Quy hoạch tuyến tính suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phạm Đình Phước QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức sở qui hoạch tuyến tính 1.1 1.2 1.3 Bài tốn qui hoạch tuyến tính tính chất 1.1.1 Nội dung toán 1.1.2 Các tính chất Qui hoạch tuyến tính đối ngẫu 1.2.1 Cặp toán đối ngẫu 1.2.2 Các quan hệ đối ngẫu 1.2.3 Ví dụ tốn đối ngẫu 10 Phương pháp đơn hình 11 1.3.1 Cơ sở lý thuyết 11 1.3.2 Các bước thuật toán 12 1.3.3 Ví dụ thuật tốn đơn hình 13 Qui hoạch tuyến tính suy rộng 2.1 2.2 15 Bài tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng 15 2.1.1 Mơ hình tốn học 15 2.1.2 Bài toán suy rộng tương đương 16 2.1.3 Ví dụ tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng 20 2.1.4 Trường hợp riêng 21 Phương pháp Wolfe 23 2.2.1 24 Cơ sơ phương pháp giải 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.2 Ví dụ minh họa phương pháp Wolfe 29 2.2.3 Trường hợp Dj không bị chặn 33 2.2.4 Sự hội tụ hữu hạn 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Toán học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn q thầy, giảng dạy lớp cao học khóa (2011 2013) mang đến cho nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 01 năm 2013 Người viết Luận văn Phạm Đình Phước 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Qui hoạch tuyến tính (Linear Programming) tốn tối ưu đơn giản Đó tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn Phương pháp đơn hình (do G B Dantzig đề xuất năm 1947) phương pháp quen thuộc, có hiệu để giải tốn qui hoạch tuyến tính tốn đưa qui hoạch tuyến tính Mơ hình tốn học tốn qui hoạch tuyến tính sau: Tìm biến số xj = (1, 2, , n) cho: c1 x1 + c2 x2 + + cn xn → với điều kiện ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn = bi , i = (1, 2, , m) xj ≥ 0, j = (1, 2, , n) aij , bi , cj số cho trước (m, n nguyên dương) Có thể giải thích ý nghĩa thực tiễn tốn qui hoạch tuyến tính sau: Có n phương thức sản xuất, ký hiệu j = 1, , n Phương thức sản xuất j hoạt động cường độ đơn vị cho aij đơn vị sản phẩm i (i = 1, , m) tốn chi phí cj Giả thiết số sản phẩm làm chi phí tỉ lệ thuận với cường độ hoạt động phương thức sản xuất (giả thiết tuyến tính) Hỏi cần sử dụng phương thức sản xuất với cường độ để sản xuất sản phẩm với số lượng định trước tương ứng b1 , , bm , cho tốn chi phí nhất? 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi mơ hình hóa hệ thống sản xuất thực tiễn, ta thường gặp hệ số đầu vào hay nhiều phương thức hoạt động không nhận giá trị cố định (giống tốn qui hoạch tuyến tính mô tả) mà cột hệ số thứ j (véctơ Aj = (cj , a1j , , amj )T ) toán lựa chọn cách tùy ý từ tập lồi đa diện Di ⊂ Rn cho trước Lớp toán gọi toán qui hoạch tuyến tính suy rộng (Generalized Linear Programming)(GLP) Philip Wolfe người nghiên cứu toán (xem [6], trang 267) toán biết đến [5] sau [3] Tên gọi toán xuất phát từ nhận xét toán trở thành toán qui hoạch tuyến tính thơng thường A1 , A2 , , An véctơ hằng, nghĩa tập Dj gồm phần tử Còn véctơ biến cần xác định, hàm mục tiêu ràng buộc tốn (GLP) ràng buộc song tuyến tính (GLP) tốn tồn phương khơng lồi (xem [2], [3]) Tuy nhiên, giống hai toán gợi ý tưởng xây dựng thuật toán hiệu giải toán (GLP) Thuật toán ban đầu Wolfe (xem [6]) đề xuất xem mở rộng trực tiếp phương pháp đơn hình cổ điển Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu trình bày kết có tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng, đặc biệt phương pháp giải toán Luận văn gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương với tiêu đề "Kiến thức sở qui hoạch tuyến tính" trình bày nội dung tính chất tốn qui hoạch tuyến tính, khái niệm toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình Dantzig giải tốn qui hoạch tuyến tính nhắc lại chương này, với đầy đủ sở lý luận ví dụ số để minh họa 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương với tiêu đề "Qui hoạch tuyến tính suy rộng" đề cập tới toán qui hoạch tuyến tính suy rộng Giới thiệu mơ hình tốn học toán nêu cách đưa toán tốn quy hoạch tuyến tính suy rộng tương đương, gọi toán chủ, dễ xử lý Bài toán chủ với số ràng buộc cũ có nhiều biến Cột hệ số biến tìm dần cần, nhờ giải tốn phụ tập Dj Trình bày thuật tốn Wolfe giải tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng, thơng qua giải tốn phụ thu hẹp Chứng minh tính hữu hạn phương pháp giải xây dựng ví dụ số để minh họa Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn cịn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tơi tiếp tục hồn thiện luận văn 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức sở qui hoạch tuyến tính Chương trình bày tóm tắt số kiến thức cần thiết qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] [2] 1.1 1.1.1 Bài tốn qui hoạch tuyến tính tính chất Nội dung tốn Quy hoạch tuyến tính tốn tìm cực tiểu hay cực đại hàm tuyến tính f(x) khúc lồi Rn xác định hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính cho trước Bài tốn có dạng: tìm biến số x1 , x2 , , xn thỏa mãn điều 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kiện:         n j=1 aij xj ≤ bi , i = 1, , m1 , (1.1) n j=1 aij xj ≥ bi , i = m1 + 1, , m1 + m2 , (1.2) n   (1.3)  j=1 aij xj = bi , i = m1 + m2 + 1, , m,    x ≥ 0, j = 1, , n , x ≤ 0, j = n + 1, , n + n ≤ n, (1.4) j j 1 n j=1 cj xj hàm số f (x) = đạt cực tiểu Ở aij , bi , cj số cho trước Trong toán trên, f gọi hàm mục tiêu, hệ thức (1.1), (1.4) gọi ràng buộc Mỗi ràng buộc (1.1), (1.3) gọi ràng buộc (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), ràng buộc xj ≥ hay xj ≤ ràng buộc dấu Điểm x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn thỏa mãn ràng buộc toán gọi điểm chấp nhận hay phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu D, gọi miền ràng buộc hay miền chấp nhận Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu hay lời giải toán cho Bài tốn có phương án tối ưu gọi tốn có lời giải Bài tốn khơng có phương án (miền ràng buộc rỗng D = ∅) có phương án khơng có phương án tối ưu, hàm mục tiêu giảm vơ hạn (bài tốn tìm min) tăng vơ hạn (bài tốn max), gọi tồn khơng có lời giải • Dạng chuẩn tắc: f (x) = cT x : Ax ≥ b, x ≥ , A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rn+ Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax ≥ b, x ≥ 0} tập lồi đa diện • Dạng tắc: max f (x) = cT x : Ax = b, x ≥ , 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn A ∈ Rm×n (ma trận cấp m × n), b ∈ Rn+ Trong toán tập ràng buộc D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} tập lồi đa diện Trong toán f(x) gọi hàm mục tiêu Mỗi bất phương trình (Ax)i ≥ bi hay phương trình (Ax)i = bi gọi ràng buộc chính, xj ≥ 0, j = 1, , n, gọi ràng buộc không âm hay ràng buộc dấu Véctơ (điểm) x ∈ D gọi phương án hay lời giải chấp nhận toán Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu f(x) gọi phương án tối ưu hay lời giải tối ưu tốn 1.1.2 Các tính chất Định lý sau nêu điều kiện để qui hoạch tuyến tính có lời giải tối ưu Định lý 1.1 Nếu qui hoạch tuyến tính có lời giải chấp nhận hàm mục tiêu bị chặn tập ràng buộc (đối với tốn min) qui hoạch chắn có lời giải tối ưu Định lý 1.2 Nếu x0 phương án tối ưu toán qui hoạch tuyến tính dạng x1 , x2 (x1 = x2 ) hai phương án thỏa mãn x0 = λx1 + (1 − λ)x2 , < λ < x1 , x2 phương án tối ưu toán Định nghĩa 1.3 Một lời giải chấp nhận x ∈ D mà đồng thời đỉnh D gọi phương án cực biên hay lời giải sở, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai phương án (lời giải chấp nhận được) khác D Định lý sau nêu tính chất đặc trưng cho phương án cực biên (lời giải sở) toán qui hoạch tuyến tính tắc với giả thiết m ≤ n rank(A) = m Định lý 1.4 Để lời giải chấp nhận x ¯ = {¯ x1 , x¯2 , , x¯n } qui hoạch tuyến tính tắc lời giải sở cần đủ véctơ 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 THUẬT TOÁN GIẢI Bước Với j chọn tùy ý đỉnh Yj1 = c1j A1j ∈ Dj Đặt q = 1, Kj = 1∀j Bước Giải qui hoạch tuyến tính (LPq ) ta nhận x ¯ = x¯kj , k ¯ Tính = 1, ,Kj , j = 1, , n, nghiệm tối ưu sở với sở B ¯ T π = cB¯ π ¯ nghiệm B Bước Với j = 1, 2, , n giải toán phụ (Pj ) ta nhận cej e nghiệm tối ưu Y = đỉnh Dj Ký hiệu I tập tất Aej số j cho giá trị tối ưu (Pj ) dương, tức I = i ∈ {1, , n} : π ¯ T Aej − cej > Nếu I = ∅ dừng thuật tốn: x ¯ = x¯kj nghiệm tối ưu (GLP) Trái lại (I = ∅), thực Bước Bước Thêm biến xe cột hệ số Ae vào toán chủ thu hẹp, ta nhận toán với Kj := Kj + j ∈ J Đặt q ← q + trở lại Bước Sau sơ đồ khối thuật tốn 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 2.2.2 Ví dụ minh họa phương pháp Wolfe Ví dụ 2.9 Xét tốn xác định phương trình ( 2.5) (2.6) cho ví dụ 2.3 Để tiện theo dõi, ta viết lại toán: z = 6x1 + 4x2 + x3 + y04 x4 → min, x1 + x2 − 4x3 + y14 x4 = 5, −x1 + x2 − x3 + y24 x4 = 1, (2.13) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ véctơ hệ số Y4 = (y04 , y14 , y24 )T không cố định trước mà chọn điểm tập lồi đa diện: D4 = Y ∈ R3 : 3y04 + y14 + 2y24 = 2, yi4 ≥ 0, i = 0, 1, 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 Vòng lặp 1Nếu ta chọn tập sở ban đầu gồm hai biến (x1 , x2 ) nghiệm sở chấp nhận tương ứng (2.13) z = 24, x1 = 2, x2 = 3, x3 = x4 = (2.14) Để kiểm tra xem nghiệm sở tối ưu chưa, ta tính nhân ¯ T π = cB nhận π = tử đơn hình cách giải phương trình B (5, −1)T Ta dùng π để tính ước lượng biến x3 x4 theo công thức ∆j = π T Yj −cj ,j=3,4 Kết ta nhận ∆3 = −20, ∆4 = −y04 + 5y14 − y24 , (y04 , y14 , y24 ) ∈ D4 , xem (2.6) Chú ý nghiệm sở (2.14) nghiệm cực tiểu ∆j ≤ với j Trong trường hợp ∆3 ≤ 0, ∆4 hận giá trị dương tùy theo cách chọn hệ số y04 , y14 , y24 Để xét xem liệu có ∆4 > hay khơng, ta tìm giá trị lớn ∆4 với ràng buộc (2.6), tức giải toán hay toán phụ tương ứng với tập D4 : ∆4 = −y04 + 5y14 − y24 → max với điều kiện 3y04 + y14 + 2y24 = 2, (2.15) y04 ≥ 0, y14 ≥ 0, y24 ≥ Có thể thấy nghiệm cực đại toán y04 = 0, y14 = 2, y24 = ∆4 = 10 > Vì thế, nghiệm sở (2.14) chưa tối ưu tốn ban đầu (2.13) Vịng lặp Để nhận nghiệm cải tiến (2.13) ta đưa x4 với (1) (1) (1) cột hệ số y04 = 0, y14 = 2, y24 = vào sở Khi đưa x4 vào sở, x1 bị loại khỏi sở ta nhận nhiệm sở chấp nhận mới: z = 4, x2 = 1, x4 = 2, x1 = x3 = Tuy nhiên, ta cần tạo khả sửa đổi giá trị yi4 để nhận giá trị z nhỏ Điều thực nhờ viết lại toán (2.13) dạng tương đương: (1) z = 6x1 + 4x2 + x3 + 0x4 + y04 x4 → min, 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 (1) x1 + x2 − 4x3 + 2x4 + y14 x4 = 5, (1) −x1 + x2 − x3 + 0x4 y24 x4 = (2.16) (1) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x4 ≥ trước yi4 = (i = 0, 1, 2) thỏa mãn hệ thức (2.6), tức 3y04 + y14 + 2y24 = y14 ≥ với i = 0, 1, Cột (y04 , y14 , y24 )T gọi cột sinh hay cột hạt giống (generic column) Như vậy, ta thay đổi toán ban đầu, nhiên theo định lý 2.1, toán (2.16) tương đương với toán ban đầu ( 2.13) Nghiệm sở chấp nhận toán (2.16) (1) z = 4, x2 = 1, x4 = 2, x1 = x3 = x4 = (2.17) Nhân tử đơn hình nhận từ phương trình B T π = cB π = (0, 4)T Ta tính ước lượng biến phi sở theo công thức ∆N = N T π − cN nhận được: ∆1 = −10, ∆3 = −5, ∆4 = −y04 + 4y24 Các ước lượng ∆1 , ∆3 âm Để xét xem liệu có khả ∆4 > hay khơng ta giải tốn phụ: ∆4 = −y04 + 4y24 → max với điều kiện 3y04 + y14 + 2y24 = 2, (2.18) y04 ≥ 0, y14 ≥ 0, y24 ≥ Bài toán tương tự toán (2.15) với hàm mục tiêu ∆4 khác Giải (2.18) ta nhận nghiệm cực đại y04 = 0, y14 = 0, y24 = ∆4 = > Vì thế, nghiệm sở (2.17) chưa tối ưu toán tương đương (2.16) (2) Vòng lặp Để nhận nghiệm cải tiến (2.16) ta đưa biến x4 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 (2) (2) (2) với cột hệ số y04 = 0, y14 = 0, y24 = vào (2.16) nhận toán tương đương mới: (1) (2) z = 6x1 + 4x2 + x3 + 0x4 + 0x4 + y04 x4 → min, (1) (2) (1) (2) x1 + x2 − 4x3 + 2x4 + 0x4 + y14 x4 = 5, −x1 + x2 − x3 + 0x4 + 1x4 + y24 x4 = 1, (1) (2.19) (2) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x4 ≥ 0, x4 ≥ (2) Đưa x4 (biến phi sở có ước lượng dương) vào sở loại x2 khỏi sở, ta nhận nghiệm sở chấp nhận (2.19) (2) (1) z = 0, x4 = , x4 = 1, x1 = x2 = x3 = x4 = (2.20) Nhân tử đơn hình nhận từ phương trình B T π = cB π = (0, 0)T Ta tính ước lượng biến phi sở theo công thức ∆N = N T π − cN nhận được: ∆1 = −6, ∆1 = −4∆3 = −1, ∆4 = −y04 Các ước lượng ∆1 , ∆2 , ∆3 âm Cũng trước, để biết liệu có ∆4 > hay khơng ta giải toán phụ với hàm mục tiêu đổi mới: ∆4 = −y04 → max với điều kiện 3y04 + y14 + 2y24 = (2.21) y04 ≥ 0, y14 ≥ 0, y24 ≥ Giải (2.21) ta nhận nghiệm cực đại y04 = 0, y14 = 2, y24 = ∆4 = Do ∆4 = nên nghiệm (2.20) tối ưu, ∆1 , ∆2 , ∆3 ≤ ước lượng giá trị chấp nhận y04 , y14 , y24 ≤ Cuối cùng, nghiệm tối ưu toán (2.13) với hệ số Y4 = 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 (y04 , y14 , y24 )T thỏa mãn (2.6) suy từ nghiệm tối ưu (2.20) toán tương đương (2.19) sau (xem bổ đề 2.8): (1) (2) z = 0, x1 = x2 = x3 = 0, x4 = x4 + x4 =    y  04    y14  =     y24  (1) y04 (1) y14 (1) y24   (1)     x4 (1) (2) x4 + x4   +   (2) y04 (2) y14 (2) y24  +1= 2  (2)    x4 (1) (2) x4 + x4  0  2  2    +   =  10  =  7  7   2.2.3 Trường hợp Dj không bị chặn Tổng quát, ta cần xét thêm khả có cột j = s cho Ys = (y0s , y1s , , yms )T tổ hợp lồi hay số điểm cực biên cộng tổ hợp tuyến tính khơng âm hay số phương cực biên tập lồi đa diện Ds (xem định lý biểu diễn tập lồi đa diện) Vì thế, nói chung giải tốn phụ có hai tình xảy ra: Giải tốn phụ Ds ta nhận nghiệm tối ưu đỉnh Yse ∈ Ds với ước lượng ∆s > Trong trường hợp ta bổ sung Ys = Yse vào toán suy rộng tương đương với toán (GLP) ban đầu đưa biến xs vào sở Giải toán phụ Ds ta nhận lớp nghiệm tối ưu có dạng Yse + θYsh ∈ Ds , Yse đỉnh, Ysh phương cực biên Ds tham số θY ≥ 0, đồng thời ước lượng ∆s > Trong trường hợp ta cần bổ sung Ys = Ysh vào toán suy rộng tương đương với (GLP) đưa biến xs vào sở Về trực quan, thấy tăng θ làm cho ước lượng Ys tăng lên có lý đưa cột Ys vào sở tốn 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 ban đầu Tuy nhiên, ta viết lại Ys xs thành: Ys xs = (Yse + θYsh )xs = ( Yse + Ysh )θxs θ thấy số hạng thứ trở nên tương đối nhỏ so với số hạng thứ hai θ → +∞ ta cần ý tới số hạng thứ hai Ví dụ sau minh họa cho phương pháp giải trường hợp Dj không bị chặn Ví dụ 2.10 (xem [6]) Ta minh họa tình tốn phụ có nghiệm vơ hạn Xét qui hoạch tuyến tính suy rộng: z = 0x1 + 0x2 + 3x3 + y04 x4 → với điều kiện x1 + y14 x4 = 1, x2 + y24 x4 = 1, (2.22) x3 + y34 x4 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y3 ≥ 0, x4 ≥ y04 , y14 , y24 y34 chọn thỏa mãn điều kiện: y04 = 2, −0, 5y14 + y24 = 0, (2.23) −0, 5y14 + y34 = 1, y04 ≥ 0, y14 ≥ 0, y24 ≥ 0, y34 ≥ Vòng lặp 1Với tập sở ban đầu (x1 , x2 , x3 ), nghiệm sở chấp nhận là: z = 3, x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = (2.24) Để xác định xem nghiệm sở tối ưu chưa, trước hết ta tính nhân tử đơn hình nhờ giải phương trình B T π = cB nhận 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 π = (0, 0, 3)T Sau tính ước lượng biến phi sở theo công thức ∆N = N T π − cN nhận ∆4 = −y04 + 3y34 với y04 = (2.25) Ta kiểm tra ∆j ≥ với j Trong trường hợp có ∆4 xác định theo (2.25) > 0, tùy theo giá trị tham biến y04 y34 Để kiểm tra ∆4 > , ta tìm giá trị lớn ∆4 với điều kiện (2.23), tức giải toán phụ: ∆4 = −y04 + 3y34 → max với điều kiện −0, 5y14 + y24 = 0, −0, 5y14 + y34 = 1, (2.26) y04 ≥ 0, y14 ≥ 0, y24 ≥ 0, y34 ≥ Dùng phương pháp đơn hình giải (2.26) ta nhận nghiệm cực đại:         0    + θ  Y4 = Y4e + θY4h =  (2.27) 0       1 Vòng lặp Để nhận nghiệm tốt hơn, ta xem phần phụ thuộc θ h h h h = 1, y24 = 12 , y34 = 0, y14 (2.27) cột Y4h = (y04 = 21 )T (phương cực biên D4 ) bổ sung vào (2.22) Ta nhận toán tương đương mới: z = 0x1 + 0x2 + 3x3 + 0xh4 + y04 x4 → x1 + 1xh4 + y14 x4 = 1, x2 + 0, 5xh4 + y24 x4 = 1, (2.28) x2 + 0, 5xh4 + y24 x4 = 1, x3 + 0, 5xh4 + y34 x4 = 1, 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, xh4 ≥ 0, x4 ≥ 0, Y04 = (y04 , y14 , y24 , y34 )T cần thỏa mãn hệ thức (2.23) trước Đưa xh4 vào sở loại khỏi sở biến x1 , ta nhận nghiệm sở chấp nhận (2.28): 1 z = , x2 = , x3 = , xh4 = 1, x1 = 0, x4 = (2.29) 2 Để kiểm tra xem nghiệm sở tối ưu chưa, ta tính nhân tử đơn hình: T π = −3 Tiếp theo, tính ước lượng ∆1 ∆4 : −3 ∆1 = , ∆4 = −y04 − ( )y14 + 3y34 vớiy04 = (2.30) 2 Ta kiểm tra ∆j ≤ với j Trong trường hợp ∆4 > tùy theo giá trị tham biến y04 , y14 y34 Để kiểm tra ∆4 > 0, ta cần thay hàm mục tiêu (2.26) ∆4 vừa tính lại theo (2.31) giải toán phụ mới: ∆4 = −y04 − −3 y14 + 3y34 → max với điều kiện −0, 5y14 + y24 = 0, −0, 5y14 + y34 = 1, (2.31) y04 = 2, y14 ≥ 0, y24 ≥ 0, y34 ≥ e Giải (2.31) ta tìm giá trị cực đại ∆4 = > đạt y04 = e e e 2, y14 = 0, y24 = 0, y34 = (một đỉnh ∆4 ) Như vậy, nghiệm sở nhận (2.29) chưa tối ưu Vòng lặp Để nhận nghiệm tốt hơn, ta bổ sung vào (2.28) biến e e e e xe4 với cột hệ số Y4e = (y04 = 2, y14 = 0, y24 = 0, y34 = 1) (đỉnh ∆4 ) nhận toán tương đương mới: z = 0x1 + 0x2 + 3x3 + 0xh4 + 2xe4 + y04 x4 → 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 x1 + 1xh4 + 0xe4 + y14 x4 = 1, x2 + 0, 5xh4 + 0xe4 + y24 x4 = 1, (2.32) x3 + 0, 5xh4 + 1xe4 + y34 x4 = 1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, xe4 ≥ 0, x4 ≥ 0, Y04 = (y04 , y14 , y24 , y34 )T thỏa mãn hệ thức (2.23) trước Đưa xe4 vào sở loại x3 khỏi sở, ta nhận nghiệm sở chấp nhận (2.32): 1 z = 1, x2 = , xh4 = 1, xe4 = , x1 = x2 = x3 = x4 = 2 (2.33) Để kiểm tra xem nghiệm sở tối ưu chưa, ta tính nhân tử đơn hình: T π= −1 Tiếp theo, tính ước lượng ∆1 , ∆3 , ∆4 : ∆1 = −1, ∆3 = −1, ∆4 = −y04 − y14 + 2y34 với y04 = Ta kiểm tra ∆j ≤ với j Trong trường hợp ∆4 > tùy theo giá trị tham biến y04 , y14 y34 Để kiểm tra ∆4 > 0, ta giải toán phụ: ∆4 = −y04 − y14 + 2y34 → max với điều kiện −0, 5y14 + y24 = 0, −0, 5y14 + y34 = 1, (2.34) y04 = 2, y14 ≥ 0, y24 ≥ 0, y34 ≥ e e Giải (2.34) ta tìm giá trị cực đại ∆4 = đạt y04 = 2, y14 = e e 0, y24 = 0, y34 = 1, (một đỉnh ∆4 ) Do ∆4 = nên nghiệm sở ( 2.33) tối ưu, Y04 = (y04 , y14 , y24 , y34 )T chấp nhận có ước lượng ≤ Cuối cùng, từ nghiệm tối ưu (2.33) ta suy nghiệm tối ưu (2.22) 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 với cột hệ số Y4 = (y04 , y14 , y24 , y34 )T thỏa mãn điều kiện (2.23) sau (xem Định lý biểu diễn): z = 1, x1 = 0, x2 = 12 , x3 = 0, x4 = xe4 = 12          e h y04 y04 y04       h  h  e  e  y14   y14   x4  y14  x4     ×2+ =   + =  y   yh  x  ye  x     24   24   24     e h y34 y34 y34 2.2.4 0       ×1 =      2       Sự hội tụ hữu hạn Bây ta chứng minh hội tụ hữu hạn thuật toán Wolfe Định lý 2.11 (Dừng sau hữu hạn bước) Thuật tốn Wolfe mơ tả kết thúc sau số hữu hạn vòng lặp nghiệm tối ưu sở toán chủ thu hẹp cải tiến khơng tìm điểm cực biên Ys = Yse ∈ Ds phương cực biên Ysh Ds cho ∆s = max (∆j = Yj ∈ Dj j = 1, , n m i=1 yj πi − y0j ) > π nhân tử đơn hình tương ứng với sở tối ưu toán chủ thu hẹp Chứng minh Do Dj tập lồi đa diện, xác định số hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính, nên có số hữu hạn điểm cực biên (đỉnh) phương cực biên (xem định lý biểu diễn Chương 1) Để thấy tính hữu hạn thuật tốn, ta cần để ý cột sở toán chủ thu hẹp lấy từ họ hữu hạn điểm cực biên phương cực biên tập lồi đa diện Dj Trên ta giả thiết b cố định Có thể mở rộng cách tiếp cận trình bày cho trường hợp b chọn tùy ý từ tập lồi đa diện cho trước Db ⊆ R 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Nhận xét 2.12 Khi cột sinh sở toán chủ bị loại khỏi sở, ta lưu giữ lại cột phi sở toán chủ vứt bỏ nó, cột xuất lại sau cần đến, dạng nghiệm tối ưu toán phụ, với tư cách điểm cực biên hay phương cực biên tập Dj Kinh nghiệm tính tốn cho thấy tốn chủ thu hẹp phát triển khơng q nhanh hiển nhiên có lợi ta lưu giữ lại tất cột bị loại khỏi sở trước đó, xem cột phi sở tốn chủ thu hẹp Tuy nhiên, kích thước tốn chủ thu hẹp phát triển q nhanh ta giảm bớt kích thước tốn cách loại bỏ bớt cột phi sở có ước lượng âm nhỏ cột phi sở lại lâu nhiều vòng lặp liên tiếp Tóm lại, chương đề cập tới tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng (một dạng tốn qui hoạch tuyến tính với hệ số biến thiên), nêu mơ hình tốn học tốn nêu toán suy rộng tương đương, gọi tốn chủ Bài tốn chủ có số ràng buộc cũ, có nhiều biến với cột hệ số biến không cho dạng tường minh Các cột hệ số tìm dần cần, nhờ giải qui hoạch tuyến tính phụ tập Dj Về thực chất, phương pháp Wolfe thuộc loại thuật toán phân rã biến thể thuật tốn đơn hình quen thuộc, cho phép đưa tốn cỡ lớn (với nhiều biến) dãy toán cỡ nhỏ hơn, dễ xử lý Thuật toán trình bày với đầy đủ sở lý thuyết minh họa ví dụ số cụ thể 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Kết luận Qui hoạch tuyến tính tốn tối ưu đơn giản có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn Qui hoạch tuyến tính có nhiều hướng mở rộng khác nhau: qui hoạch phân tuyến tính, qui hoạch toàn phương, qui hoạch lồi, Luận văn đề cập tới dạng mở rộng toán qui hoạch tuyến tính, gọi qui hoạch tuyến tính suy rộng, véctơ hệ số biến tốn khơng cố định trước mà chọn tùy ý từ tập lồi đa diện cho trước Wolfe người đề xuất thuật toán giải qui hoạch tuyến tính suy rộng, dựa vận dụng sáng tạo thuật tốn đơn hình Dantzig Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: Mô hình tính chất tốn qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính Mơ hình tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng dạng tốn tương đương Trình bày sở lý luận thuật tốn Wolfe giải qui hoạch tuyến tính suy rộng ví dụ số minh họa Có thể xem luận văn bước tìm hiểu tốn qui hoạch tuyến tính qui hoạch tuyến tính suy rộng, với thuật toán giải tương ứng Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, thuật toán giải ý nghĩa thực tế nhiều toán tối ưu khác lý thuyết qui hoạch toán học tương lai 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2004 [2] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 Tiếng Anh [3] H Tụy, Convex Analysis and Global Optimization, Fourth Edition, Springer - Verlag, New York, 1995 [4] M S Bazara et al, Nonlinear Programming: Theory and Algorithms, 3rd Edition A John Willey, Sons, Inc., M S Bazara et alPublication, 2006 [5] G B Dantzig, Linear Programming and Extensions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey 1963 [6] G B Dantzig, M N Thapa Linear Programming: Theory and Extensions, Springer 2003 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn với đề tài: "Qui hoạch tuyến tính suy rộng" học viên Phạm Đình Phước chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp Hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 15 tháng 06 năm 2013 Người hướng dẫn khoa học GS.TS Trần Vũ Thiệu 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương với tiêu đề "Qui hoạch tuyến tính suy rộng" đề cập tới tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng Giới thiệu mơ hình tốn học tốn nêu cách đưa toán toán quy hoạch tuyến tính suy rộng tương đương, gọi... hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình giải qui hoạch tuyến tính Mơ hình tốn qui hoạch tuyến tính suy rộng dạng tốn tương đương Trình bày sở lý luận thuật tốn Wolfe giải qui hoạch tuyến tính suy. .. hoạch tuyến tính Chương trình bày tóm tắt số kiến thức cần thiết qui hoạch tuyến tính, tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu, quan hệ đối ngẫu qui hoạch tuyến tính phương pháp đơn hình giải qui hoạch