = 2cotg2x

HD :

x g cot x tg x tg tgx 2 x tg tgx tgx x tg tgx tgx VT 2          

c) cos2x tg x

cos2x -1 ; tgx x cos x sin 2    

HD :

tgx x cos x cos x sin

VT 2 

Bài 10 : Chứng minh :

a) cos4a = 8cos4a  8cos2a +

HD : VT = 2cos22a1=2(2cos2a1)21= …

b) sin6a + cos6a =8

3

cos4a+8

5

HD : VT = sin4asin2a.cos2a+cos4a=13sin2a.cos2a=14

3

sin22a= ]

a cos [ 1 

Bài 11 : Biến đổi thành tổng

a) A = 2sin(a+b).cos(ab)

= sin2a + sin2b

b) B = 2cos(a+b).cos(ab)

= cos2a + cos2b

c) C = 4sin3x.sin2x.cosx

= 1+cos2xcos4xcos6x

Bài 12 : Biến đổi thành tích

a) A = sina + sinb + sin(a+b)

= (sina+sinb) + 2

b a cos b a

sin  

b) B = cosa + cosb + cos(a+b) +1

HD : biến đổi coa + cosb thành tích ; + cos(a+b) = 2

b a cos2  c) C =1 + sina + cosa

HD : 1+cosa = 2

a

cos2

; sina =

a cos a sin d) D = sinx + sin3x + sin5x + sin7x

= (sin7x+sinx) + (sin5x+sin3x) = 4sin4x.cos2x.cosx

a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) =

1

sin3x

VT = 4sinx sin x

3 ) x sin 2 ( x sin ] x [cos x sin

1 2 3

(149)

b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) =4

1

cos3x

VT = 4cosx

3 x cos ) 1 x sin ( x cos ] x [cos x cos 2      

c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x

VT = 2[cos2x cos6x] cos4x.cos2x

1 ] x cos x [cos ] x cos x [cos      

d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx

VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x

= sin(3x+2x)  2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x

= sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx

a)

7 cos cos

cos     

) 2 ( cos ) cos ( cos ) cos cos ( cos ) cos (cos

cos                 

b) sin200.sin400.sin800 = 3/8

0 0 0 0 0 0 0 60 sin 20 sin ] 20 sin 20 sin [ ] 20 sin [ 20 sin ] 20 sin [ 20 sin ] 40 [cos 20 sin ] 120 cos 40 [cos 20 sin VT             

Bài 15 : Chứng minh tam giác ABC ta có :

a) sinA + sinB + sinC =

C cos B cos A cos ] B A cos B A [cos C cos 2 C cos C sin 2 B A cos B A sin

VT       

 …

( ta có

B A sin )] B A ( cos[ C

cos      

) b) cosA + cosB + cosC = +

C sin B sin A sin ] C sin B A [cos C sin C sin 2 B A cos C sin 2 C sin 2 B A cos B A cos

VT 2

             

c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC osC 4cosAcosBc A.cosB 2sinC.2cos )] B A cos( ) B A [cos( C sin C cos C sin ) B A cos( ) B A sin( VT          

d) cos2A+cos2B+cos2C = 12cosA.cosB.cosC

ta có : cos(A) = cos(B+C) cosA = cosBcosC  sinBsinC

bình phương hai vế ta : cos2 A = cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin2B.sin2C

thay sin2B = 1cos2B , sin2C = 1cos2C

 cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos2Bcos2C = cos2A

1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos2A +cos2B+cos2C

1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos2A +cos2B+cos2C ta có cos(B+C) =cosA  …

(150)

Ta có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6)  VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6)

= sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg2x

x tg x cos x cos x cos x sin x cos ) x cos ( x sin x cos x cos x) -sin(2x x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x sin x cos x sin ) x cos x sin x )(sin x cos x sin x cos x sin ( VT 2 2          

d) tg2x + cotg2x = cos4x

x cos   x cos ) x cos ( 2 x cos ) x cos ( x sin x sin x sin x sin 1 x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin

VT 2

2 2 2 2 4               

Bài 17 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

A = 3(sin4x+cos4x)  2(sin6x+cos6x)

= 3(12cos2x.sin2x)2(13sin2x.cos2x) = B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x

Biến đổi sinx theo cosx  A =

C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4)

cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3)

cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4)

 C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4)

= cos(7/12)

D = cos2x + cos2(2/3+x)+cos2(2/3x)

Sử dụng công thức hạ bậc ta :

D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2

x cos ) cos( x cos x cos cos x cos )] x cos( ) x [cos( 2 x cos                   

Bài 18 : Rút gọn biểu thức sau

A = sin2(1cotg)cos2(1tg)

Biến đổi tg cotg  A = | sin  + cos  |

B = cosa cosb

) b a sin( ) b a sin(    a cos b cos b a sin b a sin 2 b a cos b a cos 2 b a cos b a sin b a cos b a sin

B     

      

C = sin4a sin2a

a cos a cos   tga a cos a sin ) a sin( a sin

C  

D = cosa cos3a cos5a

Định dạng
Số trang	146
Dung lượng	3,47 MB