Dạng tự đẳng cấu và biểu diễn nhóm gl 2 r

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THU HOÀI DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN NHĨM GL(2,R) LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TỐN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp Thái Nguyên - 2011 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2, R) 1.1 Một số khái niệm 1.2 Tốn tử khơng gian Hilbert 1.3 Đại số Lie đại số phổ dụng 1.4 Bài toán phổ cho thương compact nửa mặt phẳng 1.4.1 Lý thuyết phổ dạng tự đẳng cấu 1.4.2 Xác định phổ tốn tử đối xứng khơng bị chặn L2 (Γ\H, χ, k) 11 1.4.3 Khai triển không gian Hilbert L2 (Γ\G, χ) thành không gian bất khả qui 12 Chương BIỂU DIỄN NHÓM GL(2, R) 15 2.1 Dạng tự đẳng cấu GL(2, R) 15 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Các dạng tự đẳng cấu Γ\H 15 16 2.2 Biểu diễn nhóm compact địa phương 17 2.3 Biểu diễn đại số Lie 18 2.4 Phân loại (g, K)-module bất khả quy G = GL(2, R)+ 25 Chương MỘT SỐ TÍNH TỐN 33 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Dạng tự đẳng cấu khái niệm lần đầu đưa vào Poincaré: hàm số không gian đối xứng G/K, G nhóm Lie, K nhóm compact cực đại, biến đổi theo cơng thức đơn giản với tác động nhóm số học G Gelfand nhìn dạng tự đẳng cấu theo góc độ biểu diễn tự đẳng cấu, phận lý thuyết biểu diễn vô hạn chiều nghiên cứu phổ, giá trị riêng toán tử Hecke Mục đích luận văn tìm hiểu lý thuyết dạng tự đẳng cấu biểu diễn trường hợp nhóm GL(2, R) Ta nghiên cứu mối liên hệ lý thuyết biểu diễn nhóm GL(2, R) dạng tự đẳng cấu nửa mặt phẳng Poincaré Ta tập trung vào lý thuyết phổ trường hợp thương compact Luận văn với đề tài “Dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm GL(2, R)” gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu GL(2, R) • Chương 2: Biểu diễn nhóm GL(2, R) • Chương 3: Một số tính tốn Trong chương chúng tơi trình bày số khái niệm liên quan đến lý thuyết dạng tự đẳng cấu nhóm GL(2, R), nhắc lại số khái niệm tốn tử khơng gian Hilbert, sơ lược nhóm Lie, đại số Lie xây dựng đại số phổ dụng Đặc biệt, trọng tâm chương mối liên hệ tốn phổ với thương compact nửa mặt phẳng Poincaré Trong chương 2, từ lý thuyết dạng tự đẳng cấu, chúng tơi trình bày số biểu diễn, chẳng hạn biểu diễn nhóm compact địa phương, 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn biểu diễn đại số Lie kết quan trọng phân loại (g, K)-module bất khả quy nhóm G = GL(2, R)+ Trong chương chúng tơi trình bày số kết liên quan đến biểu diễn nhóm GL(2, R) Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp người thầy tận tình giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo trường Đại học sư phạm thuộc Đại học Thái Nguyên thầy giáo Viện Tốn học Việt Nam giảng dạy, giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng Cơng nghiệp Nam Định, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình tác giả học tập Thái Nguyên, tháng năm 2011 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương LÝ THUYẾT DẠNG TỰ ĐẲNG CẤU TRÊN GL(2, R) Trong chương này, giới thiệu lý thuyết phổ dạng tự đẳng cấu Trong trường hợp Γ\H, phổ tốn tử Laplace-Beltrami rời rạc Ngồi không gian Hilbert L2 (Γ\G, χ) khai triển thành không gian bất khả qui 1.1 Một số khái niệm Cho H nửa mặt phẳng Poincaré: H = {x + iy ∈ C|y > 0} Đặt G = GL(2, R)+ nhóm ma trận thực cấp với định thức dương Khi G tác động H phép biến đổi phân thức tuyến tính Nghĩa g ∈ GL(2, R)+ z = x + iy ∈ H, y > tác động g z cho bởi: g(z) = az+b cz+d Cho Γ nhóm rời rạc G, cho Γ\H compact, có diện tích hữu hạn Giả thiết −I ∈ Γ, −I ∈ / Γ, thay Γ nhóm sinh Γ –I (I ma trận đơn vị cấp 2) Mặt khác, khơng tính tổng quát, giả thiết Γ ⊂ SL(2, R) (nhóm ma trận cấp với hệ số thực định thức 1) Định nghĩa 1.1.1 Cho H nhóm, đặc trưng H đồng cấu χ : H → C× Đặc trưng unitary đặc trưng thoả mãn |χ(γ)| = với 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn γ Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Γ nhóm đồng dư, P1 (Q) = Q ∪ {∞} đường xạ ảnh Q Do SL(2, Z) tác động bắc cầu P1 (Q), nên nhóm số hữu hạn có quỹ đạo hữu hạn tập Một quỹ đạo Γ P1 (Q) gọi điểm nhọn Γ Tổng qt hơn, Γ khơng giả thiết nhóm đồng dư, mà nhóm rời rạc tác động H với Γ\H có diện tích hữu hạn, thuật ngữ điểm nhọn dùng để hai trường hợp: - Điểm a ∈ P1 (R) = R ∪ {∞} cho Γ chứa phần tử parabolic γ = I với γ(a) = a - Quỹ đạo điểm nói tác động Γ Định nghĩa 1.1.3 Giả sử k "trọng", số nguyên dương nguyên âm Xem z = x + iy z¯ = x − iy biến phức độc lập, ta có đạo hàm riêng tương ứng ∂ = ∂z ∂ = ∂ z¯ ∂ ∂ −i , ∂x ∂y ∂ ∂ +i ∂x ∂y Ta định nghĩa toán tử vi phân Maass C∞ (H), không gian hàm trơn H Rk = iy ∂ ∂ k ∂ k + y + = (z − z¯) + , ∂x ∂y ∂z ∂ ∂ k ∂ k + y − = −(z − z¯) − ∂x ∂y ∂z toán tử Laplace suy rộng Lk = −iy ∆k = −y ∂2 ∂2 ∂ + + iky ∂ x2 ∂ y2 ∂x Dễ dàng chứng minh ∆k = −Lk+2 Rk − k k 1+ 2 = −Rk−2 Lk + k k 1− 2 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với k, định nghĩa tác động G = GL(2, R)+ C∞ (H) công thức: f |k g = c¯z + d |cz + d| Bổ đề 1.1.4 Nếu f ∈ C∞ (H), k az + b , cz + d f g= a b c d g ∈ G, (Rk f )|k+2 g = Rk ( f |k g) , (Lk f )|k−2 g = Lk ( f |k g) , (∆k f )|k g = ∆k ( f |k g) 1.2 Tốn tử khơng gian Hilbert Nhắc lại số khái niệm sau: Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H khơng gian Hilbert Tốn tử H định nghĩa biến đổi tuyến tính tập trù mật, tức cặp có thứ tự (T, DT ), DT khơng gian tuyến tính trù mật H, gọi miền xác định T, T : DT → H phép biến đổi tuyến tính + Tốn tử T gọi đóng đồ thị {( f , T f )| f ∈ DT } khơng gian đóng H × H + Tốn tử T gọi khơng bị chặn khơng liên tục DT xem khơng gian topo H + Tốn tử T gọi đối xứng T f , g = f , T g với f , g ∈ DT , , tích vơ hướng khơng gian Hilbert H + Tốn tử T gọi tự liên hợp DT = DT ∗ T = T ∗ , T ∗ liên hợp T, DT ∗ không gian ∀g ∈ H cho f → T f , g phiếm hàm tuyến tính bị chặn DT Toán tử (T ∗ , DT ∗ ) gọi liên hợp T 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu H khơng gian Hilbert tách thì: + Tốn tử tuyến tính T : H → H gọi bị chặn miền xác định tồn H, tồn số C cho |T x| ≤ C |x| với ∀x ∈ H Hằng số C nhỏ gọi chuẩn tốn tử T, kí hiệu |T | + Toán tử T : H → H gọi compact, hoàn toàn liên tục, T chuyển tập bị chặn thành tập compact Do H tách, tập H compact compact dãy Vì T compact với dãy xn ⊂ H vectơ đơn vị, tồn dãy yn cho T (yn ) hội tụ Định nghĩa 1.2.2 Giả sử L2 (H) không gian Hilbert hàm đo H có bình phương khả tích tương ứng với độ đo G-bất biến y−2 dx∧dy Khi ∆k xác định không gian trù mật Cc∞ (H) L2 (H) (Nếu M đa tạp khả vi, C∞ (M) không gian hàm trơn M Cc∞ (M) không gian hàm giá compact Nếu X không gian tôpô, Cc (X) không gian hàm liên tục giá compact X) 2 Cho ∆e = ∂∂x2 + ∂∂y2 toán tử Laplace Kí hiệu d đạo hàm ngồi, đưa 1-dạng vi phân thành 2-dạng vi phân Giả sử f g hàm trơn xác định lân cận miền bị chặn Ω ⊂ C, mà biên đường cong trơn (hoặc hợp đường cong trơn) ∂ Ω Ta có đồng thức ∂f ∂f ∂g ∂g ∂ x dy − ∂ y dx − f ∂ x dy − ∂ y dx = (g∆e f − f ∆e g) dx ∧ dy d g Theo định lý Stokes, ta có (g∆e f − f ∆e g) dx ∧ dy Ω = g ∂f ∂f dy − ∂x ∂ y dx −f ∂g ∂g dy − ∂x ∂ y dx ∂Ω 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hướng đường lấy tích phân (biên ∂ Ω) lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Đồng thức biết đến công thức Green Mệnh đề 1.2.3 Laplace ∆k toán tử đối xứng L2 (H) với miền xác định Cc∞ (H) 1.3 Đại số Lie đại số phổ dụng Định nghĩa 1.3.1 Nhóm Lie nhóm, đồng thời đa tạp khả vi hữu hạn chiều, phép toán nhân phép nghịch đảo ánh xạ trơn Định nghĩa 1.3.2 Đại số Lie không gian vec tơ (thực phức) g trang bị phép tốn song tuyến tính, gọi móc Lie, thỏa mãn số tiên đề sau: Phép toán móc, biểu diễn X,Y → [X,Y ] với X,Y ∈ g, giả thiết thỏa mãn [X,Y ] = − [Y, X] , [X, X] = 0, “đồng Jacobi” [[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [Z, [X,Y ]] = Trong trường hợp đại số Lie liên kết với đại số kết hợp A, phép tốn móc Lie định nghĩa [X,Y ] = XY − YX, phép nhân vế phải phép nhân đại số A Định nghĩa 1.3.3 Hàm tử [X,Y ] = XY − YX, ứng đại số kết hợp A với đại số Lie Lie(A) Ta tương ứng đại số Lie g với đại số kết hợp U(g), gọi đại số bao phổ dụng g Nói chung, dù g hữu hạn chiều, U(g) vô hạn chiều Để xây dựng U(g), ta bắt đầu với đại số tenxơ ⊗g, ∞ ⊕ ⊗k g, ⊗k g = g ⊗ ⊗ g, k=0 k 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn phép nhân ⊗k g × ⊗l g = ⊗k+l g tích tenxơ (⊗ = ⊗R ⊗C tùy thuộc g đại số Lie thực phức) Định nghĩa 1.3.4 Giả sử V không gian vectơ thực, U(g) đại số bao phổ dụng g Phức hóa U(g) VC = C⊗RV , tức không gian vectơ phức, với luật nhân C ×VC → VC , thỏa mãn a(b ⊗ v) = (ab) ⊗ v, a, b ∈ C, v ∈ V Số chiều phức VC số chiều thực V Cho g đại số Lie thực, phức hóa gC g đại số Lie phức Cho ρ : g → End(V ) biểu diễn đại số Lie thực, V khơng gian vectơ phức Khi ta mở rộng ρ thành biểu diễn gC → End(V ) sau: Nếu X ∈ gC , viết X = X1 + iX2 Khi đó, đặt ρ(X) = ρ(X1 ) + iρ(X2 ) 1.4 Bài toán phổ cho thương compact nửa mặt phẳng 1.4.1 Lý thuyết phổ dạng tự đẳng cấu Cho χ đặc trưng Γ, C∞ (Γ\H, χ, k) không gian hàm trơn H cho χ(γ) f (z) = c¯z + d |cz + d| k f az + b , cz + d γ= a b c d ∈ Γ Nếu f , g ∈ C∞ (Γ\H, χ, k), f g¯ bất biến theo Γ, ta định nghĩa f,g = f (z)g(z) dxdy y2 Γ\H L2 (Γ\H, χ, k) không gian Hilbert đầy đủ, f , g ∈ C∞ (Γ\H, χ, k) tương ứng với tích 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giới hạn tồn liên tục f C1 , π(g) f C1 f C1 , tiếp tục ta có π(g) f Ck với k f vectơ trơn, π(g) f Mệnh đề 3.3 Cho (π, H) biểu diễn không gian Hilbert nhóm G = GL(2, R) G = GL(2, R)+ Khi tác động g không gian H∞ vectơ trơn xác định phương trình (2.7) biểu diễn đại số Lie Chứng minh Giả thiết G = GL(2, R)+ Thật G = GL(2, R), hạn chế π tới G = GL(2, R)+ biểu diễn Hai nhóm G = GL(2, R) G = GL(2, R)+ có đại số Lie, rõ ràng định nghĩa H∞ tác động g phụ thuộc vào nhóm mà ta sử dụng Ta phải chứng minh X f xác định phương trình (2.7) X(Y f ) −Y (X f ) = [X,Y ] f , (3.8) với X,Y ∈ g = gl(2, R), f ∈ H∞ Với φ ∈ H, ta có X(Y f ) −Y (X f ), φ = [X,Y ] f , φ (3.9) Cho φ cố định Ta định nghĩa ánh xạ L : H∞ → C∞ (G) (L f )(g) = π(g) f , φ Ta phải kiểm tra L f hàm trơn Ta có ((dX ◦ L) f ) (g) = ((L ◦ X) f ) (g), (3.10) từ phương trình (2.3) ta có V T = ((dX ◦ L) f ) (g) = = d dt π (g) π etX f,φ d dt (L f ) getX t=0 = π (g) X f , φ = ((L ◦ X) f ) (g) = V P t=0 37 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả thiết ta f trơn nghĩa cho X1 , , Xr ∈ g, X1 ◦ ◦ Xr f xác định, phương trình, (3.10) ta có dX1 ◦ ◦ dXr L f xác định Theo Bổ đề 2.4.2 [3] ta có L f trơn Từ (3.10) (2.4), ta có L (X(Y f ) −Y (X f ) − [X,Y ] f ) = Do X(Y f ) − Y (X f ) − [X,Y ] f trực giao với vectơ φ Vậy ta có phương trình (3.9) từ ta có phương trình (3.8) Mệnh đề 3.4 Cho (π, H) biểu diễn khơng gian Hilbert hai nhóm G = GL(2, R) G = GL(2, R)+ (i) Nếu φ ∈ Cc∞ (G), f ∈ H, π(φ ) f ∈ H∞ (ii) Không gian H∞ trù mật H Chứng minh (i) Ta có Xπ(φ ) f = = φX (g) = d dt π d dt etX π(φ ) f |t=0 = φ (e−tX g)π (g) G d dt φ d dt G φ (g)π etX g f dg|t=0 f dg|t=0 = φX (g)π (g) f dg, G e−tX g t=0 Do Xπ(φ ) f = π(φX ) f , Mà π(g)π(φX ) f liên tục Vì π(φ ) f C1 , tiếp tục π(φ ) f Ck với k Vậy π(φ ) f ∈ H∞ (ii) Cho ε > Vì ánh xạ G × H → H cho (g, f ) → π(g) f liên tục, nên tồn lân cận U đơn vị G cho |π(g) f − f | < ε với ∀g ∈ U Lấy φ ∈ Cc∞ (G) giá trị dương có giá U, cho φ (g)dg = Khi G |π(φ ) f − f | = φ (g) |π(g) f − f | dg ≤ ε φ (g) (π(g) f − f ) dg ≤ G G Điều chứng tỏ H∞ trù mật H 38 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Luận văn có mục đích nghiên cứu dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm GL(2, R) Trong luận văn nghiên cứu vấn đề sau: - Trình bày số khái niệm kết lý thuyết dạng tự đẳng cấu - Trình bày chi tiết số mệnh đề biểu diễn nhóm định lý phân loại (g, K)-module GL(2, R) - Một số tính tốn liên quan Với khn khổ, thời gian lực chúng tơi cịn nhiều hạn chế, nên luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận hướng dẫn, bảo tận tình thầy, hợp tác bạn để luận văn hoàn thiện 39 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Borel, A and H Jacquet (1979), Automorphic forms and automorphic representations, pp [3] Daniel Bump (1997), Automorphic forms and representation, Cambridge University Press [4] Harish-Chandra (1966), Discrete series for semisimple Lie group, Acta Math.116 , pp 1-111 [5] Kirillov, A (2008), An Introduction to Lie group and Lie Algebras, Cambridge University Press, pp 4-130 [6] Lang, S (1976), Modular forms, Springer Verlag [7] Ngo Bao Chau (2011), Automorphic forms on GL2 , University of Chicago, Lectures 40 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... ? ?Dạng tự đẳng cấu biểu diễn nhóm GL( 2, R) ” gồm chương: • Chương 1: Lý thuyết dạng tự đẳng cấu GL( 2, R) • Chương 2: Biểu diễn nhóm GL( 2, R) • Chương 3: Một số tính tốn Trong chương chúng tơi trình... thuyết dạng tự đẳng cấu biểu diễn trường hợp nhóm GL( 2, R) Ta nghiên cứu mối liên hệ lý thuyết biểu diễn nhóm GL( 2, R) dạng tự đẳng cấu nửa mặt phẳng Poincaré Ta tập trung vào lý thuyết phổ trường... phương trình (2. 6) ta có đồng thức sau U(g) ˆ ˆ Hˆ R? ? = R? ? Hˆ + 2R? ? Hˆ + 2Hˆ R, Hˆ R? ? Lˆ = R? ? Lˆ H, Hˆ Lˆ R? ? = Lˆ R? ? Hˆ ˆ ˆ R? ? Lˆ R? ? = R? ? Lˆ − R? ? H, Lˆ R? ? = R? ? Lˆ R? ? − Hˆ R, R? ? Lˆ = Lˆ R? ? Lˆ +