Chuỗi lũy thừa hình thức và tiêu chuẩn bất khả quy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN BÁ DƯƠNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN BÁ DƯƠNG CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC VÀ TIÊU CHUẨN BẤT KHẢ QUY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2017 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Chuỗi lũy thừa hình thức 1.1 Định nghĩa số tính chất 1.2 Một số phép toán 1.3 Phép truy toán C[[x]] 16 1.4 Phương pháp đếm dùng hàm sinh thông thường 23 1.5 Phương pháp đếm hàm sinh mũ 34 Chương Tính bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức 40 2.1 Tính phân tích vành Z[[x]] 40 2.2 Tiêu chuẩn tính bất khả quy 45 KẾT LUẬN 50 Tài liệu tham khảo 50 i MỞ ĐẦU Chuỗi lũy thừa hình thức mở rộng đa thức mà số số hạng vơ hạn Chính ta khơng thể thay biến giá trị bất kỳ, điều mà ta làm với đa thức Ta xem chuỗi lũy thừa hình thức dãy vô hạn thứ tự phần tử Khi lũy thừa biến dùng để thứ tự hệ số Trong tổ hợp, chuỗi lũy thừa hình thức dùng để dãy số hay đa tập (Một tụ tập vật có chất tùy ý, có vật khơng phân biệt với (và coi lặp lại vật)) Chẳng hạn ta dùng để định nghĩa đệ quy dãy số, gọi phương pháp hàm sinh Phương pháp đếm dùng hàm sinh phương pháp đếm hữu hiệu phát triển Nhiều loại hàm sinh định nghĩa sử dụng toán đếm khác Tuy nhiên hàm sinh thông thường hàm sinh mũ hai loại hàm sinh dùng rộng rãi hữu hiệu Mục đích thứ luận văn tìm hiểu vành chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng tốn đếm Cho R vành giao hoán, ta ký hiệu R[[x]] tập chuỗi lũy thừa hình thức R Cùng với phép cộng phép nhân R[[x]] vành giao hốn Giống vành đa thức R[x] R[[x]] miền nguyên R miền nguyên Tuy nhiên phần tử khả nghịch R[x] phần tử khả nghịch R phần tử khả nghịch R[[x]] chuỗi lũy thừa hình thức mà số hạng tự khả nghịch Điều làm cho việc nghiên cứu tính chất số học R[[x]] R trường "khá đơn giản", chẳng hạn phần tử bất khả quy x Tuy nhiên nghiên cứu tính bất khả quy phần tử Z[[x]] tốn khó Cho đến có tiêu chuẩn bất khả quy cho phần tử Z[[x]] Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức hệ số nguyên Tài liệu tham khảo cho mục đích thứ sách Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Qiaochu Yuan (2009), Topics in generating functions, Massachusetts Institute of Technology, tài liệu cho mục đích thứ hai báo D Birmajer and J B Gil (2008), "Arithmetic in the ring of formal power series with integer coefficients" American Mathematical Monthly, 115(6), 541-549 Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng tốn đếm Để đơn giản luận văn thống tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức C chương Chương tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số ngun Để việc tìm hiểu có ý nghĩa trước hết luận văn trình bày kết Z[[x]] miền phân tích Lưu ý thêm R miền phân tích R[x] miền phân tích nhiên điều tương tự Samuel [6] không cho R[[x]] Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học toán khoá truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Nguyễn Bá Dương Chương Chuỗi lũy thừa hình thức Trong suốt chương cho C trường số phức Ta tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số phức Chú ý ta định nghĩa chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số vành giáo hốn 1.1 Định nghĩa số tính chất Định nghĩa 1.1.1 Một chuỗi lũy thừa hình thức C biểu thức ∞ ∞ ∞ j có dạng a = a(x) = j aj x , cho giả sử a(x) = j=0 bj xj aj x , b(x) = j=0 j=0 hai chuỗi lũy thừa hình thức a(x) = b(x) aj = bj với j Tập chuỗi lũy thừa hình thức C kí hiệu C[[x]] ∞ ∞ j Giả sử a(x) = bj xj hai chuỗi lũy thừa hình aj x b(x) = j=0 j=0 thức Ta định nghĩa phép toán cộng, phép toán nhân C[[x]] phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C sau: ∞ ∞ j a(x) + b(x) = aj x + j=0 j=0 ∞ j j=0 bj x ) = j=0 ( ak bj−k )xj , j=0 k=0 ∞ ∞ j za(x) = z( j ∞ j aj x )( (aj + bj )xj , bj x = j=0 ∞ a(x)b(x) = ( ∞ j (zaj )xj aj x ) = j=0 j=0 Dễ kiểm tra thấy C[[x]] lập thành không gian véc tơ C phép toán cộng C[[x]] phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C Đối với phép nhân, C[[x]] có phần tử đơn vị ∞ 0.xj mà ta đơn giản kí hiệu Ta dễ kiểm tra 1(x) = + j=0 thấy C[[x]] lập thành vành giao hốn có đơn vị phép cộng phép nhân C[[x]] Phép toán nhân phép nhân phần tử C[[x]] với số z ∈ C thỏa mãn hệ thức sau: z[a(x)b(x)] = [za(x)]b(x) = a(x)[zb(x)] Điều chứng tỏ C[[x]] lập thành đạnh f iđêan khác không Z Giả sử P ∗ = q , ta chọn q(x) ∈ P với 44 q0 = q Trước hết ta chứng minh q lũy thừa số nguyên tố Bằng phản chứng, giả sử sai Khi q = st với s t không khả nghịch UCLN(s, t) = Tương tự chứng minh Mệnh đề 2.1.4, ta có q(x) = s(x)t(x) với s0 = s t0 = t Vì P nguyên tố s(x)t(x) ∈ P nên phần tử s(x) q(x) phải nằm P Giả sử s(x) ∈ P q | s0 = s, điều vơ lí với (*) Như q phải lũy thừa số nguyên tố Chúng ta chứng minh P = q(x) Rõ ràng q(x) ⊆ P Giả sử b1 (x) ∈ P Vì (b1 )0 ∈ P ∗ = q (b1 )0 = kq, k ∈ Z Ta có b1 (x) − k1 q(x) = xb2 (x) ∈ P, với k1 ∈ Z Vì x ∈ P nên b2 (x) ∈ P Tương tự, ∃k2 ∈ Z cho b2 (x) − k2 q(x) = xb3 (x) ∈ P Tiếp tục trình ta thu được: b1 (x) = k1 q(x) + xb2 (x) = k1 q(x) + x(k2 q(x) + xb3 (x)) = = q(x)(k1 + k2 x + k3 x2 + ) ∈ q(x) Do P iđêan nguyên tố nên q(x) phần tử nguyên tố Vì P chứa phần tử ngun tố Vậy theo Định lí 2.1.10 ta có Z[[x]] là miền phân tích 2.2 Tiêu chuẩn tính bất khả quy Ở phần này, đưa số tiêu chuẩn tính bất khả quy bên cạnh tiêu chuẩn trình bày phần trước Chúng ta biết Mệnh đề 2.1.2 a0 số nguyên tố Z, a(x) = ∞ j j=0 aj x bất khả quy Z[[x]] Hơn nữa, a0 = pq với (p, q) = 1, p p khác a(x) khả quy Như ta cần xét chuỗi lũy thừa hình thức có a0 = pµ , với p số nguyên tố số nguyên dương µ > Để trình bày ngắn gọn, ta xét trường hợp a0 = p2 Trường hợp tổng quát chứng minh tương tự Giả sử, a(x) = an xn phần tử Z[[x]] với a0 = p2 , 45 p nguyên tố Nếu bj xj )( a(x) = ( cj xj ), với | b0 |= | c0 |= b0 = c0 = ±p a1 = ±p(b1 + c1 ) Nói cách khác, Nếu p khơng chia hết a1 , a(x)là bất khả quy Xét đa thức dạng đơn giản a(x) = p2 + a1 x Nếu p a1 theo a(x) bất khả quy Ngược lại, giả sử p | a1 suy a(x) = p(p + ap1 x) nên a(x) không bất khả quy Vậy với a(x) = p2 + a1 x a(x) bất khả quy p a1 Tuy nhiên, đa thức bậc cao điều kiện điều kiện đủ, chưa điều kiện cần Ví dụ, dễ dàng kiểm tra a(x) = + 2x + 3x2 bất khả quy Thật vậy, giả sử a(x) khả quy ta suy a(x) = Từ ta có: bj xj cj xj   b0 c0 =    b c + b c = 0  b2 c0 + b1 c1 + b0 c2 =     |b0 | = 1, |c0 | = Điều kéo theo    b0 = c0 = ±2 = ±2(b1 + c1 )   ±2(b c ) + b c = 2 1 Từ suy b1 c1 2, điều vô lý Vậy a(x) bất khả quy Lưu ý: Tiêu chuẩn tương tự cho đa thức có dạng p2 + a1 x + a2 x2 với p | a1 p a2 khơng Ví dụ − x2 + 4x + x2 khả quy + 4x + 3x2 bất khả quy Tuy nhiên, với đa thức bậc hai ta có tiêu chuẩn sau: Bổ đề 2.2.1 Giả sử a(x) = aj xj với a0 = p2 , với p số nguyên tố n=1 giả sử p | a1 Nếu a2 ≡ αβ ( mod p), với α, β ∈ Z/pZ thỏa mãn a1 /p ≡ α + β ( mod p), a(x) bất khả quy 46 Chứng minh Giả sử a(x) khơng bất khả quy Khi a(x) = ( bn xn )( cn xn ) với | b0 |= | c0 |= Từ ta có a1 = ±p(b1 + c1 ) Cho α ≡ ±b1 ( mod p) β ≡ ±c1 ( mod p) Vì vậy, a1 /p ≡ α + β ( mod p) a2 ≡ αβ( mod p) Xét trường hợp đặc biệt p = 2, tức a(x) = + a1 x + a2 x2 với | a1 a2 Giả sử tồn α, β ∈ Z/pZ cho a1 /2 ≡ α + β ≡ ( mod 2), α β có tính chẵn lẻ khác Do αβ ≡ ( mod 2) Điều kéo theo αβ ≡ a2 ≡ ( mod 2) Từ Bổ đề 2.2.1 ta có a(x) bất khả quy Với số nguyên tố p lẻ, ta có tiêu chuẩn tương tự Giả sử a(x) = aj xj với a0 = p2 khả quy Từ Bổ đề 2.2.1, tồn α, β ∈ Z/pZ với a1 /p ≡ α + β ( mod p) a2 ≡ αβ( mod p) Từ đó: (a1 /p)2 − 4a2 ≡ (α + β)2 − 4αβ ≡ (α − β)2 ( mod p) Vì (a1 /p)2 − 4a2 thặng dư bậc hai ( mod p) Như vậy: Nếu (a1 /p)2 − 4a2 không thặng dư bậc hai ( mod p) , a(x) bất khả quy Từ ta có, đa thức a(x) = p2 + a1 x + a2 x2 với p | a1 bất khả quy trường hợp sau: p a1 /p ( mod p) ±1( mod p) ( mod p) ±1( mod p) ±2( mod p) ( mod p) ±1( mod p) ±2( mod p) ±3( mod p) a2 ( mod p) ( mod p) ( mod p) ( mod p) ( mod p) hoặc ( mod hoặc ( mod hoặc ( mod hoặc ( mod p) p) p) p) Bổ đề sau cho ta tiêu chuẩn tính bất khả quy Z[[x]] đa thức bậc bậc với a0 = p2 Bổ đề 2.2.2 Giả sử a(x) = an xn với a0 = p2 , p nguyên tố, p2 | a1 p | a2 Nếu p a3 , a(x) bất khả quy Hơn nữa, p | a3 , a4 ≡ αβ( mod p), với α, β ∈ Z/pZ, cho a2 /p ≡ α + β ( mod p), a(x) bất khả quy 47 ... thống số kiến thức chuỗi lũy thừa hình thức: Định nghĩa chuỗi lũy thừa hình thức; phép tốn, toán tử phép truy toán cho chuỗi lũy thừa hình thức C[[x]] - Ứng dụng chuỗi lũy thừa hình thức số tốn... trình bày chuỗi lũy thừa hình thức ứng dụng toán đếm Để đơn giản luận văn thống tìm hiểu chuỗi lũy thừa hình thức C chương Chương tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi lũy thừa hình thức với... tử bất khả quy x Tuy nhiên nghiên cứu tính bất khả quy phần tử Z[[x]] tốn khó Cho đến có tiêu chuẩn bất khả quy cho phần tử Z[[x]] Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu số tiêu chuẩn bất khả quy chuỗi