Trong thêi ®¹i hiÖn nay, tríc sù ph¸t triÓn kh«ng ngõng cña mäi mÆt x· héi con ngêi cÇn cã nh÷ng nh×n nhËn ®óng ®¾n vÒ sù ph¸t triÓn cña thÕ giíi, cã c¸i nh×n theo nhiÒu chiÒu tríc mét v[r]
(1)Trong thời đại nay, trớc phát triển không ngừng mặt xã hội ngời cần có nhìn nhận đắn phát triển giới, có nhìn theo nhiều chiều trớc vấn đề Chính học sinh cần phải đợc trang bị kiến thức phù hợp,
Một quan điểm dạy học phát huy tối đa khả t độc lập sáng tạo học sinh, dạy cho học sinh cách học, cách t Bài toán “Đờng qua điểm cố định” phần đáp ứng đợc yêu cầu
Trong đề thi học sinh giỏi, thi vào trờng chun, lớp chọn thờng có tốn liên quan đến tìm điểm cố định, chứng minh đờng qua điểm cố định Thực tế cho thấy tốn khó, học sinh thờng khó khăn gặp phải toán dạng
Bài toán “Đờng qua điểm cố định” địi hỏi HS phải có kĩ định cộng với đầu t suy nghĩ, tìm tịi nhng đặc biệt phải có phơng pháp làm
Tìm hiểu nội dung tốn Dự đốn điểm cố định Tìm tịi hớng giải Trình bày li gii
Tìm hiểu toán:
ã Yu tố cố định.( điểm, đờng … ) • Yếu tố chuyển động.( điểm, đờng … )
• Yếu tố khơng đổi.( độ dài đoạn, độ lớn góc … )
• Quan hệ khơng đổi ( Song song, vng góc, thẳng hàng … )
Khâu tìm hiểu nội dung tốn quan trọng Nó định hớng cho thao tác Trong khâu đòi hỏi học sinh phải có trình độ phân tích toán, khả phán đoán tốt Tuỳ thuộc vào khả đối tợng học sinh mà giáo viên đa hệ thống câu hỏi dẫn dắt thích hợp nhằm giúp học sinh tìm hiểu tốt nội dung toán Cần xác định rõ yếu tố cố định, không đổi, quan hệ không đổi yếu tố thay đổi, tìm mối quan hệ yếu tố
Dự đốn điểm cố định:
(2)Tìm tòi h ớng giải
Từ việc dự đốn điểm cố định tìm mối quan hệ điểm với yếu tố chuyển động, yếu tố cố định yếu tố không đổi Thông thờng để chứng tỏ điểm cố định ta điểm thuộc hai đờng cố định, thuộc đờng cố định thoả mãn điều kiện (thuộc tia cách gốc đoạn không đổi, thuộc đờng tròn mút cung không đổi ) thông thờng lời giải toán thờng đợc cắt bỏ suy nghĩ bên ta thờng có cảm giác lời giải có thiếu tự nhiên, khơng có tính thuyết phục trình bày ta cố gắng làm cho lời giải mang tính tự nhiên hơn, có giá trị việc rèn luyện t cho học sinh
mét vµi vÝ dơ:
Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự Vẽ tia Cx vng góc với AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E cho CE
CB= CA
CD=3 Đờng tròn ngoại tiếp
tam giác ADC cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác BEC H khác C Chứng minh rằng: Đờng thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn thẳng AB
Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: Đoạn AB * Yếu tố khơng đổi:
+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 đó sđ cung BC, cung CA khơng đổi
+ B, D, H th¼ng hàng; E, H, A thẳng hàng
D oỏn im cố định:
khi C trùng B (d) tạo với BA góc 600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với tia BA góc 600
khi C trùng A (d) tạo với AB góc 300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với tia AB góc 300
m
h D
E
b a
(3)By Az cắt M M điểm cố định? Nhận thấy M nhìn AB cố định d-ới 900 => M thuộc đờng trịn đờng kính AB.
T×m h íng chøng minh:
M thuộc đờng trịn đờng kính AB cố định cần chứng minh sđ cung AM khơng đổi thật vậy:
s® cung AM = 2s®Gãc MCA=2s®Gãc CHA =2s®Gãc CDA = 1200
Lêi gi¶i:
Ta cã tgD=CA
CD=√3 => Gãc D=600
cã Gãc CHA = Gãc CDA = 600
G/s đờng trịn đờng kính AB cắt CH M
ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA khơng đổi lại có đờng trịn đờng kính AB cố định vậy: M cố định CH qua M cố định
Bài 2: Cho đờng trịn (O) đờng thẳng (d) nằm ngồi đờng trịn I điểm di động (d) Đờng tròn đờng kính OI cắt (O) M, N Chứng minh đờng trịn đờng kính OI ln qua điểm cố định khác O đờng thẳng MN qua điểm cố định
H
íng dÉn:
do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trục đối xứng hay đờng thẳng qua O v vuụng gúc vi (d)
Giải:
Kẻ OH vuông góc với (d) cắt MN E
ta có H cố định H thuộc đờng trịn đờng kính OI đờng trịn đờng kính OI ln qua K cố định
Xét tam giác OEF tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900 Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH đó: OF/ OE = OH/ OI => OE OH = OF OI
Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đờng trịn đờng kính OI )
d
E F
H N M
O
(4)Xét tam giác vng OMI có đờng cao ứng với cạnh huyền MF nên: OF OI = OM2
Do đó:
2
OM OE
OH
= số vây E cố định MN qua E cố định
Bài 3: Cho đờng tròn (O; R) dây AB cố định C điểm chuyển động đờng tròn M trung điểm AC Chứng minh đờng thẳng kẻ từ M vng góc với BC ln qua điểm cố định
Gi¶i:
Vẽ đờng kính BD => D cố định
Giả sử đờng thẳng qua M vng góc với BC cắt AD I
DÔ thÊy gãc BCD = 900 hay MI // CD
Xét tam giác ACD có MC = MA; MI // CD => I trung điểm DA cố định hay đờng thẳng qua M vuông góc với BC qua I cố định
Bài 4: Cho tam giác ABC hai điểm M, N thứ tự chuyển động hai tia BA, CA cho BM= CN Chứng minh đờng trung trực MN qua điểm cố định
H
íng dÉn :
Khi M B N C đờng trung trực MN trung trực BC Vậy điểm cố định nằm đờng trung trực BC
I d
M O
A B
C
N I
C B
A
(5)I
M C
D
A O
B P
Gi¶i: Gi¶ sư trung trùc cđa BC cắt trung trực MN I
Dễ thấy tam gi¸c IMB = tam gi¸c INC (c-c-c) vËy gãc MBI = gãc NCI
Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc đ-ờng tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực BC cố định Vậy I cố định hay trung trực MN qua I cố định
Bài 5: Cho đờng tròn (O; R) dây cung AB = R √3 Điểm P khác A B Gọi (C; R1) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) A.Gọi (D; R2) đờng tròn qua P tiếp xúc với đờng tròn (O; R) B Các đờng tròn (C; R1) (D; R2) cắt M khác P Chứng minh P di động AB đ-ờng thẳng PM ln qua điểm cố định
Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB
* Yếu tố khơng đổi: DPCO hình bình hành Sđ cung BP (D), sđ cung AP (C), Gúc BMA khụng i
Dự đoán
Khi P A PM tiếp tuyến (O; R) => điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) A
Khi P B PM tiếp tuyến (O; R)=> điểm cố định nằm tiếp tuyến (O; R) B
Do tính chất đối xứng hình => Điểm
cố định nằm đờng thẳng qua O vng góc với AB => Điểm cố định nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB
Lêi gi¶i:
Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM I AB = R √3 => sđ cung AB (O) 1200 tam giác BDP cân góc OBA = góc DPB
tam giác OAB cân góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung BP (D) = sđ cung BA (O) = 1200
(6)ta cã gãc BMP =
2 s® cung BP cña (D) = 600
ta cã gãc AMP =
2 s® cung AP cđa (C) = 600
VËy gãc BMA = gãc BMP + gãc AMP = 1200 = gãc BOA
xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOA
VËy
2 s® cung IA = gãc IMA = gãc PMA =
2 s® cung PA cđa (C) = 1200
.Vậy I thuộc đờng tròn ngoại tiếp tam giác AOB sđ cung IA = 1200 => I cố định hay MP qua I cố định
Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vng MADE MBHG Hai đờng trịn ngoại tiếp hai hình vng cắt N Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển AB
H
ớng dẫn:
Tơng tự
Giải:
Giả sử MN cắt đờng trịn đờng kính AB I Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội tiếp chắn cung AM đờng trịn ngoại tiếp hình vng AMDE)
Ta có Góc BNM = Góc BGM = 450( góc nội tiếp chắn cung BM đờng trịn ngoại tiếp hình vng MBGH)
=> gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 900 => N thuộc đờng trịn đờng đờng kính AB sđ cung AI = 2sđGóc ANI
=2s®Gãc ANM = 900
Vậy I thuộc đờng tròn đờng kính AB số đo
cung AI 900=> I cố định hay MN qua I cố định.
Bài 7: Cho hình vng ABCD có tâm O Vẽ đờng thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC thứ tự E, F Từ E, F lần lợt vẽ đờng thẳng song song với BD, CA chúng cắt I Qua I vẽ đờng thẳng (m) vng góc với EF Chứng minh (m) ln qua điểm cố định (d) quay quanh O
I N
H G
M D E
(7)H
íng dÉn:
Khi E A HI qua A vuông góc víi AC
khi E D th× HI qua B vuông góc với BD
do tớnh cht i xứng hình vẽ nên điểm cố định nằm đờng trung trức AB
dự đoán: điểm cố định K nằm đờng trịn đờng kính AB
Gi¶i:
DƠ thÊy I thc AB
Cã góc IHE + góc IAE = 1800 nên tứ giác IHEA néi tiÕp
=> gãc IHA = gãc IEA = 450 Cã gãc IHF + gãc IBF = 1800 nên tứ giác IHFB nọi tiếp
=> gúc BHI = góc BFI = 450 Vẽ đờng trịn đờng kính AB Ta có góc BHA = góc IHA + góc
BHI = 900 nên H thuộc đờng tròn đờng kính AB. Giả sử HI cắt đờng trịn đờng kính AB K ta có: Sđ cung KA = sđ góc KHA = sđ góc IHA = 900
Do K thuộc đờng trịn đờng kính AB sđ cung KH = 900 nên K cố định hay HI qua K cố định
Bài 8: Cho góc vng xOy Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động cho OA+ OB = a ( a độ dài cho trớc) Gọi G trọng tâm tam giác OAB (d) đờng thẳng qua G vng góc với AB Chứng minh (d) qua điểm cố định
k
H
I F
O
D C
B A
(8)Gỵi ý:
Khi B D (d) đờng thẳng vung góc với OD O cách (d) khoảng
3 a
khi OB = OA =
2 a (d) phân
giác góc xOy
do tính chất đối xứng dự đốn điểm cố định thuộc tia phân giác góc xOy
Giải:
Trên Ox, Oy thứ tự lấy điểm C, D cho OC = OD = a
Phân giác góc xOy cắt CD N, cắt (d) t¹i I
rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD NF vng góc với AB Xét tam giác ONF có GI // NF => OG
OF = OI ON=
2
3 ⇒ OI= 3ON=
1
3a = h»ng sè
Vậy I cố định hay (d) qua điểm cố định I
Bài 9: Cho góc vng xOy Trên Ox lấy điểm A cố định Trên Oy lấy điểm B di động Đờng tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự M, N Chứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định
g ỵi ý:
Tam giác BNM cân B O góc B → 900 nên góc MNB → 450 ú im c nh nm trờn
phân giác cđa gãc xOy
khi B → v« cïng xa bán kính (I)
2 OA
đó MN đờng thẳng song song với Ox cách Ox khoảng
(9)Gi¶i:
Giả sử tia phân giác Om góc xOy cắt MN F ta có tam giác BMN cân đó: ∠ONM=90 °+1
2∠B
l¹i cã ∠AIO=90°+1 2∠B
VËy: ∠ONM = ∠AIO
Dễ thấy tam giác AIO tam giác FNO đồng dạng Vậy:
OF OA=
ON
OI =cos∠ION=
√2=> OF= OA
√2 = h»ng sè
Vậy F cố định hay MN qua F cố định
Bài 10: Cho đoạn thẳng AB điểm M đoạn thẳng Từ M vẽ tia Mx vng góc với AB Trên Mx lấy hai điểm C; D cho MC= MA; MD = MB Đờng tròn tâm O[1] qua điểm A, M, C đờng tròn tâm O[2] qua điểm B, M, D cắt điểm thứ hai N Chuứng minh đờng thẳng MN qua điểm cố định M chuyển AB
(T¬ng tù bµi 6)
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự vẽ đờng tròn (O) thay đổi qua A B Từ điểm P cung lớn AB vẽ đờng kính PQ cắt AB D.Tia CP cắt đờng trịn điểm thứ hai I
Chứng minh đờng trịn (O) thay đổi QI ln qua điểm cố định
Gi¶i:
Giả sử QI cắt AB H ta có tam giác CIH tam giác CDP đồng dạng đó: CI
CH= CD CP ⇒ CI CP=CH CD
l¹i cã CI CP=CB.CA
h
i p
q d
(10)VËy CH CD = CB CA
=> CH=CB CA
CD = h»ng sè
=> H cố định hay đờng thẳngQI qua H cố định
Bài 12: Cho đờng tròn (O; R) có dây cung CD Trên tia đối tia DC lấy M Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Chứng minh M thay đổi AB ln qua điểm cố định
Gợi ý: M → vơ xa AB trở thành đờng kính điểm cố định nằm đờng thẳng qua O vng góc với CD
Giải: Kẻ đờng thẳng qua O vng góc với CD cắt đờng thẳng AB K ta có: OH.OK = OI.OM = OB2 = số mà OH khơng đổi OK khơng đổi hay AB qua K cố định
Bài 13: Cho đờng tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đờng tròn, từ M kẻ MH vng góc với AB (H thuộcAB), gọi E, F lần lợt hình chiếu vng góc H MA, MB Chứng minh đờng thẳng qua M vng góc với EF ln qua điểm cố định M thay đổi đờng trịn
Gi¶i:
Giả sử đờng thẳng qua M vuong góc với EF cắt đờng trịn O I
I d
F
E
h o
B A
m
i h
k a
B
o
c D
(11)Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp góc AMH = góc EMH = góc EFH lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tơng ứng vng góc)
ta cã
2 s® cung IB = s® gãc IMB
2 s® cung MB = s® gãc MAB
lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 sđ cung IM = 1800 hay MI đờng kính đờng trịn (O) MI qua điểm cố định O
Bài 14: Cho đờng tròn (O) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đờng tròn (O), ( A khác B C) Tia phân giác góc ACB cắt đờng trịn (O) điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD cho DI = DB Chứng minh đờng thẳng AI qua điểm cố định
Gi¶i:
giả sử AI cắt đờng trịn (O) G góc ACD = góc BCD => cung AD = cung DB => AD = DB mà DB = DI nên DA = DI => Tam giác DAI cân góc DAI = góc DIA lại có: góc DAI =
2 s® cung DG
gãc DIA =
2 (s® cung AD + s®
cung CG)
VËy s® cung DG = s® cung AD + s® cung CG
hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung AD sđ cung BG = sđ cung CG hay G điểm cung nhỏ BC đờng tròn (O) Vậy AI qua điểm cung BC cố định
Bài 15: Cho đờng trịn (O) có hai đờng kính AB CD vng góc với I đoạn CD AD, AC lấy hai điểm M, N cho I trung điểm MN Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác AMN ln qua điểm cố định khác A
G i
D
o
B C
(12)Giải:
Tam giác AMN vuông A => IA lµ trung tuyÕn øng
với cạnh huyền => IA = IM = IN lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN qua B cố định
Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự Một đờng trịn (O) thay đổi nhng qua B C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đờng tròn (O) Đờng thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần lợt H K Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK qua hai điểm cố định
gi¶i:
Qua O Kẻ đờng thẳng vng góc với BC I ta có I trung điểm BC nên I cố định
l¹i cã tø gi¸c OHKI néi tiÕp ( gãc OHK = gãc OIK = 900) => gãc IOH = gãc
HKA hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH =>
AK AH=
AO
AI ⇒AK AI=AO AH
có tam giác ONA vng, đờng cao NH => AO AH=AN2
ta cã AN2
=AB AC
m n
b
a
C i d
k h
m
n
I
C B A
(13)F
E o2 o1
C B
A
D
vËy: AK AI=AB AC⇒AK=AB AC
AI = số => K cố định
Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác OHK qua hai điểm cố định I, K
Bài 17: Cho tam giác ABC điểm D tuỳ ý BC Vẽ đờng tròn (O1) qua D tiếp xúc với AB B đờng tròn (O2) qua D tiếp xúc với AC C, hai đờng tròn (O1) (O2) cát E khác D Chứng minh D di động BC đ-ờng thẳng DE qua điểm cố
định
Gi¶i:
Giả sử DE cắt đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC F
ta cã: gãc BED = góc ABC ( góc nội tiếp góc tạo bới tia tiếp tuyến dây cung chắn cung BD cđa (O1))
T¬ng tù gãc CED = gãc ACB
mµ gãcABC + gãcACB + gãc BAC =1800 nªn gãcBEC + gãc BAC = 1800
do tứ giác ABEC nội tiếp hay E thuộc đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vậy sđ cung BF = sđ góc BEF = 2sđ gócBED =2sđ góc ABC = hsố mà đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đờng thẳng DE qua F cố định
(14)gi¶i:
Dễ thấy tứ giác MNOP nội tiếp Kẻ OK vng góc với AB ( K thuộc AB) => K cố định tứ giác MPOK nội tiếp hay điểm MNKOP thuộc đờng tròn
Vậy đờng tròn ngoại
tiếp tam giác MNP qua điểm cố định O, K
Bài 19: Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB điểm C chạy nửa đ-ờng tròn.Vẽ đđ-ờng tròn (I) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đđ-ờng kính AB D Chứng minh đờng thẳng CD qua điểm cố định C di chuyển nửa đờng tròn
Gỵi ý:
do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm đờng thẳng qua O vng góc với AB Kẻ đờng thẳng qua O vng góc với AB cắt CD K Ta phải chứng minh K cố định cách K thuộc đờng cố định
Gi¶i:
ta có ID song song với OK nên Tam giác ICD Tam giác OCK đồng dạng đó: IC
ID= OC
OK mµ IC = ID
nên OC = OK hay K thuộc đờng tròn d
k
p
n o
B
A m
K I
D
O A
(15)(O) Vậy CD qua K cố định
Bài 20: Cho đờng tròn (O) điểm A O nằm đờng tròn Một đờng thẳng thay đổi qua A cắt (O) M N Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác OMN ln qua điểm cố định khác O
H
ớng dẫn: Do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm đờng thẳng OA G/s đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN cắt đờng thẳng OA D ta phải chứng minh D cố định cách OD khơng đổi
Gi¶i:
Dễ thấy tam giác OMA đồng dạng với tam giác ODM OM
OA = OD
OM => OD= OM2 OA =
R2 OA =
hsố Vậy D cố định hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua D cố định
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC Điểm D di động cạnh BC Gọi (E), (F) lần lợt hai đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABD, ACD Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua điểm cố định khác A
Gỵi ý:
Khi D B F tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi D C E tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF có hai vị trí qua I
O
D
M A
N
I
F E
A
(16)Dự đoán điểm cố định I Ta phải chứng minh I nằm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF hay tứ giác AEIF ngoại tiếp
Lêi giải sơ l ợc:
Góc ACD = Góc AFE =
2 Gãc AFD ( gãc ë tâm góc nội tiếp (F))
Góc AIE = Gãc ACB =
2 Gãc AIB( gãc tâm góc nội tiếp (I))
Vy Góc AIE = Góc AFE nên tứ giác AFIE nội tiếp hay đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF qua I cố định