CÂY (lý THUYẾT đồ THỊ SLIDE)

Nguyễn Cam –Chu Đức Khánh, Lý thuyết đồ thị - NXB Trẻ Tp HCM, 1998  Kenneth H Rosen: Discrete Mathematics and its Applications, Edition, McGraw Hill, 2010  Định nghĩa: Cây (Tree), gọi tự (free tree) đột đồ thị vô hướng liên thơng khơng có chu trình Ví dụ: T1 T2 sau T1 T2  Định lý 1: Giữa đỉnh T ln có đường T nối chúng C/m: Xét đỉnh x, y T (x≠y), T liên thơng nên có đường nối x y Giả sử có đường p1,p2 (p1≠p2) x y p1: x=v0,v1, ,vi, ,vk1,…,vj,vj+1,…,vj+m=y p2: x=v’0,v’1,…,v’i,…,v’k2,…,v’j,v’j+1…,v’j+m=y Với i: số lớn thỏa: vk=v’k, k, 0≤k ≤i Và j: số nhỏ thỏa: vr=v’r, r, j≤r ≤j+m  Do p1≠p2 nên phải có đỉnh a p1 khơng nằm p2 phải có đỉnh b p2 không nằm p1 a vi x=v0 vj y p2 b vi vj x=v0 y b Trong T có chu trình Định nghĩa: Cây có gốc (rooted tree) có hướng, chọn đỉnh gốc (root) cạnh định hướng cho với đỉnh ln có đường từ gốc đến đỉnh Ví dụ: root Một tự chọn đỉnh làm gốc để trở thành có gốc root Cây có gốc Xét xây có gốc T Mức đỉnh: Khoảng cách từ gốc đến nút - Chiều cao cây: Mức lớn đỉnh root x Mức Mức y Mức Mức Chiều cao - Nếu (xy) cạnh T: ta gọi x đỉnh cha (parent) y, y đỉnh (child) x - Lá (leaves): Những đỉnh - Đỉnh (internal vertices): đỉnh có - Định nghĩa tính chất (tt) Định nghĩa: Tập hợp đơi khơng có đỉnh chung gọi rừng (Forest) rừng (forest): gồm nhiều khơng có đỉnh chung Mọi đỉnh x mà gốc con, Khi xóa đỉnh x khỏi ta rừng Định nghĩa tính chất (tt) Định lý 2: Nếu có n đỉnh có m=n-1 cạnh C/m: Ta chọn nút làm gốc để có • gốc Với có đỉnh (n=1), số cạnh 0, nghĩa • là: Giảm=n-1 sử có k đỉnh có k-1 cạnh đúng, • Xét có k+1 đỉnh xét đỉnh v bất kỳ, loại bỏ v với cạnh nối đến v (chỉ có cạnh nối đến v), đồ thị T’ lại có k đỉnh  T’ có k-1 cạnh  T có k cạnh • Theo ngun lý quy nạp, “một có n đỉnh có m=n-1 cạnh” với n (n>=1) Định nghĩa tính chất (tt) Ví dụ: Cây có 11 đỉnh  có 11-1=10 cạnh 10 12 18 10 11 58 12 18 8 18 4 10 10 12 11 11 59 Mã tiền tố (prefix code)  Thuật thoát Huffman  60 ◦ Cho X tập hữu hạn ký hiệu: Ví dụ: X={a,b,c,d,e,f} ◦ M tin gồm ký hiệu lấy từ X theo xác suất biết trước Ví dụ: M gồm 105 kí hiệu với tần suất xuất bảng sau: Ký hiệu a b c d e f Tần suất (%) xuất 10 12 20 10 ◦ Cần mã hóa kí hiệu X chuỗi bit cho chiều dài tin ngắn nhất? 61  Cách 1, dùng tối thiểu bit/1 ký hiệu (2 3≥6) Ký hiệu Mã a b c d e f 000 001 010 011 100 10 Tổng chiều dài M là: 3×105 = 300 000 bit 62  Cách 2: Ký hiệu a b c d e f Mã 001 011 010 000 101 Tổng chiều dài M là: (1×45%+4×10%+3×12%+3×3%+3×20% +4×10%)×105 =230 000 bit ≤ 300 000 bit 63 Nhận xét:Với cách mã hóa khơng cho phép mã ký hiệu tiền tố (prefix) mã ký hiệu khác giải mã Cách mã gọi mã tiền tố (prefix code)  Ví dụ: Xét cách mã hóa sau:  Ký hiệu a b c d e f Mã 01 00 11 10 Trong đó: chuỗi mã hóa a tiền tố của chuỗi mã hóa b c - Xét tin M gồm kí hiệu M=aac Bản mã: C=0000  Không thể giải mã 64  Một mã tiền tố biểu diễn nhị phân 100 55 33 0 d 10 b 45 a 22 13 Nút lá: ký hiệu X Nhánh/cạnh: 0: đến trái 1: đến phải Chuỗi bit đường từ gốc đến mã ký hiệu tương ứng 20 e 10 f 12 c Kí hiệu a b c d e mã 0001 011 0000 001 f 010 65 Procedure Huffman(X: kí hiệu với tần suất ni, i=1,2,…,n) Begin F:=rừng gồm n có gốc, T i chứa đỉnh gán trọng số w(Ti) While Begin - Tìm F (Ti Tj) cho gốc chúng (y z) có trọng số nhỏ - Nối y z với đỉnh u để thành T có gốc u (nghĩa T i trái, Tj phải mới) - Gán nhãn cạnh đế Ti cạnh đến Tj - w(u)=w(y)+w(z) end End 66  Định lý: Khi giải thuật kết thúc, mã nhận tối ưu Ví dụ: M gồm 105 kí hiệu với tần suất xuất bảng sau: Ký hiệu a b c d e f Tần suất (%) xuất 45 10 12 20 10 67 Ví dụ: M gồm 105 kí hiệu với tần suất xuất bảng sau: Ký hiệu a b c d e f Tần suất (%) xuất 10 12 20 10 13 d 10 b 68 Ký hiệu a b c d e f Tần suất (%) xuất 10 12 20 10 22 13 d 10 b 10 f 12 c 69 Ký hiệu a b c d e f Tần suất (%) xuất 10 12 20 10 33 22 13 d 20 e 10 b 10 f 12 c 70 Ký hiệu Tần suất (%) xuất a B c 45 12 d e f 20 10 55 33 13 d 22 20 e 10 f 12 c 10 b 71 100 55 33 0 d 10 b a 22 13 45 20 e 10 f 12 c Kí hiệu a b c d e f mã 0001 011 0000 001 010 72 ... 5 9 42  Đồ thị có trọng số: Là đồ thị cạnh (cung) gán thêm số thực gọi trọng số (weight) cạnh (cung) Kí hiệu: c(e): Trọng số cạnh e c(G): Trọng số đồ thị G B A D C 43  Ma trận kề đồ thị có trọng... Khánh, Lý thuyết đồ thị - NXB Trẻ Tp HCM, 1998  Kenneth H Rosen: Discrete Mathematics and its Applications, Edition, McGraw Hill, 2010  Định nghĩa: Cây (Tree), gọi tự (free tree) đột đồ thị vô... r Kết duyệt theo postorder? Ví d ụ: 21 Cho đồ thị vô hướng G Cây T gọi bao trùm G T≤G T chứa đỉnh G Ví dụ:  3 5 G Một bao trùm G 22  Định lý: Đồ thị G có bao trùm  G liên thông B A C D G