Các hệ thức liên quan đến điểm và đường đặc biệt trong tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HẰNG CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU HẰNG CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Danh sách hình vẽ iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu Các điểm đường đặc biệt 1.1 Các điểm đặc biệt loại 1.1.1 Điểm Gergaune 1.1.2 Điểm Nagel 1.1.3 Điểm Lemoine 1.1.4 Tâm Euler 1.2 Các điểm đặc biệt loại hai 1.2.1 Điểm Schiffler 1.2.2 Điểm Engiabech 1.2.3 Điểm Feuerbach 1.2.4 Điểm Brocard 1.2.5 Điểm Fermat-Torricelli tam giác Các hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt 2.1 Các hệ thức liên hệ điểm đặc biệt loại 2.1.1 Phương pháp Van Aubel 2.1.2 Phương pháp Stewart 2.1.3 Phương pháp Leibnitz 2.1.4 Phương pháp véc tơ 2.1.5 Phương pháp tổ hợp hệ thức 4 10 16 16 19 24 26 30 35 35 36 38 41 45 55 ii 2.2 2.3 Một số hệ thức liên hệ điểm đặc biệt loại hai 2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach 2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad 2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli Một số ứng dụng 2.3.1 Hình thành bất đẳng thức tam giác 2.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r p 2.3.3 Ứng dụng vào giải toán đại số 59 60 60 62 63 63 66 67 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ Stt Hình Nội dung Trang Hình 1.1 Điểm Gergaune Hình 1.2 Điểm Nagel Hình 1.3 Tâm Euler 11 Hình 1.4 Tính chất i (Euler) 12 Hình 1.5 Tính chất ii (Euler) 13 Hình 1.6 Tính chất iii (Euler) 13 Hình 1.7 Điểm Feuerbach 14 Hình 1.8 Điểm Schiffler 17 Hình 1.9 Tính chất 1.2.1.4 19 10 Hình 1.10 Tính chất 1.2.2.2 20 11 Hình 1.11 Tính chất 1.2.2.3 21 12 Hình 1.12 Tính chất 1.2.2.6 22 13 Hình 1.13 Chú ý 23 14 Hình 1.14 Tính chất 1.2.3.2 25 15 Hình 1.15 Điểm Brocard 26 16 Hình 1.16 Tính góc Brocard 30 17 Hình 1.17 Điểm Fermat – Torricelli 32 18 Hình 2.1 Định lý Van Aubel 37 19 Hình 2.2 Định lý Steiwart 38 20 Hình 2.3 Khoảng cách OG 39 21 Hình 2.4 Khoảng cách IG 40 22 Hình 2.5 Cơng thức Leibnitz 41 23 Hình 2.6 Ứng dụng điểm Brocard 69 24 Hình 2.7 Ứng dụng điểm Fermat – Torricelli 70 iv DANH SÁCH KÝ HIỆU Stt Ký hiệu Nội dung Trang G Trọng tâm tam giác 39 H Trực tâm 45 O Tâm ngoại tiếp 39 I Tâm nội tiếp 40 OA , OB , OC Tâm bàng tiếp 11 O9 Tâm Euler 10 J Điểm Gergaune N Điểm Nagel 8 L Điểm Lemoine 9 S Điểm Schiffler 16 10 E Điểm Engiabech 19 11 F Điểm Feuerbach 24 12 Z Điểm Brocard 26 13 X Điểm Fermat 30 Lời nói đầu Các điểm đặc biệt, đường thẳng đặc biệt tam giác đề tài gây hứng thú từ lâu nhà tốn học chúng có nhiều tính chất hình học đẹp đẽ, phát triển thành phận quan trọng "Hình học tam giác" Tính đến 3/09/2015, số điểm đặc biệt tam giác phát lên tới 8000 điểm, mang ký hiệu X(i), i = 1, , 8000 (theo "Bách khoa toàn thư tâm tam giác") Luận văn hạn chế nghiên cứu điểm đặc biệt ứng dụng chúng để có hệ thức Hình học Để tiện cho cách trình bày chúng tơi tạm chia thành loại điểm đặc biệt: Điểm đặc biệt loại gồm điểm quen thuộc trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp, tâm bàng tiếp, tâm Euler, điểm Gergaune, điểm Nagel, điểm Lemoine Điểm đặc biệt loại gồm điểm Schiffler, điểm Engiabech, điểm Feurbach, điểm Fermat (hay gọi điểm Torricenlli) Theo với điểm đặc biệt đủ trình bày tính chất phong phú hệ thức Hình học tam giác Nhiều điểm nói đến sách, chẳng hạn [1], [2], [9], [7] Tuy nhiên tài liệu trình bày chưa đầy đủ, phép chứng minh theo hướng khác, cách khai thác tìm hệ thức hình học làm theo phương pháp mới, hiệu Các ứng dụng hệ thức, tính chất vào tốn bất đẳng thức, giải phương trình góp phần làm phong phú nội dung Luận văn Đó điểm luận văn Mục đích đề tài là: Nhắc lại bổ sung điểm đặc biệt tam giác theo cấu trúc điểm trình bày sở định nghĩa, định nghĩa, tính chất ứng dụng Nội dung chia làm hai phần: Các điểm loại điểm loại 2 Khai thác, phát hệ thức Hình học phương pháp: phương pháp Van Aubel, phương pháp Stewart, phương pháp Leibnitz, phương pháp tổ hợp hệ thức Bước đầu nêu số ứng dụng điểm đặc biệt hệ thức tìm để giải toán bất đẳng thức, đánh giá liên quan đến R, r, p đặc biệt ứng dụng để giải toán đại số Phạm vi đề tài xét số điểm đặc biệt tam giác, nghiên cứu tính chất hình học chúng, đặc biệt ý đến toán thi học sinh giỏi, thi Olympic nước Quốc tế, thi vào Trung học phổ thông chuyên đề thi Đại học Ngoài phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày điểm đặc biệt tam giác, chia làm hai loại điểm đặc biệt Trình bày chi tiết tính chất điểm Chương với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt" giới thiệu hệ thức Hình học phát phương pháp hiệu nói Các tốn bổ sung với số lượng đáng kể góp phần làm cho nội dung luận văn thêm phong phú Để hồn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phịng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức q báu,tạo điều kiện cho tơi hồn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ, chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cấp Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Thu Hằng Chương Các điểm đường đặc biệt tam giác 1.1 Các điểm đặc biệt loại Ngoài điểm đặc biệt quen biết tam giác trọng tâm G giao đường trung tuyến, trực tâm H giao đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp (tâm ngoại tiếp), tâm đường tròn nội tiếp (tâm nội tiếp) ta xét thêm điểm đặc biệt khác: tâm bàng tiếp OA , OB , OC , điểm Gergaune J, điểm Nagel N , điểm Lemoine L tâm Euler O9 , mà ta gọi chung điểm đặc biệt loại Các đường đặc biệt giới thiệu với điểm có liên quan Nhắc lại tâm đường trịn bàng tiếp: Các phân giác hai góc ngồi tam giác cắt phân giác góc thứ ba Giao điểm hai phân giác góc ngồi phân giác góc thứ ba tâm đường tròn tiếp xúc cạnh tam giác đường kéo dài cạnh Đường trịn gọi đường trịn bàng tiếp Mỗi tam giác có đường trịn bàng tiếp Ta ký hiệu đường tròn (Oa , ρa ), (Ob , ρb ), (Oc , ρc ) tiếp xúc với cạnh BC = a, CA = b, AB = c tam giác Ta có SABC = SABOa + SACOa − SBCOa = = ρa (h + c − a) = ρa (p − a) c.ρa b.ρa a.ρa + − 2 59 • Lấy α = γ = δ = λ = ta hệ thức liên hệ OH IH βOH +µIH = (9β +4µ).R2 +(2β +3µ).r2 +4(2β +µ).Rr −(2β +µ).p2 Chọn β = 1, µ = −2 ta OH − 2IH = R2 − 4r2 Chọn β = 2, µ = −3 ta 2OH − 3IH = 6R2 + 4Rr − p2 b Cho tham số • Lấy α = β = γ = 0, chọn δ = 1, λ = µ = −1 ta GH − GI − IH = r(R − 2r) • Lấy α = δ = λ = 0, chọn β = 1, γ = −1, µ = −2 ta OH − OI − 2IH = 2r(R − 2r) c Cho tham số • Lấy α = β = 0, chọn γ = −4, δ = 3, λ = 6, µ = −2 ta hệ thức liên quan đại lượng GH , IG2 , IH , IO2 : 3GH + 6IG2 = 2IH + 4IO2 • Lấy β = δ = 0, chọn α = 6, γ = −2, λ = 3, µ = −1 ta 6OG2 + 3IG2 = 2OI + IH 2.2 Một số hệ thức liên hệ điểm đặc biệt loại hai Ta hy vọng tìm số hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt loại hai đường đặc biệt tam giác 60 2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach Ta chứng minh hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach F : i Khoảng cách từ điểm F đến tâm nội tiếp F I = r ii Khoảng cách từ điểm F đến trọng tâm tam giác (a + b + c)(a2 + b2 + c2 )IL FG = 24OI.SABC iii Khoảng cách từ điểm F đến tâm Euler O9 abc F O9 = 8SABC 2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad Gọi ϕ góc Brocard, Z điểm Brocard tam giác ABC thì: i tan ϕ = ii sin ϕ = √ iii 4S a2 + b2 + c2 2S b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 a2 + b2 + c2 cos ϕ = √ b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 iv Diện tích tam giác ZAC, ZAB, ZBC tỷ lệ với tức SZAC c2 = SZAB a2 = SZBC b2 (2.19) 1 , , , c a2 b v Khoảng cách từ điểm Brocard đến đỉnh ZA = √ b2 c , a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 c2 a a2 b ZB = √ , ZC = √ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 (2.20) 61 Chứng minh i., ii., iii., iv xem [6] v Ta có b2 = ZA2 + ZC − 2.ZA.ZC cos AXC = ZA2 + ZC + 2.ZA.ZC cos A Theo định lý sin b b ZC a ZA = = , = sin ϕ sin AZC sin A sin ϕ sin C Suy ZA bc bc = hay ZA = ZC Thay vào đẳng thức biểu diễn b2 : ZC a a b2 = ZC + bc b2 + c2 − a2 b2 c2 b a4 + ⇒ ZC = a4 a2 2bc a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 a2 b Vậy, ZC = √ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 Bài tốn 2.2.2.1 Gọi ϕ góc Brocard Chứng minh hệ thức 1 1 = + + sin2 ϕ sin2 A sin2 B sin2 C Bài tốn 2.2.2.2 Gọi ϕ góc Brocard Chứng minh sin3 ϕ = sin(A − ϕ) sin(B − ϕ) sin(C − ϕ) Bài toán 2.2.2.3 Ký hiệu Z điểm Brocard, ϕ góc Brocard tam giác ABC Chứng minh ZA.ZB.ZC = 8R3 sin3 ϕ Bài toán 2.2.2.4 Từ hệ thức (2.19) chứng minh diện tích tam giác tính theo cơng thức sau S= 4(b2 c2 + c2 a2 + a2 b2 ) − (a2 + b2 + c2 )2 Bài toán 2.2.2.5 Ký hiệu Z điểm Brocard tam giác ABC Ta có bất đẳng thức ZA + ZB + ZC ≤ a2 + b2 + c2 62 2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli Xét tam giác ABC, điểm Fermat-Torricelli ký hiệu tương ứng X, X Ta có đẳng thức, bất đẳng thức sau i Tam giác ABC khơng có góc ≥ 1200 Khi đó, M A + M B + M C ≥ XA + BB + XC = ii iii √ a2 + b + c + 2S (2.21) a2 XA + b2 XB + c2 XC ≤ (XA + XB + XC)3 1 + + ≥ XA XB XC r iv GX + GX = R − GO2 Chứng minh i Với X ta có −−→ −−→ −−→ M A.XA M A.XA −−→ XA MA = ≥ = M X + XA XA XA XA nên −−→ −−→ −−→ −−→ XA XB XC MA + MB + MC ≥ MX + + + (XA + XB + XC) XA XB XC −−→ −−→ −−→ XA XB XC Chọn X cho + + = ta XA XB XC M A + M B + M C ≥ XA + XB + XC Còn lại ta phải X cố định tính XA + XB + XC Đặt i = −−→ −−→ −−→ XB XC XA ,j = ,k = ta có i + j + k = Suy (i + j)2 = k ⇒ XA XB XC cos (i, j) = − ⇒ (i, j) = 1200 Tương tự, (i, k) = 1200 Do đó, X điểm Torricelli (nhìn cạnh tam giác với góc 1200 ) Ngược lại rõ ràng −−→ −−→ −−→ XA XB XC X điểm Torricelli + + = X điểm cố định XA XB XC 63 Mặt khác, (XA + XB + XC)2 = XA2 + XB + XC + 2(XA.XB + XB.XC + XC.XA) √ a2 + b2 + c2 + 2SABC = (do định lý Cô sin SABC = bc sin A) ii Hệ i iii iv xem [9] 2.3 2.3.1 Một số ứng dụng Hình thành bất đẳng thức tam giác Giả sử M điểm mặt phẳng tam giác ABC cho số thực α, β, γ, ta ln có −−→ −−→ −−→ (αM A + β M B + γ M C)2 ≥ −−→ −−→ −→ Chú ý M A − M B = BA, bình phương hai vế ta nhận đẳng thức −−→ −−→ 2.M A.M B = M A2 + M B − AB Tương tự −−→ −−→ −−→ −−→ 2.M B.M C = M B + M C − BC , 2.M C.M A = M C + M A2 − CA2 Khai triển vế trái bất đẳng thức trên, áp dụng đẳng thức ta có kết sau (α + β + γ)(αM A2 + βM B + γM C ≥ a2 βγ + b2 γα + c2 αβ (2.22) −−→ −−→ −−→ Dấu xảy αM A + β M B + γ M C = Bây ta xét vị trí đặc biệt M chọn số α, β, γ thích hợp để có bất đẳng thức hình học đặc trưng 64 a Khi M ≡ G (trọng tâm tam giác), bất đẳng thức (2.22) trở thành (α + β + γ)(α.m2a + β.m2b + γ.m2c ≥ (a2 βγ + b2 γα + c2 αβ) (2.23) Lấy a = α, b = β, c = γ thay vào (2.23) ta ama + bmb + cmc ≥ abc b Khi M ≡ O (tâm ngoại tiếp tam giác), bất đẳng thức (2.22) trở thành R2 (α + β + γ)2 ≥ a2 βγ + b2 αγ + c2 αβ (2.24) Bằng số phép biến đổi ta trường hợp đặc biệt + Chọn α = β = γ = 0, thay vào (2.24) a2 + b2 + c2 R ≥ + Chọn α = a, β = b, γ = c, thay vào (2.24) R ≥ 2r + Chọn α = bc, β = ca, γ = ab, thay vào (2.24) (ab + bc + ca) abc ≥ 4S∆ABC a3 + b3 + c3 + Chọn α = b + c, β = c + a, γ = a + b, thay vào (2.24) biến đổi ta 8R(R − 2r) ≥ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 Ta thấy a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C nên (2.24) viết thành (α + β + γ)2 ≥ 4(βγ sin2 A + γα sin2 B + αβ sin2 C) (2.25) + Chọn α = c, β = a, γ = b, thay vào (2.25) ta có p2 ≥ ab sin2 A + bc sin2 B + ca sin2 C + Chọn α = cos A, β = cos B, γ = cos C, thay vào (2.25) với ý r cos A + cos B + cos C = + ta R (R + r)2 ≥ a2 cos B cos C + b2 cos C cos A + c2 cos A cos B 65 c Khi M ≡ I (tâm nội tiếp tam giác), bất đẳng thức (2.22) trở thành (α + β + γ)(αIA2 + βIB + γIC ≥ a2 βγ + b2 γα + c2 αβ (2.26) + Chọn α = β = γ = thay vào (2.26) ta a2 + b2 + c2 IA + IB + IC ≥ b c a + Chọn α = ,β = ,γ = thay vào (2.27) ta IA IB IC A B C a sin + b sin + c sin ≥ p 2 2 2 (2.27) + Chọn α = p − a, β = p − b, γ = p − c thay vào (2.26) ta IA2 IB IC 1 8R − 9r + + ≥ 8(R − r) hay + + ≥ rb rc rb rc S2 A B C , β = sin , γ = sin thay vào (2.26) ta 2 1 B C A + + sin + sin + sin A B C 2 sin sin sin 2 A B C ≥ a cos + b cos + c cos r 2 + Chọn α = sin d Khi M ≡ L (điểm Lemoine), bất đẳng thức (2.22) trở thành (α + β + γ)(αLA2 + βLB + γLC ≥ a2 βγ + b2 γα + c2 αβ + Chọn α = β = γ = 0, ta LA2 + LB + LC ≥ a2 + b2 + c2 Áp dụng công thức tính LA2 , LB , LC ta bất đẳng thức b2 c2 (2b2 + 2c2 − a2 ) c2 a2 (2a2 + 2c2 − b2 ) + ( a2 )2 ( a2 )2 a2 b2 (2a2 + 2b2 − c2 ) ( a2 )2 + ≥ ( a2 )2 Tương tự cho M trùng với điểm Nagel điểm Gergaune (2.28) 66 2.3.2 Một số đánh giá liên quan đến R, r p Trong tam giác ta có ba độ dài đóng vai trò quan trọng mà việc so sánh chúng với khơng phải lúc dễ dàng Đó bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp nửa chu vi tam giác Từ mối quan hệ điểm đặc biệt ta thu đươc hệ liên quan đến ba độ dài • Từ (2.7) rút R ≥ 2r (2.29) • Từ (2.3) rút R2 ≥ (a2 + b2 + c2 ) hay p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 (2.30) • Từ (2.5) ta có p2 ≥ 16Rr − 5r2 (2.31) • Vì (12Rr + 3r2 ) = (16Rr − 5r2 ) − 4r(R − 2r) nên từ (2.29,2.31) p2 ≥ 12Rr + 3r2 • Từ (2.13) (2.18) ta có đánh giá r(4R + r)2 R2 (4R + r)2 ≤p ≤ R+r 4r(R + r) • Từ (2.14) ta có R(4R + r)2 p ≤ 2(2R − r) • Từ (2.8) ta có p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 • Từ (2.29,2.32) 3p2 ≤ (4R + r)2 hay p ≤ 4R + r √ (2.32) 67 • Từ (2.31,2.32) ta có r2 ≤ R2 − 3Rr Thật vậy, 1 (R − 2r)(R + 2r) ≤ OG2 = OH ≤ (9R2 − 24Rr + 12r2 ) 9 nên R2 − 4r2 ≤ 9R62 − 24Rr + 12r2 ⇔ r2 ≤ R2 − 3Rr 2.3.3 Ứng dụng vào giải tốn đại số Có số dạng tốn giải phương trình, hệ phương trình đại số, tìm cực trị biểu thức đại số, biết áp dụng hình học thu lời giải hay, độc đáo Trước hết ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 2.3.3.1 Với điểm M mặt phẳng tam giác ABC, ta có aM B + bM C + cM A ≥ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 Tổng aM B + bM C + cM A nhỏ M ≡ Z− điểm Brocard Chứng minh Thật vậy, với điểm M ta có đánh giá −−→ −→ −→ M A.ZA M A.ZA −−→ ZA MA = ≥ = M Z + ZA ZA ZA ZA Tương tự với M B, M C nên −→ −→ −→ −−→ ZB ZC ZA aM B + bM C + cM A ≥ M Z a +b +c + aZB + bZC + cZA ZB ZC ZA Gọi Z điểm thỏa mãn −→ −→ −→ ZB ZC ZA a +b +c =0 ZB ZC ZA aM B + bM C + cM A ≥ aZB + bZC + cZA −→ −→ −→ ZB ZC ZA Đặt i = ,j = ,k = ta ZB ZC ZA + bj + ck = 68 −→ −→ −−→ CA AB BC , e2 = , e3 = ta có Mặt khác, đặt e1 = a b c ae1 + be2 + ce3 = Do đó,   (ai + bj)2 = c2  (ae1 + be2 )2 = c2 ⇔   a2 + b2 + 2ab cos (i, j) = c2  a2 + b2 + 2ab cos (e1 , e2 ) = c2 Suy cos (i, j) = cos (e1 , e2 ) hay BZC = 1800 − BCA = 1800 − C Tương tự, AZC = 1800 − A, BZA = 1800 − B Từ có ZBC + ZCB = ZCB + ZCA ⇒ ZBC = ZCA Tương tự thu ZBC = ZCA = ZAB = α Vậy Z điểm Brocard tam giác Theo công thức 2.20 (khoảng cách từ Z đến đỉnh) ta aM B + bM C + cM A ≥ bZA + cZB + aZC = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 Ví dụ 2.3.3.2 (Điểm Brocard) Tìm giá trị nhỏ 29[(x − 1)2 + (y + 2)2 ] + Φ(x, y) = + 29[(x − 3)2 + (y − 3)2 ] 18[(x + 2)2 + (y − 1)2 ] Giải Xét hệ tọa độ Oxy với điểm M (x, y), A(−2, 1), B(1, −2), C(3, 3) √ √ tốn trở thành Tìm giá trị nhỏ 29M A + 29M B + √ 18M C Theo bổ đề, giá trị nhỏ √ √ 29.29 + 29.18 + 18.29 = 1885 69 Hình 2.6: Ứng dụng điểm Brocard Ví dụ 2.3.3.3 (Điểm Fermat-Torricelli) √ √ Giải phương trình 2x2 − 2x + + 2x2 + ( + 1)x + √ + 2x2 − ( − 1)x + = Giải Nhận thấy 2x2 − 2x + = x2 + (x − 1)2 , √ √ 2x + ( + 1)x + = x + √2 √ 2x2 − ( − 1)x + = x − 2 + x+ 2 + x+ , √ √ Bởi vậy, hệ trục Oxy lấy điểm A(0, 1), B(− lấy M (x, x) Ta có MA = MB = MC = , − ), C( , −2) 2x2 − 2x + 1, √ 2x2 + ( + 1)x + 1, √ 2x − ( − 1)x + Như vậy, vế trái phương trình M A + M B + M C ≥ XA + XB + XC với X điểm Torricelli ∆ABC Bằng cách tính độ dài 70 Hình 2.7: Ứng dụng điểm Fermat-Torricelli cạnh ta thấy ∆ABC tam giác X ≡ O (gốc tọa độ) Do M A + M B + M c ≥ OA + OB + OC = 3OA = Dấu đẳng thức xảy M ≡ X ≡ O ⇔ x = Phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ 2.3.3.4 (Đề thi HSGQG Việt Nam 1998) Tìm giá trị nhỏ P (x, y) = (x + 1)2 + (y − 1)2 + (x − 1)2 + (y + 1)2 + (x + 2)2 + (y + 2)2 Giải Trong mặt phẳng tọa độ xoy xét điểm M (x, y) điểm −→ −−→ A(−1, 1), B(1, −1), C(−2, −2) Ta có AB = (2, −2), BC = (−3, −1), √ √ −→ CA = (1, 3) Ta suy a = BC = 10 = AC = b, c = AB = 2 nên ABC tam giác cân đỉnh C, khơng có góc vượt q 1200 Ta cần tìm giá trị nhỏ tổng M A + M B + M C Theo bổ đề ta √ a2 + b2 + c2 có M A + M B + M C ≥ + 2S dấu xảy M ≡ X-điểm Torricelli ∆ABC nên việc cịn lại tính diện tích S −→ −→ AB.AC 1 Ta có 2S = bc sin A, cos A = = √ = √ ⇒ sin A = √ Vậy bc 5 √ 2S = Cuối P (x, y) đạt giá trị nhỏ 14 + Về nguyên tắc, cách làm giải tốn dạng 71 • Tìm giá trị nhỏ biểu thức (x + a1 )2 + (y + b1 )2 + P (x, y) = + (x + a2 )2 + (y + b2 )2 (x + a3 )2 + (y + a3 )2 • Giải phương trình (x + a1 )2 + (y + b1 )2 + (x + a2 )2 + (y + b2 )2 + (x + a3 )2 + (y + a3 )2 = b Chương nội dung chủ yếu luận văn Luận văn tìm gần 100 hệ thức hình học phương pháp khác nhau, có hệ thức quen biết có nhiều hệ thức lần đầu xét đến Từ tác giả đưa số ứng dụng nội dung luận văn vào dạng toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, 72 Kết luận Luận văn thu kết sau: Nhắc lại bổ sung số điểm quan trọng tam giác với tính chất đặc thù, quan hệ hình học đẹp, phong phú điểm Tìm nhiều hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt đường đặc biệt Các hệ thức biểu diễn đại lượng hình học tam giác: a, b, c, p, S, R, r Các hệ thức thực có nhiều ứng dụng toán khác Nêu số ứng dụng hệ thức vào việc phát chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, giải phương trình, bất phương trình, Hướng nghiên cứu tiếp đề tài: Tiếp tục tìm ứng dụng khác hệ thức vừa tìm Sử dụng tọa độ tam giác để chứng minh tính chất điểm đặc biệt Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô đồng nghiệp nội dung để luận văn phong phú hoàn thiện 73 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng (1996), Hình học tam giác, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Bá Đang (2016), Những Định lý chọn lọc hình học phẳng toán ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2002), Tuyển tập dự tuyển Olympic toán học quốc tế 1991- 2001, NXB Giáo dục [4] Lê Đình Phi, NGuyễn Minh Chương (1963), Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục [5] Đinh Văn Quyết (2012), Phương pháp giải tốn Hình học, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Nhiều tác giả (2011), Tuyển tập tốn hình học-tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục [7] Dechen X.J (1963), Hình học tam giác, Bản tiếng Việt, NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [8] Konnhiagin X.V., Sarugin I.F (2013), Các đề thi vơ địch Tốn nước (19 nước), Bản tiếng Việt, NXB Hải Phòng [9] Yiu P (2002), Introduction to the Geometry of the Triangle, Departement of Mathematics Florida Atlantic University, Version 2.0402 ... học Chương luận văn đề cập đến hệ thức liên quan số ứng dụng chúng 35 Chương Các hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt Có nhiều cách để tìm hệ thức có điểm đường đặc biệt Trong chương ta xét số phương... để trình bày điểm đặc biệt tam giác, chia làm hai loại điểm đặc biệt Trình bày chi tiết tính chất điểm Chương với tiêu đề "Các hệ thức liên quan đến điểm đặc biệt" giới thiệu hệ thức Hình học... Một số hệ thức liên hệ điểm đặc biệt loại hai 2.2.1 Hệ thức liên quan đến điểm Feuerbach 2.2.2 Hệ thức liên quan đến điểm Brorcad 2.2.3 Hệ thức liên quan đến điểm Fermat-Torricelli Một