Độ đo monge ampére trên các tập đa cực và phương trình monge ampére phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TẠ QUANG SỸ ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các tài liệu luận văn trung thực Luận văn chưa công bố cơng trình Tác giả Tạ Quang Sỹ ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp xin cám ơn Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo, phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trung tâm giáo dục thường xuyên, huyện Mai Châu, tỉnh Hồ Bình đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Tháng năm 2015 Tác giả Tạ Quang Sỹ iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà 1.2 Hàm đa điều hoà cực đại 1.3 Toán tử Monge-Ampère phức 10 Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE-AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình MongeAmpère phức 27 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xét phương trình Monge-Ampère phức (dd cu)n , độ đo Radon khơng âm (dd c )n toán tử Monge-Ampère phức Ta biết đặt khối lượng tập đa cực, nghiệm phương trình (dd cu)n nói chung khơng [13] Vì câu hỏi tồn nghiệm phương trình ln nhận quan tâm nghiên cứu nhiều người Kết thuộc Lempert L [10] (1983) đạt trường hợp giá độ đo cho điểm đơn Lempert xét nghiệm với giá trị biên giải tích thực với kỳ dị logarit gần với giá độ đo Tiếp đó, Celic H I., Poletsky E A [7] (1997) nghiên cứu phương trình Monge-Ampère với độ đo Dirac A Zeriahi [13] (1997) chứng minh phương trình MongeAmpère phức giải giá trị biên liên tục Xing Y [12] (1999) tổng quát kết Zeriahi A trường hợp giá trị biên cho đồng Xing xét độ đo xác định tổng tổ hợp tuyến tính số đếm độ đo Dirac với giá compact độ đo Monge-Ampère qui biết Chúng ta xét lớp , lớp lớn hàm đa điều hồ khơng âm xác định miền siêu lồi Monge-Ampère phức xác định tốt lớp , mà tốn tử Cegrell phát triển nghiên cứu cơng trình tảng [4] [5] Chúng ta chứng minh lớp lượng phương trình Monge-Ampère phức có nghiệm lớp độ đo kỳ dị rộng so với Zeriahi A Xing Y Theo hướng nghiên cứu chọn đề tài: "Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phương trình Monge-Ampère phức" 2 Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết việc nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère lớp lượng với phần kỳ dị lớn 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Nghiên cứu số tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère - Nghiên cứu xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge-Ampère tập đa cực giải phương trình MongeAmpère Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích phức kết hợp với phương pháp giải tích hàm đại, phương pháp lý thuyết vị phức Bố cục luận văn Nội dung luận văn gồm 40 trang, có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère Chương 2: Là nội dung luận văn, trình bày kết nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng , toán tử Monge- Ampère tập đa cực giải phương trình Monge-Ampère Cuối phần kết luận trình bày tóm tắt kết đạt Chƣơng CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1 Định nghĩa Cho X không gian tôpô, hàm u : X gọi nửa liên tục trên X với x X : u(x ) n tập mở hàm nửa liên tục không trùng với liên thông n b u(a , hàm này, ta viết u u : , thành phần Hàm u gọi đa điều hoà với b) điều hoà trùng :a thành phần tập hợp tập hợp mở X 1.1.2 Định nghĩa Cho a , b ( ) ( kí hiệu Trong trường hợp ( ) lớp hàm đa điều hoà ) Sau vài tính chất hàm đa điều hồ dưới: 1.1.3 Mệnh đề Nếu u, v u ( ) u v hầu khắp nơi , v 1.1.4 Mệnh đề Hàm đa điều hoà thoả mãn nguyên lý cực trị miền bị chặn, tức u tập mở liên thông bị chặn PSH ( ), u với z u(z ) sup lim sup u(y ) y y , n n 1.1.5 Định nghĩa Tập hợp E gọi đa cực với điểm a E có lân cận V a hàm u E V z V : u(z ) (V ) cho 1.1.6 Hệ Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không 1.1.7 Định lý Cho (i) Họ u, v ( ) nón lồi, tức u u ( ) , (ii) Nếu v uj ( ) u lim u j j tập compact , u số khơng âm ( ) dãy giảm, j , u j (iii) Nếu u : , Khi ( ) liên thông (iv) Giả sử u n tập mở ( ) hội tụ tới u j ( ) ( ) cho bao u A sup u bị A chặn địa phương Khi hàm qui nửa liên tục u * đa điều hoà 1.1.8 Hệ Cho n tập mở khác rỗng Nếu u y , cơng thức xác định hàm đa điều hoà tập mở thực ( ), lim v(x ) ( ), v max u, v u x trong \ y u(y ) với 1.1.9 Định lý Cho n tập mở (i) Cho u, v hàm đa điều hoà v lồi, v (u / v) đa điều hoà (ii) Cho u ( ), v Nếu : ( ), v : Nếu lồi tăng dần, v (u / v) đa điều hoà (iii) Cho u, v : 0, 0, Định 1.1.10 F ( ), u z lý , v (u / v) Cho , v lồi (0) tập Nếu ( ) mở n : v(z ) tập đóng  v ( ) Nếu u ( \ F ) bị u(z ) (z lim sup u(y ) (z chặn trên, hàm u xác định u (z ) y z y F \ F) F) đa điều hoà Nếu u đa điều hoà bị chặn u đa điều hồ Nếu liên thơng, n 1.1.11 Định nghĩa Một miền bị chặn tồn hàm đa điều hòa liên tục c z : (z ) c : ( \F , \ F liên thông gọi miền siêu lồi , 0) cho với c 26 Khi H kj H kj đạt cực đại , độ đo j Xét độ đo hàm đặc trưng j j độ đo Borel với giá compact xác định j tập đa cực j ( j ) j Với j j ( ) , j )n u j ,k j ( j j H kj (dd c ( lý so sánh ta có u j ,k triệt tiêu tất ( j j ) cho Hơn nữa, từ Định lý 4.1 [6] suy tồn hàm , H kj ) cho (dd cu j ,k )n (dd cu j ,k )n j , Do theo Bổ đề 5.14 [5] suy tồn hàm xác định (dd c xác định j u j ,k j j j Từ Hệ 2.2.2 suy H kj (2.8) j H kj ))n H kj đạt cực đại j dãy giảm Cho k j j Theo nguyên đặt u j k lim u j ,k (2.8) cho ta Hj tức u j uj ( j,H j ) j j , (dd c H )n suy ( j , H j ) Từ giả thiết (dd cu j )n j j theo Hệ 2.2.2 suy u j j H j dãy tăng suy (dd cu j )n (dd cH )n H j j từ việc xây dựng (dd cu j )n j Từ u j j dãy giảm H uj H j (2.9) 27 Như vậy, hàm u j ( , H ) thoả mãn (dd cu)n lim u j độ đo không âm xác định Chú ý Cho tập đa cực ( )d cho triệt tiêu ( ), tồn hàm cho Khi từ [6] suy tồn hàm xác định cho (dd cu)n 2.3 Độ đo Monge-Ampère tập đa cực phƣơng trình MongeAmpère phức 2.3.1 Bổ đề Cho u, uk , v , , k dd cu2 T dd cu T Đặt Chứng minh Lấy (1 Từ dd c 1, với u v Đặt dd cun Khi u j 1,2, , n dd c j T (1 ) (1 (1 ) u )u max((1 j j tập mở v j dd cv T v )u T dd cv T j/ )dd cu j, v ) Khi , ta có T v j/ dd cu T Cho j u dd cu T Cho ta ta điều phải chứng minh Chú ý a) Với j 1, 2, , n , lấy u j , v j A dd cu1 với tập Borel đa cực A dd cun u j A dd cv1 v j từ Bổ đề 2.3.1 suy dd cvn 28 giả sử (dd cv )n triệt tiêu tập đa cực Nếu u b) Lấy u j , v j v từ Bổ đề 2.3.1 suy (dd cu )n triệt tiêu tập đa cực 2.3.2 Định nghĩa Lấy u hàm nửa liên tục bị chặn Khi ta định nghĩa ur sup 1/n ( ): u Từ Định nghĩa 2.3.2 suy số tính chất sau: với u (1) Nếu u, v (2) Nếu u (3) Nếu u 1 , v , ur ur 1/n L ( ) vr u Từ đó, theo [3] ta có ur hàm nửa liên tục bị chặn với , u , supp(dd cur ) (4) Nếu u ur (5) Nếu supp supp compact j , j dãy tăng hàm nửa liên tục bị chặn hội tụ điểm đến hàm nửa liên tục bị chặn giảm hội tụ điểm đến ur j 2.3.3 Bổ đề Cho u j , u dãy K tập đa cực compact (dd cuK )n j K (dd cu)n , Khi 29 u G định nghĩa 2.3.2 uK sup u G :K G * , , G mở Chứng minh Chọn dãy giảm G j u j cho K ,G j j G j Khi dãy tăng hội tụ đến uk tập đa cực, j Gj (dd cuK )n j (dd cu Mặt khác, uK K K Ta có u Gj Gj )n K u G j Từ ta có Gj (dd cu)n , (dd cuK )n K (dd cu )n u nên theo Bổ đề 2.3.1 ta có (dd cuK )n K (dd cu)n (dd cuK )n 2.3.4 Bổ đề Cho u1, , un A dd cu1 K (dd cu)n A (dd cun )n Khi dd cun A với tập Borel đa cực A 1/n (dd cu1 )n 1/n Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử A tập đa cực compact u1, , un với j Gj dd u1G k dãy giảm tập mở A Theo Hệ 5.6 [3] ta có c Với Giả sử G j c j dd unG n ta có ukG j c j n (dd u1G ) j 1/n c n (dd unG ) j uk G j supp(dd cukG )n j Gj 1/n G1 , từ 30 1/n c Gj c dd u1 Cho j c dd un G1 n (dd u1G ) 1/n j c G1 n (dd unG ) j theo Bổ đề 2.3.3 ta 1/n c A dd u1 c c dd un G1 n (dd u1A ) 1/n c G1 n (dd unA ) Từ suy điều phải chứng minh Bây với u ta viết m hàm đơn giản f u j j Ej (dd cu)n định nghĩa S lớp u , 0, E j đơi rời j độ đo cho f có giá compact triệt tiêu tập u Ta ký hiệu T tập hợp tất hàm thuộc S mà E j compact 2.3.5 Định nghĩa Cho u ug inf(sup u : f Từ Định nghĩa 2.3.5 suy u nữa, g ug (sup u : f ug , đo Ta định nghĩa g1 g2 u g1 g u Hơn ,g hàm nửa liên tục bị chặn })* S Khi ug Chứng minh Trước tiên giả sử m k u T 2.3.6 Bổ đề Cho u g hàm hàm nửa liên tục bị chặn })* , f T f g g k Ak g (dd cu g )n T Khi ug g(dd cu)n Lấy 31 xét uk u k Ak m B B k (dd cuk )n Từ đó, B k Khi với m ta có u1 ug um uk , Ak , từ Bổ đề 2.3.1 suy B (dd cu g )n B (dd c (u1 Ak từ Bổ đề 2.3.3 suy um ))n , B (dd cuk )n k k B m (dd cu)n theo Bổ đề 2.3.4 ta có k B (dd cu)n B (dd c (u1 um ))n Từ ta có k B (dd cuk )n B với tập Borel B Bây giả sử g Ak , k B (dd cu )n , k m m Như (dd cu g )n k m S , nghĩa g j j Ej , j g(dd cu)n 0, E j đôi rời đo cho g có giá compact triệt tiêu tập u Với E j ,1 cho m chọn dãy tăng K jp j m p p f0 (dd cu g )n g , f0 j Khi p m K jp hội tụ đến T f0 chứng minh ta có T g p p g j p p tập compact E j E j hầu khắp nơi T Hơn nữa, f0 Từ u p f0 p u g p , T với Theo phần thứ 32 f (dd cu p )n f0 p (dd cu)n (dd cu Theo Định lý 2.2.6 suy lim u f0 lim u g 2.3.7 Định lý Cho u T với f p lim u (dd cu)n g p p Vậy ta có g(dd cu)n hàm u (dd cu g )n đo được, triệt tiêu g(dd cu)n g , theo Bổ đề 2.3.6 ta có S (dd cu min( f , g j ) Từ Định lý 2.2.6 suy u j g S dãy tăng hội tụ điểm đến g , j Chứng minh Lấy g j , g j Nếu f f Khi u g tập hợp u )n f (dd cu g )n p p p u , từ u g p p ug g min( f ,g j ) n min( f ,g j ) ) min(f , g j )(dd cu)n dãy giảm hội tụ điểm đến u f , Như vậy, u f u g j lim u (dd cu g )n gj với f g từ Định nghĩa 2.3.5 suy g(dd cu)n 2.3.8 Hệ Cho u tiêu tậphợp u uf T với f f,g Nếu f hai hàm u đo được, triệt g hầu khắp nơi n , ug Chứng minh Lấy u u f , ug , uf (dd cu f )n giả sử f , g S Khi theo Bổ đề 2.3.6 ta có u max( f ,g ) f (dd cu)n max(f , g )(dd cu)n (dd cu max(f ,g ))n 33 Từ đó, theo Định lý 2.2.6 ta có u f ug u max( f ,g ) Suy u f u max( f ,g ) Tương tự, ta nhận ug Đôi với trường hợp tổng quát lấy f,g hai hàm Theo giả thiết f nơi u j f u j g dãy f , g với j đo triệt tiêu tập hợp u u g hầu khắp nơi n n suy j f j g hầu khắp theo phần thứ chứng minh ta nhận Cho j ta điều phải chứng minh , 1, 2.3.9 Bổ đề Cho độ đo không âm xác định thoả mãn điều kiện sau: (1) triệt tiêu tập đa cực (2) Tồn tập đa cực A (3) ( Khi ) ( ( ) cho )( ( , ) ) ( \ A) , với với Chứng minh Vì A tập đa cực ( ), j 0, C ( ) C ( ) bị chặn nên tồn hàm cho A Lấy C ( ) đặt max( , / j ) Khi ta có ( Cho j j ) ta nhận ( j )( ( ) ) ( )( ) 34 Nhưng triệt tiêu tập đa cực chứa u fu mang tập hợp , nên ta có ( Cho u , ) ( ) với , theo Định lý 5.11 [5] tồn hàm L1lov (dd c u )n , fu cho (dd cu )n fu (dd c độ đo không âm cho tồn tập đa cực A 2.3.10 Bổ đề Cho u, v v suy v u , ( \ A) fu (dd c u u )n u v ( n Vì j v )(dd cv n c j ( )( dd ) j n v u v j n c j ( )( dd ) j )n (dd cv)n (2.10) j Cn (dd cv)n j Từ Bổ đề 2.3.9 bất đẳng thức (2.10) suy ( ) Theo giả u , từ Bổ đề 2.2.3 suy )(dd cu)n ( v u cho (dd c )n triệt Khi cần chứng minh u Theo Bổ đề 2.3.1, khơng tính tổng quát, giả sử Chứng minh Lấy v v )n u Nếu tồn hàm tiêu tập đa cực u u, v, u cho Trong Bổ đề 2.3.10 ta sử dụng ký hiệu thiết u C ( ) u ( ) v , với nên ta có 35 ( Theo cách tương tự ta nhận Từ Bổ đề 3.1 [5] suy u v 2.3.11 Bổ đề Cho H ) ( u ) v , với ( ) , (dd cv )n mang tập đa cực (1) Nếu v )(dd cv)n ( u với sup C ( ) , min(v, H ) ( ): , (dd c )n (2) Giả sử (H ) triệt tiêu tập đa cực, (H ), (dd cv )n mang tập đa cực v ( )((dd c )n (dd cv)n ) Nếu u hàm xác định u sup ((dd c )n , v) u (H ) (dd cu)n với C ( ) ((dd c )n , v) , : : (dd c )n (dd c )n (dd c )n & v (dd cv)n Chứng minh (1) Vì min(v, H ) hàm nửa liên tục âm nên ta có u ( ) H u v H Hơn nữa, u Theo Định lý 2.1.5 ta chọn dãy giảm v j , v j đến v j (dd c j )n (dd cv j )n , (H ), v (H ) C ( ) hội tụ điểm dùng Định lý 2.2.7 để giải phương trình j (H ), j Xét 36 uj Khi u j sup u j min(v j , H ) ( ): (H ) , theo Bổ đề 2.2.3 ta có )(dd cu j )n ( ( )(dd c j )n Hệ 2.2.4 suy )(dd cu)n ( )(dd cv)n với ( suy (dd cu )n mang u theo Bổ đề 2.3.10 suy (dd cu)n ( ), u ((dd c )n , v) (dd cu)n nên ta có u u ( H nên (dd c )n Chú ý cho mang tập đa cực Vì ( vj , vj v Định lý 5.11 [5] suy (dd cu)n tập đa cực (dd cv)n u , v hàm nửa liên tục âm độ đo dương xác định Vì v (dd cv)n Như (1) chứng minh (2) Dùng Bổ đề Choquet [6] ta có u u C( ) v Từ u , triệt tiêu tất v) ((dd c )n , v) (H ) Theo Bổ đề 2.3.10 ta có (dd c )n Mệnh đề 2.1.6 suy tồn dãy giảm (H ) hội tụ điểm đến v j )((dd c )n (dd cv j )n ) Ta có với C ( ), nên theo ý cuối mục 2.2 Định lý 2.2.7 tồn hàm j (H ) cho (dd c j )n (dd c )n (dd cv j )n Theo Hệ 2.2.2 ta 37 có ((dd c )n , v j ) Do đặt u j j u j sup ((dd c )n , v j ) : dãy giảm hội tụ điểm đến u j Hơn nữa, từ Bổ đề 2.2.3 suy ( )(dd cu j )n Cho j )(dd c ( ( Từ )(dd cu)n )n )( ( )((dd c )n (1) ( ,f (dd cv j )n ) L1loc ((dd c )n ), f H Nói riêng, , mang tập đa cực mang v tồn (dd c )n f (dd c )n cho (dd c )n , tồn hàm với cho (dd c )n ,v (dd c )n nên với ) Vì (dd c )n Do (2) Nếu tồn hàm Nếu )((dd c )n ) độ đo khơng âm Khi độ đo khơng âm E, )((dd c )n ( C ( ) ta có 2.3.12 Định lý Giả sử (3) )n , Hệ 2.2.4 cho ta ( ,v j f (dd c )n (dd cv )n , hàm ( ) tồn u , u (dd c )n , với , H (H ) Chứng minh (1) Đây Định lý 5.11 [5] u với H với (dd cu)n 38 (2) Sử dụng Định lý Radon-Nikodym phân tích phần (1) ta f (dd c )n (dd c )n , hàm Borel Với j định (dd c )n min( , j )(dd c )n Từ đó, j , lấy dd c ( j j j n độ đo xác n ) theo định lý Kolodziej (xem [9]) tồn hàm xác định (dd c j )n j Khi j Theo nguyên lý so sánh ta có lim (dd c )n j cho (dd cv )n hàm v (dd c )n j j j cho dãy giảm f (dd c )n Theo Định lý 2.3.7 tồn v Như vậy, ta có f (dd c )n (dd cv )n (3) Tương tự (1) (2) ta chọn dãy tăng hàm đơn giản g j , supp g j j hội tụ đến g Theo Định lý 2.3.7 ta có u gj , (dd c j gj n Hơn nữa, uj sup ((dd c j )n , min( Suy u j j g j (dd c )n [ ) gj gj ] dãy giảm hội tụ điểm đến Từ (dd c g ((dd c j )n , min( : : (dd c j )n , H )) g n , (dd c )n Đặt ) gj g , H )) , (dd c )n & min( gj ,H) dãy giảm hội tụ đến hàm đa điều hoà u đó, Theo Bổ đề 2.3.11 ta có u j (dd cu j )n Hơn nữa, ta có H uj (dd c H Cho j (H ) với )n j (dd c gj n ) ta có điều phải chứng minh 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày: - Tổng quan hệ thống kết tính chất hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà cực đại, toán tử Monge-Ampère - Các kết nghiên cứu về xấp xỉ hàm đa điều hoà lớp lượng (Định lý 2.2.1 Hệ 2.2.4 Bổ đề 2.2.5) Các kết nghiên cứu toán tử Monge-Ampère tập đa cực trình bày Định lý 2.3.7 Bổ đề 2.3.11 Áp dụng kết đạt để giải phương Kết trình bày Định lý 2.3.12 Cụ trình Monge-Ampère thể là: Cho độ đo khơng âm Khi (1) ,f L1loc ((dd c )n ), f độ đo khơng âm E, với cho (dd c )n ,v mang v (3) Nếu tồn hàm H Nói riêng, , mang tập đa cực (2) Nếu tồn hàm ,v f (dd c )n cho (dd c )n , tồn hàm f (dd c )n (dd cv )n , (dd c )n , với với ( ) tồn u , u , (H ) H u H với (dd cu)n 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT: [1] Nguyễn Quang Diệu Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lí thuyết đa vị, Nxb Đại học sư phạm Hà Nội TIẾNG ANH: [2] Ahag P Czyz R H H Pham (2009), “Monge-Ampère measure on pluripola sets”, J Math Pures Appl (9) 92, No.6, 613-627 [3] Blocki Z (2006), "The domain of definition of the complex MongeAmpère operator", Amer J Math (128), pp.519-530 [4] Cegrell U (1998), "Pluricomplex energy", Acta Math, (180), pp.187-217 [5] Cegrell U (2004), "The general definition of the complex Monge-Ampère operator", Ann Inst Fourier (Grenoble) (54), pp.159-179 [6] Cegrell U (2008), "A general Dirichlet problem for the complex MongeAmpère operator", Ann Polon Math (94), No.2, pp.131-147 [7] Celik.H.I & Poletsky E A (1997), "Fundamental solutions of the complex Monge-Ampère equation", Ann Polon Math (67), pp.103-110 [8] Klimek M (1991), Pluripotential theory, The Clarendon Press, Oxford University Press, New York [9] Kolodziej S (1995), "The range of the complex Monge-Ampère operator II", Indiana Univ Math J (44), pp.765-782 [10] Lempert L (1983), "Solving the degenerate complex Monge-Ampère equation with one concentrated singularity", Math Ann (263), pp.515-532 [11] Nguyen V.K & Pham H H (2009), "Comparison principle for the complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications", Trans Amer Math Soc (361), pp.5539-5554 [12] Xing Y (1999), "Complex Monge-Ampère equations with a countable number of singular points", Indiana Univ Math J (48), pp.749-765 [13] Zeriahi A (1997), Pluricomplex Green functions and the Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère operator, Michigan Math J (44), pp.579-596 ... Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE- AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE PHỨC 16 2.1 Một vài định nghĩa kết 166 2.2 Một vài kết xấp xỉ 19 2.3 Độ đo Monge- Ampère tập đa cực phương. .. 16 Chƣơng ĐỘ ĐO MONGE- AMPÈRE TRÊN CÁC TẬP ĐA CỰC VÀ PHƢƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE PHỨC 2.1 Một vài định nghĩa kết Trong chương ta giả sử miền siêu lồi bị chặn 2.1.1 Định nghĩa Ta nói hàm đa điều hoà... j độ đo không âm xác định Chú ý Cho tập đa cực ( )d cho triệt tiêu ( ), tồn hàm cho Khi từ [6] suy tồn hàm xác định cho (dd cu)n 2.3 Độ đo Monge- Ampère tập đa cực phƣơng trình MongeAmpère phức