Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——–o0o——– NGUYỄN MẠNH HÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——–o0o——– NGUYỄN MẠNH HÀ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM LAI GHÉP GIẢI BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Một số vấn đề 1.1 Không gian Banach số đặc trưng không gian Banach 1.2 Điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động 10 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép cho tốn điểm bất động 13 2.1 Tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 13 2.2 Tìm điểm bất động cho họ đếm ánh xạ không giãn 19 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Bảng ký hiệu R N N∗ H X ∅ ∀x ∃x , x xn → x xn x I ∩ inf A sup A lim sup xn tập số thực tập hợp số tự nhiên tập hợp số tự nhiên khác không gian Hilbert không gian Banach tập rỗng x tồn x tích vơ hướng chuẩn vectơ x {xn } hội tụ mạnh đến x {xn } hội tụ yếu đến x toán tử đồng phép giao cận tập hợp A cận tập hợp A giới hạn dãy số xn n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số xn F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T n→∞ Mở đầu Lý thuyết điểm bất động đóng vai trị quan trọng Tốn học Nó có nhiều ứng dụng lý thuyết bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết kinh tế Nhiều nhà toán học mở rộng kết tốn điểm bất động ánh xạ khơng gian Hilbert khơng gian Banach Trong đề cập đến tồn điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động Luận văn nhấn mạnh đến cách kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm phương pháp lai ghép việc giải toán điểm bất động ánh xạ không giãn họ ánh xạ không giãn không gian Banach Luận văn cấu trúc sau: Chương 1: Một số khái niệm Chương trình bày nội dung sau: Khái niệm số đặc trưng không gian Banach; Khái niệm điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn không gian Hilbert không gian Banach (Phương pháp lặp Mann, Phương pháp lặp Halpern, Phương pháp lặp Ishikawa, Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc) Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải toán điểm bất động Chương nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải toán điểm bất động nhiều cấp ánh xạ không giãn họ đếm ánh xạ không giãn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành thời gian tâm huyết để hướng dẫn, tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Thái nguyên, tháng năm 2016 Học viên: Nguyễn Mạnh Hà Chương Một số vấn đề Trong chương gồm 02 mục: Mục 1.1 trình bày khơng gian Banach số đặc trưng không gian Banach; mục 1.2 đề cập đến khái niệm điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1]-[6] 1.1 Không gian Banach số đặc trưng không gian Banach Các không gian Banach định nghĩa không gian định chuẩn đầy đủ Nghĩa không gian Banach không gian X trường số thực hay số phức với chuẩn cho dãy Cauchy có giới hạn X Dưới đây, ta số ví dụ không gian Banach với K ký hiệu cho trường số thực số phức Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid x cho x = (x1 , x2 , · · · , xn ) không gian Banach Không gian tất hàm số liên tục f : [a, b] → K xác định đoạn đóng [a, b] trở thành không gian Banach ta định nghĩa chuẩn hàm số sau: f = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]} Không gian ký hiệu C[a,b] Nếu V W không gian Banach trường K, tập hợp hàm K-tuyến tính liên tục A : V → W ký hiệu L(V, W ) Vì L(V, W ) không gian vectơ cách định nghĩa chuẩn A = sup{ Ax : x ∈ V, x ≤ Ta có L(V, W ) không gian Banach Nếu V không gian Banach K trường (số thực số phức) thân K khơng gian Banach ta định nghĩa khơng gian đối ngẫu V ∗ L(V, K), không gian biến đổi tuyến tính liên tục vào K Không gian lại không gian Banach với chuẩn tốn tử Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian Banach Gọi U = {x ∈ X : x = 1} (i) X gọi lồi với với x, y ∈ U x − y ≥ thỏa mãn ∈ (0, 2], tồn δ > cho x+y ≤ − δ (ii) X gọi trơn giới hạn lim t→0 x + ty − x t (1.1) tồn với x, y ∈ U X gọi trơn giới hạn (1.1) đạt với x, y ∈ U (iii) Chuẩn X gọi khả vi Gâteaux với y ∈ U , giới hạn (1.1) đạt với x ∈ U Định nghĩa 1.1.2 Cho số thực q > Ánh xạ đối ngẫu tổng quát Jq từ X vào X ∗ định nghĩa sau Jq (x) = x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x q , x∗ = x q−1 với x ∈ X Ánh xạ J = J2 gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Jq (x) = x q−2 J(x) với x ∈ X Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có tính chất sau: (i) Nếu X khơng gian lồi chặt J ánh xạ − x − y, x∗ − y ∗ > với (x, x∗ ), (y, y ∗ ) ∈ J, x = y; (ii) Nếu X khơng gian phản xạ J tồn ánh; (iii) Nếu X khơng gian trơn J liên tục theo chuẩn tập bị chặn X Định nghĩa 1.1.3 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng X Ánh xạ T : C → C gọi L-Lipshitzian tồn số L > cho T x − T y ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C Nếu L = T gọi không giãn Định nghĩa 1.1.4 Cho C tập khác rỗng không gian Banach X Một ánh xạ A : C → X gọi là: (a) accretive x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) cho Ax − Ay, j(x − y) ≥ 0; (b) α-accretive mạnh x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) cho Ax − Ay, j(x − y) ≥ α x − y , α ∈ (0, 1); (c) Giả co x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) cho Ax − Ay, j(x − y) ≤ x − y ; (d) β-giả co mạnh x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) cho Ax − Ay, j(x − y) ≤ β x − y , α ∈ (0, 1); (e) λ-giả co chặt x, y ∈ C, ∃j(x − y) ∈ J(x − y) cho Ax−Ay, j(x−y) ≤ x−y −λ x−y−(Ax−Ay) , λ ∈ (0, 1); (f) Dương mạnh tồn số γ¯ > cho Ax, J(x) ≥ γ¯ x , β ∈ (0, 1), aI − bA = sup | (aI − bA)x, Jx |, với x ≤1 a ∈ [0, 1], b ∈ [−1, 1], I ánh xạ đồng Mệnh đề 1.1.5 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Banach trơn X Cho T : C → C ánh xạ giả co liên tục với F ix(T ) = ∅ f : C → C ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipshitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) số Lipshitzian L > ChoA : C → C tốn tử tuyến tính dương bị chặn với số γ¯ > Giả sử C ± C ⊂ C < β < γ¯ Cho dãy {xt } xác định xt = tf (xt ) + (I − tA)T xt Khi t → {xt } hội tụ mạnh đến điểm z cho z ∈ F ix(T ) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân sau: (A − f )z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ) Cho C tập lồi đóng, khác rỗng khơng gian Banach trơn X cho C ± C ⊂ C Cho T : C → C ánh xạ không giãn với F ix(T ) = ∅ f : C → C ánh xạ giả co mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitzian với hệ số giả co β ∈ (0, 1) số Lipschitzian L > Cho F : C → C ánh xạ accretive mạnh λ-giả co chặt với α + λ > A : C → C toán tử tuyến tính dương bị chặn Ta đưa vào lược đồ gắn kết lai ghép ẩn để giải toán điểm bất động nhiều cấp ánh xạ không giãn T : xt = (I − θt A)T xt + θt [T xt − t(F (T xt ) − f (xt ))], < θt ≤ A −1 , lim θt = Ta chứng minh t → 0, t→0 {xt } hội tụ mạnh đến điểm z ∈ F ix(T ) nghiệm toán bất đẳng thức biến phân: (A − I)z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ F ix(T ) Mặt khác, cho {Tn }∞ n=0 họ đếm ánh xạ không giãn từ C vào cho Ω = ∩∞ i=0 F ix(Ti ) = ∅ Người ta đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép ẩn để giải toán điểm bất động họ ánh xạ không giãn {Tn }:    x0 ∈ C yn = αn f (yn ) + βn xn = (1 − βn )I − αn A Tn yn    xn+1 = γn f (yn ) + (I − γn F )Tn yn , ∀n ≥ 0, f : C → C ánh xạ co cố định {αn }, {βn }, {γn } ba dãy (0, 1) Dãy {xn } hội tụ đến điểm z ∈ Ω với z nghiệm toán bất đẳng thức biến phân: (A − f )z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ Ω Ngồi ra, người ta cịn đề xuất phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép để giải toán điểm bất động nhiều bậc họ ánh xạ không giãn {Tn }:  x ∈ C  xn+1 =(I − βn A)Tn xn + βn [Tn xn − αn (F (T xn ) − f (xn ))], ∀n ≥ 0, đó, f : C → C ánh xạ co cố định {αn }, {βn } hai dãy (0, 1) Dãy {xn } hội tụ mạnh đến điểm z ∈ Ω với z nghiệm toán bất đẳng thức biến phân: (A − I)z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ Ω Bổ đề 1.1.6 Cho dãy {sn } ⊂ R thỏa mãn: sn+1 ≤ (1 − αn )sn + αn βn + γn , ∀n ≥ Trong đó, dãy {αn }, {βn }, {γn } thỏa mãn điều kiện: ∞ (i) {αn } ⊂ [0, 1], αn = ∞; n=0 (ii) lim supn→∞ βn ≤ 0; ∞ (iii) γn ≥ (∀n ≥ 0), γn < ∞ n=0 Khi lim sup sn = n→∞ Bổ đề 1.1.7 Cho dãy {an } ⊂ R cho an+1 ≤ (1 − γn )an + γn βn , ∀n ≥ Trong {γn } ⊂ (0, 1), {βn } ⊂ R thỏa mãn điều kiện: ∞ γn = ∞; (i) n=0 (ii) lim supn→∞ βn ≤ Khi lim an = n→∞ Bổ đề 1.1.8 Cho X không gian Banach trơn Khi đó: x+y ≤ x + y, J(x + y) , ∀x, y ∈ X Gọi LIM phiếm hàm tuyến tính liên tục l∞ (a0 , a1 , · · · ) ∈ l∞ Kí hiệu LIM an = LIM (a0 , a1 , · · · ) LIM gọi 21 + (1 − βn )I − αn A (Tn x − Tn y), J(x − y) ≤αn β x − y + (1 − βn − αn γ˜ ) x − y = − βn − αn (˜ γ − β) x − y Vì Sn liên tục giả co mạnh với n ≥ Theo bổ đề 1.1.13, tồn điểm bất động yn , ∀n ≥ cho yn = αn f (yn ) + βn xn + (I − βn )I − αn A)Tn yn Vậy dãy {yn } xác định Tiếp theo chứng tỏ dãy {xn } bị chặn Lấy điểm p ∈ Ω Khi ta có yn − p =αn f (yn ) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p, J(yn − p) + (1 − βn )I − αn A (Tn yn − p), J(yn − p) ≤αn f (yn ) − f (p), J(yn − p) + αn f (p) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p ≤αn β yn − p yn − p + (1 − βn − αn (˜ γ ) yn − p + (1 − βn − αn γ˜ ) yn − p + αn f (p) − Ap, J(yn − p) + βn xn − p = − βn − αn (˜ γ − β) yn − p + βn xn − p 2 yn − p + αn f (p) − Ap yn − p yn − p Từ ta có yn − p ≤ αn (˜ γ − β) f (p) − Ap βn xn − p + βn + αn (˜ γ − β) βn + αn (˜ γ − β) γ˜ − β Do đó, ta có xn+1 − p = σn f (yn ) + (I − σn F )Tn yn − p = σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p + σn f (p) − F (p) ≤σn f (yn ) − f (p) + (I − σn F )Tn yn − I(I − σn F )Tn p + σn f (p) − F (p) ≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) Tn yn − Tn p + σn f (p) − F (p) ≤σn β yn − p + (1 − σn γ0 ) yn − p + σn f (p) − F (p) 22 = − σn (γ0 − β) yn − p + σn f (p) − F (p) βn ≤ − σn (γ0 − β) xn − p βn + αn (˜ γ − β) αn (˜ γ − β) f (p) − Ap + βn + αn (˜ γ − β) γ˜ − β + σn f (p) − F (p) ≤ − σn (γ0 − β) max xn − p , f (p) − Ap γ˜ − β xn − p , f (p) − Ap γ˜ − β + σn f (p) − F (p) = − σn (γ0 − β) max f (p) − Ap γ0 − β f (p) − Ap f (p) − Ap xn − p , , γ˜ − β γ0 − β + σn (γ0 − β) ≤ max Bằng quy nạp có xn+1 − p ≤ max x0 − p , f (p) − Ap f (p) − Ap , γ˜ − β γ0 − β , ∀n ≥ Vì {xn } bị chặn dãy {yn }, {Tn yn } bị chặn Ta ý yn − Tn yn = αn f (yn ) − ATn yn + βn (xn − Tn yn ) ≤ αn f (yn ) − ATn yn + βn xn − Tn yn Kết hợp với ý (i) ta có lim yn − Tn yn = n→∞ Mặt khác, ta có yn − T yn ≤ yn − Tn yn + Tn yn − T yn Sử dụng Bổ đề 2.2.1 ta thu lim yn − T yn = n→∞ Cho xt = tf (xt ) + (1 − tA)T xt Sử dụng Mệnh đề 1.1.5 Bổ đề 2.2.1, ta có dãy {xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) = ∩∞ i=0 F ix(Ti ) = Ω lim sup (f − A)z, J(yn − z) ≤ (2.4) n→∞ Cuối cùng, xn → z n → ∞ Ta lưu ý 23 yn − z =αn (f − A)z, J(yn − z) + βn xn − z, J(yn − z) (1 − βn )I − αn A (Tn yn − z), J(yn − z) + ≤(1 − βn − αn γ˜ yn − z + βn xn − z yn − z + αn f (yn ) − f (z), J(yn − z) + αn f (z) − Az, J(yn − z) ≤(1 − βn − αn (˜ γ ) yn − z + αn β yn − z + βn xn − z yn − z + αn f (z) − Az, J(yn − z) βn βn ≤(1 − βn − αn (˜ γ ) yn − z + xn − z + yn − z 2 + αn β yn − z + αn f (z) − Az, J(yn − z) = 1− βn − αn (˜ γ − β) yn − z + βn xn − z 2 + αn f (z) − Az, J(yn − z) Từ suy yn − z βn xn − z βn + 2αn (˜ γ − β) 2αn f (z) − Az, J(yn − z) + βn + 2αn (˜ γ − β) ≤ = 1− + 2αn (˜ γ − β) βn + 2αn (˜ γ − β) xn − z f (z) − Az, J(yn − z) 2αn (˜ γ − β) βn + 2αn (˜ γ − β) γ˜ − β Hơn nữa, sử dụng bổ đề 1.1.8, từ điều trên, ta có xn+1 − z = σn f (yn ) − f (z) + (I − σn F )Tn yn − (I − σn F )Tn z + σn f (z) − F (z) ≤ σn f (yn ) − f (z) + (I − σn F )Tn yn − (I − σn F )Tn z + 2σn f (z) − F (z), J(xn+1 − z) ≤ σn β yn − z + (1 − σn γ0 ) Tn yn − Tn z + 2σn f (z) − F (p), J(xn+1 − z) ≤ σn β yn − z + (1 − σn γ0 ) yn − z 2 24 + 2σn f (z) − F (p), J(xn+1 − z) = − σn (γ0 − β) yn − z + 2σn f (z) − F (z), J(xn+1 − z) ≤ yn − z ≤ 1− + + 2σn f (z) − F (z), J(xn+1 − z) 2αn (˜ γ − β) βn − 2αn (˜ γ − β) xn − z f (z) − Az, J(yn − z) 2αn (˜ γ − β) βn + 2αn (˜ γ − β) γ˜ − β + 2σn f (z) − F (z), J(xn+1 − z) = 1− 2αn (˜ γ − β) βn + 2αn (˜ γ − β) xn − z f (z) − Az, J(yn − z) 2αn (˜ γ − β) βn + 2αn (˜ γ − β) γ˜ − β βn + 2αn (˜ γ − β) σn + f (z) − F (z) xn+1 − z γ˜ − β αn + αn 2αn (˜ γ − β) 2αn (˜ γ − β) = (˜ γ − β) > βn + 2αn (˜ γ − β) 2βn + 2αn αn + βn Vì vậy, điều kiện (ii) cho ta Ta ý ∞ n=0 2αn (˜ γ − β) = ∞ βn − 2αn (˜ γ − β) Kết hợp αn → 0, βn → 0, lim sup n→∞ lim sup n→∞ γn < ∞ (2.4), ta có αn f (z) − Az, J(yn − z) γ˜ − β + βn + 2αn (˜ γ − β) σn f (z) − F (z) γ˜ − β αn xn+1 − z ≤ Sử dụng Bổ đề 1.1.6, ta có xn → z n → ∞ Suy điều phải chứng minh Định lý 2.2.4 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach trơn X với X có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu cho 25 C ± C ⊂ C Cho {Ti }∞ i=0 họ đếm ánh xạ không giãn từ C vào C cho Ω = ∩∞ i=0 F ix(Ti ) = ∅ Cho F : C → C α−đơn điệu mạnh λ−giả co chặt với α + λ > f : C → C 1−α ánh xạ co với hệ số co β ∈ (0, γ0 ), γ0 = − số λ Lipschitzian L > Cho A : C → C γ˜ -toán tử tuyến tính dương mạnh bị chặn với hệ số γ˜ ∈ (1, 2) Với x0 ∈ C, cho dãy {xn } xác định xn+1 = (I − βn A)Tn xn + βn Tn xn − αn F (Tn xn ) − f (xn ) , ∀n ≥ 0, (2.5) {αn }, {βn } dãy (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: ∞ βn = ∞; (i) lim αn = lim βn = 0; n→∞ n→∞ n=0 ∞ |βn − βn−1 | < ∞ ∨ lim βn−1 /βn = (ii) n=1 Giả sử n→∞ ∞ sup Tn+1 x − Tn x < ∞ với tập D C Cho n=0 x∈D T : C → C ánh xạ xác định T x = lim Tn x, ∀x ∈ C n→∞ ∩∞ i=0 F ix(Ti ) giả sử F ix(T ) = dãy {xn } hội tụ mạnh đến điểm z ∈ Ω cho z nghiệm Ω bất đẳng thức biến phân sau : (I − A)z, J(p − z) ≤ 0, ∀p ∈ Ω Chứng minh Từ A γ˜ -tốn tử tuyến tính dương mạnh bị chặn C, từ (1.2), ta thu A = sup Au, J(u) : u ∈ C, u = 1} Ta {xn } bị chặn Thật vậy, từ lim βn = A ≥ γ > 1, khơng tính tổng qt n→∞ giả sử < βn ≤ A −1 Lấy p ∈ Ω p = Tn p xn+1 − p =(I − βn A)Tn xn − (I − βn A)Tn p + βn Tn xn − αn F (Tn xn ) − f (xn ) − p + βn (I − A)p 26 =(I − βn A)(Tn xn − Tn p) + βn αn f (xn ) − F (p) + (I − αF )Tn xn − (I − αF )Tn p + βn (I − A)p Vì có xn+1 − p = (I − βn A)(Tn xn − Tn p) + βn αn f (xn ) − F (p) + (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn p + βn (I − A)p ≤ I − βn A Tn xn − Tn p + βn αn f (xn ) − F (p) + (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn p + βn (I − A)p ≤(1 − βn γ˜ ) xn − p + βn αn f (xn ) − f (p) + f (p) − F (p) + (1 − αn γ0 ) Tn xn − Tn p + βn (I − A) p ≤(1 − βn γ˜ ) xn − p + βn αn β xn − p + f (p) − F (p) + (1 − αn γ0 ) xn − p + βn (I − A) p =(1 − βn γ˜ ) xn − p + βn − αn (γ0 − β) xn − p + αn f (p) − F (p) + βn (I − A) ≤(1 − βn γ˜ ) xn − p + βn + βn (I − A) p xn − p + f (p) − F (p) p = − βn (˜ γ − 1) xn − p + βn f (p) − F (p) + (I − A) p = − βn (˜ γ − 1) xn − p f (p) − F (p) + (I − A) p + βn (˜ γ − 1) γ˜ − f (p) − F (p) + (I − A) p ≤ max xn − p , γ˜ − Bằng quy nạp ta có xn+1 −p ≤ max x0 −p , f (p) − F (p) + (I − A) γ˜ − p , ∀n ≥ Nghĩa {xn } bị chặn dãy {Tn xn }, {f (xn )}, {F (Tn xn )} 27 bị chặn Bây cần có lim xn+1 − xn = n→∞ Thật vậy, ta viết lại  y = (I − α F )T x + α f (x ) n n n n n n xn+1 = (I − βn A)Tn xn + βn yn , ∀n ≥ (2.6) (2.7) Chú ý yn − yn−1 = (I − αn F )Tn xn + αn f (xn ) − (I − αn−1 F )Tn−1 xn−1 − αn−1 f (xn−1 ) = αn f (xn ) − f (xn−1 ) + (αn − αn−1 ) f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn−1 xn−1 ≤αn f (xn ) − f (xn−1 ) + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn−1 xn−1 ≤αn β xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + (1 − αn γ0 ) Tn xn − Tn−1 xn−1 ≤αn β xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + (1 − αn γ0 ) Tn xn − Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 = − αn (γ0 − β) xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + (1 − αn γ0 ) Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤ xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 Do đó, ta có xn+1 − xn = (I − βn A)Tn xn + βn yn − (I − βn−1 A)Tn−1 xn−1 − βn−1 yn−1 ≤ βn yn − yn−1 + (βn − βn−1 ) yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (I − βn A)Tn xn − Tn−1 xn−1 28 ≤βn yn − yn−1 + |βn − βn−1 | yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + I − βn A Tn xn − Tn−1 xn−1 ≤βn yn − yn−1 + |βn − βn−1 |yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (1 − βn γ˜ ) Tn xn − Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤βn yn − yn−1 + |βn − βn−1 |yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (1 − βn γ˜ ) xn − xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤βn xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + |βn − βn−1 |yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (1 − βn γ˜ ) xn − xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 = − βn (˜ γ − 1) xn − xn−1 + βn |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + |βn − βn−1 | yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + − βn (˜ γ − 1) Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + (1 − βn γ˜ ) Tn xn − Tn xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤βn yn − yn−1 + |βn − βn−1 |yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (1 − βn γ˜ ) xn − xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤βn xn − xn−1 + |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 + |βn − βn−1 |yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + (1 − βn γ˜ ) xn − xn−1 + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 = − βn (˜ γ − 1) xn − xn−1 + βn |αn − αn−1 | f (xn−1 ) − F (Tn−1 xn−1 ) + |βn − βn−1 | yn−1 − A(Tn−1 xn−1 ) + − βn (˜ γ − 1) Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 ≤ − βn (˜ γ − 1) xn − xn−1 + βn |αn − αn−1 |M ≤ − βn (˜ γ − 1) xn − xn−1 + βn |αn − αn−1 |M + |βn − βn−1 |M + Tn xn−1 − Tn−1 xn−1 Trong sup f (xn ) − F (Tn xn ) + yn − ATn xn ≤ M với M > n≥0 Dễ dàng nhận thấy {yn } bị chặn kết tính bị chặn {xn } Sử dụng Bổ đề 1.1.6, kết luận lim xn+1 − xn = từ điều n→∞ kiện (i)-(ii) tính chất dãy {Tn } 29 Tiếp theo, lim xn − T xn = (2.8) n→∞ Thật vậy, từ (2.6), (2.7) βn → suy xn − T xn ≤ xn − xn+1 + xn+1 − T xn = xn − xn+1 + βn yn − ATn xn → 0, n → ∞ Nghĩa lim xn − Tn xn = (2.9) xn − T xn ≤ xn − Tn xn + Tn xn − T xn (2.10) n→∞ Ngoài ra, rõ ràng Từ bổ đề 2.2.1, kết luận (2.8) từ (2.9) (2.10) Cho xt = (I − θt A)T xt + θt T xt − t F (T xt ) − f (xt ) Theo định lý 2.1.1, biết {xt } hội tụ mạnh đến z ∈ F ix(T ) = ∩∞ i=0 F ix(Ti ) = Ω, z nghiệm bất đẳng thức biến phân: (A − I)z, J(z − p) ≤ 0, ∀p ∈ Ω (2.11) Hơn nữa, ta lim sup (I − A)z, J(xn − z) ≤ (2.12) n→∞ Thật vậy, lấy dãy {xni } {xn } cho lim sup (I − A)z, J(xn − z) = lim (I − A)z, J(xni − z) n→∞ i→∞ (2.13) Không tính tổng qt, giả sử xni hội tụ yếu đến x˜ Theo bổ đề 1.1.10, có x˜ ∈ F ix(T ) từ (2.8) Do đó, từ (2.11) (2.13), có lim sup (I − A)z, J(xn − z) = (I − A)z, J(˜ x − z) ≤ n→∞ Như điều cần tìm, cuối lim xn = z n→∞ (2.14) 30 Chú ý yn − z = (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn z + α f (xn ) − F (z) ≤ (I − αn F )Tn xn − (I − αn F )Tn z + 2αn f (xn ) − F (z), J(yn − z) ≤(1 − αn γ0 )2 Tn xn − Tn z xn − z + 2αn f (xn ) − F (z) + 2αn f (xn ) − F (z) yn − z yn − z Do xn+1 − z = (I − αn A)(Tn xn − Tn z) + βn (yn − z) + βn (I − A)z ≤ (I − αn A)(Tn xn − Tn z) + 2βn yn − z, J(xn+1 − z) + 2βn (I − A)z, J(xn+1 − z) ≤(1 − βn γ˜ )2 Tn xn − Tn z 2βn yn − z xn+1 − z + 2βn (I − A)z, J(xn+1 − z) ≤(1 − βn γ˜ )2 xn − z + βn yn − z + xn+1 − z + 2βn (I − A)z, J(xn+1 − z) ≤(1 − βn γ˜ )2 xn − z xn+1 − z + βn + 2αn f (xn ) − F (z) yn − z + xn+1 − z + 2βn (I − A)z, J(xn+1 − z) = (1 − βn γ˜ )2 + βn xn − z + 2αn βn f (xn ) − F (z) + βn xn+1 − z 2 yn − z + 2βn (I − A)z, J(xn+1 − z) Nghĩa xn+1 − z (1 − βn γ˜ )2 + βn ≤ xn − z − βn βn 2αn f (xn ) − F (z) + − βn + xn+1 − z = 1− yn − z + (I − A)z, J(xn+1 − z) 2βn (˜ γ − 1) − βn xn − z 2 31 + 2βn (˜ γ − 1) 2αn f (xn ) − βn 2(˜ γ − 1) − F (z) yn − z + βn γ˜ xn+1 − z + (I − A)z, J(xn+1 − z) =(1 − µn )2 xn − z Trong µn = υn = + µn υn 2βn (˜ γ − 1) − βn 2αn f (xn ) − F (z) 2(˜ γ − 1) + βn γ˜ xn+1 − z yn − z + (I − A)z, J(xn+1 − z) ∞ µn = ∞ Dễ nhận thấy từ (2.12) điều kiện (i) (ii) có n=0 lim sup υn ≤ Theo bổ đề 1.1.7, suy lim xn = z n→∞ n→∞ Ví dụ 2.2.5 Cho X = R2 với tích vơ hướng , chuẩn xác định x, y = ac + bd, x = a2 + b2 , với x, y ∈ R2 với x = (a, b), y = (c, d) Cho C = {(a, a) : a ∈ R} Rõ ràng C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach trơn X = R2 cho C ± C ⊂ C Cho {Tn }∞ n=0 họ đếm ánh xạ không giãn từ C vào cho ∞ 5 Ω = ∩n=0 F ix(Tn ) = ∅, đặt Tn = − n+1 T với T = 5 T = Tn = − n+1 , ∀n ≥ 0, Tn T ánh xạ không giãn với Ω = ∩∞ F ix(T n ) = {0} = ∅ {Tn } thỏa mãn Định lý 2.2.4 n=0 Cho F : C → C α-accretive mạnh λ-giả co chặt với α + λ > f : C → C ánh xạ co cố định với hệ số β ∈ (0, γ0 ), γ0 = − 3 số Lipschitzian L > 0, đặt S = f= 25 25 25 25 , biết F = 3 , F = 1−α λ S 1 S = , f = , F 32 ánh xạ -accretive mạnh -giả co chặt, f phép co với hệ số 1 ∈ (0, γ0 ) γ0 = Cho A : C → C toán tử γ˜ -liên tục, dương mạnh, bị chặn với γ˜ ∈ (1, 2) 3 Đặt A = S, có A tốn tử -liên tục, dương mạnh, bị chặn 2 với γ˜ ∈ (1, 2) γ˜ = Trong trường hợp này, từ phương pháp lặp (2.5) Định lý 2.2.4, có với x0 ∈ C, x1 =(1 − β0 A)T0 x0 + β0 T0 x0 − α0 F (T0 x0 ) − f (x0 ) = − β0 + β0 = 1− 1− 20+1 20+1 x0 1 1 − 0+1 x0 − x0 2 1 − 0+1 + α0 β0 x0 ∈ C x0 − α0 1 − β0 − α0 β0 2 Dễ thấy xn+1 = 1 − βn − αn βn 2 1− 2n+1 + αn βn xn , ∀n ≥ Chúng ta phải chứng minh xn hội tụ đến điểm ∈ Ω Thật vậy, ý xn+1 = ≤ = ≤ ≤ 1 1 − βn − αn βn − n+1 + αn βn 2 1 1 − βn − αn βn + αn βn xn 2 − βn − αn βn xn 10 1 − βn xn n 1 − βi x0 i=0 xn ∞ βn = ∞, {xn } hội tụ đến điểm ∈ Ω Dễ thấy z = Khi n=0 33 nghiệm Ω bất đẳng thức biến phân (I − A)z, J(p − z) ≤ 0, ∀p ∈ Ω 34 Kết luận Luận văn nhắc lại khái niệm điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Banach; giới thiệu phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép tìm điểm bất động ánh xạ không giãn điểm bất động họ đếm ánh xạ không giãn khơng gian Banach Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức làm chi tiết số nội dung [3] Tác giả hy vọng có dịp làm quen với lớp toán khác điểm bất động ứng dụng điểm bất động thực tế 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đức Lạng (2015), Phương pháp xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert, Luận án Tiến sĩ Tốn học [2] Hồng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Al-Mezel S.A., Asari QH & Ceng L.C (2015), Hybrid viscosity approach for hierachical fixed - point problems, Applicable Analysis, 94:1, 2-23 [4] Goebel K.Kirk WA (1990), Topics in metric fixed point theory Vol 28, Cambridge studies in advandced mathematics, Cambridge University Press: Cambridge [5] Xu H.K (2004), Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings, J Math Anal, Appl.; 298:279-291 [6] Ceng L.C., Yao J.C (2008), Relaxed viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequalities problems, Nonlinear Anal.; 69:3299-3309 ... tồn điểm bất động; phương pháp lặp xấp xỉ mềm, phương pháp lai ghép tìm điểm bất động Luận văn nhấn mạnh đến cách kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm phương pháp lai ghép việc giải toán điểm bất động. .. Phương pháp xấp xỉ mềm, Phương pháp chiếu đường dốc) Chương 2: Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải toán điểm bất động Chương nêu Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép giải toán điểm bất động nhiều cấp... Điểm bất động số phương pháp tìm điểm bất động 10 Phương pháp xấp xỉ mềm lai ghép cho toán điểm bất động 13 2.1 Tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 13 2.2 Tìm điểm