Bài toán tựa cân bằng tổng quát và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG NGUYỄN THỊ QUỲNH ANH Mà SỐ: 62.46.01.02 CHUN NGHÀNH: TỐN GIẢI TÍCH THÁI NGUN 2015 ✶ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✤➙② ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ự tổ ữợ sỹ ữợ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ✈✐➳t ❝❤✉♥❣ ✈ỵ✐ ●❙✳ ❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥ ✈➔ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣ ữủ sỹ ỗ ỵ t ữ ✈➔♦ ❧✉➟♥ →♥✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥ ợ ữ tứ ữủ ổ ố trữợ õ ❚→❝ ❣✐↔ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◗✉ý♥❤ ❆♥❤ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▲✉➟♥ →♥ ♥➔② ✤÷đ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ữợ sỹ ữợ ❝õ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆❣✉②➵♥ ❳✉➙♥ ❚➜♥✳ ❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔✱ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ tứ ữợ t ♠ët ❝→❝❤ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔ ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝✱ tr✉②➲♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ r➜t ♥❤✐➲✉ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ ❝✉ë❝ sè♥❣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ t❤➛②✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ✤➦❝ ❜✐➺t ❝↔♠ ì♥ ●❙✳ ❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❇÷í♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❤➛② ✤➣ ❧✉ỉ♥ q✉❛♥ t➙♠✱ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ t❤❛♠ ❣✐❛ s❡♠✐♥❛ ❝ò♥❣ ♥❤â♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈ø❛ q✉❛✳ ◆❤➙♥ ❞à♣ ♥➔②✱ t→❝ ❣✐↔ ❝ô♥❣ ữủ tọ ỏ t 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(1 − βt2 )yt1 + βt2 T2 yt1 , yti = (1 − βti )yti−1 + ✭✹✳✶✷✮ βti Ti yti−1 , ytN = (1 − βtN )ytN −1 + βtN TN ytN −1 , ✈➔ ✭✹✳✶✸✮ xt = (I − λt µG)ytN ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â xt − x = (I − λt µG)ytN − x = ytN − x ≤ ytN −1 − x − 2λt µ G(ytN ), ytN − x + λ2t µ2 G(ytN ) 2 − 2λt µ G(ytN ), ytN − x + λ2t µ2 G(ytN ) ✾✼ ≤ ≤ yt1 − x − 2λt µ G(ytN ), ytN − x + λ2t µ2 G(ytN ) ≤ xt − x − 2λt µ G(ytN ), ytN − x + λ2t µ2 G(ytN ) ❱➻ ✈➟②✱ η ytN − x + G(x), ytN − x ≤ λt µ G(ytN ) ✭✹✳✶✹✮ ✣➸ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❛ ✤➦t yt0 = xt ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ yti−1 − Ti yti−1 → 0, ❦❤✐ t → ✈ỵ✐ i = 1, 2, · · ·, N ✭✹✳✶✺✮ ❈❤♦ {tk } ⊂ (0, 1) ❧➔ ❞➣② tũ ỵ tử tợ k ✈➔ xk := xtk ✳ ❚❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ yki − Ti yki−1 → 0✱ ð ✤➙② yki ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ✭✹✳✶✷✮ ✈ỵ✐ t = tk ✈➔ yki = ytik ✳ ▲➜② ❞➣② ❝♦♥ {xl } ❝õ❛ {xk } s❛♦ ❝❤♦ ✭✹✳✶✻✮ lim sup yki − Ti yki−1 = lim yli − Ti yli−1 l→∞ k→∞ ▲➜② ❞➣② ❝♦♥ {xkj } ❝õ❛ {xl } s❛♦ ❝❤♦ ✭✹✳✶✼✮ lim sup xk − x = lim xkj − x j→∞ k→∞ ❚ø ✭✹✳✶✸✮ ✈➔ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✱ t❛ s✉② r❛ r➡♥❣ xkj − x = (I − λkj µF )ykNj − x ≤ ykNj − x 2 − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x = (1 − βkNj )(ykNj −1 − x) + βkNj (TN ykNj −1 − TN x) − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x ≤ (1 − βkNj ) ykNj −1 − x + βkNj TN ykNj −1 − TN x ✭✹✳✶✽✮ − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x ≤ ykNj −1 − x − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x ≤ · · · ≤ yk1j − x ≤ xkj − x 2 − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x − 2λkj µ F (ykNj ), xkj − x ❱➻ ✈➟②✱ lim xkj − x = lim yki j − x , j→∞ j→∞ i = 1, · · ·, N ✭✹✳✶✾✮ ✾✽ ⑩♣ ❞ö♥❣ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✱ t❛ ❝â yki j − x i−1 i−1 = (1 − βki j )ykj + βki j Ti ykj −x = (1 − βki j ) yki−1 −x j + βki j Ti yki−1 −x j − βki j (1 − βki j ) yki j − Ti yki−1 j ≤ (1 − βki j ) yki−1 −x j = yki−1 −x j 2 2 − βki j (1 − βki j ) yki j − Ti yki−1 j ≤ · · · = yk0j − x = xkj − x + βki j yki−1 −x j − βki j (1 − βki j ) yki j − Ti yki−1 j 2 − βki j (1 − βki j ) yki j − Ti yki−1 j − βki j (1 − βki j ) yki j − Ti yki−1 , j i = 1, 2, · · ·, N ✭✹✳✷✵✮ ❑❤æ♥❣ ❣✐↔♠ t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ sû α ≤ βti ≤ β ✈ỵ✐ α, β ∈ (0, 1)✳ ❑❤✐ ✤â✱ tø ✭✹✳✷✵✮ t❛ ❝â α(1 − β) yki j − Ti yki−1 j ≤ xkj − x = 0, − yki j − x ✭✹✳✷✶✮ ❈ị♥❣ ✈ỵ✐ ✭✹✳✶✾✮ t❛ s✉② r❛ lim yki j − Ti yki−1 j j→∞ i = 1, 2, · · ·, N ✭✹✳✷✷✮ ▼➦t ❦❤→❝✱ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✭✹✳✶✷✮✱ t❛ ❝â yti − Ti yti−1 = (1 − βti ) yti−1 − Ti yti−1 ✭✹✳✷✸✮ ❉♦ < α ≤ βti ≤ β < 1, t❛ ✤÷đ❝ yti−1 − Ti yti−1 → ❦❤✐ t → ✈ỵ✐ i = 1, · · ·, N ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ xt − Ti xt → ❦❤✐ t → 0✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ i = t❛ ❝â yt0 = xt ✳ ❱➻ ✈➟②✱ xt − T1 xt → ❦❤✐ t → 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ yt1 − T1 xt = (1 − βt1 ) xt − T1 xt ✈➔ xt − T1 xt → 0✱ t❛ ❝â yt1 − T1 xt → 0✳ ❱➻ ✈➟②✱ tø xt − yt1 ≤ xt − T1 xt + T1 xt − yt1 t❛ s✉② r❛ xt − yt1 → ❦❤✐ t → 0✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ yt2 − T2 yt1 = (1 − βt2 ) yt1 − T2 yt1 → ✭✹✳✷✹✮ ✾✾ ✈➔ yt2 − xt ≤ (1 − βt2 ) yt1 − xt + βt2 T2 yt1 − xt ≤ (1 − βt2 ) yt1 − xt + βt2 T2 yt1 − yt1 + yt1 − xt , t❛ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ yt2 − xt → ❦❤✐ t → 0✳ ❉♦ xt − T2 xt ≤ xt − yt2 + yt2 − T2 yt1 + T2 yt1 − T2 xt ≤ xt − yt2 + yt2 − T2 yt1 + yt1 − xt ✈➔ xt − yt2 , yt2 − T2 yt1 , yt1 − xt → 0✱ t❛ ❝â xt − T2 xt → 0✳ ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â xt − Ti xt → 0, ✈ỵ✐ i = 1, 2, · · ·, N ✈➔ ytN − xt → ❦❤✐ t → 0✳ ●✐↔ sû {xk } ❧➔ ❞➣② ❝♦♥ ♥➔♦ ✤â ❝õ❛ ❞➣② {xt } ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ x ˜ ❦❤✐ k → ∞✳ ❑❤✐ ✤â✱ xk − Ti xk → 0, ✈ỵ✐ i = 1, 2, · · ·, N ✈➔ {ykN } ❝ơ♥❣ ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ x ˜✳ ❚ø ❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✸✱ t❛ ❝â x ˜ ∈ D = ∩N i=1 F ix(Ti ) ✈➔ tø ✭✹✳✶✹✮✱ t❛ s✉② r❛ F (x), x − x˜ ≥ ∀x ∈ D ❚ø x, x ˜ ∈ D✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤❛② x ❜ð✐ tx + (1 − t)˜ x tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ t❤❛♠ ❜✐➳♥ t ✈➔ ❝❤♦ t → 0✱ t❛ ✤÷đ❝ F (˜ x), x − x˜ ≥ ∀x ∈ D ❉♦ x ¯ tr♦♥❣ ✭✹✳✷✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t ♥➯♥ t❛ ❝â x˜ = x¯✳ ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ t❤❛② x tr♦♥❣ ✭✹✳✶✹✮ ❜ð✐ x ¯✱ t❛ s✉② r❛ {xt } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤✳ ❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤å ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✹✳✷✳✶✳ ⑩♥❤ ①↕ S : X → X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ γ ✲❣✐↔ ❝♦ t tỗ t số [0, 1) s❛♦ ❝❤♦ Sx − Sy ≤ x−y + γ (I − S)x − (I − S)y , ∀x, y ∈ X ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t tr♦♥❣ ❬✺✸❪ r➡♥❣ ♠ët →♥❤ ①↕ T : X → X ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ T x = αx + (1 − α)Sx ✈ỵ✐ α ∈ [γ, 1) ❝è ✤à♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ F ix(T ) = F ix(S) ❙û ❞ư♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ♠➻♥❤ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ D = ∩N i=1 F ix(Si )✱ ✈ỵ✐ Si ❧➔ γi ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t✱ γi ∈ [0, 1), i = 1, N ✳ ✶✵✵ ˜ ˜ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ αi ∈ [γi , 1) ❧➔ ❝→❝ sè ❝è ✤à♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ D = ∩N i=1 F ix(Ti ) ✈ỵ✐ Ti y = αi y + (1 − αi )Si y ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✱ ✈ỵ✐ i = 1, 2, · · ·, N ✱ ✈➔ ❞♦ ✈➟② T˜t , i T˜it y = (1 − βti )y + βti T˜i y = (1 − βti (1 − αi ))y + βti (1 − αi )Si y, ✭✹✳✷✺✮ i = 1, 2, · · ·, N, ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❱➔ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝â ❦➳t q✉↔ s❛✉✱ ỵ G : X X →♥❤ ①↕ L✲▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ η✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✱ ✈ỵ✐ L, η ❧➔ ♥❤ú♥❣ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣✳ ❈❤♦ γi ∈ [0, 1), i = 1, N ✱ ❤å →♥❤ ①↕ N {Si }N i=1 ỗ N i ❝♦ ❝❤➦t tr➯♥ X s❛♦ ❝❤♦ D = ∩i=1 F ix(Si ) = ∅✳ ❈❤♦ αi ∈ [γi , 1), µ ∈ (0, 2η/L2 ) ✈➔ ❝❤♦ t ∈ (0, 1), {λt }, {βti } ⊂ (0, 1), ♥❤÷ tr♦♥❣ ỵ õ {xt } ❜ð✐ xt = T˜t xt , T˜t := T0t T˜Nt T˜1t , t ∈ (0, 1), ð ✤➙② T˜it ✱ ✈ỵ✐ i = 1, 2, · · ·, N ✱ ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ✭✹✳✷✺✮ ✈➔ T0t x = (I t àG)x tử tợ t x¯ ❝õ❛ ✭✹✳✷✮✳ N i=1 ξi Si ˜ = D ð ✤➙② S˜ = ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t tr♦♥❣ ❬✹❪ r➡♥❣ F ix(S) N i=1 ξi ✈ỵ✐ ξi > ✈➔ ˜ = ✈ỵ✐ N →♥❤ ①↕ {Si }N i=1 ❧➔ γi ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ S ❧➔ →♥❤ ①↕ γ ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t ✈ỵ✐ γ = max{γi : ≤ i ≤ N }✳ ❱➻ ✈➟②✱ t❛ ❝â t q s ỵ G : X → X ❧➔ →♥❤ ①↕ L✲▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ η✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ L, η > ♥➔♦ ✤â✳ ❈❤♦ {Si }N i=1 ❧➔ N →♥❤ ①↕ γi ✲❣✐↔ ❝♦ ❝❤➦t tr➯♥ X t❤ä❛ ♠➣♥ D = ∩N i=1 F ix(Si ) = ∅✳ ❈❤♦ α ∈ [γ, 1), ð ✤➙② γ = max{γi : ≤ i ≤ N }✱ µ ∈ (0, 2η/L2 ) ✈➔ ❝❤♦ t ∈ (0, 1), {λt }, {βt } ⊂ (0, 1), s❛♦ ❝❤♦ λt → 0, ❦❤✐ t → ✈➔ < lim inf βt ≤ lim sup βt < t→0 t→0 ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xt }✱ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ N xt = T˜t xt , T˜t := T0t ((1 − βt (1 − α))I + βt (1 − α) ξi Si ), t ∈ (0, 1), i=1 ð ✤➙② T0t = (I − λt µG)✱ ξi > ✈➔ x¯ ❝õ❛ ✭✹✳✷✮✳ N i=1 ξi = 1✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ✶✵✶ ❱➼ ❞ư✳ ❈❤♦ D t õ ỗ tr ổ R2 D1 = {x = (x1, x2) ∈ R2 |x1 + x2 ≤ 1}✱ D2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 |x1 + 2x2 ≥ −2}✳ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ x∗ ∈ D s❛♦ ❝❤♦ ϕ(x∗) = ϕ(x) ✈ỵ✐ ϕ(x) = x∈D x 2 ❇➔✐ t♦→♥ tr➯♥ t÷ì♥❣ ữỡ ợ F (x), x x 0, ợ ♠å✐ x ∈ D, F (x) = ϕ (x) = 2x ❧➔ →♥❤ ①↕ 2✲▲✐♣s❝❤✐t③ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ 1✲✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ t ∈ (0, 1)✱ ❧➜② λt = t3 = 1/k → ❦❤✐ k → ∞✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❞➣② {xt }✱ xt = (I − λt F ).(β2 I + (1 − β2 )T2 ).(β1 I + (1 − β1 )T1 )✱ ✈ỵ✐ Ti = PDi ✭♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❧➯♥ t➟♣ ❤ñ♣ Di ✮✱ i = 1, 2, ❧➔ ❤å ❤ú✉ ❤↕♥ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr➯♥ R2 ✱ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ x∗ = (0, 0) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➣ ❝❤♦✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ tr➯♥ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ D t rộ ỗ õ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✱ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ trà F : D → X ✈➔ ❤å ✈æ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ Ti : D → D, i = 1, 2, , n, ✳ ⑩♥❤ ①↕ J tø X ✈➔♦ X ∗ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✱ (J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x x∗ ✈➔ x∗ = x }) ❇➔✐ t♦→♥ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉✿ ❚➻♠ x ∈ D s❛♦ ❝❤♦ F (x), J(x − x) ≥ 0, ∀x ∈ D; Ti (x) = x, i = 1, 2, , n, ✭✹✳✷✻✮ ❈❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ợ ỹ tr ữỡ rsss ữỡ ❧➦♣ ❍❛❧♣❡r♥ ✈➔ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ♠➲♠ ❝õ❛ t ữủ t ợ F = I − A✱ ✭A ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦ tr D D ởt t ỗ õ tr ởt ổ tỹ ỗ ❝❤➦t ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉✮✳ ❑➳t q✉↔ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ❝ỉ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✷❪ tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ư❝ ❝ỉ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝ỉ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✳ ✶✵✷ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ 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