Nghiệm kì dị tại một điểm cho phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÝ ĐỨC VÂN NGHIỆM KÌ DỊ TẠI MỘT ĐIỂM CHO PHƢƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên, Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LÝ ĐỨC VÂN NGHIỆM KÌ DỊ TẠI MỘT ĐIỂM CHO PHƢƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí Thái Nguyên, Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn2 MỤC LỤC Trang Một số ký hiệu Mở đầu Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Đạo hàm yếu 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Không gian phụ thuộc thời gian 1.2 Một số bất đẳng thức 1.2.1 Một dạng biến thiên bất đẳng thức Cauchy 1.2.2 Bất đẳng thức Holder 1.2.3 Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp 1.2.4 Bất đẳng thức Gronwall 1.2.5 Bất đẳng thức Sobolev 10 1.3 Phương trình Stokes 10 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Tính chất 11 1.4 11 Tốn tử Stokes 1.4.1 Định nghĩa 11 1.4.2 Tính chất 11 1.5 Phương trình Navier – Stokes Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn3 Chƣơng Nghiệm kì dị điểm cho phƣơng trình Navier – Stokes 2.1 Nghiệm tường minh cho dịng chảy nhớt 16 2.2 Nghiệm kì dị cho dịng chảy không nhớt 23 Kết luận 29 Tài liệu tham khảo 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn4 MỘT SỐ KÝ HIỆU      ,   : Tập số thực   0,   : Tập số thực không âm : Không gian véc tơ tuyến tính thực n chiều với ký hiệu tích vơ hướng chuẩn véc tơ || || n  C a,b, n  : tập tất hàm liên tục a,b nhận giá trị  C  U   u : U  n : u liên tục}  C  U   u  C  U  : u liên tục đều}  Ck  U   u : U  : u liên tục khả vi k lần}  Ck  U   u  Ck  U : D u liên tục với   k } Nếu u  Ck  U  D u thác triển liên tục tới U với đa số ,   k  L2 a,b, m m  : tập hàm khả tích bậc hai a,b lấy giá trị  C  U   u : U  : u khả vi vô hạn}   k 0 Ck  U  , C  U    k 0 Ck  U   Cc  U  ,Cck  U  , , ký hiệu hàm C  U  , Ck  U  , , với giá compact  Lp  U   u : U  : u đo Lebesgue, u Lp  U    } p u L U p   p    u dx  , 1  p    U  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn5  L  U   u : U  Trong u L  U   Lploc  U   u : U  : u đo Lebesgue, u   } L  U   esssup u U : u  Lp  V  với V  U }  Hk  U  , Wpk  U   k  1,2,3,  ký hiệu khơng gian Sobolev Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn6 MỞ ĐẦU Nghiệm ổn định hay tự đồng dạng với tính phù hợp đóng vai trị cốt yếu lí thuyết quy tốn phi tuyến, chúng có ý nghĩa vật lí hình học thú vị Điều chứng tỏ lí thuyết quy hàm điều hịa mặt cực tiểu Định lí quy địa phương [CKN] không tồn nghiệm tự đồng dạng với lượng địa phương nhỏ (có thể xem [TX] cho trường hợp tổng quát) Sử dụng kết [NRS], Tsai tồn nghiệm tự đồng dạng với lượng địa phương hữu hạn Tuy nhiên, câu hỏi cần trả lời liệu nghiệm phương trình Navier – Stokes khơng gian chiều sinh điểm kì dị thời gian hữu hạn hay khơng? Do việc xây dựng nghiệm đặc biệt phương trình Navier – Stokes chiều đáng quan tâm Chính vậy, tơi chọn đề tài “Nghiệm kì dị điểm cho phương trình Navier – Stokes” Nội dung Luận văn trình bày số kết nghiên cứu nghiệm kì dị điểm cho phương trình Navier – Stokes Gang Tian Zhouping Xin Qua đây, xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí, người tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khố hoc; xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp bạn lớp cao học Tốn K18B ln quan tâm, động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 01 tháng năm 2012 Tác giả Lý Đức Vân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn7 Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương giới thiệu sơ không gian Sobolev, số bất đẳng thức bản, phương trình Stokes, tốn tử Stokes, phương trình Navier – Stokes 1.1 Khơng gian Sobolev Trong phần tơi trình bày số khái niệm kết liên quan đến không gian Sobolev, phần chứng minh chi tiết xem [RA] 1.1.1 Đạo hàm yếu Định nghĩa 1.1.1 Giả sử u, v  L1loc  U   đa số Ta nói v đạo hàm yếu cấp  u  uD dx   1  vdx  U  U với hàm thử  Cc  U  Ký hiệu D u  v Bổ đề 1.1.2 (Tính đạo hàm yếu) Một đạo hàm yếu cấp  u tồn xác định cách (sai khác tập có độ đo không) 1.1.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.3 Cố định  p   cho k số nguyên không âm Không gian Sobolev Wpk  U  tập tất hàm khả tổng địa phương u : U  cho với đa số ,   k , đạo hàm yếu D u tồn thuộc Lp  U  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn8 Chú ý 1.1.4 Nếu p  ta có Hk  U   W2k  U   k  1,2,3,  không gian Hilbert Chú ý H0  U   L2  U  Định nghĩa 1.1.5 Nếu u  Wpk  U  , ta định nghĩa chuẩn p u Và u Wpk Wpk   p :    D u dx  ,   k   U  1  p    :  ess sup D u ,  p     k U Định nghĩa 1.1.6 Bao đóng Cc  U  H k  U  ký hiệu H0k  U  Như vậy, ta coi H0k  U  tập hàm u  H k  U  cho D u  U với   k  Chúng ta ký hiệu u  u L2    Chuẩn Dirichlet u L2     n 2     Di u dx  ký hiệu u   i1  1.1.3 Không gian phụ thuộc thời gian Định nghĩa 1.1.7 Không gian Lp  0,T;X  gồm tất hàm đo u : 0,T   X với u u p   p :  u t dt       với  p   ,  L  0,T;X  X 0  T p L  0,T;X  : ess sup u  t  0 t T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên X  http://www.lrc-tnu.edu.vn9 Định nghĩa 1.1.8 Không gian Lp  0,T;Lq  gồm tất hàm đo u : 0,T   Lq T với u Lp 0,T;Lq :   u  t, x    0 u  L 0,T;Lq p    T  q    , 1 p   dt  u t, x dx dt      q   L        0   p p p q u t  L     : ess 0sup    t T q Định nghĩa 1.1.9 Không gian C 0,T ;X  gồm tất hàm liên tục u : 0,T   X với u C0,T;X : max u  t  0 t T X  Định lý 1.1.10 Cho u  Wp1  0,T;X  với  p   Khi u  C 0,T ;X  t u  t   u  s    u   d s với  s  t  T Hơn nữa, max u  t   C u 0 t T W 0,T;X  , số C phụ thuộc vào T Định lý 1.1.11 Giả sử u  L2  0,T;H10  U   , với u  L2  0,T;H1  U   (i) Khi u  C 0,T;L2  U   (ii) Ánh xạ t ut d ut dt L2  U  L2  U  (iii) Hơn nữa, max u  t  0 t  T liên tục tuyệt đối, với   u  t  ,u  t  ,  t  T h.k.n L2  U   C u  L2 0,T;H10  U  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên    u L 0,T;H 1  U  , http://www.lrc-tnu.edu.vn10 16 Chƣơng NGHIỆM KÌ DỊ TẠI MỘT ĐIỂM CHO PHƢƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Trong chương này, xây dựng họ tham số nghiệm trơn tường minh phương trình Navier – Stokes chiều \ p , với p điểm cho trước Những nghiệm đối xứng theo trục, bậc -1 Chúng nghiệm ổn định tự đồng dạng phương trình Navier – Stokes Các nghiệm lớp dịng chảy đối xứng theo trục Chúng cung cấp ansatz vơ cực cho nghiệm kì dị phương trình Navier – Stokes tốn bên ngồi cho phương trình Navier – Stokes dừng chiều Cấu trúc nghiệm mục Độc giả xem [CP], [GK] cho tốn có liên quan Cần lưu ý rằng, với tham số đặc biệt, nghiệm trở thành nghiệm biết phản lực lên từ nguồn điểm ([LL]) Tuy nhiên, cách tiếp cận ta tổng quát cho tính nghiệm áp dụng cho chất lỏng lí tưởng Trong phần 2.2, ta phương trình Euler chiều khơng có nghiệm kiểu Thay lớp nghiệm đối xứng theo trục với bậc -1 tốn cho hệ vơ hình 2.1 Nghiệm tƣờng minh cho dòng chảy nhớt Trong mục này, ta công thức tường minh cho họ tham số nghiệm kì dị phương trình Navier – Stokes chiều, chúng ổn định, đối xứng quanh trục, bậc -1 quy hầu khắp nơi ngoại trừ điểm cho trước (nghiệm kì dị điểm) Hơn nữa, ta chứng minh cơng thức nghiệm sinh tất nghiệm kì dị điểm có dịng chảy nhớt đối xứng quanh trục Chính xác hơn, trình bày định lí sau: Định lí 2.1.1 Tất nghiệm kì dị điểm phương trình Navier-Stokes chiều kì dị  x10 , x 02 , x 30  đối xứng quanh trục x1, cho cơng thức sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn18 17    cr  r x  x  c x  x x  x c x  x  r  1   1  , 2  1  , u  x   2 2  r cr   x1  x10  r cr   x1  x10    x  x 30  c  x1  x10   r   r cr   x1  x10      px      , r  cr   x  x   c  x1  x10   r với r   x  (2.1) (2.2) 0  x1    x  x    x  x  , c số thỏa 2 mãn c  (2.3) Chứng minh Dựa vào tính bất biến phép tịnh tiến phương trình Navier – Stokes, ta giả sử điểm kì dị gốc tọa độ x   x10 , x 02 , x 30    0,0,0  Ta kí hiệu r  x12  x 22  x 32  x , s  x1 r (2.4) Cơng việc tìm nghiệm phương trình Navier-Stokes 3D dạng sau: 1 x x x x  u  x    u1  x  ,u  x  ,u  x     f  s  , g  s   k  s  , g s   k s   , r r r r r  (2.5) px  h s  , r2 (2.6) với f (s), g(s), k(s), h(s) hàm khả vi liên tục cấp bị chặn đoạn [-1,1], để từ (2.5) – (2.6) ta giải nghiệm hầu khắp nơi ngoại trừ r = Điều dẫn đến hệ phương trình vi phân thường cấp (f (s), g(s), k(s), h(s)) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn19 18 Tính tốn trực tiếp, ta có:   x x 1  u1   sf  s   1  s  f   s  ,  32  f  s   sf   s   ,  33  f  s   sf   s    , r r r  (2.7) u.u1    sf  s   1  s  f  s  f   s   1  s  gf  s 1  s  gf  , r u1  1   s  f  ,  r p    x  x  s  h ,   2h  sh  ,   2h  sh   ,   r  r r  Trong f   (2.8) (2.9) (2.10) d  f s , ds Thành phần định luật bảo toàn động lượng tương đương với   t 1  s  f   1  s  h  sf  1  s  ff   1  s  gf  s 1  s  gf       (2.11) Tiếp theo, tính tốn ta có: u.u  x2  2sgf  1  s  gf   2s  1 g  s 1  s  gg  k   r4 x  43  2skf  1  s  kf  2s 2kg  s 1  s  gk , r u  x2   x   2    s g   s k       r4  r4  (2.12) (2.13) Từ (2.10), (2.12) (2.13), ta có thành phần thứ hai định luật bảo tồn động lượng phương trình Navier – Stokes tương đương với hệ sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn20 19 1  s  g   2sfg  1  s  gf   2s  1 g 2  s 1  s  gg  2h  sh  k  0, (2.14) 1  s  k   2skf  1  s  kf  2s kg  s 1  s  gk  2 2 (2.15) Do tính đối xứng, rõ ràng hệ (2.14) – (2.15) tương đương với thành phần thứ định luật bảo tồn động lượng phương trình Navier – Stokes Cuối cùng, dễ dàng kiểm tra phương trình liên tục div u  trở thành 1  s  f   sf  s 1  s  g  2s g  2 (2.16) Do đó, để chứng minh Định lí 1, ta cần nghiên cứu tất nghiệm khơng quy (f,g,h,k)(s) hệ phương trình vi phân thường (2.11) (2.14) – (2.16) Để đạt mục đích, ta biến đổi hệ thành hệ khả tích đơn giản theo bước sau: Bước Nhân (2.14) với s trừ vế với vế (2.11), ta có:  h  sf  1  s  g   sk 2  g  f  sg  , (2.17) Ta đặt h  H  sF  G, f  F  sG, g  G, k  K (2.18) Khi (2.17), (2.16) (2.14) – (2.15) biến đổi tương ứng H  sK  GF, (2.19) 1  s  F  sF  G, 1  s  G   2s  FG   1  s  GF  G 2 (2.20)  2G  sG  2sF  s  sF   2H  sH  K  0, (2.21) 1  s  K   2s  KG   s  1 KF  2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.22) http://www.lrc-tnu.edu.vn21 20 Sử dụng lặp lại phương trình (2.19) – (2.20) ta giản lược (2.21) (2.22) thành 1  s   G  H  sF  s s  1 K   s  1 K 2 2  0, 1  s  K   s  1 KF  sF  G  K  0, 2 (2.23) (2.24) Bây tiến hành giải hệ (2.19) – (2.20) (2.23) – (2.24) Bước Ta (f, g, h, k)(s) nghiệm quy C ([−1, 1]) (2.11) (2.14) – (2.16), đó: K  s   0, s  1,1 (2.25) Thật vậy, (f, g, h, k) ∈ C2([−1, 1]) nghiệm (2.11) (2.14) – (2.16) thì(F, G, H, K) ∈ C2([−1, 1]) nghiệm (2.19) – (2.20) (2.23) – (2.25) Từ (2.24) (2.20), ta có 1  s  K   1  s  K  F  1  s  KF  2 (2.26) Đặt   s   1  s2  K  s  Khi   s  nghiệm   s     s  F  s   0,   1   1  (2.27) Tuy nhiên, toán (2.27) cho ta nghiệm trơn nghiệm tầm thường Do   s   , từ K  s   Do ta phải giải hệ sau: H  GF, (2.28) 1  s  F  sF  G, (2.29) 1  s   G  H  sF  (2.30) 2 Bước Ta tích hợp (2.28) – (2.30) Nhân (2.29) với F sử dụng (2.28), ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn22 21   2  H  s   1  s  F  s      Do đó, tồn số C1 cho: H s  1  s  F2  s   C1  (2.31) Từ (2.30), cho ta thấy tồn số C2 C3 cho: 1  s   G  H  sF  C 2  C3s, s   1,1 (2.32) Do (G, H, F ) ∈ C2([−1, 1]) nên C2 = C3 = 0, từ đó: G  s   H  s   sF  s  , s  1,1 (2.33) Cuối cùng, từ (2.29), (2.33) (2.31) suy ra: 1  s  F s   12 1  s  F s   C , 2 s   1,1 (2.34) Do F ∈ C2([−1, 1]), nên từ (2.14) ta có C1 = 0, đó: H s   1  s  F2  s   0, s   1,1,  (2.35) F  s   F2  s  , s   1,1 (2.36) Tích hợp phương trình (2.36) ta được: Fs   , s   1,1, Cs (2.37) với C số Kết hợp (2.37) với (2.35), ta có: H s    s  1 C  s , s   1,1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.38) http://www.lrc-tnu.edu.vn23 22 kết hợp với (2.33), ta lại có: G s    Cs  1 C  s , s   1,1 (2.39) Trở lại biến ban đầu (f, g, h, k) (2.18), ta có: f s   g s   h s    C  2s  Cs  , C  s 2  Cs  1 C  s  Cs  1 C  s (2.40) , (2.41) , (2.42) k  s   0, (2.43) nghiệm quy C  (2.44) Từ đó, cơng thức (2.1) – (2.3) suy từ (2.5) – (2.6) (2.40) – (2.44) Định lí chứng minh Chúng ta kết thúc mục với việc phương pháp trước cho ta tất nghiệm tự đồng dạng kì dị điểm phương trình Navier – Stokes chiều, chúng đối xứng bậc -1 Thật vậy, nghiệm tự đồng dạng phương trình Navier – Stokes có dạng (xem [Le], [NRS], [Ts])  U  x, t  ,P  x, t    x  x   x  x   1 0 ,  ,  u p  2a  T  t   2a  T  t   2a  T  t   2a  T  t         (2.45) với T  , x0  điểm cố định, a > (a < 0) t < T (t > T) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn24 23 u   u1,u ,u  p nằm x x  x0 2a  T  t  Ta đặt: biến tự đồng dạng (2.46) Khi phương trình dẫn xuất  u,p  x  là: a  u   x.  u    u.  u  p  u (2.47) , div u  (2.48) Dễ dàng kiểm tra rằng, đòi hỏi dòng chảy tự đồng dạng đồng bậc -1 đối xứng theo trục (với trục x1 trục đối xứng) với điểm kì dị gốc tọa độ,  u,p  x  cho công thức (2.5) – (2.6) với (f, g, h, k) cho (2.40) – (2.43) Như ta chứng minh Định lí sau: Định lí 2.1.2 Nghiệm tự đồng dạng phương trình Navier – Stokes đối xứng theo trục x1 đồng bậc -1 với điểm kì dị  , x20 , x30  , cho công thức sau: x0   x10  cr  r  x  x   c  x  x 2  x  x   c  x  x   r  20 10 10 10 u  x, t    , , 2      cr  x  x r cr  x  x r         10 10   x3  x30   c  x1  x10   r   ,  cr   x1  x10   r     r  c  x1  x10 p  x, t   ,   r  cr   x1  x10       x2  x20    x3  x30  , c số bất Với r  x  x0   x1  x10 kỳ thoả mãn |c|>1 2 2.2 Nghiệm kì dị cho dịng chảy khơng nhớt Bây xét nghiệm ổn định, đối xứng theo trục, bậc -1 phương trình Euler chiều:  t u   u.  u  p  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  n , (2.49) http://www.lrc-tnu.edu.vn25 24 div u  (2.50) Chúng ta rằng, trái ngược với dịng chảy nhớt, phương trình Euler khơng nhớt khơng có nghiệm khơng tầm thường ổn định đối xứng theo trục, bậc -1, quy hầu khắp nơi ngoại trừ điểm Hơn nữa, ta rằng, với phương trình Euler khơng nhớt, (2.49) – (2.50), tất nghiệm ổn định đối xứng theo trục không tầm thường, bậc -1 kì dị khắp nơi dọc theo trục đối xứng Ta có định lí sau: Định lí 2.2.1 Xét nghiệm ổn định, bậc -1, đối xứng qua trục phương trình Euler chiều (2.49) – (2.50), đó: Khơng tồn nghiệm khơng tầm thường quy (C2) khắp nơi trừ điểm, trừ nghiệm tầm thường; Tất nghiệm kì dị dọc theo trục đối xứng, cho công thức sau: 1 x x C x x C  u  x    F  s   sG  s  , G  s   , G  s   2  , (2.51) r r r 1 s r r 1 s  px  với s  C3  C2s , r  s2 (2.52) x1 , r  x12  x 22  x 32 , r F  s    C4  rs    C12  2C3  2C2s  / 1  s  ,  (2.53)   G  s   sF  s   1  s  F  s  , với C1, C2, C3 C4 số thỏa mãn: C  C12  2C3   2C2s  C4s  0,s   1,1, (2.54) giả sử trục x1 trục đối xứng Tất nghiệm khả tích gần trục đối xứng, cho bởi: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn26 25  C  ux   ,0,0  , x   x2  x2    (2.55) , p  x   (2.56) Chứng minh Như mục 2.1, tất nghiệm ổn định phương trình Euler (2.49) – (2.50) đối xứng quanh trục x1 bậc 1, viết dạng (2.5) – (2.6) với f, g, h, k xác định Sử dụng (2.5) – (2.6) vào (2.49) – (2.50), tương tự phương trình (2.1), (2.14) – (2.16), ta có: 1  s  h   1  s  ff   s 1  s  gf   1  s  fg  sf 2 2 1  s  fg  s 1  s  gg  2sfg   2s 2 2  0,  1 g  2h  sh  k  0, (2.57) (2.58) 1  s  f   s 1  s  g  sf  2s g  0, (2.59) 2sfk  1  s2  fk  2s2kg  s 1  s  gk  (2.60) 2 Để giải (2.57) – (2.60), ta đặt: F  s   f  s   sg s  , G s   g s  , H s   h s  , K s   k s  (2.61) Biến đổi (2.57) – (2.60), ta được: H  sK  GF, (2.62) 1  s  F  sF  G, (2.63) 1  s   FG   4sFG  2H  1  s  K , (2.64) 1  s  K  F  0, (2.65) 2 2 Tương tự (2.19) – (2.22), hệ (2.62) – (2.65) giải qua bước sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn27 26 Bước Ta ra: K s   C1  s2 s   1,1 , (2.66) với số C1 Điều suy từ: 1  s  K s   0, s   1,1 (2.67) (2.67) kiểm tra sau: Nếu (2.67) sai, tồn đoạn [a, b] ⊂ (−1, 1) cho 1  s  K s   0, s  a,b  (2.68) Điều kết hợp với (2.65), ta có: F  s   với s ∈ [a, b] Do đó, G  s   [a, b] theo (2.63) Khi đó, phương trình (2.62) (2.64) trở thành H  s   sK  s  , s a,b, (2.69) 2H  s   1  s2  K  s   (2.70) Từ (2.69) (2.70) suy ra: 1  s  H s   0, s  a,b  Do 1  s2  H  s   C0 [a, b], với C0 số Kết hợp với (2.69) ta có: 1  s  K s   Từ 2C0 , s  a,b, 1  s  K s   0, s  a,b  Điều mâu thuẫn với (2.68) Do ta có (2.67) đúng, từ có (2.66) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn28 27 Bước Tồn số C2 C3 cho: H s  C3  C2s , s   1,1 1  s2  (2.71) Thật vậy, ta viết lại (2.64), sử dụng (2.62), ta có: 1  s  Hs   4sHs   2H s   2s s 2  1 K  s  K s   4s 2K s  (-1,1) (2.72) 2s  s2  1 K  s  K  s   4s 2K  s   (-1,1) Từ (2.66), ta có: Do (2.72) trở thành: 1  s2  H  s   (-1,1).Điều dẫn đến (2.71) Bước Ta biểu thức tường minh F(s) G(s) Thật vậy, nhân (2.63) với F(s) sử dụng (2.62), ta có: 1  2  s F s  H s       sK  s  (-1,1)    2  (2.73) Điều kết hợp với (2.66) (2.71), ta có: 1  s  F s   C 1  s   C 2  2C3  2C2s  (-1,1), với C4 số Do điều kiện sau thoả mãn C4 1  s2    C12  2C3  2C2s   [-1,1 ] (2.74) ta có công thức cho F(s) sau: Fs    C4 1  s    C12  2C3  2C2s   s2 , s   1,1 (2.75) Từ (2.63), ta có cơng thức cho G(s):  G  s   sF   s  1 F   s  1 F  s   sF  s  (-1,1)   (2.76) Sử dụng (2.75), ta có: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn29 28 G s     s C4 1  s    C12  2C3  2Cs   s  1 C 4s  C C4 1  s    C  2C3  2C2s  2 với s ∈ (−1, 1) (2.77) , Ta kết thúc chứng minh Định lí từ (2.74), (2.76), (2.66), (2.67) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn30 29 KẾT LUẬN Luận văn trình bày nghiệm tường minh cho phương trình Navier – Stokes \ p , với p điểm Qua giới thiệu số kết sau: Trình bày cấu trúc nghiệm kì dị điểm phương trình Navier – Stokes; Trình bày cấu trúc nghiệm tự đồng dạng phương trình Navier – Stokes; Trình bày cấu trúc nghiệm ổn định, bậc -1, đối xứng quanh trục phương trình Euler Chắc chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Cuối cùng, lần tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí, người tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn31 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [GZ] G Tian and Z Xin, One – point singular solutions to the Navier – Stokes, Topological Methods in Nonlinear Analysis, Volume 11, (1998), 135 – 145 [TX] G Tian and Z Xin, Gradient estimation on Navier – Stokes equation, Comm Anal Geom (1998) (to appear) [CKN] L Caffarelli, R Kohn and L Nirenberg, Partial regularity of suitable weak solution of the Navier – Stokes equations, Comm Pure Appl Math 35 (1982), 771 – 837 [CP] M Cannone and F Planchon, Self – similar solutions for Navier – Stokes Equations in R3, Comm Patial Differential Equations 21 (1991), 179 – 193 [GK] Y Giga and R Kohn, Characterizing blowup using similarity variables, Indiana Univ Mathematical J 36 (1987), – 40 [La] O Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, 2nd ed., 1969 [LL] L Landau and E Lifschitz, Fluid Mechanics, Addisson – Wesley, New York, 1953 [Le] J Leray, Sur le mouvement d’un liquide visquese emplissant l’espace, Acta Math 63 (1994), 193 – 248 [NRS] J Necăs, M Ruzicka and V Sverak, On self – similar solutions of the Navier – Stokes equations, IMA preprint, 1995 [RA] R A Adams, Sobolev Spaces, Academic Press, 1975 [CF] P Constantin and C Foias, Navier – Stokes equations, the University of Chicago Press, 1998 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn32 ... Chính vậy, tơi chọn đề tài ? ?Nghiệm kì dị điểm cho phương trình Navier – Stokes? ?? Nội dung Luận văn trình bày số kết nghiên cứu nghiệm kì dị điểm cho phương trình Navier – Stokes Gang Tian Zhouping... Chƣơng NGHIỆM KÌ DỊ TẠI MỘT ĐIỂM CHO PHƢƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Trong chương này, xây dựng họ tham số nghiệm trơn tường minh phương trình Navier – Stokes chiều p , với p điểm cho trước Những nghiệm. .. Luận văn trình bày nghiệm tường minh cho phương trình Navier – Stokes p , với p điểm Qua giới thiệu số kết sau: Trình bày cấu trúc nghiệm kì dị điểm phương trình Navier – Stokes; Trình bày