Quỹ tích cohen macaulay của các môđun ( Luận văn thạc sĩ)Quỹ tích cohen macaulay của các môđun ( Luận văn thạc sĩ)Quỹ tích cohen macaulay của các môđun ( Luận văn thạc sĩ)Quỹ tích cohen macaulay của các môđun ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MƠĐUN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH TÂM QUỸ TÍCH COHEN - MACAULAY CỦA CÁC MÔĐUN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Xác nhận khoa chun mơn Xác nhận cán hướng dẫn i Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết tập giá môđun 1.2 Chiều độ cao 1.3 Tôpô Zariski thớ hình thức vành 1.4 Môđun đối đồng điều 1.5 Môđun Cohen - Macaulay 10 Tập iđêan nguyên tố gắn kết mơđun đối đồng điều địa phương 13 2.1 Phân tích thứ cấp 13 2.2 Phức Cousin 16 2.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết môđun đối đồng điều địa phương 17 Quỹ tích Cohen-Macaulay 24 3.1 Mơđun đẳng chiều mơđun có linh hóa tử đối đồng điều địa phương 24 3.2 Quỹ tích Cohen-Macaulay môđun 25 3.3 Điều kiện cho tính mở quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun 27 Vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay 36 4.1 36 Một số tính chất vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay ii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.2 Tính đóng quỹ tích khơng Cohen-Macaulay trường hợp vành có thớ hình thức Cohen-Macaulay 41 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 iii Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Giả sử M môđun hữu hạn sinh vành Noether A Quỹ tích Cohen-Macaulay M kí hiệu CM(M), xác định cơng thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp Ap −mơđun Cohen-Macaulay} Ta dễ thấy quỹ tích Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay Spec(A), môđun Cohen-Macaulay suy rộng M vành địa phương (A, m) chứa tập Spec(A) \ {m} Vì trường hợp này, CM(M) tập mở Spec(A) tôpô Zariski Tính chất tơpơ quỹ tích Cohen-Macaulay môđun công cụ quan trọng T Kawasaki [9, Định lý 8.3] vành A catenary (xem Định nghĩa 1.2.5), tính mở CM(B) (của A−đại số hữu hạn B) giả thiết quan trọng để nghiên cứu tính hữu hạn phức Cousin CA (M) (xem Định nghĩa 2.2.2) A−môđun hữu hạn sinh đẳng chiều M (nghĩa dim M = dim A/p với phần tử p cực tiểu Supp(M)) Quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun nghiên cứu nhiều tác giả, chẳng hạn A Grothendick [7] khẳng định CM(M) tập mở Spec(A) A vành hoàn hảo (excellent ring) Trong [13], C Rotthaus-L Sega nghiên cứu quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun phân bậc vành Noether phân bậc A = i∈N Ai xét A0 −môđun Trong [8], R Hartshorne CM(A) tập mở A có phức đối ngẫu Tiếp đến, M.T Dibaei [3, Hệ 2.3] CM(A) tập mở A vành địa phương với tất thớ hình thức Cohen-Macaulay thỏa mãn điều kiện Serre (S2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mặt khác, R Sharp-P Schenzel [18, Ví dụ 4.4] M môđun Cohen-Macaulay phức Cousin CA (M) dãy khớp Vì CM(M) = Spec(A) \ ∪i≥−1 SuppA (H i (CA (M))), đó H i (CA (M)) ký hiệu môđun đối đồng điều thứ i phức Cousin CA (M) Từ suy CM(M) tập mở mà phức Cousin CA (M) có mơđun đối đồng điều hữu hạn sinh A Các tác giả [4] môđun H i (CA (M)) hữu hạn sinh A M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương (tức là, tồn phần tử x ∈ A \ ∪p∈MinA (M) p cho xHmi (M) = với i < dimA (M) iđêan cực đại m A) Gần đây, năm 2011, M.T Dibaei-R Jafari [5] tiếp tục nghiên cứu tính mở quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun hữu hạn sinh M vành địa phương Noether (A, m) Trong mối quan hệ này, họ nghiên cứu số vành có thớ hình thức (trên số iđêan nguyên tố đặc biệt) Cohen-Macaulay Mục đích luận văn trình bày chi tiết lại nghiên cứu M.T DibaeiR Jafari năm 2011 vừa nêu Nói cách khác, uận văn trình bày chi tiết lại chứng minh báo [5] M.T Dibaei and R Jafari, Cohen-Macaulay Loci of Modules, Commutative Algebra, 39 (2011), 3681-3697 Bên cạnh để việc trình bày có hệ thống rõ ràng hơn, luận văn bổ sung số kiến thức từ báo khác, chẳng hạn T Kawasaki [9], C Zhou [19], Luận văn chia làm chương Chương trình bày kiến thức sở để chứng minh kết luận văn Chương mơ tả tập iđêan nguyên tố gắn kết AttA (Him (M)) môđun đối đồng điều địa phương thứ i M vành địa phương (A, m) điều kiện phức Cousin C (M) M hữu hạn (Định lý 2.3.3 Hệ 2.3.6) Chương trình bày quỹ tích Cohen-Macaulay M Bổ đề 3.2.3 để nghiên cứu tính mở CM(M) trường hợp A/(0 :A M) catenary cần xét với giả thiết M đẳng chiều Hơn nữa, đặc trưng vành Cohen-Macaulay suy rộng liên quan đến linh hóa tử đối đồng điều địa phương Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ đưa (Hệ 3.3.9) Vì quỹ tích khơng Cohen-Macaulay M đóng tập phần tử tối tiểu hữu hạn, nên số giả thiết trung gian chứng minh Min(non-CM(M)) tập tập i i≤dim M AttA (Hm (M)) ∪ non-CM(A) (Định lý 3.3.10) Như hệ ta suy quỹ tích Cohen-Macaulay mơđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương (A, m) tập mở Spec(A) A catenary CM(A) tập hữu hạn (Hệ 3.3.11) Chương chứng minh M có linh hóa tử đối đồng điều địa phương M đẳng chiều thớ hình thức phần tử tối tiểu SuppA (M) CohenMacaulay Kết ta có Hệ 4.1.3 nói điều kiện tương đương với vành catenary phổ dụng thớ hình thức Cohen-Macaulay Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo của: Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD-ĐT Thái Nguyên, Ban Giám hiệu Tổ Toán Tin - Trường THPT Lê Hồng Phong (Phổ Yên-Thái Nguyên) tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt khóa học Thái Ngun, ngày tháng năm 2014 TÁC GIẢ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhằm đưa số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ thống kiến thức thực cần thiết phục vụ cho chứng minh kết chương sau Chương ta giả thiết A vành giao hốn có đơn vị 1.1 Tập iđêan ngun tố liên kết tập giá mơđun Kí hiệu 1.1.1 Cho M A−mơđun Linh hóa tử M, ký hiệu annA (M) (0 :A M), tập hợp {a ∈ A | aM = 0} (nó iđêan A) Cho x ∈ M, ta gọi linh hóa tử x, kí hiệu annA (x) hay (0 :A x), iđêan annA (Ax) Định nghĩa 1.1.2 (Iđêan nguyên tố liên kết) Cho M A−môđun p ∈ Spec(A) Ta nói p iđêan nguyên tố liên kết M tồn = x ∈ M cho p = annA (x) Hơn nữa, tập tất iđêan nguyên tố liên kết A−môđun M ký hiệu AssA (M) Ass(M) Nhận xét 1.1.3 Cho M A−môđun p ∈Spec(A) Khi đó, p ∈AssA (M) tồn môđun N M cho A/p ∼ = N Nếu giả thiết thêm A vành Noether M A−mơđun khác Khi phần tử tối đại tập Σ = {annA (x) | = x ∈ M} nằm tập AssA (M) Đặc biệt, ta suy M = AssA (M) = / Định nghĩa 1.1.4 (Giá môđun) Cho M R−môđun Ta gọi tập hợp SuppA (M) = {p ∈ Spec(A) | Mp = 0} tập giá M Ta kí hiệu MinA (M) tập tất phần Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tử tối tiểu tập Supp(M) Mệnh đề 1.1.5 Cho A vành Noether 0→N→M→P→0 dãy khớp ngắn A−mơđun Khi ta có phát biểu i) AssA (N) ⊆ AssA (M) ⊆ AssA (N) ∪ AssA (P) ii) SuppA (M) = SuppA (N) ∪ SuppA (P) Mệnh đề 1.1.6 Cho A vành Noether M A−môđun hữu hạn sinh khác Khi tồn dãy mơđun M dạng = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mn = M có pi ∈ Spec(A) cho Mi /Mi−1 ∼ = A/pi với i = 1, · · · , n Mệnh đề 1.1.7 Cho A vành Noether M A−mơđun Khi ta có i) MinA (M) ⊆ AssA (M) ⊆ SuppA (M) ii) Nếu M môđun hữu hạn sinh A |AssA (M)| < ∞ 1.2 Chiều độ cao Định nghĩa 1.2.1 (Chiều vành môđun) Cho A vành giao hoán, dãy giảm thực iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · pn vành A gọi xích ngun tố có độ dài n Cận độ dài tất xích nguyên tố A gọi chiều Krull A, hay chiều vành A, ký hiệu dim A Giả sử M A−mơđun Khi đó, chiều M, ký hiệu dim M xác định dim M = dim(A/ ann(M)) Định nghĩa 1.2.2 (Độ cao iđêan) Cho A vành giao hoán p iđêan nguyên tố A Chiều dài lớn dãy giảm thức iđêan nguyên tố p = p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pr xuất phát từ p, gọi độ cao p, ký hiệu ht(p) Cho I iđêan A Độ cao I, ký hiệu ht(I), cho ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ V(I)} V(I) tập iđêan nguyên tố A chứa I Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... thức CM(M) = {p ∈ Spec(A) | Mp Ap −mơđun Cohen- Macaulay} Ta dễ thấy quỹ tích Cohen- Macaulay môđun Cohen- Macaulay Spec(A), môđun Cohen- Macaulay suy rộng M vành địa phương (A, m) chứa tập Spec(A)... 4.4] M môđun Cohen- Macaulay phức Cousin CA (M) dãy khớp Vì CM(M) = Spec(A) ∪i≥−1 SuppA (H i (CA (M))), đó H i (CA (M)) ký hiệu môđun đối đồng điều thứ i phức Cousin CA (M) Từ suy CM(M) tập... Min(non-CM(M)) tập tập i i≤dim M AttA (Hm (M)) ∪ non-CM(A) ( ịnh lý 3.3.10) Như hệ ta suy quỹ tích Cohen- Macaulay mơđun hữu hạn sinh vành Noether địa phương (A, m) tập mở Spec(A) A catenary CM(A)