CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẦY ĐỦ

Nội dung giáo trình CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐẦY ĐỦ được phân dạng theo từng chuyên mục, tóm tắt lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luận. Giáo án giúp các bạn học sinh có thể tự học và luyện tập tại nhà một cách dễ dàng .

Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Phần BẤT ĐẲNG THỨC GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  Phần BẤT ĐẲNG THỨC GTLT - GTNN Chủ đề BẤT ĐẲNG THỨC Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất .4 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM) .7 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy Schwarz .11 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT C.B.S 12 Dạng Chứng minh BĐT dựa vào tọa độ vectơ .13 Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 14 Dạng Sử dụng phương pháp làm trội 15 Dạng Ứng dụng BĐT để giải PT, HPT, BPT 16 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 1: Bất đẳng thức 18 Chủ đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 21 Dạng Dùng tam thức bậc hai .21 Dạng Dùng BĐT Cauchy 22 Dạng Dùng BĐT C.B.S 24 Dạng Dùng BĐT chứa dấu giá trị tuyệt đối 25 Dạng Dùng tọa độ vectơ 26 Bài tập trắc nghiệm chủ đề 2: GTLN-GTNN 27 BÀI TẬP TỔNG HỢP PHẦN 29 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM PHẦN 32 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề Tóm tắt lí thuyết Tính chất: Điều kiện Nội dung Cộng hai vế với số a 0, c > 0  a  b   ac  bd 0 c  d (5) Nhân hai vế Nâng lên lũy Mũ lẻ a  b  a 2n1  b2 n1 (6a) thừa với n   Mũ chẵn  a  b  a 2n  b2 n (6b) a0 ab a  b (7a) a ab a  b (7b) Lấy hai vế Nghịch đảo 1  a b 1 ab  a b ab a, b dấu a, b khác dấu  Lưu ý:  Khơng có qui tắc chia hai bất đẳng thức chiều  Ta nhân hai vế bất đẳng thức biết chúng dương  Cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ cách biến đổi Bất đẳng thức cạnh tam giác: Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta có:  a b  c  a b  a, b, c   bc  a  bc  ca b ca Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:   x  x  x , với số thực x  x  0; x  x; x   x , với số thực x  x  a   a  x  a với a   x  a  x   a x  a với a   Định lí:  a, b ta có: a  b  a  b  a  b (8a) (8b) Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cơ-si hay AM-GM)  Định lí: Với hai số khơng âm a, b ta có: ab  ab  ab hay a  b  ab hay    ab   Dấu “=” xảy a = b  Hệ 1: Nếu hai số dương thay đổi có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a + b = S khơng đổi thì: S2 S2 ab  S  ab   (ab) max  , đạt a = b 4 Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn  Hệ 2: Nếu hai số dương thay đổi có tích khơng đổi tổng chúng lớn hai số Tức với hai số dương a, b có a b = P khơng đổi thì: a  b  P  ( a  b )  P , đạt a = b Ý nghĩa hình học: Trong tất hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ  Mở rộng: ① Với số a, b, c khơng âm, ta có: abc  a bc   abc hay a  b  c  3 abc hay    abc 3   Dấu “=” xảy a = b = c a  a  a   an n ② Với n số a1, a2, a3, …, an khơng âm, ta có:  a1a2 a3 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpxki (chứng minh trước dùng)  Dạng tổng quát: Cho 2n số thực tùy ý a1, a2, …, an, b1, b2, …, bn,khi đó:  Dạng 1: ( a1b1  a2 b2   an bn )  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 2: a1b1  a2 b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy   Dạng 3: a1 a2 a    n b1 b2 bn a1 a2 a    n b1 b2 bn a1b1  a2b2   anbn  (a12  a22   an2 )(b12  b22   bn2 ) Dấu “=” xảy  a1 a2 a    n  b1 b2 bn  Hệ quả:  Nếu a1 x1  a2 x2   an xn  c số thì: min( x12  x22   xn2 )  c2 x x x     n 2 a1  a2   an a1 a2 an Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình  Nếu x12  x12   xn2  c số thì: max(a1 x1  a2 x2   an xn )  c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an max(a1 x1  a2 x2   an xn )   c a12  a22   an2  x1 x2 x    n  a1 a2 an  Trường hợp đặc biệt: Cho a, b, x, y số thực, ta có:  Dạng 1: ( ax  by )  ( a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 2: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b  x y  Dạng 3: ax  by  (a  b )( x  y ) Dấu “=” a b   x y Phương pháp giải toán Dạng Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa tính chất  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh A  B định nghĩa, ta lựa chọn theo hướng sau: Hướng Chứng minh A – B  Hướng Thực phép biến đổi đại số để biến đổi bất đẳng thức ban đầu bất đẳng thức Hướng Xuất phát từ bất đẳng thức Hướng Biến đổi vế trái vế phải thành vế lại Chú ý: Với hướng hướng công việc thường biến đổi A – B thành tổng đại lượng không âm Và với bất đẳng thức A – B  cần dấu “=” xảy ? B BÀI TẬP MẪU VD 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  ab ② a  b   ab  a  b ③ a  b  c  ab  bc  ca ④ Nếu ⑤ a  b  a 2b  b a  ab ( a  b ) ⑥ a a ac   b b bc a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO 1.1 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c   2( a  b  c ) ③ a2  b  c  ab  ac  2bc ⑤ a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  abc ⑦ ② a  b  c  2( ab  bc  ca ) ④ a  b  c   2a ( a 2b  a  c  1) ⑥ a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) 1 1 1      , với a, b, c  ⑧ a  b  c  ab  bc  ca , a b c ab bc ca với a, b, c  1.2 Cho a , b, c, d số thực Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b3  a  b   ①  , với a , b    ② a  b  a 3b  ab ③ a   4a ④ a  b  c3  abc , với a,b,c  a b6 ⑤ a  b   , với a, b  b a ⑦ 1   , với a, b  2  a  b  ab ⑥ a2  a2  2 ⑧ ( a  b )( a  b )  ( a  b )( a  b ) ,với ab  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 1.3 Cho a, b, c, d , e   Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  1)(b  1)( c  1)  8abc ② ( a  4)(b  4)(c  4)( d  4)  256abcd ③ a  b  c  d  4abcd 1.4 Cho a, b, c   Chứng minh a  b  c2  ab  bc  ca (2) Áp dụng bất đẳng thức (2) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b  c)  3( a  b  c ) ② a  b  c  abc ( a  b  c ) ③ ( a  b  c)  3( ab  bc  ca ) ⑤ 1.5 a bc  ④ ab  bc  ca , với a, b, c  Cho a, b , c, d  Chứng minh rằng: a2  b2  c2  a  b  c    3   ⑥ a  b  c  abc , với a  b  c  a a ac   (3) Áp dụng bất đẳng thức (3) để b b bc chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a b c d ①   2 ② 1    2 a b bc ca a bc bc d c d a d a b a b bc cd d a ③ 2    3 abc bcd cd a d ab 1.6 Cho a, b, c   Chứng minh a3  b3  a 2b  b a  ab(a  b) (4) Áp dụng bất đẳng thức (4) để chứng minh bất đẳng thức sau: a  b b3  c c  a ①    2( a  b  c ) ab bc ca 1 1 ② 3  3   , a, b, c  a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc 1 ③ 3  3   , với abc  a  b  b  c  c  a3  1 1 ④    , với a, b, c  abc  a  b 1 b  c 1 c  a 1 ⑤ 1.7  a3  b3    b3  c3    c3  a   2(a  b  c) , a, b, c  Cho a, b, x, y   Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min-côp-xki): a  x  b  y  (a  b)2  ( x  y )2 (5) Áp dụng (5): ① Cho a , b  thỏa a  b  Chứng minh:  a   b  ② Tìm GTNN P  a  1  b  , với a , b  b a ③ Cho x, y , z  thỏa x  y  z  Chứng minh: x2  1  y   z   82 x y z Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Dạng Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy (AM-GM)  A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Các dạng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM):  x  y  xy ①  Với x, y   Dấu “=” xảy x  y 2  x  y  xy ②  x  y 2  xy ③   Với x, y     Dấu “=” xảy x  y  ( x  y )  xy ④  x  y  z  3 xyz ⑤   Với x, y, z   x  y  z 3 Dấu “=” x  y  z  xyz ⑥     B BÀI TẬP MẪU Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: VD 1.2 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  b )  ab ② 2( a  b )  ( a  b ) ③ 1   a b ab ④ 1    a b c abc Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình Loại 2: Tách cặp nghịch đảo VD 1.3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b    a, b   b a x ③    x   x2 ① x 18    x   x 10 ④ a   a  3 a ② Loại 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1 1 1    hay   (1) Dấu “=” xảy x = y x y x y x y Dạng 1:  x  y  Dạng 2:  x  y  z 1 1 1     hay    (2) Dấu “=” xảy x=y=z x y z x yz x y z VD 1.4 Cho a, b  Chứng minh 1   (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh a b ab bất đẳng thức sau: 1 1   ①    2      a, b, c   a b c  a b bc ca  ② 1 1 1      2    ab bc ca  2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b   a , b , c   Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) Loại 4: Đặt ẩn phụ để áo dụng BĐT Cauchy: VD 1.5 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức (BĐT Nesbit) sau: a b c    bc ca a b b  c  x  HD: Đặt c  a  y a  b  z  C BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Loại 1: Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân ngược lại: 1.8 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  2ab ② (a  b)(1  ab)  4ab 1 1 ③ (a  b  c )      a b c 1 1 ④ (a  b)     a b  a  b   c  ⑤      1     b  c   a  ⑥ 1 1 16     a b c d abcd ⑦ (1  a  b )( a  b  ab)  9ab ⑧  ⑨ 3a  7b  9ab ⑩ ( a  b )(b  c)(c  a )  8abc ⑪ 1.9  a b   2(a  b) ab ⑫ a b   64ab(a  b)2 a4  2, a  3 a3 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: ① a  b  c  ab  bc  ca ab bc ac    abc c a b a b ⑤ ab    a  b  b a ③ ② ab  bc  ca  abc  a b c a b c 1      bc ca ab a b c a b3 c ⑥    ab  bc  ca b c a ④ 1.10 Cho a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a b2 c2    abc b c a a b3 c3 a b c ③ 2 2    b c a b c a 3 a b c ⑤    ab  bc  ca b c a ① a3 b3 c    abc b2 c a a b3 c ④    abc bc ca ab a5 b5 c ⑥    a  b2  c b c a ②  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 93 TN2.135 Với giá trị m bất phương trình sau vơ nghiệm:  m   x   m   x  A m  4 B m  4 C m  4 D Không tồn m TN2.136 Với giá trị m bất phương trình sau vơ nghiệm:  m  1 x   mx  A   m   B m   m   C  2  m   2 D m   2 m   2 TN2.137 Định m để bất phương trình ( m  7) x  m   ( m  2) x có tập hợp nghiệm tập hợp  ;1 A m  5 B m  C m  D m  TN2.138 Định m để bất phương trình (2 m  7) x   mx  m có tập hợp nghiệm tập hợp  2;   A m  B m  C m  4 D m  4  3x   có học sinh lí luận qua giai đoạn sau: 4x   3x   x  5  3x 9x  I 3  0 < (1) 4x  4x  4x  II (1)   x   x   < (2) TN2.139 Để giải bất phương trình III (2)    x  7 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:   ;    9 Lí luận hay sai? Nếu sai sai từ giai đoạn nào? A Sai từ giai đoạn I B Sai từ giai đoạn II C Sai từ giai đoạn III D Cả I, II, III x5  x   TN2.140 Giải hệ bất phương trình:   x   2  x  A x  4 x  3 B 4  x  3 C x  4 x  3 D 6  x  3 ( x  5)  ( x  4)   TN2.141 Giải hệ bất phương trình:  x  x   0  x 2 x 1 A  x  B x  x  2 C x  2  x  D x  2 x   1  x   x  TN2.142 Giải hệ bất phương trình:  x    0  x  x  A x  x  C x  x  x  2 D 2  x   x  B 2  x   Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình TN2.143 Giải bất phương trình: 5  2x   x 8 A x  x  C x  x  94 B x  x  37 37 D x  8 x  x2  x   TN2.144 Giải hệ bất phương trình:   x  5x   x  x  A  x  37 C x  x  B.Vô nghiệm D x  3  x  x  TN2.145 Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình: x   x  Khi x12  x22 A 25 B C 25 D 5 TN2.146 Giải bất phương trình: x  x  28  x  x  A 9  x  B x  9 x  C  x  D x  x  TN2.147 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  x    x với  x  A B C 2 D 2 Giả thiết sau dùng cho câu 148, 149, 150 Cho năm hàm số: 1 f1  x  x  3 , f  x  | x |  , f3  x   x  , f  x   x  f5  x    x  x Hãy chọn | x| x x khẳng định đúng: TN2.148 Hàm số khơng có giá trị nhỏ A f1  x  C f  x  B f  x  D f  x  TN2.149 Hàm số có giá trị lớn -2 khoảng  ;0  A f1  x  B f  x  C f  x  D f  x  TN2.150 Hàm số có giá trị lớn A f1  x  C f  x  B f  x  D f  x  TN2.151 Hãy khẳng định sai khẳng định sau Mọi nghiệm bất phương trình x   nghiệm bất phương trình mx  m   A m  B m  2 C m  m  D  m  3 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) TN2.152 Cho năm phương trình: x2   m  2 x  m  95 (1)  m  1 x  2mx   (3) x2   x   m  1 x  m   (2) x   m   x  3m  5m  12  (4)  3m  x  m  3m   (5) Hãy chọn khẳng định khẳng định sau Trong năm phương trình trên, phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị m A (1) B (1) (2) C (1), (2) (5) D (1) (5) TN2.153 Với năm phương trình cho TN2.152, chọn khẳng định Các phương trình có hai ngiệm với giá trị m A (3) B (3) (5) C (3), (4) (5) D (3) (4) TN2.154 Cho ba biểu thức f1  x   x  x  m  f2  x    x2  x  m  f3  x    3m   x   3m   x  m  Trong khẳng định sau, khẳng định sai ?  22 22  A Với m thuộc  ;  ta có f  x  số âm x thay đổi 3   B Khi m  f1  x   với giá trị x C Khơng có giá trị m để f1  x   với giá trị x D Chỉ m   tồn x0 để f  x0   ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM PHẦN B D B C C D C D C 10 C 11 B 12 B 13 A 14 C 15 D 16 B 17 D 18 C 19 A 20 D 21 A 22 A 23 A 24 C 25 D 26 C 27 C 28 D 29 A 30 D 31 D 32 A 33 C 34 B 35 C 36 D 37 B 38 D 39 A 40 C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 C A B C B D D B C A B D A A C B B C B A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 C C D C D B D A C A D D D C A C A B D C 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 B C A D C D A B D D A C B A D D B D A C 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 C D A B A D A D B C A D C D C A B C D C 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 B A B A B C A B B D D A C A 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 A D C B C A C D D C C B C A D C A D D B Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 96 Phần TRÍCH ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG  A – BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI 3.1 [ĐHA-03] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  y  z  Chứng minh rằng: x2  1  y   z   82 x y z 1    Chứng minh rằng: x y z 1   1 2x  y  z x  2y  z x  y  2z 3.2 [ĐHA-05] Cho x, y, z số dương thỏa mãn 3.3  12   15   20  [ĐHB-05] Chứng minh với x   , ta có:          3x  x  x  5  4   3.4 [ĐHD-05] Cho số dương x, y, z thỏa mãn xyz  Chứng minh rằng: x x x  x3  y3  y3  z  z  x3   3 xy yz zx 3.5 [ĐHA-06] Cho hai số thực x  0, y  thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y ) xy  x  y  xy Tìm giá trị lớn biểu thức: A  3.6 1  x3 y ĐS: MaxA = 16 x = y = 1/2 [ĐHB-06] Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  ( x  1)  y  ( x  1)2  y  y  3.7 [ĐHA-07] Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  3.8 x2 ( y  z) y ( z  x) z ( x  y)   y y  2z z z z  2x x x x  y y [ĐHB-07] Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x     y     z     zx   xy   yz  3.9     [ĐHD-07] Cho a  b  Chứng minh rằng:  2a  a    2b  b      3.10 [ĐHA-07] Cho x, y, z biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x y z  P  4( x  y )  4( x  z )  4( z  x3 )      z x  y 3.11 [ĐHB-08] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lón giá trịn nhỏ biểu thức: P  2( x  xy )  xy  y Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 97 3.12 [ĐHD-08] Cho x, y hai số thực khơng âm thay đổi Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P  ( x  y )(1  xy ) (1  x ) (1  y ) 3.13 [CĐ-08] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P  2( x  y )  xy 3.14 [DBĐHB-08] Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  x yz Chứng minh rằng: 3x 3 3.15 [ĐHA-09] Chứng minh với số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x  x  y  z   yz , ta có: ( x  y )3  ( x  z )3  3( x  y )( x  z )( y  z )  5( y  z )3 3.16 [ĐHB-09] Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( x  y )  xy  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  3( x  y  x y )  2( x  y )  3.17 [ĐHD-09] Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: S  (4 x  y )(4 y  x)  25 xy 3.18 [CĐ-09] Cho a b hai số thực thỏa mãn  a  b  Chứng minh rằng: a ln b  b ln a  ln a  ln a 3.19 [ĐHB-10] Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  3(a 2b  b 2c2  c a )  3(ab  bc  ca )  a  b  c 3.20 [ĐHD-10] Tìm giá trị nhỏ hàm số: y   x2  x  21   x2  3x  10 3.21 [CĐ-10] Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  1  x xy [ĐHAA1-11] Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn 1; 4 x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x y z   2x  y y  z z  x 3.22 [ĐHB-11] Cho a, b số thực dương thỏa mãn 2( a  b )  ab  ( a  b )( ab  2) Tìm giá trị  a b3   a b  nhỏ biểu thức: P         b a  b a  3.23 [ĐHD-11] Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( x  4)  ( y  4)  xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  y  3( xy  1)( x  y  2) 3.24 [ĐHAA1-12] Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y  y  z  z  x  x  y  z 3.25 [ĐHB-12] Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x5  y  z 3.26 [ĐHD-12] Cho số thực x, y thỏa mãn điều kiện ( x  4)  ( y  4)  xy  32 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  y  3( xy  1)( x  y  2) Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 98 3.27 [ĐHAA1-12] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện  a  c  b  c   4c Tìm giá trị 32a3 32b3 a  b2   (b  3c)3 (a  3c)3 c nhỏ biểu thức: P  3.28 [ĐHB-13] Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P 2 a b c 4  (a  b) ( a  2c)(b  2c) 3.29 [ĐHD-13] Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  y –1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y x  xy  y  x 2y 6( x  y ) 3.30 [ĐHAA1-14] Cho x, y, z số thực không âm thỏa điều kiện x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x2 yz  yz   x  yz  x  x  y  z  3.31 [ĐHB-14] Cho số thực a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện  a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a b c   bc a  c 2(a  b) 3.32 [ĐHD-14] Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện  x  2;  y  Tìm giá trị nhỏ x  2y y  2x biểu thức: P    x  y  y  3x  4( x  y  1) 3.33 [THPTQG-15] Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] a  b  c  Tìm giá trị lớn a 2b  b c  c a  12abc  72 biểu thức: P   abc ab  bc  ca B - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I Bất phương trình 3.34 Giải bất phương trình: x  x   x  ĐH Văn hóa HN - 98 ĐS:  x  3.35 Giải bất phương trình: x   x  x   ĐH DL Thăng Long - 99 ĐS:   x   3.36 Giải bất phương trình: x  x   5( x  3) ĐH Văn hóa HN - 00 3.37 Giải bất phương trình: x   x  x  ĐH An Giang - 01 ĐS: x   x  ĐS: x  ( 1  17)/2  x  II Bất phương trình có chứa tham số 3.38 Tìm m để: x  x  m  m  3m   có nghiệm ? HV Kỹ Thuật Quân - 96 ĐS: 1  m  1/2 3.39 Tìm a để bất phương trình: x  x  a  có nghiệm âm ? HV Kỹ Thuật Quân - 00 ĐS: 13/4  a  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 99 C - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA CĂN THỨC I Bất phương trình 3.40 Giải bất phương trình: x   x 1  x  TH Kỹ Thuật Y Tế - 97 3.41 Giải bất phương trình: x ĐS: x   x 1 ĐS: x  5/6  x  ĐHDL Văn Lang - 97 3.42 Giải bất phương trình: x  3x   x  ĐH SP Vinh Khối D - 99 3.43 Giải bất phương trình: ĐH Bách Khoa - 99 x 1   x  3.44 Giải bất phương trình: 5x   x 1  x ĐS: x  7/9 ĐS: x  ĐS: x  1/4 ĐH An Ninh Khối D - 99 3.45 Giải bất phương trình: 3 x  x   x  CĐ Kinh Tế Kĩ Thuật CN II - 07 3.46 Giải bất phương trình: ĐH Tây Nguyên - 99 x   2x    x 3.47 Giải bất phương trình: x 1  x   x  ĐS: 2  x  ĐS:  x    x  ĐH Tây Nguyên - 99 ĐS:  x  12  x  x 12  x  x  x  11 2x  3.48 Giải bất phương trình: ĐS: x  3  2  x  ĐH Huế Khối D - 99 3.49 Giải bất phương trình: x  x 1  x  x 1  ĐS: x  ĐH Ngân Hàng - 99 3.50 Giải bất phương trình: 2x 3   2x   x  21 ĐS: 9/2  x  7/2  x  ĐH Mỏ Địa Chất HN - 99 3.51 Giải bất phương trình: x2  x  x ĐH Mỹ Thuật Công Nghiệp - 99 3.52 Giải bất phương trình: ĐH Dược Hà Nội - 00 ĐS: x  x  x  15  x  x  15  x  18 x  18 ĐS: x  5  x    x  17/3 3.53 Giải bất phương trình: x  x   x  x   x  x  ĐH BK Hà Nội Khối D - 00 3.54 Giải bất phương trình: 62 3 ( x  x  2) x   CĐSP Nhà Trẻ Mẫu Giáo - 00 ĐS: 2  x   /2  /2  x  ĐS: x  5  x  1 Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 100 3.55 Giải bất phương trình: x  x  x  HV Chính Trị QG TpHCM - 00 3.56 Giải bất phương trình: ĐS: x  1/6 x   2( x  1) ĐS: x  1   x  ĐHDL Duy Tâm Khối D - 00 3.57 Giải bất phương trình: ( x  1)(4  x )  x  ĐS: 1  x  7/2 ĐH Mỏ địa chất HN - 00 3.58 Giải bất phương trình: ĐH Thủy Lợi - 00 x    x   2x 3.59 Giải bất phương trình: x  13  x   x  27 ĐS:  x  5/2 ĐHDL Phương Đông - 00 ĐS: x  (229  411)/59 3.60 Giải bất phương trình: x   x 1  2x  ĐHDL Kỹ Thuật CN - 00 3.61 Giải bất phương trình: ĐS: 5/2  x  x  x 3  x   2 x 3 ĐS: x  ĐH An Giang - 01 x2  3x   x  3.62 Giải bất phương trình: ĐH Thái Nguyên Khối D - 01 3.63 Giải bất phương trình: ĐS: x    x  (17  13)/6 ( x  5)(3 x  4)  4( x  1) ĐS: 4/3  x   x  5 ĐH Kinh Tế Quốc Dân - 01 3.64 Giải bất phương trình: ĐHDL Bình Dương - 01 x 1  x 1  ĐS:  x  65/16 3.65 Giải bất phương trình: 3x   x   x  ĐHDL Bình Dương - 01 3.66 Giải bất phương trình: ĐS:  x  x   x 1  x  ĐHDL Thăng Long Khối D - 01 ĐS: x  52 / ( x  3) x2   x2  ĐH Y Dược TpHCM - 01 3.67 Giải bất phương trình: x  3 x4 3.68 Giải bất phương trình: ĐS: 5  x   x  ĐHDL Hồng Đức - 01 3.69 Giải bất phương trình: x2  3x   x  x   x2  x  ĐH Y Dược TpHCM - 01 3.70 Giải bất phương trình: ĐH Ngoại Thương - 01 ĐS: x   x  1 x  1 x  x ĐS:  x  3.71 Giải bất phương trình: x2  x   x  3x   x  ĐH Kiến Trúc Hà Nội - 01 3.72 Giải bất phương trình: ĐS: x  13/6  x  x2  1 1 x   x4 ĐS: x  1/2  x  Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 101 ĐS: 1  x  ĐH Vinh - 01 3.73 Giải bất phương trình: ( x  x) x  x   ĐS: x  1/2  x   x  ĐH Khối D - 02 3.74 Giải bất phương trình: Dự bị ĐH Khối B - 02 x  12  x   x  3.75 Giải bất phương trình: CĐ Điều Dưỡng - 04 x  11  x   x  ĐS:  x  ĐS:  x  3.76 Giải bất phương trình: x2  x   x  ĐH Hùng Vương - Hệ CĐ - 04 3.77 Giải bất phương trình: 2( x  16) x 3  x 3  ĐS: x  3 7x x 3 ĐH Khối A - 04 ĐS: x  10  34 3.78 Giải bất phương trình: Dự bị ĐH Khối D - 05 x    x  3x  3.79 Giải bất phương trình: ĐH Khối A - 05 5x 1  x   x  3.80 Giải bất phương trình: Dự bị ĐH Khối B - 05 x2  x   x   3.81 Giải bất phương trình: CĐ KT Y Tế I - 06 3.82 Giải phương trình: ĐS: 2/3  x   14/3  x  ĐS:  x  10 ĐS: x  1/4  x  1/2 x  4x   2x  ĐS: x  2/3 3x 1  1 x  x2 Dự bị ĐH Khối A - 08 3.83 Giải bất phương trình: CĐ Khối A, B, D - 09 3.84 Giải bất phương trình: ĐS: 1  x  /2  5/5  x  x   x   5x  ĐS:  x  x x  2( x  x  1) 1 ĐH Khối A - 10 ĐS: x  (3  5)/2 II Phương pháp đặt ẩn phụ 3.85 Giải bất phương trình: x( x  4)  x2  x  ( x  2)  ĐHQG TpHCM - 99 3.86 Giải bất phương trình: ĐS:   x   ( x  1)  ( x  1)  3x x   ĐS: x  1 ĐH Xây Dựng - 99 3.87 Giải bất phương trình: x 1 x 1 2 3 x x ĐH Mở Hà Nội - 99 ( x  1)( x  4)  x  x  28 HV Quan hệ Quốc Tế - 00 ĐS: 1/8  x  3.88 Giải bất phương trình: ĐS: 9  x  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 102 3.89 Giải bất phương trình: x  x  3  x  x  ĐHDL Phương Đông - 00 3.90 Giải bất phương trình: x   2x  7 2x x ĐH Thái Nguyên - 00 3.91 Giải bất phương trình: ĐH An Ninh - 00 3.92 Giải bất phương trình: ĐS: 3  x  ĐS:  x   /2  x   /2 x   x   49 x  x  42  181  14 x ĐS: 6/7  x  x   x   (3 x  2)( x  2) ĐS: 2/3  x  34/47  x  ĐH Hải Phòng - 01 3.93 Giải bất phương trình: 4 (4  x )(2  x)  x  x  ĐS: CĐ Nông Lâm - 01 x( x  1)  x  x    ĐH Cần Thơ Khối D - 01 3.94 Giải bất phương trình: 3.95 Giải bất phương trình: ĐS: x  1  x  x x 1   x 1 x ĐS: 1  x    x  ĐHDL Thăng Long - 01 3.96 Giải bất phương trình: x   x2   3x  x2 ĐH Mỏ - Địa chất - 01 3.97 Giải bất phương trình: ĐS: x   x   x  (2  14)/3 x  x  x   10 x  15 ĐH Y Hà Nội - 01 ĐS: x  (5  53)/2  x  (5  53)/2 3.98 Giải bất phương trình: CĐ KT Cao Thắng - 07 3.99 Giải bất phương trình: x  10 x    x  x ĐS: x  3  x  ( x  1)( x  3)  x2  x    ( x  1) Dự bị ĐH Khối D - 08 3.100 Giải bất phương trình: ĐH Khối B - 12 ĐS:   x   x   x2  x   x ĐS:  x  1/4  x  III Phương pháp dùng hàm số 3.101 Giải bất phương trình: x 1  1 x   x2 ĐS: 1  x  CĐSP TPHCM - 98 3.102 Giải bất phương trình:  x  x   x CĐ Kinh Tế Đối Ngoại - 00 3.103 Giải phương trình: 3x2  x   x  3x   ĐH Cảnh Sát Nhân Dân - 01 3.104 Giải bất phương trình: ĐH Y Thái Bình - 01 ĐS:  x  x2   3x2  5x  ĐS: x    (5+ 37 )/6  x  3x  x   x  3x.2 x 3x  x   (2 x) 3x ĐS: 1  x  1/3 Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 103 IV Bất phương trình có chứa tham số 3.105 Giải biện luận bất phương trình: x  m  x  2m  ( m tham số) ĐS: m  : vn; m  : 3m  x  ĐHQG TpHCM - 97 3.106 Cho bất phương trình: x  3m x (6  3) m  1  m  x x   a Giải hệ phương trình m  b Xác định m để bất phương trình cho thỏa x  [0;1] ĐS: a  x  ĐHQG TpHCM - 97  ; b m  3.107 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x  m x   m  ( m tham số) HV Kỹ Thuật Mật Mã - 99 ĐS: m 3.108 Cho bất phương trình: mx  x   m  a Giải hệ phương trình m  b Xác định m để bất phương trình cho có nghiệm ĐS: a ; b m  ĐHDL Hùng Vương - 99 1  x  y  3.109 Tìm tất giá trị a để hệ sau có nghiệm  x; y  thỏa x  :   x   y   a ĐHSP Hà Nội - 01 ĐS: a   x  x   3.110 Tìm tất giá trị m để hệ sau có nghiệm:  3 x  mx x  16  Dự bị ĐH Khối D - 04 3.111 Tìm m để phương trình: m ĐS:   x  x    x (2  x)  có nghiệm x  0;1   Dự bị ĐH Khối B - 07 ĐS: m  2/3 3.112 Tìm m để bất phương trình: ( x   m) x   m  có nghiệm CĐ Khối A,A1,B,D - 13 ĐS: m  Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 104 Chú dẫn lịch sử Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) Tên gọi AM – GM viết tắt thuật ngữ tiếng anh Arithmetic mean – Geometric mean nêu lên chất bất đẳng thức a1  a2   an n  a1a2 an , ai  Các sách toán học xuất Việt n Nam thường gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) người chứng minh bất đẳng thức ông chứng minh phương pháp qui nạp đặc biệt gọi phương pháp “Quy nạp Côsi” (Quy nạp tiến Lùi) Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiakopski – Schwarz (C-B-S): Bất đẳng thức CBS nhà toán học người Pháp Cauchy đề cập vào năm 1821, nhà tốn học người Nga Bunhiakopski (BunhiaCơpski) đề cập vào năm 1859, cịn nhà tốn học Schwarz đề cập năm 1884 Do ba nhà toán học độc lập nghiên cứu nên bất đẳng thức mang tên ba nhà toán học Cauchy - Bunhiacopski - Schwarz, tài liệu viết tắt CBS (đơi số cách cịn viết BCS Cauchy - Schwarz), Việt Nam, người ta thường nhắc đến với tên Bu-nhi-a-Côpski Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1804 - 1889) Karl Hermann Amandus Schwarz (1843 - 1921) Tài liệu tham khảo Trần Văn Hạo - Đại số 10 - NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 10 - NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Văn Hạo - Đại số 10 Nâng cao - NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Văn Hạo - Bài tập Đại số 10 Nâng cao – NXB Giáo Dục Việt Nam Lê Hồng Đức - Bài giảng trọng tâm TOÁN 10 - Nhà xuất ĐHQGHN Lê Hồnh Phị - Bồi dưỡng HSG ĐẠI SỐ 10 - NXB ĐHQGHN Nguyễn Phương Anh, Hoàng Xuân Ving - Luyện tập trắc nghiệm Đại Số 10 - NXBGD Lê Văn Đồn - Bài tập TỐN 10 – Nguồn Internet Trần Phương - Những viên kim cương BĐT Toán học - Nhà xuất Tri Thức  Một số trang web, diễn đàn: [10] http://toanhocbactrungnam.vn/ [11] https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam/ [12] https://www.facebook.com/groups/tailieudayhoc/ [13] http://mathvn.com [14] http://www.vnmath.com [15] http://k2pi.net.vn [16] http://boxmath.vn/forum [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] Gv: Trần Quốc Nghĩa (Sưu tầm & Biên soạn) 105 Ghi chép cần thiết Toán 10 – Chương 4: Bất đẳng thức Bất phương trình 106 Mục lục Phần BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề Bất đẳng thức Chủ đề Giá trị lớn Giá trị nhỏ 21 Phần BẤT PHƯƠNG TRÌNH 35 Chủ đề Bất phương trình hệ bpt bậc ẩn 36 Chủ đề Dấu nhị thức bậc 49 Chủ đề Bất phương trình - Hệ bpt bậc ẩn 58 Chủ đề Dấu tam thức bậc hai Bpt bậc hai 67 Phần TRÍCH ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 96 A – Bất đẳng thức 96 B - Bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối 98 C - Bất phương trình có chứa thức 99 Tài liệu tham khảo 104 Mục lục 105 ... Bất đẳng thức Bất phương trình 1.3 Cho a, b, c, d , e   Chứng minh a  b  2ab (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất đẳng thức sau: ① ( a  1)(b  1)( c  1)  8abc ② ( a  4)(b...   (1) Dấu “=” xảy x = y x y x y x y Dạng 1:  x  y  Dạng 2:  x  y  z 1 1 1     hay    (2) Dấu “=” xảy x=y=z x y z x yz x y z VD 1.4 Cho a, b  Chứng minh 1   (1). .. 3: Sử dụng bổ đề suy luận từ BĐT Cauchy (AM-GM): 1.12 Cho a, b  Chứng minh 1   (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) để chứng minh bất a b ab đẳng thức sau, với a, b, c  : ① 1 1      2  