Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép giải bài toán cân bằng đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN THỊ BÍCH THUẬT TỐN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN THỊ BÍCH THUẬT TỐN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn Lời nói đầu Một số ký hiệu chữ viết tắt Bài toán cân 1.1 Một số khái niệm 1.2 Sự tồn nghiệm tính chất toán cân 16 1.3 Các trường hợp riêng toán cân 28 Phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải toán cân 33 2.1 Mơ tả thuật tốn 34 2.2 Tính hội tụ thuật tốn 34 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc thầy giáo GS TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học Việt Nam) Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tác giả xin kính gửi lời cảm ơn đến giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy thầy, cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2011 2013, người tâm huyết giảng dạy trang bị cho tác giả nhiều kiến thức sở Xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn Tin Trường ĐHKH, Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập trường Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học tốn K5B ln quan tâm, động viên, giúp đỡ tơi thời gian học tập q trình làm luận văn Tuy thân có nhiều cố gắng, song thời gian lực thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp quý báu Quý thầy, tồn thể bạn đọc Thái Ngun, tháng 04 năm 2013 Tác giả Đồn Thị Bích Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng , chuẩn tương ứng Giả sử C tập lồi, đóng, khác rỗng H f song hàm từ C × C vào R cho f (x, x) = với x ∈ C Trong luận văn ta xét toán cân sau đây, ký hiệu EP(C, f ): Tìm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Bài toán EP(C, f ) gọi bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận đóng góp ơng lĩnh vực (xem [2], [5] trích dẫn) Một phương pháp để giải toán cân phương pháp chiếu dạng Tuy nhiên phương pháp chiếu hội tụ với điều kiện song hàm có tính đơn điệu mạnh, có tính tự (đơn điệu mạnh ngược), cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, trường hợp đặc biệt toán cân đơn điệu Để thu phương pháp chiếu hội tụ cho tốn cân có tính đơn điệu nhẹ hơn, [16] tác giả mở rộng phương pháp đạo hàm tăng cường (hay chiếu hai lần) Korpelevich [8] lần đề xuất cho toán tối ưu toán điểm yên ngựa Với phương pháp hội tụ đảm bảo trường hợp song hàm f có tính giả đơn điệu Bài tốn cân đơn điệu có liên quan chặt chẽ với tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Về mặt lý thuyết tốn cân đơn điệu toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn có mối quan hệ tương hỗ lẫn nhau, theo nghĩa, với vài giả thiết tự nhiên, tốn mơ tả dạng toán ngược lại Cả hai lớp toán thực chất thuộc toán chấp nhận lồi, tức tốn tìm điểm chung tập lồi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp lặp Halpern phương pháp để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Tuy nhiên phương pháp có tính hội tụ yếu Để đảm bảo tính hội tụ mạnh, phương pháp Halpern phương pháp cắt kết hợp Cụ thể Tada Takahashi [13] trình bày thuật tốn kết hợp phương pháp điểm gần kề siêu phẳng cắt để đảm bảo tính hội tụ mạnh điểm gần kề, với bước lặp k , phép lặp xk+1 định nghĩa sau: y − z k , z k − xk ≥ 0, ∀y ∈ C, Tìm z k ∈ C cho f (z k , y) + λk  k k k   ω = αk x + (1 − αk )T (z ), Ck = z ∈ H : ω k − z ≤ xk − z ,   D = z ∈ H : xk − z, x0 − xk ≥ , xk+1 = P k Ck ∩Dk (x ), λk > tham số bước lặp k ; x0 ∈ C PCk ∩Dk (x0 ) phép chiếu khoảng cách Ck ∩ Dk điểm x0 ; T : C → C ánh xạ không giãn Với giả thiết song hàm f đơn điệu C , dãy {αk }, {λk } thỏa mãn tính chất đề dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm chung toán cân EP (C, f ) điểm bất động T Mục đích luận văn giới thiệu kiến thức toán cân trình bày thuật tốn lai ghép phương pháp đạo hàm tăng cường với phép lặp Halpern cho tốn tìm nghiệm chung tốn cân giả đơn điệu tốn tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực Để bảo đảm tính hội tụ mạnh, kỹ thuật siêu phẳng cắt [13] kết hợp thuật toán Sự hội tụ mạnh thuật toán chứng minh chi tiết cho trường hợp toán cân giả đơn điệu Các đặc điểm quan trọng thuật tốn trình bày luận văn so với thuật toán [4] [13, 14] là: Sư hội tụ mạnh bảo đảm mà không cần đến giả thiết quy; Trong bước lặp thuật toán, toán cân đơn điệu mạnh nảy sinh thuật toán điểm gần kề [13] thay hai toán quy hoạch lồi mạnh Về mặt tính tốn tốn sau dễ giải nhiều, đồng thời lại cho phép giải tốn cân giả đơn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điệu, thuật tốn điểm gần kề áp dụng cho toán cân đơn điệu Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm liên quan đến đề tài Các vấn đề liên quan đến tồn nghiệm trường hợp riêng toán cân đề cập đến Chương trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải toán cân Các bổ đề cần thiết để chứng minh cho hội tụ mạnh phương pháp định lý hội tụ mạnh phương pháp trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT H : Không gian Hilbert thực; X : Không gian Banach thực; R: Tập số thực; ∅: Tập rỗng; I : Ánh xạ đồng nhất; a, b : Tích vơ hướng véc-tơ a b; x : Chuẩn x; ∂f (x): Dưới vi phân hàm f x; ∀x: Với x; xn → x: Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x; xn x: Dãy {xn } hội tụ yếu tới x; x := y : Nghĩa là, x định nghĩa y ; PC (x): Hình chiếu x lên C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán cân Chương trình bày khái niệm liên quan đến toán cân bằng, tồn nghiệm, tính chất trường hợp riêng quan trọng toán cân Các kiến thức chương trích từ tài liệu [1-5], [7], [12], [15] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực không gian tuyến tính thực X ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn x, thỏa mãn điều kiện sau: x > 0, ∀x = 0; x + y x = ⇔ x = 0; x + y , ∀x, y ∈ X; αx = |α| x , ∀x ∈ X, α ∈ R Định nghĩa 1.2 Cặp (H, , ) H khơng gian tuyến tính thực , :H ×H →R (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện: x, x ≥ 0, ∀x ∈ H; x, x = ⇔ x = 0; x, y = y, x , ∀x, y ∈ H ; Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ H ; x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H gọi không gian tiền Hilbert Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert Ví dụ 1.1 L2[a,b] , khơng gian hàm bình phương khả tích [a,b] b với f ∈ L2[a,b] cho f (x) dx < +∞, không gian Hilbert với a tích vơ hướng b f, g = f (x) g (x) dx; a chuẩn b  f L2[a,b]  f (x)dx = a Trên H có hai kiểu hội tụ sau: Định nghĩa 1.3 Xét dãy {xn }n≥0 x thuộc không gian Hilbert thực H Khi đó: • Dãy {xn } gọi hội tụ mạnh tới x, ký hiệu xn → x, lim n→+∞ xn − x = • Dãy {xn } gọi hội tụ yếu tới x, ký hiệu xn lim n→+∞ ω, xn = ω, x , x, ∀ω ∈ H Ta nhắc lại kết giải tích hàm (xem [1]) liên quan đến hai loại hội tụ Mệnh đề 1.1 • Nếu {xn } hội tụ mạnh đến x hội tụ yếu đến x • Mọi dãy hội tụ mạnh (yếu) bị chặn giới hạn theo hội tụ mạnh (yếu) tồn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 Từ theo định nghĩa nón pháp tuyến C x∗ , ta suy x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân (V I) với F = ∂f Cân Nash trị chơi khơng hợp tác Xét trị chơi có p người chơi (đấu thủ) Giả sử Cj ⊂ Rpj tập phương án mà đấu thủ thứ j lựa chọn (gọi tập chiến lược) Đặt C := C1 ×C2 × ×Cp gọi ϕj : C → R hàm lợi ích đấu thủ j đấu thủ chọn phương án chơi xj ∈ Cj , đấu thủ k khác chọn phương án chơi xk ∈ Ck với k = j Định nghĩa 1.13 (Điểm cân Nash) Ta gọi x∗ = (x∗1 , , x∗p ) điểm cân ϕ = (ϕ1 , , ϕp ) tập C := C1 × C2 × × Cp với j yj ∈ Cj , ta có ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , x∗p ) ≤ ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , x∗p ) Định nghĩa cho thấy đối thủ j rời khỏi phương án cân bằng, đối thủ khác giữ phương án cân đối thủ j bị thua thiệt Đây lý mà khái niệm cân chấp nhận thực tế Điểm cân gọi cân Nash khái niệm nhà kinh tế học F Nash đưa Dưới toán cân Nash hiểu tốn tìm điểm cân (Nash) ϕ C Ta ký hiệu toán N(ϕ, C) Bài tốn cân Nash mơ tả dạng toán cân (EP) Thật vậy, xây dựng hàm f : C × C → R, cách đặt p [ϕj (x) − ϕj (x1 , , xj−1 , yj , xj+1 , , xp )] f (x, y) := j=1 Nếu x∗ điểm cân Nash f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C nghiệm toán (EP), tức f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Ta chứng tỏ x∗ = (x∗1 , , x∗p ) với x∗j ∈ Cj điểm cân Nash Thật vậy, trái lại, tồn j yj ∈ Cj cho ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , x∗j , x∗j+1 , x∗p ) < ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , x∗p ) Khi với phương án y = (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , x∗p ), theo định nghĩa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 hàm f , ta có f (x∗ , y) = ϕj (x∗1 , , x∗j−1 , yj , x∗j+1 , x∗p ) − ϕj (x∗ ) < Mâu thuẫn với x∗ nghiệm (EP) Bài toán điểm yên ngựa Cho A ⊆ H, B ⊆ H L : A × B → R Bài tốn điểm n ngựa tốn tìm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B cho L(x∗ , y) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x, y ∗ ), ∀(x, y) ∈ A × B Một điểm (x∗ , y ∗ ) ∈ A × B thỏa mãn bất đẳng thức gọi điểm yên ngựa L A × B Ta rằng, toán điểm yên ngựa mơ tả dạng tốn cân Thật vậy, với u = (x, y)T , v = (x , y)T , ta đặt C := A × B, f (u, v) := L(x , y) − L(x, y ) Khi đó, u∗ nghiệm toán cân với C f , tức u∗ ∈ A × B, f (u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C = A × B, L(x , y ∗ ) ≥ L(x∗ , y ), ∀x ∈ A, y ∈ B Với x = x∗ sau với y = y ∗ , ta có L(x∗ , y ) ≤ L(x∗ , y ∗ ) ≤ L(x , y ∗ ), ∀x ∈ A, y ∈ B Vậy (x∗ , y ∗ ) điểm yên ngựa Điều ngược lại (x∗ , y ∗ ) điểm yên ngựa L A x B , u∗ = (x∗ , y ∗ ) lời giải toán cân suy từ định nghĩa Nhận xét 1.5 Trong tất toán vừa kể trên, song hàm f có tính chất f (y, y) = với y ∈ C Như f song hàm cân C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải toán cân Trong chương ta trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép với phương pháp điểm bất động kỹ thuật siêu phẳng cắt để tìm nghiệm chung tốn cân điểm bất động ánh xạ không giãn Các khái niệm kết dẫn từ tài liệu [4], [11], [13] Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng H Ta nhắc lại ánh xạ T : C → C gọi ánh xạ co C với số δ ∈ (0, 1) T (x) − T (y) ≤ δ x − y , ∀x, y ∈ C Nếu δ = T gọi ánh xạ không giãn C Ta ký hiệu F ix(T ) tập điểm bất động T Như biết T ánh xạ không giãn nên tập đóng, lồi Trong phần này, để tìm nghiệm chung tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập nghiệm tốn cân bằng, giả sử song hàm f thỏa mãn điều kiện sau: (C1 ) Hàm f giả đơn điệu C ; (C2 ) Hàm f liên tục có tính chất kiểu Lipschitz C ; (C3 ) Với x ∈ C, y → f (x, y) lồi khả vi phân C ; (C4 ) Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) = ∅ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 2.1 Mơ tả thuật tốn Thuật toán 2.1 Thuật toán lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường giải toán cân giả đơn điệu [4], [13] thuật tốn Halpern để tính điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn mơ tả sau: Khởi đầu Chọn x0 ∈ C , hai dãy dương {λn } {αn } thỏa mãn điều kiện:   {λ } ⊂ 0, , , n 2c1 2c2  {αn } ⊂ [0, 1) Bước Giải toán lồi mạnh:   n  y − xn + λn f (xn , y) : y ∈ C , y := arg    n n t − x + λn f (y n , t) : t ∈ C , t := arg      n z := αn xn + (1 − αn )T (tn ) Bước Đặt: Pn = {z ∈ C : z n − z ≤ xn − z } , Qn = z ∈ C : xn − z, x0 − xn ≥ Tính xn+1 = P rPn ∩Qn (x0 ) Tăng n thêm thực Bước Chú ý Khi T ánh xạ đồng z n = αn xn + (1 − αn )tn 2.2 Tính hội tụ thuật tốn Trong phần này, ta trình bày định lý hội tụ mạnh cho dãy {xn }, {y n }, {tn }, {z n } xây dựng Thuật toán 2.1 cho song hàm f giả đơn điệu, có tính chất liên tục kiểu Lipschitz không gian Hilbert thực H Để chứng minh hội tụ thuật toán, ta sử dụng bổ đề Bổ đề 2.1.(xem [6]) Cho C tập lồi không gian Hilbert thực H Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 g : C → R lồi khả vi phân C Khi x∗ nghiệm tốn lồi {g(x) : x ∈ C} ∈ ∂g(x∗ ) + NC (x∗ ), ∂g(.) ký hiệu vi phân g NC (x∗ ) nón pháp tuyến ngồi C x∗ Bổ đề 2.2 Giả sử T ánh xạ khơng giãn tập lồi đóng, khác rỗng C không gian Hilbert thực H Nếu F ix(T ) = ∅ I − T nửa đóng, tức với dãy {xn } C hội tụ yếu đến x ∈ C dãy {(I −T )(xn )} hội tụ mạnh đến y (I − T )(x) = y , với I toán tử đồng H Bổ đề 2.3 Giả sử x ∈ Sol(C, f ), hàm f (x, ) lồi, khả vi phân C với x ∈ C , f giả đơn điệu, có tính chất liên tục kiểu Lipschitz C Khi đó, ta có tn − x ≤ xn − x − (1 − 2λn c1 ) xn − y n −(1 − 2λn c2 ) tn − y n 2 ∀n ≥ Chứng minh Do f (x, ) lồi C với x ∈ C từ Bổ đề 2.1, ta có tn := arg t − xn 2 + λn f (y n , t) : t ∈ C ∈ ∂2 λn f (y n , tn ) + n t − xn 2 + NC (tn ), (2.1) với ∂2 f (y n , tn ) vi phân theo biến thứ hàm f (y n , tn ) Mà f (y n , ) khả vi phân C từ Định lý Moreau-Rockafellar (xem [6]) tồn ω ∈ ∂2 f (y n , tn ) cho f (y n , t) − f (y n , tn ) ≥ ω, t − tn , ∀t ∈ C (2.2) Với t = x ∈ C , bất đẳng thức trở thành f (y n , x) − f (y n , tn ) ≥ ω, x − tn (2.3) Từ (2.1) ta = λn ω + tn − xn + ω, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ω ∈ ∂2 f (y n , tn ) ω ∈ NC (tn ) Từ định nghĩa nón NC từ đẳng thức cuối, ta tn − xn , t − tn ≥ λn ω, tn − t , ∀t ∈ C (2.4) ∀t ∈ C (2.5) tn − xn , x − tn ≥ λn {f (y n , tn ) − f (y n , x)} (2.6) Với t = x ∈ C ta tn − xn , x − tn ≥ λn ω, tn − x , Kết hợp (2.3) (2.5) suy Do x ∈ Sol(C, f ), f (x, y) ≥ với y ∈ C , f giả đơn điệu C , ta có f (y n , x) ≤ Từ (2.6) suy tn − xn , x − tn ≥ λn f (y n , tn ) (2.7) Áp dụng tính chất Lipschitz f với x = xn , y = y n z = tn , ta f (y n , tn ) ≥ f (xn , tn ) − f (xn , y n ) − c1 y n − xn − c2 tn − y n (2.8) Kết hợp (2.7) (2.8), ta tn − xn , x − tn ≥ λn f (xn , tn ) − f (xn , y n ) − c1 y n − xn − c2 tn − y n (2.9) Tương tự, y n nghiệm toán lồi mạnh y − xn 2 + λn f (xn , y) : y ∈ C , ta có λn {f (xn , y) − f (xn , y n )} ≥ y n − xn , y n − y , ∀y ∈ C (2.10) Nếu y = tn ∈ C λn {f (xn , tn ) − f (xn , y n )} ≥ y n − xn , y n − tn (2.11) Kết hợp (2.9) (2.11) tn − xn , x − tn = xn − x − tn − xn − tn − x , suy xn − x − tn − xn − tn − x ≥2 y n − xn , y n − tn − 2λn c1 xn − y n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên − 2λn c2 tn − y n http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Do đó, ta có: tn − x ≤ xn − x +2λn c1 y n − xn = xn − x 2 + 2λn c2 tn − y n + 2λn c2 tn − y n − tn − y n 2 − y n − x n , y n − tn − xn − y n + 2λn c2 tn − y n − (1 − 2λn c1 ) xn − y n +2λn c1 xn − y n = xn − x − y n − xn , y n − tn − (tn − y n ) + (y n − xn ) +2λn c1 xn − y n ≤ xn − x − tn − xn − (1 − 2λn c2 ) y n − tn ✷ Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 2.4 Giả sử có giả thiết (C1 ) − (C4 ) T ánh xạ khơng giãn C Khi đó, ta có: Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Pn ∩ Qn , ∀n > 0; lim xn+1 − xn = lim xn − z n n→∞ n→∞ = lim xn − y n = lim xn − tn = 0; n→∞ n→∞ lim T (tn ) − tn = n→∞ Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.3, với x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ), ta có: zn − x = αn xn + (1 − αn )T (tn ) − x = αn (xn − x) + (1 − αn ) {T (tn ) − x} ≤αn (xn − x) + (1 − αn ) T (tn ) − T (x) ≤αn (xn − x) + (1 − αn ) tn − x 2 ≤ (xn − x) Từ chứng minh ta có zn − x ≤ (xn − x) với n ≥ x ∈ Pn (2.12) Chứng tỏ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Pn , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∀n ≥ http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Tiếp theo ta chứng minh Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Qn , ∀n ≥ Thật vậy, phương pháp quy nạp cho n = 0, ta Q0 = C Do Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Q0 Giả sử Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Qk với k ≥ Từ xk+1 = PrPk ∩Qk (x0 ), ta có xk+1 − x, x0 − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ Pk ∩ Qk (2.13) Kết hợp (2.13) Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Qk , ta xk+1 − x, x0 − xk+1 ≥ 0, ∀x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ); Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Qk+1 Chứng tỏ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Qn Vậy Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊆ Pn ∩ Qn Trước hết, ta chứng minh lim xn+1 − xn = n→∞ Từ phần xn+1 = PrPn ∩Qn (x0 ), ta có xn+1 − x0 ≤ PrSol(C,f )∩F ix(T ) (x0 ) − x0 , ∀n ≥ (2.14) Do đó, dãy {xn } bị chặn Mặt khác, với x ∈ Qn xn − x, x0 − xn ≥ 0, xn = PrQn (x0 ) Sử dụng điều xn+1 ∈ Pn ∩ Qn ⊆ Pn suy xn − x0 ≤ xn+1 − x0 , ∀n ≥ (2.15) Từ (2.14) (2.15) chứng tỏ tồn lim xn − x0 (2.16) n→∞ Do xn = PrQn (x0 ) xn+1 ∈ Qn , PrQn (x) − x ≤ x−y − PrQn (x) − y , ≤ xn+1 − x0 ∀x ∈ C, y ∈ Qn , suy xn+1 − xn 2 − xn − x0 , ∀n ≥ (2.17) Kết hợp (2.16) (2.17), ta lim xn+1 − xn = n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Vậy lim xn+1 − xn = n→∞ Ta chứng minh lim xn − z n = Do x n+1 n→∞ = PrPn ∩Qn (x ) nên xn+1 ∈ Pn z n − xn+1 ≤ xn − xn+1 Do xn − z n ≤ xn − xn+1 + xn+1 − z n ≤ xn − xn+1 , ∀n ≥ Từ lim xn+1 − xn = 0, ta n→∞ lim xn − z n = n→∞ Vậy lim xn − z n = n→∞ Tiếp theo ta chứng minh lim xn − y n = n→∞ Thật vậy, với x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ), từ (2.12) Bổ đề 2.3 suy zn − x ≤αn xn − x + (1 − αn ) tn − x ≤αn xn − x + (1 − αn ){ xn − x − (1 − 2λn c1 ) xn − y n −(1 − 2λn c2 ) tn − y n } ≤ xn − x − (1 − αn )(1 − 2λn c1 ) xn − y n Nên xn − y n { xn − x − z n − x } (1 − αn )(1 − 2λn c1 ) = ( xn − x − z n − x )( xn − x + z n − x ) (1 − αn )(1 − 2λn c1 ) ≤ xn − z n ( xn − x + z n − x ) (1 − αn )(1 − 2λn c1 ) ≤ Từ lim xn − z n = dãy {xn }, {z n } bị chặn, suy n→∞ lim xn − y n = n→∞ Cuối ta chứng minh lim xn − tn = n n→∞ n Bằng cách tương tự lim t − y n→∞ = Khi lim xn − tn ≤ lim ( xn − y n + y n − tn ) = n→∞ n→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Do lim xn − tn = n→∞ Vậy phần chứng minh Sử dụng phần z n = αn xn + (1 − αn )T (tn ), với c ∈ [0, 1) ta (1 − c) T (tn ) − tn ≤(1 − αn ) T (tn ) − tn = (1 − αn )T (tn ) − (1 − αn )tn = z n − αn xn − (1 − αn )tn = αn (tn − xn ) + (z n − tn ) ≤αn tn − xn + z n − tn ≤(1 + αn ) tn − xn + z n − tn Suy lim T (tn ) − tn = n→∞ Vậy bổ đề chứng minh ✷ Định lý 2.1 Cho C tập khác rỗng, đóng, lồi khơng gian Hilbert thực H Giả sử có giả thiết (C1 ) − (C4 ) T ánh xạ không giãn C Khi đó, dãy {xn }, {y n }, {tn }, {z n } Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh điểm x∗ , với x∗ = P rSol(C,f )∩F ix(T ) (x0 ) Chứng minh Do {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnj } {xn } cho {xnj } hội tụ yếu đến x j → ∞ Áp dụng phần Bổ đề 2.4 {tnj } hội tụ yếu đến x j → ∞ Ta chứng minh x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) Trước hết, ta chứng minh x ∈ F ix(T ) Giả sử x ∈ / F ix(T ) Áp dụng Bổ đề 2.2, với dãy {xn } mà xn x, theo Định lý Opial (xem [15]) ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y , ∀y ∈ H, y = x j→∞ j→∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Do lim inf tnj − x < lim inf tnj − T (x) j→∞ j→∞ ≤ lim inf ( tnj − T (tnj ) + T (tnj ) − T (x) ) j→∞ = lim inf T (tnj ) − T (x) j→∞ ≤ lim inf tnj − x j→∞ Điều mâu thuẫn Do x = T (x) Hay x ∈ F ix(T ) Từ phần Bổ đề 2.4 xnj x j → ∞, suy y nj x j → ∞ tnj Kết hợp (2.10) giả thiết f, {λn } ta có λnj {f (xnj , y) − f (xnj , y nj )} ≥ y nj − xnj , y nj − y , x, ∀y ∈ C Khi j → ∞ f (x, y) ≥ với y ∈ C Điều chứng tỏ x ∈ Sol(C, f ) Vậy x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) Do x∗ = P rSol(C,f )∩F ix(T ) (x0 ), x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) kết hợp (2.12) ta x∗ − x0 ≤ x − x0 ≤ lim inf xnj − x0 j→∞ ≤ lim sup xnj − x0 j→∞ ≤ x∗ − x0 Suy lim xnj − x0 = x − x0 j→∞ Từ xnj − x0 hội tụ yếu đến x − x0 j → ∞ xnj − x0 hội tụ mạnh đến x − x0 j → ∞, nên xnj → x Do xn = P rQn (x0 ) x∗ ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ) ⊂ Pn ∩ Qn nên − x∗ − xnj = x∗ − xnj , x0 − x∗ + x∗ − xnj , xnj − x0 ≥ x∗ − xnj , x0 − x∗ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Cho j → ∞ − x∗ − x ≥ x∗ − x, x0 − x∗ (2.17) Kết hợp (2.17), x∗ = P rSol(C,f )∩F ix(T ) (x0 ), x ∈ Sol(C, f ) ∩ F ix(T ), x∗ − x, x0 − x∗ ≥ ta x = x∗ Điều kéo theo lim xn − x∗ = n→∞ Kết hợp phần Bổ đề 2.4 suy lim y n − x∗ = 0; lim tn − x∗ = lim z n − x∗ = n→∞ n→∞ n→∞ Vậy dãy {xn }, {y n }, {tn }, {z n } Thuật toán 2.1 hội tụ mạnh điểm x∗ = P rSol(C,f )∩F ix(T ) (x0 ) ✷ Nhận xét 2.1 Xét toán bất đẳng thức biến phân (được trình bày phần 1.3) Gọi S tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Bây ta áp dụng Thuật tốn 2.1 tìm nghiệm chung S∩F ix(T ) Trong trường hợp tốn phụ cần giải bước có dạng:   n  y − xn + λn F (xn ) , y − xn : y ∈ C , y := arg    n t := arg t − xn + λn F (y n ) , t − xn : y ∈ C ,      z n := αn xn + (1 − αn )T (tn ) Do    y n := arg         y − (xn − λn F (xn )) tn := arg t − (xn − λn F (y n )) n n z := αn x + (1 − αn )T (tn ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên :y∈C = PrC (xn − λn F (xn )) , :t∈C = PrC (xn − λn F (y n )) , http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 KẾT LUẬN Bài toán cân có nhiều ứng dụng thực tiễn, chẳng hạn vật lý, ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, vận tải, kinh tế, hệ thống mạng Bài toán cân bao hàm toán quan trọng toán lồi, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, tốn minimax, mơ hình cân Nash Một số phương pháp để giải toán cân phương pháp điểm bất động, phương pháp giảm (phương pháp tụt), phương pháp điểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường, đề xuất Tính ứng dụng cao lớp tốn động lực để nhà tốn học nghiên cứu phương pháp giải Luận văn đề cập vấn đề sau: Trình bày cách hệ thống kiến thức toán cân theo bất đẳng thức Ky Fan Giới thiệu thuật toán lai ghép phương pháp đạo hàm tăng cường với thuật toán điểm bất động kỹ thuật siêu phẳng cắt để tìm nghiệm chung toán cân giả đơn điệu điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert thực Sự hội tụ mạnh thuật toán chứng minh chi tiết mà không cần đến giả thiết tính quy dãy lặp trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Văn Lưu, Giải tích hàm, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội, (2009) [2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội (sẽ ra) [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, (2011) [4] P.N Anh, A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems, Optim.1(2011) 1-13 [5] E Blum and W Oettli, From Optimization and variational inequality to equilibrium problems, The Math Student 63(1994)127-149 [6] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri, Equilibrium Problems and Variational Models, Kluwer,(2003) [7] Igor Konnov, Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer, (2001) [8] G.M.Korpelevich, The extragradient method for finding saddle points and other problems, Ekon Math.Metody 12(1976)747-756 [9] A Moudafi, Viscosity approximation methods for fixed point problems, J Math Anal Appl 241(2000) 46-55 [10] L.D.Muu and W Oettli, Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria, Nonlin Anal TMA 18(1992) 11591166 [11] J.W.Peng and J.C.Yao, A new hybrid-extragradient method for generalized mixed equilibrium problems, fixed point problems and variational Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 inequality problems, Taiwanese Jounal of Mathematics, 6(2008) 14011432 [12] R.T.Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, (1970) [13] A Tada and W Takahashi, Weak and strong convergence theorems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problem, Optim Theory Appl 133(2007) 359-370 [14] S Takahashi, and W Takahashi, Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces, Math Anal Appl 331(2000) 506-515 [15] N.T.T Thuy, An iterative method for equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in a Hilbert spaces, Bulletin of the Malaysian Mathematical sciences society,(to appear) [16] Q.D Tran., L.D Muu and V.H Nguyen, Extragradient algorithms extended to equilibrium problems, Optim 57(2008) 749-776 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 2.1 Mơ tả thuật tốn Thuật tốn 2.1 Thuật toán lai ghép thuật toán đạo hàm tăng cường giải toán cân giả đơn điệu [4], [13] thuật toán Halpern để tính điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thuật tốn mơ... pháp đạo hàm tăng cường lai ghép giải tốn cân Trong chương ta trình bày phương pháp đạo hàm tăng cường lai ghép với phương pháp điểm bất động kỹ thuật siêu phẳng cắt để tìm nghiệm chung tốn cân. .. ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ BÍCH THUẬT TỐN ĐẠO HÀM TĂNG CƯỜNG LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa