Hai tiÕp tuyÕn Cx, Dy cña ®êng trßn c¾t nhau t¹i M.. a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB.[r]
(1)Phòng giáo dục đào tạo
yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCSnm hc 2008 - 2009
Môn: Toán
Thi gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biÓu thøc : P = 2x
x - + x2 - 5x
+ −
x - a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất giá trị x để P nguyên.
Câu 2: (5,0 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d):
3x y
2 vµ
(d') : y = - 3x
2 cắt C lần lợt cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C
b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục là cm
Câu 3: (4,0 điểm)
a, Cho số dơng a,b,c thoả m·n
2 2
3 a b c
Chứng minh bất đẳng thức:
1 1
a b c abc b, Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 25y y( 6)
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB; Từ A B ta vẽ hai dây cung AC BD cắt nhau N Hai tiếp tuyến Cx, Dy đờng tròn cắt M Gọi P giao điểm của hai đờng thẳng AD BC
a, Chøng minh PN vu«ng gãc víi AB. b, Chứng minh P,M,N thẳng hàng.
Câu 5: (2,0 ®iĨm)
Chøng minh r»ng: 2000 3
-Hết - Học sinh không đợc sử dụng ti liu gỡ.
Cán coi thi không gii thích thêm.
Phòng giáo dục
đào tạo yên định kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp THCSnăm học 2008 - 2009 Đáp án hng dn chm
Môn: Toán
(2)Câu ý Nội dung Điểm
1 a)
§iỊu kiƯn :
¿ x ≠ ; x ≠ x2 - 5x + ≠
¿{ ¿
x vµ x
P = 2x
x - +
x2 - 5x + − x - = 2x(x - 3)+ −(x - 2)
(x - 2)(x -3) =
2x2 - 7x
+ (x - 2)(x −3) = (2x - 3)(x - )
(x - 2)(x −3) =
2x - x −3 VËy : P = 2x -
x −3 víi x , x
0,5
0,5
1,0
b)
Ta cã P = 2x - x −3 =
(2x - 6)+
x −3 = + x −3 nªn P nguyªn
x 3 nguyên x - íc cña
x - = ¿ x - =
¿ x - = -3
¿ x - = -1
¿ ¿ ¿ ¿
x = ¿ x =
¿ x =
¿
x = ( lo¹i ) ¿
¿ ¿ ¿
VËy c¸c giá trị cần tìm x = ; x = ; x =
0,5 0,5
1,0
Câu ý Nội dung Điểm
a)
b)
C giao điểm d d/ nên tọa độ C thỏa mãn hệ : ¿
2y = 3x + 2y = - 3x
¿{ ¿
¿ 2y = 3x + 4y = 12
¿{ ¿
¿ x = y =
¿{ ¿
VËy C(1 ; 3)
Phơng trình trục Ox y = nên tọa độ A thỏa mãn hệ :
¿ 2y = 3x + y =
¿{ ¿
¿ x = - y =
¿{ ¿
VËy A(- 1; 0)
1,0
(3)2
tọa độ B thỏa mãn hệ :
¿ 2y = - 3x y =
¿{ ¿
¿ x = y =
¿{ ¿
VËy B(3 ; 0)
Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đờng cao tam giác CAB CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm)
dt(ABC) =
2 AB.CH =
2 4.3 = (cm2)
HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm)
HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa đờng cao vừa trung tuyến) ; tam giác vng HCA có :
CA =√AH2+ HC2= √22+ 32= √13 (cm)
chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 13 (cm)
1,5
1,5
C©u a
b
Ta cã
2
2 2
2 2
2( )
1
( )
2
1
(do a, b,c > 0)
1 1
a a b c
a b c ac bc ab
ac bc ab a b c
ac bc ab
abc abc
b c abc
Tõ
2 25 ( 6) x y y
Ta cã : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý phơng trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên
Khi đó: y+3+x y+3-x
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn
Suy sè ( y+3+x ) vµ (y+3-x) cïng tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn
Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau
- 16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta có x= , y=
Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6
Vì phơng trình cho có nghiệm ( x,y) = (5, ; 5, ; 4,
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
C©u
y
x O H
1
3 -1
C
B A
y = 9-3x y = 3x+3
(4)a b
Trong tam giác PAB ta có AC BD đờng cao nên N trực tâm tam giác Do PN đờng cao cịn lại nên vng góc với cạnh AB
Gọi I trung điểm PN IC trung tuyến tam giác vuông PAC nên IPC cân I Do : IPCICP
Tam giác OAC cân O nên : CAOACO
Mặt khác CAOIPC (do có cạnh tơng ứng vuông góc) nªn ACOICP
Ta có AC PC nên OC IC Do IC tiếp tuyến C đờng tròn Tơng tự , ID tiếp tuyến D đờng tròn
Chøng tá I trùng với M nên P,M,A thẳng hàng
2 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5
C©u
5
2
2 1999.2001 1998 2000
2 1998.2000 1997 1999
2 1997.1999 2.4
2 2000
1,0 1,0