Biến đổi DFT và FFT (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu Biến đổi DFT FFT Chương 8: Các phép biến đổi Fourier Miền thời gian Miền tần số 2.5 1.5 Periodic 0.5 0 time, t Continuous 2.5 (period T) Aperiodic 1.5 FS Discrete FT Continuous 0.5 T c k = ⋅ ∫ s(t) ⋅ e − j k ω t dt T − j2 π f t +∞ S(f) = ∫ s(t) ⋅ e dt −∞ 0 time, t 10 12 2.5 Periodic 1.5 0.5 time, tk DFS Discrete (period T) Discrete 2.5 Aperiodic 1.5 DTFT Continuous DFT Discrete 0.5 0 time, tk 10 12 2πkn N − − j ~ N ck = ∑ s[n] ⋅ e N n=0 +∞ S(f) = ∑ s[n] ⋅ e − j π f n n= −∞ 2πkn −j N−1 ~ N ck = ∑ s[n] ⋅ e N n =0 Chuỗi Fourier (Fourier series-FS)  Tín hiệu x(t) tuần hồn, chu kỳ Tp , tần số F0 = 1/Tp x (t ) = +∞ j 2πkF0 t c e ∑ k k = −∞ ck = Tp − j 2πkF0 t x ( t ) e dt ∫ Tp X(f) x(t) τ f -Tp Tp t -F0 F0 Biến đổi Fourier (Fourier transform-FT)  Tín hiệu x(t) khơng tuần hồn x (t ) = +∞ ∫ X ( F )e j 2πft df −∞ X( f ) = +∞ − j 2πft ( ) x t e dt ∫ −∞ X(ω) x(t) ω -τ/2 τ/2 t -2π/τ 2π/τ Biến đổi Fourier số tín hiệu Biến đổi Fourier thời gian rời rạc Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)  Tín hiệu x(n) rời rạc, khơng tuần hồn x ( n) = 2π X (ω ) = jωn ( ) X ω e dω ∫ 2π +∞ ∑ x( n ) e n = −∞ jωn Chuỗi Fourier rời rạc Discrete Fourier Sequence (DFS)  Tín hiệu x(n) rời rạc, tuần hoàn với chu kỳ N N −1 x ( n) = ∑ ck e j 2πkn / N k =0 ck = N N −1 ∑ x( n ) e n =0 − j 2πkn / N Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  Tín hiệu x(n) rời rạc, khơng tuần hồn, chiều dài L hữu hạn  Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω) |X(ω)| x(n) L-1 n -π π ω Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu xp(n) tuần hồn chu kỳ N xp(n) L-1 N-1 N n n Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  xp(n) tuần hoàn chu kỳ N  Tính DFS xp(n)  Xp(k) xp(n) L-1 N-1 N n n |Xp(k)| -N N k Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT) Công thức biến đổi DFT N-điểm cho chuỗi chiều dài L: DFT L −1 X (k ) = ∑ x( n ) e − j 2πkn / N , k = 0,1,2, , N − n =0 IDFT x( n ) = N N −1 j 2πkn / N ( ) X k e ∑ k =0 , n = 0,1,2, , N − Giải thuật biến đổi Fourier nhanh Fast Fourier Transform (FFT) Tính trực tiếp DFT N – điểm x(n): Tổng quát: X(k) x(n) số phức:  2πkn 2πkn   X R ( k ) = ∑  xR ( n ) cos + xI ( n ) sin N N  n =0  N −1 2πkn 2πkn   X I ( k ) = −∑  xR ( n ) sin − xI ( n ) cos N N  n =0  N −1 Tính trực tiếp cần: • 2N2 phép tính hàm lượng giác • 4N2 phép nhân thực • 4N(N-1) phép cộng thực Chi phí tính tốn lớn Giải thuật biến đổi Fourier nhanh Fast Fourier Transform (FFT)  Đặt WN = e − j 2π / N N −1  X ( k ) = ∑ x(n)WNnk n =0  Tính đối xứng:  Tính tuần hồn: k+N /2 M W k+N M W = −W =W k N k N Giải thuật biến đổi Fourier nhanh Fast Fourier Transform (FFT) Xét chuỗi x(n) = {x(0), x(1)}  FFT điểm x(n):  X (0) = x(0)W + x(1)W = x(0) + x(1) 2 X (1) = x(0)W + x(1)W = x(0) − x(1) (Lưu ý: W2 = 1) x(0) X(0) Bướm (Butterfly) x(1) -1 X(1) Giải thuật FFT phân chia theo thời gian (Decimation in time – DIT)  Xét chuỗi x(n) có chiều dài N = 2K  Đặt g(n) = x(2n)  g(n) = {x(0), x(2), … }  Đặt h(n) = x(2n + 1)  h(n) = {x(1), x(3), …}  DFT N điểm x(n): X (k ) = G (k ) +W H (k ) k N N X (k ) = G (k − ) −W  k− N N , N k = 0,1, , − N H (k − ) N , k = , , N − G(k), H(k) : DFT N/2 điểm g(n), h(n) Giải thuật FFT phân chia theo thời gian g(0) G(0) g(1) W G(1) W FFT N/2 điểm g(N/2 -1) N G(N/2 -1) W h(0) H(0) − WN0 h(1) H(1) − WN1 FFT N/2 điểm h(N/2 -1) N H(N/2 -1) − WNN / 2−1 N / −1 N X(0) X(1) k =0  N/2 -1 X(N/2-1) X(N/2) X(N/2 + 1) k = N/2  N-1 X(N – 1) Chi phí tính tốn So với tính trực tiếp: chi phí tính tốn thấp Number of Operations  2000 1500 DFT ∝ N2 1000 FFT ∝ N log2N 500 0 10 20 30 Number of samples, N 40 Ví dụ  FFT điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  FFT điểm phân chia theo thời gian Ví dụ  Thứ tự chuỗi x(n) pp Decimation – in - time Số thứ tự Dạng nhị phân Đảo bit n 000 000 001 100 010 010 011 110 100 001 101 101 110 011 111 111 Ví dụ  FFT điểm phân chia theo tần số (Decimation in freq) Ví dụ  FFT điểm phân chia theo tần số Ví dụ  FFT điểm phân chia theo tần số ... dt ∫ −∞ X(ω) x(t) ω -τ/2 τ/2 t -2π/τ 2π/τ Biến đổi Fourier số tín hiệu Biến đổi Fourier thời gian rời rạc Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)  Tín hiệu x(n) rời rạc, khơng tuần hồn x ( n)... L hữu hạn  Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω) |X(ω)| x(n) L-1 n -π π ω Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT)  Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L  Tín hiệu xp(n) tuần... Fourier Transform (DFT) Xp(k) tuần hoàn chu kỳ N  Đặt X(k) = Xp(k), k = 0, ,N-1 x(n) L-1 n DFT |X(k)| N-1 k Biến đổi Fourier rời rạc Discrete Fourier Transform (DFT) Công thức biến đổi DFT N-điểm cho