Ánh xạ đơn điệu và áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – 2008 MỤC LỤC Mở đầu Chƣơng 1: TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Tập lồi hàm lồi .7 1.3 Toán tử đơn điệu 14 1.3.1 Các định nghĩa toán tử đơn điệu 15 13.2 Tốn tử đơn điệu tuần hồn .19 1.3.3 Toán tử đơn điệu cực đại 21 Chƣơng 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU 2.1 Bất đẳng thức biến phân 33 2.2 Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .39 2.3 Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị 46 2.4 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 49 Chƣơng 3: MƠ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU 3.1 Phát biểu mơ hình .55 3.2 Mơ hình Nash – Cournot với toán cân 56 3.3 Mơ hình Nash – Cournot với toán bất đẳng thức biến phân 57 3.4 Mơ hình Nash – Cournot với tốn tử đơn điệu 58 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 MỞ ĐẦU Ánh xạ đơn điệu lĩnh vực giải tích đại nhiều nhà toán học hàng đầu giới nghiên cứu Đặc biệt phải kể đến như: R T Rockafellar, F E Browder, (Xem [5], [14]) Bên cạnh kết đặc biệt có ý nghĩa mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực tốn ứng dụng lĩnh vực tối ưu hóa Nó giúp ích cho việc chứng minh tồn tính nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu Đề tài luận văn nghiên cứu tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert thực ứng dụng việc khảo sát toán bất đẳng thức biến phân đặc biệt mơ hình kinh tế tiếng Nash - Cournot Vì thế, đề tài vừa có ý nghĩa mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức sở có liên quan; khái niệm, tính chất điều kiện cho toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu toán bất đẳng thức biến phân mơ hình kinh tế Nash Cournot Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, kết nghiên cứu luận văn trình bày thành ba chương với tiêu đề: Chương 1: Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với tốn tử đơn điệu Chương 3: Mơ hình Nash - Cournot với tốn tử đơn điệu Nội dung chương là: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở giải tích lồi phục vụ cho việc nghiên cứu tốn tử đơn điệu Sau đó, trình bày khái niệm toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn đơn điệu cực đại Song song với khái niệm số kết tính chất, điều kiện tốn tử đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2: Trình bày toán bất đẳng thức biến phân toán liên quan Sau đó, trình bày số kết việc sử dụng toán tử đơn điệu việc chứng minh tồn tính nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương 3: Trình bày mơ hình kinh tế Nash - Cournot lĩnh vực sản xuất kinh doanh Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu tồn tính nghiệm cho mơ hình Bản luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Để hoàn thành luận văn này, trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn tới quan, gia đình bạn bè ln động viên, ủng hộ giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Thái Nguyên, tháng 09 năm 2008 Ngơ Thị Việt Hằng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Nội dung chương bao gồm: số kiến thức sở không gian Hilbert thực giải tích lồi Tiếp sau khái niệm ánh xạ đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu cực đại Đồng thời trình bày số kết liên quan đến tính đơn điệu tốn tử đơn trị đa trị không gian Hilbert 1.1 Không gian Hilbert thực Chúng ta không gian đơn giản không gian véc tơ tuyến tính trường số thực Đó tập hợp khác rỗng X mà có trang bị hai phép toán: phép toán cộng hai véc tơ phép toán nhân số thực với véc tơ: x1  x2  X , x1 , x2  X ;  x  X , x  X ,   R  Nếu X trang bị tô pô  họ tập X thỏa mãn tính chất:   ; X  ; A  , B   A  B  ; At   t  T    At  , tT ( T tập số bất kỳ) X gọi không gian véc tơ tô pô thường ký hiệu  X ,    Nếu X trang bị metric  ( ) với tính chất: ác hàm giá: pi ( )  p( ) : R  R khả vi liên tục hai lần khơng tăng Ngồi ra, hàm  : R  R định nghĩa bởi:  ( )   p(   ) hàm lõm với   (ii) Các hàm chi phí: hi : R  R (i  1, , n) hàm lồi, khả vi liên tục hai lần Cũng theo [9], ta đặt:   n T T H  x   h1  x1  , h2  x2  , , hn  xn  , e  1,1, ,1  R n , x   xi  x, e i 1 Khi đó, có mệnh đề sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.4 (Xem [9]) Bài tốn tìm điểm cân Nash tương đương với tốn tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân VIP U , F  với ánh xạ: F  x   H  x   p  x  e  p  x  x (3.9) Từ Giả thiết 3.1, dễ thấy H ánh xạ đơn điệu Ngoài ra: F  x   H  x   C  x  , C  x  xác định sau:  p  x   x1 p  x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x  p  x   x2 p  x  C ( x)     p    x p   p    x p   x n x x n x  p  x   x1 p  x    p  x   x2 p  x     p  x   xxn p  x   Mệnh đề 3.5 Nếu Giả thiết 3.1 p ánh xạ affine với p  x   Khi đó, ánh xạ F (3.9) đơn điệu mạnh Rn Chứng minh Với y  Rn , ta có: F  x  y, y  H  x  y, y  p  x   y   y   p '  x   xi p ''  x   yi n n ' i 1 i i 1 n n   p  x   y  p  x    y p  x   xi yi ' i 1 i ' y '' i 1 n n i 1 i 1   p  x   yi2   y p  x   xi yi Hiển nhiên, p ánh xạ affine p  x   ta có được: F  x  y, y   p  x  y , y  R n Mặt khác, theo giả thiết thì:  p( x )  Theo [9] (Mệnh đề 1.1.5), ánh xạ F đơn điệu mạnh Rn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.6 (Xem [9]) Nếu Giả thiết 3.1 p hàm lồi ánh xạ F (3.9) đơn điệu Mệnh đề 3.7 Giả sử hàm p hi affine, nghĩa là:  p( )     ,   0,   0;  hi ( xi )   i xi   i ,  i  0,  i  0, i  1, 2, , n Khi đó, Giả thiết 3.1 thỏa mãn, F ánh xạ đơn điệu mạnh mơ hình có nghiệm Chứng minh Tính tốn trực tiếp ta có: fi ( x)  xi (   x )   i xi   i , i  1, 2, , n F ( x)  ( 1, ,  n )T  (   x )e   x Từ suy ra:  2   F ( x )        2        2  Do   nên F ( x) ma trận đối xứng, xác định dương hay ánh xạ F đơn điệu mạnh Theo Định lý 2.5, VIP(U, F) hay mơ hình có nghiệm Mệnh đề chứng minh  Lưu ý rằng, hàm giá khơng cịn chung cho tất hãng, hay hãng có hàm giá pi (i  1, , n) riêng hàm pi thỏa mãn Giả thiết 3.1 điều kiện Mệnh đề 3.7, tính đơn điệu ánh xạ F khơng cịn Chúng ta trình bày tồn nghiệm cho mơ hình mệnh đề Trước hết ta xét bổ đề: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề 3.1 (Xem [9]) Cho U  Rn tập lồi, đóng khác rỗng,  song hàm cân xác định U Giả sử với x U cố định,   x,. hàm lồi, khả vi liên tục tập mở W  U Đặt J  x   y yx Khi đó, tốn cân (EP) tương đương với toán bất đẳng thức biến phõn: tìm điểm x U cho: J  x  , y  x  0, y U (3.10) Mệnh đề 3.8 Giả sử rằng: U i  [ai , bi ];   pi ( )   i  i ,  i  0, i  0; h ( x )   x   ,   0,   0, i  1, 2, , n i i i i i  i i Khi đó, mơ hình có nghiệm Chứng minh Tính tốn trực tiếp ta có: ˆ     , y  x  yT By  xT Bx, ( x, y)  Bx (3.11) đó:   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;   (1, , n )T ;  1 0 B   0 2 0 0   ˆ   ;B      n   n 1 n 1 1     n    Hiển nhiên ma trận B đối xứng, xác định dương song hàm cân  thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1 Tính tốn trực tiếp, tốn bất đẳng thức biến phân (3.10) có dạng: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn tìm điểm x U cho: ˆ  Qx     , y  x  0, y U , (3.12) đó:  21 1  2 ˆ ˆ Q : B  B     n  n 1  1      2 n  n Mặt khác, áp dụng Mệnh đề 2.12, x nghiệm bất đẳng thức biến phân (3.12) x nghiệm tối ưu qui hoạch tuyến tính:   ˆ  (    )T y yT Qx y U (3.13) Áp dụng định lý Kuhn - Tucker cho qui hoạch tuyến tính (3.13), x nghiệm tối ưu tồn số thực không âm 2i , 2i1 (i  1, 2, , n) thỏa mãn hệ: n     i  xi   x j   i   i  2i 1  2i  0, j 1     ( x  a )  0, i  2i 1 i 2i ( xi  bi )  0, a  x  b , i i  i 2i 1  0, 2i  (i  1, , n)   (3.14) Do i  0, i  1, , n , hệ (3.14) viết lại là: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGÔ THỊ VIỆT HẰNG ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU VÀ ÁP DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN CÂN BẰNG KINH TẾ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC... mặt lý thuyết, ánh xạ đơn điệu công cụ sử dụng nhiều có hiệu lĩnh vực tốn ứng dụng lĩnh vực tối ưu hóa Nó giúp ích cho việc chứng minh tồn tính nghiệm cho nhiều lớp toán cân bằng, toán bất đẳng... luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức sở có liên quan; khái niệm, tính chất điều kiện cho tốn tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu tốn bất đẳng thức biến phân mơ hình kinh tế Nash Cournot