Chứng ming rằng: Pabcd là một số chính phương.. Lấy một điểm M M bất kì trên đoạn thẳng AB cho trước, vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD BMEF,.. a Chứng minh: AE vuông góc với BC
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM DƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 LẦN 2
NĂM HỌC 2017-2018 Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Bài 1 (1,5 điểm) Phân tích đa thức f x ( ) x x3( 2 7)2 36 x thành nhân tử
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Cho các số a b c, , thỏa mãn abc 2017 Tính giá trị của biểu thức:
2017
P
b) Cho số x khác 0 thỏa mãn x2 5x 1 0 Tính giá trị của 7 5 17 15
1
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn 2 x2 3 xy 2 y2 7
b) Cho a b c d, , , là các số nguyên dương đôi một khác nhau thỏa mãn:
6
Chứng ming rằng: Pabcd là một số chính phương
Bài 4 (3,0 điểm) Lấy một điểm M M bất kì trên đoạn thẳng AB cho trước, vẽ về một phía của
AB các hình vuông AMCD BMEF, .
a) Chứng minh: AE vuông góc với BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh: Ba điểm D, H, F thẳng hàng
c) Chứng minh rằng: Đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB
Bài 5 (1,5 điểm) Cho a0;b0 thoả mãn 2a 3b 6và 2a b 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2 2 a b
====== HẾT =====
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên học sinh: ……… SBD: ………… Phòng thi số: ………….
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
1 (1,5) Phân tích đa thức f(x)=x3(x2-7)2-36x ra nhân tử
f(x)=x[x2(x2-7)2-36]=x(x3-7x-6)(x3-7x+6)
=x[(x3-x)-(6x+6)][ (x3-x)-(6x-6)]
=x[x(x-1)(x+1)-6(x+1)][x(x-1)(x+1)-6(x-1)]
=x(x-1)(x+1)(x2-x-6)(x2+x-6)
=x(x-1)(x+1)(x2+2x-3x-6)(x2-2x+3x-6)
=x(x-1)(x+1)[x(x+2)-3(x+2)][x(x-2)+3(x-2)]
=x(x-1)(x+1)(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 2(2đ)
Cho phân thức đại số
2
:
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các số nguyên dương x để P nhận giá trị là số nguyên
a(1đ) ĐK: x≠2; x≠-2
2
:
P
: (2 )(2 ) (2 x)(2 ) (2 )(2 2) (2 ) (2 )
P
:
P
2
: (2 )(2 ) (2 )
P
: (2 )(2 ) (2 )
P
2 4 3
x P
x
0,25
0,25
0,25
0,25
4( 3)
x
P nguyên khi
3 (36) 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1,1,2,3,4,6,9,12,18,36
x U
Vì x nguyên dương nên
1,2,4,5,6,7,9,12,15,21,39
x
Vì x≠2 nên x 1,4,5,6,7,9,12,15,21,39
0,25 0,25
0,25 0,25 3(2,5đ) a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x2+xy+y2-x2y2=0
b) Cho số x khác 0 thỏa mãn x2-5x+1=0 Tính giá trị của
7 5
1 1
1
x x
Trang 3+) Nếu một trong hai số bằng 1, giả sử x=1 pt 1+y=0(vô lí vì y nguyên
dương)
+) Vậy x, y≠1, suy ra x, y≥2
Chia cho x2, y2 pt 12 12 1
1
x y xy (1)
+)Do vai trò x, y như nhau do đó: giả sử x≥y≥2
1 y 4 4 4 4
x y xy y y y
Không thỏa mãn (1), do đó phương trình vô nghiệm
0,25
0,25 0,25
0,25 b(1,25)
x2-5x+1=0 x2+1=5x 1
5
x x
(Do x khác 0) 2
2 2
1 5.(23 1) 110
2
2 23 2 527
1
1
=527.110-5-(110.23-5)+1=110.(527-23)+1=110.504+1=55441
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25 4(2đ) Cho tam giác nhọn ABC, điểm M thuộc cạnh BC Gọi D là điểm đối xứng với
M qua AB, gọi E là điểm đối xứng với M qua AC Gọi I, K là giao điểm của DE
với AB, AC
a) Chứng minh rằng: MA là tia phân giác của góc IMK
b) Tìm vị trí của M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất
a(1,25)
1
1
1
2
K I
A
D
E
M
+) Do tính chất đối xứng nên ta chứng minh được M1 D1; M2 E1
+) Ta lại cm được AD=AE (Cùng bằng AM), nên D1 E1 M1 M2
Do đó: MA là tia phân giác của góc IMK
0,5 0,75
b(0,75) +) Ta có: ADE cân tại A có DAE 2 BAC (không đổi),
Nên DE nhỏnhất AM nhỏ nhất AM vuông góc BC
0,25 0,5
Trang 45(1đ) Cho tứ giỏc ABCD cú AB=a, CD=c, AD=BC, ADC DCB 90o Gọi M,
N, P, Q là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AC, CD và BD
A
B
M
N Q
P K
+) CM được MNQP là hỡnh vuụng QN=PM
+) Khi đú:
2 .
MNPQ
QN PM QN
+) Gọi K là trung điểm AD, ta cú KQ là TB tam giỏc ABD nờn
2
AB
KQ và KQ//AB
+) Ta lại cú KN là TB tam giỏc ACD nờn
2
CD
KN và KN//CD
+) Xột ba điểm K, Q, N ta cú: QN KN KQ
Vậy
2
MNPQ
KN KQ
Dấu (=) khi K, Q, N thẳng hàng hay AB//CD Lỳc đú ABCD là hỡnh thang cõn
với ADCDCB45o
0,25
0,25
0,25
0,25
B i 6 ài 6.
*Từ 2a + b ≤ 4 và b ≥ 0 ta có 2a ≤ 4 hay a ≤ 2 0,25
Do đó A=a2 - 2a - b ≤ 0 0,25 Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,25
* Từ 2a + 3b ≤ 6 suy ra b ≤ 2 - 2
3a
0,25
Do đó A ≥ a2 – 2a – 2 + 2
3a = (
2 3
a )2 - 22
9 ≥ - 22
9
0,25
Vậy A có giá trị nhỏ nhất là - 22
9 khi a =
2
3 và b =
2 3
0,25