tiep tuyen hay

Tiếp tuyến I. Ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến 1. Viết phơng trình tiếp tuyến tại 1) Cho (C m ): y= x 3 +mx 2 -m-1. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C m ) tại các điểm cố định của (C m ). 2) Cho (C) y=x 3 +1-k(x+1).Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy. Tìm k để (t) chắn trên hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8. 3) Cho (C):y=-x 4 +2x 2 . Viết phơng trình tiếp tuyến tại A( 2 ; 0). 4) Cho (C): 4 9 2 4 1 24 = xxy . Viết phơng trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox. 5) Cho (C): 3 1 + = x x y . Tìm tọa độ các giao điểm của các tiếp tuyến vuông góc với (d): y=x+ 2009 6) Cho (C): 1 22 2 + ++ = x xx y . a) Điểm A thuộc (C) với x A =a. Viết phơng trình tiếp tuyến (t a ) tại A. b) Tìm a để (t a ) đi qua B(1;0). CMR: có hai giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán và hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc nhau. 7) Cho đồ thị (C): 2 212 xxy ++= . Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với đờng thẳng: y=-1. 2. Viết phơng trình tiếp biết tiếp tuyến kẻ từ 1) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 4; 12 19 đến (C): y=2x 3 -3x 2 +5. 2) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 2; 9 23 đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. 3) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A 1; 3 2 đến (C): y=x 3 -3x+1. 4) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(2; 0) đến (C): y=x 3 -x-6. 5) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(3; 0) đến (C): y=-x 3 +9x 6) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y=2x 3 +3x 2 -1. 7) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. 8) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;-2) đến (C): y=x 3 -3x 2 +2. 9) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;2) đến (C): y=x 3 -3x 10)Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;-1) đến (C): y=2x 3 +3x 2 -1. 11)Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;3) đến (C): y=3x-4x 3 . 12) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1; 4 5 ) đến (C): 1 1 2 + ++ = x xx y . 13) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(-1;0) đến (C): 1 1 2 + ++ = x xx y . 14) Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua A(1;0) đến (C): 1 22 2 + ++ = x xx y . 3. Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc 1) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 , biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: mxy += 3 1 . 2) Cho (C): y=x 3 -3x+7. a) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-1 b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2 9 1 += xy . c) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: y=2x+3 một góc 45 0 . 3) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=-x 3 +3x biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng: y=-9x+1. 4) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 5y- 3x+4=0. 5) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=x 3 -3x 2 +2, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: xy 3 1 = . 6) Cho đồ thị (C): y=2x 3 -3x 2 - 12x- 5. a) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng:y=6x-4 b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: 2 3 1 += xy . c) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đờng thẳng: 2 2 1 += xy một góc 45 0 . 7) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C): 42 3 1 23 += xxxy a) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc k=-2. b) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 60 0 . c) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với chiều dơng Ox một góc 15 0 . d)Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với Ox một góc 75 0 . e)Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y=-x+2 f) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng: y= 2x-3. g) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng y=3x+7 một góc 45 0 . h) Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tạo với đờng thẳng 3 2 1 += xy một góc 30 0 . 8) Cho đồ thị (C): 56 2 += xxy . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng y=2x-1 9) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): 1 1 2 + = x xx y song song với đờng thẳng y=-x. II. Các dạng toán liên quan đến tiếp tuyến 1. Các dạng toán liên quan đến bài toán cơ bản 1 Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt (C) tại một điểm. 1) Cho A(x 0 ;y 0 ) thuộc đồ thị (C): y=x 3 -3x+1. Tiếp tuyến với (C)tại A cắt đồ thị tại điểm B khác A.Tìm tọa độ điểm B. 2) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=x 3 - 3x-2. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng. 3) Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C) y=ax 3 + bx 2 +cx+d. Các tiếp tuyến của (C) tại A, B, C cắt đồ thị (C) tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng A 1 , B 1 , C 1 thẳng hàng Dạng 2: Cho hàm số y=ax 4 +bx 2 + c (C). Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M. 1) Tìm M để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M. 2) Gọi I là một điểm liên quan đến P, Q. Tìm quỹ tích điểm I 1) Cho (C): 2 5 3 2 1 24 += xxy a) Gọi (t) là tiếp của (C) tại M với x M =a. CMR: Hoành độ các giao điểm của (t) với (C) là nghiệm của phơng trình: (x-a) 2 (x 2 +2ax+3a 2 -6)=0 b) Tìm a để (t) cắt (C) tại P, Q phân biệt khác M. Tìm quỹ tích trung điểm I của PQ. 2) Cho (C): y=x 4 -2x 2 . Gọi (d) là tiếp tuyến bất kỳ của (C) tại M thuộc (C). Tìm M để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt P, Q khác M khi đó tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác OPQ Dạng 3: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = . Gọi d 1 , d 2 là hai tiệm cân của (H), d là tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M.A,B là giao điểm của d với d 1 ,d 2 và I là giao điểm của d 1 và d 2 . 1) CMR: M là trung điểm của A, B 2) CMR diện tích tam giác IAB= const. 3) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 1) Cho (C): 32 54 + = x x y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a) CMR: M là trung điểm của A, B b) CMR diện tích tam giác IAB= const. c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2) Cho (C): 3 13 + = x x y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a) CMR: M là trung điểm của A, B b) CMR diện tích tam giác IAB= const. c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 3) Cho (C): 22 43 2 + = x xx y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a) CMR: M là trung điểm của A, B b) CMR diện tích tam giác IAB= const. c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 4) Cho (C): 2 52 2 + + = x xx y và điểm M thuộc (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B. a) CMR: M là trung điểm của A, B b) CMR diện tích tam giác IAB= const. c) Tìm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất. 2. Các bài toán liên quan đến bài toán 2 Dạng 1: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho từ M kẻ đợ p tiếp tuyến đến (C). 1) Cho (C): y=x 3 -3x 2 +2. Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua M nằm trên đồ thị (C). 2) Cho (C): y=x 3 + ax 2 +bx+c. Tìm các điểm M thuộc (C) để kẻ đúng đợc một tiếp tuyến đến đồ thị. Dạng 2: Cho hàm số y= ax 3 + bx 2 +cx+ d (C) và đờng thẳng d: += xy . Tìm M thuộc d sao cho từ M kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 1) Cho (C): y=x 3 -3x 2 +2. Tìm trên đờng thẳng y=-2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 2) Cho (C): y=x 3 -12x+12. Tìm trên đờng thẳng: y=-4 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3) Cho (C): y=x 3 -6x 2 +9x-1. Từ một điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng x=2 kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến (C). 4) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C):y=x 3 +3x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 5) Cho (C): y=-x 3 +3x 2 -2. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 6) Cho (C): y=x 3 -3x. Tìm trên đờng thẳng: x=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). 7) Cho (C): y=x 3 -3x. Tìm trên đờng thẳng: y=2 các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Dạng 3: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = và d: += xy . Tìm M thuộc (d) sao cho từ M kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 1) Tìm trên đờng thẳng x=1 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C): x xx y 23 2 + = . 2) Cho (C): 1 2 = x x y . Tìm trên đờng thẳng y=4 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 . 3) Cho (C): 1 12 2 + = x xx y . Tìm trên đờng thẳng y=7 các điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 45 0 4) Cho (C): 1 2 2 ++ = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc đúng một tiếp tuyến đến đồ thị. 5) Cho (C): 1 1 2 + = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị. 6) Cho (C): 2 2 2 + + = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Ox kẻ đợc hai tiếp tuyến đến đồ thị. 7) Cho (C): 1 33 2 + ++ = x xx y . Tìm các điểm A thuộc Oy kẻ đợc ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (C). Dạng 4: Cho (H): 0 xx bax y + = hoặc 0 2 xx cbxax y ++ = . Tìm quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (H) 1)Cho (C): 1 2 = x x y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) 2)Cho (C): 1 22 2 + = x xx y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) 3)Cho (C): 2 33 2 + ++ = x xx y . Tìm quỹ tích các điểm trên mặt phẳng tọa độ kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc nhau đến (C) 3. Các dạng toán liên quan đến hệ số góc Dạng 1: Cho (C): y= f(x) và đờng thẳng d: += xy . Tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tiếp tuyến của (C) tại A, B vuông góc nhau. 1. Cho (C m ) :y=f(x)= x 3 + 3x 2 +mx +1 a. Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y=1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D, E vuông góc nhau. 2. Cho (C m ) :y=f(x)= x 3 + mx 2 +1 a. Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y=-x+1 tai ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E. b. Tìm m để các tiếp tuyến của (C m ) tại D, E vuông góc nhau 3. Cho hàm số (C): y= x 3 - 3x. a. CMR: Đờng thẳng d m : y= m(x+ 1)+ 2 luôn cắt đồ thị (C) tại A cố định. b. Tìm m để d m cắt (C) tại A, B, C phân biệt sao cho các tiếp tuyến tại B, C vuông góc với nhau 4. Cho (C):y=-x 4 +2mx 2 -2m+1. Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1; 0) vuông góc nhau. 5) Cho (C m ): mx mmxx y + + = 2 2 . a) CMR: Nếu (C m ) cắt trục hoành tại x=x 0 thì tiếp tuyến của (C m ) tại điểm có hoành độ x 0 có hệ số góc là mx mx k + = 0 0 0 22 . b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc nhau. Dạng 2: Cho hàm số y= f(x) (C). Tìm M thuộc (C) sao cho: 1) Tiếp tuyến của (C) tại M song song với đờng thẳng d: += xy . 2) Tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đờng thẳng d: += xy . 3) Tiếp tuyến của (C) tại M tạo với đờng thẳng d: += xy một góc 4) Tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc nhỏ nhất hoặc lớn nhất. 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C): 3 2 3 1 3 += xxy mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thằng 3 2 3 1 += xy (NN-2001). 2) Cho (C): y=x 3 +3x 2 -9x+5. Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 3) Cho (C): 1 3 1 23 += mxmxxy . Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 4) Cho (C): y=x 3 +3x 2 -9x+3. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. 5) Cho (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d. CMR: trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất nếu a> 0 và lớn nhất nếu a< 0. 6) Tìm M thuộc (C): y=2x 3 +3x 2 -12x-1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc tọa độ. 7) Tìm điểm M thuộc (C): 1 1 2 ++ = x xx y để tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân. Dạng 3: Cho hàm số y= f(x), (C). 1. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song với nhau. 2. CMR: Tồn tại vô số các cặp điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với nhau. 1) Cho (C): y=x 3 +3x 2 +3x+5. a) CMR :Không tồn tại hai điểm nào thuộc (C) để hai tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau. b) Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đờng thẳng: y=kx+ m. 2) Cho đồ thị (C): y=x 3 - 3x 2 +1. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định. 3) Cho đồ thị (C): y=ax 3 +bx 2 +cx+d. CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng nối các cặp điểm này đòng quy tại một điểm cố định. 4) Cho (C): 158 3 1 23 ++= xxxy . Lấy điểm A bất kỳ thuộc phần đồ thị (C) nằm giữa hai điểm cực đại và cực tiểu. CMR: Luôn tìm đợc hai điểm B 1 , B 2 thuộc (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B 1 , B 2 vuông góc với tiếp tuyến tại A. Dạng 4: Một số dạng khác 1) Cho đồ thị (C): y=-x 4 +2x 2 -1. Tìm tất cả các điểm A(0;a) thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). 2) Cho đồ thị (C): y=x 4 -x 2 +1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C). 3) Cho (C): y= x 4 -4x 3 +3. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) mà tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt