Hàm chọn xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực của toán, toán ứng dụng và khoa học máy tính. Bài viết này nghiên cứu một số tính chất mới của hàm chọn đặc biệt cũng như tính đóng của lớp hàm chọn đặc biệt đối với phép toán hội và một số vấn đề liên quan.
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM CHỌN Nguyễn Hoàng Sơn Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học, Đại học Huế Email: nhson@hueuni.edu.vn Ngày nhận bài:9/11/2018; ngày hoàn thành phản biện:8/12/2018; ngày duyệt đăng:10/12/2018 TÓM TẮT Hàm chọn xuất nhiều lĩnh vực toán, toán ứng dụng khoa học máy tính Bài báo nghiên cứu số tính chất hàm chọn đặc biệt tính đóng lớp hàm chọn đặc biệt phép toán hội số vấn đề liên quan Từ khóa: hàm chọn, tốn tử bao đóng, phụ thuộc hàm MỞ ĐẦU Chúng ta biết hàm chọn xuất nhiều lĩnh vực toán ứng dụng khoa học máy tính (chẳng hạn xem [2, 4, 5, 7]) Các mô tả tương đương phụ thuộc hàm nghiên cứu từ lâu [3, 4, 6, 7] Hàm chọn tốn tử bao đóng hai số mơ tả tương đương Các mơ tả tương đương tốn tử thiết lập tương ứng tập một tập hữu hạn cho trước thỏa mãn số tiên đề Nhiều kết quan trọng phụ thuộc hàm thu từ hàm chọn toán tử bao đóng Ngồi ra, thân hàm chọn tốn tử bao đóng xem cơng cụ toán học để phát triển số kết lĩnh vực khác sở liệu, khai phá liệu, tập thô, tập mờ, lý thuyết định, Mục đích báo nghiên cứu số đặc trưng hàm chọn để làm sáng tỏ thêm cấu trúc đại số Với cách tiếp cận báo tổ chức thành mục Sau mở đầu, Mục trình bày mợt số khái niệm kết sở tốn tử bao đóng, hàm chọn hàm chọn đặc biệt Mục tìm hiểu thêm số tính chất thú vị hàm chọn đặc biệt Tính đóng lớp hàm chọn đặc biệt phép tốn đại số hợi, hợp thành mợt số vấn đề liên quan nghiên cứu Mục Cuối kết luận ĐỊNH NGHĨA Mục giới thiệu khái niệm tốn tử bao đóng, hàm chọn hàm chọn đặc biệt Các khái niệm kết mục tìm thấy [2, 4, 6, 7, 8] Xét tập hữu hạn U Ánh xạ c : P(U ) → P(U ) gọi hàm chọn U với X ∈ P(U ) ta có c(X) ⊆ X Ví dụ 2.1 Các ánh xạ sau hàm chọn bản: (1) Ánh xạ rỗng e : P(U ) → P(U ) xác định e(X) = ∅, với X ⊆ U (2) Ánh xạ đồng i : P(U ) → P(U ) xác định i(X) = X, với X ⊆ U (3) Ánh xạ bT1 : P(U ) → P(U ) xác định bT1 (X) = X \ T , với T tập cố định cho trước U với X ⊆ U 13 Một số kết hàm chọn (4) Ánh xạ bT2 : P(U ) → P(U ) xác định bT2 (X) = X ∩ T , với T tập cố định cho trước U với X ⊆ U Nhận xét 2.1 Rõ ràng ta thấy: (1) Nếu T = ∅ bT1 = i bT2 = e (2) Nếu T = U bT1 = e bT2 = i Ánh xạ f :P(U ) −→ P(U ) thỏa tính chất sau: (C1) X ⊆ f (X), (C2) X ⊆ Y f (X) ⊆ f (Y ), (C3) f (f (X)) = f (X), với X, Y ⊆ U , gọi toán tử bao đóng (TTBĐ) U Ký hiệu Cl(U ) tập tất TTBĐ U Bây ta xét TTBĐ f ∈ Cl(U ) Từ f , xây dựng ánh xạ cf : P(U ) → P(U ) sau: cf (X) = U \ f (U \ X) (1) với X ⊆ Y Dễ thấy cf một hàm chọn Lúc này, có mối tương quan quan trọng sau TTBĐ hàm chọn Định lý 2.1 ([4]) Mối quan hệ (1) tương ứng 1-1 TTBĐ với hàm chọn thỏa hai điều kiện: (H1) cf (X) ⊆ Y ⊆ X cf (X) = cf (Y ), (H2) X ⊆ Y cf (X) ⊆ cf (Y ), với X, Y ⊆ U Người ta gọi hàm chọn thỏa hai điều kiện (H1) (H2) hàm chọn đặc biệt (HCĐB) Ký hiệu Ch(U ) tập tất HCĐB U Như vậy, từ Định lý 2.1 thấy có tương ứng 1-1 lớp HCĐB lớp TTBĐ Mặt khác, biết TTBĐ mô tả tương đương phụ thuộc hàm [2] Do đó, HCĐB mô tả tương đương phụ thuộc hàm Điều có nghĩa, để nghiên cứu phân tích đặc trưng logic phụ thuộc hàm dùng cơng cụ HCĐB Ví dụ 2.2 Dễ kiểm chứng hàm chọn e, i, bT1 , bT2 HCĐB TÍNH CHẤT CỦA HÀM CHỌN ĐẶC BIỆT Mục tìm hiểu mợt số tính chất HCĐB Đầu tiên có kết sở sau Mệnh đề 3.1 ([6]) Nếu c ∈ Ch(U ) c(c(X)) = c(X) với X ⊆ U Hàm chọn đặc biệt có thêm mợt số tính chất thú vị Mệnh đề 3.2 Cho c ∈ Ch(U ) Khi đó, với X, Y ⊆ U ta có (1) c(X ∪ Y ) ⊇ c(X) ∪ c(Y ) (2) c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) ∩ c(Y ) (3) c(c(X) ∩ Y ) = c(X ∩ c(Y )) = c(X ∩ Y ) 14 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) Chứng minh (1) Theo (H2), có c(X ∪ Y ) ⊇ c(X) c(X ∪ Y ) ⊇ c(Y ) Do vậy, c(X ∪ Y ) ⊇ c(X) ∪ c(Y ) (2) Lập luận tương tự (1), có c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) c(X ∩ Y ) ⊆ c(Y ) Suy c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) ∩ c(Y ) (3) Chúng ta cần chứng minh c(c(X) ∩ Y ) = c(X ∩ Y ), sau hốn đổi vai trị X Y ta thu (3) Theo (H2) định nghĩa hàm chọn, có c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) c(X ∩ Y ) ⊆ c(Y ) ⊆ Y Do đó, c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) ∩ Y Mặt khác, c(X) ∩ Y ⊆ X ∩ Y Như vậy, thu c(X ∩ Y ) ⊆ c(X) ∩ Y ⊆ X ∩ Y Áp dụng (H1), suy c(c(X) ∩ Y ) = c(X ∩ Y ) Các bao hàm thức ngược lại tính chất (1) (2) Mệnh đề 3.2 không Ta xét phản ví dụ sau Ví dụ 3.1 Cho tập U = {a, b} Chúng ta định nghĩa ánh xạ ca : P(U ) → P(U ) sau: với X ⊆ U { ∅ a ̸∈ X ca (X) = X ngược lại Dễ kiểm chứng ca ∈ Ch(U ) Bây ta xét X = {a} Y = {b} Khi có: ca (X) = X ca (Y ) = ∅ ca (X ∪ Y ) = U Suy ca (X ∪ Y ) ̸= ca (X) ∪ ca (Y ) Điều có nghĩa bao hàm thức ngược lại tính chất (1) Mệnh đề 3.2 khơng Ví dụ 3.2 Cho tập U = {a, b, c} Xét ánh xạ cb : 2U → 2U xác định bởi: { ∅ X = {b} cb (X) = X ngược lại Dễ kiểm chứng cb ∈ Ch(U ) Với X = {a, b} Y = {b, c}, thu được: cb (X) = X cb (Y ) = Y cb (X ∩ Y ) = ∅ Do cb (X ∩ Y ) ̸= cb (X) ∩ cb (Y ) Như bao hàm thức ngược lại tính chất (2) Mệnh đề 3.2 không Bây giờ, xét HCĐB c ∈ Ch(U ) Ký hiệu F ix(c) = {X ⊆ U : c(X) =X} Ta gọi phần tử F ix(c) điểm bất động c Dễ thấy F ix(c) chứa ∅ phần tử nhỏ Mệnh đề 3.3 Cho c ∈ Ch(U ) Nếu X, Y ∈ F ix(c), c(X ∪ Y ) = c(X) ∪ c(Y ) 15 Một số kết hàm chọn Chứng minh Giả sử X, Y ∈ F ix(c) Theo định nghĩa hàm chọn, ta có c(X ∪ Y ) ⊆ X ∪ Y = c(X) ∪ c(Y ) Mặt khác, theo Mệnh đề 3.2 ta có thêm: c(X ∪ Y ) ⊇ c(X) ∪ c(Y ) Hệ 3.1 1) ∅ ∈ F ix(c) 2) X, Y ∈ F ix(c) ⇒ X ∪ Y ∈ F ix(c) Như vậy, tập tất điểm bất động HCĐB đóng phép tốn hợp TÍNH ĐĨNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN CỦA HÀM CHỌN ĐẶC BIỆT Ký hiệu M a(U ) tập tất ánh xạ P(U ) → P(U ) Chúng ta xét ánh xạ f1 , f2 , g, h, k ∈ M a(U ) Các ánh xạ g, h k xác định sau: g(X) = f1 (X) ∩ f2 (X), h(X) = f1 (X) ∪ f2 (X), k(X) = f1 (f2 (X)), với X ⊆ U , tương ứng gọi hội, tuyển hợp thành f1 , f2 ký hiệu g = f1 ∧ f2 , h = f1 ∨ f2 k = f1 f2 Bây xét U1 , U2 hai tập hữu hạn phân biệt hai ánh xạ f1 ∈ M a(U1 ), f2 ∈ M a(U2 ) Ánh xạ l : P(U1 ∪ U2 ) → P(U1 ∪ U2 ) xác định l(X) = f1 (X ∩ U1 ) ∪ f2 (X ∩ U2 ) với X ⊆ U1 ∪ U2 gọi tích trực tiếp f1 f2 , ký hiệu l = f1 × f2 Lớp HCĐB đóng phép tốn tuyển tích trực tiếp, khơng đóng phép toán hợp thành [7] Điều kiện cần đủ để lớp HCĐB đóng phép tốn hợp thành [7] Tuy nhiên, [7] (Bổ đề 3.7) người ta khẳng định thêm lớp HCĐB đóng phép tốn hợi cách sử dụng công cụ TTBĐ Trong kết sau, báo khẳng định kết khơng Mệnh đề 4.1 Hội hai HCĐB một hàm chọn thỏa (H2) không thỏa (H1) Chứng minh Giả sử c1 , c2 ∈ Ch(U ) Suy c1 (X) ∩ c2 (X) ⊆ X với X ⊆ U Do đó, c1 ∧ c2 một hàm chọn U Mặt khác với X ⊆ Y ⊆ U , có c1 (X) ⊆ c1 (Y ) c2 (X) ⊆ c2 (Y ) Nên c1 (X) ∩ c2 (X) ⊆ c1 (Y ) ∩ c2 (Y ), nghĩa hàm c1 ∧ c2 thỏa (H2) Bây giờ, xây dựng mợt phản ví dụ sau: với U = {a, b} hai ánh xạ ba , ca : P(U ) → P(U ) xác định bởi: ba (X) = X \ {a} { ∅ ca (X) = X 16 a ̸∈ X ngược lại TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) với X ⊆ U Dễ kiểm chứng ba , ca ∈ Ch(U ) Lúc ba ∧ ca (U ) = ba (U ) ∩ ca (U ) = {b} ba ∧ ca ({b}) = ba ({b}) ∩ ca ({b}) = ∅ Suy ba ∧ ca ({b}) ̸= ba ∧ ca (U ) Như vậy, có ba ∧ ca (U ) ⊆ {b} ⊆ U ba ∧ ca ({b}) ̸= ba ∧ ca (U ) Điều có nghĩa ba ∧ ca khơng thỏa (H1) Vậy, c1 ∧ c2 không thỏa (H1) Để ý thêm hai HCĐB ba ca phản ví dụ chứng minh Mệnh đề 4.1 khẳng định hợp thành hai HCĐB khơng có tính giao hốn khơng thỏa (H1), khơng phải mợt HCĐB: ba ca (U ) = ba (ca (U )) = {b} ba ca ({b}) = ba (ca ({b}) = ∅ ca ba (U ) = ca (ba (U ) = ∅ Suy ba ca (U ) ̸= ca ba (U ), ba ca ̸= ca ba Ngoài ra, ba ca ({b}) ̸= ba ca (U ) Nên, với ba ca (U ) ⊆ {b} ⊆ U ba ca ({b}) ̸= ba ca (U ) Nghĩa là, ba ca không thỏa (H1) Trường hợp, hợp thành hai HCĐB có tính giao hốn HCĐB [6] Bây giờ, tìm hiểu số tính chất phép tốn hợi, hợp thành mối tương quan chúng Xét hai ánh xạ f1 , f2 ∈ M a(U ) Ta nói f1 hẹp f2 , ký hiệu f1 ≤ f2 , f1 (X) ⊆ f2 (X) với X⊆U Có thể thấy quan hệ hẹp quan hệ thứ tự M a(U ) Dễ kiểm chứng, M a(U ) phép tốn hội tuyển có tính phân phối phải (nhưng khơng phân phối trái) phép tốn hợp thành Từ định nghĩa quan hệ hẹp hơn, dễ dàng rút một điều kiện đủ để lớp HCĐB đóng phép tốn hợi là: với HCĐB c1 , c2 ∈ Ch(U ), c1 ≤ c2 hoặc c2 ≤ c1 , c1 ∧ c2 ∈ Ch(U ) Mệnh đề 4.2 Nếu c1 ∈ Ch(U ) c2 hàm chọn, c1 c2 = c1 ⇔ c1 ≤ c2 Chứng minh Giả sử c1 c2 = c1 Vì c1 ∈ Ch(U ), nên c1 c2 (X) ⊆ c2 (X) với X ⊆ U , c1 (X) ⊆ c2 (X) với X ⊆ U Ngược lại, giả sử c1 ≤ c2 Vì c2 hàm chọn, suy c1 (X) ⊆ c2 (X) ⊆ X với X ⊆ U Vận dụng (H1) c1 , thu c1 c2 (X) = c1 (X) với X ⊆ U Bỏ đề 4.1 Với ánh xạ f1 , f2 ∈ M a(U ) c ∈ Ch(U ) ta có (1) c(f1 ∧ f2 ) ≤ cf1 ∧ cf2 (2) c(f1 ∨ f2 ) ≥ cf1 ∧ cf2 Chứng minh (1) Theo định nghĩa phép toán hội Mệnh đề 3.2, với X ⊆ U ta có c(f1 ∧ f2 )(X) = c(f1 (X) ∩ f2 (X)) ⊆ c(f1 (X)) ∩ c(f2 (X)) = cf1 ∧ cf2 (X) Suy ra, c(f1 ∧ f2 ) ≤ cf1 ∧ cf2 17 Một số kết hàm chọn (2) Lập luận tương tự (1), có c(f1 ∨ f2 )(X) = c(f1 (X) ∪ f2 (X)) ⊇ c(f1 (X)) ∩ c(f2 (X)) = cf1 ∧ cf2 (X) Do đó, c(f1 ∨ f2 ) ≥ cf1 ∨ cf2 Bỏ đề 4.2 Nếu c1 , c2 ∈ Ch(U ), c1 c2 ≤ c1 ∧ c2 Chứng minh Vì c1 , c2 ∈ Ch(U ), nên c2 (X) ⊆ X, c1 (c2 (X)) ⊆ c1 (X), với X ⊆ U Hơn nữa, c1 (c2 (X))⊆c2 (X) với X ⊆ U Như vậy, c1 c2 (X) ⊆ c1 ∧ c2 (X) với X ⊆ U Bỏ đề 4.3 Cho c1 , c2 ∈ Ch(U ) Nếu c1 c2 có tính giao hốn, (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) = c1 c2 Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1, Bổ đề 4.1, Bổ đề 4.2 tính phân phối phải phép hội phép hợp thành ta có: (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) = c1 (c1 ∧ c2 ) ∧ c2 (c1 ∧ c2 ) ≤ (c1 c1 ∧ c1 c2 ) ∧ (c2 c1 ∧ c2 c2 ) = (c1 ∧ c1 c2 ) ∧ (c2 c1 ∧ c2 ) = c1 c2 ∧ c2 c1 = c1 c2 Hơn nữa, theo Bổ đề 4.2, c1 c2 ≤ c1 ∧ c2 Bởi định nghĩa quan hệ nhỏ hơn, suy (c1 c2 )(c1 c2 ) ≤ (c1 ∧c2 )(c1 c2 ) Cũng từ c1 c2 ≤ c1 ∧c2 Mệnh đề 4.1, suy (c1 ∧c2 )(c1 c2 ) ≤ (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) Như vậy, thu (c1 c2 )(c1 c2 ) ≤ (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) Cuối cùng, c1 c2 có tính giao hốn, nên c1 c2 ∈ Ch(U ) [6] Do vậy, c1 c2 ≤ (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) Điều có nghĩa (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) = c1 c2 Từ kết sở trên, rút mối tương quan sau phép toán hợi phép tốn hợp thành Mệnh đề 4.3 Cho c1 , c2 ∈ Ch(U ) c1 c2 có tính giao hốn Nếu c1 ∧ c2 ∈ Ch(U ), c1 ∧ c2 = c1 c2 Chứng minh Giả sử c1 ∧ c2 ∈ Ch(U ) Theo Mệnh đề 3.1 Bổ đề 4.3, thu được: c1 c2 = (c1 ∧ c2 )(c1 ∧ c2 ) = c1 ∧ c2 KẾT LUẬN Đầu tiên báo nghiên cứu mợt số tính chất thú vị HCĐB Sau tính đóng lớp HCĐB phép tốn hợi tìm hiểu Cuối mợt số tính chất phép tốn hợi, hợp thành lớp HCĐB nghiên cứu báo 18 TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ, Trường Đại học Khoa học, ĐH Huế Tập 13, Số (2018) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Armstrong W W (1974), Dependency Information processing 74, pp 580-583 structures of database relationships, [2] Danilov V., Koshevoy G (2009), Choice functions and extensive operators, Order, 26, pp 69-94 [3] Demetrovics J., Furedi Z., Katona G.O.H (1985), Minimum matrix representation of closure operations, Discrete Applied Mathematics 11, pp 115-128 [4] Demetrovics J., Hencsey G., Libkin L., Muchnik I (1992), On the interaction between closure operations and choice functions with applications to relational databases, Acta Cybernetica 10, pp 129-139 [5] Moulin H (1985), Choice functions over a finite set: A summary, Soc Choice Welf 2, pp 147-160 [6] Vu Duc Nghia, Bina Ramamurthy (2002), Properties of composite of closure operations and choice functions, Acta Cybernetica 15, pp 457-465 [7] Vu Duc Nghia (2004), Relationships between closure operations and choice functions equivalent descriptions of a family of functional dependencies, Acta Cybernetica 16, pp 485-506 [8] Nguyen Hoang Son, Vu Duc Thi (2018), Some the combinatorial characteristics of closure operations, Algebra and Discrete Mathematics, Accepted SOME RESULTS ABOUT CHOICE FUNCTION Nguyen Hoang Son Department of Mathematics, University of Sciences, Hue University Abstract This paper investigates some new properties of special choice functions, as well as the closeness of special choice functions class under intersection operation, and some related problems Keywords: Choice function, closure operation, functional dependency 19 Một số kết hàm chọn Ông iT gi ng d y t i : 20 ... CHẤT CỦA HÀM CHỌN ĐẶC BIỆT Mục tìm hiểu mợt số tính chất HCĐB Đầu tiên có kết sở sau Mệnh đề 3.1 ([6]) Nếu c ∈ Ch(U ) c(c(X)) = c(X) với X ⊆ U Hàm chọn đặc biệt có thêm mợt số tính chất... c ∈ Ch(U ) Nếu X, Y ∈ F ix(c), c(X ∪ Y ) = c(X) ∪ c(Y ) 15 Một số kết hàm chọn Chứng minh Giả sử X, Y ∈ F ix(c) Theo định nghĩa hàm chọn, ta có c(X ∪ Y ) ⊆ X ∪ Y = c(X) ∪ c(Y ) Mặt khác, theo... X) (1) với X ⊆ Y Dễ thấy cf một hàm chọn Lúc này, có mối tương quan quan trọng sau TTBĐ hàm chọn Định lý 2.1 ([4]) Mối quan hệ (1) tương ứng 1-1 TTBĐ với hàm chọn thỏa hai điều kiện: (H1) cf