Chứng minh tương tự ta cũng có MN là tiếp tuyến của I tại M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn I, K.. Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.[r]
(1)Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 PhÇn I : §¹i sè I – C¨n bËc hai D¹ng I : C¨n bËc hai - §Þnh nghÜa , kÝ hiÖu VÝ dô : T×m x biÕt x2 = Gi¶i : x = 2 VÝ dô : T×m x biÕt x x x Gi¶i : Ta cã x5 x x VÝ dô : So s¸nh 15 vµ vµ Giai : Ta co 16 15 ;2 12 ;3 18 12 18 VÝ dô : TÝnh 5,4 0,25 Gi¶i : 5,4 0,25 5,4 7.0,5 5,4 3,5 8,9 Bµi tËp tù gi¶i : 1) T×m x biÕt a ) x b) x 2) TÝnh a ) 0,25 b) 1 100 16 3) So s¸nh vµ 3 4) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y biÕt: a)y = x2 – 2x +3 b)y = x 12 x 11 Dạng : Căn thức bậc hai- điều kiện tồn tại- đẳng thức A2 A Ví dụ : a) Tìm x để biểu thức x có nghĩa ? Gi¶i : Ta cã x cã nghÜa x x b) Tìm x để x cã nghÜa? Gi¶i : Ta thÊy x 0x nªn x cã nghÜa víi mäi x Ví dụ : Giải phương trình : x x 2 x x Gi¶i : Pt 2x4 2 x x x VÝ dô : TÝnh 1 1 2 2 Gi¶i : Ta cã : 2 3 Bµi tËp tù gi¶i : §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (2) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 1) Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa : a) x b) 30 x c) x d) x5 2) Rót gän biÓu thøc : a ) 15 6 33 12 b) x x x x 3) Giải phương trình: x2+2x = 3- 2 4) Tìm x để biểu thức sau có nghĩa: x x Dạng :Quy tắc khai phương VÝ dô : TÝnh 25 441 Ta cã : 25 441 5.21 105 VÝ dô : TÝnh a ) 12 b) 4a 16a Gi¶i : a) 12 3.12 36 b) 4a 16a 4a.16a 64a 8a 81 225 VÝ dô : TÝnh a) Gi¶i : 81 225 a) 81 225 ab 49 36 24 : : 25 16 15 36 : 25 16 VÝ dô : TÝnh a) 3 Gi¶i : c) 36 : 25 16 c) 15 4a b 4a b 49 b) 4a b 49 b) b) 128 162 b) 128 162 24 : 2 18 12 6 24 : 64 81 a) 3 2 12 2.9 10 Bµi tËp : 1) Rót gän biÓu thøc a) 320.45a b) 2) Rót gän vµ tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : A 6x 9x 3) TÝnh : a) (a b 0) x - 2 2 c) ( 28 14 ) a a b ab b)(1+ )(1 ) d) ( 10 )( 0,4 ) e) 15 50 200 450 : 10 4)TÝnh a) A (2 ) §Æng §×nh §iÖt b) B ( 10 ) 15 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (3) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 5)T×m x biÕt: a) x b) 9( x 1) 21 c) 4(1 x) 6)T×m x biÕt: a) (7 x )(8 x ) x 11 b) x x 7) Ph©n tÝch thµnh tÝch: a) 15 c) 10 14 15 21 d) 18 b) 15 e) x x f) ab b ab a b D¹ng : C¸c phÐp to¸n vÒ c¨n bËc hai : VÝ dô : 75 2.3 2.3 12 5 5 4 6 3.6 3( 6) VÝ dô : VÝ dô : 7 8( ) 2( ) 73 Bµi tËp : 1) So s¸nh 20 vµ 2) Khö mÉu : 5 a) b) 5 3) TÝnh : a ) 72 4,5 4) TÝnh 2 3 a ) 82 c) c) 2 3 27 216 b) 32 27 162 14 15 : b) 1 1 15 10 4) Rót gän biÓu thøc: a b b a a) : víi a 0, b 0, a b ab a b a a a a 1 víi a 0, a b) 1 a a II : Hµm sè bËc nhÊt - §Þnh nghÜa – TÝnh chÊt D¹ng : Hµm sè bËc nhÊt Ví dụ : Các hàm số sau, hàm số nào đồng biến , nghịch biến ? a) y = 2x- b) y = – 2x c) y = (1 - ) x Gi¶i : a) a= > : §ång biÕn §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (4) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 b) a = - < : NghÞch biÕn c) a = - < : NghÞch biÕn Ví dụ : Tìm m để hàm số sau đồng biến , nghịch biến ? y = ( 2m – ) x + m – Giải : Hàm số đồng biến 2m – > m Hµm sè nghÞch biÕn 2m – < m VÝ dô : Cho hµm sè y = -2x + b T×m b biÕt x = th× y = -1? Gi¶i : Thay x =2 , y = -1 vµo ta cã : -2 +b = -1 4 b 1 b vËy y = -2x + VÝ dô : Cho hµm sè y = mx – T×m m biÕt x=2 th× y=1? Gi¶i : Thay x=2 , y=1 vµo ta cã : m.2 – = => m= ; vËy y=2x- VÝ dô : Cho hµm sè y= ( m-1)x + a) Tìm m để đồ thị hàm số song song đường thẳng y=2x? b) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác cân? c) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục hoành góc 450? Gi¶i : a) m-1=2 => m=3 vËy y =3x+3 3 3 b) §å thÞ c¾t Oy t¹i (0;3) , c¾t Ox t¹i nªn m 1 m 1 m 1 m 0 c) §Ó 45 th× hay m m m m Ví dụ : Tìm m để các đường thẳng sau song song? y=(m-3)x + , y=(3m – 7)x – Giải : để đường thẳng song song thì m-3 = 3m – => m= x (3) b) m=? để các đường thẳng sau đồng quy : : y=mx + (1), y=-x + (2) , y=2x – (3) ? Gi¶i : a) Giao (1) và (2) là (0;1) thay vào (3) thoả mãn Vậy đường đồng quy b) Giao cña (2) vµ (3) lµ (4/3;5/3) thay vµo (1) ®îc m=2 Ví dụ 8: CMR đường thẳng y = mx+3 - m luôn qua điểm cố định ? Gi¶i : y = mx+3 - m => m(x-2) = y-3 ,không phụ thuộc m x=2,y=3.Từ đó đường thẳng luôn qua điểm cố định ( 2;3) víi mäi m Ví dụ : Tìm m để đường thẳng sau vuông góc ? y = 2x - ; y = (m-2)x + Gi¶i : ®êng th¼ng vu«ng gãc tÝch hÖ sè gãc b»ng tøc lµ 2(m-2) = suy m=5/2 VÝ dô 10 : Viết phương trình đường thẳng di qua A(1;3) và song song đường thẳng y = 2x – (1) ? Gi¶i : PT ®êng th¼ng qua A cã d¹ng y = ax + b, ta cã a.1 + b = , mÆt kh¸c ®êng th¼ng song song (1) => a = từ đó b = Vậy y = 2x + Dạng Hệ phương trình 2 x y Ví dụ : giải hệ phương trình : 3x y Ví dụ : a) Chứng minh đường thẳng sau đồng quy : y=2x + (1), y=-x+1 (2) y= §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (5) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 2 x y 6 x y 13y 13 x Gi¶i : 3x y 6 x y 16 2 x y y 2 x y Ví dụ : Cho hệ phương trình : mx y a) Gi¶i hÖ m=1 b) Tìm m để hệ có nghiệm , VSN , VN ? Gi¶i : 2 x y 4 x y 3x x a) m=1 ta cã hÖ : x y x y x y y y 2x b) Hệ đã cho mx 2(4 x ) (*) (*) (m 4) x 3 , Từ đó : Phương trình có nghiệm m m Phương trình VSN :không xảy Phương trình VN m-4=0 tức là m = Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng qua các điểm A(1;2) và B(-1;3) ? Giải : Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (a ) a a b y x Đường thẳng qua A,B nên ta có hệ phương trình : 2 a b b Bµi tËp : 2 2x 1 y x 4 x y x y 1 a ) ; b) 3y c) d) x y 8x 3y 3(3y 2) 4( x y) 1 x y 1) Giải hệ phương trình 1 x y e) 3 x y 3x by a 2) Tìm a,b để hệ có nghiệm x=2 , y=5 ? bx ay 3x y 3) Tìm a để hệ có nghiệm âm ? 5x ay mx y 2m 4) Cho hệ phương trình : x ay a) Tìm m để hệ có nghiệm (x=1;y=1) b) Tìm m để hệ có VSN ; VN ? §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (6) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 xy 12 5) Giải hệ phương trình : xz 15 yz 20 6) Lập phương trình đường thẳng qua : a) A(1;2) , B(1;3) b) A(2;3) , B(-1;3) c) A(-1;4) , B(2;5) III - Phương trình bậc hai, quy bậc hai VÝ dô : Gi¶i Pt : 9x2-30x+225=0 Gi¶i : (15) 9.225 1800 Phương trình vô nghiệm VÝ dô : Gi¶i Pt : 3x2+10x - 48= Gi¶i : ' 3.48 169 13 13 13 x2 6 3 Ví dụ : Với giá trị nào k thì phương trình : a) 2x2+kx – k2 = cã nghiÖm ph©n biÖt? b) 25x2+mx+2 = cã nghiÖm kÐp? c) 5x2+18x+m = v« nghiÖm? Gi¶i : a) phương trình có nghiệm phân biệt k 8k 9k k Phương trình có nghiệm phân biệt : x b) Phương trình có nghiệm kép m 200 m 10 81 c) Phương trình vô nghiêm ' 81 5m m Ví dụ : Với giá trị nào b thì phương trình (b -1)x2 - (b+1)x- 72=0 có nghiệm ? Tìm nghiệm còn l¹i? Giải : Thay x=3 vào phương trình ta có : (b-1).9 – (b+1).3 – 72 = =>b=14 Thay b=14 vào ta có : 13x2-15x-72=0 , theo Viet ta có x1.x2=-72/13 từ đó x2=-72/39 1 Ví dụ 5: Cho phương trình x2+3x-1=0 Không giải phương trình hãy tính ? x x x x 3 Gi¶i : Theo Viet ta cã x x 1 (x x ) 2x x 1 11 x 21 x 2 ( x1x )2 Ví dụ : Cho phương trình x2- 2(m-1)x-2(m+5) = a) Giải phương trình m=2 b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm x1,x2 , hãy lập hệ thức chúng không phụ thuộc vào m? c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A=x12+x22 Gi¶i : §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (7) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 a) m=2 ta có phương trình : x2-2x-14=0 Δ' 14 15 x 15 b) Ta cã x1+x2=-2(m-1) x1x2=-2(m+5) => x1+x2- x1x2=7 lµ hÖ thøc cÇn t×m c)A=(x1+x2)2-2x1x2 = 4(m-1)2+4(m+5) = 4m2+24 24 , vËy Amin=24 <=>m=0 Ví dụ : Cho phương trình x2+(m+5)x+6-m=0 Gọi x1,x2 là nghiệm phương trình , tìm m để 2x1+3x2=13 ? x x m Gi¶i :Ta cã : x x m 2 x 3x 13 Giải x1=-3m-28,x2=23+2m thay vào ta có 3m2+62m+319=0 từ đó m=11 và m=29/3 Ví dụ Lập phương trình bậc hai có nghiệm là 2/3 và 4/3? Gi¶i : ta cã 2/3+4/3=2 2/3.4/3=8/9 Vậy chúng là nghiệm phương trình bậc hai x2-2x+8/9=0 hay 9x2-18x+8=0 Ví dụ 9.Giải các phương trình : a) (2x2-x-1)2-(x2-7x+6)2=0 b) 2x4-7x2-4=0 c) 1 1 x 1 x 1 c) (y2+2y)2-3(y2+2y)+2=0 d)y2+2y-2 y y +1=0 Gi¶i : a) Biến đổi phương trình thành (3x2- 8x+5)(x2- 6x-7)=0 , giải x1=1,x2=5/3,x3=-7 b) Đặt x2=t ,ta có phương trình 2t2 – 7t – = 0, giải t = x = 2 c) đk : x 1 , quy đồng và khử mẫu phương trình x2= - , phương trình vô nghiệm d) Đặt y2+2y=t , ta có phương trình t2-3t+2=0; t1=1,t2=2 , từ đó có phương trình : y2+2y-1=0 vµ y2+2y-2=0 gi¶i ®îc y=-1 vµ y=-1 e) §Æt y y =t , ta có phương trình t2-2t+1=0, giải t=1 y2+2y-1=0 , từ đó y=-1 IV- Quan hÖ gi÷a ®êng th¼ng vµ ®êng cong 1 VÝ dô T×m giao ®iÓm cña (d):y= x vµ (P):y= x 2 1 Giải : Ta giải phương trình x = x hay x2- 2x – = Giải x1=4,x2=-2 =>y1=4,y2=1 VËy giao ®iÓm lµ A(4;4), B(-2;1) Ví dụ Cho đường thẳng (d):y=mx-2 và đường cong (P):y=x2 Tìm m để (d) và (P) không cắt nhau, tiếp xúc nhau, c¾t t¹i hai ®iÓm? Giải : Xét phương trình x2=mx-2 => x2-mx+2=0 Δ m2 §Ó ®êng kh«ng c¾t th× Δ m <0 hay 2 <m< 2 §Ó ®êng tiÕp xóc th× Δ m =0, m= 2 §Ó ®êng c¾t t¹i hai ®iÓm th× Δ m >0, m> 2 hoÆc m< 2 Bµi tËp tù gi¶i: Cho đường thẳng (d) có phương trình y = (m-1)x + m và parabol (P) : y = x2 Tìm điều kiện m để : §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (8) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 a) (d) qua điểm có hoành độ –2 trên (P) b) (d) tiÕp xóc (P) c)* Gi¶i BPT (m-1)x + m > x2 V- Giải bài toán cách lập phương trình Dạng Toán chuyển động a) Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì đến muộn Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì đến sớm Tính quãng đường AB và thời gian dự định lóc ®Çu? Giải: Gọi quãng đường AB là x (Km) , x>0; thời gian dự định là y(giờ),y>2 Nếu xe chạy với vận tốc 35Km/h thì hết thời gian x/35 và đến muộn nên ta có phương trình : x/35 – y = Nếu xe chạy với vận tốc 50Km/h thì hết thời gian x/50 và đến sớm nên ta có phương trình : x/50 – y = -1 x 35 y Kết hợp phương trình ta có hệ phương trình x y 1 50 Gi¶i hÖ ®îc x=350,y=8 (tho¶ m·n) Vậy quãng đường AB dài 350Km, thời gian dự định lúc đầu là b) Một ca nô từ bến A đến bến B cách 60Km, và hết 12,5 giờ.Biết vận tốc dòng nước là 2Km/h , tÝnh vËn tèc thùc cña ca n«? Gi¶i : Gäi vËn tèc thùc cña ca n« lµ x(Km/h),x>2 VËn tèc ca n« lóc ®i lµ x+2 (Km/h), lóc vÒ lµ x-2(Km/h) Thêi gian ca n« ®i lµ 60/x+2 giê; thêi gian ca n« vÒ lµ 60/x-2giê 60 60 12,5 x 9,6 x Theo bài ta có phương trình: x2 x2 Gi¶i ®îc x=10(Tm),x=-0,4<0(lo¹i) VËy vËn tèc thùc cña ca n« lµ 10Km/h D¹ng : To¸n vÒ sè vµ ch÷ sè a) Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp biết tổng các bình phương chúng 202? Gi¶i :Gäi sè lÎ thø nhÊt lµ n (n lµ STN) th× sè lÎ thø hai lµ n+1 Theo bài ta có phương trình : n2 + (n+1)2 = 202 hay n2 + 2n – 99 = Gi¶i ®îc n1=9 (TM),n2=-11(lo¹i) VËy sè lÎ lµ vµ 11 b) T×m mét sè tù nhiªn cã ch÷ sè biÕt tæng c¸c ch÷ sè cña nã lµ 13 vµ nÕu céng 34 vµo tÝch ch÷ sè th× ®îc chính số đó? Gi¶i : Gäi sè tù nhiªn lµ ab 10a b (a, b N,1 a 9,0 b 9) a b 13 Theo bài ta có hệ phương trình ab 34 10a b Gi¶i hÖ ta cã a=7,b=6 ( tho¶ m·n) VËy sè cÇn t×m lµ 76 D¹ng3 : To¸n lµm chung , lµm riªng a)Hai đội công nhân cùng làm chung công việc thì hoàn thành sau 12 Hai đội cùng làm sau thì đội I điều làm việc khác, đội II làm nốt công việc 10 Hỏi đội II làm mình thì hoàn thµnh c«ng viÖc sau bao l©u? Giải:Gọi thời gian đội II làm xong công việc mình là x (giờ) x>12 Mçi giê tæ II lµm ®îc 1/x c«ng viÖc §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (9) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Hai tổ đã làm chung 1/3 công việc , còn lại 2/3 công việc Theo bài ta có phương trình : : 10 x Gi¶i ®îc x=15(tho¶ m·n) VËy tæ II lµm mét m×nh xong c«ng viÖc sau 15 giê c) Trong tháng đầu, hai tổ công nhân làm 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai , tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% , nên cuối tháng hai tổ làm 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ làm bao nhiªu chi tiÕt m¸y? Gi¶i :Gäi sè chi tiÕt m¸y mµ tæ I lµm ®îc th¸ng ®Çu lµ x ( chi tiÕt) sè chi tiÕt m¸y mµ tæ II lµm ®îc th¸ng ®Çu lµ y ( chi tiÕt) ĐK: x,y nguyên,dương,nhỏ 800 Tháng đầu , hai tổ làm 800 chi tiết nên ta có phương trình x+y=800 tổ I vượt mức 15%x chi tiết, tổ II vượt mức 20%y chi tiết nên ta có phương trình 15%x+20%y=145 x y 800 Kết hợp phương trình ta có hệ phương trình 15%x 20%y 145 Gi¶i ®îc x= 300, y= 500 (tho¶ m·n) VËy th¸ng ®Çu tæ I lµm ®îc 300 chi tiÕt m¸y, tæ II lµm ®îc 500 chi tiÕt m¸y Bµi tËp tù gi¶i: 1) Mét «t« ®i tõ Hµ Néi xuèng H¶i Phßng víi vËn tèc 50 km/h , lóc vÒ xe ch¹y víi vËn tèc nhanh h¬n lóc ®i km/h nên thời gian ít thời gian 12 phút Tính quãng đường mà xe chạy từ Hà Nội đến Hải Phòng §¸p sè : 110 km 2) Hai bÕn A, B c¸ch 120 km Lóc giê mét ca n« ®i xu«i dßng tõ bÕn A víi vËn tèc 12 km/h , cïng lúc đó ca nô khác ngược dòng từ bến B Chúng gặp lúc , biết vận tốc ca nô từ bến B là 14 km/h và vận tốc dòng nước là km/h §¸p sè : 11giê 3) Tìm số có hai chữ số biết chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị là và đổi chỗ hai chữ số cho thì số số cũ 45 đơn vị §¸p sè : 27 4) Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước thì bể đầy sau Nếu vòi thứ chảy mình vµ th× ®îc 1/15 bÓ Hái vßi ch¶y mét m×nh bao l©u th× ®Çy bÓ ? §¸p sè : 15 giê V- Bµi tËp tæng hîp 1 1 ):( ) 1) Cho biÓu thøc A= ( 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x a)Rót gän A b)TÝnh A x=7+4 c)Tìm x để A đạt giá trị nhỏ Gi¶i : 1 x 1 x 1 x 1 x a) A ( ):( ) 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x x (1 x ) b) x (2 ) x §Æng §×nh §iÖt Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (10) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Từ đó A (2 )(1 ) 53 c)A đạt giá trị nhỏ x (1 x) lớn 3 x (1 x) ( x ) 4 GTLN cña x (1 x) lµ -3/4 , vËy A nhá nhÊt lµ -4/3 vµ chØ x=1/4 2) Cho A ( a a 1) a a 1 a2 a a a2 b) Rót gän A ): a a a) T×m TX§ cña A Gi¶i : a a a a a) TX§ : a a 0;1 a 1;2 a a ( b) Rót gän A= a a 1 a a a a 1 a a (a a 1) ): c) Tìm a nguyên để A có giá trị nguyên a2 ( a 1)(a a 1) ( a 1)(a a 1) a2 a ( a 1) a ( a 1) (a a 1) : a a a2 a a 2(a 2) 2(a 2) 8 2 c) A a2 a2 a2 A Z 8 a a ¦(8)= 1;2;4;8 Từ đó giải a=-1;-3;0;-4;2;-6;6;-10; : a a2 a a a a 2(a 2) a2 a2 a PhÇn II: h×nh häc Bµi Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp ®êng trßn (O) C¸c ®êng cao AD, BE, CF c¾t t¹i H và cắt đường tròn (O) M,N,P A N Chøng minh r»ng: Tø gi¸c CEHD, néi tiÕp Bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn E P AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC F H và M đối xứng qua BC O H Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lêi gi¶i: ( B C XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: D ( CEH = 90 ( V× BE lµ ®êng cao) CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) M => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE AC => BEC = 900 CF lµ ®êng cao => CF AB => BFC = 900 Như E và F cùng nhìn BC góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC VËy bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn XÐt hai tam gi¸c AEH vµ ADC ta cã: AEH = ADC = 900 ; ¢ lµ gãc chung AE AH => AEH ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC §Æng §×nh §iÖt 10 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (11) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 * XÐt hai tam gi¸c BEC vµ ADC ta cã: BEC = ADC = 900 ; C lµ gãc chung BE BC => BEC ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta cã C1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ABC) C2 = A1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BM) => C1 = C2 => CB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HCM; l¹i cã CB HM => CHM c©n t¹i C => CB là đương trung trực HM H và M đối xứng qua BC Theo chøng minh trªn bèn ®iÓm B,C,E,F cïng n»m trªn mét ®êng trßn => C1 = E1 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BF) Còng theo chøng minh trªn CEHD lµ tø gi¸c néi tiÕp C1 = E2 ( v× lµ hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HD) E1 = E2 => EB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc FED Chứng minh tương tự ta có FC là tia phân giác góc DFE mà BE và CF cắt H đó H là t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c DEF Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), c¸c ®êng cao AD, BE, c¾t t¹i H Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE A Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh ED = BC O Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) E H Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Lêi gi¶i: D B XÐt tø gi¸c CEHD ta cã: C CEH = 90 ( V× BE lµ ®êng cao) CDH = 900 ( V× AD lµ ®êng cao) => CEH + CDH = 1800 Mà CEH và CDH là hai góc đối tứ giác CEHD , Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp Theo gi¶ thiÕt: BE lµ ®êng cao => BE AC => BEA = 900 AD lµ ®êng cao => AD BC => BDA = 900 Như E và D cùng nhìn AB góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB VËy bèn ®iÓm A, E, D, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Theo gi¶ thiÕt tam gi¸c ABC c©n t¹i A cã AD lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng trung tuyÕn => D lµ trung ®iÓm cña BC Theo trªn ta cã BEC = 900 VËy tam gi¸c BEC vu«ng t¹i E cã ED lµ trung tuyÕn => DE = BC V× O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AHE nªn O lµ trung ®iÓm cña AH => OA = OE => tam gi¸c AOE c©n t¹i O => E1 = A1 (1) Theo trªn DE = BC => tam gi¸c DBE c©n t¹i D => E3 = B1 (2) Mµ B1 = A1 ( v× cïng phô víi gãc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mµ E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE OE t¹i E VËy DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i E Theo giả thiết AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam gi¸c OED vu«ng t¹i E ta cã ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bµi Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB = 2R Tõ A vµ B kÎ hai tiÕp tuyÕn Ax, By Qua ®iÓm M thuéc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By C và D Các đường thẳng AD và BC c¾t t¹i N §Æng §×nh §iÖt 11 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (12) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900 AB Chøng minh AC BD = 4 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD Chøng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Lêi gi¶i: y x D I / M C A / N O B Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mµ CM + DM = CD => AC + BD = CD Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: OC lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AOM; OD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BOM, mµ AOM vµ BOM lµ hai gãc kÒ bï => COD = 900 Theo trªn COD = 900 nªn tam gi¸c COD vu«ng t¹i O cã OM CD ( OM lµ tiÕp tuyÕn ) ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao tam gi¸c vu«ng ta cã OM2 = CM DM, AB Mµ OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = 4 Theo trªn COD = 900 nªn OC OD (1) Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã: DB = DM; l¹i cã OM = OB =R => OD lµ trung trùc cña BM => BM OD (2) Tõ (1) Vµ (2) => OC // BM ( V× cïng vu«ng gãc víi OD) Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD ta cã I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c COD ®êng kÝnh CD cã IO lµ b¸n kÝnh Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã AC AB; BD AB => AC // BD => tø gi¸c ACDB lµ h×nh thang L¹i cã I lµ trung ®iÓm cña CD; O lµ trung ®iÓm cña AB => IO lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang ACDB => IO // AC , mµ AC AB => IO AB t¹i O => AB lµ tiÕp tuyÕn t¹i O cña ®êng trßn ®êng kÝnh CD CN AC CN CM Theo trªn AC // BD => , mµ CA = CM; DB = DM nªn suy BN BD BN DM => MN // BD mµ BD AB => MN AB ( HD): Ta cã chu vi tø gi¸c ACDB = AB + AC + CD + BD mµ AC + BD = CD nªn suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ , mà CD nhỏ CD là khoảng cách giữ Ax và By tức là CD vuông góc với Ax và By Khi đó CD // AB => M ph¶i lµ trung ®iÓm cña cung AB Bµi Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC), I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp gãc A , O lµ trung ®iÓm cña IK A Chøng minh B, C, I, K cïng n»m trªn mét ®êng trßn Chøng minh AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) TÝnh b¸n kÝnh ®êng trßn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Lêi gi¶i: (HD) V× I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp, K lµ t©m ®êng trßn bµng tiÕp I góc A nên BI và BK là hai tia phân giác hai góc kề bù đỉnh B 1 C B Do đó BI BK hayIBK = 90 H Tương tự ta có ICK = 900 B và C cùng nằm trên o đường tròn đường kính IK đó B, C, I, K cùng nằm trên đường tròn Ta cã C1 = C2 (1) ( v× CI lµ ph©n gi¸c cña gãc ACH K C2 + I1 = 900 (2) ( v× IHC = 900 ) I1 = ICO (3) ( v× tam gi¸c OIC c©n t¹i O) Tõ (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC OC VËy AC lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) Tõ gi¶ thiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm §Æng §×nh §iÖt 12 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (13) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20 12 = 16 ( cm) CH 12 CH2 = AH.OH => OH = = (cm) AH 16 OC = OH HC 12 225 = 15 (cm) Bµi Cho ®êng trßn (O; R), tõ mét ®iÓm A trªn (O) kÎ tiÕp tuyÕn d víi (O) Trªn ®êng th¼ng d lÊy ®iÓm M bÊt k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB d Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp A Chøng minh n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét P ®êng trßn K D 2 Chøng minh OI.OM = R ; OI IM = IA N Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi H O Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng I T×m quü tÝch cña ®iÓm H M di chuyÓn trªn ®êng th¼ng d Lêi gi¶i: C (HS tù lµm) B V× K lµ trung ®iÓm NP nªn OK NP ( quan hÖ ®êng kÝnh Vµ d©y cung) => OKM = 900 Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900; OBM = 900 nh vËy K, A, B cùng nhìn OM góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính OM VËy n¨m ®iÓm O, K, A, M, B cïng n»m trªn mét ®êng trßn Ta cã MA = MB ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau); OA = OB = R => OM lµ trung trùc cña AB => OM AB t¹i I Theo tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn ta cã OAM = 900 nªn tam gi¸c OAM vu«ng t¹i A cã AI lµ ®êng cao ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; vµ OI IM = IA2 Ta cã OB MB (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; AC MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA MA (tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn) ; BD MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => Tø gi¸c OAHB lµ h×nh b×nh hµnh; l¹i cã OA = OB (=R) => OAHB lµ h×nh thoi Theo trªn OAHB lµ h×nh thoi => OH AB; còng theo trªn OM AB => O, H, M th¼ng hµng( V× qua O chØ cã mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AB) (HD) Theo trên OAHB là hình thoi => AH = AO = R Vậy M di động trên d thì H di động luôn cách A cố định khoảng R Do đó quỹ tích điểm H M di chuyển trên đường th¼ng d lµ nöa ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH = R Bµi Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH VÏ ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AH Gäi HD lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (A; AH) TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i D c¾t CA ë E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n E D Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chøng minh r»ng BE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE A Lêi gi¶i: (HD) I AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) vµ AE = AC (2) Vì AB CE (gt), đó AB vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến B H C cña BEC => BEC lµ tam gi¸c c©n => B1 = B2 Hai tam gi¸c vu«ng ABI vµ ABH cã c¹nh huyÒn AB chung, B1 = B2 => AHB = AIB => AI = AH §Æng §×nh §iÖt 13 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL M (14) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 AI = AH vµ BE AI t¹i I => BE lµ tiÕp tuyÕn cña (A; AH) t¹i I DE = IE vµ BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P X cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M N J Chøng minh r»ng tø gi¸c APMO néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn P Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng I minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh M BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t K t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Lêi gi¶i: (HS tù lµm) ( ( A B O Ta cã ABM néi tiÕp ch¾n cung AM; AOM lµ gãc ë t©m AOM ch¾n cung AM => ABM = (1) OP lµ tia ph©n gi¸c AOM AOM ( t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ) => AOP = (2) Tõ (1) vµ (2) => ABM = AOP (3) Mà ABM và AOP là hai góc đồng vị nên suy BM // OP (4) XÐt hai tam gi¸c AOP vµ OBN ta cã : PAO=900 (v× PA lµ tiÕp tuyÕn ); NOB = 900 (gt NOAB) => PAO = NOB = 900; OA = OB = R; AOP = OBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) Từ (4) và (5) => OBNP là hình bình hành ( vì có hai cạnh đối song song và nhau) Tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh => PN // OB hay PJ // AB, mµ ON AB => ON PJ Ta còng cã PM OJ ( PM lµ tiÕp tuyÕn ), mµ ON vµ PM c¾t t¹i I nªn I lµ trùc t©m tam gi¸c POJ (6) DÔ thÊy tø gi¸c AONP lµ h×nh ch÷ nhËt v× cã PAO = AON = ONP = 900 => K lµ trung ®iÓm cña PO ( t/c ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt) (6) AONP lµ h×nh ch÷ nhËt => APO = NOP ( so le) (7) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t Ta cã PO lµ tia ph©n gi¸c APM => APO = MPO (8) Từ (7) và (8) => IPO cân I có IK là trung tuyến đông thời là đường cao => IK PO (9) Tõ (6) vµ (9) => I, J, K th¼ng hµng Bµi Cho nöa ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn ( M kh¸c A,B) Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa nöa ®êng trßn kÎ tiÕp tuyÕn Ax Tia BM c¾t Ax t¹i I; tia ph©n gi¸c cña gãc IAM c¾t nöa ®êng trßn t¹i E; c¾t tia BM t¹i F tia BE c¾t Ax t¹i H, c¾t AM t¹i K X 1) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp I 2) Chøng minh r»ng: AI = IM IB 3) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n 4) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi F 5) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đường tròn Lêi gi¶i: M Ta cã : AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) H E => KMF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) AEB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) K => KEF = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) 2 => KMF + KEF = 1800 Mà KMF và KEF là hai góc đối B A O tứ giác EFMK đó EFMK là tứ giác nội tiếp Ta cã IAB = 90 ( v× AI lµ tiÕp tuyÕn ) => AIB vu«ng t¹i A cã AM IB ( theo trªn) §Æng §×nh §iÖt 14 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (15) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 ¸p dông hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao => AI2 = IM IB Theo gi¶ thiÕt AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM => IAE = MAE => AE = ME (lÝ ……) => ABE =MBE ( hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) => BE lµ tia ph©n gi¸c gãc ABF (1) Theo trªn ta cã AEB = 900 => BE AF hay BE lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABF (2) Tõ (1) vµ (2) => BAF lµ tam gi¸c c©n t¹i B BAF là tam giác cân B có BE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E là trung ®iÓm cña AF (3) Tõ BE AF => AF HK (4), theo trªn AE lµ tia ph©n gi¸c gãc IAM hay AE lµ tia ph©n gi¸c HAK (5) Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân A có AE là đường cao nên đồng thời là đương trung tuyến => E lµ trung ®iÓm cña HK (6) Tõ (3) , (4) vµ (6) => AKFH lµ h×nh thoi ( v× cã hai ®êng chÐo vu«ng gãc víi t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng) (HD) Theo trªn AKFH lµ h×nh thoi => HA // FH hay IA // FK => tø gi¸c AKFI lµ h×nh thang §Ó tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn th× AKFI ph¶i lµ h×nh thang c©n AKFI lµ h×nh thang c©n M lµ trung ®iÓm cña cung AB ThËt vËy: M lµ trung ®iÓm cña cung AB => ABM = MAI = 450 (t/c gãc néi tiÕp ) (7) Tam gi¸c ABI vu«ng t¹i A cã ABI = 450 => AIB = 450 (8) Từ (7) và (8) => IAK = AIF = 450 => AKFI là hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) VËy M lµ trung ®iÓm cña cung AB th× tø gi¸c AKFI néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn Bµi Cho nöa ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB KÎ tiÕp tuyÕn Bx vµ lÊy hai ®iÓm C vµ D thuéc nöa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx E, F (F B và E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp X Lêi gi¶i: E C thuéc nöa ®êng trßn nªn ACB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => BC AE ABE = 900 ( Bx lµ tiÕp tuyÕn ) => tam gi¸c ABE vu«ng t¹i B cã BC lµ ®êng cao => AC AE = AB2 (hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ ®êng cao ), mµ AB lµ đường kính nên AB = 2R không đổi đó AC AE không đổi C F D ADB cã ADB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => ABD + BAD = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800)(1) ABF cã ABF = 900 ( BF lµ tiÕp tuyÕn ) => AFB + BAF = 900 (v× tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 1800) (2) O A B Tõ (1) vµ (2) => ABD = DFB ( cïng phô víi BAD) Tø gi¸c ACDB néi tiÕp (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) => ECD = ABD ( cïng bï víi ACD) Theo trªn ABD = DFB => ECD = DFB Mµ EFD + DFB = 1800 ( V× lµ hai gãc kÒ bï) nªn suy ECD + EFD = 1800, mặt khác ECD và EFD là hai góc đối tứ giác CDFE đó tứ giác CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bµi 10 Cho ®êng trßn t©m O ®êng kÝnh AB vµ ®iÓm M bÊt k× trªn nöa ®êng trßn cho AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P là chân đương vuông góc từ S đến AB Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP Chøng minh r»ng tam Chøng minh bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn gi¸c PS’M c©n §Æng §×nh §iÖt 15 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (16) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Chøng minh PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn Lêi gi¶i: Ta cã SP AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => AMS = 900 Nh vËy P vµ M cïng nh×n AS góc 900 nên cùng nằm trên đường tròn đường kính AS VËy bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn Vì M’đối xứng M qua AB mà M nằm trên đường tròn nên M’ n»m trªn ®êng trßn => hai cung AM vµ AM’ cã sè ®o b»ng S M 4( P 3( A )1 )2 H O B M' S' => AMM’ = AM’M ( Hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) (1) Cũng vì M’đối xứng M qua AB nên MM’ AB H => MM’// SS’ ( cùng vuông góc với AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (v× so le trong) (2) => Tõ (1) vµ (2) => AS’S = ASS’ Theo trªn bèn ®iÓm A, M, S, P cïng n»m trªn mét ®êng trßn => ASP=AMP (néi tiÕp cïng ch¾n AP ) => AS’P = AMP => tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P Tam gi¸c SPB vu«ng t¹i P; tam gi¸c SMS’ vu«ng t¹i M => B1 = S’1 (cïng phô víi S) (3) Tam gi¸c PMS’ c©n t¹i P => S’1 = M1 (4) Tam gi¸c OBM c©n t¹i O ( v× cã OM = OB =R) => B1 = M3 (5) Tõ (3), (4) vµ (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mµ M3 + M2 = AMB = 900 nªn suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM OM t¹i M => PM lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn t¹i M Bµi 11 Cho tam gi¸c ABC (AB = AC) C¹nh AB, BC, CA tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i c¸c ®iÓm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän BD BM DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp CB CF Lêi gi¶i: A (HD) Theo t/c hai tiÕp tuyÕn c¾t ta cã AD = AF => tam gi¸c ADF c©n t¹i A => ADF = AFD < 900 => s® cung DF < 1800 => DEF < 900 ( v× gãc DEF néi tiÕp ch¾n cung DE) Chứng minh tương tự ta có DFE < 900; EDF < 900 Như tam giác DEF D F cã ba gãc nhän O AD AF Ta cã AB = AC (gt); AD = AF (theo trªn) => => DF // BC AB AC I DF // BC => BDFC lµ h×nh thang l¹i cã B = C (v× tam gi¸c ABC c©n) M C B E => BDFC là hình thang cân đó BDFC nội tiếp đường tròn Xét hai tam giác BDM và CBF Ta có DBM = BCF ( hai góc đáy tam giác cân) BDM = BFD (néi tiÕp cïng ch¾n cung DI); CBF = BFD (v× so le) => BDM = CBF BD BM => BDM CBF => CB CF Bµi 12 Cho ®êng trßn (O) b¸n kÝnh R cã hai ®êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy ®iÓm M (M kh¸c O) CM c¾t (O) t¹i N §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB t¹i M c¾t tiÕp tuyÕn t¹i N cña ®êng trßn ë P Chøng minh : CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña Tø gi¸c OMNP néi tiÕp ®iÓm M Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh §Æng §×nh §iÖt 16 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (17) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cố định nào Lêi gi¶i: Ta cã OMP = 900 ( v× PM AB ); ONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ) Như M và N cùng nhìn OP góc 900 => M và N cùng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => OPM = ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ONC = OCN C M A O B N A' P D B' => OPM = OCM XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD AB; PM AB => CO//PM (2) Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => MOC =DNC = 900 l¹i cã C lµ gãc chung => OMC NDC CM CO => => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2 CD CN không đổi hay tích CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M ( HD) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P chạy trên đường thẳng cố định vuông góc víi CD t¹i D V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB Bµi 13 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A (AB > AC), ®êng cao AH Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC chøa ®iÓn A , VÏ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh BH c¾t AB t¹i E, Nöa ®êng trßn ®êng kÝnh HC c¾t AC t¹i F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn Lêi gi¶i: A Ta cã : BEH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) E => AEH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) I 1( F CFH = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) => AFH = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) )1 EAF = 900 ( V× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A) (3) O1 O2 B H C Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt ( v× cã ba gãc vu«ng) Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt nªn néi tiÕp ®îc mét ®êng trßn =>F1=H1 (néi tiÕp ch¾n cung AE) Theo gi¶ thiÕt AH BC nªn AH lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (O1) vµ (O2) => B1 = H1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung HE) => B1= F1 => EBC+EFC = AFE + EFC mµ AFE + EFC = 1800 (v× lµ hai gãc kÒ bï) => EBC+EFC = 1800 mÆt kh¸c EBC vµ EFC lµ hai góc đối tứ giác BEFC đó BEFC là tứ giác nội tiếp XÐt hai tam gi¸c AEF vµ ACB ta cã A = 900 lµ gãc chung; AFE = ABC ( theo Chøng AE AF minh trªn) => AEF ACB => => AE AB = AF AC AC AB * HD c¸ch 2: Tam gi¸c AHB vu«ng t¹i H cã HE AB => AH2 = AE.AB (*) §Æng §×nh §iÖt 17 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (18) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 Tam gi¸c AHC vu«ng t¹i H cã HF AC => AH2 = AF.AC (**) Tõ (*) vµ (**) => AE AB = AF AC Tø gi¸c AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt => IE = EH => IEH c©n t¹i I => E1 = H1 O1EH c©n t¹i O1 (v× cã O1E vµO1H cïng lµ b¸n kÝnh) => E2 = H2 => E1 + E2 = H1 + H2 mµ H1 + H2 = AHB = 900 => E1 + E2 = O1EF = 900 => O1E EF Chứng minh tương tự ta có O2F EF Vậy EF là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn Bµi 14 Cho ®iÓm C thuéc ®o¹n th¼ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ mét phÝa cña AB c¸c nöa ®êng trßn cã ®êng kÝnh theo thø tù lµ AB, AC, CB vµ cã t©m theo thø tù lµ O, I, K §êng vu«ng gãc víi AB t¹i C c¾t nöa ®êng trßn (O) t¹i E Gäi M N theo thø tù lµ giao ®iÓm cña EA, EB víi c¸c nöa ®êng trßn (I), (K) E Chøng minh EC = MN N Chøng minh MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K) H TÝnh MN M TÝnh diÖn tÝch h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn Lêi gi¶i: 1 Ta cã: BNC= 900( néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m K) A I O C K B => ENC = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï) (1) AMC = 900 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m I) => EMC = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï).(2) AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn t©m O) hay MEN = 900 (3) Tõ (1), (2), (3) => tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt => EC = MN (tÝnh chÊt ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt ) Theo gi¶ thiÕt EC AB t¹i C nªn EC lµ tiÕp tuyÕn chung cña hai nöa ®êng trßn (I) vµ (K) => B1 = C1 (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung CN) Tø gi¸c CMEN lµ h×nh ch÷ nhËt nªn => C1= N3 => B1 = N3.(4) L¹i cã KB = KN (cïng lµ b¸n kÝnh) => tam gi¸c KBN c©n t¹i K => B1 = N1 (5) Tõ (4) vµ (5) => N1 = N3 mµ N1 + N2 = CNB = 900 => N3 + N2 = MNK = 900 hay MN KN t¹i N => MN lµ tiÕp tuyÕn cña (K) t¹i N Chứng minh tương tự ta có MN là tiếp tuyến (I) M, VËy MN lµ tiÕp tuyÕn chung cña c¸c nöa ®êng trßn (I), (K) Ta cã AEB = 900 (néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn t©m O) => AEB vu«ng t¹i A cã EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo trªn EC = MN => MN = 20 cm Theo gi¶ thiÕt AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta cã S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 Ta cã diÖn tÝch phÇn h×nh ®îc giíi h¹n bëi ba nöa ®êng trßn lµ S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 314 (cm2) 2 Bµi 15 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC ®êng th¼ng BM c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ®êng th¼ng AD c¾t ®êng trßn (O) t¹i S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Gäi E lµ giao ®iÓm cña BC víi ®êng trßn (O) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng BA, EM, CD đồng quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE Chøng minh ®iÓm M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE Lêi gi¶i: §Æng §×nh §iÖt 18 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (19) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 C C 12 O O D S H×nh a E M F E S A D M 1 2 F B 2 A H×nh b B Ta cã CAB = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); MDC = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) => CDB = 900 D và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và D cùng nằm trên ®êng trßn ®êng kÝnh BC => ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => D1= C3( néi tiÕp cïng ch¾n cung AB) A EM A => C2 = C3 (hai gãc néi tiÕp ®êng trßn (O) ch¾n hai cung b»ng nhau) D1= C3 => SM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB XÐt CMB Ta cã BACM; CD BM; ME BC nh vËy BA, EM, CD lµ ba ®êng cao cña tam gi¸c CMB nên BA, EM, CD đồng quy A EM A => D1= D2 => DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE.(1) Theo trªn Ta cã SM Ta cã MEC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn (O)) => MEB = 900 Tứ giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ gi¸c AMEB néi tiÕp mét ®êng trßn => A2 = B2 Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp => A1= B2( néi tiÕp cïng ch¾n cung CD) => A1= A2 => AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc DAE (2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã M lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ADE TH2 (H×nh b) C©u : ABC = CME (cïng phô ACB); ABC = CDS (cïng bï ADC) => CME = CDS A CS A SM A EM A => SCM = ECM => CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB => CE Bµi 16 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A.vµ mét ®iÓm D n»m gi÷a A vµ B §êng trßn ®êng kÝnh BD c¾t BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G Chøng minh : B Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đường thẳng AC, DE, FB đồng quy O Lêi gi¶i: E XÐt hai tam gi¸c ABC vµ EDB Ta cã BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DEB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) F G => DEB = BAC = 900 ; l¹i cã ABC lµ gãc chung => DEB CAB D Theo trªn DEB = 900 => DEC = 900 (v× hai gãc kÒ bï); BAC = 900 ( v× ABC vu«ng t¹i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mµ S A C đây là hai góc đối nên ADEC là tứ giác nội tiếp §Æng §×nh §iÖt 19 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (20) Tµi liÖu «n thi vµo 10 n¨m häc 2010 * BAC = 900 ( v× tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A); DFB = 900 ( gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®êng trßn ) hay BFC = 900 F và A cùng nhìn BC góc 900 nên A và F cùng nằm trên đường tròn ®êng kÝnh BC => AFBC lµ tø gi¸c néi tiÕp Theo trªn ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp => E1 = C1 l¹i cã E1 = F1 => F1 = C1 mµ ®©y lµ hai gãc so le nªn suy AC // FG (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao tam giác DBC nên CA, DE, BF đồng quy S Bài 17 Cho tam giác ABC có đường cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Lêi gi¶i: A Ta cã MP AB (gt) => APM = 900; MQ AC (gt) => AQM = 900 P và Q cùng nhìn BC góc b»ng 900 nªn P vµ Q cïng n»m trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AM => APMQ lµ tø gi¸c néi tiÕp * V× AM lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ t©m O cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c APMQ lµ O trung ®iÓm cña AM P Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao => SABC = BC.AH 2 Q Tam gi¸c ABM cã MP lµ ®êng cao => SABM = AB.MP M B H C Tam gi¸c ACM cã MQ lµ ®êng cao => SACM = AC.MQ 1 Ta cã SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = BC.AH 2 Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đều) => MP + MQ = AH A HQ A ( Tam gi¸c ABC cã AH lµ ®êng cao nªn còng lµ ®êng ph©n gi¸c => HAP = HAQ => HP tÝnh chÊt gãc néi tiÕp ) => HOP = HOQ (t/c gãc ë t©m) => OH lµ tia ph©n gi¸c gãc POQ Mµ tam gi¸c POQ c©n t¹i O ( v× OP vµ OQ cïng lµ b¸n kÝnh) nªn suy OH còng lµ ®êng cao => OH PQ Bµi 18 Cho ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB Trªn ®o¹n th¼ng OB lÊy ®iÓm H bÊt k× ( H kh«ng trïng O, B) ; trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi OB t¹i H, lÊy mét ®iÓm M ë ngoµi ®êng trßn ; MA vµ MB thø tù c¾t ®êng trßn (O) t¹i C vµ D Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I Gäi K lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c MCID, Chøng minh KCOH lµ tø gi¸c néi tiÕp t©m cña tam gi¸c MAB Theo Lêi gi¶i: gi¶ thiÕt th× MH AB nªn MH Ta cã : ACB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) còng lµ ®êng cao cña tam gi¸c => MCI = 90 (v× lµ hai gãc kÒ bï) MAB => AD, BC, MH đồng quy ADB = 90 ( néi tiÕp ch¾n nöc ®êng trßn ) t¹i I => MDI = 900 (v× lµ hai gãc kÒ bï) OAC c©n t¹i O ( v× => MCI + MDI = 1800 mà đây là hai góc đối tứ giác MCID nên OA vµ OC lµ b¸n kÝnh) => A1 MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp = C4 Theo trªn Ta cã BC MA; AD MB nªn BC vµ AD lµ hai ®êng cao cña tam gi¸c MAB mµ BC vµ AD c¾t t¹i I nªn I lµ trùc §Æng §×nh §iÖt 20 Lop6.net Trường THCS Hùng Thắng - TL (21)