Tư liệu dạy học vật lí 7

*NÕu khèi chãp lµ khèi tø diÖn th× ta cÇn khÐo chän mÆt ®¸y thÝch hîp... TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD.[r]

Phần 1.

Thể tích khối đa diƯn

A Lý thut

1 Kh¸i niƯm thĨ tÝch cđa khèi ®a diƯn (Sgk hh 12) Các công thức tính thể tích khối đa diện

a) ThĨ tÝch khèi hép ch÷ nhËt

V = abc víi a, b, c lµ kÝch thíc cđa khèi hộp ch÷ nhËt b) ThĨ tÝch cđa khèi chãp

V=

3 Sđáy h ; h: Chiều cao khối chóp c) Thể tích khối lăng trụ

V= Sđáy h ; h: Chiu cao ca lng tr

B Các dạng tập

Dạng 1.Tính thể tích khối đa diện

*Ph ơng pháp: Để tính thể tích khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích

+Chia a diện thành khối nhỏ mà thể tích khối tính đợc

+Bổ sung thêm bên khối đa diện để đợc khối đa diện tính thể tích cơng thức phần bù vào tính đợc thể tích

*C¸c bµi tËp

1)VỊ thĨ tÝch cđa khèi chãp

+Nếu khối chóp có chiều cao đáy ta tính tốn chiều cao, diện tích đáy áp dụng công thức :V=

3 Sđáy h

Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác SABC trờng hợp sau: a) Cạnh đáy a, góc ABC = 60o

b) AB = a, SA = l

c) SA = l, góc mặt bên mặt đáy α giải:

a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ SO ⊥(ABC)

SABC = a

a√3

2 =

a2√3 ∆ABC cã SA = SB; ABC = 60o

⇒ SA = AB = SB = a C

S

A

B O a

SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (

3 a √

3 )

2 = a2−a2 3=

2 3a

2

⇒ SO = a √2

VËy VSABC = S∆ABC SO =

a2√3

4 a √

3 √l

−a

2

3

b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 13 a

2√3 √l

2 a

2 c)

Gọi O tâm ABC Gọi A trung điểm BC

Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA cã:

SO2 = l2 - OA2 = l2 -

9 AA’2 Tam gi¸c vu«ng SOA’ cã:

sinα=SO

1 3AA'

⇒SO=1

3AA' sinα (2) Tõ (1) (2) ta cã:

9AA 'sin

α+4

9AA' sinα=l

O B

A'

A C

a

 AA’2(sin2 α + 4) = 9l2

 AA'= 3l

√sin2α

+4

S∆ABC =

2AA' BC=

3l √sin2α

+4

3l

√3√sin2α

+4=

3√3l2

2(sin2α+4)

SO=1

3 3l

√sin2α

+4 sinα

= l.sinα

√sin2α

+4

⇒VSABC =

3 S∆ABC SO = √3

3

l2sinα

(sin2α+4).√sin2α+4

Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông A, AB = a, AC = a √3 Hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính VA’ABC theo a?

-Gọi H trung điểm BC ⇒A’H ⊥ (ABC) (gt) -Ta cã S∆ABC =

2AB AC= 2a

2 √3 -V× AH (ABC) AH AH Tam giác vuông A’HA cã:

A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 -

4 (a2 + 3a2) hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a √3

B H C

2a

a a

C' A'

⇒VA’ABC = 13 S∆ABC A’H =

1 2a

2

3 a3=a

2

Bài 3. Hình chóp SABCD cã SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ABC vu«ng c©n cã

AB = BC =a B’ trung điểm SB C’ chân đờng cao hạ từ A

∆SAC

a) tÝnh VSABC

b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’) TÝnh VSAB’C’

Gi¶i

a)

S∆ABC =

2BA BC= 2a

2 ; SA =a

⇒ VSABC =

3 S∆ABC SA =

6 a3

a

C A

a a

B' C'

B

b) ∆SAB cã AB = SA = a SAB cân A AB SB B’S = B’B

BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA

⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC

C¸ch

AB'=1

2SB= 2√2a

2

= a

V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’ SC = √SA2+AC2=√3a SC'=SA

2 SC =

a √3

B’C’2 = SB’2 - SC’2 = a

6 ⇒B ' C '= a ⇒S∆AB’C’ =

2AB'.B ' C '=

a √2

a √6=

a2 4√3 ⇒V∆AB’C’ =

3 a2 24

a 3=

a3 36

C¸ch 2

3

' '

2 3

a SB SC

SB  SC a 

3

' ' ' ' ' 1

' ' '

6 6 36

3

SAB C SABC

a

V SA SB SC a

SA B C

V SA SB SC a   V  a 

Bài 4 Hình chóp SABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC

Gi¶i DƠ thÊy

(SB, (ABC)) = α = SBA (SB, (SAD)) = β = BSD

∆ABC c©n ⇒ AD ⊥ BC

DB = DC

∆SAB cã cos α = ABSB (1) BC ⊥ AD

BC ⊥ SA (v× SA⊥ (ABC) ⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD

a B

A C

D S

Tam giác vuông SB có sinβ = BDSB (2) Tõ (1) (2) ⇒ AB

cosα =

BD sinβ =√

AB2− a2

sinβ ⇒

AB2 cos2α =

AB2−a2 sinβ ⇒ AB2(sin2β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB =

√cos2α −1sin2β a

cosα

S∆SAB =BD.AD =

2

2 2

sin cos sin

cos . . cos cos sin cos sin

Sin AD AB  a  a 

SA = AB tan α = asinα

√cos2α −sin2β

⇒ VSABC =

3 SA.S∆ABC =

asinα

√cos2α −sin2β

a2sinβ

√cos2α −sin2β =

a3sinαcosβ 3√cos2α −sin2β

Bài 5 Cho hình vng ABCD cạnh a nửa đờng thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD)

và phía với mặt phẳng Điểm M không trùng với với A Ax, điểm N không trùng với C Cy Đặt AM = m, CN = n Tính thể tích hình chóp BAMNC

Giải Gọi I giao điểm AC BD

Ta có BD AC

(vì ABCD hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) ⇒ BI ⊥ (AMNC) BI = BD

2 = a√2

2

x

n

A

D C

m

B M

N

Diện tích hình thang AMNC S = (AM+CN) AC=

(m+n)a√2 VAMNC =

3.SAMNC BI=

(m+n)a√2

2

a√2 =

a2

6 (m+n)

*Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao đáy.

Ta cã mét sè nhËn xÐt sau:

-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đáy cạnh bên chân đờng cao tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy

-Nếu hình chóp có mặt bên nghiêng đáy có đ-ờng cao mặt bên xuất phát từ đỉnh chân đđ-ờng cao tâm đờng trịn nội tiếp đáy

-Hình chóp có mặt bên mặt mặt chéo vng góc với đáy đờng cao hình chóp đờng cao mặt bên mặt chéo

-Nếu có đờng thẳng vng góc với mặt đáy khối chóp đ-ờng cao khối chóp song song nằm trờn với đờng thẳng

*Nếu khối chóp khối tứ diện ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. Bài 6: SABCD có đáy tâm giác cân A, BC =a, ABC = α, cạnh bên nghiêng đáy góc α Tính VSABC

Gi¶i

A S

C B

H a

- Gäi H hình chiếu S lên (ABC)

- Vỡ cạnh bên nghiêng đáy ⇒ H tâm đờng tròn ngoại tiếp

∆ABC

- Ta cã: ∆ABC = 12AB AC sinα

mµ BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = a

√1−cosα

2

⇒ S∆ABC = 2AB

2

sinα=1

2 a2

2 sinα

1−cosα= a2

4 cos α HA = R = BC

2 sin= a sin

Tan giác vuông có tan α = SHAH ⇒ SH = 2 sina α tanα= a

2 cosα ⇒VSABC =

3SΔABC SH=

a2 cot

α

a cosα=

a3cotα 24 cosα

Bài 7: SABC có đáy ABCD hình bình hành SABCD = √3 góc đờng chéo = 60o cạnh bên nghiêng đáy góc 45o Tính VSABCD

A B

C O

D

-H¹ SO ⊥ (ABCD)

- Vì khối chóp có bên nghiêng đáy ⇒ O tâm đờng tròn qua đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD hình chữ nhật {O} = AC ∩ BD - Đặt AC = BD =x

Ta cã ShcnABCD =

2 AC.BD.sin60o = x

2 √3

2 =√ x

2

=√3 ⇒ x=3

- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ASC vuông cân S SO = 12AC=1 VSABCD =

3√3 1= √3

3

Bµi 8: SABC cã SA = SB = SC = a ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o. a) Chøng minh r»ng ∆ABC vu«ng

b) TÝnh VSABC

Gi¶i

a)

H B A

S

C a

¿

SA=SB

ASB=60o

¿{

¿

⇒ AB = a

-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2 -∆SAC cã AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-

b) Hạ SH (ABC)

Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H lµ trung điểm AC

ABC vuông B

Tam giác vuông SHB có SB = a SH2 = SB2 - BH2 = a

4 ⇒SH= a BH = AC

2 = a√3

2

(Hoặc ∆SAC nửa tam giác ⇒ SH = SA2 =a

2 ) ⇒VSABC =

3SΔABC SH=

1

2AB BC SH=

6a.a√2 a √2=

a3√2 12

Bài 9: SABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o.

∆SAC ∆SBD tam giác có cạnh = √3 Tính thể tích khối chóp SABCD

Đáp số: VSABCD =

Bi 10: SABCD có đáy hình thang vng A D, ∆SAD cạnh = 2a,

BC = 3a Các mặt bên lập với đáy góc Tính VSABCD

Gi¶i

2a 3a

C D

H K

- H¹ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)

- Vì mặt bên lập với đáy góc nên dễ dàng chứng minh đợc H tâm đờng tròn nội tiếp đáy

- Gọi K hình chiếu H lên AD - Ta cã HK = AD

2 =a

- Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 2a3

Vì ABCD ngoại tiÕp nªn: AB + CD = AD + BC = 5a ⇒SABCD =

(AB+CD) AD

2 =

5a 2a =5a

2

⇒VSABCD =

3SABCD.SH= 35a

2

.a√2=5a

3√2

Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a √3 , (SAB) (ABCD) M, N lần lượt là trung điểm AB, BC Tính

VSBMDN

Giải S

A D

C H

B M

N

∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD)

⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA =

4 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN=

2 S⋄ABCD=

2 2a.2a = 2a2

∆SAB cã AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông S

SH2= SA2+

1 SB2=

1 a2+

1 3a2=

4

3a2 ⇒ SH = a√3

2 ⇒VSBMDN =

1

3 S⋄BMDN.SH = 32a

2.a√3 =

a3√3

Bµi 12: SABCD có ABCD hình thang với AB = BC = CD = 12 AD

∆SBD vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy SB = 8a, SD = 15a

TÝnh VSABCD

S

H

15a 8a

A D

C B

-Trong ∆SBD kỴ SH b BD Vì (SBD) b (ABCD) SH b (ABCD) -Tam giác vuông SBD cã

SH2= SH2+

1 SD2 hay

SH2= 64a2+

1 225a2 hay SH=√14400

289 a= 120 17 a

-V× h×nh thang cã AB = BC = CD =

2 AD ⇒ ^A= ^D = 60o, B = C = 120o

-∆SBD cã BD2 = SB2 +SD2 =289a2⇒ BD = 17a

∆CBD cã BD2 =2BC2(1+

2 ) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 17

√3a S∆BCD =

2BC

sin 120o=1

2 289

3 a

.√3 =

289√3a2 12 S⋄ABCD = 3S∆BCD = 289√3a

2 12 ⇒VSABCD =

3 S⋄ABCD.SH =

289√3a2

12

120a

17 = 170 √3 a3

Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD hình chữ nhật, ∆SCD cân S nằm mặt phẳng  (ABCD) ∆SAB có SA = a, ASB = 2 α và nằm trong

mặt phẳng lập với (SCD) góc TÝnh thÓ tÝch khèi chãp SABCD

S

A D

C K

B

H

Trong SCD hạ SH CD

Vì SCD cân S

H trung điểm CD SH  CD

(SCD) (ABCD

⇒ SH (ABCD)

Gọi K trung điểm AB Ta cã HK  AB

AB SH (v× SH  (ABD))

⇒AB  (SKH) ⇒ AB  SK ⇒ SAB cân S

Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = α

∆SAB cã SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α

∆SHK vu«ng t¹i H cã SH =SK.cosα = acos2 α

KH = SKsinα = asinαcosα SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα = 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD =

3 SH SABCD= 3a

3sin2

Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông B, SA b (ABC) ACB =60o, BC = a, SA = a √3 , M lµ trung điểm SB Tính thể tích MABC

Giải

H

C A

B

a M

C¸ch

SA b (ABC)

Vì M trung điểm SB H- trung điểm MH=

2SA= a√3

2 S∆ABC =

2AB BC=

2a tan 60

o

.a=1

2a

√3 VMABC =

3SΔABC MH=13.12a

√3.a√3 =

a3

C¸ch VMABC VASABC

=SM

SB =

2 VMABC =

1 2VSABC mµ VSABC =

3 SA.S∆ABC = 3a√3

1 2a

2 √3=1

2a

√6 ⇒Vmabc =

4a

Bµi 15: Hình chóp SABCD có ABCD hình vuông tâm O, SA  (ABCD),

AB = a, SA = a 2 H, K lần lợt hình chiếu vuông góc A SB, SD Chứng minh rằng: SC (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK.

Gi¶i

A

C O

H

K a

a

N F E

B

D

a

2

S

y

x

AH  SB (gt) (1)

BC AB (vì ABCD hình vuông)

BC  SA (v× SA  (ABCD))

⇒BC  (SAB) BC  AH (2)

Tõ (1) (2) ⇒AH  (SBC ⇒AH  SC (3)

Chøng minh t¬ng tù ta cã: SC  AK (4)

Tõ (3) (4) ⇒ SC  (AKH)

Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN E ⇒ OE (AHK)

V× OA = OC; OE//CN OE = CN Tam giác vuông SAD có

AK2= AS2+

1

AD2 ⇒ AK =

AS AD

√AS2+AD2=

a√2 a

√3a2 =a√ DÔ thÊy AH = a√2

3

AKH cân A

Dễ thấy SBD cã SKSD=KHBD mµ SK =

2 2 2 3

2 a

SA  AK  a  a 

SD = a √3 ⇒ KHBD= 2a

√3a√3= 3=

SF SO HK =

3 BD = 3a√2 OF =

3 SO ⇒ OF SF =

1

∆SAC cã : OA = OC ⇒ OESN=OF

SF =

2 ⇒OE =

2 SN = a S∆AHK =

2 KH √AK2−HK =

2a2 √2 ⇒ V = 13OE SΔAHK=¿ a

3√2 27

* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:

Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:

A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a √2 ) , O(2 a

,2 a

, 0)

∆SKA ∆ SAD ⇒ SK

SA= SA

SD ⇒ SK= 2a

√3 ⇒K(0,

2 3a ,

2 a

)

∆ABS cã AS2=SB SH ⇒ SH= 2a

√3 ⇒H(

2 3a,0,

2 a

) Ta cã ⃗AH=(2

3a ,0, a√2

⃗AK=(0,2

3a , a√2

3 ) ⃗AO=(a

2, a 2,0)

[ ⃗AH,⃗AK ] =( −2√2a

2 ,

−2√2a2 ,

4a2 ) ⇒ VOAHK= 61 |[ ⃗AH,⃗AK ] ⃗AO |= √2

27 a

Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a √2 , SA = a, SA  (ABCD) M, N lần lợt trung điểm AD SC {I} = BM ∩

AC TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp ANIB

Gi¶i

a K

O C

D

A a

a

N

I B

SA (ABCD)

Gäi {O} = AC ∩ BD

Trong ∆SAC cã ON // SA

⇒ON  (ABCD) ⇒ NO  (AIB)

Ta cã NO = 2SA=

a TÝnh S∆AIB = ?

ABD só I trọng tâm SABI =

2

3 S∆ABO =

1

4 S⋄ABCD =

3 a.a √2 = a2√2

6 ⇒ SANIB =

1

3 NO.S∆AIB =

a

a2√2 =

a3√2 36

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a,

(SAD) (ABCD), ∆SAD Gọi M, N, P lần lợt trung điểm SB, BC, CD

TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp CMNP

A

C N a

D

P

B M

F E

S

y

x z

- Gọi E trung điểm AD (CNP) (ABCD) SE AD

(SAD)  (ABCD)

⇒SE  (ABCD)

- Gọi F hình chiếu M lên (ABCD) ⇒ MF // SE DÔ thÊy F ∈ EB F trung điểm EB

Ta có MF =

2 SE =

a√3 =

a√3 S∆CNP =

4SΔCBD=

8SABCD= 8a

2

VCMNP =

2 S∆NCP.MF = 13 8a

2 a√3

4 = a3√3 96

Nhận xét: dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O 0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES

Bài 18: Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O’ bán kính đáy chiều cao a Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O’ lấy B cho AB = 2a Tính thể tích hình chóp OO’AB

Gi¶i

B

A

A' O'

O

Kẻ đờng sinh AA’ Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H hình chiếu B A’D

Ta cã BH  A’D

BH  A’A

⇒ BH  (AOO’A’)

⇒BH đờng cao tứ diện BAOO’ SAOO’ = a

2

2 , A’B = √AB

2−AA'2

=a√3

∆A’BD vu«ng ë B ⇒ BD=a

∆O’BD ⇒ BH= a√3

2 ⇒VBAOO’ =

3BH SAOO’ = a 2√3 12

Bµi 19: Cho hình chóp có ABCD hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; SA  (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o Điểm M thuộc cạnh SA, AM = a√3

3 .

(BCM) ∩ SD ={ N} Tính thể tích hình chóp S.BCMN

Giải

S

A

D

C B

N M

H

Ta cã SAB=600

∆SAB vu«ng t¹i A cã AM = a√3

3 , AB = a ⇒ ABM = 300 Kẻ SH⊥ BM SH đơng cao hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 300 = a

BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ SMSA =MN

AD ⇒MN =

AD SM

SA =

4a ⇒SBCMN =

2(MN+BC) BM= 10a2

3√3 ⇒VSBCMN =

1

3SH SBCMN = 10√3a 27

AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a M, N lần lợt trung điểm SA SD Chứng minh BCMN hình chữ nhật tính thể tích hình chóp S.BCNM

Giải

A D

S H

M N

Ta cã BC//AD ,BC=

2AD ,MN//AD , MN=

2AD ⇒BC = MN , BC// MN (1)

BC ⊥AB BC ⊥SA

⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã BCNM hình chữ nhật Kẻ SH BM thỡ SH (BCNM) ⇒Vsbcnm=

1

3 SBCNM.SH=

3 BC.NM.SH= a 3

Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vng AB = AC = a; AA1 = a √2 M trung điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hớng dẫn:

+Chọn mặt đáy thích hợp ⇒ V = a3√2 12 +Có thể dùng phơng pháp toạ độ

Bµi 22: Tø diện ABCD có AB = x có cạnh l¹i b»ng a.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn theo x

b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn

Gi¶i

H C

B

C

D

C¸ch 1:

Gọi H Hình chiếu D lên (ABC) DA = DC = DB = ⇒ H tâm đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC mà ∆ABC cân H ∈ CC’ với C’ trung điểm AB

S∆ABC =

2CC' AB= 2√4−

x2 x=

1

4√4− x 2.x

HC = R∆ABC = x sinC=

x sinC

2 cos C

2

= x

4 x 2√1−

x2

=

√4− x2 Tam giác vuông HCD có HD2 = CD2- DC2 = 1−

4− x2= 3− x2 4− x2 ⇒ HD = √3− x

2

4− x2 ⇒VABCD =

2

2

1 1

3 4 4 12

x x

ABC x

S HD x x  x





   

C¸ch 2:

B

A

D M

C'

Gọi M trung điểm CD CD ABM

VABCD = 2VCBMA =

3 CM.S∆ABC =

1

2.SΔABM

S∆ABM =

2 MC’.AB = x 2¿

2

¿

√3 ¿

2

+¿ ¿

1 2x.√¿ VABCD =

3 x 4√3− x

2

=

12 √3− x

.x b)

SACD= √3

4 ⇒ d(B,(ACD))=

3VABCD SACD

=

√3√3− x

.x c)

VABCD =

2

2

1 1

12 3 x x 12 x2x 8

DÊu “=” x¶y ⇔ x2 = 3-x3 ⇔ x = √3

2 vµ thĨ tÝch lín nhÊt lµ

1

Bài 23: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy ABCD SA=h.Điểm M thuộc cạnh CD.Đặt CM=x.Hạ

SH vng góc với BM.Tính thể tích khối tứ diện SABH.Tìm x để thể tích khối lớn

GI¶I

C A

S

M D

B

H

Ta cã BM  SH (gt)

BM  SA (V× SA ( ABCD)

⇒BM  AH

SABM =

Mµ SABM =

2 AH.BM ⇒ AH= a2 BM=

a2

√a2+x2

∆SAH vu«ng ë A cã SH= √SA2+AH2=√h2+ a

2

√a2+x2

∆BAH vu«ng ë H cã BH= √AB2−AH2=√a2− a

4 a2

+x2=

ax

√a2

+x2

SABH =

2 AH.BH =

a3x √a2

+x2

VSABH =

3SABH SA=16 a

xh

√a2+x2

1

a3xh ax =

1 12 a

2h DÊu b»ng x¶y a=x tøc M trïng D

Bài 24: Hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vuông góc với đáy ABC SA = a.Điểm M thuộc cạnh AB Đặt góc ACM α

H¹ SH vuông góc với CM

a)Tìm giá trị lớn cđa thĨ tÝch khèi tø diƯn SAHC

b)H¹ AI vu«ng gãc víi SC,AK vu«ng gãc víi SH TÝnh thĨ tích khối tứ diện SAKI

Đáp số a)Vmax= a3

12 b)VSAKI =

a3sin 2α 24(1+sin2α)

Cã thĨ tÝnh thĨ tÝch khèi ®a diƯn nhê viƯc chia thành các khối nhỏ bổ sung thêm

Bài 25: Cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi AB = CD =a, AC = BD = b, AD = BC = c

TÝnh thĨ tÝch ABCD

Gi¶i

H C P

Q

R B

+Dùng ∆PQR cho B, C, D lần lợt trung điểm PQ, QR, PR +S∆DCR = S∆BCQ = S∆PDB =

⇒ S∆BCD =

4 S∆PQR AD = BC = PR D trung điểm PR AR  AP

T¬ng tù AP b AQ, AQ b AR VAPQR =

4 S∆PQRAR

Bµi 26: VABCD =

6 AD.BC.MN.Sin α Trong ABCD tứ diện có MN độ dài đoạn vng góc chung cặp cạnh đối AD CB, α =(AD, BC)

Híng dÉn: Dïng h×nh hép ngoại tiếp t diện

Bi 27: Cho hỡnh chóp SABC có tất góc phẳng đỉnh A B tam diện α AB = a Tính thể tích hình chóp SABC

Gi¶i

C A

B S

E

F

a

-Dễ thấy SAB, CAB tâm giác cân S C -Gọi E trung ®iÓm AB ⇒ AB b SE

AB b CE ⇒AB b (SCE) ⇒VSABC = VASEC + VBSEC =

1

3 S∆SEC.(AE+BE) =

3 S∆SEC.AB TÝnh SSEC = ?

SEC cân E ES = EC (∆SAB = ∆ACB (g.c.g)) Gäi F lµ trung điểm SC EF b SC

SBC cân B v× BC =BS (V× ∆SAB = ∆CAB (g.c.g)) FS = FC

Tam giác vuông EBC có CE = tan Tam giác vuông FBC cã BC = √CE

2

+EB2

cos cos 2cos

( )

a

a EB

  

  

Sin α =

FC

BC ⇒ FC = BC sin α =

a cosα sin

Tam giác vuông EFC có

EF2 = EC2 - FC2 =

sin2α −sin2α a2

4 tan

α −

a2sin2α cos2α =

a2

1 cos2α ¿ S∆SEC =

2 EF.SC = EF.FC = 2 cosa α√sin2α −sin2α2.2 cosa α sinα2 = a

2

2 cos2α sin α 2.√sin

2

α −sin2α VSABC = a3

12 cos2α sin

α

2.√sin

2

α −sin2α

một số tập giải PP toạ độ vỚi việc chọn hệ toạ độ dễ dàng

Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD O SO  (ABCD), SA = 2 √2 Gọi M trung điểm SC,

(ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Giải

Cách 1:

B

O C

D A

S

M N

⇒MN // CD ⇒ N trung điểm SD VSABCD =

2 SABCD.SO =

2 AC.BD.SO =

24 2√2=8√2 VSABN

VSABD

=SN

SD=

2 ⇒ VSABN =

2 SSABD =

8√2

2 = √2

VSBMN VSBCD

=SM

SC SN SD=

1

1 2=

1

4 ⇒ VSBMN =

1

4 SSBCD =

8√2

2 = √2 ⇒VSABMN = VSABN + VSBMN = √2

Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ

O S

A

C D

N M

B z

x y

Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX ≡ tia OA, tia oy ≡ OB, tia oz ≡ OS

DÔ thÊy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; √2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; √2 )

Do (ABM) ∩ (SCD) = MN AB // CD

⇒MN//CD

⇒N lµ trung ®iÓm SD ⇒N(0; - 12 ; √2 )

⃗

SA = (2; 0; -2 √2 ); ⃗SM = (-1; 0; - √2 ); ⃗SB = (0; 1; -2 √2 );

⃗

SN = (0; -

2 ; - √2 ) [ ⃗SA , ⃗SM ] = (0; 4 √2 ; 0)

VSABM =

6 [ ⃗SA , ⃗SM ].SB = 2√2

3 VSAMN =

6 [ ⃗SA , ⃗SM ].SN = √ VSABMN = VSABM + VSAMN = √2

a)TÝnh thÓ tích ACBD

b)Gọi M trung điểm CCTính thể tÝch MA’BD

gi¶i

C B'

D' C'

A'

A

D

B x

y

a b

c

M

a) Cách 1:

Thể tích khối hộp ABCDABCD V = abc VC’CDB =

3CC'.SΔBCD= 3c

1 2ab=

1 6abc=

1 V T¬ng tù ta cã: VAA’BD = VBA’B’ C’ = VD’A’DC’ =

6 V ⇒VA’C’DB = V - 61 V = 13 V= 13 abc

Cách 2: dùng phơng pháp toạ độ

Chọn hệ toạ độ Axyz nh hình vẽ Ta có: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0) D( 0; b; 0), C(a; b; c), A’(0; 0; 0)

⃗DB = (a; -b; 0); ⃗DC' = (a; 0; c); ⃗DA' = (0; -b;c); [ ⃗DB , ⃗DC' ] = (-bc; -ac; ab)

VA’C’DB =

6 |[ ⃗DB , ⃗DC' ] ⃗DA' | = abc

b) Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.ta có A(0;0;0) , B(a;0;0) , D(0;B;0) , A’(0;0;c) , C(a;b;0) , C’(a;b;c)

M lµ trung ®iĨm CC’ nªn M(a;b; c )

⃗BD=(− a; b ;0) , ⃗BM(0;b ;c

2) , ⃗BA'=(− a ;0;c) [ ⃗BD,⃗BM ]= (bc

2 ; ac

2 ;−ab) VBDA’M =

6 |[ ⃗BD , ⃗BM ] ⃗BA' | =

3 2abc=

1 abc

2) Về thể tích khối lăng tr

Bài Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác đều, cạnh a A’A = A’B = A’C Cạnh AA’ tạo với đáy góc 60o Tính thể tích lăng trụ ABCA’B’C’

Gi¶i

B

A

C C' B'

A'

O a

Gọi O tâm ABC OA = OB = OC A’A = A’B = A’C (gt)

⇒A’O⊥ (ABC)

(AA’,(ABC)) = (AO, AA’) = 600 A’O ⊥OA (v× A’O⊥ (ABC)

Trong tam giác vng A’OA có OA’ = OA tan 600 = a Vì ∆ABC cạnh a nên S∆ABC = √3a

2

4 ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.A’O =

a3√3

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A, AC = b, C = 60o (BC’,(AA’C’C)) = 30o Tính thể tích khối lăng trụ

Gi¶i

C C' A'

A

B B'

DÔ thÊy AB (ACC’A’) nªn (BC’, (ACC’ A’)) = AC’B = 300

ABC vuông A có C^ =600, AC=b nên BC=2b AB= 3 b. AB (ACCA) nên AB b AC

ABC vuông A có AC’ = AB

tan 300=3b

∆ACC’ vu«ng t¹i C cã (CC’)2 = AC’2- AC2 = 9b2- b2 = 8b2 ⇒CC’ = √2 b =AA’ S∆ABC =

1

CA.CBsin6oo =

√3b2 ⇒VABCA’B’C’ = S∆ABC.AA’ = √6 b3

Bµi 3

Dạng 2: tỉ số thể tích

A/ Phơng pháp: Giả sử mặt phẳng chia khối đa diện thành hai khối tích V1 V2 Để tÝnh k = V1

V2

ta cã thÓ: -TÝnh trùc tiÕp V1, V2b»ng c«ng thøc ⇒ k

-Tính V2 (hoặc V2) công thức tính thể tích khối Thể

tích V2 (hoặc V1) k Ta có kết sau:

+Hai khối chóp có diện tích đáy tỉ số thể tích tỉ số hai đ-ờng cao tơng ứng

+Hai khối chóp có độ dài đờng cao tỉ số thể tích tỉ số hai diện tích đáy

+ VSABC VSA' B ' C '

=SA SB.SC

SA' SB'.SC'

C A

B B'

C' A'

(chỉ cho khối chóp tam giác (tứ diện))

Bài 1: Chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC mặt phẳng (P) chứa AM //BD chia hình chóp thành hai phân Tính tỉ số thể tích hai phần

Gi¶i

C

B O A

S

D

M

B' I D'

-Gäi O = AC ∩ BD, I = SO ∩ AM ⇒ I ∈ (P)

BD ⊂ (SBD) BD // (P)

⇒ (P) ∩ (SBD) = B’D’ // BD

VSMB' D' VSCBD

=SM

SC SB'

CSB SD'

SD =

SI SO

SI SO=

1

2

2 3=

2

9 (v× I trọng tâm SAC) VSMB' D'

VSCBD

=SA'

SA SB' SB

SD' SD =1

2

2 3=

2 mµ VSABD = VSCBD =

2 VSABCD VSMB' D'

1 2V

+VSAB' D '

1 2V

=2

9+ 9=

2 3⇒

VSAB'MD' VSABCD

=1

3⇒

VSAB'MD' VABCDD'MB'

=1

2

Bài 2: Hình chóp SABCD có đáy hình vng, SA  (ABCD) (SC, (SAB))

= α Mắp phẳng (P) qua A vuông góc SC chia hình chóp thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

KÝ hiÖu K1 = VSMAQN V2 = V - V1

Gäi O = AC ∩ BD

∆SAC kỴ AN SC

E = SO ∩ AN ⇒ E (P) (P) SC

mà BD SC

BD  AC

BD  SA

⇒ BD  (SAC)

BD ⊂ (SAC)

S

D

C O B

A N M

Q E

⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB  AB (gt)

CB  SA (v× SA  (ABCD))

⇒CB  (SAB) ⇒ (SC, (SAB)) = CSB = α

V1 = 2VSANQ, V = 2VSACB

V1

V = VSANQ VSACB

=SN

SC SQ SB

Tam giác vuông SAC: SA2 = SC.SN ⇒ SN = SA SC Tam giác vuông SAB: SA2 = SB.SQ SQ = SA SB SA2

SB SC¿

V1 V =

SA2 SC2

SA2 SB2 =¿ BC AB (gt)

BC SA (v× SA  (ABCD))

BC SB

Tam giác vuông SBC: cos = SBSC SC = SBcos

Tam giác vuông SAB: SA2 = SB2 - AB2 = SB2 - BC2 = SB2 - SB2tanα cosα −sinα¿2=1−sin 2α

SB2

(1−tanα)

SB.SA cosα

¿2=¿

V1 V =¿

V1 V =

V1 V − V1

= V(1−sin 2α)

V(1−1+sin2α)=

1−sin 2α

Bài 3: SABCD hình chóp tứ giác cạnh a, đờng cao h Mặt phẳng qua AB  (SDC) chia chóp làm hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó.

Bài 4: Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cạnh a M trung điểm CD, N trung điểm A’D’ Tính tỉ số thể tích hai phần (MNB’) chia hình lập phơng

Gi¶i

D

A

B

Q M

C'

B' D'

A' P

E

C

Gỵi ý:

Gäi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phÇn díi thiÕt diƯn ta cã: V1 = VB’ECF - (VEPD’N + VFMQC)

§Ĩ ý: ED’ = a, FC = a

3 , PD’ = 2a

3 , CQ = a Tính đợc V1 = 55a

3 144

V2 = V- V1 = a3 - 55a3 144 =

89a3

144 ⇒ V1 V2

=55

89

Bµi 5: Cho tø diƯn SABC lÊy M, N thc c¹nh SA, SB cho SM MA=

1 , SN

NB=2 Mặt phẳng qua MN // SC chia tứ diện thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

A' C

A

B E

M

N F

Dễ thấy thiết diện hình thang MNEF (với MF // NE) Đặt V = VSABC, V1 = VMNEFCS, V2 = VMNEFAB

V1 = VSCEF + VSFME + VSMNE VSCEF

V = CF CA

CE CB=

1

2 3=

2 VSFME

VSFEA

=SM

SE SE SA=

SM SA =

1

VSFEA V =

SFEA SABC

=SFEA

SCEA

.SCEA

SABC

=FA

CA CE CB=

4

⇒ VSFME V =

1

4 9=

4 27 V VSMNE

VSABE

=SM

SA SN SB=

2

VSABE V =

SABE SABC

=SABE

SCEA

.SCEA

SABC

=EB

CE CE CB=

1

⇒VSABE = 272 V ⇒ V1 = 29 V + 274 V + 272 V = 49 V VV1

=4

5

Bài 6: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M, N, E lần lợt trung điểm BC, CC’, C’A’ Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ (MNE) tạo

B'

C'

C

B A

A' E

M

N A'

I

Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện ngũ giác MNEFI

Gọi V1, V2 tơng ứng thể tích phần phÇn díi cđa thiÕt diƯn, ta cã V1 = VNIBM + VNBB’FI + VNB’C’EF

V2 = VNFA’E + VNAA’FI + VNACMI

So sánh phần tơng ứng ta cã V1 = V2 ⇒ V1

V2 =

Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a {O} = AC  BD, ox  (ABCD) LÊy

S Ox, S O Mặt phẳng qua AC vuông góc (SAD) chia hình chóp

thnh hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần

Dạng Phơng pháp thể tích : Chứng minh ng thc, bt ng

thứC,khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

dựa vào thể tích.

Bµi 1: SABC cã SA = 3a, SA  (ABC), ∆ABC cã AB = BC = 2a, ABC =120o TÝnh D(A,(SBC))

Gi¶i

B A

S

C

M 3a

S∆ABC =

2 AB.BC.sin120o =

2a 2a.√3 = a

3 √3 SSABC =

3 S∆ABC SA=

a2.√3 3a = a

3 √3 KỴ SM BC

BC SA (v× SA  (ABC))

⇒BC  AM ⇒ AM = a √3

∆SAM vuông A có SM = a SSBC = SM.BC = √3 a2

d(A, (SBC)) = 3VSABC

SΔSBC

=3a

3 √3 2√3a2=

3 a

Bài 2: SABC có đáy ABC tam giác cạnh a √3 , SA  (ABC), SA =2a.

`TÝnh d(A, (SBC))

Gi¶i

B A

S

C M

a 2a

S∆ABC =

2 a√3.a√3 sin60o = 3a 2

√3 =

3√3a2 VSABC =

3 SA.S∆ABC = √3a

2 Gọi M trung điểm BC AM  BC

BC SA ⇒BC  SM

AM = a√3 √3

2 =

3a

SAM vuông A có SM2 = SA2 + AM2 = 4a2 +

4 a2 = 25

4 a2 ⇒ SM =

2 a S∆SBC =

2 SM.BC = 5√3

d(A, (SBC)) = 3VSABC SΔSBC

=

3 √3 a

3

5√3 a

2

=3

5 a

Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD cã AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = TÝnh d(A, (BCD)) ?

Gi¶i

C A

B D

4

5

M

Dễ thấy ABC vuông A SABC =

2 AB.AC = VDABC =

3 S∆ABC.DA =

∆DAC cã DC = √2 ∆DAB cã DB =

∆DBC cã BC = BD = DBC cân B, gọi M trung điểm DC BM

DC

BM = √25−8=√17 S∆DBC =

2 BM.DC =

2 √17 √2 = √34 d(A, (DBC)) = 3VDABC

SΔDBC

=12

√34 a

Bµi 4: Cho tø diƯn ABCD có AB = a; CD = b, cạnh l¹i b»ng c TÝnh d(A, (BCD))

A N

B

C

D M

a

ACD = BCD Gọi M trung điểm CD ⇒AM = BM, DC  (ABM)

Gäi N trung điểm AB MN AB

MN2 = BM2 - BN2 = c2 + b2 −

a2 =

4c2

+b2− a2

4 S∆AMN = a

2.√

4c2+b2− a2

2 =

a

4√4c

2

+b2− a2

VABCD = VBCMA =

3 CM.S(∆ABM) =

b

a 4√4c

2

+b2− a2=ab

12√4c

+b2− a2

V∆BCD = BM.CD =

2√c

+b

2

4 b = b

4 √4c2+b2 d(A, (BCD)) = 3VABCB

SΔBCD = ab

4 √4c

+b2−a2 b

4.√4c

+b2

=a√4c

2

+b2− a2

4c2+b2

Bµi 5: Cho tø diƯn ABCD có AB = CD = x cạnh lại b»ng a) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD theo x

b)Tính d(A, (BCD))

Tơng tự

Đáp số: VABCD = x

d(A, (BCD)) = x √ 4+x2=

2x

√4+x2

Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA1 = 2a √5 BAC = 120o Gọi m trung điểm cạnh CC1

Chøng minh r»ng MB  MA1 tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng

(A1BM)

B

A

C

2a

y x

z

M

C1

A1

B1

Đa hệ trục toạ độ A1xyz vng góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớng theo ⃗A

1A

Trơc A1y híng theo ⃗A1C1 Trơc A1x tạo với trục Oy góc 90o nằm MP (A1B1C1)

Toạ độ điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( a√3

2 ;− a

2;0¿ , C1(0; 2a; 0) A(0 ; 0; 2a √5 ), B( a√3

2 ;− a

2;2a √5¿ , C(0; 2a; 2a √5 ) M(0; 2a; a √5 )

⃗BM ( −a√3 ;

5a

2 ; -a √5 )

⃗A

1M (0; 2a; a √5 ), ⃗AB ( a√3

2 ;− a 2; 0)

⃗BM ⃗A

1M = 0+5a2 - 5a2 = (BM  MA1 ) ThÓ tÝch khèi chãp AA1BM b»ng V =

6 | ⃗AB [ ⃗BM,⃗A1M ]|

⃗BM ⃗A1M

= 52a -a √5

3 a



-a √5 a



52a

2a a √5 ; a √5 ; 2a = (9a2√5

2 ;

a2 √15

2 ; − a

2 √3)

⇒VAA1BM =

1 6|

a√3

9a2√5 −

a

a2√15 +0|=

S∆BMA1 =

1

6 BM.A1M = 3a2 Khoảng cách từ A tới (BMA1) b»ng

h =

3V S =

a√5

Bài 7: Cho tứ diện OABC Lấy M nằm tam giác ABC, đờng thẳng qua M // với OA, OB OC cắt mặt OBC, OCA, OAB lần lợt A1, B1, C1 Chứng minh rằng: MA1

OA + MB1 OB +

MC1 OC =1

Gi¶i

H

B

C A

O

K A1

M

Nối M với đỉnh O,A,B,C Khi VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA 1= VMOAB

VOABC

+VMOBC VOABC

+VMOCA VOABC XÐt VMOAB

VOABC

KỴ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK

∆OAH ∾ A1MK ⇒ OAMA

=AH

MK VMOBC

VOABC

=MK

AH = MA1 OA

T¬ng tù ta cã VMOAB

VOABC

=MC1

OC VMOCA

VOABC

=MB1

OB VËy MA1

OA + MB1 OB +

MC1 OC =1

Chøng minh r»ng MA1 AA1 +

MB1 BB1 +

MC1 CC1 +

MD1 DD1 =1

Gi¶i

M

H K A1

A

B

C

D

Nối M với bốn đỉnh tứ diện ABCD ta có: V = VMBCD + VMACD + VMABD+ VMABC 1= VMBCD

V + VMACD

V + VMABD

V + VMABC

V XÐt VMBCD

V

Gäi H, K lần lợt hình chiếu A, M lªn (BCD) ⇒ MK//AH ⇒

MK AH =

MA1 AA1

VMBCD V =

MK AH =

MA1 AA1 T¬ng tù: VMACD

V =

MB1 BB1

; VMABD

V =

MC1 CC1

; VMABC

V =

MD1 DD1

Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc SABCD cạnh SA, SB, SC ta lấy điểm A1, B1, C1 cho SA1

SA = ;

SB1 SB =

1 ;

SC1 SC =

1

Mặt phẳng qua A1, B1, C1 cắt SD D1 Chứng minh r»ng SD1 SD =

2

S A B C D C1 D1 A1 B1

Ta cã VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = V VSA1B1C1

VSABC= SA1 SA SB1 SB SC1 SC =

9 (1) VSA1D1C1

VSADC= SA1 SA SD1 SD SC1 SC = SD1

SD (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc

VSA1B1C1D1 2V =1 9+ SD1 SD T¬ng tù: VSA1B1D1

VSABD= SA1 SA SB1 SB SD1 SD = SD1 SD (4) VSB1C1D1

VSBCD= SB1 SB SC1 SC SD1 SD = SD1 SD (5) Cộng vế với vế (4) (5) ta đợc

VSA1B1C1D1 2V =1 SD1 SD Tõ (3) vµ (6) ta cã SD1 SD = 9+ SD1

SD ⇒ SD1 SD = PhÇn 2.

ThĨ tÝch khèi cÇu, khèi trơ, khèi nãn A/ Lý thut.

-ThĨ tÝch khèi cÇu (Sgk HH12 – Trang 44) -ThĨ tÝch khèi trơ (Sgk HH12 – Trang 50) -ThÓ tÝch khèi nãn (Sgk HH12 – Trang 56)

2/Các công thức:

a)Thể tích khối cầu V = 3πR

3

, R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = Sđáy.h , h: chiều cao

c)ThÓ tÝch khèi nãn V =

3 Sđáy.h , h: chiều cao

B/.Bài tập

ở chủ yếu tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào công thức

Bi 1: Cho lng tr tam giác có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên b Tính thể tích mặt cầu qua đỉnh lăng trụ

Gi¶i

a

C

C' O

O'

A1

A1'

B' B I

A'

-Gọi O O’ tâm ∆ABC ∆A’B’C’ OO’ trục đờng trịn ngoại tiếp ABC vABC

-Gọi I trung điểm OO IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

-Bán kính mặt cầu R = IA Tam giác vuông AOI có: AO =

3AA1=

a√3 =

a√3 OI =

2OO'=

2AA'= b ⇒AI2 = OA2+OI2 = a

2 +

b2 4=

7a2

12 ⇒ AI = a√7 2√3 V=

3πR

3

=4

3π

a3

8 3√

7 3=

a3π 28

72 √ 3=

7πa3

18 √ 3=

√21 a3

54

AI2 = 4a

+3b2

12 ⇒AI=√ 4a2

+3b2

V=

3

3 2 2

4 2

3R 3 8.3 3(4a 3 )b 18 3.(4a 3 )b

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Gi¶i

a O S

M

D C

B A

I

Gọi O tâm hình vuông ABCD Ta cã SO b (ABCD), SO lµ trơc cđa ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30o

Gäi M lµ trung điểm SA

Trung trực SA cắt SO I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

OIMA từ giác nội tiếp SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SM SASO Víi AO = a√2

2 , AS = AO cos 30o=

2 √3

a√2 =

a√2

√3 , SO = SA sin30 o = a

√6 ⇒SI =

a √6a√

2 a √6

= a √2

3 ⇒ VMcÇu = 3πa

32 3√

2 3=

8 9√

2 3a

3

Các tập xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, hỏi

thªm thể tích mặt cầu

Bi 3: Cho hỡnh tr có đáy tâm đờng trịn tâm O O’ tứ giác ABCD hình vng nội tiếp đờng tròn tâm O AA’, BB’ đờng sinh khối trụ Biết góc mặt phẳng (A’B”CD) đáy hình trụ 60o Tính thể tích khối trụ

A' B'

B

A

D C

¿

AD⊥DC A ' D⊥DC

¿{

¿

⇒ADA’ góc (A’B’CD) đáy Do đó: ADA’ = 60o

∆OAD vu«ng cân nên AD = OA = R

∆ADA’ cã h = AA’ = ADtan60o = R √6 V = R2h = R3 √6

Bài 4: Bên hình trụ có hình vng ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn đáy thứ C, D thuộc đờng tròn đáy thứ hai hình trụ mặt phẳng hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45o Tính thể tích khối trụ

Gi¶i

A J

B M'

C' D

O'

O

Gäi I, J lµ trung điểm AB CD

Ta cú: OI AB; IJ cắt OO’ ttrung điểm M OO’ MIO = 45o góc mặt (ABCD) với đáy, đó: O’I = a

2√2 ; R = √

a2

8 +

a2

4=√ 3a2

h = 2OM = a √2 VËy V = R2h = 

3

3 3 . 2

3

8 . 2 16

a

a a  

Bài 5: Một hình trụ có diện tích tồn phần S = 6 Xác định kích thớc

khối trụ để thể tích khối trụ lớn

Gi¶i

STP = 2Rh +2R2 =2R(R+h) = 6 ⇔R(h+R) = ⇔ Rh + R2 = V = R2h = R(3-R2) = -R3 +3R V’ = -3R2 + 3; V’ =0 ⇔ R =

Dựa vào bảng biến thiên ta có VMax R = vµ h =

Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đờng trịn đáy cung α (P) tạo với đáy góc β Cho khoảng cách từ tâm O đáy đến (P) a Tính thể tích khối nón

Gi¶i

O

A E

B S

M

Gọi E trung điểm AB ta có OES= β ; AOB= α VÏ OM (SAB) th× SOM= ta cã:

SO= a

cosβ OE= a sinβ Bán kính đáy R=OA=

OE cosα

2

= a

sinβcosα

ThÓ tÝch khèi nãn lµ:V=

3

2

1

3 3sin .cos .cos a

R h 





 

Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đờng cao SO = h, bán kính đáy = R M ∈ SO

đờng trịn (C)

1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy (C) 2.Tìm x để thể tích lớn nhát

Gi¶i S

(C) M

O

Ta cã SM SO =

R' R ⇔

h− x h =

R' R ⇔R

'

=R

h(h − x) ThÓ tÝch khèi nãn V=

h − x¿2.x=1

3π R2 h2(x

3

−2 hx2+h2x)

1 3πR

'2 SM

=1

3π R2 h2¿ V’=

3π R2 h2[3x

2

−4 hx+h2],

V’ = ⇔ x=h

3

¿

x=h

¿ ¿ ¿

x= h (loại)

Dựa vào bảng biÕn thiªn ta cã: V Max ⇔x = 3h

Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích tồn phần π Với x hình trụ tồn tại? Tính thể tích V khối trụ theo x tìm giá trị lớn V

Gi¶i

Ta cã Stp=Sxq+2Sđ= 2xy+2x2=2(xy+x2)

Theo giả thiết ta có (xy+x2)=2 ⇔xy+x2 =1 ⇔ y = 1− x

2

Khi V = x2y = x(1-x 2) = - x 3+ x

Khảo sát hàm số với x (0,1) ta đợc giá trị lớn V= 2π

3√3⇔x= √3

Bài 9: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, đáy hình trịn tâm O.Trên đờng trịn lấy điểm A cố định điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diện cạnh AM có số đo β khoảng cách t O đến (SAM) a

TÝnh thÓ tÝch khèi nãn theo a, α, β

Giải

Gọi I trung điểm AM

SAM cân nên SI AM

OAM cân nên OI AM

(SOI) AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM SIO =

KỴ OH  (SAM)

(SOI)  (SAM)

⇒ H ∈ SI vµ OH = a Ta cã OI=

OH sinβ=

a

sinβ ;OM= OI cosα

2

= a

cosα 2sinβ

;SO=IO tanβ= a

cosβ

V=

2

2

2 2

1

3 cos cos .sin 3sin .cos cos

2

a a a

SO OM  

 

   

 

Bài 10: Cho mặt cầu đờng kính AB=2R Gọi I điểm AB cho AI=h Một mặt phẳng vng góc với AB I cắt mặt cầu theo đờng tròn (C)

+Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy (C)

+Xác định vị trí điểm I để thể tích đạt giá trị lớn

Gi¶i

B O I

F E

Gọi EFlà đờng kính cua (C) ta có :

IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = √h(2R− h) Thể tích cần tính là:V=

3r

h=πh

2

V’ =

4 Rh−3h2 π 3¿

, V’ =

4

R h

 

Vmax ⇔h=4R

3 hay AI = 4R

3