Biến đổi z (xử lý số tín HIỆU DSP)

Xử lý số tín hiệu Chương 5: Biến đổi Z Định nghĩa  Biến đổi Z tín hiệu rời rạc thời gian x(n): X ( z) = +∞ −n x ( n ) z ∑ n = −∞ = + x(−2) z + x(−1) z + x(0) + x(1) z −1 + x(2) z − +  Hàm truyền lọc có đáp ứng xung h(n) H ( z) = +∞ −n h ( n ) z ∑ n = −∞ Các tính chất a Tính tuyến tính A1 x1 (n) + A2 x2 (n)  → A1 X ( z ) + A2 X ( z ) Z b Tính trễ x( n )  → X ( z ) Z c ⇒ x( n − D )  → z Z −D X ( z) Tính chập y (n) = h(n) ∗ x(n) ⇒ Y (z) = X(z)H(z) Các tính chất Ví dụ Dùng u (n) − u (n − 1) = δ (n) tính chất biến đổi Z, xác định biến đổi Z của: a) x(n) = u(n) b) x(n) = -u(-n-1) Ví dụ Dùng biến đổi Z tính tích chập lọc tín hiệu ngõ vào sau: h = [1, 2, -1, 1] x = [1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 1] Miền hội tụ Miền hội tụ (Region of convergence – ROC) X(z): ROC = { z ∈ C X (z ) ≠ ∞} Ví dụ 1: x(n) = (0.5)nu(n) +∞ +∞ Biến đổi Z: n −n X ( z ) = ∑ (0.5) u (n) z = ∑ (0.5 z −1 ) n n = −∞ n =0 0.5 z −1 < ⇔ z > 0.5 ROC } ⇒ ROC = z ∈ C z > 0.5 (0.5) u ( n )  → , −1 − 0.5 z n Z z > 0.5 z Tổng hội tụ { z-plane |z| Miền hội tụ Ví dụ 2: x(n) = -(0.5)nu(-n -1) −1 Biến đổi Z: X ( z ) = − ∑ (0.5) z n n = −∞ { −n +∞ = −∑ [(0.5) −1 z ]m m =1 } ROC = z ∈ C z < 0.5 z-plane z  Kết quả: − (0.5) u (−n − 1)  → , −1 − 0.5 z n Z ROC |z| z < 0.5 Miền hội tụ  Tổng quát: a u ( n)  → , z>a −1 − az Z n − a u (− n − 1)  → , z max i p4 p1 p2 p3 ROC Tính nhân ổn định  Tín hiệu phản nhân dạng: x(n) = − A p u (− n − 1) − A2 p u (−n − 1) − n 1 n có biến đổi Z là: A1 A2 X ( z) = + + −1 −1 − p1 z − p2 z pi Với ROC: z < i p4 p1 p2 p3 ROC Tính nhân ổn định Ví dụ Xác định biến đổi z miền hội tụ a x(n) = (0.8)nu(n) + (1.25)nu(n) b x(n) = (0.8)nu(n) - (1.25)nu(-n-1) c x(n) = -(0.8)nu(-n-1) - (1.25)nu(-n-1) d x(n) = - (0.8)nu(- n – 1) + (1.25)nu(n) Tính nhân ổn định x(n) ổn định ⇔ ROC có chứa vòng tròn đơn vị Các trường hợp: p4 p1 p4 p1 p2 p3 p3 ROC ROC vòng tròn đơn vị p2 vòng tròn đơn vị Phổ tần số  Biến đổi Z x(n): X ( z ) = +∞ n x ( n ) z ∑ n = −∞   Biến đổi DTFT x(n):X ( f ) = Đặt ω = 2πfT =  X (ω ) = +∞ 2πf (Tần số số) fs ∑ x ( n )e n = −∞ − jωn +∞ − j 2πfnT x ( n ) e ∑ n = −∞ = X ( z) z = e jω Đây biến đổi Z vịng trịn đơn vị 5 Phổ tần số  Đáp ứng tần số hệ thống h(n) với hàm truyền +∞ H(z): − j ωn H (ω ) = ∑ h( n)e = H ( z) n = −∞   z = e jω X(f), H(f) tuần hoàn với chu kỳ fs  X(ω), H(ω) tuần hoàn chu kỳ 2π (- π ≤ ω ≤ π) fS / π 1 DTFT ngược: j 2πfn / f S j ωn x ( n) = 2π ∫π X ( ω )e − dω = fS ∫ X ( f )e − fS / df Phổ tần số ejω Mặt phẳng Z ω=π ω=0 Vòng tròn đơn vị Điều kiện tồn X(ω): ROC X(z) chứa vòng tròn đơn vị ↔ x(n) ổn định Phổ tần số −1 − z1 z z − z1 X ( z) = = −1 − p1 z z − p1  Xét X(z):  X(z) có cực z = p1 zero z = z1  Thay z = ejω, jω e jω − z1 e − z1 X (ω ) = jω = > X (ω ) = jω e − p1 e − z2 Phổ tần số |z-p1| ejω |z-z1| p1 z1 |X(ω)| ω1 pole zero φ1 0 φ1 ω1 ω Biến đổi Z ngược  Đưa X(z) dạng A1 A2 X ( z) = + + −1 −1 − p1 z − p2 z Tùy theo ROC, suy x(n) 1 Ví dụ: X ( z ) = + − 0.8 z −1 − 1.25 z −1  ROC={z,|z| 0.5 (0.5) u ( n )  → , −1 − 0.5 z n Z z > 0.5 z Tổng hội tụ { z- plane |z| Miền