Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch lồi

in = −4✳ ❍➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❍➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❧➭ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ơ ❝➡ ❜➯♥✱ ❤÷✉ Ý❝❤ ✈➭ r✃t ❝ã t➳❝ ❞ơ♥❣ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳ ➜Ĩ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ t❛ ❝➬♥ ♥❤í ❧➵✐ ♠ét sè ❦Ý ❤✐Ư✉✳ ❱✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét✱ ❝✃♣ ❤❛✐✱ ❝✃♣ ❜❛ ❝ñ❛ ❤➭♠ F : Rn −→ R t➵✐ ♠ét ➤✐Ó♠ DF (x), D2 F (x), D3 F (x)✳ ❈➳❝ ✈✐ ♣❤➞♥ ♥➭② ❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ x ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❜ë✐✿ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ✈➭ t❛ ❝ã✿ DF (x) : Rn −→ R : h1 −→ DF (x)[h1 ] D2 F (x) : Rn × Rn −→ R : (h1 , h2 ) −→ D2 F (x)[h1 , h2 ] ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D3 F (x) : Rn × Rn × Rn −→ R : (h1 , h2 , h3 ) −→ D3 F (x)[h1 , h2 , h3 ] ❑❤✐ ♠ét tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ·, · ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ tr♦♥❣ Rn ✱ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝✃♣ ♠ét ✈➭ ❝✃♣ ❤❛✐ ❝ã t❤Ĩ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ ❜ë✐ ♠ét ✈❡❝t➡ ✈➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ✈❡❝t➡ ●r❛❞✐❡♥ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ❍❡ss✐❛♥ ❝ñ❛ ✈➭ F t➵✐ x✳ ❈❤ó♥❣ sÏ ➤➢ỵ❝ ❦Ý ❤✐Ư✉ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❜ë✐ g(x) H(x)✳ ❚❛ ❝ã✿ DF (x)[h] = g(x), h D2 F (x)[h1 , h2 ] = h1 , H(x)h2 ❘â r➭♥❣ ✈❡❝t➡ ●r❛❞✐❡♥ ✈➭ ♠❛ tr❐♥ ❍❡ss✐❛♥ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ sư ❞ơ♥❣ tr➟♥ Rn ✳ ❉♦ ➤ã ♠ơ❝ t✐➟✉ ❝đ❛ ❝❤ó♥❣ t❛ ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ◆❡✇t♦♥✱ ♥ã ❝ị♥❣ ❧➭ t❤✉❐♥ t✐Ư♥ ➤Ĩ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ t➵✐ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥é✐ t➵✐ ·, · x✳ n(x) = −H(x)−1 g(x) ✈➭ u, v ❚Ý❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥é✐ t➵✐ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❦❤✐ sư r➺♥❣ H(x) x ❜➢í❝ ◆❡✇t♦♥ n(x) ✈➭ tÝ❝❤ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ ✈ã✐ ♠ä✐ x = u, H(x)v H(x) ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣✳ ●✐➯ x tr♦♥❣ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝đ❛ F ✳ ❈❤✉➮♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥➭② ❧➭ ♠ét ❝❤✉➮♥ ♥é✐ t➵✐ ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ a x = a, a x ✳ ◆Õ✉ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐Ĩ✉ ❞✐Ơ♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❜ë✐ ●r❛❞✐❡♥ ✈➭ ❍❡ss✐❛♥ ❝đ❛ ♠ä✐ F ➤è✐ ✈í✐ ❝➳❝ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ♥é✐ t➵✐ ·, · gx ✈➭ Hx ❧➭ x ✱ t❛ ❝ã ✈í✐ y gx (y) = H(x)−1 g(y), Hx (y) = H(x)−1 H(y), n(y) = −Hx (y)−1 gx (y) (3.16) ❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t❛ ❦Ý ❤✐Ö✉ Bx (y, r) ❧➭ ➤➢ê♥❣ trß♥ ♠ë ❜➳♥ ❦Ý♥❤ r ✱ t➞♠ y tr♦♥❣ ó í ợ ố ị ĩ ✸✳✶✳ ❈❤♦ C x✳ ❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ❧å✐ ❝ñ❛ Rn tr rỗ F : intC −→ R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝đ❛ ❧í♣ C ♠➭ ❝ã ❍❡ss✐❛♥ ❧➭ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ tr➟♥ intC ✳ F ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ♥Õ✉ ∀x ∈ intC ✱ t❛ ❝ã Bx (x, 1) ⊆ intC, ❝❤♦ ✈➭ ♥Õ✉ y ∈ Bx (x, 1) t❛ ❝ã✿ (1 − y − x x )2 D2 F (x)[h, h] ≤ D2 F (y)[h, h] ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D2 F (x)[h, h], ∀h (1 − y − x x ) ❍ä ❝➳❝ ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭ SC ✳ ≤ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✸✳✶✼✮ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❍❡ss✐❛♥ t➵✐ ❍❡ss✐❛♥ t➵✐ ➤✐Ĩ♠ y ❜✃t ❦× ❝đ❛ t❤✉❐♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ F Bx (x, 1)✳ x ❑❤✐ (3.17) ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ❞ï♥❣ ➤Ĩ ➤➳♥❤ ❣✐➳ F ❧➭ ❝đ❛ ❧í♣ C3 t❤× F ❧➭ ➤å♥❣ ❧➭ ❤➭♠ ♣❤➵t t❤á❛ ♠➲♥✿ D3 F (x)[h, h, h] ≤ 2(D2 F (x)[h, h])3/2 , (3.18) x ∈ intC ✈➭ h ∈ Rn ✳ n ❈❤♦ x ∈ intC ✈➭ h ∈ R ✈➭ ❝❤♦ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ Fx,h : R −→ R ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ Fx,h (t) = F (x + th) ❚❛ ❝ã F ”x,h (t) = D2 F (x + th)[h, h] ✈➭ F ”x,h (t) = D3 F (x + th)[h, h, h] ✈í✐ ♠ä✐ F ”x,h (t) ≤ 2F ”x,h (t)3/2 , ∀x + th ∈ intC ✈➭ h ∈ Rn ✳ ❉♦ ➤ã✱ ❦❤✐ F ❧➭ ❝đ❛ ❧í♣ C ✱ t❤× F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❝ï♥❣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ intC ✳ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✸✳✶✽✮ ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ✈✐Õt ❧➵✐✿ F1 ✈➭ F2 ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ t➢➡♥❣ ø♥❣ tr➟♥ intC1 ✈➭ intC2 ✱ ✈➭ ♥Õ✉ intC1 ∩ intC2 = ∅ t❤× F1 + F2 ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC1 ∩ intC2 ✳ m m n m ◆Õ✉ F ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ intC ⊆ R , b ∈ R ✈➭ A : R −→ R ❧➭ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳ ◆Õ✉ x −→ F (Ax − b) t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ t❤× ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ ♥Õ✉ ♥❤➢ ề {x|Ax b intC} rỗ C ✳ ❈❤♦ f1 ✈➭ f2 ❧➭ ❤❛✐ ❤➭♠ ➤å♥❣ t ỗ x tộ ề ị ủ f1 + f2 ✱ t❛ ❝ã f ”1 (x) ≥ 0, f ”2 (x) ≥ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯ sö F ❧➭ t❤✉é❝ ❧í♣ ✈➭ |f1 (x) + f2 (x)| ≤ 2(f1 (x)3/2 + f2 (x)3/2 ) ≤ 2(f1 (x) + f2 (x))3/2 (u3/2 +v 3/2 )2/3 ≤ u+v ✱ ✈í✐ u, v ≥ 0✳ ➜Ĩ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❛❢❢✐♥❡ ❝ñ❛ sù ➤å♥❣ t❤✉❐♥✱ t❛ ①Ðt f˜(y) = f (ay + b)✱ tr♦♥❣ ➤ã a = 0✳ ❑❤✐ ➤ã f˜ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ f ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❚❛ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ t❛ sư ❞ơ♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤✃② ➤✐Ò✉ ➤ã ❦❤✐ t❛ tÝ♥❤ f˜ (y) = a2 f (x), f˜ (y) = a3 f (x), ✹✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tr♦♥❣ ➤ã x = ay + b✱ ✈➭ t❛ s✉② r❛ r➺♥❣ ˜ (y)3/2 ⇔ |a3 f (x)| ≤ 2(a2 f (x))3/2 ⇔ |f (x)| ≤ 2f (x)3/2 |f˜ (y)| ≤ 2f˜ ❱Ý ❞ô ✸✳✸✳ ❍➭♠ ❍➭♠ ❝❤➽♥ ❧♦❣❛✳ f : R++ −→ R ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ f (x) = − log x ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ sư ❞ơ♥❣ , f ” (x) = − x2 x3 f ”(x) = t❛ t❤✃② r➺♥❣✿ |f ” (x)| 2/x3 = =1 2f ”(x)3/2 2(1/x2 )3/2 m ❍➭♠ f (x) = log(bi − aTi x)✱ ✈í✐ intC = {x|aTi x < bi , i = 1, , m} i=1 t ỗ số ♣❤Ð♣ ❜✐Õ♥ ➤æ✐ ❛❢✐♥ −log(bi − aTi x) ❧➭ sù ❤ỵ♣ t❤➭♥❤ ❝đ❛ −logy ✈í✐ y = bi − aTi x✱ ✈➭ ❞♦ ➤ã ♥ã ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❙✉② r❛ tỉ♥❣ ❝ị♥❣ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ ❇ỉ ➤Ị ✸✳✶✳ ❈❤♦ F : intC −→ R s❛♦ ❝❤♦ Bx (x, 1) ⊆ intC, ∀x ∈ intC ✳ ❑❤✐ ➤ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿ F ✭✐✮ ✭✐✐✮ ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥✳ Hx (y) x , Hx (y)−1 I − Hx (y) x , I − Bx (x, 1) ✭✐✐✐✮ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳ n(x) x ❈❤♦ F (1− y−x Hx (y)−1 x x ≤ , ∀x ∈ intC, ∀y ∈ Bx (x, 1) ≤ (1− y−x − 1, ∀x ∈ intC, ∀y ∈ x) x) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ✈➭ ❝❤♦ x+ = x + n(x) ◆Õ✉ < t❤× n(x+ ) x+ ≤( n(x) x ) − n(x) x n(x) x < 1✳ ❉♦ ➤ã✱t❤❡♦ ✭✸✳✶✻✮ t❛ ❝ã gx (x+ ) = H(x)−1 g(x+ ), Hx (x+ ) = H(x)−1 H(x+ ), ✈➭ n(x+ ) = −Hx (x+ )−1 gx (x+ ), ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ●✐➯ sö t❛ ❝ã n(x+ ) = Hx (x+ )−1 gx (x+ ) = Hx (x+ )−1 gx (x+ ), H(x+ )Hx (x+ )−1 gx (x+ ) x+ ✹✷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = Hx (x+ )−1 gx (x+ ), gx (x+ ) ≤ Hx (x+ )−1 x gx (x+ ) 2x ✳ x ✭✈× H(x+ ) = H(x)Hx (x+ )✮ ❉♦ ➤ã t❤❡♦ ❜ỉ ➤Ị ✭✸✳✶✮ t❛ ❝ã Hx (x+ )−1 x ≤ ❚❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ n(x+ ) x+ ≤ , (1 − n(x) x )2 gx (x+ ) 2x (1 − n(x) x )2 (3.19) gx (x) = −n(x)✱ t❛ ❝ã gx (x+ ) x = gx (x+ ) − gx (x) − n(x) x = [Hx (x + tn(x)) − I]n(x)dt x ≤ n(x) x I − Hx (x + tn(x)) x dt ❉♦ ➤ã n(x) x )2 − 1]dt t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✸✳✶ n(x) x n(x)) 2x x [ 1− n(x) x ] = 1− n(x) x ≤ n(x) x [ (1−t = n(x) ❑❤✐ ➤ã tõ ✭✸✳✶✾✮ t❛ t❤✉ ợ n(x+ ) ị ĩ ột t ♥Õ✉ F ∈ SC x ≤( n(x) x ) − n(x) x F : intC −→ R ✈➭ vF := sup gx (x) x∈intC ❚❤❛♠ sè vF ➤➢ỵ❝ ọ ợ ọ trị ♣❤ø❝ t➵♣ ❝ñ❛ x < +∞ F ✳ ❈❤♦ SCB (3.20) ể tị ọ ữ số ❉♦ ➤ã gx (x) x = n(x) x = g(x)T H(x)−1 H(x)H(x)−1 g(x) = g(x)T H(x)−1 g(x) ▼Ö♥❤ ➤Ị ✸✳✸✳ ●✐➯ sư (3.21) F ∈ SCB ✳ ◆Õ✉ x, y ∈ intC t❤× g(x), y − x < vF ✹✸ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❱Ý ❞ô ✸✳✹✳ ❍➭♠ ❝❤➽♥ ❧♦❣❛ ❈❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt r➺♥❣ ❤➭♠ n F (x) = − logxi ❧➭ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ tr➟♥ i=1 ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ❝❤➽♥✳ ❚❤❐t sù✱ ●r❛❞✐❡♥ tä❛ ➤é t❤ø ✐ ❧➭ −1/xi tr➟♥ ➤➢ê♥❣ ❝❤Ð♦ ❧➭ ✈➭ ❍❡ss✐❛♥ H(x) Rn++ ✳ ◆ã g(x) ❧➭ ♠ét ✈❡❝t➡ ✈í✐ ❧➭ ♠❛ tr❐♥ ❝❤Ð♦ ✈í✐ ♣❤➬♥ tư t❤ø ✐ 1/x2i ✳ ❉♦ ➤ã gx (x) x = g(x)T H(x)−1 g(x) = n, ∀x ∈ Rn++ vF = n✳ ◆ã ❝ã t❤Ĩ ➤➢ỵ❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ ♥Õ✉ F1 , F2 ∈ SCB intC1 ∩ intC2 = ∅ t❤× F = F1 + F2 ∈ SCB ✈➭ vF ≤ vF1 + vF2 ✳ ❱× ✈❐② ✹✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✈➭ ❑Õt ❧✉❐♥ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ✈✃♥ ➤Ị s❛✉✿ ✶✳ ●✐í✐ t❤✐Ư✉ ♥❤÷♥❣ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ị ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✳ ➜ã ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ t❐♣ ❧å✐ ➤❛ ❞✐Ö♥✱ ❤➭♠ ❧å✐✱ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❞➢í✐ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝đ❛ ❤➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ♠✐♥❤ ❤ä❛✳ ✷✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳ ➜ã ❧➭ sù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠ tè✐ ➢✉ ✈➭ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tè✐ ➢✉ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✳ ✸✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤✐Ĩ♠ tr♦♥❣ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ q✉② ❤♦➵❝❤ ❧å✐✱ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ♠✐♥❤ ❤ä❛✱ tÝ♥❤ ➤å♥❣ t❤✉❐♥ ✈➭ t❤✉❐t t♦➳♥ ❣è❝✳ ▼➷❝ ❞ï ➤➲ ❝ã ề ố ỗ ự s ề t➭✐ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ ❤➵♥ ❝❤Õ✱ t❤✐Õ✉ sãt✳ ❚➳❝ ❣✐➯ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❝➳❝ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❤♦➭♥ t❤✐Ö♥ ❤➡♥✳ ❳✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ✦ ✹✺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t✐Õ♥❣ ❱✐Ưt [1] ▲➟ ❉ị♥❣ ▼➢✉ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❱➝♥ ❍✐Ị♥✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤ä❝ tù ♥❤✐➟♥ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ✭ sÏ r❛✮✳ [2] ❍✉ú♥❤ ❚❤Õ P❤ï♥❣✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ❧å✐✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❞ô❝ ✭ sÏ r❛✮✳ [3] ❚r➬♥ ❱ị ❚❤✐Ư✉ ✈➭ ◆❣✉②Ơ♥ ❚❤✉ ❚❤đ②✱ ◆❤❐♣ ♠➠♥ tè✐ ➢✉ ♣❤✐ t✉②Õ♥✱ ◆❳❇ ➜➵✐ ❤ä❝ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❍➭ ◆é✐ ✭✷✵✶✶✮✳ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t✐Õ♥❣ ❆♥❤ [4] ❙t❡♣❤♥ ❇♦②❞ ❛♥❞ ▲✐❡✈❡♥ ❱❛♥❞❡♥❜❡r❣❤❡✱ ❈♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❈❛♠✲ ❇r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss ✭✷✵✵✹✮✳ [5] ❏❡❛♥✲ ❏❛❝q✉❡s✳ ❙tr♦❞✐♦t✱ ■♥t❡r✐♦r✲ P♦✐♥t ▼❡t❤♦❞s ✐♥ ❈♦♥✈❡① ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ◆❛♠✉r ❯♥✐✈❡rs✐t② ✭✷✵✵✹✮✳ ✹✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn