Bài giảng toán kinh tế_PGS.TS Nguyễn Quảng

Bài giảng toán kinh tế_PGS.TS Nguyễn Quảng

H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG TỐN KINH T (Dùng cho sinh viên h t o L u hành n i b HÀ N I - 2007 i h c t xa) H C VI N CƠNG NGH B U CHÍNH VI N THƠNG TỐN KINH T Biên so n : PGS.TS NGUY N QU NG TS NGUY N TH NG THÁI L I NÓI U Nh m áp ng nhu c u gi ng d y h c t p môn h c Toán kinh t dành cho sinh viên h t o i h c t xa, H c vi n Cơng ngh B u Vi n thơng (H c vi n) t ch c biên so n t p Sách h ng d n h c t p (Sách HDHT) mơn h c Tốn kinh t theo úng ch ng trình t o C nhân ngành Qu n tr kinh doanh c a H c vi n T p sách c biên so n c s k th a, ch n l c b sung t p giáo trình Tốn chun ngành ã c Nhà xu t b n B u i n n hành vào tháng n m 2003 gi ng Toán kinh t ã c s d ng, gi ng d y cho ch ng trình t o i h c quy ngành Qu n tr Kinh doanh t i H c vi n N i dung t p sách c c u trúc g m ch ng: u v ph ng pháp t i u Ch ng Các ki n th c m Ch ng Mơ hình t i u n tính Ch ng M t s mơ hình t i u n tính khác Ch ng Các toán t i u m ng Ch ng Ph Ch ng Lý thuy t Ph c v Ch ng Lý thuy t qu n lý d tr ng pháp mơ hình hố mơ hình tốn kinh t ám ơng t o i u ki n thu n l i cho sinh viên có kh n ng t h c, t nghiên c u, tác gi không i sâu vào v n lý lu n k thu t toán h c ph c t p, mà ch t p trung trình bày, gi i thi u nh ng ki n th c c b n ch y u thi t th c c p nh t, làm c s cho vi c h c t p nghiên c u phân tích kinh t nói chung h c t p môn chuyên ngành Qu n tr kinh doanh cu i m i ch ng, sau ph n khái quát tóm t t v n c b n, ch y u c a lý thuy t, tác gi a t p m u phân tích cách gi i ng i h c có th t gi i c nh ng toán liên quan n lý lu n ã h c Ph n t p cu i m i ch ng c ng s giúp ng i h c t nghiên c u, v n d ng lý lu n ã h c vào phân tích, lý gi i n i dung th c ti n liên quan M c dù tác gi ã u t nghiên c u ch n l c biên so n nghiêm túc áp ng yêu c u gi ng d y h c t p c a môn h c, nh ng ch c t p sách s không tránh kh i nh ng thi u sót nh t nh Các tác gi r t mong nh n c s góp ý c a b n bè ng nghi p, b n c b n sinh viên l n xu t b n sau c hoàn thi n h n CÁC TÁC GI Ch ng I: M t s ki n th c m CH 1.1 IT u NG I: M T S KI N TH C M U NG NGHIÊN C U C A MÔN H C 1.1.1 T ng quan v t i u hoá Trong ho t ng th c ti n, nh t trình qu n lý, i u n h th ng kinh t - xã h i, mong mu n t c k t qu t t nh t theo tiêu chu n ó T t c nh ng mong mu n ó th ng l i gi i c a nh ng tốn t i u ó M i v n khác c a th c t d n n toán t i u khác gi i tốn ó, m t lo t lý thuy t toán h c i t c s lý lu n, a gi i pháp tìm l i gi i, ch ng minh tính h i t , tính kh thi c a tốn th c t v.v T ó hình thành m t l p ph ng pháp toán h c giúp ta tìm l i gi i t t nh t cho toán th c t , g i ph ng pháp t i u hóa L p ph ng pháp t i u hóa bao g m nhi u lý thuy t toán h c khác nhau, tiêu bi u là: Qui ho ch tốn h c, lý thuy t trị ch i, lý thuy t th v.v Trong qui ho ch toán h c, tiêu bi u Qui ho ch n tính, Qui ho ch phi n, Qui ho ch ng, Quy ho ch tham s , Qui ho ch nguyên v.v Trong lý thuy t trò ch i, tiêu bi u Lý thuy t l a ch n quy t nh, Bài tốn trị ch i chi n l c, tốn trị ch i vi phân v.v Trong Lý thuy t th có tốn t i u m ng, toán PERT, Các toán ng i v.v Các l p ph ng pháp toán h c thu c Lý thuy t t i u có th bi u di n b i s sau: Lý thuy t t i u Các ph ng pháp t i u Quy ho ch toán h c Lý thuy t th Lý thuy t trò ch i Mơ hình t i u Mơ hình ph c v ám ơng Mơ hình tốn kinh t Mơ hình qu n lý d tr Quy ho ch toán h c Quy ho ch n tính Quy ho ch phi n Quy ho ch ng Quy ho ch tham s Ch ng I: M t s ki n th c m u Lý thuy t trò ch i Bài toán l a ch n quy t nh Bài toán trị ch i chi n l c Bài tốn trị ch i vi phân 1.1.2 Bài toán t i u t ng quát Bài toán quy ho ch toán h c t ng quát C c i hóa (c c ti u hóa) hàm f (x) Hàm f (x) cho max (min) (1.1) (=, ) bi (i = 1, m ) (1.2) X IRn (1.3) V i i u ki n: gi (x) x c phát bi u nh sau: (1 -1) g i hàm m c tiêu Các hàm gi (x) (i = 1, m ) g i hàm ràng bu c T ph pD= x (=, ) bi, i = 1m , X gi (x) G i mi n ràng bu c ch p nh n -M im tb t (1.2) - (1.3) ng th c, - i m x = (x1, x2, , xn) m t gi i pháp ch p nh n c c ng th c (1.2) g i m t ràng bu c c a toán (1.1) D g i m t ph - M t ph ng án x* D làm c c l i gi i ho c ph ng án t t nh t) Theo (1.4) i (c c ti u) hàm m c tiêu g i ph D ph nh ngh a x* ng án c a toán (1.1) - (1.2) - (1.3) ng án t i u (hay ng án t i u ch f (x*) f (x), x D, ( i v i toán max) hay f (x*) f(x), x D, ( i v i toán min) Giá tr f(x*) g i giá tr t i u (t t nh t) c a hàm m c tiêu, giá tr t i u c a toán (1.1) - (1.2) - (1.3) 1.1.3 Phân lo i toán t i u a - N u hàm m c tiêu f(x) ràng bu c gi (x) hàm n tính (b c 1) tốn (1.1) - (1.2) - (1.3) g i m t Qui ho ch n tính (tr ng h p riêng tốn v n t i) b - N u bi u th c hàm m c tiêu f(x) ràng bu c gi (x) (i = 1, m ) hàm ph thu c tham s , tốn (1.1) (1.3) g i qui ho ch tham s Ch ng I: M t s ki n th c m u c - N u toán (1.1) (1.3) c xét trình nhi u giai o n ho c trình thay i theo th i gian g i Qui ho ch ng d - N u toán (1.1) (1.3) mà hàm m c tiêu f(x) ho c có nh t m t hàm gi (x), (i = 1, m ) phi n g i Qui ho ch phi n, tr ng h p riêng Qui ho ch l i ho c Qui ho ch lõm Qui ho ch l i (lõm) Qui ho ch toán h c mà hàm m c tiêu f(x) l i (lõm) t p h p ràng bu c D l i (lõm) e - N u toán (1.1) (1.3) mà mi n ràng bu c D t p r i r c g i Qui ho ch r i r c g - N u toán(1.1) (1.3) có bi n xi IR1 thành ph n i véc t x ch nh n giá tr nguyên, g i Qui ho ch nguyên h - N u toán (1.1) (1.3) mà bi n xi ho ch Bul (xi thành ph n i c a véc t x) X IRn, IR1 ch nh n giá tr O ho c 1, g i Qui i - N u toán (1.1) (1.3) mà mi n D ta xét g i Qui ho ch a m c tiêu v.v ng th i nhi u m c tiêu khác nhau, 1.1.4 N i dung nghiên c u c a môn h c a Quy ho ch n tính b Bài toán v n t i c Bài toán t i u m ng d Mơ hình kinh t mơ hình tốn kinh t e Mơ hình ph c v ám ơng g Mơ hình qu n lý d tr 1.2 C S GI I TÍCH L I 1.2.1 Khơng gian n tính n chi u (Rn) a Véc t n chi u M t h th ng c s p , g m n s th c, d ng x = (x1 x2, , xn), g i m t véc t n chi u Thí d : x = (4, 0, 5, 10, 15) m t véc t chi u Các s xi, i = 1, n , g i thành ph n th i c a véc t x Hai véc t x =(x1, x2, , xn) (y1, y2, , yn) g i b ng nhau, n u xi = yi, (i = 1, n ) Khi ó ta vi t x y xi =yi, (i = 1, n ) V yx y Cho hai véc t x = (x1, x2, , xn) y = (y1, y2, , yn) Ta R1 nh ngh a phép c ng hai véc t x y véc t x+y, c xác x+y= (x1+ y1, x2 + y2, , xn + yn) Phép nhân véc t x v i m t s R1 véc t nh nh sau: (1.5) x, c xác nh nh sau: Ch ng I: M t s ki n th c m u x = ( x1, x2, , xn) - Véc t (1.6) = (0, 0, ., 0) g m thành ph n toàn s 0, g i véc t khơng * Các tính ch t c a phép c ng véct nhân véct v i m t s - N u x y hai véct n chi u x+y c ng véc t n chi u - V i m i véc t n chi u x y ta u có: x+y =y+x - V i m i véc t n chi u x, y z ta u có: x + (y+z) = (x+y) +z n chi u cho - Luôn t n t i véct +x = x+ =x - M i véct n chi u x t n t i véc t n chi u -x cho: x+ (-x)=(-x) +x = - k R v i m i véc t n chi u x kx c ng véc t n chi u - k R v i m i véc t n chi u x y ta có: k (x+y) = kx+ky - l, k R v i m i véc t n chi u x ta có: (k +l ) x = kx +lx - l, k R v i m i véc t n chi u x ta ln có: k(lx) = (kl) x - M i véc t n chi u ta có: 1.x = x b Khơng gian n tính n chi u Rn T p h p t t c véc t n chi u, ó xác l p phép toán c ng Véc t nhân véc t v i m t s th c nh (1.5) (1.6) tho mãn 10 tính ch t nêu trên, g i m t không gian n tính n chi u Ký hi u IRn 1.2.2 M t s tính ch t a i v i véc t Rn nh ngh a Các véc t xi Rn, i = 1, m , g i c l p n tính n u m i xi = i = 0, i = 1, m i m - N u t n t i nh t m t s j 0, j m, cho i xi = , ta nói r ng i véc t x Rn, i = 1, m , ph thu c n tính m - N u t n t i véc t xi i ix , Rn, cho: x = v i nh t m t i 0, i m, x g i i t h p n tính c a véc t xi, (i = 1, m ) m m i i x v i -N ux= i 0, i = 1, m , i i = x g i t h p l i c a véc t i xi, i = 1, m - Trong không gian véc t Rn, h n Véc t c l p n tính l p thành c s c a IRn Gi s C1, C2, , Cn m t c s c a Rn, ó m t cách nh t qua Véc t c s Ci, (i = 1, n ) x Rn u có th bi u di n n tính Ch ng I: M t s ki n th c m u b Cho hai véc t b t k x, y Rn, x = (x1, x2, xn) y = (y1, y2, , yn) , ta g i tích vơ ng c a hai véc t x y m t s th c, ký hi u , c xác nh nh sau: h m xi yi = i - dài c a Véc t n x x, x Rn s x th c, ký hi u x , c xác nh nh sau xi i - Chú ý: Tích vơ h ng hai véc t có tính ch t sau: Rn b1, < x, y > = < y, x > (Tính giao hốn) x, y b2, < x1+x2, y > = < x1, y > + < x2, y >, x1, x2, y (Tính phân ph i b3, < x, y = b4> < x, x > i v i phép c ng) R1, < x, y > , x, y nh ngh a kho ng cách gi a hai véc t x, y, ký hi u n ( x, y ) Rn Rn, d u b ng x y x = x V i m i x, y Rn, ta th c, c xác nh nh sau: Rn x y x y, x ( xi y i Rn, Chú ý: Kho ng cách gi a hai véc t x, y - y (Hi u c a hai Véc t ) (x, y) s yi ) dài c a véc t hi u x+ (-1)y: = x 1.2.3 Khơng gian clít M t khơng gian n tính n chi u, ó xác nh phép tốn tích vô h nh m t kho ng cách gi a hai véc t , g i khơng gian clít, ký hi u IRn ng, ó xác 1.2.4 T p Compact a Các Dãy xk k nói x nh ngh a |Rn, g i h i t o n i m xo IRn k k , n u lim (xk, xo) = Khi ó ta k o , vi t: lim x = x có gi i h n x k k n: - M t t p h p S = x IR r IRn (x, a) r, a IRn, r IR1 , g i m t hình c u tâm a, bán kính - Hình c u S nói trên, t o thành m t lân c n c a i m a, g i r -lân c n c a a - Cho t p h p A n m tr n A IRn, i m x A c g i i m c a A n u - i m x A IRn, c g i i m biên c a A, n u m i lân c n c a x i m thu c A i m không thu c A - lân c n c a x u có ch a - Cho t p h p A IRn, ta nói t p h p A gi i n i n u hình c u ch a tr n nó, ngh a s th c r l n i m a IRn cho x A ta u có (x, a) < r Ch ng I: M t s ki n th c m u * Nh n xét T nh ngh a c a dãy h i t t p gi i n i, ta suy ra, m t dãy xk t bao gi c ng gi i n i IRn -M tt ph pG G IRn -M tt ph pF n m t i m xo F c g i m , n u x IRn, h i G, t n t i m t hình c u tâm x ch a tr n c g i óng, n u nh m i dãy h i t xk F IRn, uh it * Nh n xét M t t p h p ch a m i i m biên c a m t t p h p óng b T p Compact - T p h p C IRn c g i t p h p Comp ct n u t m i dãy vô h n xk n m t ph n t thu c C th trích m t dãy xkn h i t C, u có - M t t p C Compact ch C óng gi i n i - T p Compact M c a t p óng C c ng óng C - T p M óng C Compact c ng t p Compact - Hàm f(x) liên t c t p Compact C s 1.2.5 t giá tr l n nh t, nh nh t C ng th ng, o n th ng, siêu ph ng a nh ngh a ng th ng o n th ng IRn - Cho hai i m a, b |Rn Ta g i d ng: x = a + (1 - )b, IR1 -N u0 ng th ng qua a, b t p h p i m x IRn có ta có o n th ng n i hai i m a, b, ký hi u [a, b] Chú ý - Trong khơng gian hai chi u IR2, ph ng trình b c nh t ax + by = c, xác nh m t ng th ng, m t b t ph ng trình ax+by c ho c ax+by c, xác nh n a m t ph ng IRn - Trong không gian ba chi u IR3, m t ph ng trình b c nh t ax+by+cz=d xác nh m t m t ph ng, m t b t ph ng trình b c nh t ax+by+cz d ho c ax + by + cz d xác nh m t n a không gian Ta m r ng k t qu cho không gian IRn b Siêu ph ng IRn - Siêu ph ng không gian IRn t p h p t t c i m x = mãn ph ng trình b c nh t: IRn, tho a1 x1 + a2 x2 + + an xn = n - M t b t ph ng trình b c nh t d ng i n xi ho c i xi xác nh m t n a khơng gian óng IRn 1.2.6 T p h p l i a nh ngh a c g i t p h p l i n u v i vi c ch a hai i m x, y, ch a c T p h p x IRn o n th ng n i hai i m y i u có ngh a X = z |Rn: z = a + b, a, b IRn, [0, 1] Ch ng VII: Lý thuy t qu n lý d tr 2e 2.016 001 = 0.08 40 d Z* 20 Gi i Z* 20 c: e 08 e Z* 20 0, 08 * ln1 - Z lne = ln(0,08) 20 Z* = -10ln 100 hay Z* 10 ln T ng chi phí b o qu n thi t h i ng v i l D = 0,01.10 ln(12,5) + 40 16 BÀI T P CH 10 ln 12 , 20 100 ln 12,5 ng d tr t i u là: 10 ln 12, 2e 20 d NG M t c a hàng kinh doanh m t m t hàng i n t Nhu c u v m t hàng khu v c 40.000 n v /n m Giá mua m i n v 14$, chi phí b o qu n m i n v tính t l v i giá mua theo h s 0,05 Chi phí cho m i l n liên h h p ng mua hàng 120$ Th i gian t lúc b t u làm h p ng n có hàng v bán tháng a Tính l ng hàng t m i l n cho t ng chi phí bé nh t Xác nh th i gian m i chu k mua tiêu th hàng Xác nh m c hàng l i kho vào th i i m c n ti n hành làm th t c mua hàng cho chu k sau b V th minh ho d a vào cho lô hàng l n h n ho c b ng S0 th mô t hành vi h p lý c a c a hàng có h giá c N u c a hàng nh n c m t báo giá m i c a m t c s khác v i n giá 13,5$, nh ng ti n liên h hoàn t t h p ng mua hàng m i l n 125$ có nên ch n mua c s m i không? HD: q* 3703.28 F(q*) 562592.296 a t* 0.0926 n* 10.8 B* 2456.45 c Ch n mua c s m i Nhu c u m t m t hàng i n t dân d ng t i m t th xã m t công ty th ng m i cung ng hàng n m 30.000 chi c Giá mua m i chi c 4$, chi phí d tr tính theo kh i l ng hàng l u kho m i chi c 6$/n m Chi phí cho m i l n t hàng 50$ Vi c tiêu th u n th i gian nh p hàng vào kho không k 249 Ch ng VII: Lý thuy t qu n lý d tr a Xác nh l hàng tháng ng hàng t m i l n t t nh t i m t hàng t ng ng n u th i gian t b Gi s c s bán hàng mu n công ty mua v i s l ng m i lô l n h n m c tính c câu a, c s d nh s h giá hàng 10% cho lô hàng t i thi u S chi c, nh ng l i mu n cơng ty mua m i lơ có s l ng t i thi u ó c n t S kho ng nào? Trong tr ng h p ó n u công ty không mua m i l n lơ hàng S s ph i chi m t chi phí c h i bao nhiêu? HD: q* 707.11 a F(q*) 124242.641 B* 326.19 b V th r i so sánh M t xí nghi p s n xu t m t lo i thi t b vi n thông d báo t ng nhu c u lo i nguyên li u s n xu t thi t b 120.000 t n Vi c tiêu th u n th i gian nh p hàng vào kho khơng k , có hai ph ng th c mua nguyên li u Ph ng th c I: M i t mua t t ng công ty kinh doanh lo i nguyên li u v i s l ng tùy ch n giá m i t n 240$, chi phí b o qu n b ng 12% giá mua, chi phí giao d ch, t ch c mua m i t n 150$ Ph ng th c II: Chia u t ng nhu c u thành l n t mua giá m i t n 225$, chi phí b o qu n b ng 15% giá mua, chi phí giao d ch, t ch c mua m i l n nh ph ng th c I a Nên mua theo ph nhiêu? ng th c nào, n u nh chi n l c sai thi t h i t i thi u bao b N u t ng nhu c u hàng n m t ng 10% giá c c ng t ng 10% cịn chi phí giao d ch, t ch c mua khơng i n m sau nên mua nh th nào? HD: a Ph Ph ng th c I: F(q*) = 28832199.379 USD ng th c II: Fmin = 28013100 USD Ch n ph ng th c II N u mua theo ph ng th c I thi t h i r i thi u 819099.379 USD M t tr m bán x ng m i tháng tiêu th 16.000kg, c ng tiêu th u th i gian b sung x ng v b n ch a có th b qua, chi phí c nh cho m i l n mua t nhà cung c p 100$, giá mua t nhà cung c p 0,28$/kg, chi phí b o qu n g m hai ph n: Chi phí c nh m i tháng 320$ không ph thu c vào s l ng b n ch a chi phí tính cho m i kg m i tháng b ng 15% giá mua Hãy cho bi t giá bán t i thi u tr m thu c t m t kg s ti n lãi không d i 0,02$ Mu n m b o m c lãi ó tr m c n d tr nh th nào? HD: F(q*) = 5166.6061 USD Giá bán t i thi u q=0.3429 USD/kg; q*=8728.72 USD M t ng s li u sau: id nh m m t c a hàng bán bia, c s t v n th ng m i ã cung c p T ng nhu c u hàng n m khu v c c a hàng cung c p 14.000 thùng Giá m i thùng v n c a hàng 144$, chi phí cho ký h p ng mua bán m i l n c nh 100$, chi phí 250 Ch ng VII: Lý thuy t qu n lý d tr b o qu n kho n ti n lãi ti n g i g p l i b ng 7% giá hàng (khơng tính chi phí h p bán) ng mua Hãy xác nh t ng s ti n t i thi u c n có ng i có th mua bán hàng, áp ng nhu c u theo d báo nêu Bi t c ng tiêu th u th i gian nh p hàng không k Th i gian t làm h p ng n có hàng tháng HD: F(q*)=76103.64 USD V i d ki n c a mơ hình Wilson a Hãy tìm bi u th c cho bi t t ng t ng nhu c u, chi phí mua hàng chi phí t hàng m c 1% t ng chi phí nh nh t t ng % Nh n xét v giá tr bi u th c t i quy mô t i u, gi i thích? b Gi s h th ng kho có s n v i dung tích M0 l n h n quy mơ t i u mơ hình Vì v y ngồi chi phí d tr tính theo th i giá ã nêu mơ hình m i n v dung tích b tr ng ch u m t thi t h i p Hãy nêu cách gi i quy t có l i nh t minh ho b ng m t thí d c th HD: a Thay C A vào q* F(q*) sau ã t ng C A lên 1% So sánh giá tr F(q*) m i F(q*) g c theo % b T q * q * ta có quy mơ kho c n thay iv ih s nhu c u thay i M t c a hàng bán l l ng th c cho m t khu v c dân c v i t ng nhu c u hàng n m 60.000 t n Chi phí cho m i l n t ch c mua t t ng công ty 200$, giá mua m i t n 300$, chi phí b o qu n b ng 20% giá mua C a hàng có m t h th ng kho v i dung tích M = M0 t n L ng hàng m i l n c a hàng ang mua úng b ng M0 a Hi n t i ng i ta th y r ng vi c t ng dung tích kho c n thi t, nh m gi m t ng chi phí Hãy xác nh l ng gi m t ng chi phí t ng dung tích kho theo M b Nên t ng dung tích kho nh th ti t ki m nh t n u nh h s chi phí b o qu n v i lô hàng mua m i l n m c M0 b ng 22% giá mua (các i u ki n khác không thay i) HD: a Dung tích kho M0