Những sai lầm khi giải toán tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

1  x=3 8 Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai nhưng lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn nhất khi mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa r[r]

NHỮNG SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VAØ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT A-Muïc Tieâu: -Cung Cấp cho HS tránh sai lầm tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn biểu thức -Nắm vững các phương pháp và linh hoạt dạng toán -Vận dụng các phương pháp vào giải toán cực trị B-Noäi dung: I-Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: -Ñònh nghóa 1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D ta nói M là giá trị lớn f(x,y,…) trên D hai ĐK trên đây thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)  M với M là số +Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D cho f(x0,y0,…) = M -Ñònh nghóa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D ta nói N là giá trị lớn f(x,y,…) trên D hai ĐK trên đây thoã mãn : +Với x,y,…thu6ọc D thì f(x,y,…)  với N là số +Toàn taïi x0,y0,…thuoäc D cho f(x0,y0,…) = N II_Các Hằng bất đẳng thức cần nhớ 1) a2  Tổng quát a2k  (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 2) a2  Tổng quát a2k  (k nguyên dương) Đẳng thức xẩy a = 3) {a{  Đẳng thức xẩy a = 4) –{a{  a  {a{ Đẳng thức xẩy a = 5) {a+b{  {a{+{b{ Đẳng thức xẩy ab  6) a2+b2  2ab Đẳng thức xẩy a = b ab  ab Với a,b  0(BĐT Cô si) Đẳng thức xẩy a= b 7) 1 8) a  b , ab > =>  Đẳng thức xẩy a= b a b a b   Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b 9) b a 1 10)   Với ab >0 Đẳng thức xẩy a= b a b ab a b  (BÑT Bu nhi a coâp xki) 11) (am+bn)2  (a2+b2)(m2+n2) Đẳng thức xẩy m n III-Những sai lầm thương gặp giải toán cực trị: 1-sai lầm chứng minh ĐK 1: VD1:Tìm giá trị lớn biểu thức P  x  x  17 Lời giải sai: Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ Ta coù :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8  Lop7.net  x=3 Phân tích sai lầm :Tuy đáp số không sai lập luận lại sai ,vì : “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên P có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ nhất” mà chư đưa nhận xét tử và mẫu lànhững biểu thức có gioá trị dương Ta ñöa moät phaûn ví duï: 1 Xét biểu thức A = Với lập luận trên: A = “Phân thức tử thức có giá trị không đổi nên x 4 x 4 A có giá trị lớn mẫu có giá trị nhỏ nhất”Nghĩa là A có giá trị lớn <=> x2 – có giá trị nhỏ Mà x2 – có giá trị nhỏ là -4 <=> x = Nên A có giá trị lớn là  <=> x =0 Điều này 1 không đúng Vì  Không phải là giá trị lớn biểu thức A chẳng hạn với x =3 thì A =   Lời giải đúng: Ta có :x2- 6x +17 = (x-3)2 +8  Tử và mẫu P là biểu thức có giá trị dương => P > ,do đó P có giá trị lớn <=> Có gia 1trị nhỏ <=> x2- 6x +17 có giá trị nhỏ P VD2: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = (x-1)2 + (x-3)2 Lời giải sai:ta có (x-1)2  0(1) ; (x-3)2  0(2) Nên A có giá trị nhỏ là 0.ta không thể kết luận vì không thể xẩy đẳng thức đồng thời (1) và (2) x y z VD3: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A=   Với x,y,z > y z x Lời giải sai: Giả sử :x  y  z > => x-z  => y(x-z)  z (x-z) => xy-yz+z2  xz x y x y z Chia hai vế cho số dương xz: Ta có :    1(1) Mặt khác ,ta có   (2).Cộng (1) với (2): y x z x x x y z    3.Vaäy Min A = <=> x = y = z y z x x y z Phân tích sai lầm :Khi hoán vị vòng quanh thì A trở thành   Tức là biểu thức không đổi Điều y z x đó cho phép tađược giả sử x làsố lớn (hoặc là số nhỏ nhất),nhưng không cho phép giả sử x  y  z.Thật sau chọn x là số lơn (x  y,x  z) thì vai trò y và z lại không bình đẳng :giữ x z y nguyên x thay y bỡi z thay z bỡi y ta   ,không biểu thức A z y x (Ta đưa ví dụ khác cho phép giả sử x  y  z.Chẳng hạn :B = x2+ y2+z2+xy+xz+yz.Sau chọn x là số lớn thì vai trò y và z là bình đẳng :Giữ nguyên x thay y bỡi z ,thay z bỡi y ta : x2+ y2+z2+xy+xz+yz, B) Cách giải đúng : Cách 1:Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương x,y,z: x z y x y z A=    33  z y x y z x x z y x y z Do đó min(   ) = 3Khi và khi:   ,tức là x = y = z z y x y z x Min(x2- 6x +17) = <=> x = Vaäy MaxP = Lop7.net x z y  x y  y z y y x   =         Ta đã có :   (Do x,y>0)Nên để chứng minh z y x  y x  z x x x y x y z y z y    Chỉ cần chứng minh :    (1) y z x z x x (1) <=> xy+z -yz  xz(Nhân hai vế với số dương xz) <=>xy+z2-yz-xz  <=>y(x-z)-z(x-z)  <=>(x-z)(y-z)  0(2) (2)đúng với giả thiết zlà số nhỏ ba số x,y,z đó (1) đúng x y z Từ đó tìm giá trị nhỏ   y z x Caùch 2:Ta coù VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A = x2+y2 bieát x+y =4 Lời giải sai:Ta có x2+y2  2xy Do đó A có giá trị nhỏ <=> x2+y2=2xy <=>x=y=2 Khi đó MinA = 22+22= Phân tích sai lầm :Đáp số không sai nhiên lập luận sai lầm Ta chứng minh f(x,y)  g(x,y) Chứ chưa C/m f(x,y)  M Với M là số Ta đưa ví dụ :Với lập luận trên từ bất đẳng thức đúng :x2  4x-4 suy :x2 nhỏ <=> x2 = 4x-4<=> (x-2)2 = <=> x=2 đến Min x2 = <=> x=2 Dễ thấy kết đúng phải là minx2 = Khi và x = Cách giải đúng :Ta có x+y = => x2+2xy+y2 = 16 (1) Ta laïi coù (x-y)2  => x2-2xy +y2  0(2) Từ (1) và (2) : 2(x2+y2)  16 => x2+y2  Min A = Khi vaø chæ x= y= 2.Sai lầm chứng minh điều kiện 2: VD1:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= x+ x Lời giải sai: 1  1 1  A= x+ x =  x  x      x      4  2 4  Vaäy MinA =  Phaân tích sai laàm : 1 Sau chứng minh f(x)   ,chưa trường hợp xảy f(x) =  Xảy dấu và 4 x   ,voâ lyù Lời giải đúng :Để tôn x phải có x  Do đó A= x+ x  MinA = Khi vaø chæ x = VD2:Tìm giá trị lớn A = xyz(x+y)(y+z)(z+x) Với x,y.z  và x+y+z = Lời giải sai:Áp dụng bất đẳng thức 4ab  (a  b) : 4(x+y).z  ( x  y  z )  4(x+z).y  ( x  y  z )  4(z+y).x  ( x  y  z )  Lop7.net Nhân vế (do không âm) 64xyz(x+y)(y+z)(z+x)  1 Max A = 64 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Điều kiện để A = 64  x y  z  yz  x x  y  z    laø  z  x  y   x  y  z  Maâu thuaãn  x  y  z   x, y , z     x, y, z  Cách giải đúng :Áp dụng bất đẳng thức cô si cho ba số không âm : 1= x+y+z  xyz (1) 2= (x+y)+(y+z)+(z+x)  33 ( x  y )( y  z )( z  x) (2) Nhân vế (1) với (2) (do hai vế không âm ): 2 2 A  A    9 3 2 Max A =    x  y  z  3 VD3:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= x  a x  b  với x > ,a,b là các số dương cho trước x Lời giải sai:Ta có x+a  ax (1) x+b  bx (2) x  a x  b   ax bx  ab MinA = ab  x  a  b x x Phân tích sai lầm:Chỉ xẩy A = ab Khi (1) và (2)xẩy dấu đẳng thức ,tức là x = a và x = b.Như Do đó : đòi hỏi a= b Nếu a  b thì không có A = ab Cách giải đúng :Ta thực phép nhân và tách các số : x  a x  b   x  ax  bx  ab   x  ab   a  b  A=   x x x   ab  ab (bất đẳng thức côsi) Ta laïi coù : x  x Neân A  ab  a  b  ( a  b ) ab  x   x  x  ab  x  VD4:Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa A= 2x+3y bieát 2x2+3y2  Lời giải sai:Gọi B= 2x2+3y2 ta có B  Xeùt A+B = 2x+3y +2x2+3y2 = 2(x2+x)+3(y2+y) =2(x+1/2)2+3(y+1/2)2-5/4   (1) Min A =  a b  Lop7.net Ta laïi coù B  neân -B  -5 25 25 x y Cộng (1)với (2):A   minA =  4 Phân tích sai lầm :Sai lầm chỗ với x= y= - ,chỉ có xảy dâu “=” (1),còn dấu “=” (2) không xảy Thật với x = y = - thì : 2  1  1 B=     3      Do đó –B  5  2  2 Cách giải đúng: Ta xét biểu thức phụ:A2 = (2x+3y)2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki 2 2 Ta coù : A2 = (2x+3y)2 = x  3 y      x     =(2+3)(2x2+3y2)  5.5  25 x y A2 = 25 <=>   x  y Do A2  25 neân -5  A  x y  Min A = -5    x  y  1 2 x  y  5  x y Max A =    x  y 1 2 x  y            y   GV:Nguyễn Thị Duyên ******************************************* Lop7.net