Hàm đa điều hòa dưới với kỳ dị yếu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ D YU Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học THÁI NGUN - 2014 Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI K D YU Chuyên ngành: TON giải tích Mà số: 60.46.01.02 Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán học Ngi hướng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤ë❝ ❧➟♣ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tæ✐✳ ❈→❝ sè ❧✐➺✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤➼♥❤ ①→❝✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ❧í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ♠æ♥ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹ ❍å❝ ✈✐➯♥ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤ ✐ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ▼ư❝ ❧ư❝ ▼Ð ✣❺❯ ỵ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶ ✶ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✷✳✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✷✳✷✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✹✳ ❇è ❝ö❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✻ ✶✳✶ ❍➔♠ ✤❛ ỏ ữợ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✷ ❚♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ s s→♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ỏ ữợ ợ ✻ ✶✽ ✷✳✶ ❈→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ợ ữủ õ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ìợ ữủ ữủ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽ ✷✳✹ ▼✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ✳ ✳ ✸✶ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✸✼ ✸✽ ✐✐ Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ é ỵ t ỵ tt t ♠ët ♥❤→♥❤ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ tr♦♥❣ ✈á♥❣ ✸✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✳ t q q trồ ỵ tt ữủ t tứ trữợ ỳ t sỹ t tr ỵ tt ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✈✐➺❝ t➻♠ t❤➜② ♥❤ú♥❣ ù♥❣ ❞ư♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ❝õ❛ t♦→♥ ❤å❝ ♥❤÷ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤②♣❡r❜♦❧✐❝✱ ❍➻♥❤ ❤å❝ ✈✐ ♣❤➙♥ ♣❤ù❝✱✳ ✳ ✳ ❝❤➾ t❤ü❝ sü ♠↕♥❤ ♠➩ s❛✉ ❦❤✐ ❊✳ ❇❡r❢♦❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r ♥➠♠ ✶✾✽✷✱ ①➙② ❞ü♥❣ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ữỡ ữ r ♥✐➺♠ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ♠ët t➟♣ ❇♦r❡❧ tr♦♥❣ ♠ët t➟♣ ♠ð ❝õ❛ Cn ✳ ❚❛ ❜✐➳t r➡♥❣ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ự ữủ ợ F() ữ ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ②➳✉ ❝õ❛ ❞➣② ✤ë ✤♦ (ddc ϕj )n ✱ tr♦♥❣ ✤â (ϕj ) ❧➔ ❞➣② ❣✐↔♠ tò② ỵ ỏ ữợ tở ợ E0 (Ω) ❤ë✐ tư ✤➳♥ ϕ✳ ▼ð rë♥❣ ❧ỵ♣ ♥➔②✱ ♥➠♠ r ữ r ợ E() tr ♠é✐ ❝♦♠♣❛❝t ω ⊂ Ω✱ ♥â trị♥❣ ✈ỵ✐ ♠ët ❤➔♠ tr♦♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω)✳ ●➛♥ ✤➙② ✤➸ ♠ð rë♥❣ ❧ỵ♣ F(Ω) ✭♥➠♠ ✷✵✵✾✮ ✈➔ ❧ỵ♣ Ep (Ω) ✭♥➠♠ ✷✵✶✶✮✱ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐ ữ r ợ ữủ ự õ trồ E () ữợ ự ú tổ t ỏ ữợ ợ ý ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❣➛♥ ✤➙② ❝õ❛ ❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳❩❡r✐❛❤✐ ✈➲ t♦→♥ tỷ r ự tr s ỗ Cn ✳ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ỏ ữợ ợ ý õ ợ ữủ r õ trồ ỳ qt õ ợ ữủ ợ t r sỹ ợ ổ ữ tt ỏ ữợ ổ ợ ữ t s ữủ ổ t t❤✉➟t ♥❣ú tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ t ự ữợ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✷✳✶✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ợ ý ❝ù✉ ▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ ✈➔♦ ❝→❝ ♥❤✐➺♠ ✈ö ❝❤➼♥❤ s❛✉ ✤➙②✿ ✰ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ữợ t tỷ r r ởt số t q ợ ữủ ❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❚ê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝→❝ ❧ỵ♣ ữủ ợ t r sỹ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ ổ Pữỡ ự ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ❦➳t ủ ợ ữỡ t ữỡ ỵ tt t ự ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙✳❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳●✉❡❞❥ ✈➔ ❆✳③❡r✐❛❤✐✳ ✷ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✹✳ ❇è ❝ö❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ỗ tr tr õ õ ✤➛✉✱ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣✱ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ư❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ t ữợ t tỷ r ỵ s s q õ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ▲➔ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ỏ ữợ ợ ý õ ợ ữủ r õ trồ ỳ qt õ ợ ữủ ợ t ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✈➔ ❝❤♦ sü ♣❤➙♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝õ❛ ỏ ữợ ổ P ✤➛✉ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ✈➔✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧ỵ♣ ❈❡❣r❡❧❧ ε(Ω) ❝→❝ ❤➔♠ ỏ ữợ ợ r ữỡ tr s ỗ Cn ✳ ❚ø ✤â ❝❤♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ t❤❡♦ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ữủ tr ợ () r tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔✿ ◆➳✉ u ∈ DM A(Ω) t❤➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❇♦r❡❧ B ⊂ Ω \ {u = −∞}✱ (ddc u)n = lim (ddc uj )n ✱ ✈ỵ✐ uj := j→∞ B B∩{u>−j} max(u, −j) ❧➔ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ✷✳✷ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ t q ợ ữủ õ trồ E (Ω) ❝â ♥❤✐➲✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ χ(0) = ❤♦➦❝ χ(0) = 0, χ(−∞) = −∞ () = ỗ ó r tr t q ữợ ❧÷đ♥❣ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✹ ✤➣ ❝❤♦ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❧ỵ♣ E p (Ω) t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥✳ ❈ư t❤➸ ❧➔✿ ❱ỵ✐ p > tị② ✸ Số hóa Trung taõm Hoùc lieọu HTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ỵ t õ + p tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞} E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω); ð ✤➙② CapΩ ❦➼ ữủ r ữủ ợ t ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❇✳❆✳ ❚❛②❧♦r✳ E p(Ω) = Eχ(Ω)✱ ✈ỵ✐ χ(t) := −(−t)p✳ ❚r♦♥❣ ♠ö❝ ✷✳✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ tr➯♥ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♥➔②✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ❧➔ ✿ ●✐↔ sû ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ Ω, µ(K) ≤ Fε(CapΩ(K))✱ ð ✤â Fε(x) = x(ε lnn x )n õ tỗ t ♥❤➜t ❤➔♠ ϕ ∈ F(Ω) −1 s❛♦ ❝❤♦ µ = (ddcϕ)n ✈➔ CapΩ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH (s)) ✈ỵ✐ x ♠å✐ s > 0✱ ð ✤â H −1 ❧➔ ❤➔♠ ữủ H(x) = e (t)dt + s0(à) ◆â✐ r✐➯♥❣ ϕ ∈ Eχ(Ω) ✈ỵ✐ −χ(−t) = exp(nH (t)/2)✳ ❑❤✐ µ < CapΩ ✭♥❣❤➽❛ ❧➔ ε ≡ 1✮ t❤➻ µ = (ddc ϕ)n ✈ỵ✐ ϕ ∈ F(Ω) s❛♦ ❝❤♦ CapΩ ({ϕ < −s}) ❣✐↔♠ ♥❤❛♥❤ t❤❡♦ ❝➜♣ ♠ô✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ ❦➳t ❧✉➟♥ tr➻♥❤ ❜➔② tâ♠ t➢t ❦➳t q✉↔ ✤↕t ✤÷đ❝✳ ❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ữợ sỹ ữợ t t P P ❇➡♥❣✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔② tỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ P P sỹ ữợ q ❝ò♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ P❤á♥❣ ❙❛✉ ✣↕✐ ❤å❝✱ ❇❛♥ ❝❤õ ♥❤✐➺♠ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✤➣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧đ✐ ❝❤♦ tỉ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ rữớ P Põ ỗ ũ ỗ t ú ✤ï tỉ✐ ✈➲ ♠å✐ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ♠➦t tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳ ❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻ rt ữủ sỹ õ õ ỵ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳ ❈✉è✐ ❝ị♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ tỉ✐ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✹ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②➵♥ ◆❣å❝ ⑩♥❤ ✺ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❈→❝ tự ỏ ữợ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ tæ♣æ✱ ❤➔♠ u : X → [−∞, +∞) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ tr➯♥ X ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ R t➟♣ ❤ñ♣ {x ∈ X : u(x) < α} ❧➔ ♠ð tr♦♥❣ X ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ ♥➳✉ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❝õ❛ Cn ✈➔ u : Ω → [−∞, ∞) ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ trị♥❣ ✈ỵ✐ −∞ tr➯♥ ❜➜t ❦ý t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❧✐➯♥ t❤ỉ♥❣ ♥➔♦ ❝õ❛ Ω✳ ❍➔♠ u ✤÷đ❝ ❣å✐ ữợ ợ ộ a Ω ✈➔ b ∈ Cn✱ ❤➔♠ λ → u(a + b) ữợ trũ tr ộ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ t➟♣ ❤ñ♣ {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② t❛ ✈✐➳t u ∈ PSH(Ω)✳ ✭Ð ✤➙② ❦➼ ❤✐➺✉ PSH(Ω) ❧➔ ❧ỵ♣ ỏ ữợ tr ❧➔ ♠ët ✈➔✐ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤♦➔ ữợ u, v PSH() u = v ❤➛✉ ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr♦♥❣ Ω✱ t❤➻ u v ữợ t ỵ ỹ tr tr tù❝ ❧➔ ♥➳✉ Ω ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ♠ð ❧✐➯♥ t❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ Cn ✈➔ u ∈ P SH(Ω)✱ t❤➻ ❤♦➦❝ u ❧➔ ❤➡♥❣ ❤♦➦❝ ✈ỵ✐ ♠é✐ ✻ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❣✐↔ sû u ∈ F(Ω) ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥ {u < t} ❧➔ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ t < 0✱ ❞♦ ✤â t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ❤➔♠ χ s❛♦ ❝❤♦ t → χ (t) = , ✈ỵ✐ ♠å✐ t < (ddc u)n ({u < t}) ❍➔♠ χ ❧➔ t➠♥❣✳ ❍ì♥ ♥ú❛ (ddc u)n ❝â ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ ✭❞÷ì♥❣✮✱ ✈➻ ✈➟② χ (t) ≥ ✳ ❙✉② r❛ χ(−∞) = −∞✳ ▼➦t ❦❤→❝ (ddc u)n (Ω) +∞ (−χ) ◦ u(ddc u)n = χ (−s)(ddc u)n ({u < −s})ds = +∞ Ω ▼➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ ❤➔♠ u ∈ Eχ (Ω)✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r u E () ợ ữ tr➯♥ t❤➻ u ♣❤↔✐ ❜à ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ u ∈ Eχ (Ω) ⊂ Fa (Ω)✱ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ uj := max(u, −j) ❦➨♦ t❤❡♦ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣❡r❡ ❝â trå♥❣✿ ✣à♥❤ ỵ : R R t➠♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ χ(−∞) = ✈➔ χ(0) = 0✳ ❈è ✤à♥❤ u ∈ Eχ(Ω) ✈➔ ✤➦t uj = max(u, −j)✳❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❇♦r❡❧ B ⊂ Ω✱ t❛ ❝â −∞ χ(uj )(ddc uj )n = lim j→+∞ B χ(u)(ddc u)n B ❍ì♥ ♥ú❛✱ ♥➳✉ (uj )j∈N ❧➔ ♠ët ❞➣② ❣✐↔♠ ❜➜t ❦ý tr♦♥❣ Eχ(Ω) ❤ë✐ tư tỵ✐ u s❛♦ ❝❤♦ sup |χ(uj )|(ddcuj )n < +∞ t❤➻ j Ω χ(uj )(ddc uj )n = lim j→+∞ Ω ❈❤ù♥❣ rữợ (u)(ddc u)n t t ự (ddc uj )n ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ (ddc u)n t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ✧✤ë ✤♦ ❇♦r❡❧✧✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ (ddc uj )n (B) → ✷✻ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (ddc u)n (B)✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý t➟♣ ❇♦r❡❧ B ú ỵ r ợ ộ j N ❝è ✤à♥❤ ✈➔ < s < j ✱ t❛ ❝â {u < −s} = {uj < −s}✳ ❚ø ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺ s✉② r❛ (ddc uj )n = (ddc u)n Ω Ω ❉♦ ✤â (ddc uj )n = (ddc uj )n − Ω {u≤−j} (ddc uj )n {u>−j} (ddc u)n − = Ω (ddc u)n = {u>−j} (ddc u)n {u≤−j} ◆❤÷ ✈➟② ♥➳✉ B ⊂ Ω ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧ t❤➻✱ (ddc uj )n − B (ddc u)n (ddc uj )n + ≤ B {u≤−j} (ddc u)n {u≤−j} (ddc u)n → 0, ❦❤✐ j → +∞ ≤ {u≤−j} ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ χ ◦ uj (ddc uj )n ❤ë✐ tử tợ u(ddc u)n t tữỡ tỹ ú ỵ r uj (ddc uj )n = −χ(−j) {u≤−j} (ddc uj )n = {u≤−j} (ddc u)n ≤ −χ(−j) {u≤−j} −χ◦u(ddc u)n {u≤−j} ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♣❤→t ❜✐➸✉ t❤ù ❤❛✐ t❛ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ♥❤÷ tr♦♥❣ ❬●❩❪✳ ú ỵ r t ú ố ợ ỏ ữợ t ỵ tử r r trữớ ủ tờ qt trữợ t t t t : R− → R− t❤ä❛ ♠➣♥ χ ˜ = o(χ) ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ χ− ˜ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ✈ỵ✐ k ∈ N t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ukj := sup{uj , −k}, ✈➔ uk := sup{u, −k} ✷✼ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❈è ✤à♥❤ sè ♥❣✉②➯♥ k ✱ ❞➣② (ukj )j∈N ❜à ❝❤➦♥ ✤➲✉ ✈➔ ❣✐↔♠ tỵ✐ uk ✱ ❞♦ ✤â χ− ˜ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ukj ❤ë✐ tử tợ ữủ uk j → +∞✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ s➩ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ ❝❤➾ r❛ χ− ˜ ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ukj tử tợ ữủ uj t❤❡♦ j ❦❤✐ j → +∞✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✤➙② χ(u ˜ kj )(ddc ukj )n − I(j, k) := Ω ≤ {uj ≤−k} χ(u ˜ j )(ddc uj )n Ω −χ(u ˜ kj )(ddc ukj )n + χ(−k) ˜ χ(−k) χ(−k) ˜ ≤ χ(−k) ≤ {uj ≤−k} {uj ≤−k} −χ(ukj )(ddc uj )n + −χ(uj )(ddc uj )n ≤ 2M −χ(u ˜ j )(ddc ukj )n −χ(uj )(ddc uj )n {uj ≤−k} χ(−k) ˜ , χ(−k) Ω tr♦♥❣ ✤â M := supj −χ(uj )(ddc uj )n < +∞✳ Ω ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ tờ qt ú ỵ r f := (u) ∈ L1 ((ddc u)n ) t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ❑❤✐ õ s r tỗ t t h : R+ → R+ s❛♦ ❝❤♦ lim h(t)/t = +∞ ✈➔ h(f ) ∈ L1 ((ddc u)n ) ✭①❡♠ ❬❘❘❪✮✳ t→+∞ ◆❤÷ ✈➟②✱ u ∈ Eχ1 (Ω)✱ ✈ỵ✐ χ1 (t) := −h(−χ(t)) ✈ỵ✐ t < ✈➔ χ = o(χ1 ) ✈➔ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ ❝õ❛ χ− ♥➠♥❣ ❧÷đ♥❣ s✉② r❛ tø trữớ ủ tr ìợ ữủ ữủ rữớ ủ ✤➦❝ ❜✐➺t ♠➔ ❝❤ó♥❣ t❛ q✉❛♥ t➙♠ ð ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ❧ỵ♣ Eχ (Ω)✱ ð ✤â trå♥❣ χ : R− → R− ❝â ❝➜♣ t➠♥❣ ♥❤❛♥❤ t↕✐ ✈ỉ ❝ị♥❣✳ ✣✐➲✉ ♥➔② r➜t ❤ú✉ ➼❝❤ ✤➸ ❤✐➸✉ ❝→❝ ❧ỵ♣ ♥➔② q✉❛ tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥✳ ữủ r ữủ ợ t ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜ð✐ ❊✳ ❇❡❞❢♦r❞ ✈➔ ❆✳ ❚❛②❧♦ tr♦♥❣ ❬❇❚✶❪✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳✶✳ K ⊂ Ω ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❇♦r❡❧✱ Ω ⊂ Cn ✷✽ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥✳ ❉✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ t➟♣ K ố ợ ữủ (ddc u)n |u ∈ PSH(Ω), −1 ≤ u ≤ CapΩ (K) = sup K ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳✷✳ +∞ Eˆχ (Ω) := ϕ ∈ PSH(Ω)| tn χ (−t)CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞ ❈→❝ ❧ỵ♣ Eχ (Ω) ✈➔ Eˆχ (Ω) ❝â ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ♠➟t t❤✐➳t ✈ỵ✐ ♥❤❛✉✳ ▼➺♥❤ ợ E() ỗ ữợ ỹ ✤↕✐ ê♥ ✤à♥❤✿ ♥➳✉ ϕ ∈ Eˆχ (Ω) ✈➔ ψ ∈ PSH− (Ω) t❤➻ max(ϕ, ψ) ∈ Eˆχ (Ω)✳ ❍ì♥ ♥ú❛ ❧✉æ♥ ❝â Eˆχ(Ω) ⊂ Eχ(Ω)✱ tr♦♥❣ ❦❤✐ Eχˆ ⊂ Eˆχ(Ω) ð ✤â χ(t) ˆ = χ(2t) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚➼♥❤ ỗ E() ữủ s r tứ s ♥➳✉ ϕ, ψ ∈ Eˆχ (Ω) ✈➔ ≤ a ≤ t❤➻ {aϕ + (1 − a)ψ < −t} ⊂ {ϕ < −t} ∪ {ψ < −t} ❚➼♥❤ ê♥ ữợ ỹ sỷ ∈ Eˆχ (Ω)✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû r➡♥❣ ϕ ≤ ✈➔ χ(0) = 0✳ ✣➦t ϕj := max(ϕ, −j)✳ ❚ø ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺ t❛ ❝â +∞ c n (−χ) ◦ ϕj (dd ϕj ) χ (−t)(ddc ϕj )n (ϕj < −t)dt = Ω +∞ ≤ χ (−t)CapΩ (ϕ < −t)dt < +∞, ❙✉② r❛ ϕ ∈ Eχ (Ω) =⇒ Eˆχ (Ω) ⊂ Eχ (Ω)✳ ❇❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ❝á♥ ❧↕✐ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t÷ì♥❣ tü✱ sû ❞ư♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t❤ù ❤❛✐ tr q ú ỵ r E () Eˆχ (Ω)✱ ❦❤✐ χ(t) ˆ = χ(2t)✱ s✉② r❛ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝õ❛ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺ ✈ỵ✐ t = s✳ ❑❤✐ χ(t) = −(−t)p t❛ ❝â Eχˆ (Ω) = Eχ (Ω)✳ ◆❤÷ ✈➟② t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ trữ ợ r E p () t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ tè❝ ✤ë ❣✐↔♠ ✷✾ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❝õ❛ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ t➟♣ ♠ù❝ ❝♦♥✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ❦❤→ ❤ú✉ ➼❝❤ ✈➻ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ t❤ù ❤❛✐ ❦❤ỉ♥❣ sû ❞ư♥❣ ✤ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ ❤➔♠ ✭ ❤❛② ❝õ❛ ❝→❝ s➜♣ ①➾ ❝õ❛ ♥â✮✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✹✳ +∞ − p tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞ E (Ω) = ϕ ∈ PSH (Ω)| ✣✐➲✉ ♥➔② ❝ơ♥❣ ✤÷❛ r❛ ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ t ởt trữ ợ Fa () q✉↔ ✷✳✸✳✺✳ Fa (Ω) = Eχ (Ω) χ(0) = χ(−∞) = −∞ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❇❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ⊃ ✤÷đ❝ s✉② tø ▼➺♥❤ ✤➲ ✷✳✷✳✷✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜❛♦ ❤➔♠ t❤ù❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ t❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➳✉ u Fa () t tỗ t s u ∈ Eˆχ (Ω)✿ ✤✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ❞♦ ∪Eχ = ∪Eˆχ ✳ ✣➦t ˜ := sup h(s), t > h(t) := tn CapΩ ({u < −t}) ✈➔ h(t) s>t ˜ ❧➔ ❜à ❝❤➦♥✱ ❣✐↔♠ ✈➔ ❤ë✐ tö ✈➲ t↕✐ ✈ỉ ❝ị♥❣✳ ❳➨t ❍➔♠ h χ(t) := −1 ˜ h(−t) ✈ỵ✐ ♠å✐t < ❑❤✐ ✤â✱ χ : R− R ỗ t ợ (0) = ✈➔ χ(−∞) = −∞✳ ❍ì♥ ♥ú❛ +∞ t χ (−t)CapΩ ({ϕ < −t})dt ≤ +∞ n 0 −h˜ (s) ˜ 1/2 (0) < +∞, ds = h ˜ 1/2 (s) h ✤÷đ❝ s✉② r❛ tø ❍➺ q✉↔ ú ỵ r ởt ỏ ữợ ➙♠ u t❤✉ë❝ F(Ω) ❦❤✐ ˜ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ h(0) < +∞ ✭①❡♠ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺✮✳ ✸✵ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❚❛ ❦➳t t❤ó❝ ♣❤➛♥ ♥➔② ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ❈❤♦ χ : R− → R− ❧➔ ❤➔♠ t➠♥❣✱ ❧ã♠ ❦❤→❝ ❤➡♥❣✳ ❍➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ õ : R R ỗ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ϕ ∈ PSH(Ω)✱ ❤➔♠ χ−1 ◦ ϕ ỏ ữợ t õ ddc ◦ ϕ = (χ−1 ) ◦ ϕddc ϕ + (χ−1 ) dϕ ∧ dc ϕ ≥ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝â CapΩ ({χ−1 ◦ ϕ < −t}) = CapΩ ({ϕ < χ(−t)}) ❣✐↔♠ ✭r➜t✮ ♥❤❛♥❤ ♥➳✉ χ ❝â ❝➜♣ t➠♥❣ ✭r➜t✮ ♥❤❛♥❤ t↕✐ ✈ỉ ❝ị♥❣✳ ❉♦ ✈➟② χ−1 ◦ ϕ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ Eχˆ (Ω) ♥➔♦ ✤â✱ ð ✤➙② χ ˆ ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ χ ✈➔ ❝â ①➜♣ ①➾ ❝ò♥❣ ❝➜♣ t➠♥❣✳ ◆â✐ r✐➯♥❣ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝❤➾ r❛ r ợ E () trữ t ỹ ❞ị ❝➜♣ t➠♥❣ ❝õ❛ χ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦✳ ❚❛ ❝â ỵ ỵ P ởt t ỹ ữỡ õ ợ t ❦ý ❤➔♠ t➠♥❣✱ ❧ã♠ χ : R− → R− ✈ỵ✐ () = tỗ t E() s❛♦ ❝❤♦ P ⊂ {ϕ = −∞} ◆â✐ r✐➯♥❣✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ϕ ∈ Eexp(Ω) ð ✤â e−ϕ (ddc ϕ)n < +∞ Eexp (Ω) := ϕ ∈ F(Ω); Ω ✷✳✹ ▼✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♣❤ù❝ r t ổ ỵ ✤♦ ❇♦r❡❧ ❞÷ì♥❣ ❝è ✤à♥❤ ❝õ❛ ❦❤è✐ tê♥❣ ❤ú✉ ❤↕♥ µ(Ω) < +∞ ❝→✐ ♠➔ ✤÷đ❝ ❝❤✐ ♣❤è✐ ❜ð✐ ❞✉♥❣ ❧÷đ♥❣ ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣❡r❡✳ ✣ë ✤♦ ♥➔② ✤÷đ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ rë♥❣ r➣✐ ❜ð✐ ❙✳ ❑♦❧♦❞③✐❡❥ tr♦♥❣ ❬❑ ✶✱✷✱✸❪✳ ❑➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ỉ♥❣ t❛ ✤↕t ✤÷đ❝ tr♦♥❣ ❬❑✷❪✱ ❝â t❤➸ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❝è ✤à♥❤ ε : R → [0, +∞) ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ ❣✐↔♠ ✈➔ ✤➦t Fε (x) := x[ε(− ln x/n)]n ✸✶ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ◆➳✉ +∞ µ(K) ≤ Fε (CapΩ (K)), ✈➔ ε(t)dt < +∞, ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♥ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ Ω t = (ddc )n ợ tử ∈ PSH(Ω) ✈➔ ϕ|∂Ω = 0✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ +∞ ε(t)dt < +∞ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ε ❣✐↔♠ ✤õ ♥❤❛♥❤ tỵ✐ t ổ ũ t ữợ ữủ ✈➲ ❧÷đ♥❣ tr➯♥ ε(− ln CapΩ (K)/n) ❣✐↔♠ ♥❤❛♥❤ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦✱ tø ✤â µ(K) ❦❤✐ CapΩ (K) → 0✳ +∞ ❑❤✐ ε(t)dt = +∞✱ t❛ ✈➝♥ ❝â t r r = (ddc )n ợ ϕ ∈ F(Ω)✱ ♥❤÷♥❣ ϕ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ỵ sỷ ợ t t K ⊂ Ω✱ µ(K) ≤ Fε (CapΩ (K)) ✭✷✳✸✮ ❑❤✐ õ tỗ t t F() tọ ♠➣♥ µ = (ddcϕ)n✱ ✈➔ CapΩ ({ϕ < −s}) ≤ exp(−nH −1 (s)), ✈ỵ✐ ♠å✐ s > 0, ð ✤➙② H −1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ H(x) = e 0x ε(t)dt + eε(0) + µ(Ω) ✳ ◆â✐ r✐➯♥❣✱ ϕ ∈ Eχ(Ω) ✈ỵ✐ −χ(−t) = exp(nH −1(t)/2)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔✐ sû µ✱ ♥â✐ r✐➯♥❣✱ tr✐➺t t✐➯✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝✳ n r tỗ t t ∈ Fa (Ω) s❛♦ ❝❤♦ (ddc ϕ)n = µ ✭①❡♠ ❬❈❡✷❪✮✳ ✣➦t f (s) := − log CapΩ ({ϕ < −s}), ∀s > n ❍➔♠ f ❧➔ t➠♥❣ ✈➔ f (+∞) = +∞✱ ✈➻ CapΩ tr✐➺t t✐➯✉ tr➯♥ ❝→❝ t➟♣ ✤❛ ❝ü❝✳ ❚ø ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺ ✈➔ ✭✷✳✸✮ t❛ ❝â ✈ỵ✐ s > ✈➔ t > 0✱ t❛ ❝â tn CapΩ (ϕ < −s − t) ≤ µ(ϕ < −s) ≤ Fε (CapΩ ({ϕ < −s})) ❉♦ ✤â log t − log ε ◦ f (s) + f (s) ≤ f (s + t) ✸✷ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ✭✷✳✹✮ ❚❛ ①→❝ ✤à♥❤ ❞➣② t➠♥❣ (sj )j∈N ❜➡♥❣ q✉② ♥❛♣✳ ✣➦t sj+1 = sj + eε ◦ f (sj ), ✈ỵ✐ ♠å✐ j ∈ N ❱✐➺❝ ❝❤å♥ s0✿ ❈❤å♥ s0 ≥ ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦ f (s0 ) ≥ 0✳ ❈➛♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ r➡♥❣ s0 = s0 (µ) ❝â t❤➸ ❝❤å♥ ✤ë❝ ❧➟♣ ✈ỵ✐ ϕ✳ ❚ø ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✳✺ s✉② r❛ CapΩ ({ϕ < −s}) ≤ µ(Ω) , ∀s > sn ❚ø ✤â f (s) ≥ log s − 1/n log µ(Ω)✳ ❙✉② r❛ f (s0 ) ≥ ♥➳✉ s0 = µ(Ω)1/n ✳ ❙ü t➠♥❣ ❝õ❛ sj ✿ ⑩♣ ❞ư♥❣ ✭✷✳✹✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ f (sj ) ≥ j +f (s0) ≥ j ✳ ❉♦ ✤â limj f (sj ) = +∞✳ ❳➨t ❤❛✐ tr÷í♥❣ ❤đ♣✿ ◆➳✉ s∞ = lim sj ∈ R+ ✱ t❤➻ f (s) ≡ +∞ ✈ỵ✐ s > s∞ ♥❣❤➽❛ ❧➔ CapΩ (ϕ < −s) = ✈ỵ✐ ♠å✐ s > s∞ ✳ ❉♦ ✤â ữợ s õ r E () ợ rữớ ủ tự ●✐↔ sû sj → +∞✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ s > 0✱ tỗ t N = Ns N s sN s sN +1 õ t ữợ ❧÷đ♥❣ ✤÷đ❝ s → Ns ✱ N N s ≤ sN +1 = (sj+1 − sj ) + s0 = eε ◦ f (si ) + s0 N N ≤ e ε(j) + s0 ≤ e ε(t)dt + s˜0 := H(N ), ð ✤â s˜0 = s0 + e.ε(0)✳ ❉♦ ✤â H −1 (s) ≤ N ≤ f (sN ) ≤ f (s)✱ s✉② r❛ CapΩ (ϕ < −s) ≤ exp(−nH −1 (s)) ❇➙② ❣✐í ✤➦t g(t) = −χ(−t) = exp(nH −1 (t)/2)✳ ❑❤✐ ✤â +∞ n t g (t)CapΩ (ϕ < −t)dt n ≤ +∞ tn ε(H −1 (t)) + s0 exp(−nH −1 (t)/2)dt ✸✸ Số hóa Trung tâm Học lieäu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ≤C +∞ (t + 1)n exp(n(α − 1)t)dt < +∞ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä r➡♥❣ ϕ ∈ Eχ (Ω) tr♦♥❣ ✤â χ(t) = − exp(nH −1 (−t)/2)✳ ❇➙② ❣✐í t❛ s➩ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❦➳t q✉↔ r ỵ χ : R− ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t➠♥❣ s❛♦ ❝❤♦ χ(−∞) = sỷ tỗ t ởt ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ F : R+ → R+ s❛♦ ❝❤♦ lim supt→+∞ F (t)/t < 1✱ ✈➔ → R− (−χ) ◦ udà F (E (u)), ợ u T (Ω) ✭✷✳✺✮ Ω tr♦♥❣ ✤â Eχ(u) = (−χ) ◦ u(ddcu)n ỵ ữủ u õ tỗ t ởt E() tọ µ = (ddcϕ)n✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔✐ sû µ✱ ♥â✐ r✐➯♥❣✱ trt t tr t ỹ r tỗ t↕✐ ❤➔♠ u ∈ T (Ω) ✈➔ f ∈ L1loc ((ddc u)n ) s❛♦ ❝❤♦ µ = f (ddc u)n ✭①❡♠ ❬❈❡✷❪✮✳ ❳➨t µj := min(f, j)(ddc u)n ✳ ❚❤❡♦ tr➯♥ ✤â ❧➔ ✤ë ✤♦ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ ✈➻ ❧➔ ✤ë ✤♦ ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ❜à ❝❤➦♥✳ õ tỗ t j T () s❛♦ ❝❤♦ (ddc ϕj )n = min(f, j)(ddc u)n ỵ s s j t ϕ = lim ϕj ✳ ❚ø j→∞ ✭✷✳✺✮ s✉② r❛ Eχ (ϕj )(F (Eχ (ϕj ))) −1 ≤ 1✱ ❞♦ ✤â sup Eχ (ϕj ) < ∞✳ j≥1 ❱➟② ϕ ∈ Eχ (Ω)✳ ❉♦ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣❡r❡ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❞➣② ❣✐↔♠ t❛ ❦➳t ❧✉➟♥ r➡♥❣ (ddc ϕ)n = µ✳ ❑❤✐ χ(t) = −(−t)p ✭❧ỵ♣ F p (Ω)✱ p ≥ 1✱ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✤÷đ❝ t❤✐➳t ❧➟♣ ❜ð✐ ❯✳❈❡❣r❡❧❧ ✭①❡♠ ❬❈❡✶❪✮✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✷✳✺✮ ❝ơ♥❣ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✸✹ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❝➛♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ✈➔ ❤➔♠ F ❝â t❤➸ ❧➜② ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❧➔ ❤➔♠ ❤✐➺♥✿ tỗ t F p () s = (ddc ϕ)n ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ µ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✺✮ ✈ỵ✐ F (t) = Ctp/(p+n) ✱ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➡♥❣ sè C > ♥➔♦ ✤â✳ ❚❤ü❝ r❛ ✤ë ✤♦ µ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✷✳✺✮ ✈ỵ✐ χ(t) = −(−t)p ✱ ✈➔ F (t) = C.tp/(p+n) ✱ p > ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ F p (Ω) ⊂ Lp (Ω) ✭①❡♠ ❬●❩❪✮✳ ố ũ ú ỵ r õ t❤➸ ✤÷đ❝ ♠ỉ t↔ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❝❤✐ ♣❤è✐ ❜ð✐ ❞✉♥❣ ữủ F p() Lp(à) t tỗ t C > s p à(K) C.Cap (K) p+n ữủ Cap (.) à(.) F p () Lp (à) ợ ợ K ⊂ Ω α > p/(p + n) ♥➔♦ ✤â✱ t❤➻ ự ìợ ữủ ữủ u = u∗K ✱ ❧➔ ❤➔♠ ❝ü❝ trà t÷ì♥❣ ✤è✐ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ✱ t❛ ❝â ✶K dµ ≤ µ(K) = Ω (−u∗K )p dµ Ω (−u∗K )p (ddc u∗K )n ≤ C p n+p Ω p = C.[CapΩ (K)] n+p ữủ sỷ à(K) C.Cap (K) ✈ỵ✐ ♠å✐ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t K ⊂ Ω✱ ð ✤â α > p/(n + p)✳ ❑❤✐ ✤â ✭✷✳✺✮ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ♥➳✉ u ∈ F p (Ω)✱ t❤➻ ∞ (−u)p dµ = p Ω tp−1 µ(u < −t)dt + O(1) ∞ tp−1 (CapΩ (u < −t))α dt + O(1) ≤ C.p ✸✺ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ∞ ∞ tn+p−1 CapΩ (u < −t)dt ≤C α t[p−1−α(n+p−1)]/β dt β +O(1), tr♦♥❣ ✤â α + β = 1✳ ❚➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù ♥❤➜t ❤ë✐ tö tø ❍➺ q✉↔ ✷✳✸✳✹✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤ù ❤❛✐ ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➻ p − − α(n + p − 1) > α − = −β ⇒ u ∈ Lp (µ) ✸✻ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔②✿ ✲ ❚ê♥❣ q✉❛♥ ✈➔ ❤➺ t❤è♥❣ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ữợ t tỷ r ỵ s s ✲ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❝→❝ ❧ỵ♣ ❤➔♠ ỏ ữợ ợ ý t ❧➔✿ ✰ ❈→❝ ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❧➔✿ ◆➳✉ u ∈ DM A(Ω)✱ t❤➻ ✈ỵ✐ ♠é✐ t➟♣ ❇♦r❡❧ B ⊂ Ω \ {u = −∞}✱ (ddc u)n = lim (ddc uj )n ✱ ✈ỵ✐ uj := max(u, −j) ❧➔ ❝→❝ j→∞ B B∩{u>−j} ①➜♣ ①➾ ❝❤➼♥❤ t t q ữợ ữủ ữủ ợ t q ợ p > tũ ỵ t❛ ❝â p +∞ − tn+p−1 CapΩ ({ϕ < −t})dt < +∞} E (Ω) = {ϕ ∈ PSH (Ω); Cap ỵ ữủ r ữủ ợ t r E p(Ω) = Eχ(Ω)✱ ✈ỵ✐ χ(t) := −(−t)p✳ ✰ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ♠✐➲♥ ❣✐→ trà ❝õ❛ t♦→♥ tû ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣❡r❡ ✈ỵ✐ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤ ❧➔✿ ●✐↔ sû ợ t t K , à(K) F (CapΩ (K))✱ ð ✤â Fε (x) = x[ε − (ε ln x)/n]n õ tỗ t t ϕ ∈ F(Ω) s❛♦ ❝❤♦ µ = (ddcϕ)n ✈➔ CapΩ (ϕ < −s) ≤ exp(−nH −1 (s)) ✈ỵ✐ ♠å✐ s > 0✱ ð ✤â H −1 ❧➔ ❤➔♠ ♥❣÷đ❝ ❝õ❛ H(x) = e 0x ε(t)dt + s0(µ)✳ ◆â✐ r✐➯♥❣ ϕ ∈ Eχ(Ω) ✈ỵ✐ −χ(−t) = exp(nH −1(t)/2)✳ ✸✼ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚■➌◆● ❱■➏❚ ❬❉❍ ❪ ◆✳◗✳❉✐➺✉ ✈➔ ▲✳▼✳❍↔✐✱ ❈ì sð ❧➼ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à✱ ◆①❜ ✣↕✐ ❍å❝ s÷ ♣❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐✳ ✷✵✵✾✳ ❚■➌◆● ❆◆❍ ❬❇❚✶ ❪ ❊✳❇❡❞❢♦r❞ ❛♥❞ ❇✳❆✳❚❛②❧♦r✱ ❆ ♥❡✇ ❝❛♣❛❝✐t② ❢♦r ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ✶✹✾ ✭✶✾✽✷✮✱ ♥♦✳ ✶✲✷✱ ✶✲ ✹✵✳ ❬❇❚✷ ❪ ❊✳❇❡❞❢♦r❞ ❛♥❞ ❇✳❆✳❚❛②❧♦r✱ ❋✐♥❡ t♦♣♦❧♦❣②✱ ❙✐❧♦✈ ❜♦✉♥❞❛r②✱ ❛♥❞ (ddc u)n ✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ✼✷ ✭✶✾✽✼✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✷✷✺✲ ✷✺✶✳ ❬❇ ❪ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❆ ♥♦t❡ ♦♥ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❈✳ ❘✳ ▼❛t❤✳ ❆❝❛❞✳ ❙❝✐✳ P❛r✐s✱ ✸✹✷ ✭✷✵✵✻✮✱ ✻✹✼✲ ✻✺✵✳ ❬❇●❩ ❪ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❱✳ ●✉❡❞❥ ❛♥❞ ❆✳ ❩❡r✐❛❤✐✱ ❆ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❆♥♥✳ ❙❝✉♦❧❛ ◆♦r♠✳ ❙✉♣✳ P✐s❛ ❈✶✳ ❙❝✐✳ ✭✺✮✱ ❱♦❧ ❱■■ ✭✷✵✵✽✮✱ ✶✲ ✶✻✳ ❬❇❏❩ ❪ ❙✳ ❇❡♥❡❧❦♦✉r❝❤✐✱ ❇✳❏❡♥♥❛♥❡ ❛♥❞ ❆✳ ❩❡r✐❛❤✐✱ ♣♦❧②❛✬s ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ❣❧♦❜❛❧ ✉♥✐❢♦r♠ ✐♥t❡❣r❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❧❡♠♥✐s✲ ❝❛t❡s✱ ❆r❦✳ ▼❛t✱ ✹✸ ✭✷✵✵✺✮✱ ✽✺✲ ✶✶✷✳ ❬❇✶✶ ❪ ❩✳ ❇❧♦❝❦✐✱ ❖♥ t❤❡ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡❵r❡ ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ C2 ✳ ▼❛t❤✳ ❆♥♥✳ ✸✷✽ ✭✷✵✵✹✮✱ ♥♦✳ ✸✱ ✹✶✺✲ ✹✷✸✳ ❬❇✶✷ ❪ ❩✳ ❇❧♦❝❦✐✱ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡❵r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❆♠❡r✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✶✷✽ ✭✷✵✵✻✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✺✶✾✲ ✺✸✵✳ ✸✽ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❬❈❡✶ ❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ P❧✉r✐❝♦♠♣❧❡① ❡♥❡r❣②✳ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ✶✽✵ ✭✶✾✾✽✮✱ ♥♦✳ ✷✱ ✶✽✼✲✷✶✼✳ ❬❈❡✷ ❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❞❡❢✐♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ❆♥♥✳ ■♥st✳ ❋♦✉r✐❡r ✭●r❡♥♦❜❧❡✮ ✺✹ ✭✷✵✵✹✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✶✺✾✲ ✶✼✾✳ ❬❈❑❩ ❪ ❯✳ ❈❡❣r❡❧❧✱ ❙✳ ❑♦❧♦❞③✐❡❥ ❛♥❞ ❆✳ ❩❡r✐❛❤✐✱ ❙✉❜❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ♣❧✉r✐s✉❜✲ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ ✇❡❛❦ s✐♥❣✉❧❛r✐t✐❡s✳ ▼❛t❤✳ ❩✳ ✷✺✵ ✭✷✵✵✺✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✼✲✷✷✳ ❬●❩ ❪ ❱✳●✉❡❞❥ ❛♥❞ ❆✳ ❩❡r✐❛❤✐✱ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤t❡❞ ▼♦♥❣❡✲ ❆♠♣❡r❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ q✉❛s✐ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❏✳ ❋✉♥❝t✳ ❆♥✳ ✷✺✵ ✭✷✵✵✼✮✱ ✹✹✷✲ ✹✽✷✳ ❬❑✐ ❪ ❈✳❖✳ ❑✐s❡❧♠❛♥✱ ❙✉r ❧❛ ❞➨❢✐♥✐t✐♦♥ ❞❡ ❧✬♦♣➨r❛t❡✉r ❞❡ ▼♦♥❣❡ ✲ ❆♠♣➧r❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✱ ✧❆♥❛❧②s❡ ❝♦♠♣❧❡①❡✧✿ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s✱ ❚♦✉❧♦✉s❡ ✶✾✽✸✱ ✶✸✾ ✲ ✶✺✵✳ ▲❡❝t✉❡r❡ ◆♦t❡s ✐♥ ▼❛t❤ ✶✾✾✹✱ ❙♣r✐♥❣❡r ✲ ❱❡r❧❛❣✱ ❇❡r❧✐♥✳ ❬❑❧✶ ❪ ▼✳ ❑❧✐♠❡❦✱ ❊①tr❡♠❛❧ ♣❧✉r✐s✉❜❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♣s❡✉❞♦❞✐st❛♥❝❡s✱ ❇✉❧❧✳ ❙♦❝✳ ▼❛t❤✳ ❋r❛♥❝❡✱ ✶✶✸ ✭✶✾✽✺✮✱ ✶✷✸✲✶✹✷✳ ❬❑❧✷ ❪ ▼✳ ❑❧✐♠❡❦✱ P❧✉r✐♣♦t❡♥t✐❛❧ ❚❤❡♦r②✱ ❈❧❛r❡♥❞♦♥ Pr❡ss✱ ❖①❢♦r❞✱ ✶✾✾✶✳ ❬❑✶ ❪ ❙✳❑♦❧♦❞③✐❡❥✱ ❚❤❡ r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♦♣❡r❛t♦r✱ ■♥❞✐❛♥❛ ❯♥✐✈✳ ▼❛t❤✳ ❏✳ ✹✸ ✭✶✾✾✹✮✱ ♥♦✳ ✹✱ ✶✸✷✶✲✶✸✸✽✳ ❬❑✷ ❪ ❙✳❑♦❧♦❞③✐❡❥✱ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❆❝t❛ ▼❛t❤✳ ✶✽✵ ✭✶✾✾✽✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✻✾✲✶✶✼✳ ❬❑✸ ❪ ❙✳❑♦❧♦❞③✐❡❥✱ ❚❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣❧✉r✐♣♦✲ t❡♥t✐❛❧ t❤❡♦r②✱ ▼❡♠✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ✶✼✽ ✭✷✵✵✺✮✱ ♥♦✳ ✽✹✵✱ ①✰✻✹ ♣♣✳ ❬❘❘ ❪ ▼✳▼ ❘❛♦✱ ❩✳❉ ❘❡♥✱ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❖r❧✐❝③ s♣❛❝❡s✱ ▼♦♥♦❣r✳ ❚❡①t❜♦♦❦s✱ P✉r❡ ❛♥❞ ❆♣♣❧✳▼❛t❤✳✱ ✈♦❧✳ ✶✹✻✱ ❉❡❦❦❡r✱ ◆❡✇ ✲ ❨♦r❦✱ ✶✾✾✶✳ ✸✾ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ❬❩ ❪ ❆✳ ❩❡r✐❛❤✐✱ P❧✉r✐❝♦♠♣❧❡① ●r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ ❉✐r✐❝❤❧❡t Pr♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① ▼♦♥❣❡✲❆♠♣❡r❡ ♦♣❡r❛t♦r✳ ▼✐❝❤✐❣❛♥ ▼❛t❤✳ ✹✹ ✭✶✾✾✼✮✱ ♥♦✳ ✸✱ ✺✼✾✲✺✾✻✳ ✹✵ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - NGUYỄN NGỌC ÁNH HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI VỚI KỲ DỊ YẾU Chuyên ngành: TON giải tích Mà số: 60.46.01.02 Luận văn thạc sỹ KHOA HC toán