Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và ( ) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông b.[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN 11
Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng () ()
Phương pháp : Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng () () Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm
Chú ý : Để tìm chung () () thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng
Bài tập :
1 Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm S∉(α) a. Xác định giao tuyến (SAC) và (SBD)
b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD)
c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC)
Giải
a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD)
Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (), gọi O = AC BD
O AC mà AC (SAC) O (SAC) O BD mà BD (SBD) O (SBD)
O điểm chung (SAC) (SBD)
Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD)
b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD)
Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD)
Trong () , AB không song song với CD
Gọi I = AB CD
I AB mà AB (SAB) I (SAB) I CD mà CD (SCD) I (SCD)
I điểm chung (SAB) (SCD)
Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) c Tương tự câu a, b
2 Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD
lần lượt lấy điểm M, N, P cho MN không song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP)
Giải
P BD mà BD ( BCD) P ( BCD) P ( MNP)
P điểm chung ( BCD) ( MNP)
Trong mp (ABC) , gọi E = MN BC
E BC mà BC ( BCD) E ( BCD) E MN mà MN ( MNP) E ( MNP)
E điểm chung ( BCD) ( MNP)
Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP)
3 Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến cặp mp sau :
a mp ( I,a) mp (SAC )
b mp ( I,a) mp (SAB )
c mp ( I,a) mp (SBC )
Giải
a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có: I SA mà SA (SAC ) I (SAC )
I( I,a)
I điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC )
Trong (ABC ), a không song song với AC
Gọi O = a AC
O AC mà AC (SAC ) O (SAC )
O ( I,a) O điểm chung hai mp ( I,a) và (SAC )
Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) và (SAC )
b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC )
a A
b
k S
I D O
B
C A
J
C B
E N
D P M
A
L
A B
J
C K
O I
(2)Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) và mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO SC
L SC mà SC (SBC ) L (SBC ) L IO mà IO ( I,a) L ( I,a ) L điểm chung hai mp ( I,a) và (SBC )
Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC )
4 Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo nhau
b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm
M, N cho đường thẳng MN cắt đường
thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD)
Giải
a Chứng minh AB CD chéo :
Giả sử AB CD khơng chéo Do có mp () chứa AB CD
A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết
Vậy : AB CD chéo
b Điểm I thuộc mp :
I MN mà MN (ABD ) I (ABD ) I MN mà MN (CMN ) I (CMN ) I BD mà BD (BCD ) I (BCD )
Xđ giao tuyến hai mp (CMN) và ( BCD) CI
5 Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA Xđ giao tuyến cặp mp sau
a mp (A’,a) và (SAB)
b mp (A’,a) và (SAC)
c mp (A’,a) và (SBC) Giải
a Xđ giao tuyến củamp (A’,a) (SAB)
A’ SA mà SA ( SAB) A’ ( SAB) A’ ( A’,a)
A’ điểm chung ( A’,a) và (SAB )
Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a AB
E AB mà AB (SAB ) E (SAB ) E ( A’,a)
E điểm chung ( A’,a) và (SAB )
Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) và (SAB ) b Xđ giao tuyến củamp (A’,a) (SAC) A’ SA mà SA ( SAC) A’ ( SAC) A’ ( A’,a)
A’ điểm chung ( A’,a) và (SAC )
Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC
Gọi F = a AC
F AC mà AC (SAC ) F (SAC ) E ( A’,a)
F điểm chung ( A’,a) và (SAC )
Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) và (SAC ) c Xđ giao tuyến của(A’,a) (SBC)
Trong (SAB ) , gọi M = SB A’E
M SB mà SB ( SBC) M ( SBC) M A’E mà A’E ( A’,a) M ( A’,a) M điểm chung mp ( A’,a) và (SBC )
Trong (SAC ) , gọi N = SC A’F
N SC mà SC ( SBC) N ( SBC) N A’F mà A’F ( A’,a) N ( A’,a) N điểm chung mp ( A’,a) và (SBC )
Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) và (SBC )
6 Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau
a (AMN) và (BCD)
b (DMN) và (ABC )
Giải
M
I
C
B D
N A
F
a
P E B
C N M
A
A' S
B
C
E D
F N M
Q P
(3)a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD)
Trong (ABD ) , gọi E = AM BD
E AM mà AM ( AMN) E ( AMN) E BD mà BD ( BCD) E ( BCD) E điểm chung mp ( AMN) và (BCD )
Trong (ACD ) , gọi F = AN CD
F AN mà AN ( AMN) F ( AMN)
F CD mà CD ( BCD) F ( BCD)
F điểm chung mp ( AMN) và (BCD )
Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) và (BCD ) b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC)
Trong (ABD ) , gọi P = DM AB
P DM mà DM ( DMN) P (DMN ) P AB mà AB ( ABC) P (ABC) P điểm chung mp ( DMN) và (ABC )
Trong (ACD) , gọi Q = DN AC
Q DN mà DN ( DMN) Q ( DMN) Q AC mà AC ( ABC) Q ( ABCA) Q điểm chung mp ( DMN) và (ABC )
Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) và (ABC )
Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng ()
Phương pháp : Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng () Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng ()
Chú ý : Đường thẳng b thường giao tuyến mp () mp () a
Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến
mp () mp () dể xác định giao tuyến không song song với đường thẳng a
Bài tập :
1 Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P
và đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC )
b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng ()
Giải
a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP MN
E SP mà SP (SPC) E (SPC) E MN
Vậy : E = MN (SPC )
Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN ( SAB) (SPC ) = SP
Trong (SAB), gọi E = MN SP
E MN
E SP mà SP (SPC)
Vậy : E = MN (SPC )
b.Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = AB MN
D AB mà AB () D ()
D MN
Vậy: D = MN () Cách : Chọn mp phụ (SAB) MN
( SAB) () = AB
Trong (SAB) , MN không song song với AB
Gọi D = MN AB
D AB mà AB () D ()
D MN
Vậy : D = MN ()
2 Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C
b a A
A M
D B
P E
C N
S
M
A
D
O C
B
S
K
(4)Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải
Chọn mp phụ (SBD) SD
Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM ) Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM ) Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM )
Trong (ABCD ) , gọi O = AC BD
Trong (SAC ) , gọi K = AM SO
K SO mà SO (SBD) K ( SBD)
K AM mà AM (ABM ) K ( ABM ) K điểm chung ( SBD) (ABM )
( SBD) (ABM ) = BK
Trong (SBD) , gọi N = SD BK
N BK mà BK (AMB) N (ABM)
N SD
Vậy : N = SD (ABM)
3 Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút )
a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
Giải
a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SAC) AN
Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD)
Trong (ABCD) , gọi P = AC BD
( SAC) (SBD) = SP
Trong (SAC), gọi I = AN SP
I AN
I SP mà SP (SBD) I (SBD)
Vậy : I = AN (SBD)
b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN
Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD)
Trong (ABCD) , gọi Q = MC BD ( SAC) (SBD) = SQ
Trong (SMC), gọi J = MN SQ
J MN
J SQ mà SQ (SBD) J (SBD)
Vậy: J = MN (SBD)
4 Cho mặt phẳng () đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm
A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng ()
là điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng ()
Giải
Chọn mp phụ (SA’C) SB
Tìm giao tuyến ( SA’C ) ()
Ta có ( SA’C ) () = A’C Trong (SA’C ), gọi B’ = SB A’C
B’ SB mà SB (SA’C ) B’ (SA’C)
B’ A’C mà A’C () B’ ()
Vậy : B’= SB ()
5 Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm của SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS
Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải
Chọn mp phụ (ABC) BC
Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK)
Trong (SAC) ,có IK khơng song song với AC Gọi E’ = AC IK
( ABC ) ( IHK) = HE’ Trong (ABC ), gọi E = BC HE’
E BC mà BC ( ABC) E ( ABC)
E HE’ mà HE’ ( IHK) E ( IHK)
Q A
C P
D N
I
B M
S
A B
S m
C B '
A'
E E'
K
A C
B H
(5)Vậy: E = BC ( IHK)
6 Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , E điểm SB F điểm AC ( DE AB
không song song )
a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF )
Giải
a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC )
Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE
Gọi M = AB DE
M AB mà AB (ABC) M (ABC) M DE mà DE (DEF) M (DEF)
M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF)
Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF)
b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (ABC) BC
Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF)
Ta có (ABC) (DEF) = FM hình 1
Trong (ABC), gọi N = FM BC
N BC
N FM mà FM (DEF) N (DEF)
Vậy: N = BC (DEF)
c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Chọn mp phụ (SBC) SC
Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF)
Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF)
ο N BC mà BC (SBC) N (SBC)
ο N FM mà FM (DEF) N (DEF) N điểm chung ( SBC ) (DEF)
Ta có (SBC) (DEF) = EN Trong (SBC), gọi K = EN SC
K SC
K EN mà EN (DEF) K (DEF) hình 2
Vậy: K = SC (DEF)
7 Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm SA, SB ,SD.
a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP )
Giải
a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SBD) SO
Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP)
Ta có N MN mà MN (MNP) N (MNP)
N SB mà SB (SBD) N (SBD) N điểm chung ( SBD ) (MNP)
P MP mà MN (MNP) P (MNP)
P SD mà SD (SBD) P (SBD)
P điểm chung ( SBD ) (MNP) (MNP) (SBD) = NP
Trong (SBD), gọi I = SO NP
I SO
I NP mà NP (MNP) I (MNP)
Vậy: I = SO (MNP)
b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Chọn mp phụ (SAC) SC
Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP)
Ta có M MN mà MN (MNP) M (MNP)
M SA mà SA (SAC) M (SAC) M điểm chung ( SAC ) (MNP)
I MI mà MI (MNP) I (MNP)
I SO mà SO (SAC) I (SAC) I điểm chung ( SAC ) (MNP) ( SAC) (SBD) = MI
N
M
F E
K
D
C
B A
S
N
K A
M E
D F C
B S
I Q
P N
M
O D
C B
A
S
J
I B
D
C N
K
(6) Trong (SAC), gọi Q = SC MI
Q SC
Q MI mà MI (MNP) Q (MNP)
Vậy: Q = SC (MNP)
8 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD
không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK )
Giải
a Tìm giao điểm CD (MNK ) : Chọn mp phụ (BCD) SC
Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK)
Ta có N (MNK)
N BC mà BC (BCD) N (BCD) N điểm chung (BCD ) (MNK)
K (MNK)
K BD mà BD (BCD) K (BCD) K điểm chung (BCD ) (MNK)
(BCD) (MNK) = NK Trong (BCD), gọi I = CD NK
I CD
I NK mà NK (MNK) I (MNK)
Vậy: I = CD (MNK)
b Tìm giao điểm AD (MNK ) Chọn mp phụ (ACD) AD
Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK)
Ta có: M (MNK)
M AC mà AC (ACD) M (ACD) M điểm chung (ACD ) (MNK)
I NK mà NK (MNK) I (MNK)
I CD mà CD (ACD) I (ACD) I điểm chung (ACD ) (MNK)
(ACD) (MNK) = MI Trong (BCD), gọi J = AD MI
J AD
J MI mà MI (MNK) J (MNK)
Vậy: J = AD (MNK)
9 Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD. Tìm giao điểm :
a MN (ABO ) b AO (BMN )
Giải
a Tìm giao điểm MN (ABO ): Chọn mp phụ (ACD) MN
Tìm giao tuyến (ACD ) (ABO)
Ta có : A điểm chung (ACD ) (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO DC
P BO mà BO (ABO) P (ABO)
P CD mà CD (ACD) P (ACD) P điểm chung (ACD ) (ABO)
(ACD) (ABO) = AP Trong (ACD), gọi Q = AP MN
Q MN
Q AP mà AP (ABO) Q (ABO)
Vậy: Q = MN (ABO)
b Tìm giao điểm AO (BMN ) : Chọn mp (ABP) AO
Tìm giao tuyến (ABP ) (BMN)
Ta có : B điểm chung (ABP ) (BMN) Q MN mà MN (BMN) Q (BMN)
Q AP mà AP (ABP) Q (ABP) Q điểm chung (ABP ) (BMN)
(ABP) (BMN) = BQ Trong (ABP), gọi I = BQ AO
I AO
O
Q
P N
M
I
C
D B
(7)I BQ mà BQ (BMN) I (BMN)
Vậy: I = AO (BMN)
10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB,
BC ( K không trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK (SBD)
b SD (IJK ) c. SC (IJK )
Giải
a Tìm giao điểm củaIK (SBD) Chọn mp phụ (SAK) IK
Tìm giao tuyến (SAK ) (SBD)
Ta có : S điểm chung (SAK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK BD
P AK mà AK (SAK) P (SAK)
P BD mà BD (SBD) P (SBD) P điểm chung (SAK ) (SBD) (SAK) (SBD) = SP
Trong (SAK), gọi Q = IK SP
Q IK
Q SP mà SP (SBD) Q (SBD)
Vậy: Q = IK (SBD)
b Tìm giao điểm của SD (IJK ) :
Chọn mp phụ (SBD) SD
Tìm giao tuyến (SBD ) (IJK)
Ta có : Q điểm chung (IJK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK BD
M JK mà JK ( IJK) M (IJK)
M BD mà BD (SBD) M (SBD) M điểm chung (IJK ) (SBD)
(IJK) (SBD) = QM Trong (SBD), gọi N = QM SD
N SD
N QM mà QM (IJK) N (IJK)
Vậy: N = SD (IJK)
c Tìm giao điểm SC (IJK ) : Chọn mp phụ (SAC) SC
Tìm giao tuyến (SAC ) (IJK)
Ta có : I điểm chung (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC JK
E JK mà JK ( IJK) E ( IJK)
E AC mà AC (SAC) E (SAC) E điểm chung (IJK ) (SAC)
( IJK) (SAC) = IE Trong (SAC), gọi F = IE SC
F SC
F IE mà IE ( IJK) F ( IJK)
Vậy : F = SC ( IJK )
11.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M,N cho MN không song song với CD. Gọi O điểm bên tam giác BCD.
a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN) c. Tìm giao điểm BD với (OMN)
Giải
a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ):
Ta có : O điểm chung (OMN ) (BCD ) Trong (ACD) , MN không song song CD
Gọi I = MN CD
I điểm chung (OMN ) (BCD )
Vậy : OI = (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC OI
Vậy : P = BC ( OMN )
c. Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD OI
Vậy : Q = BD ( OMN )
N
F M
Q
P
K J
I
C
B
D A
S
P
I Q
O M
D N
C B
(8)12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC)
b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải
a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :
Chọn mp phụ (SMN) MN
Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN)
Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC
I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN)
I AC mà AC (SAC) I (SAC) I điểm chung (SMN ) (SAC)
( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI
O MN
O SI mà SI ( SAC) O ( SAC)
Vậy : O = MN ( SAC )
b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
Chọn mp phụ (SAC) SC
Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN)
Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC
E SC
E AO mà AO ( AMN) E ( AMN)
Vậy : E = SC ( AMN )
Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Phương pháp : Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp
Bài tập :
1 Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm đoạn AB SC
a Xác định giao điểm I = AN (SBD)
b Xác định giao điểm J = MN (SBD)
c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải
a Xác định giao điểm I = AN (SBD ) Chọn mp phụ (SAC) AN
Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) ( SAC) (SBD) = SO
Trong (SAC), gọi I = AN SO
I AN
I SO mà SO ( SBD) I ( SBD)
Vậy: I = AN ( SBD)
b Xác định giao điểm J = MN (SBD) Chọn mp phụ (SMC) MN
Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD)
S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC BD
( SAC) (SBD) = SE Trong (SMC), gọi J = MN SE
J MN
J SE mà SE ( SBD) J ( SBD)
Vậy J = MN ( SBD)
c Chứng minh I , J , B thẳng hàng
Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD)
I SO mà SO ( SBD) I ( SBD) I AN mà AN (ANB) I (ANB)
M N
B C
N'
E D
M' I O A
S
J E I
O S
C N
M B
A
D
I J
E A
B
C M
N
D S
O
M K
F E
L A
D
C B
O J
I
(9) I điểm chung (ANB) ( SBD)
J SE mà SE ( SBD) J ( SBD) J MN mà MN (ANB) J (ANB) J điểm chung (ANB) ( SBD)
Vậy : B , I , J thẳng hàng
2 Cho tứ giác ABCD S (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O
OJ cắt SC M
a Tìm giao điểm K = IJ (SAC)
b Xác định giao điểm L = DJ (SAC)
c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải
a Tìm giao điểm K = IJ (SAC) Chọn mp phụ (SIB) IJ
Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC)
S điểm chung (SIB ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC BI (SIB) ( SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ SE
K IJ
K SE mà SE (SAC ) K (SAC)
Vậy: K = IJ ( SAC)
b Xác định giao điểm L = DJ (SAC) Chọn mp phụ (SBD) DJ
Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC)
S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC BD (SBD) ( SAC) = SF
Trong (SBD), gọi L = DJ SF
L DJ
L SF mà SF (SAC ) L (SAC)
Vậy : L = DJ ( SAC)
c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng
Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO)
K IJ mà IJ (AJO) K (AJO) K SE mà SE (SAC ) K (SAC ) K điểm chung (SAC) ( AJO)
L DJ mà DJ (AJO) L (AJO) L SF mà SF (SAC ) L (SAC ) L điểm chung (SAC) ( AJO)
M JO mà JO (AJO) M (AJO) M SC mà SC (SAC ) M (SAC ) M điểm chung (SAC) ( AJO)
Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng
3 Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN khơng song song với SC.
a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC)
b Tìm giao điểm I = BC ( LMN) J = SC ( LMN)
c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải
a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC)
Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB
Gọi K = AB LM
K LM mà LM (LMN ) K (LMN )
K AB mà AB ( ABC) K ( ABC) b Tìm giao điểm I = BC ( LMN)
Chọn mp phụ (ABC) BC
Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN) (ABC) ( LMN) = NK Trong (ABC), gọi I = NK BC
I BC
I NK mà NK (LMN ) I (LMN)
Vậy : I = BC ( LMN)
Tìm giao điểm J = SC ( LMN) K
J I
S
C
M L
N
(10) Trong (SAC), LN không song song với SC
gọi J = LN SC
J SC
J LN mà LN (LMN ) J (LMN)
Vậy : J = SC ( LMN)
c Chứng minh M , I , J thẳng hàng
Ta có : M , I , J là điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng
4 Cho tứ giác ABCD S (ABCD) Gọi M , N hai điểm BC SD.
a Tìm giao điểm I = BN ( SAC)
b Tìm giao điểm J = MN ( SAC)
c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải
a Tìm giao điểm I = BN ( SAC) Chọn mp phụ (SBD) BN
Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC BD (SBD) ( SAC) = SO
Trong (SBD), gọi I = BN SO
I BN
I SO mà SO (SAC ) I (SAC)
Vậy : I = BN ( SAC)
b Tìm giao điểm J = MN ( SAC) :
Chọn mp phụ (SMD) MN
Tìm giao tuyến (SMD ) (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC DM (SMD) ( SAC) = SK
Trong (SMD), gọi J = MN SK
J MN
J SK mà SK (SAC ) J (SAC)
Vậy : J = MN ( SAC)
c Chứng minh C , I , J thẳng hàng :
Ta có : C , I , J là điểm chung (BCN ) (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng
Dạng : Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng ( ) :
Chú ý : Mặt phẳng ( ) cắt số mặt hình chóp
Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến Bài tập :
1 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD , CD , SO
Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải
Trong (ABCD), gọi J = BD MN
K = MN AB
H = MN BC
Trong (SBD), gọi Q = IJ SB
Trong (SAB), gọi R = KQ SA
Trong (SBC), gọi P = QH SC
Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR
2 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy AB , AD SC
Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải
Trong (ABCD) , gọi E = MN DC
F = MN BC
Trong (SCD) , gọi Q = EP SD
Trong (SBC) , gọi R = FP SB
Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR
3 Cho tứ diện ABCD Gọi H,K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp (HKM ) Xét trường hợp :
a M C D b M đoạn CD
O J
K I
M N
A D
C B
S
R
H S
A
O J
N
M D
C B
Q
I
P
K
N
Q F
R
E
B C
D M
P
A
(11)Giải
a M C D :
Ta có : HK , KM đoạn giao tuyến (HKM) với (ABC) (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM BD
Trong (ABD), gọi N = AD HL
Vậy : thiết diện tứ giác HKMN
b M đoạn CD:
Trong (BCD), gọi L = KM BD
Vậy : thiết diện tam giác HKL
4 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm lấy trên AD DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Giải
Trong (SCD), gọi Q = EN SC
Trong (SAD), gọi P = EM SA
Trong (ABCD), gọi F = MN BC
Trong (SBC), gọi R = FQ SB
Vậy : thiết diện ngũ giác MNQRP
Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : Bài tập :
5 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm SB SC Giả sử AD BC không song song
a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC)
b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải
a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC) :
Trong (ABCD) , gọi I = AD BC
Vậy : SI = (SAD) ( SBC)
b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD
Trong (SBC) , gọi J = MN SI
Trong (SAD) , gọi K = SD AJ
Vậy : thiết diện tứ giác AMNK
6 Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N.
a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN)
c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải
a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC):
Chọn mp phụ (SMN) MN
Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN)
Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM BC
Trong (SCD), gọi N’ = SN CD
Trong (ABCD), gọi I = M’N’ AC
I M’N’ mà M’N’ (SMN) I ( SMN)
I AC mà AC (SAC) I (SAC) I điểm chung (SMN ) (SAC)
( SMN) (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN SI
M
L N
B
C
D A
K
H M
L H
K A
D
C B
R P
Q
N A
E D
C F
B
M S
I J K
M N A
D
C
(12)O MN
O SI mà SI ( SAC) O ( SAC)
Vậy : O = MN ( SAC )
b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :
Chọn mp phụ (SAC) SC
Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN)
Ta có : ( SAC) (AMN) = AO Trong (SAC), gọi E = AO SC
E SC
E AO mà AO ( AMN) E ( AMN)
Vậy : E = SC ( AMN )
c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM SB
Trong (SCD), gọi Q = EN SD
Vậy : thiết diện tứ giác APEQ
7 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ ba điểm lấy cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện của hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’)
Giải
Trong (ABCD), gọi O = AC BD
Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ SO
Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ SD
Có hai trường hợp :
Nếu D’ thuộc cạnh SD thiết diện tứ giác A’B’C’D’ Nếu D’ thuộc khơng cạnh SD
Gọi E = CD C’D’
F = AD A’D’ thiết diện tứ giác A’B’C’EF
§1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a b song song :
P S
A
O
I M'
D E
N' C B
N
M
Q
S
O' B
A
C
D' E
F D
A' B '
O C' C'
O'
C D' A'
B '
O
D
B A
(13)Sử dụng cách sau :
Chứng minh a b đồng phẳng khơng có điểm chung
Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba
Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình
bình hành , định lý talet … )
Sử dụng định lý
Chứng minh phản chứng
Bài tập :
1 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD
a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành
b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải
a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // 1
2 AB
Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // 1 2 CD
Mặt khác AB // CD
A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành
b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’và M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’
Gọi N = Mx AD
Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN
2 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB CD)
Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b Tìm P = SC (ADN)
c Kéo dài AN DP cắt I
Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? Giải
a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD
b Tìm P = SC (ADN):
Chọn mp phụ (SBC) SC
Tìm giao tuyến (SBC ) (ADN)
Ta có : N điểm chung (SBC ) (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD AC
( SBC) (ADN ) = NE Trong (SBC), gọi P = SC NE
Vậy : P = SC ( ADN )
c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI hình ?
Ta có :
¿
SI =(SAB) ∩(SCD) AB ⊂(SAB)
CD ⊂(SCD) AB / / CD
¿⇒¿SI // AB // CD ¿{ { {
¿
( theo định lí 2)
Xét ASI , ta có : SI // MN ( song song AB)
M trung điểm AB
SI // 2MN
Mà AB // 2.MN Do : SI // AB
Vậy : tứ giác SABI hình bình hành
N M
S
A
B
D C
A' B'
C' D'
I
E S
B
C
M N
P
(14)3 Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J trọng tâm tam giác ABC ABD. Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
Giải
Gọi E trung điểm AB
Ta có : ¿ I∈CE
J∈DE ¿{
¿
IJ CD đồng phẳng
Do : EI
EC= EJ ED=
1
3 (tính chất trọng tâm)
Vậy : IJ // CD
4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J trung điểm AD BC , K điểm cạnh SB cho SN = 2
3 SB
a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK)
b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện hình bình hành
Giải
a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK):
Ta có : AB ∕ ∕ IJvà K điểm chung (SAB) (IJK) Vậy : giao tuyến đường thẳng Kx song song AB
b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD : Gọi L = Kx SA
Thiết diện hình thang IJKL
Do : IJ đường trung bình hình thang ABCD
IJ = 1
2 (AB + CD)
Xét SAB có : LK AB=
SK SB =
2
3 LK = 2 3 AB
IJKL hình bình hành IJ = KL 1
2 (AB + CD) = 2 3 AB AB = 3.CD
Vậy : thiết diện IJKL hình bình hành AB = 3.CD
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q điểm nằm cạnh BC , SC , SD ,AD cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a Chứng minh : PQ // SA. b Gọi K = MN PQ
Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC. Giải
a Chứng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD : Ta có : NP // CD
NP
DS= CN
CS (1)
Tương tự : MN // SB
CN
CS = CM
CB (2)
Tương tự : MQ // CD
CM
CB = DQ
DA (3)
Từ (1) , (2) (3), suy DP
DS= DQ DA
Vậy : PQ // SA
b Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC
J
I E
C
D B
A
L
S
C
B J I
K
D A
P K
Q
t
D
B C
A
M
(15)Ta có :
¿
BC // AD BC⊂(SBC)
AD⊂(SAD)
S∈(SBC)∩(SAD) ¿{ { {
¿
giao tuyến đường thẳng St qua S cố định song song BC AD
Mà K (SBC) (SAD) K St (cố định )
Vậy : K St cố định M di động cạnh BC
ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) :
Phương pháp : Chứng minh
¿
d⊄α d//a a⊂α
¿⇒¿d//α ¿{ {
¿
Bài tập :
1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD
a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD)
b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC đều song song với (MNP)
c Gọi G ❑1 ,G ❑2 trọng tâm ABC SBC
Chứng minh G1G2 // (SAB) Giải
a Chứng minh MN // (SBC):
Ta có :
¿ MN⊄(SBC) MN // BC BC⊂(SBC) ¿⇒¿MN //(SBC)
¿{ { ¿
Q
M N
C
D P
B
(16)Tương tự :
¿
MN⊄(SAD)
MN // AD AD⊂(SAD) ¿⇒¿MN //(SAD)
¿{ { ¿ b Chứng minh SB // (MNP):
Ta có :
¿
SB⊄(MNP)
SB // MP MP⊂(MNP) ¿⇒¿SB //(MNP)
¿{ { ¿ Chứng minh SC // (MNP):
Tìm giao tuyến (MNP) (SAD)
Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD
Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q
PQ = (MNP) (SAD)
Xét SAD , Ta có : PQ // AD
P trung điểm SA
Q trung điểm SD
Xét SCD , Ta có : QN // SC
Ta có :
¿ SC⊄(MNP) SC // NQ NQ⊂(MNP) ¿⇒¿SC //(MNP)
¿{ { ¿
c Chứng minh G1G2 // (SAB) : Xét SAI , ta có : IG1
IA = IG2 IS =
1 3 G1G2 // SA
Do :
¿
G1G2⊄(SAB)
G1G2// SA SA⊂(SAB) ¿⇒¿G1G2//(SAB)
¿{ { ¿
2 Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA
a Tìm giao tuyến () với (SAB) (SAC).
b Xác định thiết diện hình chóp với ()
c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang Giải
a Tìm giao tuyến () với (SAB):
Ta có :
¿
M∈(α)∩(SAB)
α// SA SA⊂(SAB)
¿{ { ¿
() (SAB) = MP với MP // SA
Q
G1 I G2 S
D C
M
N P
A B
N S
M A
B C
D P
Q
(17)Tìm giao tuyến () với (SAC):
Gọi R = MN AC
Ta có :
¿
R∈(α)∩(SAC)
α// SA SA⊂(SAC)
¿{ { ¿
() (SAC) = RQ với RQ // SA b.
Xác định thiết diện hình chóp với (): Thiết diện tứ giác MPQN
c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang:
Ta có : MPQN hình thang
¿ MP // QN
¿ MN // PQ
¿ (1) (2) ¿ ¿ ¿ ¿
Xét (1) ,ta có
¿ SA // MP MP//QN ¿⇒SA // QN
¿{ ¿
Do :
¿ SA // QN QN⊂(SCD) ¿⇒SA //(SCD)
¿{ ¿
( vơ lí )
Xét (2) ,ta có
¿
BC=(ABCD)∩(SBC) MN⊂(ABCD)
PQ⊂(SBC) ¿⇒MN // BC
¿{ { ¿
Ngược lại, MN // BC
¿
PQ=α ∩(SBC)
MB⊂(α)
BC⊂(SBC) ¿⇒¿MN // PQ
¿{ { ¿
Vậy để thiết diện hình thang MN // BC
3 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi ( α ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD
a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD. b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành
Giải
a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng ( α ) với tứ diện ABCD.
N S
M A
B C
D
P Q
(18)Ta có :
¿ (α)// CD CD⊂(ACD)
M∈(α)∩(ACD) ¿⇒¿MP // CD(1)
¿{ { ¿
Tương tự :
¿ (α)// CD CD⊂(BCD)
N∈(α)∩(BCD) ¿⇒¿NQ // CD(2)
¿{ { ¿
Từ (1) (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện hình thang MPNQ
b Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành
Ta có : MP // NQ MP = 1
2.CD
MPNQ hình bình hành
¿ MP // NQ MP=NQ ¿⇔¿ ¿MP // NQ MP=NQ=1
2CD ¿{
¿ Do : N trung điểm BC
Vậy : N trung điểm BC MPNQ hình bình hành
4 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB S điểm ngồi mặt phẳng hình thang Gọi M điểm CD ; () mặt phẳng qua M song song với SA BC
a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD).
Giải
a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng ( α ) với hình chóp S.ABCD:
Ta có :
¿ (α)// BC BC⊂(ABCD)
M∈(α)∩(ABCD) ¿⇒¿MN // BC(1)
¿{{ ¿
Tương tự :
¿ (α)// SA
SA⊂(SAB)
N∈(α)∩(SAB) ¿⇒¿NP // SA
¿{ { ¿
¿ (α)// BC BC⊂(SBC)
P∈(α)∩(SBC) ¿⇒¿PQ // BC(2)
¿{ { ¿
Q A
D M
N P
C B
B
C P
N
M
D A
Q
t Q
I
P N
M C
B
D A
(19)Từ (1) (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện hình thang MNPQ
b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD).
Trong (ABCD) , gọi I = AD BC I điểm chung () (SAD)
Ta có :
¿ (α)// SA SA⊂(SAD)
I∈(α)∩(SAD) ¿{ {
¿
Vậy : giao tuyến đường thẳng qua I song song với SA
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC () mặt phẳng chứa AM song song với BD.
a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD.
b Gọi I giao điểm ME CB , J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng
Giải
a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD.
Giả sử dựng E, F thỏa toán Ta
có :
¿ (α)// BD
BD⊂(SBD)
EF=(α)∩(SBD) ¿⇒¿BD // EF
¿{ { ¿
Do điểm E ,F ,A ,M thuộc mặt phẳng ()
Trong () , gọi K = EF AM
K EF mà EF (SBD) K (SBD) K AM mà AM (SAC) K (SAC) K (SAC) (SBD)
Do (SAC) (SBD) = SO K SO
Cách dựng E, F :
Dựng giao điểm K AM SO , qua K dựng EF // BD
b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng :
Ta có :
¿
I∈ME¿mà¿ME⊂(α)¿ ¿⇒I∈(α)
I∈BC¿mà¿BC⊂(ABCD)¿⇒I∈(ABCD) ¿{
¿ I () (ABCD)
Tương tự ,
¿
A∈(α)∩(ABCD)
J∈(α)∩(ABCD) ¿{
¿
I , J , A điểm chung () (ABCD)
Vậy : I , J , A thẳng hàng
6 Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông A , B^ = 60 ❑0 , AB = a Gọi O trung điểm
BC Lấy điểm S mặt phẳng () cho SB = a SB OA Gọi M mọt điểm
cạnh AB , mặt phẳng () qua M song song với SB OA , cắt BC ,SC , SA N , P , Q
Đặt x = BM ( < x < a )
a Chứng minh MNPQ hình thang vng b Tính diện tích hình thang theo a x Tính x để diện tích lớn
K J
I
M
O E F
S
D
C
B A
Q
A
O N
M
P
C B
(20)Giải
a Chứng minh MNPQ hình thang vng :
Ta có :
¿ (β)// OA OA⊂(ABC) MN=(β)∩(ABC)
⇒¿MN // OA(1) ¿{ {
¿ ¿ (β)// SB SB⊂(SAB) MQ=(β)∩(SAB)
⇒¿MQ // SB(2) ¿{ {
¿ ¿ (β)// SB SB⊂(SBC) NP=(β)∩(SBC)
⇒¿NP // SB(3) ¿{ {
¿
Từ (2) (3) ,suy MQ // NP // SB (4)
MNPQ hình thang
Từ (1) (4) , ta có :
¿ OA⊥SB MN // OA MQ // NP // SB
¿ MN⊥MQ MN⊥NP
¿ ¿⇒{ { {
¿
Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN
b Tính diện tích hình thang theo a x
Ta có : SMNPQ=
1
2(MQ+NP) MN
Tính MN :
Xét tam giác ABC Ta có : cosB=AB
BC BC=
AB cosB¿
⇒BC=2a BO = a
Do
¿ ^
B=600
BA=BO ¿⇒¿ΔABO
¿{ ¿
Có MN // AO MN
AO = BM AB =
BN BO ¿ ¿
⇒MN=MB=BN=x ¿ Tính MQ :
Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB
MQ SB =
AM
AB MQ=AM
SB
AB=(a − x).
a
(21)Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB
NP SB=
CN
CB NP=CN
SB
CB=(2a− x).
a
2a=
2a− x
2
Do : SMNPQ=x(4a −3x)
4 =
1
12 3x.(4a −3x)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x 4a 3x
3x.( 4a 3x)
3x+4a −3x
2 ¿
2
¿ 4a² SMNPQ≤
1
12 4a²=
a² 3
Đẳng thức xảy 3x = 4a – 3x x = 2a 3
Vậy : x = 2a
3 SMNPQ đạt giá trị lớn
7 Cho hình vng cạnh a , tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB = SD Gọi M điểm tùy ý AO với AM = x mặt phẳng () qua M song song với SA BD cắt
SO , SB , AB N, P , Q a Tứ giác MNPQ hình ?
b Cho SA = a Tính diện tích MNPQ theo a x Tính x để diện tích lớn Giải
a Tứ giác MNPQ hình ?:
Ta có : SB = SD SBC = SDC (c-c-c)
Gọi I trung điểm SC Xét IBC IDC
Ta có : IC cạnh chung BC = CD
IBC = IDC IB = ID IBD cân I IO BD
Mà OI // SA SA BD (*)
Ta có :
¿ (α)// BD BD⊂(ABO) (α)∩(ABO)=MQ
¿⇒¿MQ // BD(1) ¿{ {
¿
Tương tự :
¿ (α)// BD BD⊂(SBO) (α)∩(SBO)=NP ¿⇒¿NP // BD(2)
¿{ { ¿
Từ (1) (2) , suy MQ // NP // BD (3)
Mặt khác :
¿ (α)// SA SA⊂(SAO) (α)∩(SAO)=MN
¿⇒¿MN // SA(4) ¿{ {
¿
M N
I P
Q
O
D
C B
A S
(22)Tương tự :
¿ (α)// SA SA⊂(SAB) (α)∩(SAB)=PQ
¿⇒¿PQ // SA(5) ¿{ {
¿
Từ (4) (5) , suy MN // PQ // SA (6) Từ (3) , (6) (*), suy MNPQ hình chữ nhật Vậy : MNPQ hình chữ nhật
b Tính diện tích MNPQ theo a x: Ta có : SMNPQ=MQ MN
Tính MQ :
Xét tam giác AQM :
Ta có :
¿ ^
Α=450 ^
Q=450 ^
M=900 ¿⇒ΔAQM
¿{{ ¿
cân M MQ = AM = x
Tính MQ :
Xét tam giác SAO :
Ta có : MN // SA MN AS =
OM
OA ¿⇒¿MN=AS. OM OA =a.
a√2 2 − x
a.√2 2
=a − x.√2
SMNPQ=MQ MN=x.(a − x.√2)=
1
√2x.√2(a− x.√2)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x.√2 a − x.√2 x.√2(a − x.√2)
x.√2+a − x.√2 ¿
¿ ¿ a²
4 SMNPQ≤
1
√2.
a² 4 =
a²
4 √2¿⇒SMNPQmã=
a² 4 √2
Đẳng thức xảy x.√2=a − x.√2¿ ⇔x= a 2 √2=
a.√2 4 M trung điểm AO
Vậy : x=a.√2
4 SMNPQ đạt giá trị lớn
8 Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b Gọi I , J trung điểm AB CD Giả sử AB CD , mặt phẳng () qua M nằm đoạn IJ song song với AB CD.
a Tìm giao tuyến () với ( ICD ) (JAB)
b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng ()
Chứng minh thiết diện hình chữ nhật
c Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = 1
3 IJ
Giải
a Tìm giao tuyến () với mặt phẳng ( ICD ):
G
F
H N
L M
Q P I
J E
D
C B
(23)Ta có :
¿ (α)// CD CD⊂(ICD)
M∈(α)∩(ICD) ¿{ {
¿
giao tuyến đt qua M song song
với CD cắt IC L ID N
Tương tự :
¿ (α)// AB AB⊂(JAB)
M∈(α)∩(JAB) ¿{ {
¿
giao tuyến đt qua M song song
với AB cắt JA P JB Q
b Xác định thiết diện (ABCD) với mặt phẳng ():
Ta có :
¿ (α)// AB AB⊂(ABC)
L∈(α)∩(ABC) ¿{ {
¿
EF // AB (1)
Tương tự :
¿ (α)// AB AB⊂(ABD)
N∈(α)∩(ABD) ¿{ {
¿
HG // AB (2)
Từ (1) (2) , suy EF // HG // AB (3)
Ta có :
¿ (α)// CD CD⊂(ACD)
P∈(α)∩(ACD) ¿{ {
¿
FG // CD (4)
Tương tự :
¿ (α)// CD CD⊂(BCD)
Q∈(α)∩(BCD) ¿{ {
¿
EH // CD (5)
Từ (4) (5) , suy FG // EH // CD (6)
Từ (3) (6) , suy EFGH hình bình hành
Mà AB CD (*)
Từ (3) , (6) (*), suy EFGH hình chữ nhật
c Tính diện tích thiết diện hnh chữ nhật biết IM = 1 3 IJ :
Ta có : SEFGH=EF FG=PQ LN Tính LN :
Xét tam giác ICD : Ta có : LN // CD
¿ LN CD=
IN ID ¿ ¿
(24)Ta có : MN // JD IN ID=
IM
IJ (8)
Từ (7) (8), suy LN
CD= IM IJ =
1
3¿⇒¿LN= CD
3 =
b
3
Tương tự : PQ
AB= JM JI =
2
3 PQ=
2 3 AB=
2 3.a
Vậy : SEFGH=
2 ab
9
HAI MẶT THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh () // () : Sử dụng cách sau :
–
¿
a⊂(α),b⊂(α)
a ∩b=M
a//(β),b//(β) ¿⇒¿(α)//(β)
¿{ { ¿
hình 1
–
¿
a⊂(α),b⊂(α)
a ∩b=M
c⊂(β), d⊂(β)
c ∩d=N
a//c , b//d ¿⇒¿(α)//(β)
¿{ { { { ¿
hình 2
–
¿ (α)//(γ) (β)//(γ) ¿⇒¿(α)//(β)
¿{ ¿
hình 3
Bài tập :
1.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA ,SD a Chứng minh : (OMN) // (SBC)
b Gọi P, Q , R trung điểm AB ,ON, SB Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
Giải
a Chứng minh : (OMN) // (SBC):
Xét tam giác SAC SDB :
Ta có :
¿
OM // SC ON // SB
¿⇒¿(OMN)//(SBC) ¿{
¿ b Chứng minh : PQ // (SBC)
M
b a
N cd
a b
M
R
N P
Q S
M
O
C
B
D
(25)Ta có :
¿ OP // AD AD // MN ¿⇒¿OP // MN
¿{ ¿
M, N, P, O đồng phẳng PQ (MNO)
Mà
¿ PQ⊂(MNO) (MNO) // (SBC) ¿⇒¿PQ //(SBC)
¿{ ¿ Vậy : PQ // (SBC)
Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) :
Ta có :
¿ MR // AB AB // DC ¿⇒¿MR // DC
¿{ ¿
(1)
Xét tam giác SDB : ta có OR // SD (2)
Từ (1) (2) , ta
¿
MR // DC OR // SD
MR⊂(MOR)và OR⊂(MOR)
DC⊂(SCD)và SD⊂(SCD) ¿ ¿⇒¿(MOR)//(SCD)
¿{ { ¿
2 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB khơng đồng phẳng I , J , K lần lượt trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh :
a (ADF) // (BCE) b (DIK) // (JBE)
Giải
a (ADF)//(BCE):
Ta có :
¿
AD // BC AD⊄(BCE)
BC⊂(BCE) ¿⇒¿AD //(BCE)
¿{ { ¿
(1)
Tương tự :
¿ AF // BE AF⊄(BCE) BE⊂(BCE) ¿⇒¿AF //(BCE)
¿{ { ¿
(2)
Từ (1) (2) , ta : ¿ AD //(BCE) AF //(BCE)
AD⊂(ADF)và AF⊂(ADF) ¿ ¿⇒¿(ADF)//(BCE)
¿{ { ¿ Vậy : (ADF)//(BCE) b (DIK)//(JBE) :
B
C D
E F
I
J K
(26)Ta có :
¿
DI // JB IK // BE
¿⇒¿(DIK)//(JBE) ¿{
¿
Vậy : (DIK)//(JBE)
3 Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M,N cho MC = 2AM , NF = 2BN Qua M, N lần lượt kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M ❑1 , N ❑1 . Chứng minh :
a. MN // DE
b. M1N1//(DEF) c. (MNM1N1)//(DEF)
Giải
a. MN // DE :
Giả sử EN cắt AB I Xét NIB NEF
Ta có : IB
EF= NB NF =
1 2
I trung điểm AB IN NE=
1 2 (1)
Tương tự : Xét MAI MCD
Ta có : MA
MC = MI MD=
1 2
I trung điểm AB IM MD=
1 2 (2)
Từ (1) (2) , suy IM
MD= IN
NE MN // DE
Vậy : MN // DE
b. M1N1//(DEF) : Ta có : NN1// AI
AN1 N1F
=IN NE=
1
2 (3)
Tương tự : MM1// AI
AM1
M1D
=IM
MD=
1 2 (4)
Từ (3) (4) , suy AN1
N1F
=AM1
M1D
=1
2 M1N1// DF
Ta :
¿ M1N1// DF
DF⊂(DEF)
¿ ¿⇒¿M1N1//(DEF) ¿{
¿ Vậy : M1N1//(DEF)
c. (MNM1N1)//(DEF) :
Ta có :
¿ MN // DE
M1N1// DF
¿⇒¿(MNN1M1)//(DEF) ¿{
¿
Vậy : (MNM1N1)//(DEF)
4 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a Trên AB lấy điểm M với AM = x Gọi () mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , CD N,
N1
M1
E F
M
N
I B
C D
(27)P, Q
a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp Thiết diện hình ?
b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB.
c. Cho = 1v SA = a Tính diện tích thiết diện theo a x Tính x để diện tích = 3a
8
Giải
a Tìm thiết diện () với mặt phẳng hình chóp:
Ta có :
(α)//(SAD)¿ ¿⇒¿ (α)// SD (α)// SA (α)// AD
¿{ { Với (α)// SD
Có
¿ (α)// SD
SD⊂(SAD) (α)∩(SAD)=PQ
¿ ¿⇒¿PQ // SD ¿{ {
¿ Với (α)// SA
Có
¿ (α)// SA SA⊂(SAB) (α)∩(SAB)=MN
¿ ¿⇒¿MN // SA ¿{{
¿ Với (α)// AD
Có
¿ (α)// AD
AD⊂(ABCD) (α)∩(ABCD)=MQ
¿ ¿⇒¿MQ // AD ¿{ {
¿
(1)
Vì
¿ BC // MQ BC⊄(α)
¿ ¿ ¿⇒¿(α)// BC ¿{
¿
Có
¿ (α)// BC BC⊂(SBC) (α)∩(SBC)=PN
¿ ¿⇒¿PN // BC ¿{ {
¿
(2)
Từ (1) (2) , suy : MQ // PN¿⇒¿MNPQ hình thang Vậy : MNPQ hình thang
b Tìm quĩ tích giao điểm I MN PQ M di động đoạn AB.:
SAD
S x
I
M P
Q S
C N
D
(28)Ta có :
¿ AB // DC
AB⊂(SAB),DC⊂(SCD)
S∈(SAB)∩(SCD) ¿⇒¿Sx // AB // CD
¿{ { ¿
Mà
¿
I∈PQ¿mà¿PQ⊂(SCD)
I∈MN¿mà¿MN⊂(SAB) ¿⇒¿I∈(SAB)∩(SDC)¿⇒¿I∈Sx
¿{ ¿
Giới hạn quĩ tích : Khi M ≡ A I ≡ S
M ≡ B I ≡ S0
c Tính diện tích thiếtdiện theo a x : Ta có : SMNPQ=SIMQ− SINP=SSAD− SINP Tính : SSAD
Ta có: SAD vng cân A
Do : SSAD=1 2.a
2 Tính : SINP
Xét tam giác SBC , tam giác SBS ❑0 tam giác SAB Ta có : NI //S0B
NI
S0B=
SN
SB (1)
PN // BC PN
BC= SN
SB (2)
MN // SA AM
AB = SN
SB (3)
Từ (1) , (2) (3) , ta NI S0B=
PN BC=
AM
AB NI=PN=AM=x
INP vuông cân N
Do : SINP=12.x
SMNPQ=1 2.a
2 −1
2.x
2
=1 2(a
2 − x2)
Để SMNPQ=3 a
8
1 2(a
2
− x2)=3.a
2
8 x2=a2−3 a
2
4 x2=a
2
4
x=a
2
5 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AB , BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE)
Giải Xét tam giác MFC : Ta có : MI
MF= MJ MC=
1 3
IJ // FC (1)
Xét hình bình hành MNEF : Ta có : MI
MF= NK NE =
1 3
A
D C
B I
N M
E J
K
F
G3
G2 G1
G A
B
C
D
M N
L E
(29) IK // FE (2)
Từ (1) (2) , ta
FE IK
FC IJ
// //
(IJK)//(CEF)
Vậy : (IJK)//(CEF)
6 Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2,G3 trọng tâm tam giác ABC , ACD , ADB a Chứng minh : (G1G2G3)//(BCD)
b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S
Giải
a Chứng minh : (G1G2G3)//(BCD)
Gọi M , N , L trung điểm cạnh BC , CD BD Ta có : AG1
AM = AG2 AN =
AG3 AL =
2 3
G1G2// MN;G2G3// NL;G3G1// LM
¿ G1G2// MN
G2G3// NL
MN⊂(BCD),NL⊂(BCD) ¿⇒(G1G2G3)//(BCD)
¿{ { ¿ Vậy : (G1G2G3)//(BCD)
b Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2G3) :
Ta có :
¿ BC //(G1G2G3) BC⊂(BCD)
G1∈(G1G2G3)∩(ABC) ¿⇒
¿{ { ¿
gt qua G1// BC cắt AB AC E F
Tương tự : (G1G2G3) cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD
(G1G2G3) cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD Xét tam giác AMC tam giác ABC
Ta có : G1F// MC AG1
AM = AF AC=
2
3 (1)
EF // BC EF
BC= AF
AC (2)
Từ (1) (2), ta AG1
AM = EF BC=
2 3 EF=2
3 BC
Tương tự : FG=2
3 CD GE=2
3 BD EF+FG+GE=2
3 BC+ 2 3 CD+
2 3 GE=
2
3(BC+CD+GE)
Diện tích thiết diện : SEFG=
1
4.√(EF+FG+GE).(EF+FG−GE).(EF+GE−FG).(FG+GE−EF).
= 1
4. 4
9.√(BC+CD+DB).(BC+CD−DB).(BC+DB−CD).(CD+DB−BC)
= 4
(30)Vậy : SEFG=4 9.SBCD
7 Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định
Giải
Kẻ Bx’// Ax Trên Bx’ lấy điểm M’ cho AM = BM’
T a có :
¿ AM // BM'
AM=BM' ¿{
¿
ABM’M hình bình hành
MM’//AB (1)
BM’N cân B
Kẻ Bt phân giác góc x’By M’N Bt (2)
Trong (x’By) , kẻ Bz Bt (3)
Từ (2) (3) , ta Bz // M’N (4)
Từ (1) (4) ,
¿ MM '// AB
M ' N// Bz ¿{
¿
(MNM')//(ABz)
MN // (ABz)
Vậy : MN // (ABz) cố định
8 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AD BC N M
a Cho trước điểm M, trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M trung điểm BC
b Gọi K giao MN IJ Chứng minh : KM = KN Giải
a Hãy trình bày cách dựng điểm N :
Điểm N phải nằm giao tuyến (MIJ) (ACD) , giao tuyến qua J Ta có : J∈(MIJ)∩(ACD)
Gọi E=MI∩AC
¿
E∈MImà¿MI∈(MIJ)
E∈AC mà AC∈(ACD) ⇒E∈(MIJ)∩(ACD)
¿{ ¿
EJ=(MIJ)∩(ACD)
Gọi N=EJ∩AD Trường hợp M trung điểm BC:
Nếu M trung điểm BC IM // AC (IMJ ) // AC
(IMJ ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC
b Chứng minh : KM = KN.
Do I , J trung điểm AB ,CD
dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng song song
Áp dụng định lí Talet khơng gian Ta : MK
KN = BI
IA=1¿⇒MK=KN
Vậy : MK=KN
HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỘP
Bài tập :
1.Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ điểm M , N thuộc cạnh AB , DD’ ( M, N không trùng với đầu mút A,B ,D ,D’ cạnh ) Hãy xác định thiết diện hình hộp bị cắt : a Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện hình g ì ?
A
B
M'
N M
y
t x
z
x'
I
J B
C
D
M
N
E K A
N L
B C
D
A'
B ' C'
D' M
(31)b Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện hình g ì ? c Mặt phẳng (MNC’)
Giải
a Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNB) : Ta có : (MNB) (AA’B’B)= MB=BA
(MNB) (AA’D’D) = AN (MNB) (DD’C’C) = NL
(trong L = x CC’, L x // DC , x qua N ) (MNB) (BB’C’C) = LB
thiết diện tứ giác ABLN
m ặt kh ác NL //= DC DC //= AB
NL //= AB
nên thiết diện ABLN l h ình b ình h ành
b Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC) : Tương T ự
Ta có : (MNC)(BB’C’C)= BC (MNC) (CC’D’D) = CN (MNC) (DD’A’A) = NI
(trong I = y AA’, I y // AD , y qua N ) (MNC) (BB’A’A) = IB
thiết diện tứ giác BCNI
m ặt kh ác NI //= AD AD //= BC
NI //= BC
nên thiết diện BCNI l h ình b ình h ành
c. Xác định thiết diện bị cắt mặt phẳng (MNC’) :
Gọi C’N DC = K
Nối KM AD = P
KM BC = R
Kẻ RC’ Cắt BB’ Q
Ta có : (MNC’) ( DD’C’C) = C’N
(MNC’) ( DD’A’A) = NP
(MNC’) ( ABCD) = PM
(MNC’) ( AA’B’B) = MQ
(MNC’) ( BB’C’C) = QC’