Đang tải... (xem toàn văn)
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách giữa hai đường thẳng1. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y
NỘI DUNG KIẾN THỨC Điểm
Phương pháp tọa độ trong không gian: Xác định tọa độ điểm, vectơ
Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu
1
§1 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
II TỌA ĐỘ CỦA VÉCTƠ
Cho hệ tọa độ Oxyz u
Khi có ba số thực (x; y; z) cho
u x i y j z k Ta gọi ba số (x; y; z) tọa độ u kí hiệu : u( ; ; )x y z u x y z( ; ; )
Vậy : u( ; ; )x y z
u x i y j z k
Từ định nghĩa ta suy : i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)
III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM
Cho hệ tọa độ Oxyz điểm M Ta gọi tọa độ OM tọa độ điểm M Như ba số (x; y; z) là tọa độ điểm kí hiệu M ( ; ; )x y z
( ; ; )
M x y z nếu : OM x i y j z k . Vậy theo định nghĩa trên, ta có :
( ;0;0)
M Ox M x
(0; ;0)
M Oy M y
(0;0; )
M Oz M z
( ) ( ; ;0)
M Oxy M x y
( ) ( ;0; )
M Oxz M x z
( ) (0; ; )
M Oyz M y z
Gọi M M M1; 2; 3 hình chiếu vng góc
của M(x; y; z) lên trục tọa độ Ox, Oy, Oz Khi
1( ;0;0), 2(0; ;0), 3(0;0; )
M x M y M z
Gọi M M M1; 2; hình chiếu vng góc M(x; y; z) lên mặt phẳng tọa độ
(Oxy), (Oyz), (Oxz) Khi M x y1( ; ;0), M2(0; ; ), y z M x3( ;0; )z .
Cho A x y z( ;A A; ), ( ;A B x y zB B; )B Khi AB(xB x yA; B y zA; B zA)
Trục tung Trục
hoành
Trục cao
Mặt phẳng tọa độ z
x
y
O j
O xy
Oxz Oyz
y
M
z k j
O
x i
M1 2
1
i j k
i j j k k i
(2)IV CÁC CÔNG THỨC THƯỜNG DÙNG Cho hai véctơ a( ; ; ),a a a b1 ( ; ; )b b b1
Khi : 1. Tổng hiệu hai véctơ : a b (a1b a1; 2b a2; 3b3)
2. Tích số với véctơ : m a (ma ma ma1; 2; 3) m R
3. Độ dài véctơ :
2 2
1
a a a a
;
2 2
1
b b b b
4.
2 2
1 2 3
a b a b a b a b
5.
2 2
1 2 3
a b a b a b a b
6. Tích vơ hướng hai véctơ : a) a b a b .cos( ; )a b
; b) a b a b 1a b2 2a b3
7. ab a b 0 a b1 1a b2 2a b3 0
8. Góc hai véctơ :
1 2 3
2 2 2
1 3
cos( ; ) = ; ( ; 0)
a b a b a b
a b
a b a b
a b a a a b b b
9.
2 2
1 2 1 3 3
2 2 2
1 3
sin ,a b a b a b a b a b a b a b
a a a b b b
10.Hai véctơ : a b a1 b a1; b a2; b3
11.Véctơ a
phương với b
3
1
2
a
a a
b b b
12.Khoảng cách hai điểm A x y z( ;A A; )A ; B x y z( ;B B; )B :
2 2
( B A) ( B A) ( B A) ABAB x x y y z z
13.Tọa độ trung điểm I đoạn AB : ; ;
A B A B A B
I I I
x x y y z z
x y z
14.Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC :
; ;
3 3
A B C A B C A B C
G G G
x x x y y y z z z
x y z
15.Tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD :
; ;
4 4
A B C D A B C d A B C D
G G G
x x x x y y y y z z z z
x y z
16.Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k1), nghĩa MA k MB tọa độ M
; ;
1 1
A B A B A B
M M M
x k x y k y z k z
x y z
k k k
V MẶT CẦU
1 Phương trình mặt cầu :
Dạng Phương trình Tâm Bán kính
Chính tắc x a2 y b2 z c2 R2
I(a; b; c) R
Tổng quát x
2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0
điều kiện: a2b2c2 d 0 I(–a; –b; –c)
2 2
R a b c d
Đặc biệt x2 + y2 + z2 = R2 O(0, 0, 0) R
2 Giao mặt cầu mặt phẳng :
(3)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y Cho mp ( ) : Ax By Cz D 0 mặt cầu ( ) : (S x a )2(y b )2(z c )2 R2
Gọi d I( ;( ) là khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng ( ) :
1 ( ) ( ) ( ;( )
2 ( ) ( ) ( ;( ) ( )
3 ( ) ( ) ( ;( )
S d I R
S d I R
S d I R
cắt mặt cầu
tiếp xúc mặt cầu Khi gọi tiếp diện không cắt mặt cầu
Khi ( ) cắt mặt cầu (S) giao tuyến đường trịn (C):
Phương trình là:
2 2
0 ( ) :C Ax By Cz D
x a y b z c R
Tâm H hình chiếu vng góc tâm mặt cầu I lên mặt phẳng ( )
Bán kính
2 ( , )
r R d I
3 Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện :
Tâm I bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD :
2
2
2
;
IA IB
IA IC R IA
IA ID
VD: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2)
D(1; -1; 2). ĐS:
2 2
1
x y z
Cách 1: Gọi I(x; y; z)
2
2
2
1;1;1 ,
IA IB
IB IC I R IA
IC ID
Cách 2:
Gọi phương trình mặt cầu là:
2 2 2 2 2 0 2 0
x y z ax by cz d a b c d
Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên:
2 2
6 14
1; 2;
2
2
a b d
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
Kết luận: Phương trình mặt cầu là:
2 2
1
x y z
VI TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ
1 Định nghĩa : Trong không gian Oxyz, cho hai véctơ a( ; ; ),a a a b1 ( ; ; )b b b1
I
H R
M
H M
R I
I
R
r H
M
) (S
) (S
) (S
(4)Tích có hướng hai véctơ a
b
véctơ, kí hiệu a b,
, xác định sau :
2 3 1
2 3 1
, ; ;
b b b
a a a a a a
a b
b b b
2 Tính chất : a
phương với b
a b, 0
2 a b,
vng góc với hai véctơ a b b a, a b,
4 a b, a b .sin( ; )a b
3 Các ứng dụng :
1. Xét đồng phẳng ba véctơ : Ba véctơ a b c; ;
đồng phẳng a b c, 0
Bốn điểm A, B, C, D tạo thành tứ diện AB AC AD, 0
2 Tính diện tích tam giác :
2 1 , 2 ABC
S AB AC AB AC AB AC
3 Tính thể tích hình hộp : VABCD A B C D ' ' ' ' AB AC AD,
4 Tính thể tích tứ diện :
1
,
6
ABCD
V AB AC AD
5 Tìm tọa độ chân đường cao tứ diện : AH đường cao tứ diện ABCD Tọa độ
điểm H cho :
, , [ , ]
AH BC AH BC
AH BD AH BD
BC BD BH BC BD BH
đồng phẳng BÀI TẬP
1. Cho A(3; 4; −1); B(2; 0; 3); C(−3; 5; 4) Tìm độ dài cạnh tam giác ABC Tính cosin góc A, B, C Tính diện tích tam giác ABC ĐS:
33; 51; 62;
AB BC CA
45 11 40 21
cos ;cos ;cos ; 2
2046 1683 3162
A B C S
2. Cho tam giác ABC với A(1; 2; −1), B (2; −1; 3), C(−4; 7; 5) Tính độ dài đường phân giác góc B ĐS: BD 15143
3. Cho a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), c = (3; −2; ) CMR: a, b, c không đồng phẳng Cho d = (4; 12; 3) Hãy phân tích vectơ d
theo vectơ a
, b
, c
ĐS: a b c, 35 0; d a b c
4. Cho A(1; 2; 4), B(2; −1; 0), C(−2; 3; −1) Gọi M(x, y, z) ∈ (ABC) Tìm hệ thức liên hệ x, y, z Tìm tọa độ điểm D biết ABCD hình bình hành tính diện tích hình bình hành ABCD.
HD + ĐS: 19x17y 8z 29 0; ( 1;0; 5); D SABC 714
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.4
(5)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y 5. Cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 1), B(1; 1; −2), C(2; 1; 0), D(0; −1; 2) Đường cao AH
Tìm tọa độ H độ dài AH ĐS:
14
3; 2; 2 ; 2
H AH
6. Cho A(1; 2; −1) Tìm B đối xứng với A qua Oxy C đối xứng với A qua Oz Tính S△ABC
ĐS: B(1;2;1); ( 1; 2; 1);C S2
7. Cho A(1; 2; −1), B(4; 3; 5) Xác định M thuộc Ox, cho M cách A, B ĐS: (0;0; 4)
M
8. Cho A(−4; −1; 2), B(3; 5; −1) Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy trung điểm BC thuộc Oxz ĐS: C(4; 5; 2)
9. Cho A(−1; 2; 7), B(5; 4; −2) AB cắt Oxy M Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M ĐS: k 72;M(113;329;0)
10. Cho v0 Gọi α , β , γ góc tạo v với Ox, Oy, Oz CMR: cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
HD: v( ; ; ) (0;0;0);cosa b c cos( ; ); v i
I VÉCTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Véctơ n0
gọi véctơ pháp tuyến mp( ) giá n
vng góc với mp( ) , kí hiệu n( )
Nếu hai véctơ a
b
không phương giá chúng song song nằm mp( ) (ta gọi hai véctơ a
b
cặp véctơ phương mp( ) ) mp ( ) nhận na b;
làm véctơ pháp tuyến II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Phương trình tham số : Mặt phẳng ( ) qua M x y z( ; ; )0 0 có cặp VTCP a( ; ; ),a a a1
1
( ; ; )
b b b b có phương trình tham số :
0 1
0 2 2
0 3
( , )
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
2 Phương trình tổng quát :
Mặt phẳng ( ) qua M x y z( ; ; )0 0 có VTPT n( ; ; )A B C
có phương trình tổng qt :
0 0
( ) ( ) ( )
A x x B y y C z z
Mỗi mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng :
Ax By Cz D với A2 B2 C2 0
(1)
x
y z
0
M
( ; ; )
n A B C
[ , ]
na b
a
b
(6) Ngược lại, phương trình có dạng (1) phương trình mặt phẳng mặt phẳng có VTPT n( ; ; )A B C
3 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :
Mặt phẳng ( ) không qua gốc tọa độ O cắt Ox A a( ;0;0), cắt Oy B(0; ;0)b cắt Oz C(0;0; )c có phương trình :
( ) : x y z
a b c
4 Các dạng tắc :
Mặt phẳng ( ) Phương trình VTPT Qua gốc tọa độ Ax + By + Cz = (D = 0) n( ; ; )A B C Song song Ox hay vng góc (Oyz) By + Cz + D = 0 n(0; ; )B C Qua (chứa) Ox By + Cz = 0 n(0; ; )B C Song song Oy hay vng góc (Oxz) Ax + Cz + D = 0 n( ;0; )A C Qua (chứa) Oy Ax + Cz = 0 n( ;0; )A C Song song Oz hay vng góc (Oxy) Ax + By + D = 0 n( ; ;0)A B Qua (chứa) Oz Ax + By = 0 n( ; ;0)A B Vng góc Oz hay song song (Oxy) Cz + D = 0 n(0;0; )C
9 Trùng (Oxy) z = 0 n(0;0;1)
10 Vng góc Ox hay song song (Oyz) Ax + D = 0 n( ;0;0)A
11 Trùng (Oyz) x = 0 n(1;0;0)
12 Vng góc Oy hay song song (Oxz) By + D = 0 n(0; ;0)B
13 Trùng (Oxz) y = 0 n(0;1;0)
5 Chùm mặt phẳng :
Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng( ) và( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng
1 1
( ) : A x B y C z D 0 ( ) : A x B y C z D2 2 2 2 0. Khi mặt phẳng (P) chứa (d) có phương trình dạng :
2
1 1 2 2
( ) ( ) 0,
m A x B y C z D n A x B y C z D m n
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Cho hai mặt phẳng ( ) : A x B y C z D1 10 ( ) : A x B y C z D2 0.
1 ( ) cắt ( ) A B C1: 1: 1A B C2: 2: 2; 2 ( ) // ( )
1 1
2 2
A B C D
A B C D
3 ( ) ( )
1 1
2 2
A B C D
A B C D
; ( ) ( ) A1A2 + B1B2 + C1C2 = IV GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.6
P
d
2 ( 2; 2; 2) n A B C ( 1; 1; 1) n A B C
0
0 90
0 A
B C
a b
(7)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ths Hồng Văn Y Góc hai mặt phẳng ( ) :1 A x B y C z D1 10 ( ) :2 A x B y C z D2 0
góc (với 00 900) thỏa mãn :
1 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 1 2
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
n n1;
hai véctơ pháp tuyến ( );( )1 2 .
V KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ điểm M x y z0( ; ; )0 0 đến mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0
0 0
2 2
( , ) Ax By Cz D d M
A B C
VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(3; 2; 1), tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + 2y + 2z – =
ĐS:
2 2 64
3
9
x y z
2 Khoảng cách hai mặt phẳng song song : d( , ) d M( , ), M( ) 3 Khoảng cách từ M x y z0( ; ; )0 0 đến mặt phẳng tọa độ :
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tọa độ
0( ; ; )0 0
M x y z
Oxy d M mpOxy ; z0
Oxz d M mpOxz ; y0
Oyz d M mpOyz ; x0
BÀI TẬP MẪU
ĐS: x 2y3z 3
ĐS: 11x 7y 2z 21 0
ĐS: x y 2z1 0; 600
ĐS: 11x 2y15z 0
(8)ĐS: ( ) : x 26y3z 0 ( ) : x 26y3z 0
ĐS:
1 max
3
a b c d
ĐS:
3
,( ) ; 2
2
d O d m
ĐS: V 15; 10x y 22z 45 0
1
( ) : 3 x 2y6z21 0;( ) :189 x28y48z 591 0
ĐS: ( ) :1 x y 5z 1 0;( ) : 52 x17y19z 27 0
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa gốc tọa độ O vng góc với : ( ) :P x y z 0,( ) : 3 Q x2y12z 5 0. ĐS: ( ) : 2 x3y z 0 2. Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M(1; 2;1) chứa giao tuyến :
( ) :P x y z 1 0,( ) : 2 Q x y 3z0. ĐS: ( ) : x 2y2z 1
3. Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa
3 :
3
x y z
x y z
vng góc với mặt phẳng ( ) :P x y 2z 0 . ĐS: ( ) : 3 x y 4z47 0
4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Viết phương trình mặt phẳng qua O, A song song với BC
ĐS: (ABC x y z) : 0; d O ABC ,( ) 3 3;( ) :10 x y 17z0
(9)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y 5. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng qua C, A vng góc với
( ) : x 2y3z 1 0. ĐS: ( ) : x y z 1 0
6. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) Viết phương trình mặt phẳng qua O vng góc với ( ) : x 2y3z 1 0 (ABC). ĐS: ( ) : 5 x 2y 3z0
7. Cho hai mặt phẳng ( ) : 2 x y 3z 1 0,( ) : x y z 5 điểm M(1; 0; 5) Tính khoảng cách từ M đến ( ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến ( ) , ( ) đồng thời vng góc với mặt phẳng (Q) : 3x – y + =
ĐS:
18
,( ) ;( ) : 13 33 14
d M P x y z
8. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1; 1; 3), B(-1; 3; 2), C(-1; 2; 3) Tính khoảng cách từ O đến (P) Tính diện tích tam giác ABC thể tích tứ diện OABC
ĐS: ( ) :P x2y2z 0; d O P ,( )3;SABC 32;VOABC 32
9. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) Các điểm M, N trung điểm OA BC P Q hai điểm nằm OC AB cho
2 OB
OC hai đường thẳng MN PQ cắt
nhau Viết phương trình mặt phẳng (MNPQ) tìm tỉ số AQ AB
ĐS: (MNPQ) : 6x y 3z 0; k23 10.Tìm Oy điểm cách hai mặt phẳng ( ) :P x y z 1 0;( ) :Q x y z 0
(10)I VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1 Véctơ u0 gọi VTCP đường thẳng d giá của u song song trùng với d.
2 Nhận xét :
Mỗi đường thẳng có vô số véctơ phương, véctơ phương với Nếu u
VTCP đường thẳng d k u k R ( )
VTCP đường thẳng d Hai véctơ a b khơng phương vng góc với đường thẳng d a b;
VTCP d.
II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Đi qua VTCP Phương trình Ghi
Đường thẳng
d
0 0
( ; ; )
M x y z u( , , )a a a1 2 3
1) Phương trình tham số :
0
0
0
;( )
x x a t
y y a t t
z z a t
2) Phương trình tắc :
0 0
1
x x y y z z
a a a
Nếu mẫu tử
( ;A A; )A A x y z
( ;B B; )B
B x y z AB
3)
A A A
B A B A B A
x x y y z z
x z y y z z
Giao tuyến của hai mặt phẳng
4) Phương trình tổng quát :
1 1
2 2
0 A x B y C z D A x B y C z D
với
1: 1: 2: 2:
A B C A B C
5) Phương trình trục tọa độ :
Trục Ox có VTCP
1;0;0 : 0 x t
i Ox y
z
Trục Oy có VTCP
0 0;1;0 :
0 x
j Oy y t
z
Trục Oz có VTCP
0
0;0;1 :
x
k Oz y
z t
6) Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, tắc :
Câu VI – ƠN THI ĐH 2011 Tr.10
d
(11)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y
VTPT hai mặt phẳng :
1 1
2 2
; ; ; ;
n A B C
n A B C
VTCP d : un n1, 2
Tìm điểm M x y z0( ; ; ) ( ) ( )0 0 Phương trình tắc :
0 0
1
x x y y z z
a a a
Đặt tỉ số t Phương trình tham số
III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Giả sử :
1
2
qua v có l qua v có l
d A à VTCP u
d B à VTCP v
1 d1 d2 chéo véctơ u v AB; ;
không đồng phẳng u u AB; 0
2 d1 d2 cắt
3 ; ;
2 ;
u v AB u v
véctơ không đồng phẳng véctơ không phương
;
;
u v u v AB
3 d1 song song d2
; ; u v u AB
4 d1 trùng d2
; ; u v u AB
5 d1 d2 u v 0
6 d1 d2 đồng phẳng
,
u v AB
IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
+ Đường thẳng
0 0
qua ( ; ; ) :
có ( ; ; ) M x y z
d
VTCP u a b c
+ Mặt phẳng ( ) có VTPT n( ; ; )A B C
1 d cắt ( ) u n 0
; d song song với
( ) ( ) u n M P
3 d nằm
( ) ( ) u n M P
; d ( ) n u a b c A B C: : : :
phương với
A
B u
1 d d v A u v d d B
A B u v
1
d d2
(12)V GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1 Góc hai đường thẳng :
+ d1 qua M1(x1; y1; z1) có VTCP u( ; ; )a a a1
+ d2 qua M2(x2; y2; z2) có VTCP v( ; ; )b b b1
Góc
0
0 ;90
giữa d1 , d2 xác định :
1 2 3
2 2 2
1 3
cos cos( , )
u v a b a b a b
u v
u v a a a b b b
2 Góc đường thẳng mặt phẳng :
+ d qua M0(x0; y0; z0) vàcó VTCP u( ; ; )a b c
+ mp(α) có VTPT n( ; ; )A B C
Góc
0
0 ;90
giữa d mp(α) xác định :
2 2 2
sin cos( , )
u n aA bB cC
u n
u n a b c A B C
VI KHOẢNG CÁCH
1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
Khoảng cách từ điểm M x( M;y zM; M) đến mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D 0 :
,( ) AxM By2 M 2CzM2 D
d M
A B C
Nếu ( ) song song với ( ) d( ),( ) d M ( ),( )
Nếu đường thẳng song song với mp( ) d,( ) d M ,( ) 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :
Cho đường thẳng qua A có VTCP u
Khoảng cách từ điểm M x( M;y zM; M) đến đường thẳng :
,( ) [AM u, ] d M
u
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.12
( ; ; )
n A B C
d
( ; ; ) u a b c
0
0 90 ( ; ; ) u a a a
1
d
2
d
1
( ; ; )
v b b b
0
0 90
0
H u
0 0
( ; ; ) A x y z
M
n M d
u
n
M u d
n
M d
u
(13)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Ths Hồng Văn Y VD: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 1), tiếp xúc với đường thẳng
1
( ) :
2
x y z
ĐS:
2 2
1
x y z
3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo :
Giả sử
1
2
qua có qua có
A VTCP u
B VTCP v
Khi khoảng cách hai đường thẳng 1 2 :
2
[ , ] ,
[ , ] u v AB d
u v
VII HÌNH CHIẾU VÀ SỰ ĐỐI XỨNG Điểm
Điểm M(x; y; z) Điểm M(x; y; z) Chiếu lên Tọa độ Đối xứng qua Tọa độ
Ox (x; 0; 0) Ox (x; y; z) Oy (0; y; 0) Oy ( x; y; z) Oz (0; 0; z) Oz ( y; x; z) mp(Oxy) (x; y; 0) mp(Oxy) (x; y; z) mp(Oxz) (x; 0; z) mp(Oxz) (x; y; z) mp(Oyz) (0; y; z) mp(Oyz) ( x; y; z)
Gốc tọa độ ( x; y; z) 2 Đường thẳng
Hình chiếu lên mặt phẳng tọa độ Phương trình
của đường thẳng d
0
0
0
x x a t
y y a t
z z a t
Oxy
0
0
0
x x a t
y y a t
z
Oxz
0
0
0
x x a t
y
z z a t
Oyz
0
0 x
y y a t
z z a t
VIII GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ B1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
B2 Xác định tọa độ điểm cần dùng. B3 Sử dụng kiến thức tọa độ giải toán.
VD: Bài 10/81 SGK – ban bản Giải toán sau phương pháp toạ độ: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh
a) Chứng minh (AB’D’) // (BC’D)
b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ ABDA’
A
B
u
v
1
2
(14)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1). a) AB(1;0;1);AD(0;1;1);BC(0;1;1);BD ( 1;1;0)
Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT AB AD ( 1; 1;1)
Mặt phẳng (BC’D) có VTPT BC BD ( 1; 1;1)
Suy mp(AB’D’) (BC’D) song song
b) Khi khoảng cách hai mặt phẳng là khoảng cách từ A đến mp(BC’D’).
Phương trình mp(BC’D): x + y – z – = 0
,( ) 1 1
1 1 3 d A BC D
Vậy khoảng cách hai mp là 1
3. IX CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng Xác định vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp :
Cách Giải hệ phương trình :
1
( ) ( ) ; ( ) ( )
Cách Sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức véctơ. Dạng Xác định hình chiếu vng góc điểm M lên mặt phẳng ( )
Phương pháp :
Viết phương trình tham số đường thẳng qua M vng góc với ( ) Giao điểm H ( ) là hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng ( )
VD: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(6; -1; -5) mp(P): 2x + y -2z - = ĐS: H(2; -3; -1)
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương trình: {
x=6+2t
y=−1+t
z=−5−2t Gọi H = d (P) Ta có Hd H(6 + 2t; -1+ t; -5 -2t)
Vì H(P) 2(6 + 2t) + ( 1+ t) 2( 5 2t) = ⇔ t = 2 Vậy H(2; 3; 1)
Dạng Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng ( )
Phương pháp :
Tìm hình chiếu vng góc H M lên ( ) Giả sử
1 1 0
( ; ; ), ( ; ; )
M x y z H x y z Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua ( ) là
0 1
(2 ; , )
M x x y y z z
Dạng Xác định hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng
Phương pháp :
Cách Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với Giao điểm H ( ) hình chiếu vng góc M lên.
Cách Viết phương trình tham số tọa độ H theo tham số
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.14
)
M
H
n
H
)
a
M
)
M’ M H
C
(15)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y
t Véctơ MH u véctơ phương Giải phương trình : MH u 0
tham số t Tọa độ H.
VD: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M(-1; -2; 4) đường thẳng d:
t z
t y
t x
1 2
3
Nhận xét: Bài toán ta lấy H d, H hình chiếu M đường thẳng d khi u
MH = (u
VTCP d) Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u
= (3; -2; 1)
Gọi H d suy ra: H( 2 + 3t; 2 2t; 1+ t) nên: MH
=( 1+3t; 4 2t; 3 + t) H hình chiếu M d ⇔ u
MH
=
⇔ 3( 1+3t) 2(4 2t) + ( 3+t) = ⇔ t = 1 Vậy H(1; 0; 2)
Dạng Xác định điểm M’ đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng
Phương pháp :
Tìm hình chiếu vng góc H M lên
Giả sử M x y z H x y z( ; ; ), ( ; ; )1 1 0 Khi đó, điểm M’ đối xứng với M qua
M(2x0 x1; 2y0 y1, 2z0 z1)
VD: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình : {
x=1+2t
y=−1−t
z=2t
Nhận xét: Bài toán ta lấy H d, H hình chiếu A lên đường thẳng d chỉ
khi u
AH = (u
VTCP d), ta có H trung điểm AA/ từ suy tọa độ A/
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u
= (2; 1; 2) Gọi H d suy ra: H(1+2t ; 1 t ; 2t)
nên: AH
=(2t ; 1 t ; 2t 5)
H hình chiếu A d ⇔ u
AH =
⇔ 2(2t) (1 t) + 2(2t + 5) = ⇔ t = 1 suy ra: H( 1; 0; 2)
Ta có H trung điểm AA/ nên:
{xA❑=−3 yA❑=2 zA❑=1
Vậy: A/( 3 ; ; 1).
Dạng Xác định hình chiếu vng góc đường thẳng lên mp( ) Phương pháp :
TH1: ( ) Hình chiếu vng góc lên mp( ) điểm H ( ) TH2: khơng vng góc với ( ) , ( ) :
Cách Viết phương trình mp( ) chứa ( ) vng góc với ( )
Hình chiếu vng góc lên ( ) đường thẳng ( ) ( ) Cách Lấy điểm A, B phân biệt thuộc
M
H
M’ d
H M
d H
(16)Xác định hình chiếu vng góc A, B lên ( ) H1, H2 Hình chiếu vng góc lên ( ) đường thẳng H1H2.
Cách Nếu cắt ( ) : Xác định A ( ) Lấy M khơng thuộcvà khác A. Xác định hình chiếu vng góc H M lên ( )
Hình chiếu vng góc lên ( ) đường thẳng AH. VD: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:
{ x=6−5t
y=−1+2t
z=−5+5t
(t∈R) mp(P): 2x + y 2z = 0.
Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d và
(P) sau lấy M d, tìm hình chiếu H M (P), đó hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H có VTCP AH
Hướng dẫn giải:
Gọi A giao điểm d (P)
Ta có: A d suy ra: A(6 5t; 1+2t; 5+5t)
Vì A (P) ⇔ 2(6 5t) + ( 1+2t) 2( 5+5t) = 0 ⇔ t =
Do A(1; 1; 0)
Ta lại có: M(6; 1; 5) d
Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; 3; 1). Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H có VTCP AH
= (1; 4; 1)
nên có phương trình : {
x=2+t
y=−3−4t
z=−1− t
(t∈R)
Cách Nếu ( )
VD: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d: {
x=6+4t
y=−1−2t
z=−5+3t
(t∈R) mp(P): 2x + y 2z = 0.
Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm hình chiếu M (P), hình chiếu
của đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H song song với d Hướng dẫn giải:
Ta có: d qua điểm M(6; 1; 5), có VTCP u
= (4; 2; 3) mp(P) có VTPT n
= (2; 1; 2) u
n
= M (P) nên: d // (P)
Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; 3; 1)
Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H song song với d nên có phương trình :
{ x=2+4t
y=−3−2t
z=−1+3t
Dạng Xác định hình chiếu song song đường thẳng 1lên mp( ) theo phương 2cắt
( )
Phương pháp :
TH1: 1/ / 2 Hình chiếu song song 1lên ( ) theo phương 2là điểm H 1 ( ) .
TH2: 1và 2không song song:
Viết phương trình mp( ) chứa 1và song song 2
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.16
d
H M
(P)
A d
H M
(17)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y Hình chiếu song song 1lên ( ) theo phương 2là đường thẳng ( ) ( ) .
Dạng Viết phương trình đường thẳng qua M cắt 1, 2với 1, 2 chéo
không qua M
Phương pháp :
Cách Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M chứa 1
Nếu 1 có phương trình tổng qt nên viết phương trình ( ) dạng chùm
Nếu 1 có phương trình tham số lấy hai điểm A, B thuộc 1 Phương trình( ) qua điểm A, B,
M.
* Nếu ( ) / / 2thì tốn vơ nghiệm Nếu ( ) cắt 2thì tìm N 2 ( )
Nếu MN/ /1 tốn vơ nghiệm Nếu MN cắt 1thì đường thẳng cần tìm MN.
Cách Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua M chứa 1, mặt phẳng ( ) qua M chứa 2
* Xét ( ) ( ) Nếu cắt 1 2 đường thẳng đường thẳng cần tìm Nếu / /1
hoặc 2 tốn vơ nghiệm
Dạng Viết phương trình đường thẳng cắt 1, 2 song song với 3
Phương pháp 1: Viết phương trình mp( ) chứa 1 song song 3, mp( ) chứa 2 song
song 3
Nếu ( ) / /( ) tốn vơ nghiệm Nếu ( ) cắt ( ) xét ( ) ( ) Nếu cắt 1 2 đường thẳng cần tìm.
Nếu / /1 2 tốn vơ nghiệm
Phương pháp 2: Viết phương trình tham số 1 theo t1, 2 theo t2 Lấy điểm
1,
M N Tọa độ M, N theo t
1, t2 MN
theo t1, t2
Xác định t1, t2 cho MN/ / 3 Đường thẳng cắt 1, 2 song song với 3 MN Phương pháp 3: Gọi M x y z( ; ; )0 0 giao điểm 1.
nhận VTCP 3 làm VTCP Phương trình tham số theo x y z0; ;0 0.
cắt 2 suy hệ
có nghiệm x y z0; ;0 Phương trình .
VD: Viết phương trình đường thẳng cắt đường thẳng d1:
t z
t y
t x
1
; d2:
/ / /
4
2
t z
t y
t x
song song với đường thẳng d:
3
1
y z
x
Nhận xét: Bài toán ta lấy A d1, B d2 A, B hai vectơ u
, AB
cùng phương (u
là VTCP d), đường thẳng qua A có VTCP u
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u
= (3; 2; 1) Gọi A d1 suy ra: A(t; 2 3t; 1+t) B d2 suy ra: B(1+2t/; 1+3t/ ; 4 t/)
d
B d2
d1
A
(18)nên: AB
= (2t/ t + 1; 3t/ + 3t + 1; t/ t + 3)
A, B ⇔ u
và AB
phương ⇔ 3 3
2 / / /
t t t t t
t ⇔ / / t t t t ⇔ / t t suy A(-1;1;0)
Đường thẳngqua A có VTCP u
= (3; 2; 1) nên có phương trình : t z t y t x
Dạng 10 Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với 1, cắt 2 đó 1,
M
Phương pháp : Viết phương trình mp( ) qua M vng góc với 1, mp( ) qua M chứa 2
Nếu ( ) / /( ) tốn vơ nghiệm Nếu ( ) cắt ( ) xét ( ) ( ) Nếu cắt 2 đường thẳng cần tìm.
Nếu / /2 tốn vơ nghiệm.
VD: Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d1: t z t y t x
(t∈R)
và vng góc với đường thẳng d2: t z t y t x
(t∈R)
Nhận xét: Bài toán ta lấy H d1, H u
AH
= (u
là VTCP d2); đường thẳng qua I có VTCP AH
Hướng dẫn giải: Đường thẳng d2 có VTCP u
= (4; 1; 1) Gọi H d1 suy ra: H(3+t; 1 2t; 4+t) nên:
AH
=(1+t; 2 2t; 7+t) H ⇔ u
AH
= ⇔ 4(1+t) + ( 2 2t) + (7+t) = ⇔ t = -3 Suy H(0; 5; 1)
Đường thẳng qua A có VTCP AH
=(2; 4; 4) = 2(1; 2; 2) nên có phương trình :
t z t y t x 2
(t∈R)
Dạng 11 Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo 1,
Phương pháp :
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.18
d2
d1
H A
(19)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y a TH dặc biệt : 1
Viết phương trình mp( ) chứa 1 2
Tìm M 2 ( ) , H hình chiếu vng góc M lên 1 MH đường vng góc chung của
, 2.
b Phương pháp : Viết phương trình 1, 2 dạng tham số
Lấy M 1,N 2 Tọa độ M, N theo t1, t2 MN
theo t1, t2
MN đường vng góc chung 1, 2 MN 1,MN 2 t t1, MN
c Phương pháp : Gọi a a1,
VTCP 1, 2 Đường vng góc chung có VTCP
1,
aa a
Viết phương trình mp( ) chứa 1 song song , mp( ) chứa 2 song song
( ) ( )
.
VD: Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng chéo
d: t z t y t x
(t∈R)
d/ : / / / t z t y t x ) (t/ R
Nhận xét: Bài toán học sinh lấy A d1, B d2; AB đường vng góc chung d
và d/
u AB v AB
; đường vng góc chung qua A có VTCP AB
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có VTCP u
= (3; 1; 1) Đường thẳng d/ có VTCP v
= (1; 3; -1) Gọi A d suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
B d/ suy ra: B( 2+t/; 7+3t/ ; 4 t/)
nên: AB
=(t/ 3t 7; 3t/ t 9; t/ t + 4)
AB đường vng góc chung d d/
⇔ u AB v AB ⇔ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( / / / / / / t t t t t t t t t t t t ⇔ 38 11 26 11 / / t t t t ⇔ / t t suy ra: A(2; 1; 1); AB
=( 1; 1; 2)
Đường vng góc chung qua A có VTCP AB
=( 1; 1; 2) nên có phương trình :
t z t y t x 1
(t∈R)
Dạng 12 Các toán khoảng cách 12.1 Tính khoảng cách : (dễ)
d '
d A
(20)VD: Bài 6/ 90(sgk – ban bản).
Tính khoảng cách từ đường thẳng
3
:
1
x t
y t
z t
mặt phẳng : 2x 2y + z + = 0
Giải: Đường thẳng qua M(-3; -1; -1), có vectơ phương a2;3;2
và mp có
VTPT n(2; 2;1)
Suy ra: a n. 0 M không nằm nên song song
Do đó:
2( 3) 2( 1) 3 2
, ,
3 4 1
d d M P
12.2 Tìm điểm biết khoảng cách cho trước : (dễ)
VD1: Cho mặt cầu (S) có bán kính R = Lập phương trình mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với (P): 2x + 2y + z + = M(-3; 1; 1)
ĐS:
2 2 2 2
: :
S x y z hc S x y z
VD2: Cho mặt cầu (S) bán kính R = Lập phương trình mặt cầu biết tâm
1
( ) :
3 1
x y z
I
và tiếp xúc với ( ) : 2P x y 2z 2
ĐS:
2 2
2 2
: 1 :
5 5
S x y z S x y z
hc
12.3 Các tốn tổng hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ :
a Dạng 1: Cho điểmA x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; ).1 1 2 TìmM( ) :P ax by cz d 0để (MA+MB)min
Phương pháp : Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng : tA ax1by1cz1d t; B ax2by2cz2d
* Nếu t tA B 0 A B, khác phía (P) Gọi M0 (AB) ( ) P , đó
0
MA MB AB M A M B
* Nếu t tA B 0 A B, cùng phía (P) Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M0 (A B1 ) ( ) P
Khi đó, MA MB MA 1MB A B M A 1M B0
VD: Trong không gian Oxyz cho M(1; 2; 3), N(4; 4; 5) Tìm điểm I mp(Oxy) cho IM + IN nhỏ
Nhận xét: Bài toán ta kiểm tra M, N nằm hay hai phía mặt phẳng Nếu M, N nằm hai phía mặt phẳng I giao điểm MN mặt phẳng, M, N nằm phía mặt phẳng I giao điểm M 'N mặt phẳng M ' điểm đối xứng M qua mặt
phẳng
Hướng dẫn giải:
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Trước hết ta xét xem M N có hai phía với mp (Oxy) hay không? Dể thấy zM zN = 3.5 = 15 > M, N phía với mp (Oxy)
Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt:
1 x y
z t
Gọi H giao điểm d với mp(Oxy)
Câu VI – ÔN THI ĐH 2011 Tr.20
M
N
M'
y x O
d
(21)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y Ta có H d H(1; 2; + t)
Vì H(Oxy) + t = t = 3 H(1; 2; 0)
Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy)
H trung điểm MM' nên M'(1; 2; 3) M N ' = (3; 2; 8)
Ta có IM + IN = IM' + IN M'N Min (IM + IN) = M'N I giao điểm M'N mp(Oxy)
M'N qua M 'có VTCP M N'
= (3; 2; 8) nên có phương trình:
, ,
,
1 2
3
x t
y t
z t
Điểm I( + 3t', + 2t', 3 + 8t')d I(Oxy) 3 + 8t' = t' = Vậy I
17 11 ; ;0
b Dạng 2: Cho điểmA x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; ).1 1 2 TìmM( ) :P ax by cz d 0để MA MB
max.
Phương pháp : Xác định vị trí tương đối A, B mặt phẳng (P) cách tính đại lượng : tA ax1by1cz1d t; B ax2by2cz2d
* Nếu t tA B 0 A B, cùng phía (P) Gọi M0 (A B1 ) ( ) P Khi đó
0
MA MB ABM A M B
* Nếu t tA B 0 A B, khác phía (P) Lấy A1 đối xứng với A qua (P) Gọi M0 (A B1 ) ( ) P
Khi MA MB MA1 MB A B1 M A0 1 M B0
c Dạng 3: Cho điểm A x y z B x y z( ; ; ); ( ; ; )1 1 2 Tìm M cho trước cho (MA + MB) min.
Phương pháp : Xác định tọa độ điểm A’, B’ hình chiếu tương ứng điểm A, B lên
Gọi M0 điểm chia đoạn A’B’ theo tỉ số
0
AA M A
k
M B BB
Ta chứng minh MA MB M A M B
Chứng minh : Gọi A1( )P ( ),Bsao cho A
1 khác phía B so với thỏa mãn
1
1
1
, ,
A A AA A A M A
A M B
A A BB M B
thẳng hàng
1 1 0
MA MB MA MB A B M A M B M A M B
.
VD: Trong k/gian Oxyz cho: M(3; 1; 1), N( 4; 3; 4) đường thẳng d có phương trình:
7
9
x t
y t
z t
.
Tìm điểm Id cho: IM + IN nhỏ nhất.
Nhận xét: Ta có MNd nên IM + IN nhỏ I = d (P) (P) mặt
phẳng qua MN vng góc với d Hướng dẫn giải:
Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u
= ( 1; -2; 1), MN
.u
=0 MNd Mặt phẳng(P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x 2y + z 2 =
M
d
(22)Gọi H = d (P), Hd H(7 + t; 2t; + t) Vì H(P) nên: (7 + t) 2(3 2t) +(9 + t) = 0
t =
4
H
17 17 23 ; ; 3
Với Id, ta có: IM + IN HM + HN
IM + IN nhỏ IM + IN = HM + HN IH
Vậy: I
17 17 23 ; ; 3
Dạng 13 Các tốn góc (dễ)
BÀI TẬP MẪU
Công thức tính đạo hàm:
1 1 1
2
2 2 2
/
1 1
2
2 2
2 2 2 2 2
2
a b a c b c
x x
a b a c b c
a x b x c
y y
a x b x c a x b x c
ĐS: a)M( 1;0; 4) ; b)M( 1;0; 4) ; c)
2(1 7) 10 14 ; ;
3
3(1 7) 3(1 7)
M
; d)
12 38 ; ; 7
M
2 ( ) : 5P x13y 4z21 0 ; ( ) :Q x y z 0 ; x5y 2z 9 0;
5
1 4
;
1 15 18 19
x y z x y z
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
1. Xác định giao điểm đường thẳng
2 :
2
x y z
x y z
với mp( ) : x y 2z 1 0. ĐS: M(6; 3; 1) 2. Tìm hình chiếu vng góc điểm M(1; 2; 3) lên ( ) : x y 3z 5
ĐS:
12 23 30 ; ; 11 11 11
M
(23)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y
3. Xác định hình chiếu vng góc M( 1; 1; 1) lên đường thẳng
2 3
x t
y t
z t
.
ĐS:
6 18 ; ; 11 11 11
M
4. Xác định điểm M’ đối xứng với M(13; 2; 3) qua mp( ) : x y 3z 5 ĐS: M(11;0;9)
5. Xác định điểm đối xứng với M(0; 2; -1) qua đường thẳng
1
:
3
x t
y t
z t
ĐS: M’(4; 4; 1)
6. Xác định hình chiếu
5
:
2
x y z
x z
lên mp( ) : 2 x y z 1 0 .
ĐS:
2
:
2
x y z
x y z
7. Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 3; 0) cắt
1
1 2
: ; :
2
4
x t
y
y t
x z
z t
ĐS:
2 11
:
2
x y z
x y
8. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho mp( ) : 2 x y 2z15 0 điểm J(-1; -2; 1) Gọi I điểm đối xứng J qua ( ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết cắt ( ) theo đường trịn có chu vi 8 . ĐS: ( ) : (S x5)2(y4)2(z 5)2 25
9. Tìm tập hợp tâm mặt cầu qua gốc tọa độ tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình ( ) :P x2y 0 ( ) :Q x2y 6
ĐS: 2
2 ( ) ( ) :
5
x y
I S
x y z
10.Trong không gian cho mặt cầu (S) qua bốn điểm : A(0; 0; 1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1), D(0; 1; 0) mặt cầu (S’ ) qua bốn điểm :
1 1
( ;0;0), (0; ; ), (1;1;0), (0;1;1)
2 2
A B C D
Tìm phương trình đường trịn giao tuyến hai mặt cầu
ĐS:
2 2
9
( ) : 1 1 1 3
( ) ( ) ( )
2 2
x y z
C
x y z
(24)(25)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Ths Hồng Văn Y
O xy
Oxz Oyz
O j
z
x
y
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO AN GIANG Trường THPT An Phú
Ôn thi Đại học – Cao đẳng Câu 6 Họ & tờn :