CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định một vectơ, sự cùng phương và hướng của hai vectơ Phương pháp giải: • Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng của vectơ, hoặc biết điểm đầu và điể[r]
(1)§ : CÁC ĐỊNH NGHĨA A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: TRƯỜNG THPT Đ ĐĂNG TUY N TÀI LIỆU HỌC TẬP Vectơ là đoạn thẳng có hướng Ký hiệu : AB ; CD a ; b • • ó • • • Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối Ký hiệu Giá vectơ là đường thẳng qua điểm đầu và điểm cuối vectơ đ • • Độ dài vecto Hai vectơ chúng cùng hướng và cùng độdài Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song trùng Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng ngược hướng hướng Hai vecto cùngAB thìlàluôn cùng phương chính độ dài đoạn thẳng AB Kí hiệu: AB = AB a = b Vậy: a = b ⇔ a, b cïng h−íng Các phương pháp chứng minh: CHƯƠNG I: VECTƠ • • Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương • Chứng minh AB = DC ⇔ ABCD là hình bình hành B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xác định vectơ, cùng phương và hướng hai vectơ Phương pháp giải: • Để xác định vectơ ta cần biết độ dài và hướng vectơ, biết điểm đầu và điểm cuối vectơ đó Ví dụ điểm phân biệt A, B ta có vectơ khác là H ck I AB và BA • Vectơ a là vectơ-không và a = a = AA với A là điểm bất kì Bài tập: Bài 1: Cho ∆ABC Có bao nhiêu vectơ lập từ các cạnh tam giác đó Bài 2: Cho điểm phân biệt A, B, C, D Có bao nhiêu vectơ lập từ điểm đã cho Bài 3: Cho ngũ giác ABCDE a) Có bao nhiêu vectơ lập từ các cạnh và đường chéo ngũgiác b) Có bao nhiêu vectơ lập từ các dỉnh ngũ giác Dạng 2: Khảo sát vectơ Phương pháp giải: Để chứng minh vectơ có cách: GV: Nguy n Công Nh t • Hình Học 10 -1- Gv : Nguy n Công Nh t a= a và b ⇒ a = b b cïng h−íng Hình Học 10 Lop3.net -2- Gv : Nguy n Công Nh t (2) • Nếu a = b , b = c thì a = c ABCD là hbh ⇒ AB = DC và BC = AD § : TỔNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ • Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có D, E, F là trung điểm BC, CA, AB Tìm các vectơ và chứng minh A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: Bài 2: Cho điểm M và a Dựng điểm N cho: a) MN = a * Tính chất : b) MN cùng phương với a và có độ dài a Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O Liệt kê tất các vectơ (khác ) nhận đỉnh và tâm hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD, BC Chứng * Giao hoán : a + b = b + a * Kết hợp : ( a + b ) + c = a + (b + c ) * Tính chất vectơ –không : a + = a * Định nghĩa: Cho AB = a ; BC = b Khi đó AC = a + b * Quy tắc điểm : Cho A, B ,O tùy ý, ta có : minh MN = AB và MN = DC , thì ABCD là hình bình hành • Bài 5: Cho tứ giác ABCD, chứng minh AB = DC thì AD = BC • AB = AO + OB (phép cộng) AB = OB − OA (phép trừ) Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi E là điểm đối xứng với C qua D Chứng tỏ: * Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AC = AB + AD Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD * Vecto đối: Vecto đối vecto a là vecto có cùng độ dài ngược hướng AE = BD Kí hiệu: − a Vậy a + ( − a) = Chú ý: AB = − BA cho AM=CN Chứng minh: AN = MC và MD = BN Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N là trung điểm AB và CD AN và CM cắt BD E và F Chứng ming rằng: DE = EF = FB Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M tam giác Gọi A’, B’, C’ là trung điểm BC, CA, AB và M, N, P là các điểm đối xứng với M qua A’, B’, C’ Chứng minh: * Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: • a) AQ = CN và AM = PC b) AN, BP, CQ đồng quy Bài 10: Cho lục giác ABCDEF có tâm O B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm tổng hai vectơ và tổng nhiều vectơ Phương pháp giải: Dùng định nghĩa tổng vectơ, quy tắc điểm, quy tắc hbh và các tính chất tổng các vectơ Bài tập: Bài 1: Cho hbh ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD a) Tìm các vecto khác và cùng phương với OA b) Tìm các vecto vecto AB, OE Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O.Tìm các vectơ từ điểm A,B,C,D,O: a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB Bài 12: Cho tam giác ABC Các đẳng thức sau đây đúng hay sai? a) AB = BC b) AB = − AC G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = • b) Chứng minh AM + AN = AB + AD c) AB = AC a) Tìm tổng vectơ NC và MC ; AM và CD ; AD và NC Bài 13 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MN = QP ; NP = MQ Bài 2: Cho lục giác ABCDEFF tâm O Chứng minh Bài 14: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N là trung điểm BC và AD Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN Bài 3: Cho năm điểm A, B, C, D, E Hãy tính tổng AB + BC + CD + DE Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu vectơ Phương pháp giải: OA + OB + OC + OD + OE + OF = CMR: AM = NC , DK = NI Bài 15 : Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại tiếp Gọi B’ • là điểm đối xứng B qua O Chứng minh : AH = B ' C Hình Học 10 -3- Theo định nghĩa, tìm hiệu a - b , ta làm hai bước sau: - Tìm vectơ đối b Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net -4- Gv : Nguy n Công Nh t (3) - Tính tổng a + ( − b) b) AB − BC = DB c) DA − DB = OD − OC d) DA − DB + DC = Bài 10: Cho ∆ABC Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ + IQ + PS = a) CO − OB = BA • Vận dụng quy tắc OA − OB = BA với ba điểm O, A, B bất kì Bài Tập: Bài 1: Cho tam giac ABC Các điểm M, N và P là trung điểm AB, AC và BC Bài 11: Cho lụ giác ABCDEF có tâm là O CMR : b) OA + OC + OE = c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) a) Tìm hiệu AM − AN , MN − NC , MN − PN , BP − CP a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = b) Phân tích AM theo vectơ MN và MP Bài 2: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh AB − CD = AC − BD Bài 12: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : b) AD + BE + c) AB + CD + d) AB - AF + Bài 3: Cho điểm phân biệt A và B Tìm điểm M thỏa mãn các điều kiện sau: a) MA − MB = BA b) MA − MB = AB Bài 4: Chứng minh điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB và IA = − IB Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp giải: + Sử dụng qui tắc ba điểm;quy tắc hình bình hành; trung điểm + Vận dụng các các chứng minh đẳng thức: biến đổi VT thành VP và ngược lại; biến đổi hai vế cùng thành đẳng thức; biến đổi đẳng thức đã cho thành đẳng thức luôn đúng Bài tập: Bài 1: Cho điểm A, B, C, D Chứng minh các đẳng thức sau: a) AC + BD = AD + BC CF = AE + BF + CD EF + GA = CB + ED + CD - CB + EF - ED = a) AB + CD + EA = CB + ED c) MA + MB = GF Bài 13: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm AB, AC, BC CMR: với điểm O bất kì: OA + OB + OC = OM + ON + OP Bài 14 : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng A qua C Với điểm O bất kỳ, CMR: OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC ' Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD b) AB + CD = AD + CB c) AB − CD = AC − BD a) Chứng minh HB + HC = HD Bài 2: Cho điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng: AC + BD + EF = AF + BC + ED b) Gọi H’ là đối xứng H qua O Chứng minh HA + HB + HC = HH ' Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh: Bài 16: CMR: AB = CD và trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC trùng Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O M là điểm tùy ý Chứng minh: Bài 17: Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N là trung điểm AD và BC Chứng minh rằng: Bài 18: Cho tam giác ABC Xác định điểm M cho MA − MB + MC = Dạng 4: Tính độ dài vectơ: Phương pháp giải: Đưa tổng hiệu các vectơ vectơ có độ dài là cạnh đa giác Bài tập: BD − BA = OC − OB và BC − BD + BA = Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b AB + OA = OB và MA + MC = MB + MD a) AD + MB + NA = b) CD − CA + CB = Bài 6: Cho điểm A, B, C, D, E, F CMR : (Bằng nhiều cách khác nhau) c) AB − AD = CB − CD e) AD + BE + CF = AE + BF + CD d) AB + BC + CD + DA = f) AC + DE − DC − CE + CB = AB Bài 7: Cho hình bình hành ABCD, M tùy ý Cm: MA + MC = MB + MD Bài 8: ∆ ABC có G là trọng tâm, các điểm M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Chứng minh GM + GN + GP = a) AB + CD = AD + CB b) AB − CD = AC + DB Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có tâm O CMR: Hình Học 10 -5- Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A biết AB=a, AC=2a Tính: AB + AC và AB − AC Bài 2: Cho tam giác ABC cạnh a Tính: AB + BC và CA − CB Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net -6- Gv : Nguy n Công Nh t (4) = 60 Tính: AB + BC và Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A biết AB=a và B • Phân tích vecto theo hai vecto không cùng phương: x = ma + nb Hình Học 10 Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm BC, CA, AB ⇔ MA + MB + MC = MG G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = d) k a = ⇔ k = a = -7- thì AA' + BB ' + CC ' = 3GG ' Suy điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm Bài 11: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: CMR: AM + BN + CP = Bài 10: CMR: G và G’ là trọng tâm hai tam giác ABC và A’B’C’ b) (k + m) a = k a + m a c) k( a + b ) = k a + k b ) 2MN = AC + BD = BC + AD ka và xác định: Nếu k > thì k a cùng hướng với a ; k < thì k a ngược hướng với a Độ dài: k a = k . a ( AC + BD b) OA + OB + OC + OD = 2 c) MA + MB + MC + MD = MO (M là điểm bất kỳ) a) EF = Bài 8: Gọi M,N là trung điểm AB và CD tứ giác ABCD Cmr: Bài 7: Cho tứ giác ABCD Gọi E,F là trung điểm AB, CD và O là trung điểm EF * Cho số thực k ≠ , a ≠ Tích số thực k và vecto a là vectơ, kí hiệu: 3GG ' = AA ' + BB ' + CC ' A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: CMR: a) k(m a ) = (km) a Chứng minh rằng: IJ = AC + BD = AD + BC Bài 6: CMR G và G' là trọng tâm ∆ ABC và ∆ A'B'C' thì § TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ Tính chất : b) 2OA + OB + OC = 4OD ( với O tùy ý) BD CMR: AB + CD = MI Bài 5: Gọi I, J là trung điểm đoạn thẳng AB và CD Bài 9: Cho véc tơ a và b cùng khác Khi nào thì: a) a + b = a + b ; b) a + b = a − b ; C) a − b = a − b Bài 10: Tìm tính chất tam giác ABC, biết : CA + CB = CA - CB Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N là trung điểm đường chéo AC và b Chứng minh rằng: AB + AD = AB − AD Bài 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm CMR: MA + MB + MC = MG , với M a Với M tùy ý, Hãy chứng minh MA + MC = MB + MD a) DA + DB + DC = Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Cmr: AB + AC + AD = AC Bài 2: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến, D là trung điểm AM Cm: c CD − DA ( m, n ) B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vectơ: c OB − DC b AB + DC Cho b , a là hai vecto không cùng phương, với x tùy ý, đó: Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo Tính a OA − CB I trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ: MA + MB = MI b BA − BC G là trọng tâm ∆ABC , với điểm M bất kỳ: MA + MB + MC = MG Bài 4: Cho tam giác ABC cạnh a và đường cao AH Tính: AB + AC ; AB + BH ; AB − AC Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính BC + AB ; AB - AC theo a = 60 và cạnh là a Gọi O là giao điểm hai Bài 6: Cho hình thoi ABCD có BAD a AB + AD • Điều kiện cần và đủ để A , B , C thẳng hàng là có số k cho AB =k AC • Tính chất trung điểm và tính chất trọng tâm: AB − AC đường chéo Tính: • b cùng phương a ( a ≠ ) và có số k thỏa b =k a Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điểm đối xứng A qua O Hình Học 10 -8 Gv : Nguy n Công Nh t Gv : Nguy n Công Nh t Lop3.net (5) Bài Tập: a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành b) Chứng minh: ( AB + DC ) Bài 4: Cho tam giác ABC CMR: OA − 2OB − 2OC + OD = Bài 14: Cho tam giác A, B, C G là trọng tâm tam giác và M là điểm tuỳ ý mặt phẳng CMR: a) GB + GB + GC = b) MB + MB + MC = 3MG Bài 15: Cho hình bình hành ABCD tâm I AO = a; BO = b a) Chứng minh rằng: AB + AD = AI b) Tính AC ; BD; AB; BC ; CD; DA theo a; b Bài 16: Cho điểm A, B, C, D; M, N là trung điểm AB, CD Chứng minh rằng: AD + BD + AC + BC = 4MN Bài 17: Gọi O; H; G là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng: a) HA + HB + HC = HO b) HG = 2GO Bài 18: Cho tam giác ABC tâm O M là điểm tuỳ ý bên tam giác; D, E, F là hình chiếu nó trên BC, CA, AB Chứng minh rằng: MD + ME + MF = MO Bài 19: Cho điểm A, B, C, D; I, F là trung điểm BC, CD CM: AB + AI + FA + DA = 3DB ( b) Tìm điểm J cho JA − JB − JC = c) Tìm điểm K cho KA + KB + KC = BC d) Tìm điểm K cho KA + KB + KC = BC e) Tìm điểm L cho 3LA − LB + LC = a) Tìm điểm I cho IB + 3IC = HD: ) * Phương pháp tìm điểm M thỏa đẳng thức vecto cho trước: B1: Biến đổi đẳng thức đã cho dạng: AM = u , đó A là điểm cố định, • B2: Dựng điểm M thỏa AM = u u cố định Hình Học 10 e) 3LA − LB + LC = ( LA − LB ) + 2( LA + LC ) Sau đó áp dụng quy tắc điểm và hệ thức trung điểm Bài 5: Cho hai điểm A, B Xác định điểm M biết: MA − 3MB = Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC cho NC=2NA a) Xác định điểm K cho: AB + AC − 12 AK = b) Xác định điểm D cho: AB + AC − 12 KD = Bài 7: Cho các điểm A, B, C, D, E Xác định các điểm O, I, K cho: a ).OA + 2OB + 3OC = b).IA + IB + IC + ID = c).KA + KB + KC + 3( KD + KE ) = Bài 8: Cho tam giác ABC Xác định các điểm M, N cho: a) MA + 2MB = b) NA + NB = CB Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M thoả mãn: AM = AB + AC + AD Bài 10: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm O thoả mãn: OA + OB + OC + OD = Bài 20: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G CM: a) AH = AC − AB ; CH = − AB + AC 3 b) M là trung điểm BC CM: MH = AC − AB 6 Dạng 2: Tìm điểm thỏa đẳng thức vecto cho trước • c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, đó với K ta có: KA + KB + KC = 3KG ) ( b) Tìm điểm O cho OA + OB + OC = c) Tìm điểm K cho KA + KB = CB d) Tìm điểm M cho MA + MB + MC = Bài 3: Cho tứ giác ABCD Tìm điểm O cho OA + OB + OC + OD = b) Gọi O là điểm nằm trên đoạn MN và OM = 2ON a) Tìm điểm I cho IA + IB = Từ đó có kết luận gì điểm O,H,G Bài 13: Cho tứ giác ABCD a) Gọi M,N là trung điểm AD, BC, chứng minh: MN = Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B tìm điểm K cho: 3KA + KB = Bài 2: Cho tam giác ABC HA + HD = HO , HA + HB + HC = HO , OA + OB + OC = OH c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC CMR: OH = 3OG -9- Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 10 - Gv : Nguy n Công Nh t (6) Bài 9: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN Dạng 3: Phân tích vecto theo hai vecto không cùng phương a Phân tích vecto AK theo AB, AC * Phương pháp: Áp dụng các kiến thức: AB = OB − OA (phép trừ) b Gọi D là trung điểm BC Cm: KD = * Quy tắc điểm: AB = AO + OB (phép cộng) AB + AC Bài 10: Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm BC,CA,AB Tính các vecto * Quy tắc đường chéo hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB, BC , CA theo các vecto BN , CP * Tính chất trung điểm: I là trung điểm AB ⇔ IA + IB = ⇔ MA + MB = MI (M bất kỳ) * Tính chất trọng tâm: G là trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E là trung điểm CD Hãy phân tích AE theo hai AC = AB + AD Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng B qua G Bài Tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Cho các điểm D,E,F là trung điểm các cạnh BC, CA, AB I là giao điểm AD và EF Hãy phân tích các vecto Bài 2: Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC cho MB = MC Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto AB, AC Bài 3: Cho tam giác ABC Điểm M trên cạnh BC cho MB = 2MC Hãy phân tích vecto AM theo hai vecto AB, AC Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích các vecto AB, AC Bài 15: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài cho 5JB = 2JC AB Hãy phân tích AI , AK , CI , CK theo b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính AG theo AI , AJ Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Bài 6: Cho lục giác ABCDEF tâm O cạnh a a Phân tích vecto AD theo hai vecto AB, AF b Tính độ dài u = AB + BC theo a 2 a) Tính AI , AJ theo hai véc tơ AB, AC Từ đó biểu diễn AB, AC theo AI , AJ ) điểm BC Hãy biểu diễn các véc tơ AM , AG, BC , CB1 , AB1 , MB1 qua hai véc tơ Bài 5: Cho tam giác ABC với trọng tâm G Gọi I là trung điểm đoạn AG, K là CA, CB AC − AB , 3 Bài 14: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M là trung AB, BC , CA theo hai vecto AK , BM điểm trên cạnh AB cho AK = ( BH = − AB + AC b) Gọi M là trung điểm BC, chứng minh: MH = AC − AB 6 6 Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, tâm O đặt AB = a, AD = b Hãy tính các vecto sau đây theo a, b a) AI (I là trung điểm BO) b) BG (G là trọng tâm tam giác OCD) 1 5 * ĐS: AI = a + b BG = − a + b 4 a) Chứng minh: AH = ⇔ MA + MB + MC = MG (M bất kỳ) AI , AG, DE , DC theo hai vecto AE , AF vecto AD, AB Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Phân tích AM theo hai vecto AB, AC Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB, N là điểm trên cạnh AC cho * Phương pháp: Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = k AC Để chứng minh điều này ta có thể áp dụng hai phương pháp: + Cách 1: Áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian NA = 2NC Gọi K là trung điểm MN Phân tích vecto AK theo AB, AC Hình Học 10 - 11 - Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 12 - Gv : Nguy n Công Nh t (7) Bài Tập: Bài : Cho điểm O, A, B, C cho 3OA − 2OB − OC = CMR: A, B, C thẳng hàng Bài : Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến Gọi I là trung điểm AM và K là điểm trên cạnh AC cho AK = AC Chứng minh : I, J, O thẳng hàng với O là giao điểm AC và BD Bài 10: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P cho: MB − 3MC = , AN = 3NC , PA + PB = Chứng minh M, N, P thẳng hàng Bài 11: Cho tam giác ABC và điểm M thỏa AM = AB − AC Chứng minh B,M,C thẳng hàng Bài 12: Cho tam giác ABC Gọi M, N là các điểm thuộc cạnh AB, AC cho AM= MB , AN= 3NC và điểm P xác định hệ thức PB + PC = Gọi K là trung điểm MN a) Chứng minh: AK = AB + AC b) Chứng minh : Ba điểm A, K, P thẳng hàng a) Phân tích vecto BK , BI theo hai vecto BA, BC b) Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng Bài 3: Cho ∆ ABC I là điểm trên cạnh AC cho CI = AC , J là điểm mà BJ = AC − AB a) Chứng minh BI = AC − AB Bài 13 : Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định các hệ thức BC + MA = O; AB − NA − AC = O Chứng minh MN // AC b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC; D và E là hai điểm cho: BD = DE = EC a) Chứng minh: AB + AC = AD + AE b) Tính véctơ: AS = AB + AD + AC + AE theo AI c) Suy ba điểm A, I, S thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC Đặt AB = u; AC = v a) Gọi P là điểm đối xứng với B qua C Tính AP theo u; v ? b) Qọi Q và R là hai điểm định bởi: AQ = AC ; AR = AB Tính RP; RQ theo u; v c) Suy P, Q, R thẳng hàng Bài 6: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy điểm I, J cho: IA + 3IC = , JA + JB + 3JC = a) CMR: M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC b) CMR: J là trung điểm BI Bài 7: Cho tam giác ABC, trọng tâm G Lấy các điểm I, J thoả mãn: IA = IB ; 3JA + JC = Chứng minh IJ qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 8: Cho tam giác ABC Lấy các điểm M, N, P thoả mãn: MA + MB = AN − AC = 0; PB = PC Chứng minh: M, N, P thẳng hàng Bài 9: Cho hình bình hành ABCD Lấy các điểm I, J thoả mãn: 3JA + JC − JD = JA − JB + JC = Hình Học 10 - 13 - Dạng 4: Chứng minh hai điểm trùng nhau: * Phương pháp : Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn hai hướng: + Cách 1: Chứng minh MM ' = + Cách 2: Chứng minh OM = OM ' với O là điểm tuỳ ý Bài 1: Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N, P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm Bài 2: Cho lục giác ABCDEF Gọi M,N,P,Q,R,S là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Cmr hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA Cmr hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I,J là trung điểm AB và CD b) Gọi G là trung điểm IJ Cm: GA + GB + GC + GD = a) CMR: AC + BD = AD + BC = IJ c) Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng AC và BD, M và N là trung điểm AD và BC CMR: Ba đoạn thẳng IJ, PQ, MN có chung trung điểm Dạng 5: Quỹ tích điểm *Phương pháp: Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ số quỹ tích sau: - Nếu MA = MB với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực đoạn AB - Nếu MC = k AB với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính k AB - Nếu MA = k BC thì Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 14 - Gv : Nguy n Công Nh t (8) + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC k ∈ R B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng1: Xác định tọa độ véctơ và điểm trên mp tọa độ Oxy: Phương pháp giải: Căn vào định nghĩa tọa độ vectơ và tọa độ điểm trêm mp tọa độ Oxy * Nếu biết tọa độ hai điểm A (xA,yA), B(xB, yB) thị ta tính tọa độ + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng BC k ∈ R + + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng BC k ∈ R − * Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: a) MA + MB + MC = MB + MC b) MA + 3MB − MC = 2MA − MB − MC AB : AB = ( x B − x A ; yB − y A ) * Nếu M và N có tọa độ là a, b thì MN = b − a Bài tập: Bài 1: Trên trục (O, i ) cho hai điểm M và N có tọa độ là -5; tìm tọa độ Bài 2: Cho tam giác ABC M là điểm tuỳ ý mặt phẳng a) CMR: véctơ v = 3MA − 5MB + 2MC không đổi b) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: 3MA + 2MB − MC = MB − MC điểm P trên trục cho PM = PN Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AD=4 và chiều cao ứng với cạnh AD=3, góc § HỆ TRỤC TỌA ĐỘ vectơ AB, BC , CD , AC Bài 3: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ là −2 và A TÓM TẮT LÍ THUYẾT: → a) Tìm tọa độ AB b) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB Định nghĩa tọa độ vectơ, độ dài đại số vectơ trên trục a = (a1 ; a2 ) ⇔ a = a1 i + a2 j • M có tọa độ là (x; y) ⇔ OM = x.i + y j • A( x A ; y A ) và B( xB ; yB ) ⇒ AB = ( x B − x A ; yB − y A ) Tọa độ a + b, a − b, k a * Cho a = ( a1 ; a2 ), b = (b1 ; b2 ), k ∈ R Ta có: a + b = ( a1 + b1 ; a2 + b2 ) ; a − b = ( a1 − b1 ; a2 − b2 ) ; ka = ( ka1 ; ka2 ) b1 = ka1 * Hai vectơ a và b ( a ≠ ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ : b2 = ka2 x A + xB x I = 3.+ I là trung điểm đoạn thẳng AB ta có: y = yA + y B I x A + x B + xC x G = + G là trọng tâm tam giác ABC ta có: y + y B + yC y = A G → → c) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB = • Hình Học 10 BAD=600, chọn hệ trục (A; i, j ) cho i và AD cùng hướng Tìm tọa độ các - 15 - d) Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = −1 Bài 4: Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ là a, b, c a) Tìm tọa độ trung điểm I AB → → → b) Tìm tọa độ điểm M cho MA + MB − MC = → → → c) Tìm tọa độ điểm N cho NA − NB = NC Bài 5: Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ là −3 và a) Tìm tọa độ điểm M cho MA − MB = b) Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB Bài 6: Trên trục x'Ox cho điểm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) 1 a) CMR : + = AC AD AB b) Gọi I là trung điểm AB CMR: IC ID = IA c) Gọi J là trung điểm CD CMR: AC AD = AB AJ Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3); B(2;4), C(0;1) Tìm tọa độ đỉnh D Bài 8: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;0); N(2;2) và P(-1;3) là trung điểm các cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác Bài 9: Cho ∆ ABC, các điểm M(1;1); N(2;3) và P(0;4) là trung điểm các cạnh BC; CA; AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 16 - Gv : Nguy n Công Nh t (9) Bài 10: Cho ∆ ABC, các điểm A(-5;6); B(-4;-1) và C(4;3) Tìm tọa độ trung điểm I AC Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD là hình bình hành Bài 11: Cho điểm A(2;5); B(1;1); C(3;3) Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng: Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cần và đủ sau: a) Tìm tọa độ điểm D cho AD = AB − AC b) Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác ABCE là hình bình hành Tìm tọa độ tâm hình bình hành đó Bài 12: Cho tam giác ABC có A(-1;1), B(5;-3), C nằm trên Oy và trọng tâm G nằm trên Ox Tìm tọa độ C Bài 2: Cho điểm M( Bài 1: Cho a = (2;1); b = (3;4); c = (7;2) Bài 3: Tìm x để các cặp vectơ sau cùng phương a) a = (2;3) vµ b = (4; x ) b) u = (0;5) vµ b = ( x;7) ; ); N(2;1) và P(1;3) Chứng minh điểm M; N; P 3 thẳng hàng Bài 3: Cho điểm A(3; 4); B(2; 5) và C(1; 5) Tìm x để (-7; x) thuộc đường thẳng AB Bài 4: Cho điểm A(-3; 4); B(1; 1) và C(9; -5) a) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D cho A là trung điểm BD c) Tìm tọa độ điểm E trên trục Ox cho A; B; E thẳng hàng Bài 5: Cho A(2;1); B(6;-1) Tìm toạ độ: a) Điểm M trên trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trên trục tung cho A, B, N thẳng hàng c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng và PA = Bài 6: Cho A(-1;-4); B(3;4) Tìm toạ độ: a) Điểm M trên trục hoành cho A,B,M thẳng hàng b) Điểm N trên trục tung cho A, B, N thẳng hàng c) Điểm P khác điểm B cho A, B, P thẳng hàng và PA = Bài 7: Tìm điểm P trên đường thẳng (d): x+y=0 cho tổng khoảng cách từ P tới A và B là nhỏ nhất, biết: a) A(1;1) và B(-2;-4) b) A(1;1) và B(3;-2) Dạng 4: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ, độ dài: Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC với A(1;0); B(-3;-5); C(0;3) a) Xác định toạ độ điểm E cho AE = BC b) Xác định toạ độ điểm F cho AF=CF=5 Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;3); B(2;4); C(0;1) Xác định toạ độ: a) Trọng tâm G b) Véc tơ trung tuyến AA1 c) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác d) Điểm D cho ABCD là hình bình hành Bài 3: Cho M(1+2t; 1+3t) Hãy tìm điểm M cho xM2 + yM2 nhỏ a).Tìm tọa độ vectơ u = a − 3b + c b).Tìm tọa độ vectơ x + a = b − c c).Tìm hai số j; k cho c = ka + lb Bài 2: Cho a = (1;2); b = (−3;1); c = (−4; −2) 1 a) Tìm tọa độ các vectơ u = a − b + c ; v = − a + b − c ; u = 3a + b + c 2 và xem vectơ nào các vectơ cùng phương với véctơ i và cùng phương với j b) Tìm các số m, n cho a = mb + nc Phương pháp giải: Tính theo công thức tọa độ u + v; u − v; ku Bài tập: * Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng và có số k để AB = k AC Bài tập: Bài 1: Cho điểm A(-1;1); B(1;3) và C(-2;0) Chứng minh điểm A; B; C thẳng hàng Dạng 2: Tìm tọa độ các vectơ u + v; u − v; ku * Hai vectơ a, b ≠ 0) cùng phương và có số k để a = kb c) m = ( x; −3) vµ n = ( −2;2 x ) Bài 4: Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a; b biết: a) a (2; −1); b(−3; 4); c(−4;7) b) a (1;1); b(2; −3); c(−1;3) Bài 5: Cho bốn điểm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC Bài 6: Biểu diễn véc tơ c theo các véc tơ a; b biết: a) a (−4;3); b(−2; −1); c(0;5) b) a (4; 2); b(5;3); c(2;0) Bài 7: Cho bốn điểm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4) Hãy biểu diễn véc tơ AD theo các véc tơ AB ; AC Bài 4: Cho tam giác ABC với A(4;6); B(1;4); C(7; ) Hình Học 10 - 17 - Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 18 - Gv : Nguy n Công Nh t (10) a) CM: ∆ABC vuông b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2); B(0;4); C(3;2) Tìm toạ độ của: a) Trọng tâm G tam giác b) Vectơ trung tuyến ứng với cạnh BC c) Điểm D cho ABCD là hình bình hành d) Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC e) Điểm M biết: CM = AB − AC f) Điểm N biết: AN + BN − 4CN = Bài 6: Cho tam giác ABC với A(0;3); B(4;6); C(3;3).Tìm toạ độ điểm D cho ABCD là hình bình hành c) Tìm toạ độ điểm C cho O là trọng tâm tam giác ABC Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; 0), B(2; -4), C(0; -2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M, N, P là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Chứng minh hai tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm tọa độ điểm A thuộc Ox và B thuộc Oy cho G là trọng tâm tam giác OAB Oxy cho các véctơ a = (2; −1), b = (−1; −3), c = (3;1) a) Tìm toạ độ các véctơ u = a + b, v = a − b + c, w = 2a − 3b + 4c b) Biểu diễn véctơ c theo hai véctơ a và b c) Tìm toạ độ véctơ d cho a + 2d = b − 3c Bài 8: Trong hệ trục Bài Tập Tổng Hợp: Bài 1: Trong hệ trục Oxy , cho A(1; 2), B(-2; 3), C(-4;6) a) Tìm tọa độ AB + BC − AC b) Tìm tọa độ trung điểm M BC c) Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC d) Biểu diễn AG theo AB, AC e) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành Tìm tọa độ tâm I hình bình hành này f) Tìm tọa độ điểm E thuộc Ox cho ABCE là hình thang Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo hình thang này Bài 2: Trong hệ trục toạ độ oxy , cho tam giác ABC có A(4 ;-1) , B(-2 ;- 4), C( -2;2) a) Tính chu vi tam giác ABC b) Tìm toạ độ trực tâm H tam giác ABC c) Tìm toạ độ điểm I biết AI + 3BI + 2CI = Bài 9: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A ( 1;3) , B ( -5; 7) , C ( 3; ) a) Xác định toạ độ điểm M cho b) Xác định toạ độ điểm P trên trục tung cho P thẳng hàng với A và B Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) a) Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác b) Tìm D để BCGD là hình bình hành Biểu diễn AG theo hai AB, AD c) Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho A(4; 3), B(2; 7), C(-3: 8) a) Chứng minh A, B, C là đỉnh tam giác Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác b) Tìm D để BCGD là hình bình hành Biểu diễn AG theo hai AB, AD c) Tìm tọa độ M thỏa AM + AG + 2MB + CM = −5BC d) Tìm N thuộc cạnh BC cho diện tích tam giác ANB gấp lần diện tích tam giác ANC Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(-1;2); B(2;3) và C(1; -4) a) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành b) Tìm tọa độ điểm N trên trục hoành cho ba điểm A, B, N thẳng hàng c) Tìm tọa độ M thuộc BC thỏa S∆AMB = S∆ABC d) Gọi M, P là trung điểm cuả AB và BC Phân tích AC theo hai vectơ AP và CM Bài 5: : Cho hai điểm A(3 , 4) ; B(2 ; ) a) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua B b) Tìm toạ độ điểm D trên Ox cho điểm A , B , D thẳng hàng Hình Học 10 - 19 - AB − AC + AM = .Hết “Trên bước đường thành công, không có dấu chân kẻ lười biế ng” Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 20 - Gv : Nguy n Công Nh t (11) CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA VECTO VÀ ỨNG DỤNG §1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ ( Từ - 180 ) A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT: = và 1/ Định nghĩa : Trên nửa dường tròn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM M(x0;y0) Khi đó ta định nghĩa: sin góc là y0 ; ký hiệu sin = y0 côsin góc là x0; ký hiệu cos = x0 y tang góc là ( x0 0); ký hiệu tan = x0 x côtang góc là ( y0 0); ký hiệu cot = y0 a) Nếu cos thì tan y0 x0 x0 y0 b a e) + tan2 = Nếu ( a , b )= 900 thì ta nói a vuông góc b Kí hiệu: a b - 21 - 600 Cos 2 2 2 tan 3 Cot 3 B Ví dụ: Ví dụ 1: Tính giá trị lượng giác góc + ( a , b )= 1800 a ngược hướng b Hình Học 10 450 + ( a , b )= 00 a cùng hướng b * Chú ý: : + ( a , b )= ( b , a ) 300 B sin cos b) Nếu sin thì cot cos sin d) tan cot = 1 f) + cot2 = sin 2 00 Sin Cho hai véctơ a , b Từ điểm O tuỳ ý dựng OA = a , OB = b Góc 00≤ AOB ≤1800 gọi là góc hai véctơ a , b Kí hiệu là: ( a , b ) cos 2 * Góc phụ Sin(900- ) = Cos Cos(900- ) = Sin tan(90 - ) = Cot cot(900- ) = tan * Góc đối sin(- ) = - sin cos(- ) = cos * Chú ý: sin2 = (sin)2 sin2 Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt A O c) sin + cos = * Dấu các tỉ số lượng giác: 00≤ ≤900 900< <1800 + + sin + cos + tan + cot * Chú ý: + tan xác định 900 + cot xác định 00 và 1800 Tính chất : Hai góc bù (tổng hai góc 1800) sin( 1800 ) = sin cos ( 1800) = cos tan (1800 ) = tan ( 900) cot ( 1800 ) = Cot ( < < 1800) Góc hai vectơ * Quy ước: Nếu ít hai véc tơ a và b là véctơ thì ta có thể xem góc bao nhiêu Ví dụ (SGKTr39): Cho tam giác ABC vuông A và góc B= 500 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác góc Xem SGK.Tr39+40 Các hệ thức a Sin 450 = Gv : Nguy n Công Nh t a.45 b.1200 Giải 2 , cos 450 = , tan 450=1, cot 450 = 2 Hình Học 10 Lop3.net 900 - 22 - Gv : Nguy n Công Nh t (12) b Sin 1200 = 3 , cos 1200 = - , tan1200 = - , cot1200= 2 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600 Giải A = Cos 200+ cos 800 + (-cos 800) + ( - cos 200) =0 C BÀI TẬP: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A=( 2sin 300 + cos 135 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin2900 + cos 21200- cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2:Đơn gianû các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= Sin (1800- ) cot - cos(1800- ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900) Bài 3: a) Chứng minh sin2x +cos2x = ( 00 x 1800) b)Tính sinx cosx = e) Chứng minh + cot2 x = cos x sin x ( Với x 900 ) ( Với 00 < x < 18000 ) Bài 4:Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC b) cos(A + C) + cos B = c) tan( A – C) + tan( B + 2C) = Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc a) b) AB vaø BC c) GB vaø GC b) AG vaø BC GA vaø AC d) BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Cho = 1350 Tính sin, cos, tan và cot HD: sin1350 = sin(1800450)= sin450 Hình Học 10 , tính P = 3sin x + 4cos2 x Kết quả: a) Cho góc nhọn mà sin= Tính cos và tan b) Cho góc mà cos= Tính sin, tan,và cot c) Cho tanx= 2 Tính cotx, sinx và cosx d) Cho cot = Tính tan, sin và cos 6/ Biết cosx= 7/ d) Chứng minh + tan2 x = C ) sinA= sin(1800300) HD: vì A 180 ( B 3/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= asin0o + bcos 0o + c sin 90o ; B= acos90o + bsin 90o + c sin180o; C= a2 sin90o + b2cos 90o + c.cos18Oo; 4/Tính giá trị biểu thức sau : A= sin2 90o + 2cos2 90o 3tan2 45o; B= a2 sin2 90o 3(a.tan245o )2+ 2a.cos45o 5/ Tính giá trị các biểu thức sau: A= sinx + cosx x = 0o, 45o , 60o B= 2sinx+ cos2x x = 60o , 45o, 30o C= sin2 x + cos2 x x = 30o, 45, 30o ,60o,90o,145o c) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx = AB vaø AC C =150 Hãy tính các giá trị lượng giác góc A 2/ Cho tam giác cân ABC có B - 23 - 8/ Chứng minh các đẳng thức : a) ( sin + cos)2 = + 2sin.cos b) ( sin cos)2 = 2sin.cos c) sin4x cos4 x = 2sin2 x 1 c) sin4x + cos4 x = - sin2x cos2 x d) sinx.cosx( 1+ tanx )( + cotx ) = 1+ 2sinx.cosx 9/ Đơn giản các biểu thức: A = cosy + siny tany; Đáp số: A=1/cosy B= cos b cos b C = sina C= Đáp số: B= sinb (vì sinb>0) tan a sina tana |cosa | tana Đáp số: 0 a<90 900 <a 1800 D= sin100 +sin80 +cos160+cos1640 10/ Tính a) cos2120+cos2 78o+ cos2 10+cos2 78o Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 24 - Đáp số: a) 2; b= Gv : Nguy n Công Nh t (13) b) sin2 3o+sin215o+ sin275o+ sin287o 11/ Đơn giản các biểu thức: A = sin( 90o x ) cos( 180o x ) B = cos( 90o x ) sin ( 180o x ) Bài : Biết sin15o = 2 Đáp số: A=cos x Đáp số: B= sin2x Bài : Cho sin = 21 với 900< <1800 Tính cos ,tan ,cot Kq2 cos = 5 Bài 10 : Cho biết a) sin = Tính các tỉ số lượng giác góc 15o cot α tan α , tính A = cot α tan α b) tan = -2 , tính B = BÀI TẬP SỐ Bài : Tính các hàm số lượng giác (sin ,cos ,tan ,cot ) các góc sau a = -1500 b = 1350 d = -45 e = -1800 Bài : Tính giá trị biểu thức c = -600 c) tan =3 , tính d) cos = A = 2sin6 -cos4 + tan( +450)+2cos6 , với = 450 Kq2 A = B = 3sin600-2cos300+3tan600-4cot900 Kq2 B = C = 3-sin900 +2cos2600-3tan2450 Kq2 C = D= ( sin 530 cos 530 ) cot 340 sin 370 0 ( cot 37 ) tan 56 E= ( tan1260 cot 360 ) cos 540 cos1440 Kq2 D = - 25 - cos sin cos sin Kq2 C = tan cot , tính D = tan cot tan 2cot 3 Kq2 E = cos cos sin cos sin Kq2 F = 20 Kq2 A = cos2 Kq2 B = cot2a cos sin sin cos Kq2 C = D = sin4x + cos4x + 2sin2xcos2 x-1 Kq2 D = tan x tan y cot x cot y F = (sin +cos )2-1-2sin cos Kq2 E = tanxtany E= 0 0 G = cos10 + cos20 + cos30 +…+ cos170 + cos180 H= Kq2 D = Bài 11 : Rút gọn các biểu thức sau A =(1+cos )cot2 (1-cos ) B = cos2a +cos2acot2a C= sin sin cos cos f) cot = , tính F = Kq2 E = -2 Kq2 B = sin cos C= e) sin = và 00< <900, tính E = 2 Bài : Cho sin = với 00< <900 Tính cos ,tan ,cot Kq2 cos = 3 15 Bài : Cho cos = với 900< <1800 Tính sin ,tan ,cot Kq2 sin = 17 17 Bài : cho tan = Tính sin ,cos ,cot ; Kq2 cos = ( 1) Bài : Cho cot = 2 với 00 < <900 tính sin ,cos ,tan Kq2 sin = 3 Bài : Cho sin = Tính cos ,tan ,cot Kq2 cos = 5 6 Bài : Cho cos = ( 1) Tính sin ,tan ,cot Kq2 sin = 4 Hình Học 10 Kq2 A = Kq2 F = Kq2 G = -1 cos(900 ) cot( 900 ) sin(1800 ) cot(1800 ) cot(90 ) Kq2 H = -1 I = cos200 + cos400 +…+ cos1600 + cos1800 Kq2 I = -1 0 J = sin(90 - ) + sin(180 - )-cos +sin Kq2 J = 2sin 0 K = 2sin -3cos(90 - )+tan90 - )+2cot(180 - )+2sin -3cot Kq2 K = sin -4cot 2 2 L = sin 10 +sin 20 +sin 30 +…+sin 700+sin2800+sin2900 Kq2 L = Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 26 - Gv : Nguy n Công Nh t (14) M = cos2 150+cos2250 + cos2 450 + cos2650+cos2 750 Kq2 M = Bài 12 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau 1)sin6 + cos6 = - 3sin2 cos2 3)tan2 - sin2 = tan2 sin2 sin cos cos sin tan sin 4) tan 2 cot cos 2) sin cos2 1 sin 6) tan cot cos2 cos2 sin cos x cos x 7) (00 < x < 900) cos x cos x sin x sin x cos x cos x sin x sin x 8) cot x 9) cos x sin x sin x sin x cos x cos4 x cos a 1 sin a 10) 11) tan a tan a sin a cos a sin a cos (1 cos )2 tan a cot a 1 2cot 12) 13) 2 sin tan a cot a sin 2 sin cos 14) sin cos cot tan tan x sin x 15) cos x(1 cos x) sin x 1 cos x cos x cos x 1 sin x sin x 2 19) sin x (1 cot x) cos x(1 tan x) sin x cos x 18) cos 1 = cot 00 < <900 cos cos cos cos 21) 2cot 00< <900 cos cos sin sin 22) 2 tan 900< <1800 sin sin 20) 5) sin x cos x cot x cos x sin x cos x sin x cot x sin x cos x 17)1+ tanx + tan2 x + tan3x = cos3 x 16) 23)sin3x(1+cotx)+cos3x(1+tanx) = sinx+cosx 24) sin x cos2 x sin x.cos x (sin x cos x) 25) sin x cos x cos x tg x cos x sin x sin x Bài 13 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc (độc lập với x ) A = cos6x+2sin6x+sin4 xcos2 x+4sin2 xcos2x-sin2x B= 1 tan x sin (1800 x ) cos(900 x) sin x tan (900 x) C = sin(900-x)+cos(1800-x)+sin2x+sin2xtan2x-tan2 (1800-x) D= sin 3x cos 3x sin 3x cos 3x sin x cos x sin x cos x BÀI TẬP SỐ Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A=( 2sin 300 + cos 135 – tan 1500)( cos 1800 -cot 600) B= sin2900 + cos 21200 - cos200- tan2600+ cot21350 Bài 2: Đơn gian các biểu thức: a) A= Sin 1000 + sin 800+ cos 160 + cos 1640 b) B= Sin (1800- ) cot - cos(1800 - ) tan cot(1800- ) (Với 00< <900) Bài : a) Chứng minh sin2x +cos2 x = ( 00 x 1800) b)Tính sinx cosx = c) Tính sinx.cosx sinx – cosx = Hình Học 10 - 27 - sin x Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 28 - Gv : Nguy n Công Nh t (15) d) Chứng minh + tan2 x = e) Chứng minh + cot2 x = cos x sin x c/ sin A BC = cos 2 P M/(O) = MO2 – R2 = MA.MB Nếu M ngoài đường tròn (O,R), MT là tiếp tuyến thì Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Cho a = (x, y) , b = (x', y') ; M(xM , yM), N(xN, yN); ta coù a) AB và AC b) AB và BC c) AG và BC d) GB và GC e) Bài 7: Cho ABC Chứng minh : a/ sinA = sin(B + C) b/ cosA = cos(B + C) Phương tích điểm M, đường tròn (O,R): kí hiệu: P M/(O) ( Với 00 < x < 18000 ) Bài : Tính giá trị biểu thức: A = cos 00 + cos100 + cos200 + + cos 1700 B= cos21200 - sin21500 +2 tan1350 Bài 5: Cho tam giác ABC , Chứng minh d) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC e) cos(A + C) + cos B = f) tan( A – C) + tan( B + 2C) = Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Tính góc Cho đường tròn (O,R) và điểm M cố định, Một đường thẳng thay đổi, luôn qua điểm M cắt đường tròn (O,R) A, B ( Với x 900 ) GA a b = x.x' + y.y' | a | = x2 + y2 xx'+ yy' Cos ( a , b ) = x + y x'2 + y '2 a b xx' + yy' = MN = | MN | = ( xM xN ) ( yM yN ) và AC AB C = cos 2 ABC d/ sin = cosC b/ sin B CÁC VÍ DỤ: Ví duï 1: Cho a = (1, 2), b = (-1, m) b) Tính độ dài a , b ; tìm m để | a | = | b | §2: TÍCH VÔ HƯỚNG VECTO B TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Kyù hieäu ( a ; b ) Nếu a = b = thì góc ( a ; b ) tùy ý P M/(O) = MT2 a) Tìm m để a , b vuông góc Cho OA = a và OB = b Khi đó góc AOB là góc giũa vectơ a và b Giaûi a) a b -1 + 2m = 0 m = b) | a | = + = | b | = 1+ m2 |a | = |b | = + m2 m = ± Neáu ( a ; b ) = 900 ta kyù hieäu a b a.b = a b cos(a, b) Bình phương vô hướng a = a 2 Các quy tắc: Cho a b c ; k R a b = b.a a b = <=> a b (k a , b = k ( a b ) ( Tính giao hoán) Ví dụ 2: cho ABC cạnh a và trọng tâm G; tính AB AC; AC CB ; AG AB; GB GC ; BG G A ; GA BC Giaûi AB AC = a.a cos 600 = a2 a ( b c ) = a b a c (Tính chất phân phối phép cộng và trừ ) Phương tích điểm đường tròn: Hình Học 10 - 29 - Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 30 - Gv : Nguy n Công Nh t (16) ; -5) và b =( k ; -4) Tìm k để: a) a cuøng phöông b b) a vuoâng goùc b c) a = b Bài 5: Cho a =(-2; 3) ; b =( ; 1) a)Tính cosin góc hợp a và b ; a và i ; a và j ; a + b và a - b b)Tìm soá m vaø n cho m a +n b vuoâng goùc a + b c)Tìm d bieát a d = vaø b d = -2 a a a cos 30 = a AG AB = a2 a 3a GB GC = cos 120 = 3 a 3a a cos60 = BG G A = 3 GA BC =0 vì GA BC AC CB = a.a cos 1200 = - Bài 4: Cho a =( Ví dụ 3: Trong Mp oxy cho ñieåm M(-2;2),N(4,1) a)Tìm trên trục ox điểm P cách điểm M,N b)Tính cos cuûa goùc MON Giải a) p ox => P( xp,0) MP = NP <=> MP2 = NP2 <=> (xp +2)2 + 22 = ( xp -2)2 + 12 Vaäy P ( ,0) b) OM = (-2,2), ON = (4,1) Cos MON = cos( OM , ON )= - 2.4 + 2.1 =8 17 34 C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giác ABC với A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1) a) Chứng minh tam giác vuông b) Xác định tâm đương tròn ngoại tiếp c) Tính diện tích tam giác và diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác Bài 2: Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM cân M b) Tìm N y’Oy để tam giác ABN vuông N c) Xác định H,K để ABHK là hình bình hành nhận J(1;4) làm tâm f) Xác định I x’Ox để IA + IB + IN đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho A(-2;1) vaø B(4;5) a) Tìm M x’Ox để tam giác ABM vuông M b) Tìm C để OACB là hình bình hành - 31 - b)Gọi G , H , I là trọng tâm , trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính G, H , I vaø CMR GH +2 GI = Bài 7: Cho tam giaùc ABC coù A (-2 ; 2) , B(6 ; 6) , C(2 ; -2) a) Chứng minh A ; B ; C không thẳng hàng b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành c) Tìm điểm M trục x’Ox để tam giác ABM vuông B d) Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì ? e)Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Bài 8: Cho ABC coù AB=7, AC=5, AÂ = 1200 a) Tính AB AC, AB BC b) Tính độ dài trung tuyến AM (M là trung điểm BC) Bài 9: Cho điểm A,B,C.D: chứng minh rằng: DA BC + DB CA + DC AB=0 Từ đó suy cách chứng minh định lý “3 đường cao tam giác đồng quy” Bài 10: Cho ABC coù trung tuyeán AD, BE,CF; CMR: d) Xaùc ñònh C thoûa AC - BC = AB e) Tìm G cho O laø troïng taâm tam giaùc ABG Hình Học 10 Bài 6: Cho tam giác ABC với A ( -4; 1) ; B(2;4) ; C(2; -2) a)Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì Tính dieän tích tam giaùc BC AD + CA BE + AB CF =0 Bài 11a : Cho ABC coù AC= b, AB= c, goùc BAC = vaø AD laø phaân giaùc cuûa goùc BAC ( D thuoäc caïnh BC) a) Haõy bieåu thò AD qua AB, AC b) Tính độ dài đoạn AD Bài 11b :) Cho điểm M,N nằm trên đường tròn đường kính AB= R, AM ¿ BN =I Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 32 - Gv : Nguy n Công Nh t (17) a) Chứng minh: AM AI = AB AI BN BI = BA BI b) Tính AM AI + BN BI theo R Bài 12: Cho đoạn AB cố định, AB= 2a, k IR, Tìm tập hợp điểm M cho: a) MA MB = k b) MA2 - MB2 = k2 Bài 13: Từ điển M ngoài đt (0) vẽ các tuyến MAB với đt (0) (A,B (0) ; tiếp tuyến A,B đường tròn (0) cắt I, IO AB D; đường thẳng qua I và vuông góc với MO H và cắt AB C; cắt đường tròn (0) E, F Chứng minh : a MA.MB = MC.MD b OF2 = OH.OM c IE.IF = IC.IH d PM/(ICD) + PI/(MCH) = IM2 ( (ICD), (MCH) : đường tròn ngoại tiếp: : ICD, MCH) Bài 14: Cho hai đường thẳng AB và CD cắt M chứng minh điểm Bài 18: Cho điểm A (-8,0) B(0,4), C(2,0) D (-3,-5) chứng minh điểm A,B,C,D cùng thuộc đường tròn Bài 19: Biết A(1,-1), B (3,0) là hai đỉnh hình vuông ABCD; tìm toạ độ các ñænh C vaø D Bài 20: Cho M cố định ngoài dường tròn (O,R) ,vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến CT và CT’ Gọi D là giao điểm TT’ và AB H và I là trung điểm cuûa TT’ vaø AB a) CMR : MA MB = MO MH = MI MD b) Cho AB = cm Gọi (C1) là đường tròn tâm A, bán kính = cm, (C2) là đường tròn tâm B, bán kính = 3cm Tìm tập hợp N thoả P N/(C1) + P N/(C2) = 15 Bài 21: Cho (O;7), ñieåm I thoûa OI =11 Qua I veõ caùt tuyeán IAB vaø ICD Cho IA = 12, tính IB Cho CD = 1; tính IC ; ID Bài 22: Ñieåm I naèm (O;R), qua I veõ daây AB vaø CD Tính IC ; ID a) IA = 12 ; IB = 16 ; CD = 32 A,B,C,D cùng thuộc đường tròn và MA.MB = MC.MD ¨ b) IA =12 ; IB = 18 ; ¨ Bài 15: Cho a = (-2, 3), b = (4,1) a Tim côsin góc cặp vectơ sau : ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ Bài 23: Cho (O;20) OM = 30, veõ tieáp tuyeán MT vaø caùt tuyeán MAB Cho AB = a) Tính MT ; MA ; MB b) Đường tròn ngoại tiếp AOB cắt MO E Tính OE Bài 24: Cho (O;30); I ngoài đường tròn , vẽ cát tuyến IAB và ICD ; tiếp tuyến IT Đường thẳng IO cắt đường tròn E và F Cho IA = 54 ; IB = 96; IC = 64 Tính ID ; IT ; IO ; IE ; IF Bài 25: Cho tam giác ABC có đường cao AA’ ; BB’ ; CC’ đồng quy H ¨ * a vaø b , a vaø i , a + b vaø a - b ¨ ¨ ¨ b Tìm caùc soá k vaø l cho c = k a + l b c Tìm vectô d bieát a.d b.d 2 ¨ ¨ Vuông góc với a + b Bài 16: Cho hai điểm A (-3,2) B(4,3) tìm toạ độ a Ñieåm M ox cho MAB vuoâng taïi M b Ñieåm N oy cho NA = NB c Ñieåm K oy cho3 ñieåm A,K,B thaúng haøng d Ñieåm C cho ABC vuoâng caân taïi C Bài 17: Cho ñieåm A (-1,1) B(3,1), C(2,4) a Tính chu vi vaø dieän tích ABC b Gọi A’ là hình chiếu vuông góc A trên BC; tìm toạ độ A’ c Tìm toạ độ trực tâm H, trọng tâm G, và tâm I đường tròn ngoại tiếp ABC; từ đó chứng minh điểm I,H,G thẳng hàng Hình Học 10 - 33 - IC ID CMR : HA.HA ' = HB HB ' = HC HC ' Bài 26:Hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B M là điểm trên cạnh AB kéo dài Qua M vẽ tiếp tuyến MT, MT’, cát tuyến MCD, MC’D’ (O) và (O’) CMR MT = MT’ vaø CDD’C’ noäi tieáp Bài 27: Cho tam giác ABC vuông A và đường cao AH Trên đường tròn tâm C, bán kính CA lấy điểm M ( không trên đường BC kéo dài) CMR đường thẳng CM tiếp xúc với (BHM) Bài 28: tam giác ABC nội tiếp (O), M là trung điểm BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOM cắt đường thẳng BC điểm thứ là E và cắt (O) D AD cắt BC F.Chứng minh rằng: Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 34 - Gv : Nguy n Công Nh t (18) a) FB FC = FE FM b) EB EC = EF EM c) EA tiếp xúc với (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác AMF Bài 29: Cho P nằm ngoài (O), vẽ cát tuyến PAB lưu động,tiếp tuyến với (O) vẽ từ A và B cắt M Vẽ MH vuông góc với OP a) CMR : điểm O , A , B, M , H trên đường tròn b) Tìm tập hợp M PAB quay quanh P c)Goïi I laø trung ñieåm AB, N laø giao ñieåm cuûa PAB vaø MH CMR PA.PB = PI PN Bài 30: Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R Trên đường thẳng AB lấy điểm M ngoài (O) cho MA = Bài 34 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC = 4; A ngoài (O), AB = ; AC = AC , AB caét (O) taïi D vaø E a)Tính AO , AE , AD b)Qua A veõ AH BC vaø caét (O) taïi F ; K Laáy M (O) Goïi BMAH = I ; CMAH = J Chứng minh IF IK = IH IJ Bài 35: Cho đường tròn (O;10) ; (O’;20) tiếp xúc ngoài A Tiếp tuyến chung BB’ caét OO’ taïi I vaø caét tieáp tuyeán chung qua A taïi M a)Tính IO ; IO’ ; IB ; IB’ b)CMR: IA2 = IB.IB’ Suy OO’ tiếp xúc đường tròn đường kính BB’ c)CMR : IM2 = IO.IO’ Suy BB’ tiếp xúc đường tròn đường kính OO’ 3R Từ M vẽ tiếp tuyến MT a)Tính MT theo R b) Gọi TH là đường cao TMO Chứng minh : MH MO = MA.MB c) Tính H/(O) d)Vẽ cát tuyến MCD, CMR tứ giác CDOH nội tiếp e) AD vaø BC caét taïi N CMR : AN AD + BN BC = 4R2 Bài 31: Trên đoạn AB = 8, vẽ (A,4) và (B,3) Tìm tập hợp M thỏa M/(A) +M/(B) = 15 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M, N là điểm cùng phía trên tiếp tuyến kẻ từ B AM và AN cắt (O) M1 và N1 a)CMR tứ giác MNN1M1 nội tiếp b)Giả sử AB = BN = 10; BM = Tính AM ; AM1 ; AN1 ; sin M1AN1, M1N1 Bài 32: M là diểm trên nửa đường tròn đường kính AB H là hình chiếu M xuống AB Đường tròn đườg kính MH cắt MA ; MB P,Q và cắt nửa đường tròn taïi E a) CMR tứ giác APQB nội tiếp b) CMR đường AB ; PQ ; ME đồng quy Bài 33: Cho điểm A ; B ; C thẳng hàng theo thứ tự AB = ; BC = Đường tròn di động qua A , B có tâm là O Vẽ tiếp tuyến CT ; CT’ Gọi D là giao điểm TT’ với AB Gọi H; I là trung điểm đọan TT’, AB a) Tìm tập hợp T; T’ b) CMR : CA.CB = CO CH = CI CD c) CMR : Điểm D cố định Suy tập hợp H Hình Học 10 - 35 - Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net - 36 - Gv : Nguy n Công Nh t (19) §3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: Caùc kyù hieäu ABC Độ dài : BC = a, CA = b, AB = c ma, mb, mc : độ dài trung tuyến ứng với đỉnh A,B,C ha, hb, hc : Độ dài đường cao ứng với đỉnh A,B,C a+ b+c P= : chu vi ABC b S = c S = 2 a.ha = b.hb = b.c sinA = 2 129 - Tính goùc 3) b=8; c=5; goùc A = 600 Tính S , R , r , , ma 4) a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , , ma A 5) A = 600; hc = Công thức tính diện tích 2b + 2c - a 129 = ma = 4 2) a= ; b= 2 ; c= Ñònh lyù sin : a S = ma2 = C.BÀI TẬP: Bài 1: Cho tam giaùc ABC 1) a=5 ; b = ; c = Tính S, ha, hb , hc R, r S : dieän tích tam giaùc R,r : bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp Ñònh lyù Coâsin : a2 = b2 + c2 - 2bc cos A a b c = = = 2R sin A sin B sin c b + 2c2 - a 2 Công thức trung tuyến : m a = abc abc R= = 4R 4S S S = p.r r = = p S= ; R = tính a , b, c 6) A=1200;B =450 ;R =2 tính caïnh c.hc c c.a sinB = b 7) a = , b = , c = Tính SABC, suy SAIC ( I trung ñieåm AB) ma a.b sinC 8) Cho goùc A nhoïn, b = 2m ,c = m , S = m2 Tính a la a B abc 4R C 9) C = , b = ; S = 3 Tính a 10) Neáu A = 900 CMR: d S = p.r e S = p(p - a) (p - h)(p - c) ( Công thức Hê – rông) B.VÍ DỤ: Cho ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma Giaûi : a2 = b2 + c2 - 2bc cosA 49 = 64 + 25 - 2.8.5 cos AÂ Cos A = ½ AÂ = 600 S = ½ b.c.sinA = ½ 8.5 S = ½ a.ha = Hình Học 10 * la = (b c )sin * = 10 *.r = A (b c b c ) 1 1 r hb hc * M BC; goùc BAM = CMR: AM = 2S 20 = a - 37 - bc sin A 11) Cho A=1200 CMR : la Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net bc b.cos c.sin 1 b c - 38 - Gv : Nguy n Công Nh t (20) 12) CMR : * cotA + cotB + cotC = * 2 a b c R abc 23) Cho b + c = 2a Chứng minh 16) acosB = bcosA Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 17) mb2 +mc2 = 5ma2 Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì sin A 2.cos C Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì sin B 19) Cho AB = k Tìm tập hợp M thỏa MA2 + MB2 = 5k 2 20) Gọi G là trọng tâm tam giác Chứng minh *.GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2+ b2+ c2) 2 (a +b +c ) * 4ma2= b2 + c2 + 2bc.cosA 21) CMR S =2R2sinA.sinB.sinC S=Rr(sinA + sinB + sinC) hc 25) Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh tam gíac A1;B1;C1 CMR: SA1B1C1 = pr 2R 26) trung tuyến BM = 6, CN = và hợp với góc 1200 tính các cạnh ABC a)CMR SABCD = AC.BD.sin b)Vẽ hình bình hành ABDC’ Chứng minh : SABCD = SACC’ Bài 3: Cho tứ giác ABCD có I, J là trung điểm đường chéo AC và BD Chứng minh : AB2 + BC2 +CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + IJ2 BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, có đường cao AH Tính AH; CH; BH; BC biết AB = 3; AC = Bài : Cho hình thang ABCD với đường cao AB Biết AD = 3a; BC = 4a; góc BDC = 900 Tính AB; CD; AC Bài : Cho tam giác ABC vuông C, CD là đường cao, DA = 9; DB = 16 Tính CD ; AC ; BC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, AB = 3, AC = 4, AH là đường cao (H BC) Gọi I là điểm thuộc AB cho AI = 2BI, CI cắt AH E Tính CE Bài : Cho tam giác ABC vuông A , AB Đường cao AH = AC Tính HB ; HC ; AB ; AC Bài : Cho tam giác ABC vuông A, AH là đường cao , BH = 1, AC = AB ; BC ; AH Bài : Cho tam giác ABC Tính , R , r biết : a)AC = ; AB = ; góc A = 600 b)BC = 21 ; CA = 17 ; AB = Tính = 2RsinBsinC ; b = ; c = + e)a = ; b = ; c = f)a = ; b = 2 ; c = g)a = 17 ; b= ; c = sinB.cosC +sinC.cosB = sinA Bài : Cho tam giác ABC có a = 5, b = 6, c = Trên đoạn AB,BC lấy các điểm M, K cho BM = 2, BK = Tính MK a =b.cosC + c.cosB Hình Học 10 hb Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi là góc hợp đường chéo AC và BD Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì * ma2 +mb2 +mc2 = = 1200 15) S = (a + b – c)(a + c - b) Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì 18) 24) Định x để x2+x+1 ; 2x+1 ;x2 -1 là cạnh tam giác Khi đó CMR tam giác có góc tanA a c b tanB b c a b3 c a3 a2 13) b c a Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì a 2b.cos C 14) S = p(p – c) - 39 - c)BC = ; AC = ; AB = Gv : Nguy n Công Nh t Hình Học 10 Lop3.net d)a = - 40 - Gv : Nguy n Công Nh t (21)