Phương pháp khử gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Trần Thị Hương Liên PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học PGS TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.1 Các phương pháp khử 1.1.1 Phương pháp khử Gauss 1.1.2 Phương pháp phần tử trội toàn phần 1.1.3 Phương pháp khử Gauss - Jordan 1.2 Phương pháp phân rã LU 1.3 Phương pháp Cholesky 1.4 Phương pháp phân rã QR 1.5 Phương pháp lặp đơn 1.6 Phương pháp lặp theo Seidel 1.7 Phương pháp lặp theo Jacobi phương pháp lặp theo GaussSeidel Tổng quan phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính 2.1 Sơ lược thuật tốn song song giải hệ phương trình đại số tuyến tính 2.1.1 Sơ lược phần mềm giải phương trình đại số tuyến tính máy tính song song 2.1.2 Giải hệ tam giác máy tính với nhớ phân tán 2.2 Các phương pháp giải hệ phương trình có ma trận hệ số thưa 2.2.1 Hệ ba đường chéo Phương pháp Thomas 2.2.2 Hệ ma trận băng Phương pháp Thomas cải biên 5 10 11 14 16 18 21 23 26 26 26 28 29 30 32 Sử dụng máy tính điện tử khoa học phần mềm Maple đại số tuyến tính 33 3.1 Sử dụng máy tính điện tử khoa học giải hệ phương trình tuyến tính 3.1.1 Tính tốn ma trận CASIO fx-570VN PLUS 3.1.2 Giải hệ phương trình bậc hai ẩn CASIO fx570VN PLUS 3.1.3 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn CASIO fx570VN PLUS 3.1.4 Hệ bốn phương trình bậc bốn ẩn CASIO fx-570VN PLUS 3.1.5 Tính tốn ma trận Vinacal 570 ES Plus 3.1.6 Giải hệ phương trình bậc bốn ẩn Vinacal 570 ES Plus 3.2 Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình tuyến tính Kết luận Tài liệu tham khảo 33 33 36 38 39 40 43 45 50 51 Mở đầu Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính biết đến từ lâu Tuy nhiên, nhu cầu thực tiễn, nhiều toán thực tế tốn học (sai phân hóa giải số phương trình vi phân, ), phương pháp khử Gauss nói riêng, phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính nói chung, quan tâm nghiên cứu, đặc biệt vào năm gần với việc sử dụng thành tựu công nghệ thông tin (máy tính tốc độ cao, máy tinh song song, ) Luận văn " Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính" có mục đích trình bày phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính, đặc biệt trọng trình bày phương pháp khử Gauss Ngoài ra, nhằm phục vụ cho giảng dạy đại số tuyến tính trường phổ thơng, Luận văn đề cập đến cách giải phương trình đại số tuyến tính máy tính điện tử khoa học sử dụng phần mềm Maple Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính chương phân thành hai nhóm chính: nhóm phương pháp trực tiếp nhóm phương pháp lặp Các phương pháp trực tiếp thường sử dụng cho hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ khơng lớn, số phép tốn dự đốn trước được, ma trận hệ số thường khơng suy biến Cịn phương pháp lặp thường sử dụng cho hệ có kích thước lớn hệ gần suy biến thỏa mãn điều kiện xấu Mỗi phương pháp nêu chương thường kèm theo ví dụ minh họa Chương Tổng quan phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính Chương trình bày tổng quan theo [6] phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính năm gần đây: Sơ lược giới thiệu số phần mềm giải hệ phương trình đại số tuyến tính máy tính song song; Giải hệ phương trình đại số tuyến tính có dạng đặc biệt: hệ có ma trận hệ số thưa, ma trận chéo khối, Chương Sử dụng máy tính khoa học phần mềm Maple đại số tuyến tính Chương giới thiệu sơ lược cách sử dụng máy tính khoa học (CASIO fx-570VN Plus, Vinacal 570 ES Plus) phần mềm Maple đại số tuyến tính, chủ yếu sâu vào cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính Luận văn hồn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng- Viện Tốn học, Viện khoa học Cơng nghệ Việt Nam Từ đáy lòng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết Thầy Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy, Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phịng đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Tốn-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp cao học toán K6D Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên quan tâm, động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Chương Các phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.1 Các phương pháp khử Xét hệ phương trình đại số dạng tổng quát    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 ,   an1 x1 + an2 x2 + + ann xn = bn , (1.1) dạng ma trận Ax = b, (1.2)  a11  a21 A =  an1 a12 a22 an2  a1n a2n   ann gọi ma trận hệ số phương trình đại số tuyến tính (1.1),   x1 x  x =   xn véctơ ẩn cần tìm,   b1 b  b =   bn véctơ hệ số tự Ma trận  a11  a21 A1 = (A|b) =  an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann  b1 b2   bn gọi ma trận suy rộng hệ phương trình đại số tuyến tính (1.1) 1.1.1 Phương pháp khử Gauss Phương pháp khử Gauss phương pháp cộng đại số khử dần ẩn để đưa hệ phương trình cho dạng tam giác giải hệ tam giác từ lên từ xuống để tìm nghiệm (x1 , , xn ) hệ phương trình cho Cơ sở thuật toán phương pháp khử Gauss sau Sử dụng phép biến đổi tương đương ma trận A1 để đưa ma trận A dạng tam giác Tức là:    a11 x1 +a12 x2 + +a1n xn a22 x2 + +a2n xn (1.1) ⇔   ann xn = = = b1 , b2 , bn (1.3) Từ hệ phương trình ta ngược từ lên để tìm nghiệm: xn , xn−1 , xn−2 , , x1 Ta mô tả gắn gọn phương pháp khử Gauss sau Phần thuận: (k) Khơng làm tính tổng qt, giả sử aii = (k = 1, n − 1) Ngay bước khử đầu tiên, ta nhân dòng thứ với đại lượng −a21/a11 cộng vào dòng thứ hai khử biến x1 phương trình thứ hai Sau nhiều n − phép biến đổi ta đưa phần tử cột từ vị trí thứ hai đổ xuống ma trận A1 giá trị không Ở bước hai, cách làm tương tự Qua nhiều n − phép biến đổi ta đưa phần tử cột hai tính từ vị trí thứ ba đổ xuống ma trận biến đổi (lần hai) giá trị không, tức loại bỏ biến x2 khỏi phương trình từ phương trình thứ ba đến phương trình thứ n Quy trình đó, nguyên tắc dừng bước khử biến thứ n−1 phương trình thứ n tương ứng với ma trận biến đổi cột thứ n − giá trị khơng vị trí thứ n, để nhận phương trình có ma trận hệ số ma trận tam giác Trong trình biến đổi ta biến đổi lúc vế phải hệ phương trình (tức véctơ b), ta hệ phương trình có dạng (1.3) Phần nghịch: Từ hệ phương trình tuyến tính (1.3) ta tính ngiệm xn , , x1 hệ phương trình cho theo cơng thức: n b x n = n , xk = ann bk − j=k+1 akk akj xj , k = 1, n − Ví dụ 1.1 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính sau phương pháp khử Gauss: x1 +2x2 +5x3 = −9, x1 −x2 +3x3 = 2, 3x1 −6x2 −x3 = 25 Giải Viết ma trận suy rộng thực phép biến đổi trên, ta có: −1 3 −6 −1 −9 25 ⇒ −3 −2 −12 −16 −9 11 52 ⇒ −3 −2 0 −8 −9 11 Khi ta có hệ phương trình: x1 +2x2 −5x3 = −9 −3x2 −2x3 = 11 −8x3 = Quy trình ngược trở lại ta nghiệm hệ phương trình : x3 = −1, x2 = −3, x1 = Phương pháp có hai yếu điểm Một là, bước khử mà phần tử đường chéo khơng biến đổi dừng lại Hai là, phần tử đường chéo khác không có giá trị tuyệt đối nhỏ phần tử khác cột chia làm tăng sai số, khuyếch đại sai số làm trịn số dẫn đến lời giải toán bị sai số lớn Có thể khắc phục hai nhược điểm phương pháp sau Ở bước khử ta chọn phần tử lớn cột một, phần tử nằm dịng k (k = 1) ta đổi vị trí dịng cho dịng thực phép biến đổi phương pháp Gauss Bước thứ hai, ta chọn phần tử có giá trị tuyệt đối lớn cột hai, thực đổi dòng cần thiết, thực phép khử từ vị trí thứ ba trở xuống Tất bước khử thực với modul lớn cột tương ứng trước tiến hành phép khử Tức là, bước khử x1 ta chọn hàng r cho: |ar1 | = max {|ak1 | , k = 1, , n} Sau đổi hàng r cho hàng tiếp tục bước khử nêu Tương tự bước khử x2 , x3 , , xn−1 ta tìm phần tử có modul lớn cột tương ứng |ari | = max {|aki | , k = i, i + 1, , n} (i = 2, 3, , n − 1) Phương pháp khử kết hợp với phép chọn làm cho thuật tốn ổn định ln thực ma trận suy rộng, không làm thay đổi thứ tự ẩn số Ví dụ 1.2 Giải hệ phương trình sau phương pháp khử Gauss: 2x1 +3x2 +x3 = 11, −x1 +2x2 −x3 = 0, 3x1 +2x3 = Giải Xét ma trận suy rộng hệ phương trình ta có: A1 = −1 −1 11 Trên cột ma trận A1 ta thấy max {|ak1 | /k = 1, 2, 3} = a31 = 3, đổi dòng ba cho dòng một, nhân dòng vừa biến đổi với phần tử 1/3 cộng với dòng hai nhân với phần tử (−2/3) cộng với dòng ba ta được: 9 0 −1/3 −1 −1 A1 = ⇒ A1 = 11 −1/3 Ở bước khử thứ hai ta có max {|ak2 | /k = 2, 3} = a32 = Thực phép đổi vị trí dịng hai cho dịng ba, nhân dịng vừa hốn đổi cho phần tử (−2/3) sau cộng với dịng ba ta được: A1 = 3 −1/3 −1/3 ⇒ A1 = 3 −1/3 0 −1/9 −1/3 Khi hệ phương trình cho có dạng:  +2x3 =  3x1 3x2 − 31 x3 =  − 19 x3 = − 13 Quy trình ngược trở lại ta nhận nghiệm hệ phương trình cho là: x3 = 3, x2 = 2, x1 = 1.1.2 Phương pháp phần tử trội toàn phần Ngay từ bước khử đầu tiên, ta chọn phần tử có giá trị tuyệt đối lớn số phần tử aij (1 ≤ i, j ≤ n) ma trân Giả sử phần tử apq (dịng thứ p cột thứ q ) Ta gọi dòng p dòng trội, nhân dòng với thừa số −alp/apq (l = p) cộng dòng thứ l Bằng cách loại bỏ ẩn xp khỏi hệ phương trình, trừ phương trình thứ p Sau loại hàng trội cột q khỏi hệ phương trình vừa biến đổi, ta thu hệ gồm n − phương trình Tiếp tục thực bước khử thứ hai bước ban đầu thu hệ gồm n − phương trình Cứ sau n − lần thực phép khử ta nhận phương trình ẩn Giai đoạn tiếp theo, ta tính nghiệm từ phương trình cuối cùng, đến phương trình hai ẩn hàng trội bị bỏ sau bước khử thứ n−1, đến phương Sau bấm dãy phím M ODE để vào chương trình giải hệ phương trình bậc hai ẩn Lần lượt khai báo hệ số phương trình sau: khai báo hết ba hệ số phương trình đầu khai báo tiếp ba hệ số phương trình sau theo thứ tự, hệ số ngăn cách phím = Các hệ số cần đưa vào máy phải có dạng tắc nêu ghi nhớ trên; hình bảng hệ số Nếu hệ phương trình cần giải có nghiệm sau đưa đủ hệ số vào máy, hình giá trị (đúng gần đúng) ẩn x Sau bấm tiếp = , hình giá trị ẩn y Nếu hệ phương trình vơ nghiệm máy trả lời: No-solution (khơng có nghiệm) Nếu hệ có vơ số nghiệm máy trả lời: infinite Solution (vơ số nghiệm) Chuyển sang hệ phương trình khác cách bấm phím = Thốt khỏi hệ phương trình cách trở M ODE Ví dụ Giải hệ phương trình: 13x +17y = −25 23x −19y = 103 Giải Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta vào M ODE Khai báo hệ số : 13 = 17 = (−) 25 = 23 = (−) 19 = 103 = Bấm phím: = (Kết quả: x = 2) Bấm tiếp phím: = (Kết quả: Y = −3) Ví dụ Giải hệ phương trình: 83249x +16571y = 108249 16571x 83249y = 41751 37 Giải Để giải hệ hai phương trình bậc hai ẩn ta vào M ODE Khai báo hệ số : 83249 = 16751 = 108249 = 16751 = 83249 = 41751 = Bấm phím: = (Kết quả: x = 45 ) Bấm tiếp phím: = (Kết quả: Y = 14 ) 3.1.3 Hệ ba phương trình bậc ba ẩn CASIO fx-570VN PLUS Ghi nhớ: Muốn giải hệ ba phương trình bậc ba ẩn, trước hết ta phải viết hệ dạng tắc: a1 x +b1 y +c1 z = d1 a2 x +b2 y +c2 z = d2 a3 x +b3 y +c3 z = d3 Sau bấm phím M ODE (vào chương trình hệ ba phương trình bậc ba ẩn), ta đưa hệ số hệ phương trình vào máy tương tự hệ hai phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Giải hệ phương trình: x +2y +3z = 26 2x +3y +z = 24 3x +2y +z = 39 Giải Tính máy: Vào chương trình hệ ba phương trình bậc ba ẩn: M ODE Khai báo hệ số giải: = = = 26 = = = = 24 = = = = 39 = = (Kết X = 151 12 ) = (Kết Y = −29 12 ) 38 = (Kết Z = 73 12 ) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2x +y =1 3y +z = x +4z = Giải 2x +y = 3y +z = ⇔ x +4z = 2x +y +0.z = 0.x +3y +z = x +0.y +4z = Vào chương trình, khai báo hệ số giải: M ODE 2 = = = = = = = = = = = = = (Kết quả: X = 25 ) = (Kết Y = 25 ) = (Kết quả: Z = 25 ) Ví dụ Giải hệ phương trình: 2x +5y = 13z +1000 3x +3z = 9y 6y +8x = 5x −600 Giải 2x +5y = 13z +1000 3x +3z = 9y ⇔ 6y +8x = 5x −600 ⇔ 2x +y −13z = 1000 3x −9y +3z = 5x −6y −8z = 600 2x +y −13z = 1000 x −3y +z = 5x −6y −8z = 600 Vào chương trình hệ ba phương trình bậc nhất; M ODE Khai báo hệ số giải: = = (−) 13 = 1000 = = (−) = = = = (−) = (−) = 600 = = (Kết quả: x = 1200) = (Kết y = 500) = (Kết quả: z = 300) 3.1.4 Hệ bốn phương trình bậc bốn ẩn CASIO fx570VN PLUS CASIO fx-570VN PLUS khơng cài đặt chương trình giải hệ phương trình bậc bốn ẩn Vì ta phải đưa phương trình ba ẩn giải mục (3.1.2) nêu 39 3.1.5 Tính tốn ma trận Vinacal 570 ES Plus Ngồi chương trình tính tốn với ma trận máy tính khoa học khác (Vinacal 500 MS, Vinacal 570 MS, Casio 570VN PLUS, ), Vinacal 570 ES Plus cài đặt chương trình tính tốn với ma trận cấp bốn Đây tính vượt trội Vinacal 570 ES Plus Khai báo ma trận Mở máy vào chương trình tính tốn với ma trận nhờ bấm phím ON M ODE Màn hình hiện: Matrix? 1: MatA 2: MatB 3: MatC Nghĩa là, ta khai báo làm việc với ba ma trận (matrix) Muốn khai báo ma trận A bấm phím Màn hình xuất hiện: MatrixA (m × n) m × n? 1: × 2: × 3: × 4: × Nếu bấm phím ∇ hình xuất hiện: MatrixA (m × n) m × n? 1: × 2: × 3: × 4: × Lại bấm phím ∇ hình xuất hiện: MatrixA (m × n) m × n? 1: × 2: × 3: × 4: × Lại bấm phím ∇ hình xuất hiện: 40 MatrixA (m × n) m × n? 1: × 2: × 3: × 4: × Tức là, khai báo ma trận A với 16 kích cỡ từ × đến × Cần khai báo ma trận với kích thước nào, ta bấm vào số tương ứng Thí dụ, bấm ma trận × 4, hình ô ma trận A để ta −2 −1 , ta làm khai báo Thí dụ, để khai báo ma trận A = sau Mở máy, ON Vào chương trình ma trận: M ODE Bấm phím (Khai báo số chiều ma trận A (3 × 4)) Khai báo hệ số ma trận A: = (−) = = = = (−) = = = = = = = Sau khai báo ma trận A, ta bấm phím SHIF T để tiếp tục khai báo ma trận B Bấm SHIF T , hình hiện: 1: Dim 2: Data Bấm phím (Data-Dữ liệu) Màn hình hiện: Matrix? 1: MatA 2: MatB 3:MatC  2 Bấm phím để chuẩn bị khai báo ma trận B =  4 × Màn hình hiện: MatrixB (m × n)  −1 −3  −1  có số chiều −2 m × n? 1: × 2: × 3: × 4: × 41 Bấm phím (tức khai báo ma trận B có số chiều × 2) Màn hình bảng ma trận Khai báo hệ số ma trận B : = (−) = = (−) = = (−) = = (−) = Bấm phím AC để đưa hình chế độ tính tốn ma trận Sau bấm phím SHIF T , hình hiện: 1: Dim 2: Data 3: MatA 4: MatB 5: MatC 6: Mat Asn 7: Det 8: Trn Muốn tính gì, ta sử dụng bảng Ví dụ Tính tích AB hai ma trận A B Bấm phím (gọi ma trận A) × SHIF T (trở tính tốn với ma trận) Bấm phím (gọi ma trận B ) Màn hình MatMatB  −1  −3  Bấm phím = kết (AnS:  −1  −2 Muốn làm việc khác ta phải bấm phím AC SHIF T đẻ trở bảng tính tốn ma trận tiếp tục thực hiên tính tốn Ví dụ Nhân ma trận B với số (ví dụ α = 5)), ta phải: Bấm phím (gọi ma trận B ) bấm phím × = ma trận kết quả:   −5  10 −15  (Ans:  15 −5 ) 20 −10   −2  −1  Ví dụ Muốn tính định thức ma trận C =    42 Ta bấm phím AC để trở hình tính tốn ma trận Bấm phím SHIF T (vào Data-Dữ liệu) (ma trận C ) Khai báo phần tử C : = (−2) = = = = (−) = = = = = = = = = = = Bấm phím AC (trở hình), bấm phím SHIF T trở tính tốn ma trận Bấm phím (tính định thức), bấm phím SHIF T trở tính tốn ma trận, bấm phím (gọi ma trận C ), hình hiện; Det(MatC) Bấm phím = (240), tức detC = 240 Nhận xét: Với Vinacal 570 ES Plus, ta làm việc với ma trận cấp m × n m,n = 1,2,3,4 Các máy khác cho phép tính tốn ma trận khơng q cấp × 3.1.6 Giải hệ phương trình bậc bốn ẩn Vinacal 570 ES Plus Vinacal 570 ES Plus cài đặt chương trình giải hệ phương trình bậc bốn ẩn Đây tính vượt trội Vinacal 570 ES Plus Để giải hệ phương trình tuyến tính hai, ba bốn ẩn Vinacal 570 ES Plus, ta phải mở máy phím ON , vào M ODE (giải phương trình hệ phương trình) Màn hình hiện: ∇ 1: 2: 2: 3: unknown unknown EQN EQN 3: 4: unknown EQN Dấu ∇ đầu bên phải hình cần lưu ý: Nếu dùng phím ∇ REP LAY hình tiếp: 43 1: aX + bX + c = 2: aX + bX + cX + d = Có nghĩa là, chương trình giải phương trình bậc hai bậc ba cài đặt Vinacal 570 ES Plus Như vây, cho phép giải phương trình bậc hai bậc ba, hệ số phương trình bậc hai, ba bốn ẩn Dưới hướng dẫn sử dụng giải hệ phương trình bậc bốn ẩn Vinacal 570 ES Plus Ví dụ Giải hệ phương trình    2x 4x 8x   3x bậc bốn ẩn +2y +3y +5y +3y −z −z −3z −2z +t +2t +4t +2t = = = = 2, 3, 6, Giải Mở máy: ON , vào M ODE (giải phương trình hệ phương trình) Bấm phím (giải hệ phương trình bậc bốn ẩn) Lần lượt khai báo hệ số: = = (−) = = = = = (−) = = = = = (−) = = = = = (−) = = = (X= 21 ) = (Y = 1 ) = (Z = − ) = (T = − ) Đáp số: x = 12 , y = 12 , z = − 21 , t = − 12 Ví dụ Giải hệ phương trình bậc bốn    3x −2y −5z +t 4x −3y +z +5t x +2y −4t   x −y −4z +9t ẩn = 3, = −3, = −3, = 22 Giải Vì M ODE (giải hệ phương trình bậc bốn ẩn), nên cần trở hình khai báo hệ số phương trình mới: = (−) = (−) = = = = (−) = = = (−) 44 = = = = (−) = (−) = = (−) (−) = = 22 = (X= (−1)) = (Y = 3) = (Z = −2) = (T = 2) Đáp số: x = −1, y = 3, z = −2, t = Chú ý: - Khi khai báo hệ số (hệ số ẩn z phương trình thứ ba), ta phải khai báo hệ số = , không khai báo, máy báo lỗi - Khi số phương trình nhiều bốn (biến đổi hệ phương trình bậc bốn) máy để giải 3.2 Sử dụng phần mềm Maple giải hệ phương trình tuyến tính Maple nhiều thư viện chuyên biệt dành cho lĩnh vực tốn học, có nhiều ứng dụng Ở nêu số ứng dụng đại số tuyến tính, cụ thể giải hệ phương trình tuyến tính Khi chạy chương trình cách click chuột vào biểu tượng Maple giao diện lên mục làm việc chọn tạo trang (worksheet) Mở trang (worksheet) cách chọn File|New Ta thấy trang trắng với dấu [> đầu trang: [> Gọi dấu prompt Sau dấu prompt, bắt đầu gõ phép tính yêu cầu Maple thực chúng Chú ý rằng, kết thúc dòng lệnh dấu hai chấm (:) dấu chấm phẩy (;) sau gõ Enter, khơng phần mềm báo lỗi Để làm việc với thư viện tính tốn đại số tuyến tính, ta sử dung lệnh: [> with(LinearAlgebra) Cần tính tốn ta bắt đầu khai báo từ 45 Ví dụ Tính ma trận nghịch đảo ma trận A = −2 −2 −3 Giải Khai báo ma trận A: > A = 1, 2, | −2, 1, −2 | −3, 2, 1 A = −2 −3 ; −2 Tính ma trận nghịch đảo, dùng lệnh: > inverse(A)  Ví dụ Giải hệ phương trình    x x x   4x  18    −1 18 9 −4 −7 18 −2    18 +y +y −2y +y +3z +z +z +8z −t +t −t −t = = = = 1 Giải Khai báo ma trận M = (A, b): >M := 1, 1, 1, | 1, 1, −2, | 3, 1, 1, | −1, 1, −1, −1 | 0, 1, 1, ;   1 −1 1 1 1 M =  −2 −1  −1 Giải phương trình Ax = b: > M _sol := LinearSolve(M );  25  64  M _sol :=    −2 −2 46       Ví dụ Giải hệ phương trình x +2y +z −t = y −t = −1 −3t = −9 Giải Đây hệ ba phương trình bốn ẩn, giải hệ phương trình phương pháp chọn ẩn tự do, ẩn lại biểu diễn qua ẩn tự Trước hết, khai báo ma trận A: > A := 1, 0, | 2, 1, | 1, 0, | −1, −1, −3 ; −1 −1 0 −3 A= Khai báo vectơ b: > b := 2, −1, −9 b= −1 −9 giải hệ Ax = b phương pháp chọn ẩn tự nhờ lệnh "subs": > LinearSolve(A, b, method = subs , f ree = s )   − s1    s  Ví dụ Giải hệ phương trình sau 4x1 +2x2 −x3 = 2x1 +4x2 +3x3 = −x1 +3x2 +5x3 = Giải Khai báo ma trận P , s: > P := 4, 2, −1 | 2, 4, | −1, 3, P := −1 −1 47 0 Giải hệ P x = z phương pháp Cholesky dùng lệnh: > LinearSolve(P, z, method = Cholesky );   > z := 11  813  −    Giải hệ phương trình P x = z phương pháp phân rã LU dùng lệnh: > LinearSolve(P, z, method = LU );   11  813  −    Giải hệ P x = z phương pháp phân rã QR dùng lệnh: > LinearSolve(P, z, method = QR );   11  813  −    Ví dụ Khai báo ma trận thưa S , véctơ t: > S := Matrix ([[5,0,0,0,0,0],[0,2,-1,2,0,0],[0,0,3,0,0,0],[-2,0,0,1,1,0],[1,0,0,1,2,3],[1,1,0,0,0 storage=sparse);    S :=    0 −2 1 0 0 −1 0 0 0 1 0 0 > t:= Vector ([15,12,18,3,-6,0],datatype=float); 48          t :=    15 12 18 −6       Giải hệ phương trình Sx = t với ma trận thưa phương pháp xấp xỉ: > LinearSolve(S,t,method=’SparseIterative’);   3.00000000000000  −33.0000000000000   6.00000000000000     42.0000000000000    −33 49 Kết luận Luận văn "Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính" tập trung nghiên cứu số vấn đề sau đây: Luận văn trình bày cách tổng qt có hệ thống phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Các phương pháp phân làm hai nhóm chính: phương pháp trực tiếp phương pháp lặp Phương pháp trực tiếp thường áp dụng với hệ phương trình có số phương trình khơng qua lớn bước dự đoán trước chủ đạo phương pháp dựa thuật toán phương pháp khử Gauss, cịn phương pháp lặp nói chung khơng dự đốn số lần lặp thường áp dụng cho hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn thu nghiệm xấp xỉ với độ xác mong muốn Ngoài ra, nhằm khai thác phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính phục vụ cho giảng dạy chương trình tốn phổ thơng, luận văn giới thiệu thêm hai phần mềm ứng dụng hiệu đại số tuyến tính là: máy tính khoa học phần mềm Maple Do hạn chế thời gian trình độ, nhiều vấn đề phương pháp khử Gauss độ phức tạp tính tốn, tính ổn định phương pháp, cịn chưa đề cập Luận văn Hy vọng vấn đề tiếp tục tìm hiểu 50 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2006 [2] Trần Văn Trản, Phương pháp số thực hành, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007 (Tập I,Chương 6, trang 170-256) [3] Duff, The use of vector and parallel computers in the solution of large sparse linear equations, Report AERE R12329, Harwell Lab [4] George, A and Liu, J W-H., Computer Solution of Large Sparse Positive Defined Systems, Prentice Hall, 1981 [5] Gene H Golub, Charles F Van Loan, Matrix Computations, Third Edition,The Johns Hopkins University Press, 1996, Baltimore and London [6] Gérard Meurant, Gaussian Elimination for the Solution of Linear Systems of Equations, in Hangbook of Numerical Analysis, Volume VII (Part 3: Solutions in R∧ n, pp 1-170), edited by P.G Ciarlet and J L Lions, 2000, Elsevier Sciences [7] Lloyd N Trefethen, David Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, Philadelphia 51 ... Luận văn " Phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính" có mục đích trình bày phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính, đặc biệt trọng trình bày phương pháp khử Gauss Ngồi... quan phương pháp khử Gauss giải hệ phương trình đại số tuyến tính 2.1 Sơ lược thuật tốn song song giải hệ phương trình đại số tuyến tính 2.1.1 Sơ lược phần mềm giải phương trình đại số tuyến tính. .. suy rộng hệ phương trình đại số tuyến tính (1.1) 1.1.1 Phương pháp khử Gauss Phương pháp khử Gauss phương pháp cộng đại số khử dần ẩn để đưa hệ phương trình cho dạng tam giác giải hệ tam giác