Quỹ tích cohen macaulay của các môđun

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận khoa chun mơn Xác nhận cán hướng dẫn i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết tập giá môđun 1.2 Chiều độ cao 1.3 Tơpơ Zariski thớ hình thức vành 1.4 Môđun đối đồng điều 1.5 Môđun Cohen - Macaulay 10 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương 13 2.1 Phân tích thứ cấp 13 2.2 Phức Cousin 16 2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương 17 Quỹ tích Cohen-Macaulay 24 3.1 Mơđun đẳng chiều mơđun có linh hóa tử đối đồng điều địa phương 24 3.2 Quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun 25 3.3 Điều kiện cho tính mở quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun 27 Vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay 36 4.1 36 Một số tính chất vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.2 Tính đóng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay trường hợp vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay 41 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành Noether A Quỹ tích Cohen-Macaulay M kí hiệu CM(M), xác định công thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp Ap −mơđun Cohen-Macaulay} Ta dễ thấy quỹ tích Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay Spec(A), môđun Cohen-Macaulay suy rộng M vành địa phương (A, m) chứa tập Spec(A) \ {m} Vì trường hợp này, CM(M) tập mở Spec(A) tơpơ Zariski Tính chất tơpơ quỹ tích Cohen-Macaulay môđun công cụ quan trọng T Kawasaki [9, Định lý 8.3] vành A catenary (xem Định nghĩa 1.2.5), tính mở CM(B) (của A−đại số hữu hạn B) giả thiết quan trọng để nghiên cứu tính hữu hạn phức Cousin CA (M) (xem Định nghĩa 2.2.2) A−môđun hữu hạn sinh đẳng chiều M (nghĩa dim M = dim A/p với phần tử p cực tiểu Supp(M)) Quỹ tích Cohen-Macaulay môđun nghiên cứu nhiều tác giả, chẳng hạn A Grothendick [7] khẳng định CM(M) tập mở Spec(A) A vành hoàn hảo (excellent ring) Trong [13], C Rotthaus-L Sega nghiên cứu quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun phân bậc vành Noether phân bậc A = i∈N Ai xét A0 −môđun Trong [8], R Hartshorne CM(A) tập mở A có phức đối ngẫu Tiếp đến, M.T Dibaei [3, Hệ 2.3] CM(A) tập mở A vành địa phương với tất thớ hình thức Cohen-Macaulay thỏa mãn điều kiện Serre (S2 ) Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác, R Sharp-P Schenzel [18, Ví dụ 4.4] M môđun Cohen-Macaulay phức Cousin CA (M) dãy khớp Vì CM(M) = Spec(A) \ ∪i≥−1 SuppA (H i (CA (M))), đó H i (CA (M)) ký hiệu môđun đối đồng điều thứ i phức Cousin CA (M) Từ suy CM(M) tập mở mà phức Cousin CA (M) có mơđun đối đồng điều hữu hạn sinh A Các tác giả [4] môđun H i (CA (M)) hữu hạn sinh A M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương (tức là, tồn phần tử x ∈ A \ ∪p∈MinA (M) p cho xHmi (M) = với i < dimA (M) iđêan cực đại m A) Gần đây, năm 2011, M.T Dibaei-R Jafari [5] tiếp tục nghiên cứu tính mở quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun hữu hạn sinh M vành địa phương Noether (A, m) Trong mối quan hệ này, họ nghiên cứu số vành có thớ hình thức (trên số iđêan nguyên tố đặc biệt) Cohen-Macaulay Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại nghiên cứu M.T DibaeiR Jafari năm 2011 vừa nêu Nói cách khác, uận văn trình bày chi tiết lại chứng minh báo [5] M.T Dibaei and R Jafari, Cohen-Macaulay Loci of Modules, Commutative Algebra, 39 (2011), 3681-3697 Bên cạnh để việc trình bày có hệ thống rõ ràng hơn, luận văn bổ sung số kiến thức từ báo khác, chẳng hạn T Kawasaki [9], C Zhou [19], Luận văn chia làm chương Chương trình bày kiến thức sở để chứng minh kết luận văn Chương mơ tả tập iđêan nguyên tố gắn kết AttA (Him (M)) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M vành địa phương (A, m) điều kiện phức Cousin C (M) M hữu hạn (Định lý 2.3.3 Hệ 2.3.6) Chương trình bày quỹ tích Cohen-Macaulay M Bổ đề 3.2.3 để nghiên cứu tính mở CM(M) trường hợp A/(0 :A M) catenary cần xét với giả thiết M đẳng chiều Hơn nữa, đặc trưng vành Cohen-Macaulay suy rộng liên quan đến linh hóa tử đối đồng điều địa phương Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đưa (Hệ 3.3.9) Vì quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M đóng tập phần tử tối tiểu hữu hạn, nên số giả thiết trung gian chứng minh Min(non-CM(M)) tập tập i i≤dim M AttA (Hm (M)) ∪ non-CM(A) (Định lý 3.3.10) Như hệ ta suy quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương (A, m) tập mở Spec(A) A catenary CM(A) tập hữu hạn (Hệ 3.3.11) Chương chứng minh M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương M đẳng chiều thớ hình thức phần tử tối tiểu SuppA (M) CohenMacaulay Kết ta có Hệ 4.1.3 nói điều kiện tương đương với vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo của: Viện Tốn học Đại học Thái Ngun người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD-ĐT Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Tổ Toán Tin - Trường THPT Lê Hồng Phong (Phổ Yên-Thái Nguyên) tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2014 TÁC GIẢ Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm đưa số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ thống kiến thức thực cần thiết phục vụ cho chứng minh kết chương sau Chương ta giả thiết A vành giao hốn có đơn vị 1.1 Tập iđêan ngun tố liên kết tập giá mơđun Kí hiệu 1.1.1 Cho M A−mơđun Linh hóa tử M, ký hiệu annA (M) (0 :A M), tập hợp {a ∈ A | aM = 0} (nó iđêan A) Cho x ∈ M, ta gọi linh hóa tử x, kí hiệu annA (x) hay (0 :A x), iđêan annA (Ax) Định nghĩa 1.1.2 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M A−môđun p ∈ Spec(A) Ta nói p iđêan nguyên tố liên kết M tồn = x ∈ M cho p = annA (x) Hơn nữa, tập tất iđêan nguyên tố liên kết A−môđun M ký hiệu AssA (M) Ass(M) Nhận xét 1.1.3 Cho M A−môđun p ∈Spec(A) Khi đó, p ∈AssA (M) tồn môđun N M cho A/p ∼ = N Nếu giả thiết thêm A vành Noether M A−mơđun khác Khi phần tử tối đại tập Σ = {annA (x) | = x ∈ M} nằm tập AssA (M) Đặc biệt, ta suy M = AssA (M) = / Định nghĩa 1.1.4 (Giá môđun) Cho M R−môđun Ta gọi tập hợp SuppA (M) = {p ∈ Spec(A) | Mp = 0} tập giá M Ta kí hiệu MinA (M) tập tất phần Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tử tối tiểu tập Supp(M) Mệnh đề 1.1.5 Cho A vành Noether 0→N→M→P→0 dãy khớp ngắn A−mơđun Khi ta có phát biểu i) AssA (N) ⊆ AssA (M) ⊆ AssA (N) ∪ AssA (P) ii) SuppA (M) = SuppA (N) ∪ SuppA (P) Mệnh đề 1.1.6 Cho A vành Noether M A−môđun hữu hạn sinh khác Khi tồn dãy mơđun M dạng = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M có pi ∈ Spec(A) cho Mi /Mi−1 ∼ = A/pi với i = 1, · · · , n Mệnh đề 1.1.7 Cho A vành Noether M A−môđun Khi ta có i) MinA (M) ⊆ AssA (M) ⊆ SuppA (M) ii) Nếu M môđun hữu hạn sinh A |AssA (M)| < ∞ 1.2 Chiều độ cao Định nghĩa 1.2.1 (Chiều vành môđun) Cho A vành giao hoán, dãy giảm thực iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · pn vành A gọi xích ngun tố có độ dài n Cận độ dài tất xích nguyên tố A gọi chiều Krull A, hay chiều vành A, ký hiệu dim A Giả sử M A−mơđun Khi đó, chiều M, ký hiệu dim M xác định dim M = dim(A/ ann(M)) Định nghĩa 1.2.2 (Độ cao iđêan) Cho A vành giao hoán p iđêan nguyên tố A Chiều dài lớn dãy giảm thức iđêan nguyên tố p = p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pr xuất phát từ p, gọi độ cao p, ký hiệu ht(p) Cho I iđêan A Độ cao I, ký hiệu ht(I), cho ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ V(I)} V(I) tập iđêan nguyên tố A chứa I Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định nghĩa 3.3.5 (xem [5, Trang 10]) Một môđun hữu hạn sinh M vành địa phương (A, m) với d = dimA (M) gọi môđun g.CM mn Him (M) = với giá trị n ∈ N i < d Môđun M gọi tựa Buchsbaum m Him (M) = với i < d Dễ dàng ta có nhận xét sau Nhận xét 3.3.6 (xem [5, Trang 11]) Giả sử (A, m) vành địa phương Khi a) Một A−môđun hữu hạn sinh M g.CM mơđun đối đồng điều CA (M) có độ dài hữu hạn b) Một A−môđun hữu hạn M tựa Buchsbaum CA (M) hữu hạn mHMi = với i Chứng minh (a) Giả sử M g.CM Theo [1, 9.5.7] ta có Mp mơđun Cohen-Macaulay với p ∈ SuppA (M) \ {m} Vì SuppA (HMi ) ⊆ {m} (theo [18, Ví dụ 4.4]) theo bổ đề 2.3.1 ta có điều phải chứng minh Chiều ngược lại hiển nhiên theo bổ đề 2.3.1 (b) Giả sử M A−môđun tựa Buchsbaum, suy mHMi = với i M g.CM nên môđun đối đồng điều CA (M) có độ dài hữu hạn Ngược lại, giả sử CA (M) hữu hạn mHMi = với i, suy M tựa Buchsbaum Nhận xét 3.3.7 (xem [5, Trang 11]) Giả sử (A, m) vành địa phương g.CM Khi đó, A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) Đặc biệt, A−mơđun đẳng chiều M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương Chứng minh Cho p ∈ Spec(A) Giả sử htM (p) = Vì A g.CM, nên A có linh hóa tử đối đồng điều địa phương, A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo bổ đề 3.1.2 Giả sử htM (p) = t > Khi có tập hệ tham số x1 , · · · , xt A chứa p Theo [1, Bài tập 9.5.8] A/(x1 , · · · , xt ) g.CM 31 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ có linh hóa tử đối đồng điều địa phương Đặc biệt A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo bổ đề 3.1.2 Phần cuối suy từ mệnh đề 3.3.2 Kết sau câu trả lời cho trường hợp ngược lại phát biểu Định lý 3.3.8 (xem [5, Bổ đề 3.11]) Giả sử (A, m) vành địa phương cho A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) Với A−mơđun hữu hạn M, ta có phát biểu sau tương đương i) M A−môđun đẳng chiều non-CM(M) ⊆ {m} ii) M môđun g.CM Chứng minh Chú ý A/pA có linh hóa tử đối đồng điều địa phương A/p đẳng chiều Do đó, theo [11, Định lý 31.7], A catenary phổ dụng i) =⇒ ii) Khi Him (M) ∼ = Him (M/Γm (M)) với i > 0, ta giả sử Γm (M) = m∈ / AssA (M) Vì, với p ∈ AssA (M), ta có Mp mơđun Cohen-Macaulay, suy AssA (M) = MinA (M) Từ ta có HM−1 = (theo [18, Ví dụ 4.4]) Vì M đẳng chiều A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ MinA (M), nên M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo mệnh đề 3.3.2 A/(0 :A M) catenary phổ dụng theo bổ đề 3.1.6 Kết bổ đề 3.3.4 M đẳng chiều Do CA M hữu hạn theo [9, Định lý 5.5] Bây ta chứng minh phát biểu cách quy nạp theo d = dimA (M) Với d = 2, ta có theo hệ 2.3.6 AttA (H1m (M)) = {p ∈ AssA (H −1 ) | htM (p) = 1} M {p ∈ AssA (HM0 ) | htM (p) = 2} Nếu p ∈ AssA (H −1 ) với htM (p) = p ∈ AssA (M) pc ∈ AssA (M) = MinA (M) M Mặt khác, p ∈ AttA (H1m (M)), nên pc ∈ AttA (H1m (M)) theo [17, Bổ đề 2.1], điều mâu thuẫn với bổ đề 3.3.3 Vậy AttA (H1m (M)) ⊆ {m} tồn số nguyên n cho 32 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ mn H1m (M) = theo [1, 7.2.1] H1m (M) ⊗A A A−mơđun hữu hạn Điều cho ta bước trình quy nạp Bây giả sử d > phát biểu đến d − Cho x linh hóa tử đối đồng điều địa phương M Vì MinA (M) = AssA (M), nên x khơng ước M Mặt khác, A catenary, dễ dàng thấy M/xM thỏa mãn giả thiết quy nạp với d − Khi đó, Him (M/xM) hữu hạn sinh với i < d − Từ dãy khớp x −→ M → − M −→ M/xM −→ ta có dãy khớp x x · · · −→ Him (M) − → Him (M) −→ Him (M/xM) −→ Hi+1 → Hi+1 m (M) − m (M) −→ · · · Vì xHmj (M) = với j < d, ta có dãy khớp −→ Him (M) −→ Him (M/xM) −→ Hi+1 m (M) −→ với i = 0, · · · , d − Ta có điều phải chứng minh ii) =⇒ i) Giả sử M mơđun g.CM Khi đó, Mp Ap −mơđun Cohen-Macaulay với p ∈ SuppA (M) \ {m} Do đó, SuppA (HMi ) ⊆ {m} với i ≥ −1, suy SuppA (HMi ) ⊆ {m} i≥−1 mà non-CM(M) = i i≥−1 SuppA (HM ) Bây ta phát biểu tiêu chuẩn để vành địa phương đẳng chiều trở thành vành g.CM mối liên hệ với tập linh hóa tử đối đồng điều địa phương Hệ 3.3.9 (xem [5, Mệnh đề 3.12]) Giả sử A vành địa phương Noether đẳng chiều Khi A g.CM A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) non-CM(A) ⊆ {m} Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử A g.CM, Ap Cohen-Macaulay với p ∈ Spec(A) \ {m} theo [1, Bài tập 9.5.7] Theo nhận xét 3.3.7 A/p có linh hóa tử 33 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) theo định lý 3.3.8 CM(A) ⊆ {m} ii) ⇒ i) Suy từ định lý 3.3.8 Chúng ta chứng minh phần tử tối tiểu non-CM(M) iđêan nguyên tố gắn kết Him (M) với giá trị i Ap khơng vành Cohen-Macaulay Định lý 3.3.10 ([5, Định lý 3.13]) Giả sử (A, m) vành catenary địa phương M A−mơđun đẳng chiều hữu hạn sinh Khi ta có AttA (Him (M)) Min(non-CM(M)) ⊆ non-CM(A) i≤dimA (M) Chứng minh Chọn p ∈ Min(non-CM(M)) Vì A catenary M đẳng chiều, nên Mp Ap −môđun đẳng chiều Giả sử Ap vành Cohen-Macaulay, với q ∈ Spec(A) thỏa mãn q ⊆ p Ap /qAp có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo [19, Hệ 3.3] Khi theo định lý 3.3.8 Mp Ap − mơđun g.CM Vì Mp khơng Cohen-Macaulay, nên HipAp (Mp ) = với số nguyên i thỏa mãn i < dimAp (Mp ) Đặc biệt HipAp (Mp ) Ap - mơđun có độ dài hữu hạn khác khơng, AttA (HipAp (Mp )) = {pAp } Theo [1, Bài tập 11.3.8] p ∈ AttA (Hi+t m (M)) với t = dim(A/p) Như ta có điều cần chứng minh Hệ 3.3.11 (xem [5, Hệ 3.14]) Giả sử (A, m) vành catenary địa phương non-CM(A) hữu hạn (chẳng hạn, A thỏa mãn điều kiện Serre (Sd−2 ), d := dim A, CA (A) hữu hạn) Khi quỹ tích Cohen-Macaulay M tập mở với A−môđun hữu hạn sinh M Chứng minh Theo bổ đề 3.2.3, ta giả sử M đẳng chiều Kết định lý 3.3.10 Min(non-CM(M)) tập hữu hạn Nói cách khác non-CM(M) tập đóng Spec(A) tơpơ Zariski 34 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Trong ví dụ sau nhận xét 3.3.1 hệ 3.3.11 quan trọng Ví dụ 3.3.12 vành địa phương S với thớ hình thức Cohen-Macaulay tập non-CM(S) vơ hạn Ví dụ 3.3.13 cho vành địa phương T có thớ hình thức địa phương khơng Cohen-Macaulay với non-CM(T ) hữu hạn Ví dụ 3.3.12 (xem [5, Trang 13]) Cho S = k[[X,Y, Z,U,V ]]/(X) (Y, Z) với k trường Rõ ràng S vành địa phương có thớ hình thức Cohen-Macaulay Theo [11, Định lý 31.2] có vơ hạn p k[[X,Y, Z,U,V ]] cho (X,Y, Z) ⊂ p ⊂ (X,Y, Z,U,V ) Với p vậy, ta có Sp khơng đẳng chiều khơng Cohen-Macaulay Nói cách khác, non-CM(S) vơ hạn Ví dụ 3.3.13 (xem [5, Trang 13]) Trong [6, Mệnh đề 3.3] tồn miền nguyên địa phương (R, m) có số chiều cho R = C[[X,Y, Z]]/(Z ,tZ) với C trường số phức t = X + Y + Y s với phần tử s ∈ C[[Y ]] \ C{Y } Vì Ass R = {(Z), (Z,t)}, nên R không thỏa mãn (S1 ) Do H−1 (C (R)) = H−1 (C (R)) = theo [18, Ví dụ 4.4] Theo [12, Định lý 3.5] tồn thớ hình thức R khơng Cohen-Macaulay Vì R miền nguyên địa phương ta có non-CM(R) = {m} 35 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay Trong chương này, ta giả thiết (A, m) vành địa phương M A−môđun hữu hạn sinh có chiều d Chương vành A với thớ hình thức Cohen-Macaulay, quỹ tích Cohen-Macaulay A−mơđun hữu hạn sinh tập mở Spec(A) tôpô Zariski (Nhận xét 3.3.1) Kết gợi mở ta cần phải xác định vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay Nói xác hơn, ta nghiên cứu ảnh hưởng thớ hình thức Cohen-Maccaulay lên cấu trúc môđun 4.1 Một số tính chất vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay Trước hết, ta tổng kết lại số kết có liên quan lấy từ [2, Hệ 2.3, Hệ 2.4, Bổ đề 2.5, Mệnh đề 2.6, Định lý 2.7] Ta ký hiệu a(M) = d−1 i=0 (0 :A Him (M)) Định lý 4.1.1 (xem [5, Định lý 4.1]) Giả sử M A−môđun hữu hạn sinh có chiều i d Khi ta có ∏d−1 i=−1 (0 :A HM ) ⊆ a(M) Hơn nữa, CA (M) hữu hạn, d−1 ∏ (0 :A HMi ) i=−1 p, p∈MinA (M) HMi ký hiệu môđun đối đồng điều thứ i phức Cousin CA (M) Kết sau cho tính chất mơđun hữu hạn sinh có linh hóa tử đối đồng điều địa phương liên hệ với tập gồm thớ hình thức vành sở 36 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 4.1.2 (xem [5, Định lý 4.2]) Ta có phát biểu sau tương đương i) M A−môđun đẳng chiều tất thớ hình thức A phần tử tối tiểu SuppA (M) Cohen-Macaulay ii) M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương Chứng minh i) ⇒ ii) Theo [9, Định lý 5.5] CA (M) hữu hạn Suy Min(non-CM(M)) tập hữu hạn theo nhận xét 3.2.2 Do đó, từ định lý 4.1.1 suy q (4.1.1) q q∈MinA (M) q∈non-CM(M) Ta ( q) p A p∈MinA (M) q∈non-CM(M) Thật vậy, trái lại, theo tính chất hữu hạn non-CM(M), ta thấy tồn p ∈ MinA (M) cho p = q A với q thuộc non-CM(M) Chú ý Ap −→ (A)q đồng cấu vành hoàn toàn phẳng, vành thớ pAp ((Ap /pAp ) ⊗A A)q Cohen-Macaulay theo giả thiết Khi theo cơng thức chiều độ sâu Mp không Cohen-Macaulay Điều trái với dimAp (Mp ) = Do đó, lấy phần tử r ∈ ( q∈non-CM(M) q) (A \ p∈MinA (M) p) Theo định lý 4.1.1 rn Him (M) = với số nguyên n với ≤ i ≤ dimA (M) Vì Him (M) ∼ = Him (M), nên tính chất chứng minh ii) ⇒ i) Vì M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương, nên M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương, M đẳng chiều Giả sử p ∈ MinA (M) Chúng ta (Ap /pAp )⊗A A Cohen-Macaulay Hiển nhiên, (Ap /pAp )⊗A A ∼ = S−1 (A/pA) S ảnh A\p A Khi đó, S−1 (A/pA)S−1 q Cohen-Macaulay với q ∈ Spec(A) thỏa mãn S q = / Ta cần (A/pA)q Aq −môđun Cohen-Macaulay Theo mệnh đề 3.3.2 A/p có linh hóa tử 37 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đối đồng điều địa phương, A/pA có linh hóa tử đối đồng điều địa phương, suy A/pA đẳng chiều Giả sử ngược lại, (A/pA)q khơng Cohen-Macaulay, ta giả sử q ∈ Min(non-CM(A/pA)) (q A) (A \ p) = / Hay nói cách khác, non-CM((A/pA)q ) = {qAq } với q A = p Ta thay A M định lý 3.3.8 tương ứng Aq (A/pA)q Vì CA (A/q ) hữu hạn (theo [9, Định lý 5.5]) nên CAq (Aq /q Aq ) hữu hạn với q ∈ Spec(A) Khi (Aq /q Aq ) có linh hóa tử đối đồng điều địa phương Aq -môđun với q ∈ Spec(A) q ⊆ q theo bổ đề 3.1.3 Vì (A/pA)q đẳng chiều, sử dụng định lý 3.3.8 để chứng minh (A/pA)q A−môđun g.CM Đặc biệt, Hi q Aq ((A/pA)q ) Aq − mơđun có độ dài hữu hạn với giá trị i < dim(A/pA)q , từ ta có AttAq (HiqA ((A/pA)q )) = {qAq } Mặt khác, theo [1, Bài q tập 11.3.8] q ∈ AttA (Hmj (A/pA)) với giá trị j < dim(A/p), suy p = q A ∈ AttA (Hmj (A/p)) Điều trái với bổ đề 3.3.3 Kết sau thớ hình thức vành A Cohen-Macaulay A catenary phổ dụng CA (A/p) hữu hạn với p ∈ Spec(A) Hệ 4.1.3 (xem [5, Hệ 4.3]) Ta có phát biểu sau tương đương i) A catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay ii) Phức Cousin CA (A/p) hữu hạn với p ∈ Spec(A) iii) A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) Chứng minh i) ⇒ ii) Hiển nhiên theo [9, Định lý 5.5] ii) ⇒ iii) Theo định lý 4.1.1, phức Cousin CA (A/p) hữu hạn với p ∈ Spec(A) i ∏d−1 i=−1 (0 :A HA/p ) p∈MinA (A/p) p, suy d−1 (0 :A Him (A/p)) i=0 p p∈MinA (A/p) 38 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tức tồn phần tử x ∈ / p∈MinA (A/p) p cho x Him (A/p) = Vậy A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A) iii) ⇒ i) Giả sử A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với p ∈ Spec(A), A/p đẳng chiều A catenary phổ dụng Kết luận dễ dàng theo định lý 4.1.2 Mục đích cuối nghiên cứu mối quan hệ non-CM(M) V(a(M)) Chúng ta thấy non-CM(M) = V(a(M)) CA (M) hữu hạn Tuy nhiên, phát biểu sau CA (M) không hữu hạn Nhận xét 4.1.4 (xem [5, Nhận xét 4.4]) non-CM(M) ⊆ V(a(M)) Chứng minh Cho d = dim M Chọn p ∈ non-CM(M) giả sử phản chứng a(M) p Khi đó, theo [1, Định lý 9.3.5] a(M) d = fm a(M) (M) ≤ λm (M) ≤ depth Mp + dim(A/p) ≤ dim Mp + dim(A/p) ≤ d a(M) fm (M) = inf{i ∈ N | a(M) (0 :A Him (M)) } a(M) λm (M) = inf{depth Mp + dim(A/p) | p ∈ Spec(A) \ V(a(M)) } Do đó, depth Mp = dim Mp Điều vô lý Hệ 4.1.5 (xem [5, Hệ 4.5]) Giả sử M A−môđun hữu hạn sinh có số chiều d CA (M) hữu hạn Khi d−1 V( ∏ (0 :A HMi )) = non-CM(M) = V(a(M)) i=−1 Chứng minh Theo nhận xét 3.2.2 non-CM(M) = V(∏i (0 :A HMi )) Theo nhận xét i 4.1.4 non-CM(M) ⊆ V(a(M)) Theo định lý 4.1.1 (∏d−1 i=−1 (0 :A HM )) ⊆ a(M), từ i suy V(a(M)) ⊆ V(∏d−1 i=−1 (0 :A HM )) Vậy ta có điều phải chứng minh 39 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cuối cùng, để đặc trưng mơđun M với non-CM(M) = V(a(M)), ta cần đặc trưng iđêan nguyên tố p thỏa mãn A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo hệ 4.1.3 Mệnh đề 4.1.6 (xem [5, Mệnh đề 4.6]) Giả sử p ∈ Spec(A) Một điều kiện cần đủ để A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương tồn A−môđun đẳng chiều M cho p ∈ SuppA (M) \ V(a(M)) Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên cách thay M A/p Ngược lại, giả sử tồn A−môđun M đẳng chiều thỏa mãn điều kiện p ∈ SuppA (M) \ V(a(M)) Ta chứng minh điều kiện đủ cách quy nạp theo h = htM (p) Khi h = 0, ta có p ∈ MinA (M) Chọn môđun N M với AssA (N) = {p} AssA (M/N) = AssA (M) \ {p} Rõ ràng (M/N)p = 0, suy r(M/N) = với r ∈ A \ p Mặt khác, a(M) p suy tồn s ∈ A \ p cho s Him (M) = với i < dimA (M) Từ dãy khớp i i Hi−1 m (M/N) −→ Hm (N) −→ Hm (M), ta có rs Him (N) = với i < dimA (N) Vì p ∈ MinA (N), nên ta có A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo mệnh đề 3.3.2 Bây giả sử h > Khi đó, với q ∈ SuppA (M) thỏa mãn q ⊂ p, ta có q∈ / V(a(M)) A/q có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo giả thiết Vì p ∈ / V (a(M)), nên Mp Cohen-Macaulay theo nhận xét 4.1.4 Gọi K môđun M cho AssA (K) = MinA (M) AssA (M/K) = AssA (M) \ MinA (M) Nếu p ∈ SuppA (M/K) tồn q ∈ AssA (M/K) thỏa mãn q ⊆ p Khi q ∈ AssA (M) q∈ / MinA (M) Vì Mp Cohen-Macaulay, nên Mq vậy, suy q ∈ MinA (M) Điều vơ lý Do đó, ta có p ∈ / SuppA (M/K) suy r(M/K) = với giá trị r ∈ A \ p cách áp dụng đối đồng điều địa phương vào dãy khớp p Vì Mp ∼ = Kp , nên Kp Cohen-Macaulay −→ K −→ M −→ M/K −→ ta có a(K) 40 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ htK (p) > 0, tồn x ∈ p không ước không K Từ dãy khớp −→ x K→ − K −→ K/xK −→ 0, ta có a(K)2 ⊆ a(K/xK), suy a(K/xK) p Vì htK/xK (p) < h, nên A/p có linh hóa tử đối đồng điều địa phương theo giả thiết quy nạp Hệ 4.1.5 với A−môđun M hữu hạn sinh, non-CM(M) ⊆ V(a(M)) CA (M) hữu hạn Trong phần sau, ta đặc trưng mơđun thỏa mãn đẳng thức mà khơng cần giả thiết phức Cousin CA (M) hữu hạn 4.2 Tính đóng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay trường hợp vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay Định lý 4.2.1 (xem [5, Định lý 4.7]) Với A−môđun M đẳng chiều, ta có phát biểu sau tương đương i) A/q có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với q ∈ CM(M) i’) A/qA A-mơđun đẳng chiều thớ hình thức (Aq /qAq ) ⊗A A CohenMacaulay với q ∈ CM(M) ii) non-CM(M) = V(a(M)) iii) non-CM(M) ⊇ V(a(M)) Chứng minh Sự tương đương (i) (i’) hiển nhiên theo định lý 4.1.2 i) ⇒ ii) Bao hàm non-CM(M) ⊆ V(a(M)) hiển nhiên theo nhận xét 4.1.4 Giả sử p ⊇ a(M) Do đó, có số nguyên i thỏa mãn ≤ i < d cho p ⊇ (0 :A Him (M)) Khi tồn Q ∈ AttA (Him (M)) với q := A Q ∈ AttA (Him (M)) p ⊇ q Để p ∈ non-CM(M), ta cần chứng tỏ q ∈ non-CM(M) Giả sử phản chứng, q ∈ CM(M), A/q có linh hóa tử đối đồng điều địa phương thớ hình thức k(q) ⊗A A Cohen-Macaulay theo định lý 4.1.2 Vì ánh xạ Aq −→ AQ đồng cấu vành phẳng, nên ta thấy k(q) ⊗Aq AQ Cohen-Macaulay Khi đó, cơng thức chiều độ sâu áp dụng vào mở rộng phẳng Aq −→ AQ , suy MQ 41 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Cohen-Macaulay Mặt khác, A/r có linh hóa tử đối đồng điều địa phương với r ∈ MinA (M) (đơn giản trường hợp này, Mr có số chiều khơng r ∈ CM(M)) Do đó, theo mệnh đề 3.3.2 M có phần tử triệt đối đồng điều địa phương với M Từ đó, theo bổ đề 3.1.5 M đẳng chiều Do đó, theo [9, Định lý 5.5] suy phức Cousin CA (M) hữu hạn Vì Q ∈ AttA (Him (M)), nên ta có Q ∈ non − CM(M) theo hệ 4.1.5 Điều vô lý iii) ⇒ i) Giả sử q ∈ CM(M) suy q a(M) theo giả thiết Bây giờ, từ mệnh đề 4.1.6 suy A/q có linh hóa tử đối đồng điều địa phương 42 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Kết luận văn gồm nội dung sau: Hệ thống lại số kiến thức sở cần thiết dùng để chứng minh kết luận văn, mơđun Cohen-Macaulay, phức Cousin, chiều, độ sâu chiều cao iđêan môđun, tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun Trình bày số kết mối quan hệ tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương Him (M) môđun đối đồng điều phức Cousin M (Định lý 2.3.3 Hệ 2.3.6) Trình bày số tính chất quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun nêu số điều kiện để tập mở Spec(A) tơpơ Zariski (Hệ 3.3.11) Trình bày số tính chất vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay tính đóng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay trường hợp vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay (Định lý 4.2.1) 43 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] M Brodmann and R Sharp, (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol 60 Cambridge, Cambridge University Press [2] W Bruns and J Herzog, (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, revised edition, Cambridge [3] M.T Dibaei (2005), A study of Cousin complexes through the dualizing complexes, Comm Alg 33 119 - 132 [4] M.T Dibaei and R Jafari, (2008), Modules with finite Cousin cohomologies have uniform local cohomological annihilators, Journal of Algebra, 319, 3291 - 3300 [5] M.T Dibaei, R Jafari, (2011), Cohen - Macaulay Loci of Modules, Commutative Algebra, 39, 3681-3697 [6] D Ferrand and M Raynaud, (1970), Fibres formelles d’un anneau local Noetherien, Ann Sci Ecole Norm Sup 4(3), 295 - 311 [7] A Grothendieck, (1965), Éléments de Géométrie Algébrique, IV, Inst Hautes Estudes Sci Publ Math 24 [8] R Hartshorne, (1966), Residues and Duality, Vol 20 Lect Notes Math Berlin, Heidelberg, New York: Springer - Verlag [9] T Kawasaki, (2008), Finiteness of Cousin cohomologies, Trans Amer Math Soc 360, 2709 - 2739 44 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [10] H Matsumura, (1992), Commutative Ring Theory, Cambridge: Cambridge University Press [11] I G Macdonald and R Sharp, (1972), An elementary proof of the non - vanishing of certain local cohomology modules, Quart J Math Oxford 23, 197 - 204 [12] H Petzl, (1997), Cousin complexes and flat ring extentions, Comm Algebra 25, 311 - 339 [13] C Rotthaus and L.M Sega, (2006), Open loci of graded modules, Trans Amer Math Soc 358, 4959 - 4980 [14] R Sharp, (1969), The Cousin complex for a module over a commutative Noetherian ring, Math Z 112, 340 - 356 [15] R Sharp, (1977), Local cohomology and the Cousin complex for a commutative Noetherian ring, Math Z 153, 19 - 22 [16] R Sharp, (1970), Gorenstein modules, Math Z 115: 117 - 139 [17] R Sharp, (1981), On the attached prime ideals of certain artinian local cohomology modules, Proc Edinburgh Math Soc 24, - 14 [18] R Sharp and P Schenzel, (1994), Cousin complex and generalized Hughes complexes, Proc London Math Soc 68, 499 - 517 [19] C Zhou, (2006), Uniform annihilators of local cohomology, Journal of Algebra, 305, 585 - 602 45 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... 3.2 Quỹ tích Cohen- Macaulay mơđun Định nghĩa 3.2.1 Quỹ tích Cohen- Macaulay M ký hiệu CM(M), tập CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp Ap -môđun Cohen- Macaulay} Ta dễ thấy quỹ tích Cohen- Macaulay mơđun Cohen- Macaulay. .. M môđun hữu hạn sinh vành Noether A Quỹ tích Cohen- Macaulay M kí hiệu CM(M), xác định cơng thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp Ap −mơđun Cohen- Macaulay} Ta dễ thấy quỹ tích Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay. .. môđun đẳng chiều N M CM(M) tập mở Mục ta thấy vành địa phương (A, m) có thớ hình thức Cohen- Macaulay, quỹ tích Cohen- Macaulay A? ?môđun hữu hạn tập mở 3.3 Điều kiện cho tính mở quỹ tích Cohen- Macaulay