TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN NĂM HỌC: 2020 - 2021 Số báo danh Mơn thi: TỐN - Lớp 10 THPT ……………………… Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu 10 − x − 5+ x y= Câu Tìm tập xác địnhcủa hàm số (x + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = ( 1) 2 Câu Cho phương trình với a tham số a = −2 a Giải phương trình với ( 1) b Khi phương trình có nghiệm thực Chứng minh a>2 y = f ( x ) = ax + bx + c Câu Cho hàm số có đồ thị hình vẽ bên Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x ) + ( m − 2) f ( x ) + m − = có nghiệm phân biệt Câu Giải phương trình 3x − + x − + x − 10 + x − x + = x − − ≥ x − − x + Câu Giải bất phương trình Câu Giải hệ phương trình: Câu Cho hình chữ nhật r uuur uuur uuuu r u = MA + MB + 3MC Câu Cho tam giác AC = a 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = 2 x + y = ABCD , ABC AB = AD BC = a , Tính giá trị nhỏ độ dài vectơ có M điểm thay đổi đường thẳng vng , góc hai véc tơ uuur GB A , G trọng tâm tam giác uuur GC nhỏ BC ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh ABC A Câu Cho tam giác cân , nội tiếp đường tròn tâm ADC OE ⊥ CD trọng tâm tam giác Chứng minh P= x ∈ ( 0;1) Câu 10 Với O , tìm giá trị nhỏ biểu thức Gọi D trung điểm AB E , − x (1 + − x ) + x 1− x -Hết -Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU Có 06 trang ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MƠN TỐN 10 Câu Nội dung y= Tìm tập xác địnhcủa hàm số Hàm số xác định Hoặc Điểm 10 − x − 5+ x 2,0 10 − x − ≥0 5+ x 0,5 10 − x − ≥0 5+ x x + ≠ ( − x ) ( + x ) ≥ 20 − x − − x 3(5 − x) ≥0⇔ ≥0⇔ 2(5 + x) 2(5 + x) x + ≠ ⇔ ⇔ −5 < x ≤ 0,5 0,5 D = ( −5;5] Vậy tập xác định hàm số (x 2 Cho phương trình 0,5 + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = ( 1) a = −2 với a tham số a, Giải phương trình với ( 1) a>2 b, Khi phương trình có nghiệm thực Chứng minh ( 1) a = −2 a, với phương trình thành (x − x + 1) − ( x − x + 1) + = ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) + = 2,0 0,5 ⇔ ( x − 1) = x = ⇔ x = 0,5 (x + ax + 1) + a ( x + ax + 1) + = ( 1) b, Xét phương trình x + ax + − t = ( ) t = x + ax + 1, Đặt phương trình cho trở thành: t + at + = ( 3) ( 1) a t a2 − ≥ a − + 4t ≥ Phương trình có nghiệm thỏa mãn: a − ≥ ⇔ a ≤ −2 a≥2 hay Nếu a ≤ −2 ( 3) có nghiệm ( 2) a − + 4t > 0, t > 0, suy ( 1) 0,5 có hai nghiệm phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết có nghiệm ( 3) t = −1, a=2 a − + 4t ≥ Nếu phương trình có nghiệm điều kiện khơng thỏa mãn a>2 Vậy 0,5 2,0 Ta có: f ( x ) = −1 f ( x ) + ( m − 2) f ( x ) + m − = ⇔ f ( x ) = − m y= f ( x) y = f ( x) Từ đồ thị hàm số 0,5 ta suy đồ thị hàm số sau: 0,5 f ( x ) = −1 + Phương trình có hai nghiệm phân biệt Để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình nghiệm phân biệt 0,25 f ( x ) = 3− m 0,25 phải có ⇔ −1 < − m < ⇔ < m < m ∈ { 1;2;3} Kết hợp m số nguyên nên Giải phương trình: x ≥1 ĐKXĐ: 0,25 0,25 3x − + x − + x − 10 + x − x + = 2,0 3x − + x − + x − 10 + x − x + = Ta có: ⇔ 3x − + x − + ( 3x − ) + 3x − 2.2 x − + ( x − 1) − = ( ⇔ ( ) ) 3x − + x − + ( 0,5 ) 3x − + x − − = 3x − + x − = ⇔ x − + x − = −4 (VN ) 0,5 ⇔ 3x − + x − = ⇔ ( x − 1) 3x − + + x −1 = 0,5 x −1 ⇔ x − + 2÷ ÷ = ( 1) 3x − + Vì x −1 + > ∀ x ≥1 3x − + ( 1) ⇔ x −1 = ⇔ x = nên Vậy phương trình cho có nghiệm Giải bất phương trình x³ Điều kiện xác định: x =1 0,5 x − − ≥ x − − x + 2,0 0,5 x - + x +1 ³ Bất phương trình tương đương: Û x - + ( x - 2)( x +1) ³ x - + x - 5 (thỏa mãn) x - + éx ³ ê Û ê Û x - x +18 ³ ëx £ 0,5 0,5 éx ³ ê Û ê x £ Û x - x +18 ³ ë x³ Vậy nghiệm bất phương trình £ x £ 0,5 Giải hệ phương trình: Hệ cho 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = 2 x + y = 2,0 2 2 5 x y − xy + y − ( x + y )( x + y ) = ⇔ 2 x + y = 0,25 4 x y − xy + y − x3 = (*) ⇔ 2 x + y = Ta thấy x = không nghiệm hệ nên từ PT (*) đặt: 0,25 ta PT: t = 2t − 5t + 4t − = ⇔ t = Khi t = ta có: Khi t= 0,25 y = x x = x = −1 ⇔ ∨ y = x + y = y = −1 ta có: 2 2 x = x=− 5 y = x ⇔ ∨ x2 + y = y = y = − 5 ( x; y ) y t= x 2 −2 − ; ; ÷; ÷ 5 5 ( 1;1) ; ( −1; −1) ; Vậy hệ cho có nghiệm ABCD AB = AD BC = a Cho hình có , Tính giá trị nhỏ độ dài r chữ uuurnhậtuuur uuu u r u = MA + MB + 3MC BC M vectơ , điểm thay đổi đường thẳng 0,5 0,5 0,25 2,0 0,5 AB = AD = BC = 2a AC ∩ BD = AC , BD (trung điểm ) r uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r u = MA + MB + 3MC = MA + MC + 2MB + MC ( ) uuuu r uuur uuuu r uuur = 2MD + MB + 2MC = MP r u M trọng tâm ∆OBC ) 0,5 0,5 O OH P cân , nên thuộc trung tuyến r u = PH = OH = 2Oh = 2a M ≡H (Khi ) ABC ABC A AB Cho tam giác vuông , G trọng tâm tam giác Tính độ dài cạnh uuur uuur GB GC AC = a biết cạnh , góc hai véc tơ nhỏ Vì ⇔ MPmin ⇔ PM ⊥ BC ∆OBC P (với 0,5 2,0 0,5 K ,D AB, AC Gọi trung điểm uuur uuur α GB GC Gọi góc hai véc tơ uuur uuur uuur uuur cosα = cos GB,GC = cos DB, KC ( ) ( ) Ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA + BC CA + CB DB.KC BD.CK = = = DB.KC BD.CK BD.CK ( = )( uuur uuur uuur uuur uuur uuur BA.CA + BC CA − BA − BC ( ) BD.CK BD.CK ≤ BD + CK = 0,5 =− uuur uuur BA + BC ( ) BC BD.CK ) BA ⊥ CA ( Do ) u u u r u u u r + CA + CB ( = uuur uuur uuur uuur 1 2 AB + AC + BC + BA BC + CA CB 4 = AB + AC + BC + BA + 2CA 4 = BC ) (Theo công thức hình chiếu véc tơ) 0,5 cosα ≤ − Suy Ta có góc Dấu xảy α BD = CK ⇔ AB = AC = a − cosα 0,5 AB = a nhỏ lớn Khi ABC O A D Cho tam giác cân , nội tiếp đường tròn tâm Gọi trung điểm ADC OE ⊥ CD AB E , trọng tâm tam giác Chứng minh uuur uuu r uuu r r uuu r uuur uuu CD = CA + CB = OA + OB − 2OC 2 ( ) ( ) Ta có: uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur OE = OA + OD + OC = OA + OA + OB + OC ÷ = 3OA + OB + 2OC 3 ( ) ( ) ( Do đó: uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur CD.OE = OA + OB − 2OC 3OA + OB + 2OC 12 uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur ⇔ 12CD.OE = 3OA2 + OB − 4OC + 4OA.OB − 4OA.OC uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r ⇔ 12CD.OE = 4.OA OB − OC = 4.OA.CB = ( )( ( (Vì ∆ABC A 2,0 ) ) 0,5 0,5 ) O cân có tâm đường trịn ngoại tiếp nên uuur uuur CD.OE = ⇔ CD ⊥ OE Do (điều phải chứng minh) OA ⊥ BC 0,5 ) 0,5 x ∈ ( 0;1) 10 Với P= , tìm giá trị nhỏ biểu thức − x (1 + − x ) + x 1− x 2,0 P= t = 1− x , < t