SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Đề thi có 02 trang ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 11 Thời gian làm bài:180 phút,không kể thời gian phát đề Câu 1( 2,0 điểm) Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – = Câu 2( 2,0 điểm) Với n số ngun dương thỏa mãn: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển: Câu 3( 2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định sau: lim( Tìm u1 = 2012 (n ∈ N*) u n +1 = 2012u n + u n u1 u u u + + + + n ) u u3 u u n +1 Câu ( 2,0 điểm) Giải hệ phương trình x + x (2 − y) + x − y(2x + 1) = 2x + 3xy − = Câu ( 2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng (α ) qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng tích thiết diện lớn Câu ( 2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ C nằm đường thẳng N ( 6; −2) ∆ : x − 2y − = Oxy (α) biết MD = x Tìm x để diện , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho A ( −3;1) CE = CD , đỉnh , biết hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật ABCD Câu (2,0 điểm) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đoạn thẳng AD’ C’D lấy hai điểm M, N cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm hình bình hành ABB’A’ trung MN A'C điểm cạnh BC Tính tỷ số Câu (2,0 điểm) Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có cách chọn ba số a,b,c khác từ dãy số để ba số lập thành cấp số cộng 4m x m Câu (2,0 điểm) Một thợ thủ cơng muốn vẽ trang trí hình vng kích thước , cách vẽ hình vng với đỉnh trung điểm cạnh hình vng ban đầu, tơ kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Q trình vẽ tơ theo qui luật lặp lại lần Tính số tiền nước 1m2 sơn để người thợ thủ cơng hồn thành trang trí hình vng trên? Biết tiền nước sơn để sơn 50.000đ Câu 10 (2,0 điểm) Cho thoả mãn abc = a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức a + b3 + c + ab bc ca + 2+ ≥ 2 a +b b +c c +a 2 -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Có 04 trang Câu Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN 10 Nội dung đáp án Giải phương trình sau: 3cos2x + 2sin( – x) – = Điểm 2,0 điểm 0,5 0,5 0,5 Phương trình cho tương đương với 3cos2x + 2cosx – = ⇔ 6cos2x + 2cosx – = ⇔ Câu cosx = ⇔ x = k2 , k ZPhhương trình có họ nghiệm Với n số ngun dương thỏa mãn: Tìm số hạng khơng chứa x ttrong khai triển: Ta có: ⇔ n = 10 Xét số hạng Tk+1 = = Khai triển không chứa x ứng với 30 – 5k = ⇔ k = Số hạng cần tìm T7 = Câu Cho dãy số (un) xác định sau: lim( Tìm Ta có : u1 u u u + + + + n ) u u3 u4 u n +1 u n +1 − u n = 2012u 2n > ∀n - Giả sử có giới hạn a : nên limun = - ta có : 0,25 Suy dãy (un )tăng a = 2012a + a ⇒ a = > 2012 +∞ un u 2n (u − u n ) 1 = = n +1 = ( − ) u n +1 u n +1u n 2012u n +1u n 2012 u n u n +1 S= Vậy : u1 = 2012 (n ∈ N*) u = 2012u + u n +1 n n 0,5 2,0 điểm 0,75 0,25 0,5 0,5 2,0 điểm 1 1 lim( − )= 2012 n →+∞ u1 u n +1 20122 Câu Giải hệ phương trình 0,75 (vô lý) 0,5 0,5 x + x (2 − y) + x − y(2x + 1) = 2x + 3xy − = 2,0 điểm Từ x + x (2 − y) + x − y(2x + 1) = ⇔ (x − y)(x + 1) = TH1: x = y vào pt : TH2: x = Câu 0,5 5x − = ⇔ x = ±1 ⇒ y = ±1 − ⇒ y = −1 0,75 0,5 ( −1; −1) 0,25 Vậy nghiệm hệ (1;1), Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC (α) 2,0 điểm BD Biết SD vng góc với AC Mặt phẳng qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D) song song với đường thẳng SD AC Xác định thiết diện (α) hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn S Q P E I B C O N M A G D Từ M kẻ hai đường thẳng song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB Q AB G, AC N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC P Ta thiết diện ngũ giác GNPQE Gọi I trung điểm BC Tứ giác ADIC hình thoi, suy AC ID Suy 0,25 SD = SI + ID = 2a AC (SID) Suy SI (ABCD) Ta có: 0,25 ( ) x EG = NP = a − x , QM = a − ÷ 3 BD = a Ta tính nên tính , GN = 3x Tứ giác EGMQ MNPQ hai hình thang vng đường cao GM NM 0,75 0,5 nên ( S MNPQE = x 3a − x S MNPQE = Max 3 a ) Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ đỉnh C nằm đường thẳng 0,25 a x= Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh ∆ : x − 2y − = N ( 6; −2) CE = CD A ( −3;1) , 2,0 điểm Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho , biết hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Tứ giác ADBN nội tiếp nhật) Suy ⇒ ·AND = ·ABD ·AND = ·ACD ·ABD = ·ACD 0,75 (do ABCD hình chữ hay tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn, mà ·ADC = 900 ⇒ ·ANC = 900 ⇒ AN ⊥ CN Giả sử C ( 2c + 5; c) uuuur uuuu r − 2c) + ( + c) = ⇒ c = ⇒ C ( 7;1) AN CN = ⇒ ( , từ Tứ giác ABEC hình bình hành, suy Giả sử B ( b; − 2) , ta có 0,25 AC / / BE Đường thẳng NE qua N song song với AC nên có phương trình y + = b = → B ≡ N ( lo¹i ) uuur uuur AB.C B = ⇒ b2 − 4b − 12 = ⇒ b = −2 → B ( −2; −2) D ( 6;4) Câu 0,25 Từ dễ dàng suy Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Trên đoạn thẳng AD’ C’D lấy hai điểm M, N cho đường thẳng MN song song với đường thẳng nối tâm hình MN A 'C bình hành ABB’A’ trung điểm cạnh BC Tính tỷ số 0,5 0,25 2,0 điểm A' D' M B' C' N Q A B D C P Gọi P trung điểm BC, Q tâm hình bình hành ABB’A’ Xét tam giác A’BC, ta có PQ đường trung bình nên PQ || A’C suy MN ||A’C uuu r r uuur u r uuur r uuuu r uuuu r uuuur uuuur AB = x, AD = y , AA ' = z , AM = m AD ', C ' N = m.C ' D Đặt Ta có uuuu r uuuur uuuu r uuuur uuuur r u r r uuuur MN = MA ' + AC ' + C ' N = − m AD ' + x + y + z + nC ' D ( ) ( 0,25 0,,75 ) u r r r u r r r r r u r r = −m y + z + x + y + z + n − x − z = ( − n ) x + ( − m ) y + ( − m − n ) z ( ) ( ) ( ) uuuur uuuuu r uuuuur uuuur r u r r A'C = A' B ' + A' D ' + A ' A = x + y − z 0,75 Do MN || A’C nên m = 1 − n = k uuuu r uuuur MN = k A ' C ⇔ 1 − m = k ⇔ n = 1 − m − n = − k k = Do Câu uuuu r uuuur MN MN = A ' C ⇒ = A 'C Vậy MN = A'C 0,25 Cho dãy số {1; 2; 3;…; 2019} có cách chọn ba số a,b,c khác từ dẫy số 2,0 điểm để ba số lập thành cấp số cộng Gọi cơng sai d ta có ba số a,b,c tương ứng a, a + d, a + 2d nên c - a= 2d => c= a 0,25 + 2d Mỗi cách chọn a cho số thỏa mãn, theo đề có: c ≤ 2019 => a ≤ 2019 – 2d Nếu d= a ≤ 2017, có 2017 cách chọn a, hay có 2017 cách chọn ba số a,b,c CSC Nếu d = a ≤ 2015 => có 2015 cách chọn ba số a,b,c lập thành cấp số cộng Nếu d = 1009 a ≤ nên có cách chọn ba số a,b,c Vậy số cách chọn ba số lập thành cấp số cộng 0,25 1,0 0,5 2017 + 2015 + … + = 1018081 Câu 2,0 Một thợ thủ cơng muốn vẽ trang trí hình vng kích thước , điểm cách vẽ hình vng với đỉnh trung điểm cạnh hình vng ban đầu, tơ kín màu lên hai tam giác đối diện:(như hình vẽ) Quá trình vẽ tơ theo qui luật lặp lại lần Tính số tiền nước sơn để người thợ thủ cơng hồn 1m2 thành trang trí hình vng trên? Biết tiền nước sơn để sơn 50.000đ 4m x 4m 1,0 Si Gọi tổng diện tích tam giác tơ sơn màu lần vẽ hình vuông thứ i ( ≤ i ≤ 5; i ∈ N ) S diện tích hình vng ban đầu Ta có: 1 1 1 1 1 S1 = S ÷; S = S ÷; S3 = S ÷; S = S ÷; S5 = S ÷ 2 2 2 2 2 Câu 10 Tổng diện tích cần sơn :( )S = S = (m2) 0,75 Số tiền để người thợ thủ cơng hồn thành trang trí hình vng : 50000 = 387500đ a , b, c abc = Cho số thực dương thoả mãn Chứng minh bất đẳng thức ab bc ca a + b3 + c3 + + 2+ ≥ 2 a +b b +c c +a 0,25 Ta có ≤ ( a − b ) = a − 4a 3b + 6a 2b − 4ab3 + b ⇔ a + b + 2a 2b ≥ 4ab ( a − ab + b ) ⇔ 0,75 ⇔ ( a +b ) 2 ≥ 4ab ( a − ab + b 2 ) a − ab + b a + b ab 1a b ⇔ ≤ ⇔ 1− ≤ + ÷ 2 a +b 4ab a +b 4b a bc 1b c ca 1c a ≤ + ÷ 1− ≤ + ÷ 2 b +c 4c b c +a 4a c Tương tự có ; Do đó, cộng theo vế bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Schur giả abc = thiết ta 1− 0,25 0,5 bc ca b + c c + a a + b ab 3− + 2+ ≤ + + ÷ 2 ÷ b c a +b b +c c +a 4 a bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + ab ( a + b ) bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + ab ( a + b ) = = 4abc 1 ≤ ( a + b3 + c3 + 3abc ) = ( a + b3 + c + 3) 4 Hay bc ca ab a + b3 + c + + 2+ ≥ ( 1) 2 ÷ a +b b +c c +a ( a + b3 + c3 ) ≥ 3.3 ( abc ) = ( ) 0,5 Mặt khác Từ ( 1) ( 2) suy a3 + b3 + c3 + Do ab bc ca a + b3 + c + + 2+ ≥ 18 a + b b + c c + a ab bc ca + 2+ ≥ 2 a +b b +c c +a 2 Dấu đẳng thức xảy a = b = c =1 ... = 20 12u 2n > ∀n - Giả sử có giới hạn a : nên limun = - ta có : 0 ,25 Suy dãy (un )tăng a = 20 12a + a ⇒ a = > 20 12 +∞ un u 2n (u − u n ) 1 = = n +1 = ( − ) u n +1 u n +1u n 20 12u n +1u n 20 12. .. u1 = 20 12 (n ∈ N*) u = 20 12u + u n +1 n n 0,5 2, 0 điểm 0,75 0 ,25 0,5 0,5 2, 0 điểm 1 1 lim( − )= 20 12 n →+∞ u1 u n +1 20 122 Câu Giải hệ phương trình 0,75 (vơ lý) 0,5 0,5 x + x (2 − y)... c= a 0 ,25 + 2d Mỗi cách chọn a cho số thỏa mãn, theo đề có: c ≤ 20 19 => a ≤ 20 19 – 2d Nếu d= a ≤ 20 17, có 20 17 cách chọn a, hay có 20 17 cách chọn ba số a,b,c CSC Nếu d = a ≤ 20 15 => có 20 15 cách