Một số kết quả về hàm phân chia các số tự nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ QUỐC ĐẠI MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM PHÂN CHIA CÁC SỐ TỰ NHIÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Ngun - Năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn làm không chép luận văn cơng bố trước Tác giả Lê Quốc Đại Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Phép phân chia số tự nhiên 1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên 1.2 Phép phân chia có điều kiện 1.3 Hàm phân chia cho thành phần không m 1.4 Hàm phân chia cho thành phần không nhỏ m 14 19 Hàm phân chia 2.1 Tam giác Pascal 2.2 Một số công thức biểu diễn hàm phân chia 2.3 Sơ lược lịch sử 22 22 27 34 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Sau trình nhận đề tài nghiên cứu hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn, luận văn "Một số kết hàm phân chia số tự nhiên" tơi hồn thành Có kết này, nhờ dạy bảo tận tình nghiêm khắc Cơ Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Cơ gia đình! Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào Tạo - Khoa học - Quan hệ quốc tế Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình học tập trường thời gian tơi hồn thành đề tài Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện cán thuộc Phòng Đào tạo Khoa Tốn - Tin để lại lịng ấn tượng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Tốn K5C (Khóa 2011 - 2013) quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để tơi hồn thành nhiệm vụ Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NÓI ĐẦU Một phép phân chia số tự nhiên n cách viết n thành tổng số nguyên dương Chú ý phép phân chia số n biểu diễn nhiều cách (sai khác thứ tự hạng tử, chẳng hạn = + = + cách biểu diễn phép phân chia) Vì người ta thường viết phép phân chia dạng dãy (p1 , , pk ) số nguyên dương cho p1 ≥ ≥ pk n = p1 + + pk Các số p1 , , pk gọi thành phần phép phân chia Kí hiệu P (n) số cách chia số tự nhiên n Hàm P (n) gọi hàm phân chia Khái niệm phép phân chia số nguyên nghiên cứu nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler Thế kỉ 18 Khái niệm xuất nhiều lĩnh vực khác Tốn học, Vật lí Một kết bí ẩn tiếng lí thuyết phép phân chia số tự nhiên đồng thức Roger-Ramanujan, sử dụng gắn kết với chuyên nghành Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giải tích phức, Lí thuyết phép phân chia số tự nhiên có lịch sử lâu dài ấn tượng Từ Thế kỉ 18, Leonhard Euler người đưa công thức truy hồi để tính P (n) Hơn 150 năm sau đó, phương pháp Euler hồn thiện để tính tốn thành cơng số P (n) với n ≤ 200 Đến đầu Thế kỉ 20, Srinivasa Ramanujan G H Hardy cho phương pháp xoay vòng "circle method" để tính P (n), có xấp xỉ tương đối tốt cho P (n) với n > 200 Một câu hỏi khó kéo dài nhiều năm đánh giá xấp xỉ giá trị P (n) n đủ lớn Cho đến nay, câu hỏi vấn đề mở chưa giải quyết, có loạt câu trả lời phận đưa Hardy-Ramanujan [HR] năm 1918, Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hans Rademacher [R] năm 1943, Đặc biệt, năm 2007, Kathrin Bringmann Ken Ono [BO] đưa cải tiến vượt bậc cho công thức Rademacher Từ đồng dư thức tiếng P (n) phát Ramanujan năm 1921, người ta tiếp tục quan tâm đến tính chất đồng dư thức P (n) Năm 1960, M Newman giả thuyết với cặp số tự nhiên m, r, tồn vô hạn số nguyên dương n cho P (n) ≡ r ( mod m) Giả thuyết hàng trăm nhà toán học quan tâm chưa giải trọn vẹn Kết tốt trả lời phận cho giả thuyết thuộc Ken Ono [O1] báo tạp chí Ann Math năm 2000 S Ahlgren M Boylan [AB] báo Invent Math năm 2003 Mục đích luận văn trình bày khái niệm số kết phép phân chia số tự nhiên Các kiến thức viết luận văn chủ yếu tham khảo tài liệu sau đây: S Ahlgren and M Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent Marth.,153 (2003) 487 - 502 G E Andrew and K Eriksson, Integer Partitions, Cambridge University Press, 2004 H Torabi, J Behboodian, S Mirhosseini, On the number of paratitions of sets and natural numbers, Apps Math Sci., 33 (2009) 1635 1646 Luận văn gồm chương Chương dành để trình bày khái niệm tính chất phép phân chia số tự nhiên, phép phân chia có điều kiện đặc biệt quan tâm đến dạng phép phân chia có điều kiện: phép phân chia với thành phần không nhỏ m phép phân chia với thành phần không lớn m Chương trình bày số kết hàm phân chia P (n), có sơ đồ tam giác Pascal để tính giá trị P(n) (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.4) Phần cuối chương tóm tắt lịch sử Lí thuyết phép phân chia số tự nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Phép phân chia số tự nhiên Phép phân chia số nguyên nghiên cứu Leonhard Euler (15/4/1707 - 18/9/1783) Ông nhà vật lí học người Thụy Sĩ Ơng với Archimedes Newton xem nhà toán học thiên tài thời đại, ông xem nhà tốn học quan Thế kỉ 18 Ơng người sử dụng thuật ngữ "hàm số" để miêu tả biểu thức có chứa đối số y = f (x) Ông xem người dùng phép tính vi tích phân Vật lí Ơng sinh lớn lên thành phố Basel, Thụy Sĩ xem thần đồng tốn học từ nhỏ Ơng giáo sư tốn học Saint-petersburg, sau Berlin, lại chuyển Saint-petersburg Lí thuyết phép phân chia số tự nhiên xuất nhiều lĩnh vực khác Tốn học, Vật lí học Một kết bí ẩn lừng danh lí thuyết phép phân chia số tự nhiên đồng thức Roger-Ramanujan khám phá cách độc lập Roger, Schur Ramanujan xuất sách G H Hardy [Har] năm 1940 Các đồng thức Roger-Ramanujan có nhiều ứng dụng gắn kết mật thiết với chuyên nghành khác Toán học Tổ hợp, Lí thuyết số, Đa thức đối xứng, Nhóm đối xứng, Lí thuyết biểu diễn nhóm, Thống kê vật lí, Lí thuyết xác suất, Giải tích phức, Trong suốt chương này, giả thiết n số nguyên dương Mục đích Chương giới thiệu khái niệm phép phân chia số tự nhiên, phép phân chia có điều kiện vài dạng đặc biệt phép phân chia có i thành phần 1, phép phân chia mà thành phần không nhỏ số m cho trước, Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.1 Khái niệm phép phân chia số tự nhiên 1.1.1 Định nghĩa Một phép phân chia số tự nhiên n cách viết n thành tổng số nguyên dương Chú ý phép phân chia biểu diễn thành nhiều dạng Chẳng hạn, = + = + hai dạng biểu diễn phép phân chia số thành hai thành phần Như vậy, hai dạng biểu diễn n thành tổng số nguyên dương xem phép phân chia chúng khác thứ tự số hạng Cụ thể, hai dạng biểu diễn n = a1 + + ar n = b1 + + bs , a1 , , ar , b1 , , bs số nguyên dương, coi phép phân chia r = s tồn hoán vị σ tập {1, 2, , r} cho = bσ(i) với i = 1, , r 1.1.2 Ví dụ Có phép phân chia số sau đây, là: 4=4 =3+1 =2+2 =2+1+1 = + + + 1.1.3 Chú ý Rõ ràng phép phân chia số n có dạng biểu diễn chuẩn, tức biểu diễn n thành tổng số nguyên dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé Vì ta coi phép phân chia số n (p1 , , pk ) số nguyên dương thỏa mãn p1 ≥ p2 ≥ ≥ pk tổng chúng n Với kí hiệu vậy, thay cho cách viết có phép phân chia số là: = 4, = + 1, = + 2, = + + 1, = + + + Ta viết lại phép phân chia sau (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 1.1.4 Định nghĩa Số phép phân chia n kí hiệu P (n) Hàm P (n) gọi hàm phân chia Cho thuận lợi, ta quy ước P (n) = với n < P (0) = 1.1.5 Ví dụ Có phép phân chia số sau đây, 5=5 =4+1 =3+2 =3+1+1 =2+2+1 =2+1+1+1 = + + + + Vậy P (5) = 1.1.6 Kí hiệu Mỗi phép phân chia n có dạng tiêu chuẩn (p1 , , pk ), (p1 , , pk ) k số nguyên dương xếp theo thứ tự từ lớn đến bé tổng chúng n Mỗi pi phép phân chia (p1 , , pk ) gọi phần hay thành phần phép phân chia 1.1.7 Ví dụ Ta có P (6) = 11 có 11 phép phân chia số 6, là: (6), (5, 1), (4, 2), (4, 1, 1), (3, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 1, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) 1.2 Phép phân chia có điều kiện Ta hiểu phép phân chia có điều kiện số n phép phân chia số n với điều kiện thành phần phép phân chia Dưới số toán thường gặp phép phân chia có điều kiện (i) Tìm số phép phân chia n cho thành phần số lẻ Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (ii) Tìm số phép phân chia n cho thành phần số chẵn (iii) Tìm số phép phân chia n cho thành phần đôi khác (iv) Tìm số phép phân chia n cho thành phần lặp lại m lần (v) Tìm số phép phân chia n cho khơng có thành phần vượt m (vi) Tìm số phép phân chia n cho thành phần không nhỏ m (vii) Tìm số phép phân chia n cho phép chia có m thành phần (viii) Tìm số phép phân chia n cho có m thành phần (ix) Tìm số phép phân chia n cho khơng có q m thành phần (x) Tìm số phép phân chia n cho có số chẵn hạng tử hạng tử đơi khác (xi) Tìm số phép phân chia n cho có số lẻ hạng tử hạng tử đôi khác 1.2.1 Ví dụ Ta có P (8) = 22 có 22 phép phân chia số 8, là: (8), (7, 1), (6, 2), (6, 1, 1), (5, 3), (5, 2, 1), (5, 1, 1, 1), (4, 4), (4, 3, 1), (4, 2, 2), (4, 2, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 1, 1), (3, 2, 2, 1), (3, 2, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (2, 2, 2, 1, 1), (2, 2, 1, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (i) Có phép phân chia cho thành phần lẻ, là: (7, 1), (5, 3), (5, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (ii) Cũng có phép phân chia cho khơng có thành phần bị lặp lại, là: (8), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (5, 2, 1), (4, 3, 1) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 29 P (8 |1) = Do P (9) = + + + + + + + = 30 2.2.3 Ví dụ Để tính P(10), sử dụng cơng thức Định lí 2.2.1, ta có P (i |1, 2, , 10 − i) P (10) = P (0) + P (1) + P (3) + P (4) + i=5 Rõ ràng P (0) = P (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, ta có P (4) = Sử dụng cơng thức Định lí 1.3.4, ta có P (5 |1, 2, 3, 4, 5) = P (5) = P (6 |1, 2, 3, 4) = P (5 |1) + P (4 |1, 2) + P (3 |1, 2, 3) + P (2 |1, 2) = + + + = P (7 |1, 2, 3) = P (6 |1) + P (5 |1, 2) + P (4 |1, 2, 3) = + + = P (8 |1, 2) = P (7 |1) + P (6 |1, 2) = + = P (9 |1) = Do P (10) = + + + + + + + + + = 42 Tiếp theo biểu diễn hàm phân chia P (n) qua hàm trung gian P (m; n − m) với m = 1, 2, , [n/2], P (m; n) số phép phân chia số tự nhiên n cho thành phần phép phân chia không nhỏ m Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 30 2.2.4 Định lí Với số nguyên dương n ta có [n/2] P (m; n − m) P (n) = + m=1 Chứng minh Gọi A tập hợp phép phân chia số n Với m ∈ {1, , n}, kí hiệu Am tập phép phân chia n cho thành phần bé m Khi rõ ràng A = nm=1 Am Am ∩ At = ∅ với m = t Vì số phần tử A tổng số Card(Am ) với m = 1, , n, Card(Am ) số phần tử Am Rõ ràng Card(A) = P (n) Theo Bổ đề 1.4.4 ta có Card(Am ) = P (m; n − m) Vì ta có n P (m; n − m) P (n) = m=1 Chú ý Card(An ) = có phép phân chia số n cho thành phần bé n, (n) (phép phân chia n thành thành phần) Ta chứng minh Am = ∅ với m = [n/2] + 1, , n − Thật vậy, giả sử [n/2] < m < n (p1 , , pk ) ∈ Bm phép phân chia số n cho thành phần bé pk m Khi p1 + + pk−1 = n − m > 0, k ≥ 2, tức phép phân chia có thành phần Lại p1 ≥ pk = m > [n/2] nên p1 + + pk ≥ 2m > n, điều vơ lí Do không tồn phép phân chia số n cho thành phần bé m Điều có nghĩa Card(Am ) = với m = [n/2] + 1, , n − Thay vào đẳng thức [n/2] ta P (n) = + m=1 P (m; n − m) 2.2.5 Ví dụ (i) Theo Định lí 2.2.4 ta có P (m; 11 − m) P (11) = + m=1 = + P (1; 10) + P (2; 9) + P (3; 8) + P (4; 7) + P (5; 6) Ta có P (1; 10) = P (10) = 42 Theo Bổ đề 1.4.2 ta có P (2; 9) = P (9) − P (8) = 30 − 22 = Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 31 Theo Bổ đề 1.4.6 ta có P (3; 8) = P (4; 8) + P (3; 5) = + = Rõ ràng P (4; 7) = P (5; 6) = Vì P (11) = + 42 + + + + = 56 (ii) Theo Định lí 2.2.4 ta có P (m; 12 − m) P (12) = + m=1 = + P (1; 11) + P (2; 10) + P (3; 9) + P (4; 8) + P (5; 7) + P (6; 6) Ta có P (1; 11) = P (11) = 56 Theo Bổ đề 1.4.2 ta có P (2; 10) = P (10) − P (9) = 42 − 30 = 12 Theo Bổ đề 1.4.6 ta có P (3; 9) = P (4; 9) + P (3; 6) = P (5; 9) + P (4; 5) + P (3; 6) = + + = Rõ ràng P (4; 8) = 2, P (5; 7) = P (6; 6) = Vì P (12) = + 56 + 12 + + + + = 77 2.2.6 Ví dụ Theo Định lí 2.2.4 ta tính P(14) P(15) sau (i) Theo Định lí 2.2.4 ta có P (m; 14 − m) P (14) = + m=1 = + P (1; 13) + P (2; 12) + P (3; 11) +P (4; 10) + P (5; 9) + P (6; 8) + P (7; 7) Ta có P (1; 13) = P (13) = 101 Theo Bổ đề 1.4.2 ta có P (2; 12) = P (12) − P (11) = 77 − 56 = 21 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 32 Theo Bổ đề 1.4.6 ta có P (3; 11) = P (4; 11) + P (3; 8) = P (5; 11) + P (4; 7) + P (4; 8) + P (3; 5) = + + + = Rõ ràng, ta có P (4; 10) = 3, P (5; 9) = 1, P (6; 8) = 1, P (7; 7) = Vì ta có P (14) = + 101 + 21 + + + + + = 135 (ii) Theo Định lí 2.2.4 ta có P (m; 15 − m) P (15) = + m=1 = + P (1; 14) + P (2; 13) + P (3; 12) +P (4; 11) + P (5; 10) + P (6; 9) + P (7; 8) Ta có P (1; 14) = P (14) = 135 Theo Bổ đề 1.4.2 ta có P (2; 13) = P (13) − P (12) = 101 − 77 = 24 Theo Bổ đề 1.4.6 ta có P (3; 12) = P (4; 12) + P (3; 9) = + = P (4; 11) = P (5; 11) + P (4; 7) = + = P (5; 10) = P (6; 9) = P (7; 8) = Vậy P (15) = + 135 + 24 + + + + + = 176 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 33 Kết đánh giá (tương đối thô) hàm phân chia 2.2.7 Mệnh đề Với số nguyên dương n ta có P (2n) ≥ P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) Chứng minh Với r ∈ {n, n − 1, , 2, 1}, kí hiệu Br tập phép phân chia số r Khi số phần tử Br P (r) Giả sử (p1 , , pk ) ∈ Br phép phân chia số r Khi r ≥ p1 ≥ ≥ pk ≥ Vì 2n − r ≥ n ≥ r nên 2n − r ≥ p1 ≥ ≥ pk ≥ Do (2n − r, p1 , , pk ) phép phân chia số 2n Vì thế, với r ∈ {n, n−1, , 2, 1}, có P (r) phép phân chia số n cho thành phần thứ 2n − r thành phần cịn lại khơng vượt q r Rõ ràng, r, r, ∈ {n, n − 1, , 2, 1} với r = r, hai phép phân chia (2n − r, p1 , , pk ) (2n − r, , p1 , , pk ) số 2n khác nhau, với (p1 , , pk ) ∈ B Vì P (2n) lớn số phần tử nr=1 Br , tức P (2n) ≥ P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) 2.2.8 Ví dụ (i) Với n = ta có P (2n) = P (8) = 22 Cho r = 4, P (r) = phép phân chia số r 4=4 4=3+1 4=2+2 4=2+1+1 = + + + Từ phép phân chia r, cách thêm thành phần r vào Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 34 phép phân chia, ta thu phép phân chia tương ứng 8=4+4 8=4+3+1 8=4+2+2 8=4+2+1+1 = + + + + Khi cho r chạy tập {4, 3, 2, 1} ta thu P (4), P (3), P (2), P (1) phép phân chia tương ứng 8, phép phân chia đôi phân biệt Vì ta có P (8) = 22 ≥ 11 = P (4) + P (3) + P (2) + P (1) (ii) Với n = ta có P (2n) = P (10) = 42 P (n) + P (n − 1) + + P (2) + P (1) = P (5) + P (4) + P (3) + P (2) + P (1) = + + + + = 18 Rõ ràng 42 > 18 2.3 Sơ lược lịch sử Các thông tin Tiết tham khảo chủ yếu từ sách [AE] Andrews - Ahlgren báo [O] K Ono Lí thuyết phép phân chia số tự nhiên có lịch sử ấn tượng Người nghiên cứu đưa cơng thức truy hồi để tính tốn hàm phân chia P (n) nhà toán học lỗi lạc Leonhard Euler kỉ 18 Nhắc lại hàm phân chia P (n) xác định sau: với n < P (n) = 0, P (0) = P (1) = với n > P (n) số phép phân chia số tự nhiên n Thực chất, sau chút biến đổi, Cơng thức truy hồi Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 35 Euler viết sau (−1)k+1 (P (n − P (n) = k≥1 k(3k + 1) k(3k − 1) ) + P (n − )) 2 Chẳng hạn để tính P (5) theo cơng thức ta có P (5) = P (5 − 2) + P (5 − 1) − P (5 − 7) − P (5 − 5) = P (3) + P (4) − P (0) = + − = Cơng thức cịn gọi thuật tốn Euler để tính P (n) Một dạng khác công thức Euler công thức truy hồi để tính P (n) sau P (n) = n n σ(k)P (n − k), k=1 σ(k) tổng ước k Chẳng hạn, để tính P (5), ta có σ(1) = 1, σ(2) = + = 3, σ(3) = + = 4, σ(4) = + + = σ(5) = + = Vì P (5) = 15 (P (4) + 3P (3) + 4P (2) + 7P (1) + 6P (0)) = 15 (5 + 3.3 + 4.2 + 7.1 + 6.1) = Cách tính tốn P (n) theo kĩ thuật Euler chậm không thực số lớn Hơn 150 năm sau đó, phương pháp Euler hồn thiện để tính tốn thành công số P (n) với n phạm vi 200 số tự nhiên Vào đầu Thế kỉ 20, Srinivasa Ramanujan G H Hardy phát minh phương pháp xoay vịng "circle method" để tính giá trị hàm P (n), từ hai ơng đưa xấp xỉ tương đối tốt cho P (n) với n lớn 200 Từ thời Euler đến thời Ramanujan - Hardy, câu hỏi khó kéo dài nhiều năm đánh giá xấp xỉ giá trị P (n) n đủ lớn Với phương pháp "xoay vòng", G H Hardy Srinivasa Ramanujan [HR] cho câu trả lời với thông tin quan trọng Chú ý dãy số Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 36 P (n) dãy tăng cực nhanh Ta minh họa điều phần tử dãy: P (0) = 1, P (1) = 1, P (2) = 2, P (3) = 3, P (4) = 5, P (5) = 7, P (6) = 11, P (7) = 15, P (8) = 22, P (9) = 30, P (10) = 42 P (100) = 190569292 P (1000) = 24061467864032622473692149727991 Đến năm 1918, G H Hardy S Ramanujan [HR] đưa kết để đánh giá tốc độ tăng dãy {P (n)}, họ hai người đề cập đến công thức xấp xỉ sau √ π 2n/3 e √ P (n) ∼ n → ∞ 4n Sau đó, vào năm 1943, Hans Rademacher [R] cải tiến công thức thu cơng thức xác cho P (n): √ ∞ A (n) π 24π − k P (n) = 2π(24π − 1)−3/4 I3/2 ( ), k 6k k=1 I3/2 (−) hàm Bessel suy rộng loại Ak (n) tổng Kloosterman, chuỗi công thức hội tụ Tuy nhiên công thức tính P (n) Hans Rademacher rõ ràng cơng thức phức tạp khó tính tốn Cơng thức tiếng mặt lí thuyết hạn chế sử dụng thực tiễn n lớn Thậm chí, ta muốn tính P (n) với n nhỏ số tự nhiên N cho trước thuật tốn Euler cho kết nhanh nhiều, ta biết P (1), P (2), , P (n − 1) thuật √ tốn Euler u cầu thêm n phép tính để tìm P (n), √ cơng thức Rademacher yêu cầu phải tính n giá trị công thức phức tạp Đến năm 2007, Kathrin Bringmann Ken Ono [BO] đưa biến đổi số học cho công thức Rademacher, có chứa chuỗi Maass-Poicare’, cải tiến đáng kể cho cơng thức Rademacher Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 37 Rất nhiều câu hỏi mở lí thuyết phân chia số tự nhiên tồn tận ngày nay, cần giải Một số câu hỏi tìm thuật tốn để xác định xem số P (n) chẵn hay lẻ Mặc dù giá trị P (n) tính cho số n lớn tới hàng tỷ, câu hỏi chưa trả lời Thậm chí, câu hỏi phân bố số n với P (n) chẵn (hay P (n) lẻ) đến chưa giải T R Parkin D Shanks báo đăng năm 1967 tạp chí Math Comp đặt giả thuyết n đủ lớn lực lượng tập số n để P (n) chẵn tương đương với lực lượng tập số n để P (n) lẻ 2.3.1 Giả thuyết (Parkin - Shanks, 1967) Khi n → ∞ ta có Card({n ≤ N P (n) chẵn}) = N →∞ N lim Các câu hỏi tương tự quan tâm Chẳng hạn, với số nguyên dương m số tự nhiên r ≥ 0, câu hỏi phân bố n với P (n) đồng dư với r theo môđun m đặt Trong báo đăng Trans AMS năm 1960, M Newman đưa giả thuyết sau 2.3.2 Giả thuyết (Newman, 1960) Cho m số nguyên dương r ≥ số tự nhiên Khi tồn vô hạn số nguyên dương n cho P (n) ≡ r (mod m) Thực tế, từ đầu kỉ 20, có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu tính chất đồng dư thức P (n) Một kết tiếng chứng minh Ramanujan tính chất đồng dư P (n) sau (xem [Ram]) 2.3.3 Định lí (Ramanujan, 1921) Các phát biểu sau (i) Nếu n = 5t + P (n) ≡ (mod 5) (ii) Nếu n = 7t + P (n) ≡ (mod 7) (iii) Nếu n = 11t + P (n) ≡ (mod 11) Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 38 2.3.4 Ví dụ Giả sử n = 5t + Cho t = 0, n = ta có P (n) = P (4) = ≡ (mod 5) Cho t = 1, n = ta có P (n) = P (9) = 30 ≡ (mod 5) Rõ ràng đồng dư câu trả lời khẳng định cho Giả thuyết 2.3.2 M Newman cho trường hợp m = 5, 7, 11 r = Vì 5, 7, 11 số nguyên tố liền nên đồng dư thức Ramanujan nêu khiến người ta đốn có đồng dư thức liên quan đến số nguyên tố 13, tức tồn số tự nhiên a cho ta có đồng dư thức dạng P (13k + a) ≡ (mod 13) Tuy nhiên điều sai Trong báo đăng tạp chí tiếng Invent Math năm 2003: Arithmetic properties of the partition function, S Ahlgren M Boylan [AB] chứng minh không tồn đồng dư thức khác dạng đơn giản tương tự đồng dư thức Ramanujan Cụ thể, họ chứng tỏ với số nguyên tố b khác 5, 7, 11, không tồn số tự nhiên a cho P (bk + a) ≡ (mod b) Đến năm 1967-1971, A O L Atkin ( giáo sư trường đại học Illinois Chicago), J N O’Brien H P F Swinnerton-Dyer khám phá thêm số đồng dư thức dạng phức tạp hơn, số P (113 13k + 237) ≡ (mod 13) Gần đây, số kết ấn tượng tính chất đồng dư thức P (n) phát minh Ken Ono, giáo sư trường đại học Winconsin-Madison, đăng tạp chí tiếng Ann Math năm 2000 (xem [O1]), Ono chứng tỏ với số nguyên tố b, tồn đồng dư thức theo mơđun b có dạng tương tự đồng dư thức Atkin Tiếp theo đó, Ken Ono với giáo sư Scott Ahlgran trường Đại học Illinois báo Soá hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 39 Congruence properties for the partition function đăng tạp chí Proc National Acad Sci năm 2001 tồn đồng dư thức tương tự dạng cho số nguyên dương nguyên tố với Bài toán phân chia số tự nhiên với điều kiện cho trước giải cho số trường hợp đặc biệt Chẳng hạn, tốn tìm số phép phân chia số tự nhiên cho phần số lẻ giải Leonhard Euler vào năm 1748, Euler chứng minh số phép phân chia số phép phân chia cho phép phân chia thành phần đôi phân biệt Ngày nay, người ta gọi kết đồng thức Euler 2.3.5 Mệnh đề (Euler, 1748) Số phép phân chia số tự nhiên n cho thành phần lẻ số phép phân chia n cho thành phần đôi phân biệt 2.3.6 Ví dụ Có phép phân chia số cho thành phần lẻ: (5, 1), (3, 3), (3, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1) Cũng có phép phân chia số cho thành phần đôi phân biệt: (6), (5, 1), (4, 2), (3, 2, 1) Sau đó, Janes Whitbread Lee Glaisher (1848-1928) mở rộng đồng thức Euler lên trường hợp tổng quát sau 2.3.7 Mệnh đề (Định lí Glaisher) Cho d > số tự nhiên Khi số phép phân chia n cho thành phần không bội d số phép phân chia n cho khơng có thành phần lặp lại từ d lần trở lên Đồng Glaisher kết tiếng Lí thuyết phép phân chia số tự nhiên Thay d = Định lí Glaisher, ta thu lại kết Euler nêu trên, số nguyên dương không bội của d = số lẻ, phép Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 chia số n cho thành phần phép phân chia không bị lặp lại d − = lần phép phân chia số n cho thành phần đơi phân biệt 2.3.8 Ví dụ Cho n = d = Khi có phép phân chia số cho thành phần không bội 3: (7), (5, 2), (5, 1, 1), (4, 2, 1), (4, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 1), (2, 2, 1, 1, 1), (2, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Có phép phân chia số cho khơng có thành phần lặp lại lần trở lên: (7), (6, 1), (5, 2), (5, 1, 1), (4, 3), (4, 2, 1), (3, 3, 1), (3, 2, 2), (3, 2, 1, 1) Thay cho việc tính số phép phân chia n cho thành phần đôi khác nhau, người ta quan tâm đến tốn tính số phép phân chia n cho thành phần đơi sai khác Câu trả lời cho toán chứng minh cách độc lập ba tác giả Roger, Schur, Ramanujan vào năm 1917 Kết gọi đồng thức Roger-Ramanujan 2.3.9 Mệnh đề (A Roger-Ramanujan Identity, 1917) Số phép phân chia n cho thành phần đôi sai khác số phép phân chia n cho thành phần đồng dư với theo mơđun 2.3.10 Ví dụ Có phép phân chia số 10 cho thành phần đôi sai khác 2, (10), (9, 1), (8, 2), (7, 3), (6, 4), (6, 3, 1) Và có phép phân chia số 10 cho thành phần thuộc tập {1, 4, 6, 9} (các thành phần không 10 đồng dư với theo Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 mơđun 5), (9, 1), (6, 4), (6, 1, 1, 1, 1), (4, 4, 1, 1), (4, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) Gần đây, năm 2009, Hamzeh Torabi, J Behboodian S M Mirhosseini [TBM] đưa số công thức truy hồi để tính hàm phân chia P (n) Một số cơng thức chứng minh chi tiết Định lí 2.2.1 Phần 2.2 luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 Kết luận Luận văn trình bày kết lí thuyết phép phân chia số tự nhiên thành tổng số hạng nguyên dương Các kiến thức kết chủ yếu tham khảo tài liệu sau đây: S Ahlgren and M Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent Marth.,153 (2003) 487 - 502 G E Andrew and K Eriksson, Integer Partitions, Cambridge University Press, 2004 H Torabi, J Behboodian, S Mirhosseini, On the number of paratitions of sets and natural number, Apps Math Sci., 33 (2009) 1635 - 1646 Nội dung luận văn là: • Giới thiệu sơ lược khái niệm kết phép phân chia số tự nhiên, đặc biệt phép phân chia có điều kiện; • Chứng minh số tính chất phép phân chia số tự nhiên mà thành phần không vượt số tự nhiên cho trước (Định lí 1.3.4), số phép phân chia mà thành phần không nhỏ số tự nhiên cho trước; • Trình bày cách biểu diễn hàm phân chia P (n) theo tam giác Pascal; • Chứng minh số công thức truy hồi để tính hàm phân chia P (n) theo hàm số trung gian (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.4) • Sơ lược số kết biết phép phân chia số tự nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Tài liệu tham khảo [AB] S Ahlgren and M Boylan, Arithmetic properties of the partition function, Invent Marth., 153 (2003) 487 - 502 [AE] G E Andrew and K Eriksson, Integer Partitions, Cambridge University Press, 2004 [BO] K Bringmann and K Ono, An arithmetic formula for the partition function, Proc AMS, 135 (2007), 3507-3514 [Har] G H Hardy, Ramanujan: Twelve lectures on subjects suggested by his life and work, Cambridge University Press, 1940 [HR] G H Hardy and S Ramanujan, Asymptotic formulae in combinatory analysis, Proc London Math Soc 17 (1918), 75-115 [O] Ken Ono, the last words of the Genius, Notices of the american Mathematical Society, 57 (2010), 1410-1419 [O1] Ken Ono, Distribution of the partition function modulo m, Ann Math 151 (2000) 293-307 [R] H Rademacher, On the expansion of the partition function in a series, Ann Math 44 (1943), 416-422 [Ram] S Ramanujan, Congruence properties of partitions, Math Z , (1921) 147-153 [TBM] H Torabi, J.Behboodian, S Mirhosseini, On the number of paratitions of sets and natural number, Apps Math Sci., 33 (2009) 1635 1646 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... niệm kết phép phân chia số tự nhiên, đặc biệt phép phân chia có điều kiện; • Chứng minh số tính chất phép phân chia số tự nhiên mà thành phần không vượt số tự nhiên cho trước (Định lí 1.3.4), số. .. chứng minh số phép phân chia số phép phân chia cho phép phân chia thành phần đôi phân biệt Ngày nay, người ta gọi kết đồng thức Euler 2.3.5 Mệnh đề (Euler, 1748) Số phép phân chia số tự nhiên n... phép phân chia số tự nhiên 1.2 Phép phân chia có điều kiện 1.3 Hàm phân chia cho thành phần không m 1.4 Hàm phân chia cho thành phần không nhỏ m 14 19 Hàm phân chia