Phức cousin của các môđun trên vành giao hoán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ HỮU GIÁP PHỨC COUSIN CỦA CÁC MÔĐUN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUYÊN - 2014 Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận cán hướng dẫn i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Môđun mở rộng Ext 10 1.3 Vành Cohen-Macaulay vành Gorenstein 11 Xây dựng phức Cousin 14 2.1 Một số tính chất tập iđêan nguyên tố 14 2.2 Xây dựng phức Cousin cho môđun 19 2.3 Tính chất phức Cousin cho mơđun 21 Đặc trưng số vành qua phức Cousin 25 3.1 Phức Cousin vành phân thức 25 3.2 Đặc trưng vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin 32 3.3 Đặc trưng vành Gorenstein qua phức Cousin 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Phức Cousin mơđun vành giao hốn cơng cụ để nghiên cứu cấu trúc số lớp mơđun quan trọng Đại số giao hốn Hình học đại số Phức Cousin môđun vành giao hoán nghiên cứu tác giả R Y Sharp năm 1969 (xem [17]) Từ đến phức Cousin ứng dụng nhiều nhà toán học giới, chẳng hạn R Y Sharp ([17], [18]), P Schenzel ([19]), T Kawasaki ([10]), M Dibaei ([5]), Cho A vành giao hoán Noether M A−môđun Trong [17], Sharp xây dựng phức Cousin môđun M : d−1 d0 dn CA (M ) : → − M −−→ M −→ M → − → − M n −→ M n+1 → − thỏa mãn tính chất Supp(Coker(dn−2 )) ⊆ U n (M ) với n ≥ 0, U n (M ) = {p ∈ Supp(M ) | dimAp (Mp ) ≥ n} (xem Định nghĩa 2.2.1) Tiếp theo Sharp sử dụng phức Cousin để đặc trưng lớp vành Cohen-Macaulay vành Gorenstein, vành quan trọng Đại số Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh kết báo [17] R Y Sharp "The Counsin Complex for a Module over a Commutative Noetherian Ring, Math Z 112 (1969), 340-356" phức Cousin số áp dụng nêu tóm tắt Luận văn chia làm chương • Chương Trình bày kiến thức sở để chứng minh kết luận văn, bao gồm: tập giá tập iđêan nguyên tố liên kết môđun, khái niệm chiều, độ cao, môđun Ext, môđun Cohen-Macaulay, vành Gorenstein • Chương Trình bày số tính chất số tập iđêan nguyên tố đặc biệt (ở Mục 2.1) Trên sở trình bày định nghĩa xây dựng phức Cousin CA (M ) cho A−môđun M (ở Mục 2.2) Phần tiếp Chương dành để trình bày số tính chất quan trọng khác phức Cousin (ở Mục 2.3) • Chương Phần đầu trình bày mối liên hệ phức Cousin địa phương hóa, thể Định lý 3.1.8 Phần tiếp chương nghiên cứu đặc trưng vành Cohen-Macaulay thơng qua phức Cousin, Định lý 3.2.6: Vành giao hoán A Cohen-Macaulay phức Cousin CA (A) dãy khớp Cuối cùng, sau nhắc lại số kiến thức quan trọng cần thiết mơđun nội xạ, phần cịn lại chương dành để mô tả đặc trưng vành Gorenstein thơng qua phức Cousin Định lý 3.3.5: Vành giao hoán A Gorenstein phức Cousin CA (A) phép giải nội xạ A−mơđun A Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở LĐTBXH tỉnh Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo khoa Văn hóa sở Trường Trung cấp nghề Nam Thái Nguyên (Phổ Yên - Thái Nguyên) tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014 TÁC GIẢ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm trình bày số kiến thức sở cần thiết cho chứng minh kết chương sau Ta sử dụng thuật ngữ theo Atiyah-Macdonald [1], Matsumura [6] Ta giả thiết A vành giao hốn Noether có đơn vị M A−môđun 1.1 Một số khái niệm tính chất Kí hiệu 1.1.1 i) Cho N môđun A−môđun M Y tập M Khi ta dễ thấy tập hợp {a ∈ A | ay ∈ N, ∀y ∈ Y } iđêan A, ta kí hiệu (N : Y )A Đặc biệt, ta cịn kí hiệu (0 : M )A annA (M ) (hay AnnA (M )) gọi linh hóa tử M ; nữa, với x ∈ M , ta kí hiệu (0 : x)A = annA (x) = AnnA (x) = {a ∈ A | ax = 0}, gọi linh hóa tử x ii) Nếu S tập đóng nhân A, f : M −→ N đồng cấu A−mơđun, ta kí hiệu S −1 f : S −1 M −→ S −1 N đồng cấu S −1 A-môđun xác định quy tắc S −1 f ( m f (m) m )= với ∈ S −1 M s s s Định nghĩa 1.1.2 (Giá môđun) Cho M A−môđun, giá môđun M kí hiệu Supp(M ) SuppA (M ), tập Spec(A) xác định bởi: SuppA (M ) = {p ∈ Spec(A) | Mp = 0} Chú ý M = Supp(M ) = ∅ Hàm tử địa phương hóa S −1 (−) có số tính chất sau Mệnh đề 1.1.3 Cho S tập đóng nhân A M A−mơđun Giả sử N P môđun M , với P hữu hạn sinh Khi phát biểu sau (i) S −1 ((N : P )A ) = (S −1 N : S −1 P )S −1 A (ii) Với x ∈ M , ta có S −1 ((N : x)A ) = (S −1 N : x1 )S −1 A Đặc biệt ta có S −1 ((0 : x)A ) = (0 : x1 )S −1 A Chứng minh (i) ” ⊆ ”: Lấy a/s ∈ S −1 ((N : P )A ) với a ∈ (N : P )A Khi aP ⊆ N Từ as S −1 P ⊆ S −1 N Do S −1 ((N : P )A ) ⊆ (S −1 N : S −1 P )S −1 A ” ⊇ ”: Với a/s ∈ (S −1 N : S −1 P )S −1 A , ta có a/s S −1 P ⊆ S −1 N Suy a/1(S −1 P ) = (s/1)(a/s)(S −1 P ) ⊆ S −1 N Do P hữu hạn sinh nên có m1 , , mn cho P = m1 , , mn Ta có (a/1)(mi /1) ∈ S −1 N với i Suy tồn si ∈ S để si (ami ) ∈ N với i Đặt s = s1 sn Khi s ami ∈ N với i, suy s aP ⊆ N Vì a/s = s a/s s (s a)P ⊆ N (hay s a ∈ (N : P )) Như a/s = s a/s s ∈ S −1 (P : N ) Do S −1 ((N : P )A ) ⊇ (S −1 N : S −1 P )S −1 A (ii) Đặt P = x Khi P hữu hạn sinh, theo i), ta có S −1 ((N : P )A ) = (S −1 N : S −1 P )S −1 A hay S −1 ((N : Ax)A ) = (S −1 N : S −1 (Ax))S −1 A Ta lại có (N : Ax)A = (N : x)A (S −1 N : S −1 (Ax))S −1 A = (S −1 N : x/1)S −1 A ; nên S −1 ((N : x)A ) = S −1 ((N : Ax)A ) = (S −1 N : S −1 (Ax))S −1 A = (S −1 (N : x/1)S −1 A , điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.4 Cho S tập đóng nhân A M A−mơđun Khi ta có SuppS −1 A (S −1 M ) = {S −1 p | p ∈ SuppA (M ), p ∩ S = ∅} Chứng minh ” ⊇ ”: Lấy P ∈ {S −1 p | p ∈ SuppA (M ), p ∩S = ∅} Khi tồn p ∈ SuppA (M ) cho p ∩ S = ∅ P = S −1 p Suy Mp = Mặt khác theo [6, Hệ 4, trang 24 Định lý 4.4, trang 26] [1, Bài tập 2.15], ta có (S −1 M )S −1 p ∼ = (M ⊗A S −1 A) ⊗S −1 A (S −1 A)S −1 p ∼ = M ⊗A S −1 A ⊗S −1 A (S −1 A)S −1 p ∼ = M ⊗A (S −1 A)S −1 p ∼ = M ⊗A Ap ∼ = Mp = Suy S −1 p ∈ SuppS −1 A (S −1 M ) hay SuppS −1 A (S −1 M ) ⊇ {S −1 p | p ∈ SuppA (M ), p ∩ S = ∅} ” ⊆ ”: Lấy P ∈ SuppS −1 A (S −1 M ) Suy (S −1 M )P = tồn p ∈ Spec(A) cho p ∩ S = ∅, P = S −1 p Vì = (S −1 M )P = (S −1 M )S −1 p ∼ = Mp , nên p ∈ SuppA (M ) Do SuppS −1 A (S −1 M ) ⊆ {S −1 p | p ∈ SuppA (M ), p ∩ S = ∅} Vậy ta có điều cần chứng minh Tiếp theo ta nhắc lại sơ lược lý thuyết iđêan nguyên tố liên kết Định nghĩa 1.1.5 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M A−mơđun p ∈ Spec(A) Ta nói p iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử = x ∈ M cho AnnA (x) = p Tập iđêan nguyên tố liên kết M ký hiệu AssA (M ) Ass(M ) Mệnh đề 1.1.6 Cho A vành Noether, S tập đóng nhân A M A−mơđun Khi ta có AssS −1 A (S −1 M ) = {S −1 p | p ∈ AssA (M ), p ∩ S = ∅} Chứng minh (⊆) Lấy P ∈ AssS −1 A (S −1 M ) tồn p ∈ Spec(A) tồn x/s ∈ S −1 M cho P = S −1 p, p ∩ S = ∅ S −1 p = AnnS −1 A (x/s) Tiếp theo ta chứng minh p ∈ AssA (M ) Vì A Noether nên tồn a1 , , an ∈ p cho p = a1 , , an Với i = 1, , n, ta có /1 ∈ S −1 p hay (ai /1)(x/s) = 0; suy tồn ti ∈ S cho ti x = Đặt t = t1 tn Lúc t ∈ S (tx) = với i = 1, , n Do ∈ AnnA (tx) với i = 1, , n Vì p ⊆ AnnA (tx) Mặt khác, lấy b ∈ AnnA (tx) suy b(tx) = suy (bt/1)(x/s) = Do (bt)/1 ∈ S −1 p Suy tồn a ∈ p, s ∈ S cho (bt)/1 = a /s Từ có u ∈ S để b(uts ) = ua ∈ p; suy b ∈ p (vì us t ∈ S mà S ∩ p = ∅ nên us t ∈ / p) Do AnnA (tx) ⊆ p Vậy p = AnnA (tx) ∈ AssA (M ) Nói cách khác AssS −1 A (S −1 M ) ⊆ {S −1 p | p ∈ AssA (M ), p ∩ S = ∅} sau đây: ξ n : S −1 (M n ) → S −1 [(Coker(dn−2 ))p ] p∈SuppA (M ) htM p=n S −1 [(Coker(dn−2 ))p ] (sử dụng 3.1.4)) = p∈SuppA (M ) htM p=n p∩S=∅ [S −1 (Coker(dn−2 ))]S −1 p (sử dụng 3.1.5) → p∈SuppA (M ) htM p=n p∩S=∅ = [S −1 (Coker(dn−2 ))]q (sử dụng 1.1.3 3.1.3) q∈SuppS −1 A (S −1 M ) htS −1 M q=n Khi đó, m = (π(mp )/sp ) ∈ M n , s ∈ S p ∈ SuppA (M ) có htM (p ) = n p ∩ S = ∅; thành phần ξ n (m/s) [S −1 (Coker(dn−2 ))]S −1 p (π(mp )/s)/(sp /1) Cuối ta lấy γ n hợp thành δ n ξ n , tức γ n = δ n ξ n Định lý 3.1.8 Có đẳng cấu phức S −1 A−môđun S −1 A−đồng cấu ψ = {ψ n }n≥−1 : S −1 (CA (M )) → CS −1 A (S −1 M ) cho ψ −1 : S −1 M → S −1 M phép đồng Chứng minh Lưu ý để thuận tiện trước ta dùng kí hiệu M −2 = 0, M −1 = M, ψ −2 = : S −1 (M −2 ) → (S −1 M )−2 viết ψ −1 thay cho phép đồng ψ −1 : S −1 (M −1 ) → (S −1 M )−1 Ta xây dựng họ {ψ n }n≥−2 gồm S −1 A-đẳng cấu thỏa mãn yêu cầu phép qui nạp theo n Rõ ràng ψ −2 ψ −1 bảo đảm bước sở phép quy nạp 30 Giả sử qui nạp với n ≥ có S −1 A-đẳng cấu ψ −2 , ψ −1 , ψ , ψ n−1 cho biểu đồ giao hoán sau S −1 (d−1 ) −1 −1 n−2 −−→ S M −−−−−→ → S (M   n−2 ψ e−1 (C) −−→ S −1 M ) −−−−−−→ S −1 (M n−1 )   n−1 → (S −1 M )n−2 −−→ S −1 (dn−2 ) ψ en−2 −−→ (S −1 M )n−1 xây dựng Biểu đồ cảm sinh S −1 A−đẳng cấu φ : Coker(S −1 (dn−2 )) → Coker(en−2 ), φ(π (x)) = π (ψ n−1 (x)) Điều sinh S −1 A−đẳng cấu νn : [Coker(S −1 (dn−2 ))]q → [Coker(en−2 )]q q∈SuppS −1 A (S −1 M ) htS −1 M q=n q∈SuppS −1 A (S −1 M ) htS −1 M q=n Ta định nghĩa ψ n : S −1 (M n ) → (S −1 M )n đồng cấu hợp thành ν n γ n , γ n S −1 A−đẳng cấu Bổ đề 3.1.7 Từ ta kiểm tra biểu đồ sau giao hoán −1 n−1 S −1 (dn−2 ) S (M ) −−−−−−→ S n−1 (M n )    n−1 ψ n ψ (S n−1 M )n−1 en−1 −−→ (S −1 M )n (C) Điều kết thúc chứng minh Định lý 3.1.8 có ích phần cịn lại luận văn này: ta sử dụng nhiều lần trường hợp S phần bù iđêan nguyên tố Trong trường hợp đó, ta có thêm nhận xét khác mệnh đề Mệnh đề 3.1.9 Giả sử p ∈ SuppA (M ) có htM (p) = n Khi (Mp )n ∼ = (Coker(dn−2 ))p Ap −môđun, (Mp )i = với i > n 31 Chứng minh Phần thứ hai suy từ Mệnh đề 1.1.3, Bổ đề 3.1.3 xây dựng phức Cousin (vì khơng có iđêan ngun tố SuppAp (Mp )) có Mp −độ cao lớn n Đối với phần thứ nhất, ta sử dụng Định lý 3.1.8 Bổ đề 3.1.4, ta thấy xét Ap −mơđun (Mp )n ∼ = (M n )p ∼ = [(Coker(dn−2 ))q ]p = [(Coker(dn−2 ))p ]p q∈Supp( M ) htM q=n (vì q ∈ SuppA (M ), q = p htM p = n q ⊆ p) Ta lại có [(Coker(dn−2 ))p ]p ∼ = (Coker(dn−2 ))p Ap −môđun 3.2 Đặc trưng vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin Trong mục ta giả thiết A vành giao hoán Khi xem A mơđun có phức Cousin C(A) Mục đích mục chứng minh vành A Cohen-Macaulay phức Cousin C(A) dãy khớp Ta sử dụng ký hiệu x = (x1 , , xr ) để kí hiệu thay cho dãy phần tử x1 , , xr A kí hiệu (x) iđêan sinh x Chú ý 3.2.1 Nếu x A−dãy quy có độ dài r chứa iđêan thực a A Khi r = ht(x) ≤ ht(a) Đặc biệt ta có depth(a, A) ≤ ht(a) Thật vậy, x1 khơng thuộc phần tử Ass(A), nên x1 ∈ / ∪ej=1 p0j (trong p0j iđêan nguyên tố tối tiểu A có độ cao 0) Khi ht(x1 ) = Lại x2 khơng thuộc phần tử AssA (A/(x1 )) nên x2 ∈ / ∪ej=1 p1j (trong p1j iđêan nguyên tố tối tiểu (x1 ) có độ cao 1) Khi ht(x1 , x2 ) = Từ quy 32 nạp ta suy ht(x) = r Rõ ràng (x) ⊆ a nên ht(x) ≤ ht(a) Trong trường hợp x A−dãy quy cực đại a ta có depth(a, A) = r = ht(x) ≤ ht(a) Dưới ta nhắc lại kết D Rees đặc trưng vành Cohen-Macaulay thông qua độ cao độ sâu Bổ đề 3.2.2 (Theo [15]) A vành Cohen-Macaulay iđêan thực a A có depth(a, A) = ht(a) Tiếp theo để đến kết mục ta cần thêm số bổ đề chuẩn bị liên quan đến áp dụng đại số đồng điều cho phức Cousin Bổ đề 3.2.3 Giả sử M A−mơđun có phức Cousin d−1 d0 dn CA (M ) : → M −−→ M − → M → M n −→ M n+1 → Lấy r ≥ số nguyên Nếu L A−môđun hữu hạn sinh cho annA (L) ⊆ p với p ∈ Supp(M ) có htM (p) = r, với i ≥ ta có ExtiA (L, M r ) = Chứng minh Nhớ lại M −2 = 0, M −1 = M d−2 = : M −2 → M −1 M r = p∈Supp(M ) (Coker(dn−2 ))p Lấy a = annA (L) Khi htM (p)=r L hữu hạn sinh nên theo Bổ đề 1.2.2 ta suy ExtiA (L, M r ) ∼ = ExtiA (L, (Coker(dr−2 ))p ) p∈Supp(M ) htM (p)=r Nếu p ∈ Supp(M ) có htM (p) = r, tồn a ∈ a cho a ∈ / p Phép nhân a L đồng cấu không, (Coker(dn−2 ))p tự đẳng cấu Do hàm tử ExtiA (−, −) hàm tử A−tuyến tính, nên phép nhân a ExtiA (L, (Coker(dr−2 ))p ) đồng cấu không tự đẳng cấu Do ExtiA (L, (Coker(dr−2 ))p ) = 0, từ dẫn đến ExtiA (L, M r ) = 33 Chú ý 3.2.4 Nếu ta lấy L = A/a với a iđêan A cho a ⊆ p với p ∈ Supp(M ) có htM (p) = r; rõ ràng L thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.2.3 Bổ đề 3.2.5 Giả sử n > phức Cousin C(M ) A−môđun M dãy khớp vị trí M = M −1 , M , , M n−2 Giả sử L A−môđun hữu hạn sinh cho annA (L) không chứa p ∈ Supp(M ) có htM (p) ≤ n − Khi ExtiA (L, M ) = i ≤ n − 1; Extn (L, M ) ∼ = HomA (L, Coker(dn−2 )); A k−n (L, Coker(dn−2 )) và, k > n, ExtkA (L, M ) ∼ = ExtA Chứng minh Từ dãy khớp d−1 dn−2 (E) : → M −1 −−→ M → → M n−2 −−→ M n−1 cho ta dãy khớp ngắn sau d−1 →M −1 −−→ M → Coker(d−1 ) → (Chú ý M −1 = Coker(d−2 )) (i) → Coker(d−1 ) → M → Coker(d0 ) → (ii) → Coker(dn−4 ) → M n−2 → Coker(dn−3 ) → (n-1) → Coker(dn−3 ) → M n−1 → Coker(dn−2 ) → (n) Theo Bổ đề 3.2.3, ta có ExtiA (L, M r ) = với i ≥ ≤ r ≤ n − Đặc biệt, ta có hệ rằng: dãy khớp dài cảm sinh từ (i), ,(n) cách tương ứng cho ta điều sau −1 và, với k > 0, ExtkA (L, M ) ∼ = Extk−1 A (L, Coker(d )); HomA (L, M ) = HomA (L, Coker(d−1 )) = và, với k > 0, ExtkA (L, Coker(d−1 )) ∼ = Extk−1 A (L, Coker(d )); HomA (L, Coker(dn−3 )) = và, với k > 0, n−2 ExtkA (L, Coker(dn−3 )) ∼ )) = Extk−1 A (L, Coker(d 34 Như kết luận bổ đề chứng minh Bây ta chứng minh kết mục Định lý 3.2.6 Vành A Cohen-Macaulay phức Cousin CA (A) A dãy khớp Chứng minh (⇐) Giả sử C(A) dãy khớp Ta cần rằng, với iđêan cực đại m ∈ Spec(A), ta có depth(mAm , Am ) = ht(mAm ) (và Am vành Cohen-Macaulay) Giả sử m iđêan cực đại A có ht(mAm ) = n Nếu n = khơng có phải chứng minh Bây ta giả sử n > Vì C(A) dãy khớp nên theo Định lý 3.1.8 ta có CAm (Am ) khớp Do mAm khơng chứa iđêan ngun tố Am có độ cao ≤ n − Từ theo Bổ đề 3.2.5, ta có ExtiAm (Am /mAm , Am ) = với ≤ i ≤ n − 1, depth(mAm , Am ) = n = ht(mAm ) (⇒) Giả sử A vành Cohen-Macaulay, phức C(A) xác định sau d−2 d−1 d0 dn C(A) : −−→ A −−→ A0 − → A1 → → An −→ An+1 → Trước hết ta C(A) khớp A = A−1 Giả sử điều khơng đúng, tồn = y ∈ H −1 (A) ⊆ A = Coker(d−2 ) Từ HomA (A/(0 : y)A , A) = Nhưng Mệnh đề 2.3.6 ta có, p ∈ Spec(A) \ U (A), (0 : y)A ⊆ p Do (0 : y)A iđêan thực A có độ cao ht(p) ≥ Vì A Cohen-Macaulay, nên depth((0 : y)A , A) = ht((0 : y)A ) ≥ (theo Bổ đề 3.2.2), HomA (A/(0 : y)A , A) = 0, mâu thuẫn Vì C(A) khớp A = A−1 Bây giả sử qui nạp rằng, n ≥ C(A) chứng tỏ khớp vị trí A = A−1 , A0 , , An−1 Ta H n (A) = (nghĩa C(A) khớp An ) Giả sử H n (A) = 0, tồn = y ∈ H n (A) ⊆ Coker(dn−1 ) Do HomA (A/(0 : y)A , Coker(dn−1 )) = Nhưng, Mệnh đề 2.3.6, p ∈ Spec(A) − U n+2 (A) (0 : y)A p Vì (0 : y)A iđêan thực có độ cao ≥ n + Do đó, theo Bổ 35 đề 3.2.2, ExtiA (A/(0 : y)A , A) = với ≤ i ≤ n + Nhưng lưu ý iđêan (0 : y)A không chứa p ∈ V (ann(A)) có độ cao ≤ n, theo Bổ đề 3.2.5 ta có n−1 ∼ )) = 0, Extn+1 A (A/(0 : y)A , A) = HomA (A/(0 : y)A , Coker(d nhận xét Vì có mâu thuẫn H n (A) = Do C(A) khớp An , nên Định lý chứng minh Hệ 3.2.7 Nếu vành A vành Cohen-Macaulay p ∈ Spec(A) có độ cao n (Coker(dn−2 ))p = Chứng minh Vì C(A) khớp, nên CAp (Ap ) khớp Do Ap Cohen-Macaulay có chiều n Theo Mệnh đề 3.1.9, ta có (Coker(dn−2 ))p ∼ = (Ap )n Do ta cần A vành Cohen-Macaulay địa phương với iđêan tối đại m có chiều n An = Trong trường hợp depth(m, A) = n Theo Bổ đề 3.2.5, ta có ExtnA (A/m, A) ∼ = Coker(dn−2 ), = HomA (A/m, Coker(dn−2) )) Nhưng An ∼ từ ExtnA (A/m, A) = 0, dẫn đến An = 3.3 Đặc trưng vành Gorenstein qua phức Cousin Trong mục ta giả thiết A vành giao hốn có đơn vị M A−mơđun Mục đích mục để chứng minh vành A Gorenstein phức Cousin CA (A) A giải nội xạ A−môđun A Chứng minh dựa nghiên cứu Bass [2] Việc nghiên cứu vành Gorenstein liên quan mật thiết đến lý thuyết môđun nội xạ ta cần sử dụng số kết biết môđun nội xạ Chú ý 3.3.1 Ta sử dụng thuật ngữ sau Một đồng cấu A−môđun f : M → N gọi cốt yếu môđun khác N có giao khác với Im f , nghĩa đơn cấu M/ Ker(f ) → N cốt yếu theo nghĩa thông thường 36 Một số tính chất sau mơđun nội xạ trình bày [6, Định lý 18.4 18.5] Bổ đề 3.3.2 Cho A vành giao hoán Noether Khi (i) Tổng trực tiếp họ môđun nội xạ nội xạ (ii) Mọi môđun nội xạ viết tổng trực tiếp mơđun nội xạ khơng phân tích (iii) Phân tích tổng trực tiếp (ii) (không kể đến thứ tự), theo nghĩa M= Mi với Mi không phân tích được, i∈I (iv) Bất kì A−mơđun nội xạ khơng phân tích có dạng E(A/p) với p ∈ Spec(A) (v) Với ξ ∈ E(A/p) (với p ∈ Spec(A)), tồn n ∈ N để pn ξ = Phép nhân phần tử x ∈ A − p cảm sinh tự đẳng cấu E(A/p) Theo cấu trúc môđun nội xạ nêu trên, với A−mơđun nội xạ M , ta ln có biểu diễn dạng E(M ) ∼ = µi (p, M )E(A/p), p∈Spec(A) ⊕µE kí hiệu cho tổng trực tiếp µ phiên E ; µi (p, M ) số Bass thứ i M p xác định µi (p, M ) = dimk(p) (ExtiAp (k(p), Mp )) Ngoài ta cần thêm tính chất sau (theo [6, Theorem 18.4], [2], [3]) Bổ đề 3.3.3 Cho S tập đóng nhân A Khi (i) Nếu E S −1 A−mơđun, E A−mơđun nội xạ E S −1 A−môđun nội xạ 37 (ii) Cho p ∈ Spec(A) với p ∩S = ∅ Khi EA (A/p) có cấu trúc S −1 A−mơđun, đẳng cấu với ES −1 A (S −1 A/S −1 p) (Hơn nữa, coi ES −1 A (S −1 A/S −1 p) A−mơđun đẳng cấu với EA (A/p)) (iii) Nếu E A−mơđun nội xạ, S −1 E A−môđun nội xạ S −1 A−môđun nội xạ Nếu p ∈ Spec(A) mà p ∩ S = ∅, S −1 (EA (A/p)) = 0; S −1 (EA (A/p)) ∼ = ES −1 A (S −1 A/S −1 p) p ∩ S = ∅ (iv) Phép tốn ”S −1 ” bảo tồn bao nội xạ phép giải nội xạ tối thiểu (v) Nếu M A−môđun p ∈ Spec(A) mà p ∩ S = ∅, µi (S −1 p, S −1 M ) = µi (p, M ) với i ≥ Trước phát biểu định lý mục này, ta cần thiết lập thêm mệnh đề sau phức Cousin Mệnh đề 3.3.4 Cho A−môđun M phức Cousin C(M ) d−2 d−1 d0 dn CA (M ) : −−→ M −−→ M − → M → → M n −→ M n+1 → Khi đồng cấu d−1 , d0 , , dn , cốt yếu, CA (M ) giải nội xạ cho M , CA (M ) tự nhiên giải nội xạ tối thiểu M Chứng minh Như thường lệ, ta viết M −2 = 0, M −1 = M , d−2 = : M −2 → M −1 Giả sử n ≥ 0, lấy (Coker(dn−2 ))p = x ∈ Mn = p∈SuppA (M ) htM (p)=n Giả sử x có thành phần khác không hạng tử trực tiếp (Coker(dn−2 ))pj với j = 1, , n (mỗi pj iđêan nguyên tố SuppA (M ) có htM (pj ) = n), có thành phần khác cịn lại Theo Bổ đề 2.3.6, ta có (dn−1 (M −1 ) : x)A ⊆ p1 , có phần tử a ∈ A − p1 38 cho ax ∈ dn−1 (M n−1 ) Nhưng a khơng linh hóa tử thành phần khác không x hạng tử trực tiếp (Coker(dn−2 ))p1 ; nên ax = dn−1 cốt yếu Dưới kết mục Định lý 3.3.5 Giả sử vành giao hốn A có phức Cousin CA (A) Khi A Gorenstein CA (A) phép giải nội xạ A−môđun A Chứng minh (⇐) Giả sử C(A) phép giải nội xạ A−môđun A Từ theo Mệnh đề 3.3.4 ta suy C(A) giải nội xạ tối tiểu A Vì theo Định lý 3.1.8 Bổ đề 3.3.3, ta có phức Cousin Ap (trong p iđêan nguyên tố A) cung cấp phép giải nội xạ cực tiểu Ap (với Ap coi môđun nó) Nhưng dim(Ap ) < ∞, nên phức Cousin vành địa phương C(Ap ) có số hữu hạn mắt xích khác khơng (theo Chú ý 2.3.2), chiều nội xạ Ap injdAp (Ap ) < ∞ với p ∈ Spec(A) Suy Ap Gorenstein với p ∈ Spec(A), A vành Gorenstein (⇒) Giả sử A vành Gorenstein, theo [6, Định lý 18.1], ta suy A vành Cohen-Macaulay Khi phức Cousin A d−1 d0 dn C(A) : → A −−→ A0 − → A1 → → An −→ An+1 → dãy khớp (theo Định lý 3.2.6) Ta A0 , A1 , , An , A−môđun nội xạ phép qui nạp theo n Từ giả thiết, ta suy Ap Gorenstein với p ∈ Spec(A) Trước tiên ta có A0 = Ap p∈Spec(A) ht p=0 Khi ht(p) = 0, Ap vành địa phương Artin Gorenstein, Ap có chiều nội xạ (theo [6, Định lý 18.9]), suy Ap Ap −môđun 39 nội xạ Do Ap A−mơđun nội xạ (theo Bổ đề 3.3.3), từ theo Bổ đề 3.3.2, ta suy A0 A−môđun nội xạ Bây giờ, giả sử qui nạp với n ≥ ta chứng minh A0 , A1 , , An môđun nội xạ Tiếp theo ta phải chứng tỏ An+1 = (Coker(dn−1 ))p p∈Spec(A) ht p=n+1 nội xạ Theo Bổ đề 3.3.2, ta cần chứng minh (Coker(dn−1 ))p A−nội xạ với iđêan nguyên tố p có độ cao n + Nhưng lại Bổ đề 3.3.3 ta cần chứng tỏ (Coker(dn−1 ))p Ap −nội xạ Theo Mệnh đề 3.1.9, ta có (Coker(dn−1 ))p đẳng cấu với hạng tử thứ (n + 1) phức Cousin Ap nó, tức (Coker(dn−1 ))p ∼ = (Ap )n+1 Lấy B = Ap , lấy e−1 en CB (B) : → B −−→ B → → B n − → B n+1 → (E) phức Cousin B môđun lên Theo Định lý 3.1.8 Bổ đề 3.3.3, ta có B , B , , B n B−môđun nội xạ Từ giả thiết ta có B vành Gorenstein nên vành Cohen-Macaulay; CB (B) dãy khớp Lưu ý dim(B) = ht(p) = n + Theo Mệnh đề 3.3.4, phức e−1 en−1 (E) : → B −−→ B → → B n−1 −−→ B n mở rộng thành phép giải nội xạ cực tiểu B Vì chiều nội xạ B n + nên phép giải nội xạ cực tiểu B có số hạng thứ (n + 2) khơng, có số hạng thứ (n + 1) đẳng cấu với EB (B/m), với m iđêan cực đại B (theo [6, Định lý 18.8]) Do Coker(en−1 ) ∼ = EB (B/m) Nhưng B n+1 = Coker(en−1 ) Do (Coker(dn−1 ))p ∼ = EAp (Ap /pAp ) xem Ap −môđun, xem A−mơđun (Coker(dn−1 ))p ∼ = EA (A/p) (theo Bổ đề 3.3.3) Đặc biệt, ta (Coker(dn−1 ))p A−mơđun nội xạ, bước quy nạp hồn tất Khi định lý chứng minh 40 Hệ 3.3.6 Giả sử A vành Gorenstein p ∈ Spec(A) có ht(p) = n Khi (Coker(dn−2 ))p ∼ = EA (A/p) Chứng minh Khi n > 0, điều chứng minh Khi n = 0, (Coker(dn−2 ))p = Ap , phải đẳng cấu với EA (A/p) xem A−mơđun (vì đẳng cấu với EAp (Ap /pAp ) xem Ap −mơđun) 41 Kết luận Kết luận văn gồm nội dung sau: • Hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết luận văn, giá môđun, tập iđêan nguyên tố liên kết, địa phương hóa, mối liên hệ tập giá tập iđêan nguyên tố liên kết, đa tạp liên kết, chiều Krull, độ cao, M − độ cao iđêan, môđun Ext, vành Cohen-Macaulay vành Gorenstein • Trình bày số tính chất tập iđêan nguyên tố xây dựng phức Cousin dựa số kết biết Thông qua việc xây dựng phức Cousin đưa số tính chất phức Cousin Kết phần xây dựng phức Cousin số tính chất quan trọng phức Cousin • Trình bày mối liên hệ phức Cousin địa phương hóa Chỉ có đẳng cấu phức S −1 A−môđun S −1 A−đồng cấu • Trình bày đặc trưng vành Cohen-Macaulay thơng qua phức Cousin Kết phần vành A Cohen-Macaulay phức Cousin CA (A) A dãy khớp • Trình bày đặc trưng vành Gorenstein mối liên hệ với phức Cousin Kết phần vành A Gorenstein phức Cousin CA (A) phép giải nội xạ A−môđun A 42 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald, (1969), Introduction to commutative algebra, 1st edit London: Addison Wesley [2] H Bass, (1962), Injective dimension in Noetherian rings, Tran Amer Math Soc 102:18-19 [3] H Bass, (1963), On the ubiquity of Gorenstein rings Math 82: 8-28 [4] H Cartan and S Eilenberg, (1956), Homological Algebra, 1st edit Princeton: Princeton University Press [5] M.T Dibaei (2005), A study of Cousin complexes through the dualizing complexes, Comm Alg 33 119 - 132 [6] H Matsumura, (1992), Commutative Ring Theory, Cambridge: Cambridge University Press [7] B Eckmann and A Shopf, (1953), Uber injecktive Module, Arch, der Math.4: 75-78 [8] P Gabriel, (1958-1959), Objets injectifs dans les catégories abéliennes, Sém Dubreil-Pisot Fas 12, Exposé 17 [9] R Hartshorne, (1966), Residues and duality, Berlin-Heidelberg-New York: Springer (Lecture Notes in Mathematics No 20) 43 [10] T Kawasaki, (2008), Finiteness of Cousin cohomologies, Trans Amer Math Soc 360, 2709 - 2739 [11] E Matlis, (1958), Injective modules over noetherrian rings, Pacific J Math.8: 511-528 [12] D G Northcott, (1953), Ideal theory, 1st edit Cambridge: Cambridge University Press [13] D G Northcott, (1962), An introduction to Homological algebra, 1st edit cambridge: Cambridge University Press [14] D Rees, (1956), A theorem of Homological algebra, Cambridge Philos Soc 52: 605-610 [15] D Rees, (1957), The grade of an ideal or module, Proc Cambridge Philos Soc 53: 28-42 [16] J P Serre, (1965), Algèbre locale: Mulitipliccités, Berlin-Heidelberg-New York Springer (Lecture Notes in Mathematics No 11) [17] R Y Sharp, (1969), The Cousin complex for a module over a commutative Noetherian ring, Math Z 112, p 340-356 [18] R Sharp, (1977), Local cohomology and the Cousin complex for a commutative Noetherian ring, Math Z 153, 19 - 22 [19] R Sharp and P Schenzel, (1994), Cousin complex and generalized Hughes complexes, Proc London Math Soc 68, 499 - 517 [20] O Zariski and P Samuel, (1958), Commutative algebra, 1st edit London: Van Nostrand [21] C A Weibel, An introduction to homological algebra, Department of Mathematics Rutgers University, Cambridge Univ Press 44 ... cho môđun 19 2.3 Tính chất phức Cousin cho môđun 21 Đặc trưng số vành qua phức Cousin 25 3.1 Phức Cousin vành phân thức 25 3.2 Đặc trưng vành Cohen-Macaulay qua phức. .. Ap ? ?môđun 3.2 Đặc trưng vành Cohen-Macaulay qua phức Cousin Trong mục ta giả thiết A vành giao hốn Khi xem A mơđun có phức Cousin C(A) Mục đích mục chứng minh vành A Cohen-Macaulay phức Cousin. .. thông qua phức Cousin Kết phần vành A Cohen-Macaulay phức Cousin CA (A) A dãy khớp • Trình bày đặc trưng vành Gorenstein mối liên hệ với phức Cousin Kết phần vành A Gorenstein phức Cousin CA